Modelos Matemáticos de Optimización

Transcripción

1 Modelos Matemáticos de Optimizació Begoña Vitoriao Villaueva Uiversidad Potificia Comillas

2 I. Ivestigació operativa y optimizació Historia: ANTES DE LA II GUERRA MUNDIAL Farkas, Mikowski,... (XIX); Markov (XIX), Erlag (20); Vo Neuma (30) DURANTE LA II GUERRA MUNDIAL 935 Radar, 937 Cooperació 938 Rowe: Operatioal Research: Bawdsey British Army Operatioal Group RAF,... DESPUES DE LA II GUERRA MUNDIAL Problemas Logísticos Sociedades: Orsa Datzig (Rad) Simple (947) Orsa, Tims (EEUU), España(962), a(962), Euro(975) (IFORS) Modelos Matemáticos de Optimizació -

3 I. Ivestigació operativa y optimizació Ivestigació Operativa: Es la aplicació, por grupos iterdiscipliarios, del método cietífico a los problemas compleos producidos e la direcció y gestió de grades sistemas de hombres, máquias,[...] La pricipal característica cosiste e costruir u modelo cietífico del sistema del cual se puede predecir y comparar los resultados de las diversas estrategias, decisioes,... El obetivo es ayudar a los resposables a determiar su política y actuacioes e forma cietífica. Tiee por obeto ayudar a decidir, mediate el método cietífico, el diseño que optimiza el fucioamieto de sistemas bao codicioes que suele implicar el uso de recursos escasos. Kaufma: So las matemáticas de la orgaizació Modelos Matemáticos de Optimizació - 2

4 I. Ivestigació operativa y optimizació Optimizació: Determiació de ua alterativa de decisió co la propiedad de ser meor que cualquier otra e algú setido a precisar Elemetos de u problema de optimizació: Fució obetivo: Medida cuatitativa del fucioamieto del sistema que se desea optimizar (maimizar o miimizar) Variables: Represeta las decisioes que se puede tomar para afectar el valor de la fució obetivo. Variables idepedietes Variables depedietes o de estado Restriccioes: Represeta el couto de relacioes (ecuacioes e iecuacioes) que las variables está obligadas a cumplir Resolver: Ecotrar valor de las variables que optimiza la fució obetivo y satisface todas las restriccioes. Modelos Matemáticos de Optimizació - 3

5 I. Ivestigació operativa y optimizació CLASIFICACIÓN N DE MÉTODOS M DE OPTIMIZACIÓN: a) Clásicos (programació matemática) tica) PROGRAMACIÓN LINEAL (LINEAR PROGRAMMING) LP T mic A = b 0, c, A, b m m PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA (MIXED INTEGER PROGRAMMING) MIP T T mic+ dy A + By = b y, 0 l l Z, y, c, d A, B, b m ml m PROGRAMACIÓN NO LINEAL (NON LINEAR PROGRAMMING) NLP m i f ( ) PROGRAMACIÓN MULTIOBJETIVO (multiobective programmig) b) Metaheurísticos (aproimació) (geéticos, recocido simulado, búsqueda b heurística) g ( ) = 0 h ( ) 0 l u f : g, h : m mi( f ( ),..., f ( )) A = b 0 k, c, A, b i m m f (): Modelos Matemáticos de Optimizació - 4

6 II. Modelos de optimizació Modelo: Esquema teórico, geeralmete e forma matemática, de u sistema o de ua realidad complea (por eemplo, la evolució ecoómica de u país), que se elabora para facilitar su compresió y el estudio de su comportamieto.(diccioario de la legua española. Real Academia Española.) Represetació precisa de ua realidad Herramieta de ayuda a la toma de decisioes Puede ivolucrar equipo multidiscipliar Modelador: especifica y desarrolla el modelo Eperto: cooce el problema real Modelos Matemáticos de Optimizació - 5

7 II. Modelos de optimizació MODELADO : Ciecia Aálisis y detecció de relacioes etre datos Suposicioes y aproimacioes a los problemas Algoritmos específicos de solució Arte Visió o iterpretació de la realidad Estilo e modelo y documetació Elegacia y simplicidad e desarrollo Uso creativo de herramietas Modelos Matemáticos de Optimizació - 6

