TEMA 2 CONDUCTORES EN EQUILIBRIO Y DIELÉCTRICOS

Transcripción

1 TM ONDUTOS N UILIBIO Y DILÉTIOS. Descpcó mcoscópc e los couctoes. g le l cmpo eléctco e los meos mteles se puee estu e me smplfc coseo os tpos e sustc: los couctoes (típcmete metles) y los eléctcos o sltes. S e es ceto que hy u g ve e mteles co popees temes ete estos, como los semcouctoes. L couctv e éstos últmos o es muy ge peo umet co l tempetu, feec e l e los metles. U coucto es u sustc cpz e tspot cg eléctc. st pope se ee que los electoes e l cp exte e c átomo se ecuet élmete lgos los úcleos, ocupo s e eegí co veles les muy póxmos ete sí. Bjo el efecto e u pequeño cmpo eléctco puee movese fáclmete e l e e oes que fom los úcleos y electoes teos e el sólo. L exstec e est cg le tmé explc l cpc e los metles p g o cee electoes queo u cg et. U exceso e electoes e u coucto se tuce e u cg et egtv y u efecto e electoes hce que esté cgo postvmete. cocoes omles seá euto. Fgu. ouctoes e equlo l cmpo y l cg e el teo y e l supefce e u coucto e equlo electostátco (es ec, cuo el movmeto eto e cgs e su teo h ceso) se euce e sus popees y e l ley e Guss. uo se plc u cmpo eléctco los electoes e couccó tee esplzse e eccó cot, po se su cg egtv. l hcelo se pouce u sepcó e cgs que ce u cmpo coto l que se plcó. el mometo e que los cmpos se cotest los electoes ej e esplzse. Po tto, e el equlo electostátco, el cmpo totl e el teo el coucto seá ulo y el potecl costte: cte () Ntulmete, s o se plc cmpo exteo tmé es, po est ls cgs postvs y egtvs stus l z. Utlzo l ley e Guss se emuest que u cg stu e u coucto se stuye etemete po su supefce. Fgu efecto, s tzmos u guss justo po ejo e l c exteo el cuepo, semos que e toos sus putos el cmpo seá ulo po est e el teo. sí pues: q q () s ec, l cg et e el teo es ul. esumeo: l cmpo e el teo e u coucto e equlo electostátco es ulo. Tem ouctoes e equlo y eléctcos

2 L cg e u coucto slo se stuye po su supefce. L fom e que se stuye est cg soe l supefce epee e l geometí el coucto. Semos que u vez que se h lczo el equlo, el cmpo e too puto e l supefce ee se oml ést; e lo coto, l compoete tgecl poucí u movmeto e los electoes. oseemos u guss e fom clíc y seccó ect. U e sus ses está e el teo el coucto y l st es pepecul l supefce e éste (fgu 3). ests cocoes es plelo l supefce ltel e l guss, po lo que el flujo el cmpo es ceo tvés e ell. Lo msmo ocue co l se teo, e este cso po se. pc e u coucto l potecl que se ecuet u coucto slo epee e l cg que cotee. L elcó ete l cg epost y el potecl es u costte que está elco co l geometí el coucto. sí, p u esfe e o co cg, el cmpo u stc es el msmo que poucí u cg putul. plco l ley e Guss u esfe cocétc e o : φ 4π (4) q Fgu 4 Fgu 3 plco l ley e Guss y teeo e cuet que el clo ece u cg q q φ q (3) ste esulto se plc l egó póxm l coucto, pues sólo etoces semos que. ls egoes más lejs el cmpo tee l fom e oulom p u cg putul T. L cg supefcl e es es le y se esplzá e cuto el coucto o esté e equlo electostátco. Po ejemplo, s se poe e cotcto co oto coucto l cg (que covecolmete se supoe postv) se moveá hc el que teg meo potecl, poucéose mometáemete u coete eléctc, hst que se gul los potecles. Igulmete, el potecl vle: 4π (5) l supefce el coucto ; po tto l elcó cgpotecl es: 4π cte 4π (6) L costte ccteístc /, que e este cso vle 4π, se eom cpc el coucto. omo φ tmé se puee ef po: φ (7) L u e cpc es el fo, o culomo/volto. Peo l se emso ge se utlz más e los sumúltplos, como el µf ( 6 F) y el F ( 9 F). Tem ouctoes e equlo y eléctcos

