N = p1 p2 p si, y sólo si, arm

Transcripción

1 Números AROLMAR 1. Itroducció 1.1 Defiició de los úmeros Arolmar U úmero Arolmar es el producto de dos o más úmeros primos semicosecutivos que tiee la propiedad de que la media aritmética de dichos factores es otro úmero primo. So libres de cuadrados, ya que sus factores primos so distitos, y es la represetació más pequeña, por lo que los primeros factores debe ser los primeros primos cosecutivos. U úmero será Arolmar y se deotará como... N = p1 p p si, y sólo si, p1 + p p Mp = = w, w P. 1. Orige y primeros desarrollos arm Co fecha 3 de febrero de 011, el profesor de matemáticas jubilado do Atoio Roldá Martíez, publicó e su blog la secuecia 1,33,57,69,85,93,105,19,133,145,177,195,... y ua preguta: sabes qué propiedades comparte estos úmeros? La respuesta la cotesta él mismo: Tiee todos sus factores primos distitos, so úmeros libres de cuadrados, y el promedio de esos factores es u úmero primo. Co fecha 4 de marzo de 011, aparece la secuecia OEIS A187073, que queda registrada como Co fecha 10 de marzo de 011, y a través de web propiedad del profesor Roldá Martíez, aparece publicada e Facebook, dode se preseta varios ejemplos sobre las características de estos úmeros, que cotiúa e días sucesivos, ya que su estructura ha despertado gra iterés etre los etedidos e la materia. La versatilidad de estos úmeros se poe de maifiesto al tratar de aplicar sus características al úmero 011, que tambié es primo. Aú limitado el producto y suma a ueve cifras, los úmeros ecesarios crece de ua maera desorbitada, lo que hace imposible su búsqueda mediate la secuecia A187073, por lo que les hace idóeos para los cifrados e criptosistemas. TABLA I Represetació del 011 factores primos media suma producto

2 . Secuecia A y los úmeros Arolmar.1 La secuecia A E la iformació que os ha llegado del profesor Roldá Martíez, a través de distitos medios, la secuecia recoge la catidad míima e que puede ser represetado u úmero como producto y media aritmética de dos o más factores primos. E este setido, la secuecia A recoge este pricipio, pero tambié aparece otros que, o siedo míimos, sí se ajusta a las características requeridas. Esta visió queda mucho más patete cuado la secuecia se cotempla desde el puto de vista de la media aritmética y o desde el producto. Si p es u úmero primo, que es media aritmética de dos o más factores, y k la catidad de dichos factores, etoces p 3p kp q1 + q q1 + q + q3 q1 + q + q q p = = = = = = k 3 k 3 k. Los úmeros Arolmar Por la Cojetura de Goldbach, sabemos que u úmero puede ser descompuesto e suma de úmeros primos, co distita combiacioes, depediedo de la catidad de que se trate. La mayor dispersió etre los primos os llevará a u úmero míimo e su producto, siedo el resto de productos meras represetacioes como asociados. Por ejemplo, para el úmero primo 41, teemos: = = = = = = = = que sería las represetacioes míimas. Los úmeros Arolmar geerados, resulta ser 3 79=37; =373; =15645; =06745 Estos debe ser los verdaderos úmeros primos Arolmar. Pero hay otras represetacioes del úmero 41 a las que llamaremos asociados, así 8 = = = Asociados : 781, 1357, = = = = = = = = Asociados : 615, 9373, 517, 31837, 3453, 4997, 47357, = = = = = = = = = Asociados : 6345, , , , 97161, , , 861, = = = = = = = = = Asociados : , , , , , , , ,