8 II. Modelos de optimizació ETAPAS EN EL DESARROLLO DE UN MODELO :. Idetificació del problema 2. Especificació matemática tica y formulació 3. Resolució 4. Verificació, validació y refiamieto 5. Iterpretació y aálisis de resultados 6. Uso etesivo Modelos Matemáticos de Optimizació - 7

9 II. Modelos de optimizació. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA Recolecció de iformació relevate Defiició del problema e térmios t vagos Iterpretació y traducció a térmios t precisos Datos so vitales, suele ser cuello de botella Etapa fudametal para que decisioes sea útiles Modelos Matemáticos de Optimizació - 8

10 II. Modelos de optimizació 2. ESPECIFICACIÓN N MATEMÁTICA TICA Y FORMULACIÓN Defiició de variables, ecuacioes, fució obetivo, parámetros Aálisis de tamaño y estructura del problema Idetificació de tipo de problema (LP, MIP, NLP,...) Éfasis e precisió y belleza e la formulació Tipos de problemas LP segú su tamaño Restriccioes Variables Caso eemplo Tamaño medio Gra tamaño Muy gra tamaño > > Modelos Matemáticos de Optimizació - 9

11 II. Modelos de optimizació 3. RESOLUCIÓN Algoritmo de obteció de solució óptima, satisfactoria,... Diferetes métodos m de solució Diferetes implatacioes del algoritmo elegido 4. VERIFICACIÓN, VALIDACIÓN N Y REFINAMIENTO Elimiació de errores e codificació Comprobació validez de simplificacioes adoptadas Comprobació de adaptació a la realidad Ampliació e el modelado por uevas ecesidades Modelos Matemáticos de Optimizació - 0

12 II. Modelos de optimizació 5. INTERPRETACIÓN N Y ANÁLISIS DE RESULTADOS Aálisis de sesibilidad e parámetros de etrada Robustez de la solució óptima Detecció de solucioes cuasióptimas atractivas 6. USO EXTENSIVO Etapa fudametal para el éito de u modelo Documetació clara, precisa y completa Maual especificació fucioal, matemática e iformática Formació de posibles usuarios Modelos Matemáticos de Optimizació -

13 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE TRANSPORTE Miimizar el coste total de trasporte de u producto desde uos orígees a uos destios, satisfaciedo la demada de cada destio si superar la oferta dispoible e cada orige. Se supoe todos los orígees coectados co todos los destios a b a b 2 i oferta e el orige, demada e el destio ci coste uitario de trasporte desde el orige i al destio Cómo satisfacer la demada si superar la oferta co míimo coste? a m m b a i b Modelos Matemáticos de Optimizació - 2

14 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE TRANSPORTE (Solució): i :catidad trasportada de orige i a destio mi i = m i= i m i= = i i,,m = b =,, i 0 i, i c i a i = Matriz TU (sol. lieal es etera): m m2 m m 2 Modelos Matemáticos de Optimizació - 3

15 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE TRANSBORDO: Llevar u producto desde orígees a destios co putos itermedios e ua red de N odos co míimo coste Cada odo i uidades ( b i = 0): i b i > 0 odo orige b odo destio i < 0 b odo trasbordo (i geera i cosume) i = 0 coste uitario de trasporte de odo i a odo c i Solució: b i : catidad a trasportar de odo i a odo i mi i i= = = b i =,, i i i = = i 0 i, Modelos Matemáticos de Optimizació - 4 c i i

16 III. Formulació de problemas de optimizació i PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Asigar la realizació de N tareas a N persoas (máquias, etc.). c i coste de realizar la tarea i por la persoa Obetivo: Miimizar el coste total de realizar las tareas sueto a cada tarea debe ser hecha por ua sola persoa cada persoa debe realizar ua úica tarea. si se asiga la tarea i a la persoa = i, 0 e cualquier otro caso mi c i= = { 0, } Modelos Matemáticos de Optimizació - 5 i = i = i i = i =,, i = =,, i i

17 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE LA MOCHILA (KNAPSACK): Maimizar el valor total de la elecció de u couto de proyectos. Si sobrepasar el presupuesto dispoible b c v coste de cada proyecto valor de cada proyecto si se realiza el proyecto = 0 e cualquier otro caso ma = c = v { 0,} b Modelos Matemáticos de Optimizació - 6

