Síntesis de Filtros Usando el Método de la Matriz de Acoplos, y Aplicación al Diseño de Filtros Transversales Multicapa

Transcripción

1 ESCUELA TÉCICA SUPEIO DE IGEIEÍA DE TELECOUICACIÓ UIVESIDAD POLITÉCICA DE CATAGEA Proecto Fi de Carrera Sítei de Filtro Uado el étodo de la atriz de Acoplo, Aplicació al Dieño de Filtro Traverale ulticapa AUTO: óica artíez edoza DIECTO: Aleadro Álvarez elcó CODIECTO: David Cañete ebeaque Cartagea, oviembre 6

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3 Autor del Autor Directore del Director Codirectore Título del PFC Decriptore óica artíez edoza Aleadro Álvarez elcó David Cañete ebeaque Sítei de Filtro Uado el étodo de la atriz de Acoplo, Aplicació al Dieño de Filtro Traverale ulticapa Filtro de microoda, matriz de acoplo, método de ítei de circuito, dieño de filtro eume E ete proecto fi de carrera e pretede abordar el etudio de la técica de la matriz de acoplo u aplicació a la ítei de diferete fucioe de traferecia de filtro utilizado e comuicacioe móvile por atélite El etudio de la técica, icluirá la formulació ecearia para llegar a la matriz de acoplamieto, aí como diferete procedimieto para traformar éta e otra equivalete, que repreete ua topología má adecuada para la tecología que e preteda utilizar e la fabricació del filtro Tra la primera fae de etudio de la técica, e implemetará ua herramieta capaz de calcular lo acoplo eceario etre lo elemeto del filtro, aí como de traformar la matriz de acoplo, correpodiete a ua cofiguració dada, e otra equivalete Fialmete, e itetizará divera fucioe de traferecia de aplicació práctica, icluedo la topología a utilizar e cada cao, poible etructura para la implemetació fial del filtro Titulació Igeiero de Telecomuicació Iteificació Sitema ede de Telecomuicació Departameto Tecología de la Iformació la Comuicació Fecha de Preetació oviembre de 6 I

4 II

5 A mi padre Atoio e Iabel a mi hermaa aria III

6 IV

7 o llore por o haber vito el ol, porque la lágrima te impedirá ver la etrella abidraath Tagore V

8 VI

9 AGADECIIETOS Quiero comezar dado la gracia a mi padre por el apoo icodicioal e todo lo que hago, por haber creído iempre e mí Por preocupare día a día de mi felicidad repaldarme cuado lo he eceitado Gracia tambié a aria, mi hermaa, mi amiga mi cómplice e el día a día So quie o lo que o, i duda, gracia a vootro tre uto podemo co todo porque formamo el equipo perfecto O quiero Dar la gracia tambié a Seba, por cada mometo que ha compartido comigo Por teer iempre ua oria para mí, por hacer que me levatara cada día co iluió gaa de ir a la uiveridad Tambié por el iteré que ha pueto e ete proecto por itetar reolver comigo la duda que le plateé Gracia a mi amiga por todo lo mometo e que ha cotado comigo E epecial, gracia a Aratxa Almudea, por lo café que o hemo tomado uta eto último 5 año, por ecucharme iempre teer palabra de áimo cuado la eceitaba Sé que etái etaréi iempre ahí Gracia a Flori, Lidia, Laura, ua, avi, Sergio todo lo demá compañero de la carrera, porque gra parte del camio que fializa co ete proecto lo recorrimo uto Gracia por la hora e práctica, por la clae lo que iba, por la fieta uiveritaria aquí í que iba todo, por la comida lo deauo e la catia, por la ria Todo fue má fácil divertido cuado etabai cerca Tambié quiero dar la gracia a Aleadro, mi director de proecto, por haber cofiado e que podía hacerlo por er optimita cuado o o lo era Gracia por todo el apoo técico recibido, pero obre todo gracia por el etuiamo cotagioo pueto a cada pao, que ha coeguido motivarme día a día, por la alegría motrada ate cualquier pequeño avace Agradezco tambié a David Cañete, mi codirector de proecto, la ceió del código iicial a partir del que dearrollé alguo de lo programa que forma ete proecto, aí como u dipoició cotate para reolver duda E defiitiva, gracia a todo lo que me audaro a ecotrar el camio cuado peé que etaba perdida, a lo que me cotagia iluioe, a lo que día a día me cruzo por lo paillo me devuelve la oria, a todo aquello que me auda a eguir adelate de ua u otra forma Si todo vootro, eto o habría ido poible VII

10 VIII

11 Ídice Itroducció Decripció del proecto Plateamieto iicial del proecto Obetivo 3 Etructura de la memoria 4 Aportacioe ovedoa 5 Software dearrollado 3 Cocepto báico 4 Qué e u filtro? 4 Sítei de filtro 7 3 Pricipale tipo de filtro 8 étodo de ítei de la matriz x Itroducció Sítei de poliomio Fució de filtrado 3 Técica recuriva 3 Pricipio de igularidad alterativa 3 étodo geeral 3 3 étodo de hode & Aleab 4 4 Eemplo de ítei de poliomio 8 3 Procedimieto para obteer la matriz de acoplo x 35 3 ede de do termiacioe 35 3 ede de ua termiació Sítei 4 33 Procedimieto para obteer la ecuacioe del circuito Cálculo de lo parámetro de admitacia Ortoormalizació de Gram Schmidt 5 4 Caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz x 53 4 elació etre la admitacia de etrada, la admitacia de traferecia lo parámetro S S 54 4 ede de do termiacioe 54 4 ede de ua termiació 56 5 Eemplo 58 5 Sítei de ua red co do termiacioe 58 5 Sítei de ua red co ua termiació Eemplo comparativo 68 6 Software dearrollado 7 7 Cocluioe 7 IX

12 3 étodo de ítei de la matriz 73 3 Itroducció 73 3 Sítei de la fució de admitacia 74 3 Sítei mediate poliomio de traferecia reflexió 74 3 Sítei mediate aproximació circuital Sítei de la matriz traveral Caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz Eemplo de ítei de la matriz Pao bada Exteió a filtro de bada rechazada elació etre filtro pao bada bada rechazada Solució dual e ítei de filtro de bada rechazada Eemplo de ítei de la matriz Bada rechazada Software dearrollado 38 Cocluioe 4 Diferete topología para la implemetació práctica de filtro 3 4 Itroducció 3 4 Topología Folded Caoical Form 4 4 otacioe cacelació de elemeto de la matriz 4 4 Procedimieto para reducir la matriz de acoplo a u forma folded caoical 8 43 Topología Parallel Coected 43 Eemplo co do ubrede de grado 43 Eemplo co ua ubred de grado 4 otra de grado 5 44 Topología Cul de Sac 9 44 Sítei 9 44 Eemplo 3 45 Software dearrollado Cocluioe 36 5 Sítei de filtro utilizado odo o reoate 37 5 Itroducció 37 5 Sítei eemplo de u filtro de grado 3 u cero de tramiió Sítei eemplo de u filtro de grado 4 do cero de tramiió Sítei eemplo de u filtro de grado 3 do cero de tramiió Software dearrollado 5 56 Cocluioe 5 X

13 6 Eemplo de aplicació práctica 53 6 Itroducció 53 6 Dieño de u filtro pao bada de cuarto orde do cero de tramiió, e cofiguració parallel coected Dieño de u filtro pao bada de cuarto orde do cero de tramiió, e ua cofiguració alterativa Dieño de u filtro pao bada de exto orde co cuatro cero de tramiió e cofiguració parallel coected Dieño de u filtro pao bada de quito orde co do cero de tramiió, e cofiguració cul-de-ac Dieño e implemetació de filtro plaare co múltiple acoplo Filtro pao bada Sítei Implemetació reultado 7 66 Filtro de bada rechazada 7 66 Sítei 7 66 Implemetació reultado Dieño de filtro e tecología híbrida Dieño co do cero de tramiió aimétrico Dieño co do cero de tramiió imétrico Dieño co todo lo cero de tramiió ituado e el ifiito 8 68 Cocluioe 84 7 Cocluioe líea futura de ivetigació 85 7 Cocluioe 85 7 Líea futura de ivetigació 86 Aexo A 87 Aexo B 93 Aexo C 97 Aexo D 99 Bibliografía XI