3 Todos estos úmeros perteece a la secuecia A187073, pero o so úmeros primos Arolmar, tal vez asociados? eteros asociados?..3 Represetació de los úmeros primos como úmeros Arolmar Para fijar ideas, vamos a calcular las represetacioes de los úmeros primos compredidos etre 5 P 103, co k =. Números Arolmar P q 1 TABLA II, Números primos del 5 al 103 Números asociados q P Represetacioes de kp Números idóeos e los criptosistemas 3.1 Estudio prelimiar E el año 1997 los profesores Thomas W. Cusick, de la Uiversidad de Búfalo e USA; Cusheg Dig, de la Uiversidad de Hog Kog e Chia, y Ari Revall, de la Uiversidad de Turku e Filadia, participaro e u proyecto sobre cuáles sería las características de los úmeros para ser utilizados e criptosistemas. De este proyecto salió u libro deomiado Stream Ciphers ad Number Theory, publicado e 004 co ISBN: X. Las coclusioes fuero de que ciertos úmeros primos preseta ua meor vulerabilidad a los ataques a mesajes cifrados que otros. Auque so muchos, alguos de estos primos los recogemos e los apartados siguietes. 3. Primos Fuertes U úmero Fuerte es u úmero primo que es mayor que la media aritmética de sus P 1 + P + primos predecesor y atecesor, que podemos represetar como P 1 f = P >. Por ejemplo, 499 es u primo Fuerte ya que 499>((491-1)+(503+1))/ = 499 > 497. Alguo primos co estas características se puede ecotrar e A051634:

4 U úmero primo p es primo Fuerte si satisface las siguietes codicioes: p 1 = aq, o bie p 1( mód. q), dode a es u etero y q u primo grade. q 1 = br, o bie q 1( mód. r), dode b es u etero y r u primo grade. p + 1 = cs, o bie p 1( mód. s), dode c es u etero y s u primo grade. Por ejemplo, el úmero 77 es u primo Fuerte, ya que 1) 77 1 = 1 3, ) 3 1 = 11, 3) = 139 Tambié se cumple de forma modular, ya que 1) 77 1( mód.3), ) 3 1( mód.11) 3), 77 1( mód.139) Se geera tres úmeros primos (77,139,3) que puede ser combiació, dos a dos, de ua clave RSA. 3.3 Primos Bueos U primo Bueo es u úmero primo cuyo cuadrado es mayor que el producto de dos úmeros primos e el mismo úmero de posicioes ates y después de que e la secuecia de úmeros primos. U primo Bueo satisface la desigualdad P > P P co 1 i i y ( i) ( + i) dode P es el eésimo primo. Por ejemplo, el 37 es u primo Bueo, ya que P > P 1 P + 1 = 37 > 31 41= 1369 > 171. Alguos primos co estas características se puede ecotrar e A8388: Primos Equilibrados U úmero primo Equilibrado es igual a la media aritmética de sus primos predecesor P 1 + P + y sucesor. Satisface la igualdad P 1 e =. Por ejemplo, el úmero 57 es u primo Equilibrado, ya que (51+ 63) = 514 = 57. Alguos primos co estas características los po- demos ecotrar e A00656: Primos Débiles Por su alta vulerabilidad se cosidera primos Débiles para la criptografía a los que P 1 + P + tiee la forma P 1 d = P <. Por ejemplo, 109 es u úmero débil ya que 109 < ( ) = 109 < 110. Alguos primos co estas características se puede ecotrar e A051635: 4

5 Primos de Sophie Germai Los primos de Sophie Germai so de la forma Psg = { p, p + 1} dode ambos resulta ser primos. Por ejemplo, el 419 es primo de Sophie Germai ya que { p, p + 1} = 419,839. He aquí alguos primos co estas características que puede ecotrar e A005384: Poliomio Ciclotómico Se llama Poliomio Ciclotómico de ídice a Φ ( z) = ( z p1 )( z p )... ( z pk ), dode p1, p,..., p k so las k raíces primitivas eésima de la uidad e el cuerpo de los úmeros complejos, siedo k= ϕ( ) la fució de Euler. Los poliomios Φ tiee sus coeficietes p e Z, so irreductibles sobre Q y verifica que z 1 = Φ ( z). Si p es primo distito de, cualquier primo q que divida a p 1 debe ser uo más que u múltiplo de p. Proposició que tambié se cumple cuado p 1 es primo. Por ejemplo, para 5 1= 31 = ó Para cualquier primo p, si q 1 q q = ( 1), dode 1, d / p p 11 3 = = 047 = = ( k k ϕ p ) = p ( p 1), y teiedo e cueta que Mq = se deduce que so primos de Mersee si y sólo si, q es primo. Por ejemplo, el úmero 13 es u primo de Mersee ya que aquí alguos primos co estas características: 13 1 = 8191 es primo. He q + 1 U úmero de Wagstaff es u úmero primo de la forma P w = dode q P. Por 3 13 ejemplo, 731 es u primo de Wagstaff ya que ( + 1) 3 = 731. So úmeros que crece muy rápidamete. Puede ecotrar algua represetació más e A000979: Alguos de los expoetes q que geera este tipo de úmeros los puede ecotrar e la secuecia A000978: Los úmero Repuits se defie como R =, 1. El úmero Repuit costa de 10 1 ejemplares del dígito 1, por lo que la secuecia sería 1,11,111,1111,..., , como puede comprobar e A0075. E el úmero primo Repuit es fácil mostrar que si es divisible 5

