IES de JOVELLANOS DE GIJÓN 1º de Bachillerato Matemáticas I (Modalidad de Ciencias y Tecnología) CONTENIDOS PENDIENTES DE SUPERAR

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1 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 IES de JOVELLANOS DE GIJÓN º de Bachillerato Matemáticas I (Modalidad de Ciencias y Tecnología) CONTENIDOS PENDIENTES DE SUPERAR Contenidos Comunes Desarrollar las tareas de manera ordenada, cuidando la presentación, valorando críticamente los resultados valorando la madurez necesaria para enfrentarse con situaciones nuevas argumentando con carácter general los procedimientos adaptados y usando correctamente la terminología adecuada. Usar con aprovechamiento una calculadora científica usando la memoria y los paréntesis reconociendo en ella las distintas funciones estudiadas durante el curso. Usar software matemático específico (hoja de cálculo, sistemas de representación de objetos matemáticos, de álgebra computacional y de geometría dinámica), para abordar cálculos complejos así como para presentar resultados y gráficos de forma atractiva y clara y en general todos aquellos recursos informáticos que se utilicen para el desarrollo de contenidos que tengan carácter de mínimos. Aritmética y Álgebra Utilizar la notación científica para epresar cantidades muy pequeñas y muy grandes y para realizar cálculos controlando los márgenes de error acordes con las situaciones estudiadas. Conocer el concepto de valor absoluto de un número. Operar, simplificar y racionalizar radicales. Conocer la unidad imaginaria i Saber representar un número complejo en forma binómica. Saber sumar, restar, multiplicar, dividir y hallar potencias enteras de números complejos en forma binómica. Dado un n complejo saber calcular su módulo y argumento. Saber pasar un n complejo escrito en forma binómica a forma polar y viceversa. Saber multiplicar, dividir, hallar potencias y raíces enteras de números complejos en forma polar. Conocer el concepto de logaritmo de un número sus propiedades más importantes: logaritmo del producto, del cociente, de una potencia y de una raíz. Hallar las raíces, reales y complejas de un polinomio utilizando la fórmula de la ecuación de º grado y la división de Ruffini y resolver ecuaciones polinómicas utilizando este procedimiento. Calcular los números combinatorios y números factoriales así como su significado. Desarrollar la potencia natural del binomio de una suma y de una resta. Realizar operaciones sencillas con fracciones algebraicas. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado con una o dos incógnitas y problemas con enunciado del mundo natural, geométrico y tecnológico que den lugar a las mismas. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas, su representación en la recta real y su epresión en forma de intervalos. Resolver ecuaciones bicuadradas, irracionales y con fracciones algebraicas. Conocer el concepto de intervalo cerrado, abierto finito o infinito en una recta real, y saber hallar sus uniones e intersecciones. Trigonometría Conocer la medida de ángulos en grados seagesimales y en radianes así como la transformación de unas unidades en otras. Conocer la definición de las razones trigonométricas de cualquier ángulo y su visualización sobre una circunferencia de radio unidad. Conocer y utilizar en contetos normales los valores las razones trigonométricas de los ángulos de 0º, º y 0º así como las reducibles a ellos. Reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Conocer y calcular ángulos a partir de la definición de arcsen, arccos y arctg. Conocer la propiedad fundamental de la Trigonometría y aplicarla para calcular las restantes razones trigonométricas partiendo de una dada. Resolver problemas geométricos basados en triángulos utilizando el teorema de los senos y el teorema del coseno. Resolver ecuaciones trigonométricas. Vectores y Geometría Analítica Disponer del concepto intuitivo de vector.