14 XII

15 Ídice de Figura Figura epueta de u filtro pao bada de orde 7 5 Figura Detalle de la repueta de u filtro pao bada de orde 7 e toro a cero 5 Figura 3 etardo de grupo de u filtro pao bada de orde 7 6 Figura 4 epueta típica de u filtro Butterworth 9 Figura 5 epueta típica de u filtro Chebhev 9 Figura 6 epueta típica de u filtro Elíptico 9 C 4 Figura Topología de la red que pretedemo itetizar, para u cao de grado 7 3 Figura 3 Ditribució de la raíce del poliomio [ P F ] u cougado 6 Figura 4 Ditribució de la raíce de lo poliomio [ P F ] E 7 Figura 5 Cero de tramiió epecificado 8 Figura 6 Ditribució de la raíce del poliomio P F u cougado e el plao compleo 3 Figura 7 Ditribució de la raíce de E el poliomio P F e el plao compleo 3 Figura 8 Caracterítica de traferecia 3 Figura 9 Caracterítica de reflexió 33 Figura ivel de pérdida de retoro, caracterítica de traferecia reflexió e db, 33 Figura etardo de grupo 34 Figura Fució de filtrado de grado 34 Figura 3 ed de do termiacioe 35 Figura 4 Defiició de la impedacia de etrada 36 Figura 5 Aálii de la red 36 Figura 6 ed de ua termiació 39 Figura 7 Aálii de la red 4 Figura 8 ed geérica de do puerto 4 Figura 9 ed de co traformadore para ormalizar a la uidad la impedacia 43 Figura Cavidad iicial e el iterior del prototipo pao bada 44 Figura Varia cavidade acoplada Iterior del prototipo pao bada 45 Figura epreetació de la fució de filtrado Figura Circuito para calcular 46 Figura 3 Circuito para calcular 47 Figura 4 Primer pao e el proceo de ortogoalizació de Gram-Schmidt 5 Figura 5 ed de do termiacioe 54 Figura 6 Aálii de la red de do termiacioe 55 Figura 7 ed de ua termiació 56 Figura 8 Cero de tramiió epecificado 58 Figura 9 aíce del poliomio umerador E 6 Figura 3 Caracterítica de traferecia 6 Figura 3 Caracterítica de reflexió 6 XIII

16 Figura 3 ivel de pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió e db 6 Figura 33 etardo de grupo 6 Figura 34 Cero de tramiió epecificado 63 Figura 35 aíce del poliomio umerador E 65 Figura 36 Caracterítica de traferecia 66 Figura 37 Caracterítica de reflexió 66 Figura 38 ivel de pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió e db 67 Figura 39 etardo de grupo 67 Figura 3 Arra de reoadore traverale icluedo el acoplo directo fuete / carga SL 79 Figura 3 Secció pao bao k-éima 8 Figura 3 3 Secció pao bao equivalete, a frecuecia ifiita 8 Figura 3 4 Úico camio poible etre fuete carga 8 Figura 3 5Circuito equivalete del arra traveral cuado ± 8 Figura 3 6 Secció k-éima 84 Figura 3 7 Etapa para el cálculo de la matriz ABCD 84 Figura 3 8 atriz traveral 88 Figura 3 9 atriz traveral 9 Figura 3 Cero de tramiió del filtro full caoical dieñado 9 Figura 3 Fució de filtrado de grado del filtro full caoical dieñado 9 Figura 3 aíce del poliomio deomiador 93 Figura 3 3 Caracterítica de traferecia reflexió del filtro full caoical dieñado 93 Figura 3 4 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro full caoical dieñado 94 Figura 3 5 etardo de grupo del filtro full caoical dieñado 94 Figura 3 6 epueta e frecuecia del filtro pao bada de orde 4 96 Figura 3 7 Cero de tramiió deeado 98 Figura 3 8 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió del filtro e db 98 Figura 3 9 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió del filtro e db 99 Figura 3 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió del filtro e db Figura 4 Eemplo gráfico de la propiedad a 6 Figura 4 Topología que pretedemo coeguir, repreetació de lo poible acoplo ditito de cero 6 Figura 4 3 atriz de acoplo 7 Figura 4 4 Orde de la cacelacioe de lo acoplo para el cao par e impar 8 Figura 4 5 Apecto de la matriz tra la primera 4 traformacioe 9 Figura 4 6Apecto de la matriz tra la primera 7 traformacioe Figura 4 7 Apecto de la matriz e cada ua de la 3 traformacioe que elimia lo elemeto deeado de la última columa Figura 4 8 Apecto de la matriz tra 9 traformacioe Figura 4 9 Apecto fial de la matriz Figura 4 Apecto de la matriz, al elimiar el elemeto 46 4 XIV

17 Figura 4 Apecto de la matriz tra la tre primera traformacioe 5 Figura 4 Apecto de la matriz, al elimiar lo elemeto Figura 4 3 Apecto de la matriz tra la primera 5 traformacioe 6 Figura 4 4 Apecto fial de la matriz 7 Figura 4 5 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió e db 8 Figura 4 6 Folded form para ua matriz 7x7 8 Figura 4 7 ed folded caoical de orde 5 9 Figura 4 8 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro 9 Figura 4 9 Folded form para ua matriz 4x4 Figura 4 ed folded caoical de orde 4 Figura 4 Topología de la primera ubred eiduo k k Figura 4 Topología de la eguda ubred eiduo k 3 k 4 3 Figura 4 3 Topología de la red total 3 Figura 4 4 ivel de pérdida de retoro, caracterítica de traferecia reflexió e db 4 Figura4 5 etardo de grupo 4 Figura 4 6 Topología de la primera ubred eiduo k k 6 6 Figura 4 7 Topología de la eguda ubred eiduo k, k 3, k 4 k 5 6 Figura 4 8 Topología de la red total 7 Figura 4 9 ivel de pérdida de retoro, caracterítica de traferecia reflexió e db 7 Figura4 3 etardo de grupo 8 Figura 4 3 Poible cofiguració cul-de-ac de grado 9 Figura 4 3 Pivote [3,5] de ua traformació cro-pivot 3 Figura 4 33 atriz traveral de u filtro de orde 6 3 Figura 4 34 atriz e la forma folded caoical de u filtro de orde 6 3 Figura 4 35 atriz correpodiete a la topología cul-de-ac Filtro grado 6 3 Figura 4 36 Topología cul-de-ac para u filtro de grado 6 3 Figura 4 37 Pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió 33 Figura 4 38 etardo de grupo 33 Figura 4 39 atriz traveral de u filtro de orde 5 34 Figura 4 4 atriz e la forma folded caoical de u filtro de orde 5 34 Figura 4 4 atriz correpodiete a la topología cul-de-ac Filtro grado 5 34 Figura 4 4 Topología cul-de-ac para u filtro de grado 5 35 Figura 4 43 Pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió 35 Figura 4 44 etardo de grupo 35 Figura 5 Equema de acoplo utilizado para extraer u cero de tramiió 39 Figura 5 Admitacia itermedia para el cálculo de la admitacia de etrada 39 Figura 5 3 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro 43 Figura 5 4 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro 43 Figura 5 5 Equema de acoplo utilizado para extraer do cero de tramiió 44 Figura 5 6 Admitacia itermedia para el cálculo de la admitacia de etrada 45 Figura 5 7 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro 49 Figura 5 8 Equema de acoplo utilizado para extraer do cero de tramiió 49 XV

18 Figura 5 9 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro 5 Figura 6 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió 54 Figura 6 atriz de acoplo topología de la primera ubred 54 Figura 6 3 atriz de acoplo topología de la eguda ubred 55 Figura 6 4 Cofiguració Parallel-Coected 55 Figura 6 5 Caracterítica de reflexió del filtro 56 Figura 6 6 Caracterítica de traferecia del filtro 56 Figura 6 7 ivel de pérdida de retoro repueta frecuecial del filtro 56 Figura 6 8 etardo de grupo 57 Figura 6 9 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado 57 Figura 6 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió 58 Figura 6 Topología que deeamo implemetar 59 Figura 6 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro dieñado 59 Figura 6 3 etardo de grupo 6 Figura 6 4 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado6 Figura 6 5 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió 6 Figura 6 6 atriz de acoplo topología de la primera ubred 6 Figura 6 7 atriz de acoplo topología de la eguda ubred 6 Figura 6 8 Cofiguració Parallel-Coected 63 Figura 6 9 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro dieñado 63 Figura 6 etardo de grupo 64 Figura 6 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado64 Figura 6 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió 65 Figura 6 3 atriz traveral de u filtro de orde 5 65 Figura 6 4 atriz e la forma folded caoical de u filtro de orde 5 66 Figura 6 5 atriz correpodiete a la topología cul-de-ac Filtro grado 5 66 Figura 6 6 Topología cul-de-ac para u filtro de grado 5 66 Figura 6 7 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro dieñado 67 Figura 6 8 etardo de grupo 67 Figura 6 9 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado68 Figura 6 3 atriz de acoplo traveral 69 Figura 6 3 Topología del filtro pao bada que vamo a cotruir 69 Figura 6 3 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 69 Figura 6 33 Etructura que implemeta u filtro pao bada co la topología de la figura 63 7 Figura 6 34 Etructura medida para la implemetació del filtro 7 Figura 6 35 epueta frecuecial de la etructura motrada e la figura Figura 6 36 Apecto del filtro pao bada fabricado 7 Figura 6 37 eultado imulado medido para el filtro pao bada de la figura Figura 6 38 atriz de acoplo traveral 73 Figura 6 39 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 73 Figura 6 4 Etructura que implemeta u filtro de bada rechazada 74 Figura 6 4 Etructura medida para la implemetació del filtro 74 Figura 6 4 epueta frecuecial de la etructura motrada e la figura Figura 6 43 Apecto del filtro pao bada fabricado 75 XVI

