ORTOGONALIDAD Y SISTEMAS DE STURM LIOVILLE

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1 UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS Profs. Rúl F Jiméz Emilio Bllo CAPITULO II ORTOGONALIDAD Y SISTEMAS DE STURM LIOVILLE Rordmos qu u oprdor difril lil d ord dfiido l itrvlo [,b] s u trsformió lil L: C [,b] C[,b], dod C [,b] s l spio d ls fuios o drivds otius hst l ord, dfiids [,b] C[,b] s l spio d ls fuios otiu sobr [,b] qu s pud xprsrs l form : L (x)d (x)d + (x), Dd/dx dod los ofiits j (x), j {,---,} so fuios otius tods prts d [,b], (x) o s idétimt ul [,b]. E prtiulr, si f C [,b], tos d L[f(x)] (x) f(x) + + (x)f(x) dx Df.- S di qu u oprdor difril lil d sgudo ord L dfiido u itrvlo [,b] st form utodjut, si pud sribirs omo: ( ( x) D) q( x) L D p +, dod p s ulquir fuió C [,b] tl qu p(x)> (bi p(x)<) pr todo x [,b] q s u fuió rbitrri C [,b] Obs.- Cosidrmos l E D lil d º ord () (x) (x) + (x) (x) + (x) ; (x).x I s p(x) xp (x) (x)dx omo d d d ( x) d p(x) p(x) + p(x) dx dx dx (x) dx tos l uió () s pud sribir o más simplmt d dx d (x) p(x) + p(x) dx (x)

2 d d () p(x) + q(x) dx dx (x) dod q(x) p(x) (x) L uió () s oo omo l form utodjut d l uió (). Ejmplo. L form utodjut d l uió d Lgdr: d d x + ( + ) dx dx (-x ) " -x' +(+) s ( ) EJERCICIOS: Exprsr d us d ls uios siguits form utodjut ) x - x - (-x ), I IR + b) (x -) - x -, I ], [ Df.- U problm o vlors l frotr pr uios difrils lils d º ord osist d : º.- U uió dl tipo () Lh qu L s u oprdor difril lil d º ord dfiido [,b], C [,b], h C [,b] º U pr d odiios d frotr d l form : () α β ( ) + α ( b) + α ( ) + α ( b) γ ( ) + β( b) + β ( ) + β ( b) γ dod α, β γ so ostts i i, j Obs..- Al mos u d ls α i u d ls β i db sr o ul..- () db otr térmios o ulo iludo d uo d los xtrmos.- S dirá qu ls odiios d frotrs dds so homogés si γ γ, tl so brvimos: CCH pr idir odiios d otoro homogés..- El ojuto d ls fuios dos vs difribls [,b] qu stisf ls odiios d frotrs homogés s u subspio S d C [,b]. E st pítulo prdrmos rsolvr PVC d l form: L h (5) P + CCH Ls soluios d u problm tipo P stá ítimmt ligds ls soluios dl PVC:

3 L (6) P + CCH dod s u prámtro dsooido. Obsrvr qu l soluió ul s simpr soluió d P ; pro stmos itrsdos otrr soluios o uls. Afortudmt l problm P o vrifi l torm d uiidd d soluió. Lugo, xist otrs soluios d P, o uls. Obvimt, ss soluios dpdrá dl prámtro. Los vlors d pr los uls l uió L ti soluios o uls u subspio S d C [,b], so llmdos vlors propios (VP) (o vlors rtrístios) d L. L (o ls) fuios o uls soids d vlor propio s llm fuios propis (FP) d L orrspodits s. Ejmplo.- Hllr los VP ls FP dl siguit problm difril: " +, <x<π () '(π) SOL.: Euió rtrísti: r + r ± posibls vlors d :. Lugo, distiguimos trs < : (x) + '(x) + CC: () + π π '(π) - ( + ) o h VP gtivos. : (x) + x '(x) + CC: ; '(π) o s VP. >: (x) A os x + Bs x + CC: () A '(x) Bos x '(π) Bos π os π,b ( ) π π,,,,... ( ) VP:,,,,... sí FP: s x,,,... jmplo. Cosidrmos l uió d Eulr: (7) x " + x ' +, π < x <, o ls CCH : '() '( π ).