6 1 por a, etoces R es divisible por R a, esto es R = Φd (10), dode Φ d es el Poliomio 9 d / Ciclotómico y d oscila más allá de los divisores de. Tambié es la fució Idicatriz ϕ ( ) de Euler. Para p primo, Φ ( x), p p 1 i = x que posee la forma esperada de u Repuit cuado x se i= 0 sustituye por u 10. Así, para que R sea primo, debe ser primo. Pero o es suficiete el que sea primo, por ejemplo, R 3 = 111 = 3 37, o es primo. Para R, e la secuecia A00403 ecotramos los siguietes valores de e dode se asegura que geera úmeros primos: R b Cuado se cambia la base 10 por ua base b, el Repuit se covierte e b 1 =, 1. b 1 Por ejemplo, para la base 3 y = 3,7,13,... obteemos: todos primos, co u crecimieto desorbitado. 4. Vulerabilidad de los úmeros Arolmar Como úmeros Fuertes, Equilibrados y Débiles Depediedo de su grado de vulerabilidad para la criptografía, los úmeros puede ser Fuertes, Equilibrados y Débiles, segú tega la forma de P + P + Pf P P + P + P = >, P e =, Pd = P < Para úmeros Arolmar y úmeros primos, obteemos Sobre úmeros Arolmar Sobre úmeros primos 33 33<(1+57)/ = 33 < 39 33<(31+37)/ = 33 < >(33+69)/ = 57 > 51 57>(53+59)/ = 57 > <(57+85)/ = 69<71 69>(67+71)/ 69= >(69+93)/=85>81 85<(83+89)/=85< <(85+105)/ = 93<95 93>(89+97)/ 93= <(93+19)/ = 105< <( )/ 105= >( )/=19>119 19>(17+131)/ 19= <(19+145)/=133< <( )/=133< <( )/=145< >( )/=145> >( )/=177> >( )/=177>176 co u resultado muy variado. P 6

7 4. Como úmeros Bueos U primo Bueo satisface la desigualdad P > P( i) P( + i) co 1 i i y dode P es el eésimo primo. Para úmeros Arolmar y úmeros primos, obteemos Sobre úmeros Arolmar Sobre úmeros primos <(1 57) = 1089 < >(33 69) = 349 > <(57 85) = 4761 < >(69 93) = 75 > <(85 105) = 8649 < <(93 19) = 1105 < >( ) = > <(19 145) = < <( ) = 105 < >( ) = 3139 > <(31 37) = 1089 < >(53 59) = 349 > >(67 71) = 4761 > <(83 89) = 75 < >(89 97) = 8649 > >( ) = 1105 > >(17 131) = > <( ) = < >( ) = 105 > >( ) = 3139 > dode predomia la variedad auque co cierta tedecia positiva e los úmeros primos. 5. Criptografía 5.1 Seguridad e los sistemas criptográficos Sea G u grupo abeliao fiito co g G. Sea < g > el subgrupo de G geerado por g. Si h < g >, el problema del logaritmo discreto (DLP), es ecotrar u etero tal que g = h. Efectivamete, coocidos g y es computacioalmete secillo calcular h, si embargo, dados g y h, la solució es imposible. El logaritmo discreto cosiste e resolver la ecuació h g x ( mód. ), dode h y g so costates y x es la icógita que se busca. Es clara la similitud de esta ecuació co la del logaritmo, si embargo, el uso de modulares itroduce ua complejidad grade al problema. La mayoría de los métodos utiliza el logaritmo discreto para calcular las claves públicas y privadas. 5. Codificació de mesajes Códigos para codificar mesajes claros, basados e Tablas de Códigos ASCII formato de caracteres estádares. TABLA III: Códigos ASCII del alfabeto español Letras mayúsculas Letra A B C D E F G H I J K L M N Ñ O Código Letra P Q R S T U V W X Y Z Á É Í Ó Ú Código Letras miúsculas Letra a b c d e f g h i j k l m ñ o Código Letra p q r s t u v w x y z á é í ó ú Código Números y operacioes Números * / = ^ Códigos Sigos varios Sigos!? ( ) { } [ ] < > & Códigos