18 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE RECUBRIMIENTO (set coverig): Eiste m características y combiacioes (subcoutos) de características. La elecció de ua combiació implica realizar todas sus características. Seleccioar combiacioes de modo que se cubra (posea) cada característica al meos ua vez co el míimo coste Datos: Matriz de perteecia: si caracteristica i icluida e combiacio ai = 0 si o esta icluida c coste de la combiació si se elige la combiació = 0 e cualquier otro caso mi = = a i=,, m i c { 0,} Modelos Matemáticos de Optimizació - 7

19 III. Formulació de problemas de optimizació Eemplo: Asigació de tripulacioes Ua compañía aérea asigar tripulacioes para cubrir sus vuelos 2 secuecias factibles de vuelos para ua tripulació Se permite más de ua tripulació e u vuelo, dode la/s tripulació/es etra viaa como pasaeros, (por coveio laboral la tripulació etra cobra como si estuviera trabaado) El coste de asigació de ua tripulació a cada secuecia de vuelos se da e la última fila e uidades apropiadas Obetivo: miimizar coste total de asigació para cubrir todos los vuelos Resolver el mismo problema si o se permite más de ua tripulació por vuelo Modelos Matemáticos de Optimizació - 8

20 III. Formulació de problemas de optimizació S ECUENCIAS FACTIBLES SF LA SF DENVER SF SEATTLE LA CHICAGO LA SF C HICAGO DENVER C HICAGO SEATTLE D ENVER SF D ENVER CHICAGO S EATTLE SF S EATTLE LA C OSTE Números: orde del vuelo e la secuecia Modelos Matemáticos de Optimizació - 9

21 III. Formulació de problemas de optimizació si se elige la secuecia = 0 e cualquier otro caso mi Solucioes optimas (coste 8): = = = resto = = = 5 2 resto 0 Si o se permite repetició las desigualdades tedría que ser igualdades Modelos Matemáticos de Optimizació - 20

22 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE EMPAQUETADO (set packig): m proyectos agrupados e lotes Elegir u lote implica realizar todos los proyectos icluidos e él c beeficio de elegir el lote Matriz de perteecia del proyecto i al lote si i perteece a a = i 0 si o perteece Maimizar el beeficio total de maera que cada proyecto o puede ser elegido más de ua vez si se elige el lote = 0 e otro caso ma = = a i=,, m i c { 0,} Modelos Matemáticos de Optimizació - 2

23 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE LA PARTICIÓN: Similar a los problemas ateriores ecepto e que eactamete ua característica (proyecto) del couto de combiacioes (lotes) que la cotiee debe ser elegida. mi o ma = { 0,} = a = i =,, m i c Modelos Matemáticos de Optimizació - 22

24 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DEL VIAJANTE (TSP): Hacer u recorrido que pase por N ciudades si repetir igua y volviedo a la ciudad de partida de maera que la distacia (coste) total sea míima. Uo de los más importates e programació matemática Muchas formulacioes coocidas para él, ver Williams (999) c i i distacia (coste) etre ciudad i y ciudad Formulació (clásica): si se va de la ciudad i a la ciudad = i mi c 0 e otro caso i i i, U i i i i = = i i Card( U) U {,..., } 2 Card( U) 2 i { 0,} Modelos Matemáticos de Optimizació - 23

25 III. Formulació de problemas de optimizació ik Formulació 2: si se va de la ciudad i a la ciudad e el tramo k de recorrido = 0 e otro caso mi c ik k, ik, k, i ik ik,, ik ik ik i = i = = k =, k ik { 0,} ik i ik + Modelos Matemáticos de Optimizació - 24

26 III. Formulació de problemas de optimizació Eemplo: secueciació de trabaos e ua máquia Ua máquia y 5 trabaos que hay que realizar e ella. Tiempos eecució: TR TR2 TR3 TR4 TR Tiempos de auste (set-up) pasar de eecutar trabao i a trabao TR TR2 TR3 TR4 TR5 TR TR TR TR TR Platear el problema para determiar cuál es el meor tiempo posible para completar los 5 trabaos y cómo hacerlo. Es u ciclo de trabao cerrado, se repite y vuelve a comezar. Cómo se haría para u ciclo de trabao abierto? Modelos Matemáticos de Optimizació - 25