4 Sol.: Empmos por sribir l uió form utodjut: t p(x) xp x dt t (x) x ; (x) x; (x) q(x) p(x) ; l x x L form utodjut d l EDO d Eulr s: d d (8) x + dx dx x Por hipótsis, ; lugo sólo disutimos los sos i) : d d d d x x, x π + < < ( x > ) dx dx dx dx (x) lx+ '(x) x CC : ' () (x), t. rbitrri o ul. π ' ( ) ' (x) x s VP Pr, tmos u úi soluió o trivil,.d. (x) s u FP. ii) > : D (8) s obti: x " + ' + x multiplido mbos mimbros por x, rsult : x " + x' + qu s l ooid uió d Eulr t L sustituió x t l x usdo l "rgl d l d", trsform st uió l uió quivlt: "(t)+(t) Pr >, l soluió grl s (t) s t + os t,.d. (x) s( lx) + os( lx) '(x) os( l x) s( l x), x > x x +CC: '() '(x) s( l x), x >. x π π +CC: '( ) s( l ), π

5 5.d. π s(π C ) s(π ) π π,,,,... π π.d. VP:,,,... FP : (x) os l x,,,... Dfiiió. - S L:S V u trsformió lil, dod S V so spios ulidios S s u subspio d V. S di qu L s simétrio o rspto l produto itrior V si : (9) Lx, x,l ; x, S Propidds : ) Todos los vlors propios pr u trsformió lil simétri, sobr u subspio so rls b) Cd pr d vtors propios, orrspodits difrts vlors propios, pr u trsformió lil simétri L: S V so ortogols V. Torm.- S S u subspio d C [,b] dtrmido por u pr d odiios d frotrs homogés : () α () + α β () + β (b) + α (b) + β () + α () + β (b) (b) s L ulquir oprdor difril lil utodjuto, qu trsform S [,b] tos L s simétrio o rspto l produto itrior C[,b] si solo si : b p(x) [ (x) (x) (x)],, S C. Obs.- ) Si () (b) tos () s stisf si rstriió, sí podmos sribir S C [,b] C,b tls qu : b) S S l ojuto d tods ls fuios [ ] () α () + α () β (b) + β (b) 5

6 6 o α + α, β + β Etos () s vrifi d imdito. E fto, si, so dos fuios ulquir S s ti : ( ) ( ) ( ) ( ) () b b b b ( ) ( ) ( ) ( ) NOTA.- U odiió d frotr d form (), qu ivolur vlors d, ' sólo uo d los xtrmos dl itrvlo s oo o l ombr d: CONDICIONES DE FRONTERA NO MIXTAS. tls qu : ) Si S s l subspio d C [,b] qu osist d tods ls fuios () ()(b), () (b) dmás p() p(b) (odiió d omptibilidd) tos () s vrifi pr tod, S. NOTA Ls CCH dl tipo () s llm CONDICIONES PERIÓDICAS. DE FRONTERAS Ejmplo. S L -D dfiido l itrvlo [, π] s S l subspio d C [,π] dsrito por ls odiios d frotrs : () (π) () (π) Como -D D(-D), tos p ( x), x [, π] p ( ) p( π) l subspio d C [.π]. Lugo, L s simétrio dsrito por ls odiios d frotr triors. Pr otrr los vlors propios ls fuios propis rsptivos s db rsolvr l uió difril + o l odiió d frotr : ()(π); '()'(π). Pusto qu L s simétrio tos sus vlors propios so rls sus fuios propis ortogols. S ti qu : i) Si < s obti sólo soluios trivils ii) Si, tos l soluió grl d l EDO. s ( x) 6 + x