2 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 Saber realizar en coordenadas e interpretar gráficamente las operaciones: suma de vectores y producto vector por escalar. Calcular el módulo y el argumento de cualquier vector. Calcular la distancia entre dos puntos. Hallar el producto escalar de dos vectores y su relación con el ángulo determinado por ambos Hallar el ángulo determinado por dos vectores o dos rectas. Obtener vectores paralelos o perpendiculares a otro dado. Conocer las siguientes formas de ecuaciones de la recta: vectorial, paramétrica, continua eplícita y general y saber reconocer en ellas los puntos y la pendiente y su relación con su vector director. Saber escribir la ecuación de una recta en cualquiera de las formas mencionadas partiendo de cualquiera de ellas. Hallar el punto intersección de dos rectas secantes y el punto medio de un segmento. Reconocer dos rectas paralelas y perpendiculares. Conocer y aplicar la fórmula que permite calcular la distancia entre un punto y una recta y entre dos rectas paralelas. Resolver problemas métricos sencillos de geometría analítica del plano. Hallar la ecuación de la mediatriz de un segmento dado. Hallar la ecuación de las medianas, bisectrices y alturas en un triángulo dado. Cónicas Comprender el concepto de lugar geométrico y el de sección cónica. Reconocer la ecuación de una circunferencia y obtener su centro y radio. Escribir la ecuación de una circunferencia suponiendo conocidos: centro y un punto, centro y recta tangente, tres puntos. Resolver problemas de lugares geométricos sencillos e interpretar gráficamente su resultado de tratarse de una ecuación conocida (recta o circunferencia) Análisis Conocer los conceptos de función real de variable real, dominio y recorrido. Conocer la composición de funciones y saber aplicarla en casos sencillos. Saber hallar la recíproca de una función dada tanto gráfica como analíticamente en casos sencillos. Representar gráficamente los datos dados a través de enunciados, tablas o epresiones analíticas sencillas, eligiendo los ejes y la escala adecuada, así como el dominio en cada caso. Saber interpretar gráficas de funciones tanto algebraicas como debidas a problemas del mundo natural, geométrico y tecnológico y de los medios de comunicación, valorando la epresión y el vocabulario empleado en la presentación, verbal o por escrito, de algunas conclusiones obtenidas de la información recogida. Conocer los cambios geométricos que se producen en la gráfica de una función con transformaciones de tipo f ( ± k) y f ( k) Reconocer y saber representar las siguientes funciones: valor absoluto, polinómicas de y grado, proporcionalidad inversa, racionales sencillas, trigonométricas, eponenciales, logarítmicas y a trozos estimando los cambios gráficos que se producen al modificar una constante en la epresión algebraica. Analizar las propiedades globales de las funciones mediante el estudio de sus dominios, recorridos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos absolutos y relativos, periodicidad, simetrías y puntos de corte con los ejes. Reconocer sucesiones de números reales y obtener el término general. Comprender e interpretar gráficamente el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito 0 Calcular límites elementales del tipo +, y en sucesiones y funciones polinómicas y racionales. 0 Comprender e interpretar gráficamente el concepto de continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Hallar las asíntotas verticales y horizontales en una función. Saber estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo Reconocer los tipos de discontinuidad de: salto finito, infinito y evitable. Comprender e interpretar gráficamente el concepto de derivada de una función en un punto Calcular la derivada en un punto de una función polinómica o de proporcionalidad inversa así como su función derivada aplicando la definición. Conocer la función derivada de funciones elementales: polinómicas, trigonométricas, eponenciales y logarítmicas. Saber aplicar las reglas de la derivación: derivada de una suma, producto, cociente y de la compuesta de dos funciones. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones elementales: polinómicas, trigonométricas, eponenciales y logarítmicas estudiando el signo de su función derivada

3 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 PLAN DE REFUERZO PARA EL VERANO Con el fin de preparar el eamen de septiembre, este alumno debe repasar y profundizar en algunos conceptos y mejorar algunas destrezas, para lo que se le propone hacer durante el verano las actividades señaladas a continuación: Aritmética y Álgebra. El átomo de hidrogeno tiene una masa de,70 0 g. Suponiendo que el Sol estuviese compuesto de 7,9 0 átomos de hidrogeno, estima la masa del sol. Epresa el resultado en kilogramos y con notación científica con tres decimales. Realiza paso a paso la siguiente operación de valores absolutos: escribiendo el resultado en forma de fracción irreducible:. Escribe en forma de un único radical: a) + + d) 0 8 b) e) a a a a a. Racionaliza y simplifica: a) b) c) 7 + d) 7 +. Simplifica las siguiente operación racionalizando el resultado: a) 8 + b) 8 0. Simplifica: c) 7 7. Resuelve en el conjunto de los números complejos: 9z + z + 0 comprobando después que las soluciones obtenidas cumplen la ecuación dada. 8. Encuentra las cuatro raíces del polinomio: z + 8z + z z 0 9. Opera dando el resultado en primero en forma binómica y después en forma polar: 0. Dados los números complejos 0 º z a) z a) z + w b) z w c) w. Calcula: a) i b) i z y w º escribe en forma binómica y polar: escritas en forma polar. ( + i) i( i). Resuelve: a) log 9 b) log ( ) - c) log d) log 0 - e) log 8 log0 0 b) log( ) log log( ) c) log log + log. Resuelve: a) log 0. Resuelve utilizando logaritmos: a) 000 b) 0' c) ( ) 00. Desarrolla: a) ( ) b) ( ) c) ( + ). Descompón el polinomio P ( ) + en producto de factores simples. 7. Resuelve: a) + 0 b) c) 7 0

