Simulación de Sistemas Lineales Utilizando Labview

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1 14 Simulació de Sistemas Lieales Utilizado Labview Bruo Vargas Tamai Facultad de Igeiería electróica Eléctrica, Uiversidad Nacioal Mayor de Sa Marcos, Lima, Perú RESUMEN: Mostramos la maera e que se puede utilizar el leguaje de programació LabView de Natioal Istrumets, para la simulació de sistemas lieales. Se justifica uméricamete los algoritmos a utilizar para poder lograr mediate u sistema discreto obteer respuestas covergetes al de u sistema cotiuo. Se describe la estrategia para programar sistemas de primer orde y de segudo orde. Se mostrará los paeles de cotrol (o iterfase usuario), así como los diagramas de los sistemas diseñados. ABSTRACT: We show how to use the programmig laguage from Natioal Istrumets LabView, for the simulatio of liear systems. It justifies usig umerical algorithms to achieve through a uobtrusive system aswers covergig to a cotiuous system. It describes the strategy for schedulig systems of the first order ad secod order. There will be show the cotrol paels (or user iterface), as well as diagrams of the desiged systems. PALABRAS CLAVES: simulació, LabView, pael, diagrama, muestreo, itegració. I. INTRODUCCIÓN Los sistemas lieales represeta la base para el diseño de cotroladores de procesos, para su posterior implemetació. Co LabView podemos costruir y probar el cotrolador iteractuado directamete co el proceso; si embargo luego del diseño del cotrolador, la verificació del desempeño del sistema de lazo cerrado o se puede realizar directamete por la falta de herramietas para represetar los modelos que represeta a los procesos. Si embargo LabView os ofrece todas las vetajas de u leguaje de programació y podemos costruir uestros modelos co LabView, para poder simular sistemas de lazo cerrado [1], []. Nuestro objetivo es lograr simular e LabView las respuestas a excitacioes coocidas como la señal tipo escaló, de los sistemas lieales básicos, como lo so los sistemas de primer y segudo orde. A partir de estos sistemas, como es sabido podemos obteer represetacioes lieales de cualquier orde. Como LabView permite la implemetació del cotrolador, podríamos verificar el comportamieto del sistema de lazo cerrado a ivel de simulació, utilizado los modelos de los procesos a cotrolar; e esa etapa obtedremos coclusioes respecto a los resultados a esperar e la realidad, teiedo la oportuidad de realizar ajustes del cotrolador de ser ecesarios. Para ese fi ecesitamos establecer ua estrategia de programació que os permita obteer respuestas del sistema cotiuo, mediate la covergecia de u sistema discreto aproximado. Justificaremos previamete esa estrategia, para luego describir como se implemetó co LabView la simulació de los sistemas lieales básicos. II. SISTEMAS DISCRETOS EQUIVALENTES SISTEMAS CONTINUOS La simulació de sistemas cotiuos al realizarse e computadoras (de operació discreta), requiere que esto se realice mediate u algoritmo discreto, co lo cual e realidad lo que tratamos es el de lograr ua buea aproximació de u sistema discreto al sistema cotiuo al cual trata de represetar. Iiciaremos el plateamieto de tal aproximació, a partir de u sistema de primer orde. ELECTRÓNICA UNMSM N.º 0, diciembre de 007