7 7 Aplido ls odiios d frotrs s obti ls soluios (x)ct. Así, s vlor propio pr L sobr S. iii) Si > l soluió grl d l E.D. s: (x) C s x + C os x. Aplido odiios d frotrs s obti () ( os π ) C sπ C ( osπ ) C sπ C Ahor, si,,, s ti qu pr ulquir C, C s stisf (), los tros,, 9,... so vlors propios pr L. Así, ls fuios propis so : (x) C sx + C osx Ejmplo 5. Como s vrá más dlt, l siguit PVC pr l studio d l oduió dl lor u illo. "+,-π<x<π (-π)(π) '(-π) '(π) Sol.: S trt d u PVC o CCH priódis. Ats d rsolvrlo, dbmos vrifir si s umpl l "odiió d omptibilidd" : p(x) p(-π)p(π), D l uió rtrísti, dduimos qu dbmos lizr l PVC pr, > <. : " (x) + x +CC: (-π)(π) - π + π π (x) '(x) +CC: '(-π) '(π), qu simpr s válid. Por lo tto s VP, l FP soid s (x) t. o mjor,. < : "+ uió rtrísti: m + m ± (rís rls distits). Podmos dfiir α +, α, sí l soluió grl srá x αx (x) α + απ απ +CC: (-π)(π) + απ + απ απ απ απ απ ( ) ( ). Por otro ldo, αx αx αx αx ' (x) α α α( ) απ απ απ απ +CC: '( π) '( π) ( ) ( ) Como, tos,α. ( ) απ απ 7

8 No h VP gtivos 8 > : L soluió grl s (x) A os x + B s x ' (x) A s x + Bos x +CC: (-π)(π) A os ( π) + B s ( π) A os π + B s π (5) B s π +CC: '(-π)'(π) A s π + B os π A s π + B os π (6) A s π. Lugo, (5) (6), si A B so o uls, tos s π π π,,,... Los VP so,,,,... Así, pr u mismo VP tmos dos soluios l.i.: s(x), os(x), s dir, VP{,,,9,...} ; FP {, osx +sx},,,,,,, Dfiiió.- U problm, o sistm, d Sturm-Liouvill s, por dfiiió, u uió difril lil homogé d sgudo ord d l form d dx p d dx ( x) + ( q( x) ) o p u fuió ulquir C [,b] tl qu p(x)>, o bi p(x)<, x (,b) q s u fuió rbitrri C [,b],, juto o u pr d odiios d frotrs (homogés ) sogids form tl qu ls fuios propis orrspodits D p x D + q x so ortogols difrts vlors propios pr l oprdor ( ( ) ) ( ) Ejmplo 6: Rsolvr l PVC. +, < x < ( ) () + h () SOL: Obvimt L s utodjuto o p; q; ρ. Los VP so positivos l soluió d l EDO s: 8

9 9 (x) os x + s x CC: () (x) s x '(x) os x C: ()+h'() (s + h os ) Si, tos s + h os tg + h tg h π π/ Si hmos α tmos u uió trigoométri: tg α hα, qu o pos soluió xplíit; pro podmos rsolvrl gráfimt u sistm (α, ξ( α)), ξtgα, omo lo mustr l Figur Figur Obsrvmos qu xist ifiits rís α,,,... A d ríz α l orrspod u VP : α,,,.. Por lo tto xist u susió d VP: < < <... o lím ls orrspodits fuios propis so : (x) s x. EJERCICIOS IMPORTANTES: i) Comprub qu los VP ls FP dl PVC: " +, <x<l () (L) π π x so, (x)s,,,,...,rsptivmt, qu los VP ls FP dl L L PVC: " +, <x<l ' () ' (L) π π x so, (x)os,,,,,...,rsptivmt L L ii) Si rlizr álulos, srib los VP ls FP d los siguits PVC: α α π/ π π/ π ) " +, <x< b) " +, <x<π ) " +, <x< d) " +, <x<π () () ' () ' () (L) (π) ' () ' (π) 9

