APUNTES DE MÁTEMATICAS FINANCIERAS

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1 APUNTES DE MÁTEMATICAS FINANCIEAS Concptos y Dfinicions Básicas Todas las carrras Profsor: Andrés Scott Sgún Syllabus dl I.U.G.T.

2 APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIEAS TÍTULO I INTEÉS PIMEA PATE CAPÍTULO I Intrés Sipl.Matática Financira.Es la part d la atática aplicada al studio d opracions financira cirtas, dond stán intrrlacionados cuantitativant trs lntos sncials, capital, tasa d intrés y l plazo o tipo...opracions financiras cirtas. Son las qu no dpndn d la xistncia d prsonas, ni d lntos qu ntran n jugo d las opracions corcials...opracions financiras contingnts. Son las qu tinn qu vr con la xistncia d prsonas y lntos qu ntran n jugo. Ej. Las opracions d las asguradoras..intrés ( I ). Financirant hablando, s dfin coo l prcio qu s paga por l uso dl dinro qu s tin n préstao durant un tipo dtrinado. Tabién s pud dfinir coo l pago por l uso dl dinro ajno, o s l prcio dl alquilr dl capital qu s usa n calidad d préstao o s l bnficio qu produc un capital. Cuando s tin un año d 360 días s considra al intrés ( I ) coo ordinario o corcial, n cabio cuando s tin l año d 365 días s considra al intrés ( IE ) coo ral o xacto. 3.Intrés Sipl ( I ). Es cuando l intrés o bnficio qu s paga por un capital prstado s cobra al final d cada príodo d tipo, qudando solant l capital para producir nuvos intrss o bnficios n l siguint príodo d tipo; l bnficio producido no va a forar part dl capital original.

3 3 I = Cin 4. Valors dl dinro d trabajo. El dinro d trabajo s prsnta al inicio cuando s prsta, capital, y al final cuando s rtira junto con l bnficio, onto. 4..Capital (C). Es un conjunto d bins valorados cuantitativant sgún una unidad ontaria, pudindo qudar sujta a variacions a través dl tipo. Tabién s conoc coo Valor Prsnt, Valor Actual o Valor Inicial. I C = in 4..Monto (M). Es la sua dl capital invrtido ás los intrss ganados o bnficios producidos. S conoc tabién coo Valor Futuro o Valor Final. M C = +in M = C + I M = C( + in) M C i = Cn M C n = Ci 5.Tasa d Intrés (i). Es l núro d unidads ontarias qu corrspondn a una unidad d capital, n una unidad d tipo; s dcir s un factor qu aplicado a un capital, gnra un intrés por unidad d tipo. 5.Tasa Porcntual Anual (i%). Es la qu s aplica sobr una unidad d tipo d un año y rprsnta una o varias unidads dl total d 00 parts n qu s haya dividido l capital. 5..Tasa Unitaria Anual (i). Es la isa tasa porcntual pro dividida ntr 00. I i Cn

4 4 5.3.Tasa Activa. Es la tasa qu aplica cada Banco al clint por l crédito qu s l otorga. 5.4.Tasa Pasiva. Es la tasa qu aplica cada Banco por los divrsos tipos d dpósitos qu raliza cada clint. 5.5.Tasa Difrncia. Es la difrncia ntr la Tasa Activa y la Tasa Pasiva. 5.6.Tasa d dscunto. Es la tasa qu l Banco Cntral d Vnzula ls aplica a las institucions financiras por la rcopra d créditos ntr los isos bancos. Tasas D ayor a nor s divid D nor a ayor s ultiplica Scuncia d tipo Entr Scuncia d tipo Por Anual a nsual / Mnsual a anual Anual a sanal /5 Sanal a anual 5 Anual a diario /360 Diario a anual 360 Mnsual a diario /30 Diario a nsual 30 Sanal a diario /7 Diario a sanal 7 6.Tipo (n). Es l plazo, príodo o lapso qu durará colocado un capital, bin coo invrsión, bin coo préstao. I n = Ci Entr las variabls tipo y tasa db habr una strcha rlación, y dbn sr copatibls las unidads stablcidas para l tipo con la unidad d tipo stablcida n la tasa. Ej. Añosanual, ssnsual, sanasanal, díasdiario. 6..lacions ntr las divrsas unidads d tipo. Tipos

5 5 D ayor a nor s ultiplica D nor a ayor s divid Unidad d tipo Por Unidad d tipo Entr Año a ss Ms a años / Año a sanas 5 Sana a años /5 Año a días 360 Día a años /360 Ms a días 30 Día a ss /30 Sana a días 7 Día a sanas /7 6.. Tabla para l cálculo dl tipo ntr fchas. Dl día dl s inicial Al iso día dl s trinal En. Fb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sp. Oct. Nov. Dic. En Fb Mar Abr May Jun Jul Ago Sp Oct Nov Dic Nota: Año no bisisto. No s incluy l día inicial.

6 6 Caso. Cuando s tin l iso día pro d ss difrnts. En st caso, s ubica l s inicial n las colunas d ss y l s final n la fila d ss y dond s cruzan s s l núro d días. Ejplo: Obtnr l núro d días dsd l 3 d ayo al 3 d octubr dl iso año, coo s d obsrvar abos ss s cruzan n l valor 53 ntoncs han transcurrido 53 días. Caso. Cuando l día dl s trinal s ayor qu l día dl s inicial. En st caso, s sua la difrncia la difrncia d los días al núro dfinido por l s inicial y l s trinal. Ejplo: Obtnr l núro d días ntr 3 d sptibr d un año y l 5 d abril dl año siguint. Difrncia: 5 3 =. Intrcpción: sptibrabril =, lugo + = 4, ntoncs han transcurrido 4 días. Caso 3. Cuando l día dl s trinal s nor qu l día dl s inicial. En st caso, la difrncia ntr l día trinal y l día inicial s ngativa, por lo tanto s rsta. Ejplo: Obtnr l núro d días ntr l 8 d arzo y l 0 d novibr dl iso año. Difrncia: 0 8 = 8. Intrcpción: arzonovibr = 45, lugo: 45 8 = 37, ntoncs han transcurrido 37 días. Caso 4. Cuando s tin ás d un año. En st caso s stablc l núro d años ralizando la rspctiva opración d difrncia ntr los años y lugo s cobina con los casos antriors. Ejplo: Obtnr l núro d días ntr l 5 d abril dl.003 y l 7 d octubr dl.007 Dl 5 d abril dl.003 al 5 d abril dl.007, transcurrn 4 año =.440 días. El 5 d abril al 7 d octubr dl iso año, sgundo caso, difrncia 7 5 =. Intrcpción: abriloctubr = 83, lugo: =.65, ntoncs han transcurrido.65 días. 7.lación ntr l Intrés Exacto o al y l Intrés Ordinario o Corcial. 7IE 73I I =, IE = Diagraa d tipo y flujo d caja

7 7 Es un diagraa constituido por l sgnto d una rcta liitado por un punto inicial dond s inicia un procso d dpósitos y rtiros d dinro y qu concluy con l rtiro dl onto final d lo ahorrado. En s sgnto s dfinn puntos dond s sñalan los lapsos d tipo n los cuals s producn los rspctivos dpósitos y rtiros d dinro, así coo los cabios d tasa d intrés d habrlos. Los dpósito s sñalan con flchas hacia abajo, los rtiros con flchas hacia arriba y los posibls cabios d tasa con pquños sgntos vrticals sin dircción. nab B nbc ncd nde nef F nfg F=MF A B C D E F G D A i AD D C D E i DG Para obtnr l bnficio o pérdida al final d los dpósitos s raliza la siguint opración: B = i Di Si B rsulta positivo hubo ganancia, y s rsulta ngativo hubo pérdida Problas sultos d Intrés Sipl POBLEMA 0. Un corciant al colocar un capital ést l produjo un bnficio d Bs 565,00. Hallar l onto, si fu colocado n las siguints condicions: a) En 3 años al 5% sstral., b) En 0 ss y 5 días al % sanal, c) En 85 días al 0,8% sanal y d) En s y dio al 40% tristral. (Intrés Sipl)