2 15 A. Sistema de Primer Orde U sistema de primer orde, se represeta mediate su fució de trasferecia G ( : Y( K G( U( s 1 (1) dode y ( es la salida del sistema y Y ( es su trasformada de Laplace, asimismo u ( es la etrada del sistema y U ( es su trasformada de Laplace; K es la gaacia del sistema y es la costate de tiempo del sistema. A partir de (1), podemos obteer el modelo temporal del sistema, dado por: 1 K u( () Segú (), podríamos coocer la derivada de la salida a partir del valor actual de salida y de la etrada, así teemos que : 1 ( Ku( ) (3) El resultado (3) es muy importate pues os permitirá coocer la proyecció de la salida e los istates siguietes. Ua aproximació discreta del sigificado de la derivada sería : dy y( k 1) k y ) (4) dode y ( es la derivada de la salida e el istate de muestreo k, y ( es la salida del sistema e el istate de muestreo k, y ( k 1) es la salida del sistema e el istate de muestreo k 1 (siguiete muestra), y es tiempo lo suficietemete pequeño de tal maera que permita la aproximació (4). El tiempo, se covierte luego de ser determiado adecuadamete e el período de muestreo T del sistema, para su aproximació discreta. Si aceptamos la aproximació (4), etoces sigifica que si coocemos la derivada de la salida e el istate de muestreo k, etoces podremos coocer la salida del sistema e el istate de muestreo k 1, utilizado: y( k 1) y (5) La obteció de y ( e el istate de muestreo k, se realiza a partir de (3), segú : dy 1 y ( Ku( ) (6) Las ecuacioes (5) y (6) so las que permite lograr implemetar u programa de simulació de u sistema cotiuo de primer orde. La seguda os permite coocer la derivada de la salida co la iformació actual de etrada y salida; y la primera os permite coocer la salida e el siguiete istate de muestreo. Estas relacioes so las que se implemetará mediate u programa e LabView para la simulació de u sistema de primer orde. 1).- Sistema de Segudo Orde U sistema de segudo orde, se represeta mediate su fució de trasferecia G ( : Y( K G( (7) U( s s dode K es la gaacia del sistema, es el factor de amortiguamieto del sistema, y es la frecuecia atural o amortiguada del sistema. Segú (7), le correspode u modelo temporal dado por: d y( y( K u( (8) Segú (8), la seguda derivada temporal de la salida, se puede coocer a partir de la primera derivada de la salida y a partir del valor actual de salida y de la etrada, así teemos que : d y( ( Ku( y( ) (9) Ua aproximació discreta de la seguda derivada temporal de la salida sería : d y y y ( k 1) y (10) ELECTRÓNICA UNMSM N.º 0, diciembre de 007

3 16 dode y (k ) es la seguda derivada de la salida e el istate de muestreo k, y ( es la primera derivada de la salida del sistema e el istate de muestreo k, y ( k 1) es la primera derivada de la salida del sistema e el istate de muestreo k 1, y es tiempo lo suficietemete pequeño de tal maera que permita la aproximació (10). usuario) así como los diagramas de programació de los sistemas diseñados. A. Sistema de Primer Orde Mostramos e la figura 1, el pael de cotrol a través del cual podemos obteer la simulació de u sistema de primer orde para ua señal escaló. Coocida la seguda derivada e el istate de istate de muestreo k ; a partir de (10) podemos ecotrar la primera derivada e el istate de muestreo k : y y ( k 1) (11) Ahora aplicado (5) podremos coocer la salida del sistema e el istate de muestreo k 1, utilizado : y( k 1) y (1) La obteció de y (k ) e el istate de muestreo k, se realiza a partir de (9), segú : d y dy y ( Ku( y( ) (13) Las ecuacioes (11), (1) y (13), permite diseñar u algoritmo para la simulació de u sistema cotiuo de segudo orde. La tercera calcula la seguda derivada de la salida co la iformació de la primera derivada de la salida actual y de la etrada y salida actual; la primera os permite coocer la primera derivada de la salida actual co la iformació de la seguda derivada de la salida actual y la primera derivada de la salida del sistema e el istate de muestreo aterior; y la seguda os permite coocer la salida e el siguiete istate de muestreo. Estas ecuacioes será utilizadas para programar co Labview la simulació de u sistema de segudo orde. III. PROGRAMAS DE SIMULACIÓN CON LABVIEW Mostramos a cotiuació los programas desarrollados utilizado el leguaje de programació gráfica, LabView de Natioal Istrumets versió 6.0, que os permite simular sistemas de primer y segudo orde. Se muestra los paeles de cotrol (o iterfase Fig. 1. Pael para la simulació de u sistema de primer orde. Este pael de cotrol, os permite igresar las parámetros del sistema, como so la gaacia del sistema como su costate de tiempo. Podemos además ajustar el valor de la amplitud del escaló, el valor iicial de salida, el tiempo fial de simulació, como el período de muestreo de simulació. El programa muestra e u presetador gráfico el resultado de la simulació y e u cotrol el valor istatáeo de la salida. La figura, muestra el diagrama de programació para la simulació del sistema de primer orde. ELECTRÓNICA UNMSM N.º 0, diciembre de 007