19 Figura 6 44 eultado imulado medido para el filtro pao bada de la figura Figura 6 45 Filtro e tecología híbrida 76 Figura 6 46 atriz de acoplo traveral 77 Figura 6 47 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 77 Figura 6 48 Vita uperior del circuito impreo e la etructura 78 Figura 6 49 epueta frecuecial obteida a partir del aálii de la etructura 78 Figura 6 5 atriz de acoplo traveral 79 Figura 6 5 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 79 Figura 6 5 Vita uperior del circuito impreo e la etructura 8 Figura 6 53 epueta frecuecial obteida a partir del aálii de la etructura 8 Figura 6 54 Comparació etre la repueta frecuecial epecificada la obteida aalizado el circuito e tecología híbrida 8 Figura 6 55 atriz de acoplo traveral 8 Figura 6 56 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 8 Figura 6 57 Vita uperior del circuito impreo e la etructura 8 Figura 6 58 epueta frecuecial obteida a partir del aálii de la etructura 83 Figura 6 59 Comparació etre la repueta frecuecial epecificada la obteida aalizado el circuito e tecología híbrida 83 Figura A Fució coeo hiperbólico 87 Figura A Fució coeo hiperbólico egativo 89 Figura A 3 Fució coeo hiperbólico ivero 89 Figura B Fae de lo cero de S 95 Figura B Fae de lo cero de S S 96 Figura D Traformador 99 Figura D Defiició de teioe corriete 99 Figura D 3Traformador Figura D 4 Defiició de teioe corriete XVII

20 XVIII

21 Ídice de Tabla Tabla Epecificacioe para la ítei 7 Tabla Pricipale tipo de filtro, e fució de u repueta e frecuecia 8 Tabla egioe del comportamieto de la fució de filtrado C 3 Tabla ede caóica de grado par e impar 6 Tabla 3 eoadore e el camio míimo 6 Tabla 4 Epecificacioe del filtro 8 Tabla 5 Coeficiete raíce de F 4 3 Tabla 6 Coeficiete raíce de V 4 3 Tabla 7 Coeficiete raíce de E 4 3 Tabla 8 Traformador ideal 4 Tabla 9 Parámetro 43 Tabla elació etre teioe corriete del circuito 43 Tabla Impedacia de etrada alida de u traformador 49 Tabla Epecificacioe del filtro 58 Tabla 3 Coeficiete raíce de P 59 Tabla 4 Coeficiete raíce de F 4 59 Tabla 5 Coeficiete raíce de V 4 59 Tabla 6 Coeficiete raíce de E 6 Tabla 7 Epecificacioe del filtro 63 Tabla 8 Coeficiete raíce de P 64 Tabla 9 Coeficiete raíce de F 4 64 Tabla Coeficiete raíce de V 4 64 Tabla Coeficiete raíce de E 65 Tabla Comparació gráfica etre do filtro variado el igo del cero de tramiió 68 Tabla 3 Comparació gráfica etre do filtro variado la poició del cero de tramiió 69 Tabla 4 Comparació gráfica etre do filtro variado la ditacia de lo cero de tramiió al ee imagiario 7 Tabla 5 Parámetro de etrada del oftware dearrollado 7 Tabla 3 Epecificacioe del filtro 89 Tabla 3 Poliomio del filtro full caoical dieñado 9 Tabla 3 3 Valore propio reiduo del filtro full caoical dieñado 9 Tabla 3 4 Vectore T k T k del filtro full caoical dieñado 9 Tabla 3 5 Cambio para paar de u filtro pao bada a otro de bada rechazada 95 Tabla 4 eume del proceo de reducció de la matriz de grado 7 3 Tabla 4 eume del proceo de reducció de la matriz de grado 6 7 Tabla 4 3 eiduo valore propio vectore T k T k Tabla 4 4 eiduo valore propio vectore T k T k 5 Tabla 4 5 Comparació etre el retardo de grupo co i ecualizació 8 XIX

22 Tabla 4 6 Coordeada para lo pivote que reduce la matriz de acoplo e u forma folded caoical a la matriz cul-de-ac 3 Tabla 5 odelo de lo reoadore 37 Tabla 5 Iveror de admitacia 38 Tabla 6 Epecificacioe del filtro 53 Tabla 6 eiduo valore propio vectore T k T k 54 Tabla 6 3 Epecificacioe del filtro 58 Tabla 6 4 Epecificacioe del filtro 6 Tabla 6 5 eiduo valore propio vectore T k T k 6 Tabla 6 6 Epecificacioe del filtro 65 Tabla 6 7 Epecificacioe del filtro 68 Tabla 6 8 epueta del filtro co el acoplo directo i él 7 Tabla 6 9 Epecificacioe del filtro 73 Tabla 6 Epecificacioe del filtro 76 Tabla 6 Epecificacioe del filtro 79 Tabla 6 Epecificacioe del filtro 8 Tabla A egioe del comportamieto de la fució de filtrado C 9 XX

23 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Capítulo Itroducció Decripció del proecto Plateamieto iicial del proecto El dearrollo de filtro de microoda e importate durate la cocepció dieño de lo modero itema de comuicacioe móvile por atélite La ueva aplicacioe requiere de dieño cada vez má compacto ligero, i perder la electividad la capacidad de rechazar eñale ideeada La fae de dieño de filtro o varia, ormalmete requiere mucho efuerzo hata lograr el comportamieto adecuado Ua de la fae má importate e la ítei de la fució de traferecia deeada E e eta fae dode deberemo calcular lo acoplo etre reoadore para obteer ua fució de traferecia acorde a la eceidade de la aplicació El iguiete pao e u implemetació co ua tecología epecífica E el preete proecto, pretedemo abordar la fae de ítei mediate la técica de la matriz de acoplamieto, etudiado ademá diferete traformacioe, que aplicada obre dicha matriz o llevará a poder implemetar ua u otra topología, a ea para filtro pao bada o bada rechazada [,,3] Eto método uiverale erá útile para dieñar filtro de microoda de alta pretacioe e ua gra variedad de tecología, co aplicació e itema de comuicacioe terretre epaciale Trataremo tambié la ítei de filtro utilizado odo o reoate [4,5], fialmete, coideraremo algua topología alterativa, aí como diferete eemplo práctico [6,7] Obetivo El obetivo pricipal del proecto e el etudio aplicació de la técica de la matriz de acoplamieto a la ítei de diferete fucioe de traferecia de filtro para comuicacioe Tra la primera fae de etudio de la técica, e pretede implemetar ua herramieta que ea capaz de calcular lo acoplo eceario etre lo elemeto del filtro, co el fi de itetizar divera fucioe de traferecia de aplicació práctica Fialmete propodremo divera topología que podremo itetizar e ua u otra tecología, e fució de la aplicació a la que vaa detiado el filtro

24 Capítulo I Itroducció 3 Etructura de la memoria El proecto e ha dividido e u total de 6 capítulo E el preete capítulo, e itroduce el plateamieto del proecto lo obetivo, aí como u breve reume del reto de lo capítulo Ademá, icluimo ua erie de cocepto báico que utilizaremo poteriormete E el capítulo abordamo el etudio de la formulació de la técica de la llamada matriz de acoplamieto x [], aplicada a la ítei de fucioe de traferecia de filtro pao bada utilizado e itema de comuicacioe móvile por atélite E el tercer capítulo, o cetramo e el etudio de la matriz de acoplo traveral [], que permite la exitecia de múltiple acoplo de etrada/alida, que aporta diferete vetaa comparada co la matriz x Abordaremo ademá la modificacioe ecearia para poder aplicar la ítei a fucioe de traferecia o ólo de filtro pao bada, io tambié de filtro de bada rechazada [3] E el capítulo 4 etudiamo algua de la diferete ecuecia de traformacioe que puede aplicare obre la matriz de acoplo obteida, a ea éta x o Podremo aí aular lo acoplo deeado, obteer la matriz e ua forma má coveiete para la tecología que vaamo a utilizar e la implemetació fíica o cetraremo pricipalmete e la cofiguracioe coocida co el ombre folded caoical form, cul de ac parallel coected [,] E el capítulo 5 abordamo la ítei de filtro co polo de ateuació arbitrariamete ituado, uado odo o reoate [4,5] E el exto, platearemo la implemetació de divero eemplo práctico Partiremo del tipo de filtro pao bada / bada rechazada -, la poició de lo cero - de tramiió / de reflexió -, el orde del filtro la pérdida de retoro deeada, obtedremo la matriz de acoplamieto, la fucioe de traferecia, la topología a implemetar poible circuito fíico E el éptimo último capítulo extraeremo la cocluioe fiale de todo el proecto propodremo algua líea de ivetigació futura Fialmete, motraremo la ditita fuete referecia utilizada a lo largo del proecto 4 Aportacioe ovedoa El preete proecto aporta divero puto de vita, efoque técica ovedoa que clarifica facilita el proceo de ítei de filtro de microoda Cuado hablemo de la fucioe de traferecia reflexió del filtro dada por S S, tedremo que ormalizar éta para que la repueta e frecuecia tega el ivel de pérdida de retoro epecificado Para ello utilizaremo do cotate,