8 5.3 RSA: Geeració de claves A quiere eviar a B u mesaje m secreto que sólo ellos pueda leer. A tal efecto, establece ua serie de claves de la siguiete forma: 1. A seleccioa p y q, dos úmeros primos grades, y calcula = p q. A cotiuació calcula ϕ ( ) = ( p 1)( q 1), utilizado la fució Idicatriz de Euler, o bie mcm( p 1, q 1) = s, si utiliza la fució de Carmichael.. Seleccioa u etero e tal que mcd( s, e ) = 1, co 1 < e < s, y calcula d dode e d 1( mód. s), o bie d e 1 ( mód. s). { d, }. Operació de cifrado: La clave Pública será {, } e Texto claro m, co 0 < m < p. Texto cifrado C m ( mód. ) Operació de descifrado: d Texto cifrado C. Texto descifrado m C ( mód. ) e y la clave Privada Ejemplo: Sea = = 339, s = ϕ(339) = (41 1)(79 1) = 310, mcd( s, 3) = 1 e = 3 de dode 3d 1( mód. s) d = 407. A debe eviar a B el mesaje m = 134, y procede a su cifrado: 3 Cifrado de A: C 134 ( mód.339) = 69, y lo evía a B. 407 Descifrado de B: m 69 ( mód.339) = 134. Los úmeros primos 41 y 79 procede de (3+79)/=41, dode 3 79=37 y 7 151=1057, so úmeros primos Arolmar, ya que (3+79)/=41 y (7+151)/=79. El valor de e = 3 se ha determiado por (3+59)/=41, dode 3 59=1357 es u úmero asociado de Arolmar. 5.4 Protocolo: Diffie-Hellma Dos persoas, A y B, desea establecer ua clave secreta para itercambiar iformació. El protocolo que establece es el siguiete:. A elige aleatoriamete u etero a, { } 1. A y B cocierta u úmero primo p suficietemete grade, y g, u geerador multiplicativo que es ua raíz primitiva módulo p. Ambos puede ser públicos. a 1,,..., p 1, que matiee e secreto, y cal- a cula A g ( mód. p) cuyo resultado evía a B. 3. B elige b, b { p } b 1,,..., 1, que matiee e secreto, y calcula B g ( mód. p) cuyo resultado trasmite a A. ab 4. A y B crea como clave secreta K, dode K g ( mód. p). Para ello, A calcula a b K Β ( mód. p) y B calcula K Α ( mód. p). 8

9 La fortaleza del protocolo se basa e que, coocidos {, } ab puede calcular g. Efectivamete, K g ab A b B a ( mód. p) b a p g y { A g B g } =, =, se Ejemplo: Sea p = 179, g = 19, a = 7, b = 11. Calcular el protocolo de itercambio de claves etre A y B. A calcula A 7 19 ( mód.179) = 155 y B calcula B = ( mód.179) La clave secreta viee determiada por K 19 ( mód.179) = 14, que cada uo comprueba al calcular demostrado por K ( mód.179) = 14 y K 155 = ( mód.179) 14. K 7 14 ( mód.179) = 14. Esto último queda El úmero primo 179 se ha obteido como (5+353)/=179, dode 5 353=1765 es u úmero primo Arolmar. Los valores 19, 7 y 11 procede de ( ) 5 = 179, =639695, u úmero asociado Arolmar. 5.5 Criptosistemas co: ElGamal Basado e el protocolo de Diffie - Hellma, ElGamal costa de tres partes: el geerador de claves, y los algoritmos de cifrado y descifrado. Geeració de claves: El usuario A elige u úmero primo p y u geerador g, que es a 1,,..., p 1, y calcula ua raíz primitiva módulo p. De forma aleatoria, elige a, { } A g a ( mód. p). Clave pública { A, p, g } y clave privada { a}. Cifrado: U usuario B quiere eviar u mesaje m, 1 < m < p, al usuario co clave pública { A, p, g }. Elige b, b { p } mesaje cifrado es el par ( B, C). b 1,,..., 1, y calcula B g ( mód. p) y C A b m( mód. p). El Descifrado: El usuario co clave pública { A, p, g } y privada { a }, recibe (, ) B C y calcula K B a ( mód. p) y recupera el mesaje como m C K ( mód. p), ya que ab b K g A ( mód. p). p 1 a Se puede evitar la divisió módulo p, ya que m B C( mód. p). E efecto ( p 1 a) b( p 1 a) ab p 1 b B C g g m g m m mód p ( ) (. ) Ejemplo: Sea p = 179, g = 11, a = 7, b = 6. Calcular el protocolo de itercambio de claves etre A y B para que B remita a A el mesaje m = 13. Los valores de A y B so 6 11 ( mód.179) = 177, respectivamete. E cuato a la clave secreta K, ivel de usuario, K A mód = 7 11 ( mód.179) = 157 y 177 (.179) 51. La codificació del mesaje, es par de úmeros (, ) ( 177,8) B 7 K 11 6 ( mód.179) = 51, como se puede comprobar a C ( mód.179) = 8. Por tato, B remite a A el B C = como clave pública y guarda como clave privada { b } = { } 6. 9