3 3. oesoes uo exste vos couctoes, l pesec e c uo fluye e l stucó e ls cgs y e el potecl e los otos. Po ejemplo, supogmos u coucto como el e l fgu 5 co cg y potecl ; l touc u seguo coucto, uque esté escgo, u pte e l cg se esplz hc él, polzáolo. cosecuec el potecl cm f (smuye e este cso, pues el tjo eceso p llev l cg u ese hst el coucto es meo). L cpc h umeto, poque: f < > f > f f Fgu 5 S el seguo coucto se spoe e fom que too el flujo poceete e l cg tem e él, se ce que mos está e fluec totl y fom u coeso. st cocó se cumple páctcmete s ls supefces couctos está muy póxms. toces se uce u cg opuest e el seguo coucto y se puee ef l cpc el cojuto como el cocete ete l cg y l feec e potecl ete ellos: (8) U coeso es u spostvo p lmce cg eléctc. L cpc c l ct e cg que puee lmce po u e feec e potecl. jemplo : lcul l cpc el coeso fomo po os cotezs couctos esfécs e os y. L teo tee u cg y l exteo ot. P clcul l cpc e este coeso ee coocese el cmpo e l zo teme y pt e él euc l feec e potecl. Fgu 6 plco l ley e Guss u esfe e o cocétc co los couctoes, es fácl compo que e exteo ( > ) el cmpo es pues l cg ece po l guss es ceo; el potecl seá costte y poemos tom hí el oge,. el espco ete ls os esfes ( > > ), teeo e cuet l smetí l el cmpo se cumple que y cte soe l guss; po tto: 4π 4π L feec e potecl se otee tego lo lgo e u o: 4π ( 4π 4π ( ) 4π ) Y l cpc el coeso esféco seá: ( 4π (9) ) s ec, epee sólo e y e l geometí e los couctoes. Puee umetse l cpc umeto y o smuyeo su stc; peo esto últmo tee u límte, pues el cmpo seí c vez más teso, llego hce coucto el meo ete ls esfes. Tem ouctoes e equlo y eléctcos 3

4 l coeso plo l coeso páctco más secllo está fomo po os plcs pls y plels e supefce, stus stc. l cmpo eléctco fue e l egó ete plcs es especle y e el teo es ufome. sto seí estctmete ceto s ls láms fuese fts y es muy poxmo cuo es pequeño compo co ls mesoes e ls plcs. P clcul l cpc el coeso coseemos pmeo el cmpo ceo po u lám pl ft co es e cg /m. Teeo e cuet l smetí el polem, el cmpo ee se pepecul l lám y tee el msmo vlo e los putos equsttes e ell. / / / Fgu 8 L feec e potecl ete ls os plcs se otee tego el cmpo ese l egtv hst l postv: () S los couctoes tee u supefce, su cg seá y flmete l cpc el coeso es: / (3) Fgu 7 Po tto, s tommos u supefce guss clíc como l e l fgu el flujo el cmpo l tves solmete po ls os ses e supefce y etoces: q () l cmpo e u lám co es e cg es el msmo peo e seto coto (está go hc l lám e vez e sl e ell). l coeso se fom co os plcs e cgs opuests seps u stc (fgu 8). Los cmpos se sum e l egó teme peo se ccel e l zo exte, oe so opuestos. L esultte e el teo el coeso seá etoces: jemplo : ompo que l cpc el coeso ploplelo se puee euc coseáolo como el límte e uo esféco cuo. Segú l ecucó 9, l cpc e u coeso esféco e os y es: 4π ( Teeo e cuet que su supefce exte vle 4π, l cpc po u e supefce seá: ( 4π )4π ( ) ) cte () S hcemos tee y fto, / tee l u y l supefce esféc se covete e pl. omo, Tem ouctoes e equlo y eléctcos 4