25 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 que llamaremo E ete proecto, por ua parte, e explica de forma detallada el cálculo de eta cotate que ormaliza la fucioe de traferecia reflexió del filtro Ademá, aalizamo lo cambio eceario e dicha cotate para traformar la repueta pao bada, e ua repueta de bada rechazada, aí como el efecto que e produce e el valor de acoplo directo etre fuete carga, que llamaremo SL Por otra parte, detallamo el proceo de ortoormalizació de Gram Schmidt eceario para obteer la matriz de acoplo x, que difiere u poco del procedimieto báico, pueto que partimo de do vectore que a o ortoormale Aimimo, itroducimo u uevo procedimieto para reducir la matriz de acoplo completa a u forma folded caoical diferete del implemetado e [] para el cao de filtro de orde par La vetaa del uevo procedimieto, e que e itemático para cualquier orde par del filtro Fialmete, e el exto capítulo propoemo uevo diferete circuito fíico para implemetar alguo de lo filtro dieñado 5 Software dearrollado Para la implemetació de lo diferete procedimieto de ítei que explicamo a lo largo del proecto, hemo empleado el oftware comercial atlab, debido a que itegra la computació matemática co fucioe de gra veratilidad para viualizar lo reultado Debido a la gra catidad de fichero utilizado, o expodremo el código de forma detallada, auque í idicaremo lo parámetro de etrada utilizado e cada uo de lo proceo de ítei, aí como lo reultado obteido o obtate, adutamo el oftware dearrollado debidamete cometado para facilitar u utilizació, e u cao, u dearrollo poterior 3

26 Capítulo I Itroducció Cocepto báico El preete proecto aborda la ítei de filtro de microoda, por lo que etaremo trabaado e u rago de frecuecia compredido etre 3 GHz aproximadamete E ete apartado, realizaremo ua breve itroducció de lo cocepto que utilizaremo a lo largo del proecto, defiiedo lo parámetro má importate a la hora de caracterizar la repueta frecuecial de u filtro, aí como ua explicació de a qué o etamo refiriedo cuado hablamo de la ítei de filtro [8] Qué e u filtro? Etedemo por filtro u cuadripolo que permite la tramiió de determiada frecuecia, ateuado fuertemete la retate Para etudiar la repueta del filtro, utilizaremo lo parámetro de catterig Éto parámetro, tambié llamado parámetro S, o electivo e frecuecia: dode: S f S f S f S f S f S epueta e tramiió S epueta e reflexió Eto parámetro, tiee el iguiete igificado: S E el coeficiete de reflexió vito dede el plao de referecia ituado e el puerto, cuado ubicamo u geerador e dicho puerto termiamo el puerto co u impedacia caracterítica S E el coeficiete de tramiió etedido como la eñal refleada vita dede el plao ituado e el puerto, dividida etre la eñal icidete vita dede el plao ituado e el puerto, cuado ubicamo u geerador e ete último puerto termiamo el puerto co u impedacia caracterítica Ademá, lo filtro va a cumplir la iguiete codicioe: So rede de do acceo paiva, por lo que e verifica que S So rede recíproca, por lo que e verifica que S S Aumiremo tambié que o exite pérdida, e decir, que la eergía que o e tramite a la alida e reflea a la etrada, por lo que e cumple la codició de uitariedad, que viee dada por: S S 3 i 4

27 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Tedremo etoce filtro paivo i pérdida, formado por elemeto reactivo que a cierta frecuecia reoará, deado paar la eñal de microoda, al reto de frecuecia refleará la eergía Segú eto, ditiguiremo do bada difereciada e u repueta: BADA DE PASO: S db Toda la eñal e tramite S db La eñal o e reflea BADA ATEUADA: S db La eñal o e tramite S db Toda la eñal e reflea Veamo a cotiuació la repueta típica de u filtro ideal pao bada: Figura epueta de u filtro pao bada de orde 7 Figura Detalle de la repueta de u filtro pao bada de orde 7 e toro a cero 5

28 Capítulo I Itroducció E la repueta del filtro podemo por tato ditiguir la bada de pao de la bada ateuada, aí como lo iguiete parámetro: Pérdida de etoro etur Lo Ateuació e la bada ateuada izado e la bada de pao ipple Otro parámetro a determiar erá el orde del filtro, que vedrá dado por el úmero de reoadore actuado como tal, que coicidirá co el úmero de cero de la repueta e reflexió S Ademá de éto, exite otro parámetro importate e la repueta frecuecial, que viee dado por la fae de S, al que deomiamo retardo de grupo El retardo de grupo τ e mide e egudo, e idica el retardo que ufre cada compoete epectral de la eñal al paar por el filtro Se defie como: dode: τ Φ 4 Φ Fae de S 5 De aquí e deduce que para que el retardo de grupo ea cotate e la bada de pao, iterea que la fae de S ea lieal e dicha bada Co eto evitaremo que e produzca diperió epectral de la eñal Si embargo, hemo de teer e cueta que e geeral eceitamo filtro mu electivo, cuato má electivo ea u filtro, meo cotate erá u retardo de grupo Exite por tato u compromio etre la electividad de la repueta e amplitud la ditorió de fae, de forma que cuato má abrupta e la repueta, maor e la ditorió de fae; cuato meor e la ditorió de fae, meo electivo e el filtro Siguiedo co el eemplo aterior de u filtro pao bada de orde 7, repreetamo a cotiuació u retardo de grupo, que e ete cao coerva u valor má o meo cotate e la bada de pao, compredida e ete cao etre Figura 3 etardo de grupo de u filtro pao bada de orde 7 6

29 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 E importate tambié, detacar el igificado de lo cero de tramiió lo cero de reflexió e u filtro : Cero de tramiió: So lo valore de frecuecia e lo que o e tramite la eñal, por lo que el parámetro S tiee u valor e db mu alto A la hora de dieñar u filtro, erá de gra importacia poder determiar la poició de eto cero, pueto que aí eremo capace de elimiar la eñal a la frecuecia cocreta que deeemo Cero de reflexió: So lo valore de frecuecia e lo que la eñal o e reflea Si, por eemplo, o fiamo e el filtro pao bada de la figura e oberva la exitecia de u cero de tramiió a frecuecia fiita, de iete cero de reflexió Sítei de filtro Se deomia ítei al proceo mediate el cual dieñamo u circuito de microoda co ua repueta e frecuecia que e adapte a la epecificacioe dada E lo filtro que vamo a tratar e el preete proecto, el parámetro S erá idético al S, aumiedo que o exite pérdida, la repueta e reflexió erá complemetaria a la obteida e tramiió por la codició de uitariedad 3 Ademá, e la maoría de lo cao que trataremo, la epecificacioe que determiará la repueta del filtro erá: Tipo Orde Grupo al que perteece el filtro egú u repueta e frecuecia ver apartado 3 úmero de reoadore del filtro Pérdida de retoro Valor medido e db idicado e la figura Cero de tramiió Cero de la repueta e tramiió S Su parte imagiaria idicará el valor frecuecial e el que la eñal o e tramite Tabla Epecificacioe para la ítei 7

30 Capítulo I Itroducció 3 Pricipale tipo de filtro Atediedo a la repueta e frecuecia del filtro, podemo ditiguir lo iguiete tipo de filtro: Filtro Pao Bao: Se iclue detro de ete grupo aquello que permite el pao de la baa frecuecia Cocretamete, permitirá el pao de la frecuecia compredida etre cero otra frecuecia determiada, llamada frecuecia de corte Filtro Pao Alto: Será aquello que permita el pao de toda la frecuecia uperiore a ua frecuecia dada, llamada frecuecia de corte Filtro Pao Bada: Permite el pao de u rago de frecuecia compredida etre ua frecuecia de corte iferior, ua frecuecia de corte uperior Filtro Elimia Bada: Permite el pao de toda la frecuecia, excepto aquella compredida etre ua frecuecia de corte iferior ua frecuecia de corte uperior Gráficamete: Pao Bao Pao Alto Pao Bada Elimia Bada Tabla Pricipale tipo de filtro, e fució de u repueta e frecuecia 8

31 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Tambié podemo claificar lo filtro e fució de la familia a la que perteezca, etado éta epecificada por cierto criterio de dieño que determia la relació etre la eñal de alida la eñal de etrada del filtro, eto e, u fució de traferecia La pricipale familia exitete, u caracterítica o : Butterworth: Eto filtro, tambié llamado máximamete plao, o óptimo e el etido de que preeta la repueta má plaa poible e la bada de pao, para ua compleidad dada Su pricipal vetaa e que el retardo de grupo e má uave para éto que para otro filtro, i embargo, preeta ua repueta poco abrupta, por lo que u electividad e ve perudicada Figura 4 epueta típica de u filtro Butterworth Chebhev: La repueta de eto filtro e má abrupta que la de lo Butterworth, i embargo, preeta rizado cotate e algua de u bada, lo que upoe ua ditorió e amplitud Podremo ditiguir do tipo de filtro Chebhev, el primero co rizado cotate e la bada de pao, el egudo co rizado e la bada de rechazo Figura 5 epueta típica de u filtro Chebhev Elíptico: Eto filtro preeta la repueta má abrupta de toda, i embargo preeta rizado cotate e amba bada Figura 6 epueta típica de u filtro Elíptico 9