8 8 I I Datos : I = 565; Fórulas : M = C( + in) y C = Þ M = in a) n = 3 años; i% = 5% sstral; M =? n = 3 sstrs; i = 0, 05 sstral ( + ) 565 0,05 6 M = Þ M =.448,33 0,05 6 b) n = 0 ss y 5 días; i% = % sanal; M =? 0,0 n = ( ) días = 35 días; i = diario 7 æ 0, 0 35ö 565 ç + çè 7 ø M = Þ M =.80,56 0, c) n = 85 días; i% = 0,8% sanal; M =? 0,008 n = 85 días; i = diario 7 æ 0, ö 565 ç + çè 7 ø M = Þ 0, d) n =,5 ss; i% = 40% tristral; M =? n =, 5 3 M = tristrs = 0,5 tristrs; i = 0, 4 tristral ( + ) ( + in) in.99, ,4 0,5 M = Þ M = 3.390, 00 0, 4 0,5 POBLEMA 0. Al principio d un s cualquira s colocan Bs.500,00, al conzar l sgundo s s coloca l dobl dl capital antrior y así sucsivant hasta pzar l quinto s, n l cual s hizo la últia colocación. Si la tasa d Intrés Sipl s dl 6% sstral; Qué dinro s rtira al concluir l s 0? 0,06 k k k T k k= 5 Datos : i% = 6 sstral; C =.500; 5.000; 0.000; 0.000; ; n = 0;9;8;7;6 ss. Fórulas : M = C + in y M = M i = nsual = 0,0 nsual 6 M T ( + 0, 0 6) = Þ M = 8.800;00 = , , , , k å 0 T k

9 9 POBLEMA 03. Una prsona invirt un capital al 7% anual, y Bs. 50,00 ás d lo qu había invrtido antriornt al 9% anual. Si la ganancia a los 8 ss a Intrés Sipl fu d Bs.50,00. Cuánto habría sido l capital invrtido cada vz? y Cuánto l intrés producido por cada uno? Datos : n = 8 ss Þ,5 años; I =.50; i % = 7% anual; i % = 9% anual; Fórula : I = Cin; Condicions : C + 50 = C ; I + I =.50 I = 0, 07,5C Þ I = 0,05C I = 0, 09,5C Þ I = 0,35C C C = 50 Þ C = C 50 0,05C 0,35C.50 0,05 C + = Þ ,35C =.50 Þ 0,05C 6, 5+ 0,35C =.50 Þ.76, 5 0, 4C =.76, 5 Þ C = = 5.37, 7Þ C = 5.37, 7 50 = 5.067, 7Þ 0,4 I = 0, 07, , 7= 53, I = 0, 09,5 5.37, 7= 77,89 C = 5.067, 7; C = 5.37, 7; I = 53, ; I = 77,89 POBLEMA 04. Un capital s coloca al % anual a Intrés Sipl durant 4 ss y al iso día s coloca otro capital dl iso onto tabién a Intrés Sipl al 3% anual durant 60 ss. Si la difrncia d los bnficios ntr las dos colocacions fu d Bs 5.500,00; cuál s l onto d abos capitals? Datos : n = 4 ss = 3,5 años; i % = % anual; n = 60 ss = 5 años; i % = 3% anual; C y C =? Fórula : I = Cin; Condicions : I I = 5.500; C = C = C; I + I =.50 I = Ci n Þ I = 0, 3,5C Þ I = 0,385C I = Ci n Þ I = 0,3 5C Þ I = 0, 65C Sustituyndo n la prira condición : 0, 65C 0,385C = Þ 0, 65C = Þ C = 0.754, 7 POBLEMA 05.Dspués d varias colocacions durant 6 años a Intrés Sipl una prsona rtira Bs 9.4,00. Al inicio colocó una cantidad la cual no s acurda, a los 3 años coloca Bs 4.000,00 y lugo a los 4 años y dio Bs.600,00. Si las colocacions s hiciron a un 9% anual; cuánto fu l onto dl capital inicial y cuánto fu l bnficio prcibido por la prsona? Datos : En la lina dl tipo para l flujo d caja; i= 0, 09; M T = 9.4, 00 Fórula : M = C + in A n AB= 3 años B n BC=,5 años C n CD=,5 años D C A=? C B=4.000 C C=.600 M T=9.06

10 0 M = C + in = C + 0, 09 6 Þ M =,54C A A AD A A A M = C + in = , 09 3 Þ M = B B BD B M = C + in = , 09,5 Þ M =.86, 00 M C C CD C + M + M = M Þ,54C = 9.06 Þ,54C = Þ A B C T A A,54C =. 30 Þ C =.5000, 0 A A POBLEMA 06. Una prsona dsa obtnr Bs 8.008,00 n 0 ss. Cuánto db dpositar n un banco qu abona l% anual d Intrés Sipl durant l prir año, y l 5% tristral durant l rsto d tipo? Datos En la lina dl tipo para l flujo d caja i anual i tristral M T : ; = 0, ; = 0, 05 ; = Fórula : M = C + I M A=7.930 i AB=0,0 nsual 0,05 nsual A n AB= ss B n BC= 8 ss C C A=? M = C + I + I Þ C + 0,0 C + 0,05 8C = AC A AB BC A A A, C = Þ C = 6.500, 00 A A POBLEMA 07. S tinn dos capitals los cuals suan Bs 8.00,00. El priro fu colocado a una tasa d Intrés Sipl dl 6% sstral y l sgundo tabién a Intrés Sipl a una tasa dl 3,75% tristral. A cuánto onta cada capital si al cabo d 30 ss s rtiran dl banco Bs.0,50? Datos n ss años i sstral anual i tristral anual M T : = 30 =,5 ; % = 6% = 0, ; = 3, 75% = 0,5 ; =.0,50 Fórula : M = C + in ; Condición : C + C = 8.00; M + M =.0,50 Þ C + i n + C + i n =.0,50 Þ + 0,,5 C + + 0,5,5 C =. 0,50 Þ,3C +,375C =.0,50 C + C = 8.00, 00 Þ C = 8.00, 00 C sustituyndo n Þ,3 8.00, 00 C +,375C =.0,50 Þ 0.660,3C +,375C =.0,50 Þ 0, 075C = 35,5 Þ C = 4.700, 00; lugo C = Þ C = 3.500, 00

11 POBLEMA 08. Una prsona ahorrativa abr una Cunta d Ahorro fctuando 4 dpósitos bistrals: a) Al inicio Bs 3.000,00, b) Lugo Bs 4.000,00, c) Siguindo con Bs 5.000,00 ás l 40% d los intrs sipls dvngados a la fcha y d) Por últio Bs ,00. Estos dpósitos furon fctuados para rtirar l dinro n un año, con sus rspctivos bnficios. Si las tasas d Intrés Sipl varían tristralnt d la anra siguint: %, 5%, 8% y % rspctivant y todas anuals; cuánto rtirará la prsona al finalizar l año? ( ) ( ) ( ) ( ) Datos : n = años; n = años; n = años y n 4 = años 3 C = 3.000, 00; C = 4.000, 00; C = 5.000, % dlos int. dv. a la fcha; C = 8.000, i = 0, anual; i = 0,5 anual; i = 0,8anual y i = 0, anual Fórulas : M = C + I; I = Cin I = I ( ) ( ) ( + I 3 + I3 4 + I4 5 = , , ) 0,8+ ( 3.000) 0, = 495, I = I * + I 3 I3 4 I ( ) 0, 4.000( ) 0,5 ( 4.000)( ) 0,8 ( 4.000) 0, 580; = = 4 4 Intrss dvngados a los 4 ss d habrs ralizado l prir dpósito : I ( ) ( ) ( ) ( 3 4 ) ** 3 ( ) ( ) ( 6 4 4) = 8.000( ) 0, ( + = + ) 0, = 780, 00 A = , , , ,5 = 7, 50 I = I + I + I = 5.7, 50 0,5+ 5.7, 50 0,8+ 5.7, 50 0, = 639, I4 I3 4 I M = C + I ; C = 3.000, , , , 00 = 0.7, 50 I T T T T T = 495, , , =.494,4 Þ M =.7, 64 T POBLEMA 09. Un corciant obtuvo un bnficio xacto o natural d Bs 506,94, a Intrés Sipl. El quisira sabr qué capital?, l produciría l quivalnt bnficio o intrés corcial n las condicions siguints: a) Al % anual n ss, b) Al 0,39 % nsual n 3 años, c) Al 0,8 % sanal n 9 ss y d) Al 9% anual dsd l al 0306.