4 17 Fig,. Diagrama de programació para la simulació del sistema de primer orde. B. Sistema de Segudo Orde Mostramos e la figura 3, el pael de cotrol para la simulació de u sistema de segudo orde del tipo subamortiguado para ua señal escaló. Se debe igresar los parámetros del sistema, como so la gaacia, el factor de amortiguamieto y la frecuecia atural o amortiguada del sistema. Tambié podemos ajustar la amplitud del escaló, el valor iicial de salida, el tiempo fial de simulació, como el período de muestreo de simulació. E u presetador gráfico se obtiee el resultado de la simulació y e u cotrol el valor istatáeo de la salida. La figura 4, muestra el diagrama de programació para la simulació del sistema de segudo orde. La figura 5, muestra el pael de cotrol de simulació de u sistema de segudo orde del tipo sobreamortiguado para ua señal escaló. La figura 6, muestra el pael de cotrol de simulació de u sistema de segudo orde del tipo oscilatorio para ua señal escaló. Fig, 3. Pael para la simulació de u sistema de segudo orde subamortiguado. C. Aplicació: Simulació de la respuesta del ivel de u taque Los sistemas cotiuos simulados puede servir de base para obteer la respuesta de sistemas de físicos que represeta por ejemplos platas de procesos, las cuales requiere ser simulados para posteriormete comprobar el diseño de sus cotroladores. La figura 7, muestra el pael de cotrol para la simulació de la respuesta de ivel de u taque. Se puede igresar los parámetros del taque, flujo de etrada, tiempo de muestreo y el tiempo de simulació. El resultado de la variació del ivel se muestra e u presetador gráfico y e u cotrol tipo taque dispoible e LabView. E la figura 8 se muestra el diagrama de programació para obteer la simulació de la respuesta de ivel del taque. Como se observa, se ha utilizado la librería de programació de secuecias como ua variació respecto a los diagramas ateriores; e la figura 9, se muestra la secuecia para el maejo del período de muestreo. ELECTRÓNICA UNMSM N.º 0, diciembre de 007

5 18 Fig, 4. Diagrama de programació para la simulació del sistema de segudo orde. Fig, 6. Pael para la simulació de u sistema de segudo orde oscilatorio. Fig, 5. Pael para la simulació de u sistema de segudo orde sobreamortiguado. Fig,7. Pael para la simulació de la respuesta de ivel de u taque. ELECTRÓNICA UNMSM N.º 0, diciembre de 007

6 19 IV. CONCLUSIONES El leguaje de programació gráfica LabView, ha sido diseñado para la implemetació de sistemas de istrumetació, permitiedo coectarse co dispositivos exteros a través de librerías fáciles de cofigurar. Además, co LabView podemos programar modelos de sistemas lieales, los cuales so básicos para verificar uestros diseños de cotroladores lieales, los cuales so geeralmete utilizados e el cotrol de procesos. Es muy importate la elecció del período de muestreo para lograr ua buea simulació de sistemas lieales cotiuos, mediate algoritmos discretos. Fig, 8. Diagrama de programació para la simulació de la respuesta de ivel de u taque. Los sistemas de primer y segudo orde, so los sistemas elemetales a partir de los cuales se puede obteer sistemas de mayor orde, estos sistemas ha sido programados y mediate su adecuada combiació se puede simular sistemas de mayor orde. REFERENCIAS [1] Mauel Atoi, Biel Domigo, Olivé Joaquí, Prat Jordi, Sáchez Fracesc. Istrumetació Virtual. Alfaomega 00. [] Mauel Atoi. LabView. Programació Gráfica para el Cotrol de Istrumetació. ITP Paraifo Fig. 9. Secuecia para programar el cotrol del período de muestreo. ELECTRÓNICA UNMSM N.º 0, diciembre de 007