10 A puede descifrar el mesaje mediate m ( ) 177 8( mód.179) = 13. Y puede comprobar ( ) 7 6 la firma mediate m (11 ) 13( mód.179) = 13 y C ( mód.179) = Criptosistemas co: MASSEY - OMURA Supogamos que u cojuto de usuarios decide usar e comú u úmero primo, suficietemete grade, al que llamaremos p. El cojuto de mesajes, tato claros como cifrados, será sobre Z p. Para el establecimieto de claves se opera de la siguiete forma: Geeració de claves: Cada usuario u, u U, elige al azar u etero e, 0 < eu < p 1, co mcd ( eu, p 1) = 1 y calcula du 1( mód. p 1). Ambos eteros so privados. Itercambio de mesajes: Supogamos que el usuario A desea eviar al usuario B u mesaje m. Opera de la siguiete forma: e 1. El usuario A calcula r m a ( mód. p) y lo evía a B. e. El usuario B calcula s r b ( mód. p) y lo evía a A. d 3. El usuario A calcula t s a ( mód. p) y lo evía a B. d 4. Fialmete, el usuario B recupera el mesaje m mediate d b ya que t b m( mód. p). Ejemplo: Para el itercambio de mesajes, A y B acuerda, mediate el úmero primo p, p = 733, geerar como claves secretas ea = 7 A y eb = 13 B. A evía a B como primer mesaje la palabra Arolmar, que ua vez codificada resulta m = {65,114,111,108,109,97,114}. A calcula 7da 1( mód.733 1) da = 53 y B calcula 13da 1( mód.733 1) db = 169, ambas como claves públicas. El itercambio de mesajes sigue el siguiete proceso: e 7 1. A evía a B: r m a ( mód. p) r m ( mód.733) = {14,96, 3,573, 491,576,96}. e 13. B evía a A: s r b ( mód. p) s r ( mód.733) = {38,67, 14,88, 0, 416,67}. d A evía a B: t s a ( mód. p) t s ( mód.733) = {68,158,65, 47,80, 39,158}. d B evía a A: t b m( mód. p) t m( mód.733) = {65,114,111,108,109,97,114}. co lo que se alcaza la codificació de Arolmar. Alguas propiedades matemáticas de este sistema: r m m mód p m m mód = e a eaeb db (. ) (.733) {14,96, 3,573, 491,576,96} eb eaeb s r m ( mód. p) r = m ( mód. 733 ) = {38,67,14, 88,0, 416,67} t m mód p t m mód d b eb db (. ) (.733) = {65,114,111,108,109,97,114} Para la codificació de este sistema hemos utilizado úmeros Arolmar. Veamos cómo. Hemos buscado u úmero primo p de la forma p = mq + 1 e dode m es u etero compuesto pequeño y q es u úmero primo grade. El primo e cuestió resulta ser p = mq + 1 = = 733. Este úmero lo sometemos al test de vulerabilidad para la criptografía: 10