12 ( 7 ) Datos : I = 506,94; Fórulas : C = I in I = 7 73 I E I = ,94 499, , 00 a) n = años; i = 0, anual; C =? 4 æ0, 7ö C = 500 ç Þ çè 4 ø C = æ0, 003ö b) n = 3 años; i = ç anual; C =? çè 4 ø.597, 40 C = 500 0, Þ C = 3.56,5 3.4,3 E 0, 008 c) n = 9 ss = 570 días; i = 0, 008 sanal = diarios; C =? 7 æ0, ö C = 500 ç Þ çè 7 ø C = 0,0 d) n = Dsd 6 / 4 / 00 hasta l / 3 / 0; i = 0,09 anual = diarios; C =? 40 Dl 6 / 4 /0 al 6 / 4 /Þ año Þ n = 360 días Año Corcial SplalaTabla dntr fchas paralapsos nors aun año; Ms Inicial Abril; Ms Final Marzo Þ n = Día Ms Inicial 6; Día Ms Final Þ Coo falta para llgar al s rs tan y s toan positivo, s dcir n = 5 días Þ n = = 709días æ0, 0 709ö C = 500 ç Þ çè 40 ø C =.80,87 POBLEMA 0. S dan n crédito dos capitals a tasas d intrss sipls distintas. La sua d sos capitals s d Bs 8.000,00y la sua d las tasas s d % anual, l prir capital produc un bnficio d Bs 040,00 y l sgundo capital Bs 900,00 abos n años. Dtrinar l onto d los dos capitals y las tasas d intrés qu s l aplicaron. Datos : I =.040; I =.900; n = años Fórula : i = I y C = I ; Condición : C + C = 8.000; i + i = 0, ( Cn) ( in)

13 3 I I i = ; i = Þ i = ; i = Cn Cn C C C + C = 8.000Þ C = C = 0, Þ.00C + 950C = 0, CC 950C = 00C Þ C ( 0, C 950) =.00C Þ C C.00C 50C 50C C = = Þ + C = Þ 0, C 950 0,C 475 0,C C + 0,C 475C =.980C Þ 0,C.945C = 0 Þ , C = Þ C = 9.500, 00 Þ C = Þ C= 0, i= Þ i = 0, ó i % = % ; i = Þ i = 0,0 ó i % = 0% , 00; POBLEMA. Una prsona coloca dos capitals a Intrés Sipl a una tasa dl 5% anual, suando abos capitals obtnos Bs 0.000,00. El prir capital dura colocado 8 ss ás qu l sgundo producindo abos l iso intrés o bnficio d Bs 500,00. Cuánto srá l onto d cada capital y su tipo d colocación? Datos : i = 0,5anual = 0,05 nsual; Fórula : I = Cin, y C = I ; ( in) Condicións : C + C = 0.000; n = n + 8 ss; I = I = I = 500 æn ö I = 0,5 ç + C Þ 0, 05nC + 0,0C = 500; I = 0, 05nC Þ 0, 05nC = 500; coo C = C 3 Þ è ø 0,05n ( C) = 500 Þ n ( 5 0, 05C ) = 500 Þ n 500 = sustituyndo n Þ 5 0, 05C 0, C 5 0, 05C + 0,0C = 500 Þ 6, 5C + 0,0C ( 5 0, 05C ) = 500( 5 0, 05C ) 5+ ( 5) 4( 0, 005)( 6.500) 6, 5C +, 5C 0, 005C = , 5C Þ 0, 005C 5C = 0 Þ C= Þ 0, 005 Ci = ( 7.07, 07 );(.98, 93 ), por sr C + C = 0.000; s toa C =.98, 93, ; por lo qu : C = 7.07, 07 n = Þ n = Þ n = 5, ss = 5ss y0días Þ n = 3ss y 0días ( 5 0, 05C ) ( 5 0, 05.98,93) POBLEMA. Un capital d Bs.000,00 y otro d Bs.000,00, producn ntr abos anualnt Bs 400,00. A qué tasa d Intrés Sipl stán colocados cada uno d sos capitals, si las tasas d intrés guardan una rlación d 4 a 5? Y Cuál srá l bnficio qu produc abos capitals? Datos : C =.000; C =.000; n = año; Fórula : I = Cin; i 4 Condicións : I + I = 400; = Þ 5i = 4i i 5

14 4 4i 4Ci Ci + Ci = 400; coo podos hacr : i = Þ + Ci = 400, sustituyndo Þ i + 000i = 400 Þ 800i + 000i = 400 Þ 8i = 4 Þ i = = 0,49 Þ i% = 4, 9% Þ 5 7 ( ) 4 i = 7 Þ i = 4 = 0,43 Þ i % =.43% I =.000 Þ I = 4,9; I =. 000 Þ I = 85, POBLEMA 3. Una prsona tal día coo hoy coloca un capital al % anual a Intrés Sipl, al pasar 4 ss dsa colocar l 40% dl onto producido por la prira colocación. Mantnindo la isa tasa d intrés sipl, cuál sría l capital colocado si al finalizar l año rtira dl banco un onto d Bs.569,8? Datos En la lina dl tipo para l flujo d caja i anual n año ss M T : ; = 0, ; = = ; =.569, 8 M Fórula : M = C( + in) y C = + in M T= 569,8 A n AB =4 ss B n BC =8 ss C C A=? C B=40%M AB + = = ( + ) = Þ = = ( + 0, 0 ) + C ( + 0, 0 8) =.569, 8 Þ,C + 0, 46, 08C =.569, 8 Þ, 5698C =.569,8 Þ M M.569, 8 ; M C 0, 0 4, 04C C 0, 40, 04C 0, 46 C ; dsarrollando : C C AC BC AB A A B A A A B A A A =.000,00 A POBLEMA 4. Tal día coo hoy una prsona stá planificando runir para dntro d años y dio un dinro para copltar la cuota inicial para la copra d un vhículo. Hac 6 ss ya había colocado Bs 500,00 n una ntidad bancaria al 5% anual a Intrés Sipl, hoy s dispon a dpositar n la isa ntidad bancaria Bs.00,00 y para dntro d 8 ss tin prvisto dpositar Bs 4.000,00 ás un 60% dl intrés qu haya producido las colocacions antriors a la fcha. Si 6 ss ants d finalizar los dos y dio la tasa d intrés aunta n un 3% anual; cuánto srá l onto qu rtirará la prsona al finalizar l sgundo año contado dsd hoy para darlo n pago d la cuota inicial d su vhículo?

15 5 Datos : En la lina dl tipo para l flujo d caja; i = 0, 05 nsual; i = 0, 0 nsual; Fórula : I = Cin; y M = C + I n å å n k k= K= K AD DE i AD =0,05 i AD =0,05 A n AB =6 ss B n BC =8 ss C n CD =0 ss D n DE E C A=500 C B=.00 C C= %I C I = 500 0, 05 4 = 87,50; I =.00 0, 05 8 = 0, 00; lugo I + I = 07,5; por lo qu C AC BC AC BC C = 4.000, 00+ 0, 6 07,5 = 4.4,50; I = I + I = C i n + C i n Þ I = 500 0, , 05 6 = 95, 00 ( AD) A ( DE) A A AD A DE I = I + I = C i n + C i n ( AD) B ( DE) B B AD B DE 3 ( AD) C ( DE) C C AD C DE 3 T k K k= k= Þ I =.00 0, , 05 6 = 378, 00 I = I + I = C i n + C i n Þ I = 4.4,5 0, ,5 0, 05 6 = 886, 77 å å M = C + I = 500, , , , , ,55 Þ M = 7.84, 7 POBLEMA 5. Con lo qu produc un capital n 5 años colocado al 5% anual a Intrés Sipl, s copraron Bonos d la Duda Pública qu producn bnficios a un % anual, gravado con l 45% d ipusto, obtnindo d st odo Bs.000,00 d utilidad cada año. Calcular l capital colocado al 5% anual. Datos : n = 5 años; Utilidad =.000; i = 0,5 anual; i = 0, anual; Fórula : I = Cin Capital Intrés dl Capital : I = 0,5 5C = 0, 75 C; Intrés dl Bono = 0, 0, 75C = 0, 09 C; lugo d C acurdo a las condicions dl probla stin qu : 0,09C 0, 45 0, 09C =.000 Þ 0, 0495C =.000 Þ C = 0.0, 0 Bono T