32 Capítulo I Itroducció A la hora de dieñar el filtro, ea cual ea la familia a la que perteezca, tedremo que teer e cueta que a maor orde, má e aproximará la repueta e frecuecia a la ideal, provocado ua maor electividad, ua maor ateuació e bada elimiada Si embargo, tambié a maor orde, aumetará otablemete la compleidad Fialmete, idicar que durate la maor parte del proecto trabaaremo co procedimieto de ítei e lo que la frecuecia e ecuetra ormalizada Eto i embargo, o implica pérdida de geeralidad

33 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Capítulo étodo de ítei de la matriz x Itroducció E ete capítulo vamo a dearrollar el procedimieto completo de ítei para obteer la matriz de acoplamieto de cualquier filtro pao bada de Chebhev, icluedo lo cao de grado par o impar de filtro, a tega éte caracterítica imétrica o aimétrica Ademá, trataremo o olo la rede co do termiacioe, io tambié la rede co ua termiació, pueto que a vece preeta propiedade eléctrica epeciale que la hace itereate para el dieño de cierto compoete Para el proceo de ítei etableceremo previamete lo cero de tramiió, el orde del filtro la pérdida de retoro deeada A partir de éto, lograremo obteer la matriz de acoplamieto Podemo dividir el método de ítei de la matriz x e do parte: Sítei de poliomio: E eta parte, decribiremo qué e cómo e comporta la fució de filtrado, aí como la técica recuriva el pricipio de igularidad alterativa eceario para obteer lo poliomio que determiará lo parámetro S S Fialmete preetaremo alguo eemplo de la ítei decrita Procedimieto para obteer la matriz de acoplo: Eta eguda parte, tratará de cómo obteer la ecuacioe del circuito, aí como del cálculo de lo parámetro de admitacia la relació etre éto lo parámetro de tramiió reflexió Todo eto erá tratado para rede de ua de do termiacioe, ditiguiedo etre lo cao de filtro co grado par o impar Icluiremo tambié ua explicació detallada del algoritmo de ortoormalizació de Gram Schmidt, utilizado e la última fae ate de la obteció de la matriz de acoplamieto que bucábamo

34 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Sítei de poliomio E cualquier red de filtro i pérdida de puerto, compueta por ua erie de reoadore iteracoplado, la fucioe de reflexió traferecia puede expreare como u cociete de do poliomio de grado, que comparte deomiador comú : Fució de reflexió F S E Fució de traferecia P S E dode e la variable real de frecuecia ormalizada, relacioada co la variable complea egú El poliomio P, umerador de S, cotiee lo cero de tramiió de la fució de traferecia, por tato podemo determiarlo a partir de éto Ademá, para ua fució de filtrado de Chebhev, e ua cotate que ormaliza el valor de S al ivel de rizado cotate e ± egú: P P 3 L F L F ± dode L repreeta el ivel de pérdida de retoro expreado e db, e aume que todo lo poliomio ha ido ormalizado tal que u coeficiete de grado má alto o la uidad Para dearrollar la expreió de la fució de traferecia podemo elevar éta al cuadrado utituir e ella la expreió de la fució de reflexió : S P P E F S 4 Utilizado ahora la ecuació de coervació de la eergía para ua red i pérdida, podemo eguir dearrollado la expreió aterior: S S S S 5 S P F S P F S 6

35 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Depeado el valor de S : S F P S 7 F S S P F P S 8 9 S C C S C C Fució de filtrado E el dearrollo aterior, hemo defiido ua ueva fució C, que e cooce como fució de filtrado de grado, que viee dada por: F C P Éta fució, tiee ua forma cocreta para la fució de Chebhev: dode C coh coh coh coh x 3 e la poició del -éimo cero de tramiió e el plao compleo Se puede demotrar que la fució de filtrado, e fució de la frecuecia, e comporta de la iguiete maera Aexo A: < < < > < C < C C C C > C > Tabla egioe del comportamieto de la fució de filtrado C C 3

36 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Podemo verificar gráficamete ete comportamieto, co u eemplo Si C para u filtro de grado 4, co ua pérdida de retoro de calculamo el valor de db, cuatro cero ituado e 3 743, 85, e obtiee la iguiete repreetació gráfica: 4 x 6 ódulo de C o fució de filtrado de grado Detalle Figura epreetació de la fució de filtrado C E la gráfica iferior podemo comprobar cómo efectivamete para u valor de < C <, mietra que i >, etoce C > Y i, e cumple que, e cumple que C Ademá, la codicioe dada e la tabla, repreeta ua codició ecearia para ua repueta tipo Chebhev 4

37 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Por otra parte, cuado todo lo cero de tramiió deeado e aproxima a ifiito, la fució C degeera e la fució pura de Chebhev: C coh coh 4 [ coh ] C 5 coh A la hora de elegir la poició de lo cero de tramiió, debe coervare la imetría alrededor del ee imagiario del plao compleo, para aegurar que el poliomio umerador de C, eto e, F co grado, el poliomio deomiador de C, eto e, P co grado igual al úmero de cero de tramiió fiito, tega ambo, coeficiete puramete reale Supogamo por eemplo, que teemo do cero de tramiió fiito e el plao compleo, que e geeral, tedrá la iguiete forma: σ β σ β 6 E ee cao, el poliomio P, lo calcularemo egú: σ β σ P β 7 P 8 σ β σ σ σ σ β β β σ β β σ β σ β σ σ σ β β σ β P β 9 Se deduce etoce, que para que P tega coeficiete reale, debe cumplire: β β por lo que llegamo a: co lo que la raíce tedrá la forma: σ β β σ β β β σ σ σ σ β σ β 3 Cocluimo por tato, que la poició de lo cero de tramiió debe er imétrica alrededor del ee imagiario, para que lo coeficiete del poliomio P ea reale 5

38 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Ademá, e el método de ítei que vamo a decribir, debe cumplire que el úmero de cero de tramiió co poicioe fiita e el plao debe er fz Si fz <, aquello cero i poicioe fiita, deberá er ituado e el ifiito Si embargo, la rede caóica de do puerto que má tarde expreará la fució de traferecia, deberá comportare egú la regla del camio míimo : egla del camio míimo: El máximo úmero de cero de tramiió e poicioe fiita que puede realizar ua red, viee dado por, iedo mi el úmero de reoadore e la ruta má corta que exita e la red etre la termiació de fuete la carga La rede que itetizaremo, tedrá e u pricipio la iguiete forma: GADO IPA Eemplo 7 GADO PA Eemplo 6 max mi Tabla ede caóica de grado par e impar E la que como vemo el camio míimo etre fuete carga, paa como míimo por reoadore: mi Tabla 3 eoadore e el camio míimo La cocluió e por tato, que eta rede caóica tedrá u máximo de max mi poicioe fiita de cero, por lo que cuado iteticemo poliomio para ea rede, al meo do de lo cero de tramiió deberemo ituarlo e el ifiito El obetivo ahora e ecotrar lo coeficiete de lo poliomio de grado e la variable, correpodiete al coh coh x Co eto poliomio, podremo proceder a la ítei del prototipo de la red, de dode podremo obteer ua red eléctrica real co la fució de traferecia caracterítica dada por S 6

39 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 7 El primer pao e el procedimieto utiliza la defiició de la fució hiperbólica ivera: l coh x x x 4 el dearrollo e el iguiete: x x x C l coh coh coh 5 x b x a Defiimo 6 b a b a b a C l exp l exp l coh 7 b a b a C l exp l exp 8 Por tato, o queda: b a b a C 9 Si multiplicamo dividimo el egudo térmio por a b tedremo: b a b a b a b a C 3 Y dearrollado el deomiador del egudo umado e oberva que e igual a la uidad: b a b a b a x x x b x a 3 Aí pue, la expreió de C queda como: b a b a C 3

40 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 8 Si teemo e cueta la igualdade: x b x a x 33 podemo eguir dearrollado C : x x x x C 34 C 35 C Dearrollado olamete el primer térmio: Por tato, i hacemo lo mimo co el egudo térmio, la expreió que o queda de la fució de filtrado e: C 39

41 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 9 Defiiedo ahora: d c 4 Podemo reecribir la última ecuació como: d c d c C 4 Comparado eta ecuació co la defiició de la fució de filtrado podremo idetificar el umerador el deomiador de éta: P F C d c d c C 4 Deomiador de C : El deomiador de C e P, P e a u vez, el poliomio umerador de S, geerado a partir de lo cero de tramiió deeado De C P 43 umerador de C : El umerador de C e F, F e a u vez, el poliomio umerador de S um C d c d c F um C 44 Si o fiamo e u expreió, podemo ver que parece ua mezcla de do poliomio de grado fiito, uo de ello e la variable pura, el otro co cada uo de u coeficiete multiplicado por la variable traformada Si embargo, lo coeficiete que multiplica a la variable traformada, e cacelará uo co otro cuado operemo obre la expreió 44 Vamo a probar eto último co u eemplo