10 Hst l momto hmos visto qu irtos PVC gr vlors propios rls fuios propis ortogols, pro d sbmos sobr posibl bss oformds por sts fuios propis. El siguit Torm os trg u grdbl rspust pro u dmostrió fur dl itrés d st urso. Torm. s L u oprdor difril lil d sgudo ord, dfiido u itrvlo rrdo [,b], s S u subspio d C [,b] dtrmido por u pr d odiios d frotrs o mixts. Etos : º.- L ti u susió ifiit d vlors propios rls { }, dod,,,... tl qu < < o lim C orrspodits difrts vlors propios so uidimsiols º.- Culquir ojuto omplto d fuios propis pr L, u por d vlor propio, s u bs pr C [,b] º.-El dsrrollo sri, d ulquir fuió h suv por trmos [,b], rltiv tl bs, ovrg uiformmt bsolutmt h ulquir itrvlo rrdo qu h s otiu. º.- Los subspios propios d [,b] APLICACIÓN DE LA TEORIA DE STURM-LIOUVILLE A LA RESOLUCION DE PVC. Cosidrmos l uió difril (7) L h qu h s u fuió ooid C[,b], L u oprdor difril lil utodjuto d sgudo ord, tudo sobr l subspio S d C [,b] dfiido por u pr d odiios d frotrs homogés. Pr rsolvr st PVC podmos plir l "método d los vlors propios" pr spios ulidios d dimsió ifiit. E fto, supogmos qu,,, k, so vlors propios pr L sobr S, s ϕ ( ) ϕ ( ) x, x,, l ojuto d fuios propis orrspodits los, IN.Supogmos qu diho ojuto d fuios propis form u bs pr C[,b]. Lugo, podmos sribir l sri grlizd d Fourir pr u lmto h ulquir d s spio l form (8) ( x) ϕ ( x) h (ovrgi mdi) dod los ofiits grlizdos d Fourir stá dfiidos por: (9) h, ϕ ϕ h ( x) ϕ ( x) b b dx [ ϕ ( x) ] dx

11 Si supomos qu l soluió busd ti l form: () (x) α ϕ(x) tos l problm stá rsulto si hllmos los ofiits α. Sustitudo () (7), rsult ϕ(x) () L α ϕ ( x) Ahor,si L pud plirs () térmio térmio, s ti : ϕ(x) () α ϕ( x) d dod s ddu qu () s u soluió d (7) simpr qu : i) ls α pud sogrs tl qu () α, IN o éstos vlors pr α, l sri () α ϕ( x) dfi u fuió C [,b], us primrs dos drivds pud lulrs por drivió térmio térmio d l sri. OBSERVACIONES IMPORTANTES:. Rspto d () ; lrmt α, ( sí xist u úi soluió). Pro si uo d los, digmos, s ro, l problm o ti soluió si, ti ifiits soluios si.. El álisis s ms omplido pus dbmos ivstigr l ovrgi d l sri φ(x). Est ovrgi dpd d ls propidds d h d ls ostts qu rsult dl sistm OG prtiulr {φ (x)}. Lugo, d so dbrá xmirs idividulmt. E grl, pr qu l soluió-sri s "bu" (.d. d ls C ), s rquir qu h s "bu".

12 Ejmplo 7..- Rsulv l PVC: πx x, < x < π () ( π). SOL.: Sbmos qu l SSL soido s ", <x<π () ( π) us FP, d urdo Ejriios Importts, d l pág. 9, so: φ (x) π / los orrspodits vlors propios so,,,,... l sistm ON srá: φ(x) sx ( ( ) ). π π Admás 8 s( )x f(x), x [, π] π ( ) ( ( ) ) 8 S (x) h sx h π, impr. 5 8 s( )x (x). 5 π ( ) EJERCICIO. Dtrmir l soluió forml d l uió frotrs () ( π) x sujt ls odiios d ORTOGONALIDAD CON RESPECTO A UNA FUNCION PESO U grlizió pril importt pr problms o vlors l frotr osist d : ) U uió difril lil lil homogé d º ord d l form d dx d p(x) + dx ( q(x) r(x) ) dfiid [,b] b) U pr d odiios d frotrs homogés qu dfi l spio domiio S pr l oprdor L D[ p(x)d] + q(x) dod p q so fuios C [,b] C[,b] rsptivmt, p(x) o s ul (,b), dms r s u fuió otiu,o gtiv [,b] qu s ul lo ms u umro fiito d putos, llmd fuió podrdor. TEOREMA. S L u oprdor difril lil vrifido ls hipótsis triors, s r u fuió podrdor ulquir [,b], s S u subspio d C,b tl qu [ ]