16 6 Capítulo II Dscunto y Vnciinto a Intrés Sipl. Dscunto. Es una opración d crédito qu s llva a cabo principalnt n institucions bancarias, qu consist n qu éstas adquirn docuntos (Ltras d cabio, Pagarés, tc.) d cuyo valor noinal dscuntan una sua quivalnt a los intrss qu dvnga l docunto acordado ntr la fcha n qu s rcib y la fcha n qu s vnc. Tipos d dscuntos. Síbolos a usar n st capítulo: D = Dscunto corcial, bancario o abusivo. D = Dscunto racional o atático. Dscunto corcial, bancario o abusivo (D) Dscunto racional o atático (D ) d = Tasa d dscunto corcial aplicada al valor noinal. I = Tasa d intrés aplicada al valor actual. n = Plazo para l dscunto. g = Gastos opracionals dl dscunto. N = Valor noinal o valor futuro. A = Valor actual, valor prsnt o valor fctivo... DESCUENTO COMECIAL. La cantidad d dinro a dscontar s obtin a una tasa calculada a intrés sipl, sobr l valor noinal dl docunto dscontado. D = Ndn Por dfinición sabos qu valor actual no s ás qu l valor noinal nos l dscunto por concpto d intrss, y l valor noinal s la cantidad qu aparc inscrita n l docunto a sr dscontado y qu srá cobrabl n la época d su vnciinto; por lo qu podos concluir qu: A = N D N = A + D D = N A... Valor actual n función dl valor noinal o vicvrsa. A = N ( dn) N = A / ( dn) o N = A ( dn)

17 7... Dscunto corcial con gastos. Si al ngociar un docunto corcial s l dscuntas los intrss y gastos opracionals, para obtnr l valor actual s aplican dos procdiintos: Priro. S calcula l dscunto corcial por concpto d intrss. Sguidant s obtinn los gastos. La sua d los intrss ás los gastos s dducn dl valor noinal o futuro y lo qu rsult d sta opración s l valor actual o fctivo y Sgundo. El valor actual s pud consguir diant dos fórulas; n prir lugar, cuando los gastos son sñalados d anra porcntual sobr l valor noinal, y la fórula sría: A = N ( dn g% / 00) Y n sgundo lugar, si los gastos s stablcn coo una cantidad absoluta fija, y la fórula sría: A = N ( dn) g..3. El docunto a dscontar produc intrss. Al valor inscrito n l docunto s l calcula l valor futuro o onto, con la tasa d intrés qu s l ha stablcido. Es onto asu la función dl valor noinal y con él s calcula l valor actual n función dl valor noinal... DESCUENTO ACIONAL. La cantidad d dinro a dscontar s obtin con una tasa calculada a intrés sipl, sobr l valor actual, ants d dducir los gastos opracionals si los hubir. D = Ain o D = N A Cobinando stas dos xprsions atáticas podos obtnr una fórula dond l dscunto racional nos vin dado n función dl valor noinal, tipo y tasa. D Nin = +in... Valor actual n función dl valor noinal o vicvrsa. æ N ö A = ç + in N = A + in è ø... Difrncia ntr l dscunto corcial y l dscunto racional.

18 8 ædin ö D D = ç è+ in ø D D = D in..3. lación ntr l dscunto corcial y l dscunto racional. D D = +in. Vnciinto a intrés sipl... Vnciinto coún. El vnciinto coún d dos o ás obligacions, s la fcha única n la cual s canclan sas obligacions. Síbolos: N = Valor noinal d la duda original G = Valor noinal nuvo d duda consolidada n = Plazo d tipo d la duda original k = Plazo d tipo d la duda consolidada. Valor noinal d la duda consolidada Dscunto corcial G (dk )+G (dk )+ =N (dn )+N (dn )+ Dscunto acional

19 9 G + G = N + N + ik + k + in + in Fcha dl vnciinto coún. ( N A) Dscunto corcial: n = Nd Dscunto racional: n = N A i El valor actual s obtin diant la siguint fórula: ( ) ( ) A = N dn + N dn +..Vnciinto dio. Es l quilibrio dond la sua d los productos d las dudas originals por sus rspctivos tipos ha d sr igual a la sua d los productos d las cantidads a canclar, o tabién, l quilibrio don la sua d d los productos d las cantidads anticipadas por los tipos anticipados, dbrá sr igual la sua d los productos d las cantidads prorrogadas por los tipos prorrogados..3. Dfinicions adicionals. Gk + Gk + = Nn + Nn + Dscontar un pagaré. Es la acción d rcibir o pagar hoy una cuantía nor n l valor d un dinro, a cabio d una sua ayor coprotida para fcha futura, bajo las condicions convnidas n l docunto qu s ngocia. Intrss d ora. Intrss qu s cobran calculados n bas al valor noinal por l tipo qu s rtrasa l pago. Coisions. Son cantidads d dinro qu s pagan o cobran por la prstación d un srvicio. Dscunto por pronto pago. Son dscunto qu acostubra a ofrcr los corcios ayoristas, qu pritn al coprador scogr ntr varias altrnativas su fora d pago, sgún l tipo n qu s anticip l pago sobr l plazo xprsado n la lista d prcios dl ayorista.

20 0 Fcha focal. Fcha a dond s trasladan todos los flujos d cajas, prviant acordada ntr las parts, y dond s stablc la coparación d los ingrsos con los grsos, n s punto s planta la rspctiva cuación d valor. Problas sultos d Dscunto Sipl POBLEMA 0. Tnindo una ltra cuyo Valor Noinal s d Bs ,00, s quir sabr; cuál s su Dscunto Corcial y su Dscunto acional n las condicions siguints: a) En 5 ss al 5 anual, b) En 0 días al 5% sstral y c) En 8 sanas al 4% tristral? Datos : N = 5.000, 00; Fórulas : D = Ndn y D = Nin + in a) n = 5 ss =, 5 años; i = d = 0, anual; Dscunto Corcial : D = ,, 5 Þ 750, 00 Dscunto acional : D = 5.000, 00 0, 0,5 + 0,, 5 Þ b) n = 0 días; i= D = d = 0, 05sstral = 0, diario Dscunto Corcial : D = , Þ D Dscunto acional : D = 5.000, 00 0, , c) n = 8sanas = 56 días; i = d = 0, diario Dscunto Corcial: D= , Þ D = 9,90 D = 4,3 Dscunto acional : D = 5.000, 00 0, , Þ = Þ D 65,7 D = 75,80 =,30 POBLEMA 0. En Dscunto Corcial y Dscunto acional, cuál srá l Valor Actual d una ltra d Bs..000,00 dscontada bajo las condicions siguints: a) En 6 ss al 0% anual, b) En 60 días al 5% cuatristral y c) En 30 sanas al 0,75% nsual?