42 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Eemplo de la cacelació de lo térmio co variable traformada Supogamo u cao de grado veamo qué ocurre: um C c d c d c d c d c d c d C c c c d d c d d c c c d d c d d um 45 Vemo que lo térmio que cotiee u úmero impar de elemeto d e cacela uo co otro Por tato, quedará úicamete aquello que cotiee u úmero par de dicho elemeto: Debido a que C c c d d um 46 e multiplicador comú para todo lo elemeto d, la variable traformada olo erá alcazada por potecia pare, produciedo ubpoliomio úicamete e la variable pura, a que Podemo cocluir etoce, que el umerador de C erá u poliomio e la variable pura Técica recuriva Volviedo a la expreió del umerador de la fució de filtrado, podemo ecribir éte como: dode: G G C F [ G G ] um 47 [ c d ] [ c d ] 48 F coite e ua técica recuriva e la que la olució para el grado e cotrue uado lo reultado obteido para el grado - G, éte puede ecribire como El método para el cálculo de lo coeficiete de Coiderado e primer lugar el poliomio la uma de do poliomio U V El poliomio U cotiee lo coeficiete de lo térmio e la variable, mietra que el poliomio auxiliar V cotiee lo coeficiete multiplicado por la variable traformada : U V G 49

43 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 dode: v v v v V u u u u U 5 El ciclo recurivo e iicia co lo térmio correpodiete al primer cero de tramiió deeado, eto e, utituedo e G : [ ] d c d c G 5 V U d c G 5 E el primer ciclo del proceo, G debe er multiplicado por el térmio correpodiete al egudo cero deeado : [ ] [ ] [ ] [ ] d c G d c d c d c G [ ] V U V U G 53 Operado ordeado de uevo lo térmio e U lo de la variable pura, e V lo de la variable traformada obervamo que el producto V reultará e v v v v V, u poliomio e la variable pura, que por tato debe reubicare e U De forma detallada, la reagrupació e U V e la iguiete: V V U U G V V V U U U G 54 V U U U U V V V 55

44 Tra obteer eto uevo poliomio U V Capítulo II étodo de ítei de la matriz x, el ciclo puede repetire co el tercer cero deeado, aí co lo cero, hata completar lo - ciclo icluedo aquello cero ituado e el ifiito, llegaremo a: Si repetimo todo ete proceo, pero eta vez para G U V U V U V Por tato, tra lo - ciclo del método recurivo, V cumplirá que: C F [ G G ] um um C F U V U V [ ], 56 V e aulará, e 57 U F Por tato, volviedo a uetro problema iicial, e el que tratamo de calcular la fució de reflexió la fució de traferecia de ua red de filtro de puerto, ólo o queda determiar el deomiador de amba fucioe E, pueto que la cte, el umerador de S - P - el umerador de S - F - a abemo cómo obteerlo Para ello, utilizaremo el pricipio de igularidad alterativa, que veremo a cotiuació 3 Pricipio de igularidad alterativa El pricipio de igularidad alterativa Alteratig Pole ethod, como hemo dicho, lo utilizaremo para determiar el poliomio deomiador E, e la ítei de poliomio decrita ateriormete Como hemo vito: Lo cero de tramiió e el plao compleo, defiirá el poliomio umerador de S, e decir P Lo coeficiete del poliomio umerador de S, e decir F, e puede ecotrar uado el método recurivo dearrollado Queda etoce ecotrar el poliomio deomiador de S S, e decir E, para completar el dieño de la fució de filtrado, a que: S F E S P 58 E

45 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 3 étodo geeral Coocido do de lo tre poliomio a determiar, el tercero e puede calcular utilizado la ecuació de coervació de la eergía: S S 59 S S S S 6 A cotiuació vamo a utituir cada parámetro S por u expreió como cociete de poliomio, dada por 58 Aparecerá ua ueva cotate, o cotemplada hata ahora, cuo igificado explicaremo e el iguiete capítulo, pueto que u valor ólo e ditito de la uidad cuado el grado del filtro e igual al úmero de cero de tramiió fiito, como vimo e la tabla 3, egú la regla del camio míimo, eto uca ocurrirá mietra etemo itetizado matrice x para rede del tipo: Figura Topología de la red que pretedemo itetizar, para u cao de grado 7 Sutituedo pue la expreioe e forma de cociete de poliomio tedremo: F F E E F F P P P P E E E E 6 6 Podemo calcular la parte izquierda de la última ecuació uado multiplicacioe de poliomio para ecotrar aí el poliomio E E, que debe er ua catidad ecalar Eto igifica que la raíce de E E erá imétrica alrededor del ee imagiario del plao compleo, a que a cualquier frecuecia, el producto E E e ecalar El poliomio E e, como abemo, el poliomio deomiador de S, por lo que u raíce erá lo polo de S Eto implica que la raíce de E debe etar toda ituada e la mitad izquierda del plao compleo, para que el circuito ea etable Aí pue, abemo que la raíce de E o etrictamete Hurwitz, que e lo mimo que decir que la parte real de toda cada ua de la raíce e egativa Por tato, abemo que la raíce de E E que eté e la parte izquierda perteecerá a E, la que eté e la derecha a E Aí, eligiedo la raíce del lado izquierdo, podremo formar el poliomio E 3

46 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 4 Auque el método que acabamo de preetar e geérico, implica trabaar co el doble del grado del poliomio, a vece, co fucioe de filtrado de grado mu alto, la raíce de E E tiede a acercare mucho a ±, lo que puede dar lugar a ua baa preciió A cotiuació preetamo u método alterativo e el que la raíce de E puede determiare i trabaar co poliomio de grado 3 étodo de hode & Aleab Vamo e pricipio, a ditiguir do cao, e fució de i la diferecia etre el grado del poliomio el úmero de cero de tramiió fiito fz e par o impar Cao e el que -fz e u úmero IPA Partimo e primer lugar del dearrollo de la ecuació 6, de la iguiete forma: E E P P F F 63 A cotiuació umamo retamo F P F P, reagrupamo: E E F P F P F P F P P P F F 64 [ ] [ ] [ ] E E F P F P P F F F P P 65 [ ] [ ] [ ] E E F P F P F P F P 66 Para que ete térmio e aule: F P F P 67 Por otra parte la codició de ortogoalidad uitaria e la iguiete: S S S S 68 por lo que para el cao -fz impar, tedremo: E F E P E P E F 69 lo que implificado o coduce a: F P P F 7

47 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 5 Obervamo que para que e cumpla imultáeamete la codicioe 67 7, debe ocurrir que: F F 7 Ademá, egú demotramo e el Aexo B, la codició de ortogoalidad uitaria o lleva a ua codició de fae egú la cual lo cero del umerador de S, eto e, de F, debe er o bie coicidete co lo del umerador de S, F, o bie formar pare refleado obre el ee imagiario co lo cero de S Por tato, la úica poibilidad para que e cumpla la codició 7, e que todo lo cero de F etá e el ee imagiario coicida co lo de F Cao e el que -fz e u úmero PA De uevo partimo del dearrollo de la ecuació 6, de la iguiete forma: E E P P F F 7 E ete cao, vamo a umar retar ua catidad diferete La catidad que utilizamo e F P F P, de uevo reagrupamo: E E F P F P F P F P P P F F 73 [ ] [ ] [ ] E E F P F P P F F P F P 74 [ ] [ ] [ ] E E F P F P F P F P 75 Para que ete térmio e aule: F P F P 76 Ademá hemo de teer e cueta que la ecuació 74 e válida para el cao -fz e par, e el que P ha teido que er multiplicado por Etoce la codició de ortogoalidad uitaria 68 o llevará e ete cao a: E F E P E P E F 77 F P P F 78 lo que implificado o coduce a: F P P F 79

48 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Obervamo que para que e cumpla imultáeamete la codicioe 75 78, debe ocurrir que: F F 8 De uevo, al igual que e el cao impar, la úica poibilidad e que todo lo cero de F etá e el ee imagiario coicida co lo de F Por tato, i lo cero de F F cumple la codició F F, la ecuacioe vita para lo cao par e impar e reduce a: Cao -fz impar: [ P F ] [ P F ] E E 8 [ P F ] [ P F ] E E 8 Cao -fz par: [ P F ] P [ F ] E E 83 [ P F ] P [ F ] E E 84 Si etamo trabaado e el plao, etoce P F tedrá coeficiete puramete reale, podremo ecotrar la igularidade e el cao -fz par o impar, utilizado la ecuació modificada como igue ver demotració e el Aexo C : [ P F ] [ P F ] E 85 E Bucado la raíce de uo de lo térmio de la parte derecha de la ecuació, tedremo u patró de igularidade que alterará etre el plao de la parte derecha el de la izquierda Bucado ademá la raíce del otro térmio, tedremo el couto de igularidade complemetaria, completado la imetría del patró alrededor del ee imagiario 5 Alteratig Pole ethod aice de 3 P- F Plao 7 aice de P- F Plao Figura 3 Ditribució de la raíce del poliomio [ P F ] u cougado 6

