Transcripción

1 Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: Correo electróico: Límites y el úmero e Si se ivierte ua catidad c, a ua rata de iterés r mesual, capitalizado tambié mesualmete, se obtedrá u aumeto del capital mesual, añadiedo los itereses. Si o se efectúa retiros y el capital se reivierte, se obtedrá u capital mayor, el cual crecerá cada mes así (segú la fórmula de iterés compuesto): Mes Capital al fial del mes c ( + ) 3 r ( r) 3 ( r) c + c c ( r) + El iterés r se da como u decimal, de tal modo que el 4 se represeta por 4 4 r = =,4 y el 4 por r = =, 4. Es usual que la rata de iterés se dé e su forma aual. Asumamos que hemos ivertido Bs. a u iterés del 6% aual, y que la capitalizació se efectúe mesualmete. Por lo tato, la tabla del capital al fial de cada mes, e el primer año será: Mes Capital al fial del mes,6 ( + ),6 ( + )

2 3,6 3 ( + ) y al fial de meses ( año)...,6 ( + ) Si el tiempo t se da e años y la capitalizació es mesual, el capital al fial de cada año, co capitalizació mesual será: Tiempo e años Capital al fial del año,6 t= ( + ),6 t= ( + ),6 3 t=3 ( + )... ( +,6/ ) t y al fial de t años Si el iterés fuese el mismo del 6% aual, mas se capitalizara todos los días, supoiedo que el año tiee 36 días, habría k = 36 capitalizacioes auales. El capital producido por los bolívares e t años sería mayor y ahora estaría dado por la fórmula: Capitalizació diaria durate t años: C=( +,6/36) 36t Si ahora llamamos k el úmero de capitalizacioes auales (e uestro ejemplo k= y por último k = 36), tedremos que el capital al fial de t años, co capitalizacioes auales será: C=( +,6/k) kt Y si e lugar de que el capital iicial fuese Bs., lo llamasemos c y si tambie geeralizamos r a la rata de iterés y hubiese k capitalizacioes la fórmula mas geeral sería: C= c ( + r / k ) kt

3 Si el capital fuese Bs. y se capitalizara diariamete, al 5% aual, si retirar itereses, tedríamos al fial de años: De dode C , 36 x C= ( +,5 /36 ) Si la capitalizació fuese cada hora, durate años, al mismo 5% aual, tedríamos al fial 864 x C= ( +,5 /864 ) C 48.39,68 Estudiaremos la capitalizació cotiua, e la cual el úmero de capitalizacioes k tiede a ifiito, o sea capitalizado mas veces que. de veces cada segudo (teóricamete:cotiuamete). Que sucederá co la fórmula geeral C=( + r / k ) kt cuado k Para estudiarlo haremos u cambio de variable, itroduciedo la variable = k / r. E tal caso cuado k, tedremos que. E tal caso la formula geeral quedaría C=( + / ) r t Si estudiamos cuado expresió, tedremos que estudiar el comportamieto de la ( + / ) Cuado

4 Si llamamos e al límite: lim ( + ), tedríamos que al capitalizar cotiuamete, al fial de t años, el capital se calcularía co la fórmula C=c e r t Al úmero e lo podemos estudiar, revisado valores de ( + / ) Para valores de suficietemete grades. : úmero de capitalizacioes Valor aproximado de e =. ( + ), 7846 =. ( + ), 7868 =. ( + ), 7885 =. ( + ), 7887 Tomado este valor como ua buea aproximació al valor de e, tedremos que bolívares, e años, a u iterés del 5%, co capitalizació cotiua, debe retorar u capital de c = e., ,6 obteiedo ligeramete u mejor igreso, que cuado estudiamos la capitalizació de Bolívares, al mismo iterés, capitalizados cada hora. Cometario: El valor de e arrojado por ua calculadora Casio fx-8 es,78888, ligeramete mayor al que calculamos co =., que como se observa arriba fue,7887. Recuerde que e = lim ( + ).

5 Importacia de la expresió y = ce rt Se ha ecotrado que la forma geeral de la expresió o fució descrita e el regló aterior, sirve para estudiar la relació fucioal del crecimieto de la població de persoas, coloias de virus, hogos y todo tipo de seres vivos y hasta para calcular la vida media de ua sustacia radioactiva. La vida media se defie e este caso como el tiempo requerido para que la sustacia radioactiva reduzca su acció a la mitad de la expresada por la fórmula. E lugar del producto r se utiliza ua costate k y la fórmula queda como y = ce KT Ejemplos: Los siguietes ejercicios ha sido tomados del libro Álgebra y Geometría co Geometría Aalítica de Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole. Grupo editorial Iberoamérica, México, D. F. 996., co el fí de ilustrar muchos de los usos de la fució expoecial e procesos de crecimieto, decrecimieto y desitegració. ) Crecimieto de u cultivo : Ua fució expoecial w tal que KT w( t) = we, para k >, describe el primer mes de crecimieto de cultivos como maíz, algodó y soya. El valor de la fució w (t) es el peso total, e miligramos; w es el peso el día del brote, y t es el tiempo e días. Si k =, y w = 68 mg, para ua especie de soya, prediga el peso al fial de 3 días. ) Crecimieto de u cultivo: Veáse el ejercicio. Co frecuecia es difícil medir el peso w de ua plata al brotar del terreo. Para ua especie de algodó, si k =, y el peso después de días es de 575 mg, calcule w. 3) Crecimieto de la població e Estados Uidos: La població de este país e 98, era aproximadamete de 7 milloes, y ha estado creciedo a ua tasa de,7% aual. La població (t), t años después de 98, se puede,7t aproximar mediate ( t) = 7e. Prediga la població e el año si cotiua esta tedecia de crecimieto. 4) Crecimieto de la població e la Idia: La població estimada de la Idia e 985 era de 76 milloes, y ha crecido a ua tasa aproximadamete de,% aual.. La població (t), t años después, puede represetarse mediate,7t ( t) = 76e. Prediga la població e el año si cotiua esta tedecia de crecimieto.

6 5 5) Se va a eviar u trazador radioactivo Cr a u laboratorio que lo requiere. Si se evía a uidades (microcuries), etoces debido a la desitegració radioactiva el úmero de uidades presetes después de t días es,49t a( t) = ae a) Si se remite 35 uidades y el pedido tarda días e llegar, Cuátas uidades, aproximadamete, estará dispoibles cuado llegue al laboratorio? b) Si se ecesita 35 uidades para la prueba, Cuátas uidades, aproximadamete, se ecesita remitir? 6) Salario míimo: E 97 el salario míimo e Estados Uidos era de $,6 dólares por hora. Supoiedo que la tasa de iflació aumeta cotiuamete a razó de 5% aual, calcule el salario míimo equivalete e el año.