5 ( ) s ec, se otee l msm expesó e l ecucó 3 p l cpc e u coeso ploplelo. egí e u coeso Se u coeso e cpc, clmete escgo. l sumstle u cg q quee el potecl, cumpléose que q. S ho queemos llev l coeso u pequeñ cg col q há que elz el tjo: q W q q (4) Itego W ese q hst q oteemos el tjo elzo e el poceso completo e cg. ste tjo que lmceo como eegí potecl eléctc: U e q W qq (5) Ls plcs postvs está us ete sí y tmé ls egtvs, po lo que toos los coesoes está l msmo potecl. Po tto: ;... ;...(6) L cg totl soe ls plcs postvs es y l cpc equvlete: (7) (8) L cpc equvlete e u cojuto e coesoes uos e plelo es l sum e ls cpces e los coesoes slos. Fgu 4 soccó e coesoes muchs ocsoes se coect os o más coesoes p cosegu u cpc etem. oseemos e pme lug vos coesoes e cpces,,... socos e plelo. Fgu 9 Los coesoes coectos e see u potecl quee l msm cg (fgu ). L cg el pme coeso uce u e l ot plc, clmete escg; esto sólo es posle s pece ot cg e el seguo coeso y sí sucesvmete. Po tto: (9) L feec e potecl totl es l sum e ls cís e potecl e los sttos coesoes: y l cpc equvlete: () Tem ouctoes e equlo y eléctcos 5

6 o, lo que es lo msmo: () Se efe el mometo pol p e os cgs opuests q y q seps u stc como el vecto oeto e q q cuyo móulo vle q. p q q( ) (4) L () l veso e l cpc equvlete e u cojuto e coesoes socos e plelo es gul l sum e los vesos e ls cpces e los coesoes slos. 5. Deléctcos. Mometo pol los mteles eléctcos o sltes o exste electoes les que se pue esplz po ellos; toos se ecuet lgos sus átomos. Po eso, cuo se plc u cmpo exteo u eléctco su compotmeto es muy stto l e los couctoes. Ls moléculs e los eléctcos puee se e os tpos: poles o o poles. Deléctcos poles ests moléculs ls cgs postvs y egtvs o tee l msm stucó espcl y sus cetos geométcos o coce, cluso e usec e cmpo exteo. U ejemplo es l molécul e gu, e l que los os átomos e hógeo se elz l oxígeo fomo u águlo e 4,5º co l cg egtv esplz hc el oxígeo. Ls cgs y seps fom lo que se eom u polo eléctco. Su pope más teeste cosste e l cpc e oetse e l eccó e u cmpo exteo. efecto, el cmpo ejece os fuezs opuests soe los cetos e cg y, o lug u mometo τ que hce g l molécul hst oetl e eccó l cmpo. l p e fuezs es más teso cuto myo es l cg y l stc ete ells: F q τ (3) l p e fuezs soe el polo se puee expes etoces e fucó el mometo pol: τ q q p (5) usec e cmpo los polos molecules está oetos l z e tecco cotumete uos co otos. l mometo pol esultte es ceo. l plc el cmpo exteo los mometos τ tee oetlos e l eccó el cmpo, uque l gtcó témc o ces y l oetcó o es complet, meos que el cmpo se muy teso y l tempetu muy j. Deléctcos o poles ls moléculs o poles los cetos geométcos e ls cgs eléctcs postvs y egtvs coce eo su sposcó smétc. usec e cmpo o exste sepcó e cgs y po tto p. U cmpo exteo te ls cgs egtvs y empuj ls postvs pouceo u efomcó e l molécul, u pequeñ sepcó e ls cgs. Se ce u mometo pol e l eccó el cmpo, que espece cuo ces éste. sí pues, hy os tpos e eléctcos (poles y o poles) y os mecsmos e polzcó (oetcó e polos pemetes y polzcó e moléculs o poles). ecto polzcó y cg uc Se u muest homogée e mtel eléctco co fom e psm stu e el seo e u cmpo exteo. Los polos molecules el mtel (pemetes o ucos) tee oetse e l eccó el cmpo (fgu ). omo cosecuec, el teo el mtel sgue seo eléctcmete euto peo e ls cs pepecules l cmpo, e supefce, pece cgs e polzcó co es supefcl y. Tem ouctoes e equlo y eléctcos 6