11 733 1 = ( mód.61) 61 1= ( mód.5) = ( mód.367) que lo pasa, a pesar de que 733 (77+739)/=733=733 es la media aritmética de los úmeros primos aterior y posterior de 733 y, por tato, u úmero primo Equilibrado. El valor de e a = 7 se ha determia por ( ) = 733, dode = 1013 es u úmero primo Arolmar. El valor de e b = 13 correspode a ( ) = 733, dode = es u úmero asociado Arolmar. He tomado los úmeros primos 113 y Mediate la fució de Carmichael, he calculado por lo que d = y e = De acuerdo co las Tablas de Códigos ASCCII, he codificado el mesaje m = {68, 101, 115, 101, 111, 3, 117, 110, 97, 3, 10, 101, 108, 105, 1, 3, 97, 110, 100, 97, 100, 117, 114, 97, 3, 97, 3, 108, 111, 115, 3, 110, 50, 109, 101, 114, 111, 115, 3, 65, 114, 111, 108, 109, 97, 114} y lo he criptografiado de la forma {190746, 1984, , 1984, , , , , , , , 1984, 75369, , , , , , , , , , 79675, , , , , 75369, , , , , , , 1984, 79675, , , , , 79675, , 75369, , , 79675}. Co u poco de paciecia, alguie descifrará mis deseos hacia estos úmeros. 6. Coclusioes Se deomia Arolmar al úmero N, que es producto de k, k 3 factores primos semicosecutivos y distitos, que tiee la propiedad de que la media aritmética q, q P de dichos factores es otro úmero primo y que, e su acepció más amplia, está recogidos e la secuecia OEIS A ,33,57,69,85,93,105,19,133,145,177,195,05,13,17,31,37,49,53,65,... Si q es u úmero primo y k es el úmero de particioes de qk = p1 + p pk dode p1, p,..., p k so úmeros primos distitos. Como se cumple que q = ( p + p p ) k es la media aritmética, llamamos úmero Arolmar al producto 1 k N = p1 p... p k. Si N es la míima represetació, será úmeros primos Arolmar. Por ejemplo: para q = 3 y k = 3, si qk = 3 3 = 69, teemos que 3 = ( ) 3 N = = = ( ) 3 N = = 139 el primero es u úmero primo Arolmar y el segudo es u úmero asociado Arolmar. Y decimos que es asociado porque el primero es meor que el segudo. Como m = kq, q P, podemos establecer ua base matemática sobre las secuecias que represete a estos úmeros primos Arolmar, así la secuecia 1,33,57,69,93,17,19,65,177,13,... se geera teiedo e cueta que k = y, por tato N = p1 p y q = ( p1 + p). es la media aritmética. Por ejemplo: Por ejemplo: 65 = 5 53, (5 + 53) / = 9. Ver tabla IV. 11

12 k q m kq TABLA IV: Números primos Arolmar = p1, p q ( p1 p ) / k , , , , , , , , , , = + N = p1 p Utilizado el mismo procedimieto, para valores de k = 3, 4,5,... podemos crear las siguietes secuecias: 105,195,483,465,645,987,915,1185,1743,1545, ,3045,3885,5565,6405,1045,10605,11445,4765,15645, ,50505,68145,91455,10795,01705,173355,14305,06745,361095,... Todos estos úmeros puede ser obteidos mediate la secuecia OEIS A187073, pero o de forma cosecutiva. Si tomamos la serie de úmeros Arolmar N 1000, 1,33,57,69,85,93,105,19,133,145,177,195,05,13,17,31,37,49,53,65,309,393,417, 445,465,469,483,489,493,505,517,553,565,573,597,609,67,633,645,663,669,685,697,753, 781,793,813,817,861,865,889,897,913,915,933,935,949,969,973,985,987,993. so úmeros primos Arolmar los sombreados e egrilla, siedo el resto úmeros asociados. Por tato, podríamos solicitar a OEIS, como úmeros primos Arolmar, la frecuecia 1,33,57,69,93,105,19,177,195,13,17,37,49,65,309,393,417, 445,465,483,489,565,573,597,645,753, 813, 865, 915,933, 973, 987,993. La versatilidad de estos úmeros y la maera desorbitada de crecimieto, cualquiera que sea la forma de coseguirlos, les hace idóeos para los cifrados e criptosistemas, circustacia ésta que debe ser valorada por los expertos. 1