13 [ (x) (x) (x) (x)] p(x) b pr d pr d fuios, S. Etos, ulquir ojuto d fuios propis orrspodits difrts vlors propios pr L s ortogol C [,b] o rspto l fuió r. NOTA.- Dbmos obsrvr qu grl l oprdor L o s simtrio S o rspto l produto itrior trior, pro l torm firm qu ls fuios propis orrspodits difrts vlors propios so ú ortogols. Pud probrs qu si: ) L : S C[,b] s uo uo b) r( x) >, x [,b] tos C[,b] ti u bs (ojuto OG omplto) formd por ls fuios propis pr L. Pr st rsultdo so importts ls siguits propidds: ) Si S s l subspio d C [,b] dtrmido por odiios d frotrs o mixts, si, so soluios l.i. d l uió L, tos L s uo uo udo s rstrig S, si solmt si, l dtrmit α β ( ) + α ( ) α ( ) + α ( ) ( b) + β ( b) β ( b) + β ( b) b) Si S s l subspio d C [,b] dtrmido por odiios d frotrs priodis, si, so soluios l.i. d l uió L, tos L s uo uo udo s rstrig S, si solmt si, l dtrmit ( ) ( b) ( ) ( b) ( ) ( b) ( ) ( b) Ejmplo 8. Hllr los VP ls FP dl SSL: " ' + (+ ), ( ), () disut l ortogolidd d ls FP soluió. SOL.: Form utodjut: p(x), q(x), ρ(x)

14 d d "- '+(+) + + dx dx d d + ( + ). dx dx /. Rdfiimos p(x),q(x) D ls CC, rsult: p(x) ( ' ')., ρ(x) Ls FP srá OG o rspto l fuió pso ρ (x) C[-,]. L uió rtrísti s: r r + (+ ) r ± x / x / / (x) + + CC so: < Sol. grl. [ ] so: Sol. grl. (x) x / [ + x] + CC so: > Sol. grl. (x) x / os + s x + CC (-) / os s os s (*) CC () / os + s Rstdo sumdo (*) (**), rsult: os + s (**) s os s π π,,,,... os ( ) π ( ) π,,,,... FP : { } x / os( ) πx, x / sπx. Ejmplo 9. ) Hllr l SGF pr f(x)x -x, térmios d ls FP dl SSL : "+ '+(5-) ; ()() " + ' + 5 x b) Hllr l soluió forml dl PVC : () ; () x x x SOL.: Form utodjut: p (x) ;q(x) 5 ; ρ(x) ± ) Euió rtrísti: r + r + 5 r r - ± i) > : (x) ( + ) + CC () - (x) ( ) + CC ().d. o h VP mors qu.

15 5 ii) : (x) ( + x) + CC ().d. o s VP. + CC () (x) x x iii) < : (x) ( os x + s x) + CC () s x + CC () s π (x) VP: - π,,,,...fp: ϕ (x) -x sπx,,,,... Lugo, l ojuto { -x sπx} form u ojuto OG o rspto l fuió podrdor r(x) x C[,]. Por otro ldo, S φ f(x) x x s πxdx. (x) ( ) π sπx + x x, o x sπxdx sí x ( ) π + sπx b) S (x) α sπx l soluió dl problm o α por dtrmir. Lugo, L[] x L α sπx ( ) π + sπx + ( ) α L( sπx) sπx. π.d. + ( ) α sπx sπx π α + ( ) π( π ) Lugo, l soluió dl PVC s: EJERCICIOS. + ( ) (x) sπx. π( π ). Exprs d uo los siguits oprdors difrils lils form utodjut: π π ) D + D +, x> b) (os x)d + (s x)d, < x < x 5

16 6 ) x D + xd + (x p ), x>, sido p u úmro rl. d) ( x )D xd + ( + ), -<x<, sido u tro o gtivo.. Hllr todos los VP ls FP d los SSL rgulrs ) " + () ( π) b) " + () '() ) " + '() '( π) d) " + () () + '() ) " + ( ) (),'( ) '() f ) " + () (π),'() '(π) g) " + () ( π),'() '( π) h) " + ' + (+ ) () () i) " + ' + ( ) () '() j) " ' + ( + ) '() '( π) k) m) x " + x' + (),() (+ x )" + ( + x)' + (), () d [( + x) ' ] l) + dx ( ), () SOLS.: ), φ (x) sx,,,.. b), φ(x) s πx,,,.. ), φ (x) osx,,,,.., π, φ(x),sπx, osπx,, φ(x), sx, osx,, ),,,.. f),.. g),, φ (x), s x, os x,,,.. h) + π, φ(x) sπx,,,.. k) + π, φ(x) s(πlx),,,,.. x 6