49 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Solo e eceario etoce, formar uo de lo do térmio de la ecuació a partir de lo poliomio P F, luego ecotrar la raíce del poliomio reultate de grado co coeficiete compleo para ecotrar la igularidade Sabiedo que, como a hemo dicho, el poliomio E debe er Hurwitz, cualquier igularidad e el plao derecho debe refleare alrededor del ee imagiario e el plao izquierdo Para ecotrar E olo tedríamo por tato que tratar co poliomio de grado, como la igularidade tiede a etar meo cercaa a ±, garatizamo maor preciió Alteratig Pole ethod aice de 3 P- F Plao aice E 7 Figura 4 Ditribució de la raíce de lo poliomio [ P F ] E E la práctica, para la maoría de lo cao utilizado ditita fucioe de filtrado, por eemplo Butterworth o Chebhev, lo cero de reflexió raíce del poliomio F, etá e el ee imagiario, el método de igularidad alterativa puede aplicare para ecotrar el poliomio E Para cierto cao epecífico, por eemplo e filtro preditorioadore, e lo que alguo o todo lo cero de reflexió etá e el plao compleo o e el ee imagiario, tedremo que uar el método que ua la ecuació de coervació de la eergía para ecotrar el E 7

50 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 4 Eemplo de ítei de poliomio Para ilutrar el procedimieto recurivo, realizaremo la ítei detallada de u eemplo de cuarto grado, co rizado cotate ua pérdida de retoro de 5 db Lo cero de tramiió lo ituaremo e La epecificacioe erá por tato: Tipo de filtro Pao bada Aimétrico Chebhev Grado 4 Pérdida de retoro Cero de tramiió 5 db 5 35 Tabla 4 Epecificacioe del filtro Comprobamo cómo, lo cero de tramiió deeado, cumple la codicioe ecearia para aplicar el método de ítei que utilizaremo, e decir: Debe exitir al meo do cero de tramiió el ifiito, por lo que el úmero de cero fiito fz debe er meor o igual que -: fz 4 86 Lo cero de tramiió debe etar ituado imétricamete alrededor del ee imagiario E ete cao cocreto, lo cero etá uto obre el ee imagiario: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 5 Cero de tramiió epecificado 8

51 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Iiciaremo el proceo co 5, por tato 5 : U U 88 V 89 5 V A cotiuació, e el primer ciclo, co 3 5, 3 5, tedremo la iguiete ecuacioe : U V U U V 9 V V U 9 que dearrollada, utituedo U, V, reulta e lo poliomio U V : U V 94 Para el egudo tercer ciclo, lo cero deeado e itúa e el ifiito, por lo que la ecuacioe báica, al particularizar al cao e implifica batate: U U U V 95 U U V 96 V V V U 97 V V U 98 9

52 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Por tato, e el egudo ciclo co, tedremo: U U 3 V U 3 V V3 U V 3 Y fialmete, e el tercer último ciclo co : U 3 U 4 3 V U 4 4 V V4 3 U V 6 4 4, ormalizado tal que el coeficiete de grado má alto ea la uidad, coicidirá co el umerador de la fució de reflexió S, e decir F 4, bucado u raíce podemo ecotrar lo cero de reflexió e bada Si trabaamo e el plao compleo abiedo que : E ete puto, el poliomio U Coeficiete de F 4 aíce de reflexió Tabla 5 Coeficiete raíce de F 4 De la mima forma, para el poliomio V F 4 Cero de 4, i trabaamo e el plao compleo, ecotramo la - máximo de reflexió e bada, lo coeficiete del poliomio: Coeficiete de V 4 aíce de V 4 áximo de reflexió e bada Tabla 6 Coeficiete raíce de V 4 3

53 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Ua vez coocido lo poliomio P, F 4, podemo calcular el poliomio deomiador E 4 u raíce utilizado el pricipio de igularidad alterativa, egú el cual: [ P F ] [ P F ] E 7 E Bucaremo etoce, la raíce del térmio P F, traformádola al plao, tedremo u patró de igularidade que alterará etre la parte derecha la parte izquierda del plao Bucado ademá la raíce del térmio [ P F ] traformádola tambié al plao, obtedremo el couto de igularidade complemetaria, que completa la imetría alrededor del ee imagiario Podemo comprobar eto gráficamete: 5 Alteratig Pole ethod aice de 7 P F aice de P F Figura 6 Ditribució de la raíce del poliomio P F u cougado e el plao compleo Vemo que e uficiete co formar ólo uo de lo do térmio de la parte derecha de la ecuació 7, obteer u raíce, pueto que la raíce del poliomio E 4, puede obteere abiedo que tiee toda u raíce e la parte izquierda del plao compleo Gráficamete Alteratig Pole ethod aice 7 de P F aice E Figura 7 Ditribució de la raíce de compleo E el poliomio P F e el plao 3

54 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Etoce, el poliomio E reulta er el iguiete: Coeficiete de E 4 aíce de E 4 Polo de tramiió reflexió Tabla 7 Coeficiete raíce de E 4 Coociedo por tato, lo tre poliomio que determia la fucioe de reflexió de traferecia egú explicamo e el proceo de ítei, e ecillo obteer u repreetació gráfica, comprobar que lo cero de tramiió e ecuetra dode deeábamo Caracterítica lieal de traferecia del filtro Caracterítica de traferecia del filtro e db X: 499 Y: 767 X: 3499 Y: Figura 8 Caracterítica de traferecia 3

55 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Caracterítica lieal de reflexió del filtro Caracterítica de reflexió del filtro e db 8 X: -5 Y: X: -88 Y: 754 X: 63 Y: 734 X: 959 Y: Figura 9 Caracterítica de reflexió Ademá, e oberva la exitecia de ua pérdida de retoro de db, como e había epecificado: Caracterítica de traferecia reflexio e db L 8 db frecuecia rad/eg Figura ivel de pérdida de retoro, caracterítica de traferecia reflexió e db, 33

56 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x El retardo de grupo, calculado como la derivada egativa de la fae de S e el iguiete: 5 etardo de grupo Figura etardo de grupo Por último, vamo a calcular repreetar, a modo de comprobació, la fució de filtrado de grado : C coh coh coh coh x 8 obervamo que, como preveíamo, e cumple que: C < C > C > 9 6 x 5 ódulo de C o fució de filtrado de grado Detalle Figura Fució de filtrado de grado 34

57 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 3 Procedimieto para obteer la matriz de acoplo x El puto de partida para la ítei e la matriz de acoplo, tato e el cao de ua termiació como e el de do termiacioe, o lo poliomio de traferecia reflexió E, F P etablecido previamete: S F E S P E P L F E geeral, lo coeficiete de E erá compleo, lo de F P alterará etre puramete reale puramete imagiario egú aumete la potecia de El grado de E F erá, el grado de P e correpode co el úmero de cero que o etaba ituado e el, que e epecificaro e u pricipio Como a hemo dicho, la ítei exitoa de la rede de do puerto que vamo a coiderar debe teer al meo do de lo cero de tramiió e el ifiito, por lo que el grado de P o debe exceder - A cotiuació decribiremo la ítei de poliomio racioale para lo parámetro de admitacia e, a partir de lo poliomio de traferecia reflexió E, F P El procedimieto difiere u poco para lo cao de ua do termiacioe, por tato vamo a tratarlo de forma eparada Poteriormete trataremo el método utilizado para itetizar la matriz de acoplo de la red a partir de lo parámetro e, aí como la relació etre éto lo parámetro de catterig S S 3 ede de do termiacioe La iguiete figura muetra ua red de filtrado de do puerto i pérdida, co ua fuete de teió de impedacia itera e la parte izquierda, ua impedacia de carga e la parte derecha: Figura 3 ed de do termiacioe 35

58 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Vamo ahora, a tratar de hallar la impedacia de etrada del itema, defiida como la fució de traferecia iguiete: V Z I Figura 4 Defiició de la impedacia de etrada Para ello, partiremo de la ecuacioe báica que defie uetra red, dada por la matriz de admitacia: I I 3 V 4 V 5 V V V V z I z I z I z I Figura 5 Aálii de la red Obervado el circuito, vemo que e cumple: De dode, utilizado 3, e deduce: V I 6 I V I 7 Depeado I e eta última ecuació: I V I V 8 36

59 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Si utituimo ahora e 4, o queda: V z I z V 9 Ya podemo determiar la relació etre V e I que o dará la impedacia de etrada bucada: z V z I V I z z z z z z Si ademá, teemo e cueta que e rede recíproca como la que etamo etudiado, e cumple la relació idicada a cotiuació etre lo parámetro A, B, C D de la red defiido e [9, pág 58], expreamo éta e fució de lo parámetro z [] : A D B C z z z 3 z 4 z z z 5 Y que, por er ua red recíproca tambié e verifica que [ z i ] [ z i ], por lo que la última ecuació puede expreare como: z z z z 6 37

60 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Etoce, i utituimo e la última expreió, obteemo la impedacia de etrada que bucábamo: ormalizado Z i V I z z a Ω, la impedacia de etrada, queda fialmete: 7 V Z i I z z 8 Por otra, parte la impedacia de etrada i Ω, puede expreare tambié e fució de lo poliomio E F como: F ± ± S E E ± F m Z i 9 m S F E m F m m E Dode m, m, o lo poliomio compleo par e impar repectivamete, e la variable, cotruido a partir de E F Cocretamete: m umerador Z E F 3 por lo que: m e e f Im e f e e f 3 dode: e f e e f Im e f Im 3 Ditiguiremo do cao: i,,, e Coeficiete compleo de E i f Coeficiete compleo de F i 33 Orde del filtro par Sacado de lo parétei e 9, tedremo que: m Z i m 34 38