27 III. Formulació de problemas de optimizació PROBLEMA DE COSTE FIJO: Coste co u térmio fio si la variable toma u valor estrictamete positivo f f ( ) 0 = 0 = k c 0 + > k c Variable auiliar biaria: y > 0 = 0 = 0, y ( ) mi f ( ) = k y + c = = My Modelos Matemáticos de Optimizació - 26

28 III. Formulació de problemas de optimizació Eemplo: Asigació de grupos térmicos Grupos térmicos a acoplar e cada hora del día (semaa) tal que: Datos: Miimizar costes de geeració: costes combustible, arraque, parada Se sumiistre la demada e cada hora Se matega u cierto ivel de reserva rodate Se respete parámetros (míimos técicos, rampas subida y baada) Dh demada térmica e la hora h [MW] R ivel de reserva rodate co respecto a la demada [p.u.] a t térmio lieal coste combustible del grupo térmico t [ /MWh] b t térmio fio del coste de combustible del grupo térmico t [ /h] ca t coste de arraque del grupo térmico t [ ] cp coste de parada del grupo térmico t [ ] t P t potecia máima del grupo térmico t [MW] P t potecia míima del grupo térmico t [MW] rs t rampa de subida del grupo térmico t [MW/h] rb rampa de baada del grupo térmico t [MW/h] t Modelos Matemáticos de Optimizació - 27

29 III. Formulació de problemas de optimizació Variables P ht potecia producida por el grupo térmico t e la hora h [MW] A ht acoplamieto del grupo térmico t e la hora h [0,] AR arraque del grupo térmico t e la hora h [0,] ht PR parada del grupo térmico t e la hora h [0,] ht mi s.a. T P = D ht h h t= T ( PA P ) = RD t ht ht h h t= ht ht ht t H T ( a P + b A + ca AR + cp PR t ht t ht t ht t ht ) h= t= Satisfacer demada Nivel de reserva rodate PA P AP t ht, Míimos, máimos técicos de cada grupo A A = AR PR, ht h t ht ht ht h t t ht Acoplamietos, arraques y paradas P P rs ht, Rampa de subida P P rb h t ht t ht, Rampa de baada P 0 A, AR, PR { 0,} Carácter de variables ht ht ht ht Modelos Matemáticos de Optimizació - 28

30 III. Formulació de problemas de optimizació MODELADO DE RESTRICCIONES ESPECIALES: DISYUNCIÓN: de 2 restriccioes al meos ua debe darse.debe cumplirse ua, o ecesariamete las dos: f ( ) 0 ó g ( ) 0 Modelo lieal: obliga a g ( ) 0 y relaa la otra Variable biaria δ = 0 obliga a f ( ) 0 y relaa la otra Restriccioes: f ( ) Mδ δ { 0,} g ( ) M2( δ ) My 3 equivale o y { 0,} M2( y) IMPLICACIÓN: si se da ua codició obligatoriamete ha de darse la otra f ( ) > 0 g( ) 0 Equivale a disyució ( ( A B) ( oa o B) ): f ( ) 0 o g( ) 0 Modelos Matemáticos de Optimizació - 29

31 III. Formulació de problemas de optimizació MODELADO DE RESTRICCIONES ESPECIALES: CUMPLIR K DE N ECUACIONES: de N ecuacioes se ha de cumplir al meos K, siedo K<N. f (,, ) 0 M f(,, ) My N f (,, ) 0 2 M f 2 2(,, ) M2y2 yi = N k i= yi { 0,} f (,, ) 0 N M f ( N N,, ) MNyN SELECCIONAR ENTRE N VALORES: Ua ecuació co múltiples posibles cotas (RHS). d d f (,, ) = d 2 N f (,, ) = dy N i= N i i i= y = i y { 0,} i =,, N i Modelos Matemáticos de Optimizació - 30

32 III. Formulació de problemas de optimizació MODELADO DE RESTRICCIONES LÓGICAS: P Q No P o Q P (Q y R) (P Q) y (P R) P (Q o R) (P Q) o (P R) (P y Q) R (P R) o (Q R) (P o Q) R (P R) y (Q R) o (P o Q) o (P y Q) o P y o Q o P o o Q Modelos Matemáticos de Optimizació - 3