21 Datos : N =.000,00; Fórulas : A = N dn y A = N + in ; D =? y D =? a) n = 6 ss = 0,5 años; i = d = 0, anual; Dscunto Corcial : D =.000, 00 0, 0,5 Þ A =.900, 00 Dscunto acional : D =.000, , 0,5 Þ D =. 904,76 b) n = 60 días; i = d = 0, 05cuatristral = 0, diario ( 60) Dscunto Corcial : D =.000, 00 0, Þ A =.949, 96 Dscunto acional : D =.000, , Þ c) n = 30sanas = 0 días; i = d = 0, 0075nsual = 0, 0005diario Dscunto Corcial : D =.000, 00 0, Þ D =.95,8 A =.895,00 Þ D.90 Dscunto acional : D =.000, , = 0, 4 POBLEMA 03. En Dscunto Corcial y Dscunto acional, hallar l Valor Noinal d una ltra d cabio cuyo Valor Actual s d Bs..500,00 dscontada a las tasas d Intrés Sipl y lapsos d tipos siguints: a) En 4 ss al 8% anual, b) En 0 días al,5% bistral y c) En 0 sanas al /3% nsual. Datos : N =.500,00; Fórulas : N = A dn y N = A + in ; D =? y D =? a) n = 4 ss = 0, años; i = d = 0, 08 anual; ( 0,333333) Dscunto Corcial : N =.500, 00 0, 08 0, Þ Dscunto acional : N =.500,00 + 0,08 Þ N =.566,67 b) n = 0 días; i = d = 0, 05 bistral = 0, diario Dscunto Corcial : N =.500, 00 0, Þ Dscunto acional : N =.500, , Þ N = N = N =.568, , , 67 c) n = 0 sanas = 40 días; i = d = 0, 0067 nsual = 0, 0003diario Dscunto Corcial : N =.500, 00 0, Þ N =.580, 57 Dscunto acional : N =.500, , Þ N =. 578, 05 POBLEMA 04. A cuánto ontará l Valor Noinal d las ltras siguints si s tin: a) D=Bs. 0,00y D=Bs. 0,00 y b)d=bs.35,00 y D=Bs.5,00. Datos : Vr los litrals : Fóula : N = D D D D ; N =? a) D = 0; D = 0 Þ N = Þ ( 5) b) D = 35; D = 5 Þ N = Þ N = 5.87,50 N =.30, 00

22 POBLEMA 05. Si l Dscunto acional d un pagaré s d Bs. 800,00 y la difrncia con rspcto al Dscunto Corcial s d Bs. 0,00, cuál srá l Valor Noinal dl pagaré? ( 800) Datos : D = 800,00 : Fóula : N = D D D D ; Condición: D D = 0 Þ D= 0 + D Þ D = = 90 N = Þ N = 6.33,33 POBLEMA 06. Sabindo qu la difrncia ntr l Dscunto Corcial y l Dscunto acional s d Bs. 0,00n una ltra d cabio girada a 90 días a la vista y con una tasa a Intrés Sipl dl % anual; s pid obtnr l Valor Noinal d sa ltra d cabio. Datos : n = 90días = 0,5 años; i = d = 0, anual; Fóulas : N = D dn y D = D D in ; Condición : D D = 0; N =? Þ N = ( 0, 5) D = 0 0, 0, 5 = 4.000, 00 Þ D = D + 0 = = , Þ N = , 33 POBLEMA 07. Un corciant tin una ltra d cabio d Bs..500,00 pagadra a 75 días, si lo dscunta corcialnt rcib Bs..350,00 y si lo dscunta racionalnt rcibirá Bs. 5,00 qu si lo dscontara corcialnt. Qué tasa a Intrés Sipl s l aplicó para obtnr l Valor Noinal d la ltra d cabio. Datos : N =.500, 00; n = 75días = 0, años; D =.350; Fórula : i = D D nd ; Condicions : D D = 5 Þ D = D 5 =.335; d = i=? d = 5 0, Þ d = 0, 0308 diario ó d% = 3, 08% diario POBLEMA 08. El prcio d contado d una aquinaria s d Bs..500,00. Al onto d la ngociación s cancla la itad d su costo y l rsto diant 4 ltras d cabio d igual Valor Noinal pagadras tristralnt. Cuál srá l valor d cada ltra d cabio, si la opración s ralizó aplicando una tasa d Dscunto Corcial sipl dl 9% anual?

23 3 Costo dcontado =.500; Cuota Inicial = 750 Þ Duda a Canclar = 750 Þ A = 750; d = 0, 09anual = 0, 0075 nsual; 3 4 ( 0, ) ( 0, ) ( 0, ) ( 0, 0075 ) Fórula : A = N i dn y N = A dn ; N =? A + A + A + A = A Þ N + N + N + N = 0,9775N+ 0,9550N+ 0,935N+ 0,900N = 750 Þ 3, 775N = 750 Þ N = POBLEMA 09. S db un pagaré d Bs ,00 pagadro n 9 ss. El dudor lugo d transcurridos 3 ss d habrlo firado rsulv abonar con cargo al iso Bs..000,00. Si la opración s raliza a una tasa d Dscunto Corcial sipl dl 0%, y l rsto d la duda s dsa canclar diant ltras d igual onto para sr pagadas d anra tristral durant los últios 6 ss, cuánto srá l Valor Noinal d las ltras? Datos : N = 5000, 00; n = 9ss = 0, 75 años; d = 0,0; Fórula : A = N dn S actualiza l onto dl pagaré alostrs ss : A = ,0 0,5 = Þ A = =.750; tnindo l valor actual con la canclación ralizada a los trs ss s hac : A + A = A Þ N 0,0 0, 5 + N 0,0 0,50 =.750 Þ BD CD 0,975N + 0, 950N =.750 Þ,95 N =.750 Þ N =.48,57 POBLEMA 0. S solicita un préstao d Bs ,00 a una ntidad bancaria para sr canclado diant 4 cuotas tristrals d Bs..500,00 cada una. Si la ntidad bancaria dscunta Bs..000,00, dtrinar qué tasa d Intrés Sipl s aplicó para aprobar l préstao? Datos : N =.500, 00; Pr éstao = 0.000; n = cuatro cuotas tristrals; D =.000; i Fóula : A = N dn ; Condición : A = = ,5d ,5d 0 é A + A + A3 + A4 = A; Þ.500 0, 5d 0,5d 0, 75d d ù ë û = Þ = Þ =,4Þ d = 0,6 ó d% = 6% POBLEMA. Un acrdor tin n su podr 3 ltras d cabio; la prira por Bs..500,00 a 45 días, la sgunda por Bs..000,00 a 90 días y la trcra por Bs..500,00 a 35 días. El dudor propon una ngociación para consolidar las 3 ltras n una sola para canclarla n 90 días. Con la acptación dl acrdor d las ltras, la opración s raliza a una tasa d Dscunto Sipl dl 5% anual. Cu{al srá l valor ltra única d cabio tanto n Dscunto Corcial coo Dscunto acional?

24 4 Datos : N =.500; n = 0,5 años; N =.000; n = 0, 5 años; N =.500; n = 0,375 años; 3 3 G =?; k = 0, 5; i = d = 0,5 anual ( ) + ( ) + ( ) N dn N dn N3 dn3 Dscunto Corcial : G = dk G = é ë.500 0,5 0, ,5 0, ,5 0,375 û G = 6.09, 48 ù( 0,5 0, 5) Þ é N N N ù 3 Dscunto acional : G = + + ( + ik ê ) in in in ú ë û G = é ,5 0,5 ëê ,5 0, ,5 0,375 ù ú+ 0, û G = 6.09,39 ( 5 0,5) POBLEMA. S db una ltra d cabio d Bs ,00 pagadra n 9 ss. S studia consolidarla n 3 ltras tristrals d cabio d igual valor noinal conzando a canclarlas al finalizar l trcr s d los 9 ss stablcidos n la ltra d cabio original. Si la tasa a Dscunto Sipl qu s aplicará a la opración s dl % anual; cuál srá l onto d cada ltra d cabio tanto a Dscunto Corcial coo a Dscunto acional? Datos : G = G = G = G; k = 0, 5 años; k = 0,5 años; k = 0, 75 años; G = 5.000; k = 0, 5; 3 3 i = d = 0, anual; N = 5.000; n = 0, 75 años ( ) + ( ) + ( ) = ( ) Dscunto Corcial : G dk G dk G dk N dn 3 3 ù Þ G é ë 3 0, 0, 5 + 0, 0,5 + 0, 0, 75 û = , 0, 75 G =.63, 48 ( in) Þ G = Dscunto acional : G + ik + G + ik + G + ik = N + Þ G é ( 0, 0, 5) ( 0, 0,5) ( 0, 0, 75) ù ê = 5.000( + 0, 0, 75) Þ ë úû,8370g = ,55963 Þ G =.69, 93 Þ POBLEMA 3. Una ntidad bancaria tin un clint qu db dos ltras d cabio, una d Bs..500,00 con vnciinto a 45 días, y otra d Bs. 000,00con vnciinto a 0 días. S acurda darl un año para pagar diant cuotas bistrals iguals a Dscunto Sipl sindo la tasa dl % anual. Cuál sría l pago d cada cuota bistral?