17 7 π π l) +, φ(x) s l(x ), IN / l + (x ) l + π π m) +, φ(x) s l( x), IN / l + ( x) l +. Dtrmir todos los VP ls FP d los SSL: ) x " + x' +, () ; ' so otds x b) "+ ; () ; ' so otds l ifiito.. ) Probr qu l PVC : d ω dx ; '() '() () () ti soluios o trivils sí sólo si os ω. osh ω b) Usr l téi d hllr gráfimt los VP, pr dmostrr qu ést PVC ti ifiitos VP o gtivos, dod,,,..cómo s omport stos VP udo? ) Cuál s l soluió grl dl PVC orrspodit l VP? 5. L idi l oprdor difril d urto ord D, S idi l subspio d C [,b] qu osist d tods ls fuios tls qu () "() (b) "(b). ) Dmostrr qu (L ) (L) [ ''' ''' ' " + ' "]', S. b) Usr l rsultdo ) pr probr qu ls FP orrspodits difrts VP pr l PVC L:S C[,b], so OG. 6. Trsform d u d ls siguits EDO l form utodjut quivlt: ) L uió d Lgurr: x "+(-x) '+,,,,,... b) L uió d Hrmit : "-x '+,,,,... ) L uió d Thbhff : (-x ) "-x '+,,,, Prub qu: Si q(x) ρ(x) so otius p(x) s dos vs otiumt difribl [,b], tos ls soluios dl SSL d urto ord [p(x)"(x)]" + [q(x) + ρ(x)](x) [ + (p" )'] [ ' + (p" )] x,[b + b (p" )'],[d ' + d x,b + b, +,d + d (p" )] o + so OG o rspto l fuió pso ρ [,b]. x b x b 7

18 8. E d uo d los siguits PVC, hllr ls FP, los VP dtrmi d so u spio ulidio l qu u ojuto omplto d FP pr l problm ddo, s u ojuto ortogol. ) " + (+ ) ;() ( π) b) " + ( ) ;'() '() ) " + ' + ( ) ;() () d) " ' + ( ) ;() ( π) ) " ' + (+ ) ;( ) () f) " + ( ) ; () + '(),() + '() g) " + ' + ( ) ;'() '( π) h) " ' + ( + ) ; () () i) "+ '+(-9) ; ()(). 8 SOLS: ), φ (x) sx,,,,..; Ortogol C[,π] π, φ(x) sπx, ),,,..; Ortogol C[,] o rspto l fuió pso x. x / πx s,,,6,.. ) π φ, (x) ; Ortogol C[-,] o rspto x / πx os,,,5,.. l fuió pso -x g), φ(x) (osx + sx),,,,..; rspto l fuió pso x., φ(x) ;OG C[,π] o d (r' ) +, < r < r dr 9. Si ls fuios propis dl problm: () + '() lím + (r) < r stisf lím r + r'(r), mustr qu todos los VP so rls pr rls.. Hllr l dsrrollo forml sri d l soluió d los siguits PVC, térmios d ls FP dl SSL soido: 8 + ) "x(x-π), (), '(π) SOL: s x 5 π ( + ) b) "x -π, '(), (π). 8

19 πx ) " s,'(),'(l) SOL.: No h soluió;, L π πx d) " s,(),'(l) L x, x < π / ) ", (), (π) x π /, π / < x π 9 SOL.: k+ ( ) (k ) π (k ) + ( ) s(k )x + 8k k+ k f) "+ ; ()() g) "+ x ; () '() h) "sx ; (); ()+ '() skx i) "-h(x) ; ()(π), '() '(π), osidrdo qu h C[,π]. Sugri: osidr los sos π π h (x)dx h(x)dx sprdmt. SOL.: Si l itgrl d h s distit d ro, o h soluió. Si s ro, tos dod + osx + b sx, π π h(x)osxdx, b π π h(x) sxdx s u t. rbitrri.. Hllr todos los VP ls FP dl SSL "sigulr" x "-x '+(+) osidrdo qu (), lím x + (x) <. Cómo difir los VP d otros problms propustos? [Sugri: Not qu s trt d l uió d Eulr rurd qu udo l poliomio rtrístio ti ris ompljs, l spio soluió (,) stá α α grdo por ls fuios x s( βl x), x os( βl x) ]. π Sol: VP,,,... FP 9 φ (x) πx s,,,... 9