33 III. Formulació de problemas de optimizació MODELADO EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL: Problemas de producció co elasticidad e los precios y/o costes Precios elásticos: catidad se puede veder relació iversa precio p() precio uitario de veta para poder veder uidades. Decreciete y o iferior al coste uitario de producció, c. (Típico, costate a tramos) Afecta a la fució obetivo. Marge de cotribució de la empresa: P () = (() p c ) Costes producció: decrecietes (curva de apredizae) o crecietes (tiempo etra). Afecta a f. obetivo y restriccioes (presupuesto) Problema de trasporte co descuetos por volume Descuetos por catidad: Fució coste uitaria escaloada, o creciete Coste de embarcar uidades: poligoal, cotiua, co pediete el m coste uitario e cada tramo. Agregar: f ( ) C ( ) = i= = i Modelos Matemáticos de Optimizació - 32 i

34 III. Formulació de problemas de optimizació MODELADO EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL: Selecció de ua cartera de iversioes Redimieto esperado y riesgo asociado a la iversió. Accioes tipo : redimieto esperado b µ σ σ i p variaza del redimieto covariaza del redimieto de las tipo i y las precio uitario por acció Presupuesto dispoible X catidad de accioes de tipo a icluir e la cartera Plateamieto típico: ma fx ( ) = RX ( ) β VX ( ) = µ X β σ XX = 0, =,..., P B i i = i= = ( factor aversió al riesgo) Modelos Matemáticos de Optimizació - 33 β

35 IV. Codificació de problemas de optimizació LENGUAJES DE MODELADO Leguaes de programació de propósito geeral (C, FORTRAN, Visual Basic, C++) Leguaes o etoros de cálculo umérico o simbólico (hoas de cálculo, Matlab, Mathematica) Programas para problemas pequeños (QSB, ORSTAT, LPSolve,...) Leguaes algebraicos de modelado (GAMS, AMPL, XPRESS-MP, OPL, ECLIPSE, ILOG-Cocert) LENGUAJES ALGEBRAICOS DE MODELADO Leguaes de alto ivel diseñados para el desarrollo e implatació de modelos de optimizació de forma directa Modelos Matemáticos de Optimizació - 34

36 IV. Codificació de problemas de optimizació VENTAJAS LENGUAJES ALGEBRAICOS: Formulació compacta modelos grades y compleos Facilita desarrollo de prototipos Meora productividad de modeladores Estructura bueos hábitos de modelado Separa datos de estructura y de optimizadores Formulació idepediete del tamaño Modelo idepediete de optimizadores Facilita reformulació cotiua Documetació simultáea al modelo Permite implatació de algoritmos avazados Portabilidad etre plataformas y sistemas operativos Modelos Matemáticos de Optimizació - 35

37 IV. Codificació de problemas de optimizació DESVENTAJAS LENGUAJES ALGEBRAICOS: No so adecuados para usos esporádicos co problemas de pequeño tamaño No so adecuados para resolució directa problemas de tamaño gigatesco Puede ser meos eficiete e tiempo y memoria requeridos Modelos Matemáticos de Optimizació - 36

38 IV. Codificació de problemas de optimizació MODELADO EN GAMS Estructura geeral de u modelo de optimizació e GAMS Declaració de sets y parámetros Variables Ecuacioes Modelo Iclusió y maipulació de datos de etrada Acotació e iicializació de variables Resolució del problema Lectura y presetació de resultados TIEMPO DE EJECUCIÓN DE MODELOS EN GAMS tiempo de creació formulació del problema específico tiempo de iterfaz comuicació etre leguae GAMS y optimizador tiempo de optimizació resolució del problema por el optimizador Modelos Matemáticos de Optimizació - 37

39 IV. Codificació de problemas de optimizació EJEMPLO DE TRANSPORTE: Fábricas de evasado i. Mercados de cosumo. a i : capacidad máima de producció de caas e i. b : catidad de caas demadadas e mercado. c i : coste de trasporte de cada caa de plata i a mercado. Satisfacer la demada de cada mercado a míimo coste. Variables: i : catidad de caas eviadas de plata i a mercado Restriccioes: Límite de capacidad de producció de cada fábrica Satisfacció de la demada de cada mercado Fució obetivo: ci i i mi i Modelos Matemáticos de Optimizació - 38 i a i i i b i