25 5 Datos : N =.500; n = 0,5 años; N =.000; n = 0, años; Cuotas bistrals G =?; i = d = 0, anual Dscunto orcial : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G dk + G dk + G dk + G dk + G dk + G dk = ( ) ( ) é6 N dn + N dn Þ G dk dk dk3 dk4 dk5 dk ù ë û =.500 0, 0, , 0, Þ G é6 0, 0, , ,5 0, , ù ë û =.437,50 5,58G =.437,50 Þ G = 436,83 POBLEMA 4. Cuál sría l Vnciinto Mdio d 3 ltras d cabio d onto: Bs..00,00; Bs..500,00y Bs..000,00 cada una, las cuals vncn a los 45, 90 y 35 días rspctivant, stando a una tasa d Dscunto Sipl dl 9% anual? Datos : N =.00; n = 45 días; N =.500; n = 90 días; N =.000; n = 35 días; n 3 3 N n + N n + N n N + N + N = = Þ 3 n = 98 días POBLEMA 5. S tinn 3 ltras cuya sua d sus Valors Noinals s d Bs..78,00. S dscuntan a una tasa d Dscunto Sipl dl 8% anual. Los tipos d vnciintos d cada ltra d cabio s a 5, 7 y9 ss rspctivant. El Dscunto Corcial d la prira val tanto coo él d las otras juntas ás Bs. 4,00 y l Dscunto Corcial d la sgunda s d Bs. 3,30 nos qu él d las otras dos juntas; cuál srá l Valor Noinal d cada ltra? Datos : n = 5 ss; n = 7 ss; n = 9 ss; d = i = 0, 08anual = 0, nsual; 3 Condicions : N + N + N =.78, 00; D = D + D + 4; D = D + D 3, D D D3 D D D3 + + = + + = 30D +, 43D + 6, 67D3 =.78, 00 dn dn dn 0, , , D +, 43D + 6, 67D =.78, 00 Suando y 3 rsulta qu : D = 4 3,3 Þ 3 3 D D D = 4 () D = 4, 65; sustituyndo st valor n quda : 3 3 D + D D = 3,30 (3) 30D +, 43D =.00, D +, 43D =.00, 48 D D 8, 65 D D = Þ = ( D ) + 8, 65 Þ , 65 +, 43D =.00, 48 Þ 5, 43D = 940,98 Þ D = 8,30; por lo qu : D = 8,30+ 8, 65 Þ D = 6,95 6,95 8,30 4, 65 N = Þ N= 808,46; N = Þ N = 39,; N3 = Þ N3 = 77,50 0, , ,

26 6 POBLEMA 6. Tnos una duda d Bs..000,00 qu s vnc dntro d 4 ss. S dsa canclarla n dos parts: Bs..400,00 a 5 ss. Dtrinar por cuantos días dbos anticipar l rsto d Bs. 600,00 para qu haya copnsación d intrss, si la opración s raliza a una tasa sipl dl % anual. Datos : N =.000; n = 4 ss; G =.400; n = 5 ss; G = 600; n =?; Condición : Nn = G n + N n Nn G n n = Þ n = Þ n = ss = días N POBLEMA 7. S tin una duda d Bs ,00 qu s vnc n 5 ss. Si s cancla Bs..00,00, 3 ss ants d vncrs; Bs. 800,00, dos ss ants d su vnciinto y Bs. 600,00, s y dio dspués d su vnciinto. Dtrinar la fcha d vnciinto d los rstants Bs. 400,00 n qu s canclaría l total d la duda. Datos : N = 3.000; n = 5 ss; G =.00; n = ss; G = 800; n = 3 ss; G = 600; 3 n = 6,5 ss; G = 400; n =? Condición : Nn = G n + G n + G n + G n + G n n ( ) Nn G n + G n + G n + = Þ n = G4 n = 63 ss = 473 días 4 POBLEMA 8. S obtin un préstao d Bs 0.000; para canclarlo n 5 ss, junto con sus intrss, a una tasa d intrés sipl dl 5% anual. Transcurridos 9 ss, s dscunta l docunto n una ntidad bancaria a una tasa d dscunto sipl dl % anual. S pid dtrinar: a) Cuánto rcibió n fctivo l acrdor dl docunto al dscontarlo? Y b) Cuál s la tasa d la ganancia d la ntidad bancaria al cabiar l docunto? Datos : C = 0.000; n = 5 ss; i = 0,5anual = 0, 05nsual n = 9 ss; ( I N ) d = 0,anual = 0, 0 nsual; Fórulas : M N = C + in ; A = M i dn y i = Cn a) M = , 05 5 =.875, 00; =.875 0, 0 6 = 6, 50 N b) En una invrs ó.6,50 lugo; i= Þ , 75 por lo qu A ( ) Þ A. i n d Bs n ss años s ha ganado Bs = 0, 75.6, =.6,50; i = 0,550 o i% = 5, 50% Þ

27 7. Dfinicions fundantals. Título II Intrés sgunda part Capítulo III Intrés Copusto.. Intrés Copusto. Es la opración d la atática financira qu nos prit qu n príodos stablcidos d antano, los intrss dl capital colocado s l vayan suando, crando un nuvo capital y así sucsivant hasta qu finalic l lapso d tipo qu dur la colocación d s dinro... Capitalización. Es l procso d suar los intrss al capital cada vz qu s liquidan al finalizar l príodo stablcido para la isa..3. Príodo d capitalización. Lapso al final dl cual s capitalizan los intrss para sguir producindo nuvos intrss..4. Frcuncia d capitalización. Núro d vcs por año, qu los intrss s acuulan al capital..5. Intrés copusto discrto. Es cuando l intrés a capitalizar s raliza n un príodo d capitalización d un año..6. Intrés copusto fraccionado. Es cuando l intrés a capitalizar s raliza n príodos d capitalización nors a un año (días, ss, bistr, tristr, cuatristr, sstr)..7. Intrés continuo. Es cuando l intrés a capitalizar s raliza n príodos d capitalización infinitant pquños..8. Intrés copusto inusual. Es cuando l intrés a capitalizar s raliza n príodos d capitalización ayors a un año (bianual, trianual, tc.). Est s un tipo d intrés qu no s usa n la atática financira por no sr práctico para los bnficios qu db gnrar un dinro invrtido; sin bargo atáticant s calculabl.. Síbolos, dfinicions y fórula... Síbolos. C = Capital inicial.

28 8 i = Tanto por uno anual o tasa fctiva. I% = Tanto por cinto anual. n = Lapso d tipo qu pranc colocado un capital. I = Intrés copusto acuulado. J = Tasa noinal d intrés. J / = Tasa noinal proporcional d intrés. = Frcuncia d capitalización. M = Capital inicial ás los intrss acuulados (onto) S = Factor d capitalización. Valor futuro d un capital cuando l capital inicial s d Bs. V n = Factor d actualización. Valor actual d un capital futuro d Bs. a intrés copusto... Dfinicions y fórulas.... Intrés copusto discrto. Coo s inforó antriornt st s un intrés dond l príodo d capitalización s d un año, por lo qu su frcuncia srá anual y por lo tanto = y J = i, y l onto y sus variabls coponnts s calcula por: M = C + i Factor d acuulación: S = ( + i) n n C = M + i, C = ( + i) n M M æm ö i = n, i = ç, C è C ø n = log M log C log ( + i) n Factor d actualización: V = ( + i)

29 9... Intrés copusto fraccionado. Es l intrés qu prsnta príodos d capitalización nors a un año. Diario, =360 (n la práctica no s usa); sanal, =5 (n la práctica poco s usa); nsual, =; bistral, =6; tristral, =4; cuatristral, =3, sstral, = y anual, =. Sgún i óptica st s l intrés copusto ás plados por lo tanto rcoindo prstar spcial atnción a los problas dond haya qu utilizars todos los instruntos d cálculo y lntos d análisis dond s apliqu st tipo d intrés copusto. M æ J C ö = ç + n M C = æ J ö ç + è ø J = ê è ø C é ë M n n log M log C n = æ J ö log ç + è ø ù ú û æ J ö = ç + è ø Factor d acuulación: S Factor d actualización: V æ J ö = ç + è ø 3.Las divrsas tasas d intrés 3.. Tasa fctiva d intrés. Es la tasa d intrés, a la qu ralnt produc intrés un capital n un príodo dtrinado. Por convnción s acpta coo príodo noral l qu abarca un lapso d un año.