4 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 8. Opera y simplifica: 9 + : Resuelve la ecuación racional: Resuelve las ecuaciones irracionales: a) b) Cuántos litros de leche entera (% de materia grasa) ha de mezclarse con leche desnatada (% de materia grasa) para obtener 0 litros de leche semidesnatada (% de materia grasa)?. Un cajero automático contiene 9 billetes de 0, 0 y 0 euros que totalizan 000. Si el número de billetes de 0 es el doble que el número de billetes de 0, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.. Resuelve: ( ) ( ) epresando la solución en forma de intervalo. Resuelve el sistema de inecuaciones: +. Completa la siguiente tabla en la que se nombran intervalos de tres formas distintas. Los números reales mayores o iguales que pero estrictamente menores que 0 < 0 Los números reales menores que El entorno de centro 7 y radio [,0) < ( 0, 9). Simplifica: a) [,0) (,+ ) b) [,0) (,+ ) c) ((, + ) { } ) (,] Trigonometría 7. Convierte los siguientes ángulos de grados a radianes (en función de π) y de radianes a grados, minutos y segundos: º 70º π/ rad rad 8. Determina, sin usar la calculadora, el signo del seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos: a) 00º b) 87º c) π/ rad d) 9º e) -70º f) π/ rad 9. Con la ayuda de la calculadora busca el ángulo que cumpla la condición indicada y sitúalo aproimadamente sobre la circunferencia goniométrica. Escribe el resultado redondeado a grados. senα 0'7 70º < α < 0º cosα 0'890 80º < α < 70º tgα '870 80º < α < 70º senα 0' º < α < 80º senα 0'900 80º < α < 70º

5 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 0. Sin utilizar la calculadora y empleando eclusivamente las identidades trigonométricas, halla las restantes razones epresándolas en forma de fracción irreducible: a) sen α b) 9 α 8 tg c) cosα. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas con 0 < π : sen a) cos b) sen + cos 0 c) cot + + cos d) cos sec e) cos sen f) tg sec. Demuestra las siguientes identidades: sec a cos a α sen α α b) sen a tg a a) cos cos 8 0 cos eca c) sena + ctg a. En un triángulo isósceles el lado mayor mide 0cm. Resuélvelo sabiendo que hay un ángulo de 0º.. Dos individuos observan un globo que está situado entre ellos formando los tres un mismo plano vertical. La distancia entre los individuos es de km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son º y º respectivamente. Halla la altura del globo y su distancia a cada observador.. Halla la longitud de los restantes lados del triángulo del que se conocen: a cm. A º B 0º. Halla el área del triángulo del que se conocen: a cm. b cm. C º 7. Calcula el área de un pentágono regular de 0m de lado 8. Halla el área del triángulo obtusángulo ABC del dibujo: Vectores y Geometría Analítica r r 9. Dados los vectores a(, -) y b (, ) calcula para que: a) Sean paralelos b) Sean perpendiculares c) Formen un ángulo de 0º 0. Halla los dos vectores con módulo igual a que sean paralelos al vector (, -). A(-, ) B(0, -) y C(, ) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD. Halla las coordenadas de D.. Pertenece el punto P(-, ) a la recta + 7 y 9. Halla las siguientes rectas escribiendo su ecuación en la forma indicada: a) la recta en forma punto-pendiente que contiene al punto P(, ) y forma un ángulo de 0º respecto de la parte derecha del eje X b) la recta en forma general (implícita) que contiene a los puntos P(-, ) y Q(0, -) c) la recta en forma parámétrica que contiene al punto P(-, ) y es paralela al vector (-, ) d) la recta en forma eplícita que contiene al punto P(, ) y es paralela a la recta? y e) la recta en forma eplícita que contiene al punto P(, -) y es paralela a la bisectriz del º y º cuadrantes f) la recta en forma general (implícita) que contiene al punto P(-,) y es perpendicular al vector (-, )