13 ANEXO I: Números Arolmar Primos suma NÚMEROS

14 ANEXO II: Primos Arolmar Primos suma NÚMEROS

15 ANEXO III: Números Arolmar desde el 1 hasta el , 33, 57, 69, 85, 93, 105, 19, 133, 145, 177, 195, 05, 13, 17, 31, 37, 49, 53, 65, 309, 393, 417, 445, 465, 469, 483, 489, 493, 505, 517, 553, 565, 573, 597, 609, 67, 633, 645, 663, 669, 685, 697, 753, 781, 793, 813, 817, 861, 865, 889, 897, 913, 915, 933, 935, 949, 969, 973, 985, 987, 993, 1057, 1077, 1137, 1149, 1177, 1185, 11, 139, 157, 165, 173, 185, 139, 1333, 1345, 1357, 1365, 1389, 1393, 1417, 1419, 1437, 1441, 1465, 1477, 1497, 1513, 1537, 1545, 1569, 1581, 1599, 1633, 1653, 1689, 1717, 179, 1743, 1765, 1837, 1857, 1887, 1893, 1897, 1909, 1945, 1957, 1977, 067, 073, 101, 11, 139, 149, 173, 9, 45, 55, 65, 305, 353, 373, 409, 413, 465, 509, 517, 533, 545, 577, 581, 589, 605, 607, 641, 649, 653, 679, 733, 751, 757, 761, 769, 773, 785, 81, 893, 895, 913, 915, 967, 3045, 3073, 3085, 3117, 319, 3133, 3165, 3193, 301, 319, 373, 377, 3335, 3337, 3349, 3367, 3369, 3397, 3417, 3435, 3453, 3505, 3507, 3513, 3589, 3597, 3615, 3633, 3669, 3693, 373, 3777, 3781, 3805, 3817, 389, 3837, 3849, 3865, 3873, 3885, 3905, 3909, 3937, 3957, 3973, 3985, 3995, 4011, 4033, 4047, 4069, 4117, 413, 4141, 4173, 4191, 4197, 409, 413, 445, 449, 485, 4301, 431, 4333, 4353, 4369, 4393, 4405, 4407, 449, 4449, 4453, 4485, 4497, 4533, 4537, 463, 469, 4645, 4695, 4713, 4715, 4717, 4765, 4767, 4777, 4837, 4845, 4849, 4857, 4873, 4885, 4897, 499, 4965, 5017, 5019, 5053, 5065, 5073, 5089, 5137, 5169, 5173, 517, 553, 557, 577, 589, 593, 5307, 5313, 5317, 5377, 5379, 5389, 5397, 5401, 543, 5433, 5487, 5497, 5509, 5533, 5545, 5559, 5565, 5595, 5613, 5617, 569, 5637, 5677, 5713, 5719, 5757, 5773, 5793, 5809, 5833, 5853, 5883, 5885, 5901, 5905, 5917, 5937, 5965, 5989, 6013, 6035, 6045, 6063, 6097, 6099, 6117, 6135, 6145, 6153, 6157, 6189, 615, 697, 6313, 6349, 6385, 6405, 6433, 6445, 6493, 6505, 6513, 6531, 6537, 6567, 6585, 6609, 6643, 6657, 6693, 6697, 679, 6757, 6769, 6785, 6805, 6873, 6913, 6937, 6945, 6973, 7009, 7017, 7033, 7089, 7093, 7107, 7113, 7149, 7153, 7161, 7165, 7197, 701, 769, 773, 793, 7359, 7377, 7405, 7513, 7565, 7597, 7609, 7633, 7653, 7667, 7683, 7685, 7737, 7773, 7801, 7809, 7813, 7837, 7849, 7881, 7897, 7917, 7969, 8007, 8043, 8065, 8113, 8157, 8185, 8193, 841, 857, 877, 8313, 8341, 8401, 8413, 841, 8439, 8509, 859, 8545, 8553, 8555, 8565, 8585, 8593, 8601, 8605, 8617, 8645, 8653, 8709, 8773, 8797, 8817, 8857, 8889, 8911, 8913, 8917, 8953, 9057, 9073, 9087, 9095, 9097, 9139, 9141, 9165, 9169, 9177, 9185, 9193, 913, 931, 949, 9301, 9303, 9313, 9373, 9385, 9445, 9483, 9489, 9505, 959, 9545, 9553, 9573, 9577, 9635, 9673, 9681, 9717, 9745, 9753, 9757, 9789, 9813, 9843, 9853, 9879, 9913, 9915, 9919, 9937, 9951, 9969,