7 q q poucto escl. sí pues, e u elemeto e supefce hy u cg uc: q P P (9) Y e to l supefce el eléctco, l cg uc seá el flujo el vecto P: P q S (3) Fgu l mometo pol totl e l muest es l sum e los mometos poles. S es el espeso e l muest y q l cg uc e ls supefces, su vlo ee se: p j q (6) j s ec, el pouco po ls cgs supefcles ±q, y que ls ots se ccel mutumete. Defmos l polzcó P e l muest como el mometo pol po u e volume. Su móulo, e este cso, vle: P q j (7) p S u e ls cs o es pepecul l cmpo l cg uc q se epte po u supefce /cosθ, oe θ es el águlo que fom l oml l supefce co el vecto polzcó. Po tto l es supefcl seá: q q cos θ Pcos θ P / cosθ P /cosθ θ Fgu θ (8) l ot c, l fom los os vectoes u águlo e 8º, el poucto escl P vle P, que es lo opuesto e l ecucó (7). s ec, l es supefcl e cg uc, co su sgo, se otee e cho P S P es costte (polzcó homogée), está clo que su flujo es ulo y po tto q S. sto quee ec que se uce cgs opuests q y q. uo l polzcó o es homogée exste u cg et q S e l supefce el eléctco y po tto, teá que he ot gul y opuest stu e el volume: q q ρ P (3) S l efecto e ls cgs ucs soe el cmpo e el teo el eléctco es stto que e los couctoes, oe el esplzmeto e ls cgs les pouce, e el equlo, u cmpo eto ulo. los eléctcos ls cgs ucs o so les so lgs y está lmts po ls popees e ls moléculs. Pouce u cmpo que se opoe l cmpo exteo, seo el cmpo eto e el mtel: (3) Fgu 3 vetemete el cmpo totl smuye po l pesec el eléctco; est euccó es ccteístc e c mtel y se cutfc po u costte eléctc. L polzcó P epee el cmpo eto plco. uto más teso se, myo seá l sepcó e cgs y, po tto, P. l myoí e los csos l elcó es e popocol: Tem ouctoes e equlo y eléctcos 7

8 P χe (33) L costte χ e se eom susceptl eléctc e c l myo o meo fcl e l sustc p se polz. L pemtv se touce p que χ e se u úmeo mesol, y que tee mesoes e es supefcl e cg (/m ), gul que l polzcó. los eléctcos χ e es postvo y e el vcío χ e, y que o hy moléculs que pue polzse. 6. oesoes co eléctco muchos csos os tees cooce el cmpo eléctco e u egó e l que exste cgs les y lgs, como ocue e los coesoes cuo sus plcs está seps po u slte. omo l ley e Guss se eujo co cácte geel puee plcse tmé e el eléctco sempe que se cosee tos ls cgs e el teo e l supefce guss: q q q (34) s ec, q ee clu tto ls cgs les q como ls lgs o e polzcó q es l pesec el eléctco y stus e su supefce o e el volume. Peo q epee e y esto fcult l plccó e l ley e Guss, s e exste u vesó geel que o eucemos quí. l polem es más secllo cuo l supefce el eléctco es u equpotecl po est e cotcto co u coucto (como es el cso el coeso) o po ots cuss. ecoemos que el cmpo totl es l sum el cmpo exteo eo cgs les y el cmpo ceo po ls cgs ucs. S es pepecul ls cs el eléctco, etoces P tmé lo es y el cmpo tee l eccó e y el seto coto. es el cmpo e ls os láms e cg uc, e es y, que pece soe ls cs el eléctco e cotcto co ls plcs. plco l ley e Guss ésts como hcmos co el coeso ploplelo (ecucoes y ) esult: P (35) Susttuyeo e l ecucó 3 y poeo P e fucó e l susceptl eléctc que: P χe χe (36) y eoeo témos: K K ( χe) (37) Po tto el efecto el eléctco es euc el cmpo e ls cgs les e u fcto K. Po ot pte, ecoo que / tmé teemos: K K (38) Dcho e oto moo, l pemtv el meo es K veces l el vcío. Hemos touco os costtes: K χ e K : costte eléctc : pemtv el meo (39) / Fgu 4 /K L costte eléctc K / es l pemtv eltv el meo especto el vcío. D l costte K e u mtel, que cctezo su compotmeto electostátco. loes típcos e K so,6 p el e (y el msmo oe e otos gses); ete y p líquos o poles y e 8 e los líquos poles. stos últmos vloes so t ges eo que el cmpo exteo sólo tee que oet los polos molecules, o celos. Ntulmete K y χ e e el vcío. Tem ouctoes e equlo y eléctcos 8