30 30 3..Tasa noinal d intrés. Son tasas d intrés qu corrspondn a un dtrinado príodo, n l cual los intrss s abonan al conzar o finalizar l iso Tasa proporcional d intrés. Son tasas n las cuals los intrss s abonan ás d una vz durant l lapso pactado para la tasa noinal. Es abono s hac al capital, dpndindo d la frcuncia d capitalización acordada para l lapso d tipo qu dur colocado l iso Tasa quivalnt d intrés. Por su iportancia n l cálculo d las Matáticas financira db tnrs un conociinto prciso sobr sta tasa, las cuals stablcn una quivalncia ntr tasas qu corrspondindo a príodos d capitalización difrnts, producn intrss iguals para capitals y tipos iguals. i ( i) = + 4. Intrés continuo. En ralidad s un intrés copusto dond los príodos d capitalización son infinitant pquños. C = M in M = C in i = log M log C nlog n = log M log C ilog 5. Tasa d intrés sipl quivalnt a una tasa d intrés copusto o vicvrsa.

31 3 n ( + i ) c, ( ) n is = ic = + isn n 5. Intrés o bnficio obtnido a intrés copusto. Partindo dl capital J é n ù I = Cê + ú ë û Partindo dl onto é æ J I M ö = ç + ê ë è ø n ù ú û Problas d Intrés Copusto Probla 0. Dtrinar l capital qu invrtido n 5 años a una tasa noinal anual dl 5%, con capitalización tristral, produjo un onto d Bs..500,00. Probla 0. Dtrinar la tasa noinal anual con capitalización sstral a la cual s invirtió un capital d Bs. 800,00, si n 4 ss s rtiró dl banco un total d Bs..43,9. Probla 03. Dtrinar l tipo qu staría invrtido un capital d Bs. 750,00 a una tasa d intrés noinal anual dl % con capitalización bistral para qu produzca un onto d Bs..07,8. Probla 04. Dtrinar l intrés producido por un capital invrtido a una tasa d intrés noinal anual dl %, con capitalización cuatristral qu n 4 años produjo un onto d Bs..800,00. Probla 05. Un capital n 45 ss produc un bnficio d Bs..46,84, a una tasa d intrés noinal anual dl 5% con capitalización nsual. Cuál fu l onto d s capital? Probla 06. S tin un capital d Bs. 600,00, colocado a una tasa noinal anual dl 9%, durant 30 ss dtrinar y contar los ontos si los príodos d capitalización son: a) Anual, b) Sstral, c) Cuatristral d) Tristral, ) Bistral y f) Mnsual. Probla 07. S colocan n una ntidad bancaria Bs. 850,00 a una tasa noinal sstral dl 5% con capitalización tristral. Por razons d rgncia pasado 3 años, ss y 6 días s tin qu rtirar l dinro colocado, dtrinar l onto rtirado. Probla 08. Cuánto tipo tardará n duplicars un capital a una tasa noinal anual dl % con capitalizacions: a) Sstrals y b) Tristrals.

32 3 Probla 09. S han invrtido Bs ,00, durant 8 años, a la tasa d intrés noinal anual dl 9% con capitalización bistral. Dicha tasa srá auntada n un % cada años. Dtrinar l onto a rtirar al finalizar l príodo d colocación. Probla 0. S han invrtido Bs..500,00 a una tasa noinal anual dl %, con capitalización tristral durant 8 años. Durant s príodo s hiciron los siguints rtiros: a) Al finalizar l trcr año Bs. 300,00, b) Al finalizar l quinto año Bs. 500,00 y c) Al finalizar l séptio año Bs. 400,00. Dtrinar l onto a rtirar. Probla. Qué capital srá ncsario invrtir a una tasa noinal anual dl 9%, con capitalización tristral para qu a los 5 años s rtirn Bs. 400,00 y a los 8 años s obtnga un onto d Bs..000,00. Probla. El onto d un capital a los 36 ss d su invrsión fu d Bs ,3 y a los 6 años Bs. 8.56, 76. Dtrinar l capital y la tasa noinal anual si sabos qu s aplicó una capitalización nsual. Probla 3. S han invrtido Bs..000,00 al % noinal anual con capitalización sstral, durant 30 ss. Si al final d cada príodo d capitalización s rtira la itad d los intrss ganados n dicho príodo. Dtrinar l onto a rtirar al finalizar l tipo d la invrsión. Probla 4. El onto producido por un capital, a los 3 años d su invrsión, ascndió a Bs ,3y a los 6 años a Bs. 8.56,76. Si s l aplicó una tasa noinal anual con capitalización nsual; dtrinar l capital invrtido y la tasa noinal utilizada. Probla 5. S han invrtido dos capitals, l priro d Bs..00, al % noinal anual con capitalización sstral, y l sgundo d Bs..000,00 al 6% noinal anual con capitalización tristral. Cuánto tipo tardarán n igualars n sus ontos? Probla 6. Cuál srá l onto qu producirá un capital d Bs. 500,00, colocado a una tasa d intrés noinal anual dl 9% con capitalización continua durant 5 años? Probla 7. Dtrinar la tasa d intrés sipl quivalnt a una tasa dl % noinal anual con capitalización tristral durant 4 años. Probla 8. Dtrinar la tasa noinal anual, con capitalización bistral, quivalnt a una tasa dl 5% anual a intrés sipl durant 5 años. Capítulo IV Dscunto y Vnciinto Coún a Intrés Copusto. Dscunto.Todas las considracions y concptos forulados n l Capítulo II son válidos para l studio dl Dscunto y Vnciinto Coún a Intrés Copusto; sin

33 33 bargo s iportant aclarar qu l dscunto corcial s prfribl aplicarlo a intrés copusto cuando l lapso d tipo a aplicar al ngocio s bastant largo, ya qu intrés sipl l dscunto pud llgar a suprar a l onto o valor futuro lo cual s un absurdo. Convngaos ntoncs qu n lapsos pquños d tipos utilicos l dscunto racional a intrés copusto y n lapso grands l dscunto corcial a intrés copusto.. Dscunto Corcial. é n n æ d ö ù éæ D = N A, d ö ù D = N, D A ç = ç ê ë è ø ú û ê ëè ø ú û. Valor actual n función dl valor noinal o vicvrsa n dscunto corcial. A = N ( d /) n, N = A ( d /) n 3.Dscunto acional. é n n æ J ö ù éæ D = N A, J ö ù D, = N ç + D = A + ç ê ë è ø ú û ê ëè ø ú û 3. Valor actual n función dl valor noinal o vicvrsa n dscunto racional. N = A ( + J / ) n, A = N ( + J / ) n 4. lacions ntr las difrnts tasas. SÍMBOLOS. i = Tasa fctiva d dscunto racional. J = Tasa noinal d dscunto racional d = Tasa fctiva d dscunto corcial. d = Tasa noinal d dscunto corcial 4.. Tasa d intrés fctiva n función d la tasa d dscunto fctiva o vicvrsa. d i i=, d = d + i 4.. Tasa d intrés fctiva n función d la tasa d intrés noinal o vicvrsa.