16 1001, 10033, 10057, 10059, 10095, 10117, 1019, 10131, 10149, 10173, 10189, 1003, 1013, 1037, 1049, 1061, 1093, 1097, 10311, 1039, 10365, 10389, 10393, 10417, 10419, 10473, 10489, 10537, 10573, 10605, 10635, 10653, 10669, 10681, 10689, 10707, 10713, 10717, 10777, 10797, 10833, 10835, 10857, 10873, 10887, 1099, 10965, 10969, 10977, 10981, 11017, 11033, 11049, 11065, 11073, 11089, 11137, 11139, 11157, 11165, 1111, 1117, 119, 1193, 11339, 11341, 11377, 11413, 1147, 11445, 11469, 11485, 11509, 11533, 11569, 11589, 11607, 11615, 11645, 11653, 11679, 11685, 11773, 11785, 11797, 1183, 1189, 11859, 11893, 11905, 11917, 11931, 11949, 1009, 1013, 1045, 1057, 1111, 119, 1133, 1153, 1169, 1193, 105, 117, 19, 1313, 137, 1345, 1477, 1507, 1597, 1649, 1657, 1745, 1765, 1777, 1793, 1813, 1815, 1817, 1849, 1901, 1905, 1913, 1937, 1939, 1949, 1995, 1997, 1301, 13045, 13057, 13069, 13101, 13137, 13165, 1313, 1369, 13317, 13409, 1349, 13449, 13453, 13485, 13561, 13645, 13685, 13699, 13705, 13749, 13773, 13777, 13805, 13813, 1381, 13839, 13845, 13857, 13865, 13897, 13909, 13957, 13983, 13989, 14037, 14041, 14073, 14077, 14101, 14113, 14137, 1417, 1453, 1471, 1477, 1487, 1489, 14305, 14349, 14377, 14433, 14469, 14473, 14485, 14487, 14493, 14559, 14577, 14613, 14617, 14637, 14677, 14701, 14761, 14785, 14793, 1489, 14833, 14845, 14853, 14857, 14893, 14917, 1497, 14977, 14993, 15009, 15065, 15067, 15081, 15117, 15133, 15177, 1505, 1507, 1515, 159, 1553, 1597, 15333, 15369, 15387, 15397, 15495, 15515, 1551, 1559, 15531, 15537, 15553, 15577, 15585, 15603, 15613, 15637, 15639, 15645, 15657, 15673, 15685, 15693, 15697, 15709, 1571, 15747, 15757, 15765, 15769, 15841, 15853, 15969, 15981, 15997, 16005, 16017, 16035, 16045, 16053, 16071, 16105, 16115, 16117, 16153, 1613, 1635, 1637, 1657, 1697, 16309, 1631, 16377, 16395, 16401, 16437, 16445, 16471, 16485, 16509, 16593, 1661, 1669, 16645, 16647, 16685, 16717, 16737, 16745, 16773, 16809, 16837, 16899, 16907, 16935, 16945, 17015, 17049, 17065, 17085, 17089, 17097, 17105, 17133, 17135, 17169, 17197, 1705, 1733, 1741, 1759, 1769, 17305, 1739, 17353, 17373, 17413, 17473, 17553, 17557, 17563, 17589, 17593, 17617, 17619, 17673, 17677, 17709, 17765, 17769, 17817, 17857, 17869, 17889, 17907, 18069, 18085, 18109, 1819, 18165, 18177, 1837, 18337, 18361, 18377, 18393, 18489, 1859, 18649, 18673, 18735, 18753, 18813, 18815, 18853, 18877, 18887, 18889, 18901, 18969, 18985, 1903, 19041, 19077, 19105, 19113, 19131, 19137, 19177, 1903, 1995, 1997, 19311, 19357, 19365, 19509, 19513, 1957, 19537, 19561, 19565, 19617, 19633, 19693, 19761, 19797, 19815, 19849, 19869, 19895, 19897, 1991, 19933, 19945, 19957,

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