6 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 g) la recta en forma continua que contiene al punto P(0, ) y es perpendicular a la recta. Halla: a) el ángulo determinado por los vectores (,) b r (, b) el ángulo agudo determinado por las rectas + y 0 a r y ) r y s y 0 c) los ángulos del triángulo de vértices A(-, ) B(, 7) y C(, -) + r y r. Halla: a) la distancia entre los puntos P(-, ) y Q(, -) b) la distancia del punto P(, ) a la recta c) la distancia entre las rectas paralelas 0 y r + y y s + y 0. Halla por intersección de las medianas, las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son: (-,) (,7) y (,-) 7. Halla el ortocentro del triángulo de vértices (-,-) (0,) y (,0) 8. Halla el circuncentro del triángulo de vértices (-,) (,) y (,-) 9. Halla el punto de la recta y más cercano al origen de coordenadas. 0. Halla el área del triángulo de vértices A(-,) B(,) y C(,-). Halla el punto simétrico de P(, -) respecto de la recta y Cónicas. Halla la ecuación de una circunferencia sabiendo que P(7, -0) y Q(-, ) son dos puntos diametralmente opuestos. Determina las características de la siguiente circunferencia: + y + y 0. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(,) B(-,) C(-,-). Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (,-) y pasa por el punto (,). Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (,0) y es tangente a la recta y Halla la ecuación de la circunferencia con centro sobre la recta + y y pasa por los puntos A(,) y B(-,) 8. Considere los puntos P del plano tales que disten del punto (, ) el triple de lo que distan del punto (-, ). Demuestre que el conjunto de todos estos puntos constituye una circunferencia y halle el centro y el radio de esta circunferencia. Análisis + 9. Halla la función recíproca de 0. Dadas las funciones. Halla el dominio de estas funciones: y g ( ) + escribe la epresión de la función compuesta f o g

7 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 a) b) ( ) + ( ) ( ) + f f) log( + ) j) tg f c) f g) 0 d) h) e) + + ( ) + f i). Halla los límites cuando tiende a los infinitos de las siguientes funciones, la parte no mostrada de las gráficas continúa la tendencia indicada: + +. Señala de entre las siguientes funciones aquellas que sean pares / impares: a) y b) y - ² c) y - ² d) y e) y ³ + ² f) y. Contesta las siguientes preguntas referidas a la siguiente función del gráfico, la parte que no se muestra continúa la tendencia indicada: Dominio Recorrido f ( ) f ( ) f ( ) f (0) f ( ) f () f ( + ) f () +.

8 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0. Contesta las siguientes preguntas referidas a la siguiente función a trozos y represéntala gráficamente: Dominio + si < si si > f ( ) f ( ) f ( ) f () f () + + Discontinuidades: 7. Estudia las discontinuidades de la siguiente función indicando en qué valores de se producen y sus tipos: 8. Halla los siguiente límites de la función: a) b) f ( - c) ) d) + e) 9. Halla: a) Lim 7 b) + 8 Lim c) d) Lim 70. En un aparcamiento público se cobra, por cada hora completa o fracción de hora. Como oferta, se cobra sólo a los que aparquen menos de media hora. Epresa en forma de función a trozos la correspondencia entre el tiempo t y la tarifa C(t) para 0< t <. Representa gráficamente dicha función. 7. Para el envío de cartas que no ecedan de 00g, el servicio de correos de un cierto país tiene las siguientes tarifas: Hasta 0 g de peso, se paga 0,, a partir de ese peso hay que sumarle 0,0 por cada gramo de eceso de peso. 7. Escribe la función a trozos que epresa la relación entre el peso de la carta y precio del envío y representa gráficamente la función 7. En el recibo de la luz nos cobran, mensuales por la potencia contratada y 0,098 por cada kilowatio-hora consumidos. 7. Calcula cuánto nos cobrarían un mes en el que hayamos consumido 9 Kwh. Si nos facturan 8,80, cuántos Kwh habríamos consumido ese mes?

9 IES Real Instituto Jovellanos de Gijón - Departamento de Matemáticas - Curso 0/0 7. La puntuación obtenida por un estudiante en un eamen depende del tiempo (t epresado en horas) que haya dedicado a su preparación en los siguientes términos: t Si 0 t p ( t) 0t Si t > t + 0 a) Comprueba que la función es continua b) Demuestra que la función p(t) es creciente en todo su dominio. c) Representa gráficamente la función p(t) d) Comprueba que si ha dedicado menos de horas su puntuación será inferior a puntos e) Justifica que la puntuación nunca podrá ser superior a 0 puntos 7. Estudia el dominio y las asíntotas de las funciones: a) 77. Estudia el dominio, las discontinuidades y esboza la gráfica de 78. Aplicando la definición de derivada estudia la derivabilidad de + b) + Si Si - < Si > en 79. Calcula la derivada de la función dada en cada caso, simplificando dentro de lo razonable: a) y ( )( ) + b) d) cos ( + ) ( ) y e y e) ( ) ln( ) f c) ( ) 7 f) y ( + ) 80. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones estudiando el signo de su función derivada: a) b) c) e d) ln ( + ) f