34 34 æ J ö é, ( ) ù i = ç + J = + i ê ë ú è ø û 4.3. Tasa d intrés fctiva n función d la tasa d dscunto noinal o vicvrsa. é ù é ù i =, d = d ( ) æ ö ê + i ú êç ë û ú ëè ø û 4.4. Tasa d intrés noinal n función d la tasa d dscunto fctiva o vicvrsa. é ù é ù J =, d ( ) = ê d æ J ö ë úû êç + ú ëè ø û 4.5. Tasa d intrés noinal n función d la tasa d dscunto noinal o vicvrsa. J d J =, d = d + J 4.6. Tasa d dscunto fctiva n función d la tasa d dscunto noinal o vicvrsa. æ d ö é, ( ) ù d = ç d = d ê ë ú è ø û

35 35 SÍMBOLOS i = Tasa fctiva d dscunto racional. J = Tasa noinal d dscunto racional d = Tasa fctiva d dscunto corcial. d = Tasa noinal d dscunto corcial Tasa d Intrés Efctiva n función d la tasa d Intrés Noinal æ J i ö = ç + è ø Tasa d Intrés Noinal n función d la tasa d Intrés Efctiva é ( ) ù J = ê + i ë ú û Tasa d Intrés Efctiva n función d la tasa d Dscunto Efctiva Tasa d d i = Dscunto d Efctiva n función d la tasa d Intrés Efctiva i d = +i Tasa d Intrés Efctiva n función d la tasa d Dscunto Noinal i æ d ö = ç è ø Tasa d Dscunto Noinal n función d la tasa d Intrés Efctiva ( ) d = é ê + i ù ë ú û Tasa d Intrés Noinal n función d la tasa d Dscunto Efctiva é ( ) J d ù = ê ë ú û Tasa d Dscunto Efctiva n función d la tasa d Intrés Noinal æ j d ö = ç + è ø Tasa d Intrés Noinal n función d la tasa d Dsc. Noinal J = d d Tasa d Dsc. Noinal n función d la tasa d Intrés Noinal d = J + J Tasa d Dscunto Efctiva n función d la tasa d Dsc. Noinal d æ d ö = ç è ø Tasa d Dscunto Noinal n función d la tasa d Dsc. Efctiva ( ) d é ù = ê d ë ú û

36 36 5. Vnciinto Coún. Al igual qu n intrés sipl n l intrés copusto db antnrs l principio dl quilibrio d la quivalncia s dcir: la sua d los valors actuals d las obligacions priarias, dbrá sr igual a la sua d los valors actuals d las obligacions consolidadas. Coo l dscunto corcial o xtrior no sul plars n la práctica corcial, salvo qu s plant nos liitaros a utilizar n nustros problas utilizaros l dscunto a intrés copusto atático, racional o intrior, ntoncs: GV + G V + = N V + N V + K K n n 5.. Vnciinto dio. El vnciinto dio s la igualdad qu s tin ntr los valors noinals d las las dudas priarias y l valor noinal d la duda consolidada, por lo qu: n n l og P log N V + N V + h n =, P = N æ J ö å t ç + è ø h d Coo s podrá obsrvar l vnciinto dio s l lapso d tipo n la cual s pud canclar la sua d las dudas stablcidas. En l caso dl vnciinto coún qu s la gnralidad d los problas prsntados l valor d G no l ás qu l valor d P n l vnciinto dio, l cual s un caso spcial dl vnciinto coún. Problas d Dscunto y Vnciinto Coún a Intrés Copusto Probla 0. El Valor Actual d una ltra d cabio dscontada 4 ss ants d su vnciinto, ascind a Bs..464,68. Dtrinar su Valor Noinal tanto n Dscunto Corcial coo n Dscunto acional si s l aplica una tasa d dscunto noinal anual dl 9%, con capitalización tristral. Probla 0. El Valor Noinal d una ltra d cabio s d Bs ,00. Dtrinar l Valor Actual, tanto n Dscunto Corcial coo n Dscunto acional si s dscunta 30 ss ants d su

37 37 vnciinto stando colocada a una tasa d dscunto noinal anual dl %, con capitalización cuatristral. Probla 03. Dtrinar a cuánto ontará l Dscunto Corcial y l Dscunto acional? d una ltra d cabio cuyo Valor Noinal s d Bs..500,00 dscontada 9 ss ants d su vnciinto y qu fu concrtada a una tasa d dscunto noinal anual dl 5% con capitalización sstral. Probla 04. Dtrinar l Dscunto Corcial y l Dscunto acional d una ltra d cabio cuyo Valor Actual s d Bs..45,85 dscontada 9 ss ants d su vnciinto a una tasa d dscunto noinal anual dl % con capitalización bistral. Probla 05. Una ltra d cabio con un Valor Noinal d Bs..00,00 ha sido dscontada 8 ss ants d su vnciinto a una tasa d dscunto noinal anual dl 5% con capitalización sstral. Aplicando l Dscunto Corcial y l Dscunto acional, dtrinar; qué cantidad d dinro srá dscontado? Probla 06. Dtrinar: a) La tasa d dscunto noinal corcial qu corrspond a una tasa d dscunto racional fctiva dl %, con capitalización cuatristral, b) La tasa d dscunto fctiva corcial corrspondint a una tasa d dscunto noinal racional dl 3%, con capitalización tristral y c) La tasa d dscunto noinal racional corrspondint a la tasa noinal corcial dl % con capitalización bistral Probla 07. Un préstao s ralizó y s stablció l onto d Bs..000,00 n una ltra d cabio con vnciinto a 3 años, la cual fu grabada con una tasa d intrés dl 5% capitalizabl tristralnt (los intrs s calculan al vnciinto d la duda). Pasado años s dsa dscontar la ltra d cabio dl préstao. Si al dscunto s aplica una tasa d intrés dl 8% anual noinal capitalizabl; cuál srá l dinro fctivo qu s ntrgará si s apruba la opración? Probla 08. Una duda stá stablcida diant trs ltras d cabio, la prira por Bs. 00,00, pagadra n 4 ss; la sgunda por Bs. 80,00, pagadra a 8 ss y la trcra por Bs.500,00 pagadra a 8 ss. S pinsa consolidar sa duda diant dos giros d igual valor noinal cada uno con vnciinto a 9 ss y ss rspctivant, si a la opración s l aplica una tasa d intrés noinal anual dl % con capitalización nsual, dtrinar l valor noinal d cada giro. Probla 09. S tin una duda por Bs..500,00 a 8 ss y otra por Bs..500,00 a 5 ss. S planta consolidar sa duda n dos ltras d cabio una por Bs..00,00 pagadra a 6 ss y la otra pagadra a año. Si la opración s raliza a una tasa d intrés noinal anual dl 9% con capitaliza cuatristral, cuál srá l valor noinal d la sgunda ltra d cabio? Probla 0. S ngocia un trrno por Bs ,00, pagándos l 40% n l onto dl acurdo sobr la opración, qudándos d acurdo d pagar l rsto d la duda diant 8 pagos tristrals, firando ltras d cabio d igual valor. Si la ngociación s foralizó aplicando una tasa d intrés noinal anual dl % con capitalización sstral, a Dscunto Corcial y a Dscunto acional, cuál sría l onto d cada ltra?

38 38 Probla. Un corciant tin trs coproisos d pagos con una ntidad bancaria, la prira por Bs. 4000,00, vncida hac 3 ss; la sgunda por Bs. 6000,00 qu s vnc tal día coo hoy y la trcra por Bs. 8000,00, qu s vnc dntro d 9 ss. S acurda con l acrdor consolidar la duda n una sola ltra con vnciinto a 6 ss a partir d la fcha actual. Si s aplica una tasa noinal anual dl 9% con capitalización bistral, cuál srá l valor noinal d la ltra d cabio consolidada? Probla. Tal día coo hoy s dbn 6 giros d igual valor noinal d Bs. 00,00, cada uno pagadros cuatristralnt. S acurda consolidarlos n una sola ltra pagadra a los 6 ss dl vnciinto d toda la duda, aplicando una tasa d intrés noinal anual dl 0%, con capitalización tristral. Cuál srá l valor noinal d la nuva ltra? Probla 3. S dbn 3 giros, l priro por Bs..000,00 a 9 ss, l sgundo por Bs ,00 a 5 ss y l trcro por Bs ,00 a ss. Dtrinar l Vnciinto Coún d un giro d Bs ,00 qu s acordó para consolidar la duda d los 3 giros antriors si la opración s foralizó a una tasa d intrés noinal anual dl 9% con capitalización tristral. Probla 4. Dtrinar l Vnciinto Mdio d 3 giros, l priro d Bs. 500,00 a 5 ss, l sgundo d Bs. Sgundo d Bs. 800,00 a 0 ss y l trcro por Bs..00,00 a 5 ss, aplicando una tasa d intrés noinal anual dl 0%, con capitalización sstral. Probla 5. Dtrinar: a) La tasa d dscunto racional fctiva qu corrspond a una tasa d dscunto corcial noinal anual dl 0% con capitalización, b) La tasa d dscunto racional noinal qu corrspond a una tasa d dscunto corcial fctiva dl % con capitalización tristral y c) La tasa d dscunto corcial noinal qu corrspond a una tasa d dscunto racional noinal dl 8% con capitalización bistral.