9 l esulto e l ecucó 37 o se puee geelz tos ls stucoes. Po ejemplo, el cmpo e el teo e u esfe e eléctco se euce e u fcto ( χ e /3) e vez e K. Peo hy otos csos e que tmé se cumple que /K. jemplo 3: lcul el cmpo ceo po u cg putul q stu e u meo eléctco homogéeo e pemtv. plcemos l ley e Guss u esfe co ceto e q y o. l se homogéeo el eléctco, tee smetí l y su móulo seá costte e los putos e l esfe: q q (4) L cg q pouce u polzcó e el meo e eccó l. Los polos l oe o lug u cg uc e el volume eceo po l guss. omo el eléctco ee se euto, est cg q seá gul y e sgo coto l que peceí e supefce s ecotásemos el tozo e eléctco que lmt l guss. s ec, segú l ecucó 3: q P Susttuyeo est q e l ecucó 4 y gupo ls tegles: ( P q (4) ) l vecto D P, eomo esplzmeto, es l y tee el msmo móulo e toos los putos e l guss, po lo que su tegl vle D D 4π. Po ot pte, teeo e cuet que P χ e : D χ χ ) ( (4) Flmete, evluo l tegl (4) se otee: D (4π ) q q 4π q 4πK K (43) s ec, l pesec el eléctco hce que l tes el cmpo e l cg q se euzc e u fcto K especto su vlo e el vcío. Potecl y cpc co eléctco l efecto el eléctco ete ls plcs e u coeso tmé se poe e mfesto e su feec e potecl, que smuye e l msm me que el cmpo: (44) K K Po tto, l cpc el coeso umet e el msmo fcto K: K (45) / K es l cpc el coeso s eléctco. Puee utlzse este esulto p me K pt e l feec e potecl tes y espués e touc el eléctco, y que: K / / egí lmce e el cmpo eléctco (46) omo vmos teomete (ecucó 5), l eegí potecl electostátc e u coeso es: U e es l cg le e ls plcs. omo se multplc po K po efecto el eléctco, lo msmo ocue co U e gul potecl. L ecucó teo sugee que so ls cgs ls que tee l eegí, peo es más lógco supoe que está stu e too el cmpo eléctco. sí, e u coeso plo co eléctco e pemtv. l eegí potecl po u e volume vle: u e (47) Se h teo e cuet que, segú l ecucó (38),. Puee emostse que est elcó es geel y que l eegí lmce e el cmpo eléctco, hy o o eléctco, se puee clcul supoeo que está stu e el espco co es u e ½. Po lo tto: Tem ouctoes e equlo y eléctcos 9

10 U e (48) U cotez esféc e o y goso, cocétc co el coucto, tee volume 4π y cotee u eegí u e. Itego ese hst : jemplo 4: Se u esfe coucto e o y cg stu e el vcío. lcul l eegí soc su cmpo eléctco mteo u es u e ½. l cmpo e el teo e l esfe es ulo y e el exteo vle: U e ( 4π 4π ) ( ) 4π 4π 4π 4π ( ) Po tto, l eegí po u e volume seá: u e 4π ste esulto coce co l eegí potecl electostátc e l cg e l esfe coucto. Teeo e cuet que su potecl vle /4π : 4π U e Tem ouctoes e equlo y eléctcos