61 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La comparació etre éta expreió la 8, o lleva a: 35 m como el deomiador de e el mimo que el de, el umerador de tiee P lo mimo cero de tramiió que S, tambié e cumplirá que: E P 36 m Orde del filtro impar Sacado m de lo parétei e ete cao, e la expreió 9, tedremo que: m m Z i m La comparació etre éta expreió la 8, o lleva a: m como el deomiador de e el mimo que el de, el umerador de tiee lo mimo cero de tramiió que S, tambié e cumplirá que: P 39 3 ede de ua termiació La cotrucció de lo poliomio m para rede de ua termiació igue líea imilare al procedimieto explicado para rede de do termiacioe Cuado hablamo de ua red de ua termiació, la impedacia de fuete vale, por tato la red preeta el iguiete apecto: Figura 6 ed de ua termiació 39

62 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Vamo ahora, a tratar de hallar la admitacia de traferecia del itema, defiida como la fució iguiete: I Y 4 V Para ello, partiremo de la ecuacioe báica que defie uetra red: I I V V V V 4 4 Figura 7 Aálii de la red Obervado el circuito, vemo que e cumple: De dode, utilizado 4, e deduce: Depeado I e eta última ecuació: V I 43 I V I 44 I V 45 a podemo ecotrar la relació etre V e I que o dará la admitacia de traferecia bucada: I Y 46 V ormalizado a Ω, queda fialmete: Y 47 Por otra parte: S P E P m 48 dode m o lo poliomio compleo par e impar que compoe E 4

63 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Orde del filtro par E ete cao, de 48 llegamo a: P P m S m m 49 Para ua red de ua termiació co Ω, la fució de traferecia S e igual a la admitacia de traferecia Y, por lo que comparado 47 co 49, e oberva que: 5 m P 5 m dode: e Im e e e e e e Im e m e 5 Im 53 iedo e e,, lo coeficiete compleo de E, e Orde del filtro impar E ete cao, de 48 llegamo a: S P m P m 54 Como hemo dicho, para ua red de ua termiació co Ω, la fució de traferecia S e igual a la admitacia de traferecia Y, por lo que comparado 47 co 54, obervamo que: m 55 P 56 Vemo que para el cao de rede de ua termiació ólo e eceario coocer, P, E, que forma el umerador deomiador de S, para determiar m 4

64 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 33 Sítei Habiedo determiado lo poliomio umerador deomiador e, podemo proceder a la ítei de la matriz de acoplamieto de la red eléctrica Bao el aálii eléctrico, la red prototipo producirá preciamete la mima caracterítica de traferecia reflexió que aquello expreado detro de la repreetacioe puramete poliómica de S S A cotiuació, vamo a ver el procedimieto para la ítei de la matriz de acoplamieto La impedacia de fuete de carga, de ua red geérica de do puerto puede ormalizare a la uidad, icluedo traformadore a la etrada a la alida de la red, co relacioe : : repectivamete, dode i exprea la relació etre la teió a la etrada a la alida de la red La red de do puerto, u matriz de parámetro, o lo iguiete: Figura 8 ed geérica de do puerto i e i e e e i e i e e e 57 Vamo etoce, a tratar de calcular la relació de eta matriz, co la matriz de parámetro de la red co traformadore Para ello hemo de aber que e u traformador ideal e cumple: e e i i e e i i Tabla 8 Traformador ideal 4

65 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 43 A cotiuació, defiimo e el circuito a co traformadore, la iguiete teioe corriete: Figura 9 ed de co traformadore para ormalizar a la uidad la impedacia Aí pue, egú la éta defiició del circuito, lo parámetro de la red i traformadore co ello, o lo iguiete: ed i traformadore ed co traformadore e e i e e i e e i e e i e e i e e i e e i e e i Tabla 9 Parámetro Y aplicado la ecuacioe de la tabla 8 para lo traformadore, tambié e cumple: Traformador : ed co traformadore : i i e e i i e e Tabla elació etre teioe corriete del circuito Podemo por tato ecotrar la relació etre lo parámetro de la red co i traformadore: e i e i e i e i 58 e i e i e i e i 59 e i e i e i e i 6 e i e i e i e i 6

66 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Aí pue, lo parámetro de admitacia e cortocircuito para la red de do puerto i traformadore o proporcioará el iguiete itema de ecuacioe: dode [ ] e [ ] i e i e 6 a ha ido obteido a partir de la fucioe de traferecia reflexió ietra que i utilizamo la red co traformadore, tedremo, como acabamo de demotrar, el iguiete itema : i e i e 63 Por otra parte, e el iterior del prototipo de la red pao bada aumiremo que lo coeficiete de acoplo la impedacia de termiació de la red o ivariate co la frecuecia, por lo que eta red puede hacere tambié co u prototipo pao bao i realizamo la iguiete traformació: b 64 b dode b e la variable frecuecial e el prototipo pao bada Aí pue, partiedo del prototipo pao bada, podremo obteer la ecuacioe del pao bao Debemo teer tambié e cueta que para la red prototipo pao bada, la frecuecia cetral el acho de bada o ambo de rad/eg A cotiuació vamo a etudiar el iterior del prototipo geérico de la red pao bada, para obteer la ecuacioe del circuito 33 Procedimieto para obteer la ecuacioe del circuito Supogamo ua úica cavidad: Figura Cavidad iicial e el iterior del prototipo pao bada Podemo calcular ahora la impedacia equivalete de lo tre elemeto e erie que aparece e el circuito: L E erie Z eq 65 C 44

67 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 45 Z eq 66 Por tato, e cumplirá: i e Z i e eq 67 Si ahora, e vez de teer ua cavidad teemo varia, aparecerá acoplo etre ua otra: Figura Varia cavidade acoplada Iterior del prototipo pao bada E la primera malla, i teer e cueta lo acoplo, e cumplirá como a hemo vito: i e 68 Si ademá teemo e cueta lo acoplo: 3 3 i i i e 69 E la eguda malla, i teer e cueta lo acoplo: i i i L L C i 7 Si ademá teemo e cueta lo acoplo: 3 3 i i i 7 Si hacemo eto co cada ua de la malla, llegaremo a la expreió geeral: i i i i e 3,,

68 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 46 Llamado Z a la matriz total, podemo exprearla como:,, Z 73 I I Z 74 Y por tato, el itema total quedaría repreetado por la ecuacioe: [ ] [ ] [ ] t t i e i i I 75 dode, I, o la matrice de tamaño x defiida e Cálculo de lo parámetro de admitacia Vamo ahora a calcular lo parámetro de admitacia Para ello hacemo: 76 A cotiuació, i pretedemo obteer el parámetro tedríamo que excitar e el puerto, medir e i, de forma que e ea ulo El apecto del circuito para la medida ería: Figura Circuito para calcular

69 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 47 Vemo e el circuito, que e cumplirá lo iguiete: 77 Por lo que el itema que o quedará, co la excitació a la etrada la reitecia de carga de fuete ula, erá: [ ] [ ] [ ] t t i e i i I 78 eolviedo el itema para i, tomado el elemeto del vector de olucioe, obtedremo el parámetro bucado : [ ] I e i 79 Si lo que ahora pretedemo obteer e el parámetro tedremo que excitar e el puerto, medir e i, de forma que e ea ulo El apecto del circuito para la medida erá: Figura 3 Circuito para calcular el itema a reolver, co la reitecia de fuete carga ula, la excitació e el puerto, erá : [ ] [ ] [ ] t t i e i i I 8 eolviedo el itema para i, tomado el elemeto del vector de olucioe, e obtiee el parámetro : [ ] I e i 8 Ete e el pao pricipal e el procedimieto de ítei de la red, a que relacioa la fució de traferecia expreada e térmio puramete matemático e decir, S,, etc expreado como poliomio racioale, co el mudo real de la matriz de acoplo, cada uo de cuo elemeto correpode úicamete a u elemeto fíico de acoplo e el filtro a realizar

70 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Como e real, imétrica a lo largo de u diagoal pricipal, todo u valore propio erá reale Por tato, exite ua matriz T de tamaño x compueta por fila de vectore uitario ortogoale, que atiface la ecuació: dode: iedo λ i lo valore propio de la matriz t T Λ T 8 [ λ λ, ] Λ diag, λ 83, : t t T T T T I 84 Si utituimo 8 e 79 8, tedremo que: t [ T Λ T I ] t [ T Λ T I ] 85 t como la olució geeral para cualquier elemeto [ ] T Λ T I erá: i t [ T Λ T I ] i T T k λk co i,, lo parámetro e vedrá dado por: k ik T k T k λ k k T k k λk 88 Obervamo etoce, que lo valore propio λ k de o tambié la raíce del poliomio deomiador comú de e Podemo por tato, obteer la primera última fila T k T k de la matriz ortogoal T, igualado lo reiduo de e co Tk T k T k egú correpoda: Tk rk 89 co k, T r r k k k 9 Tk rk 48

71 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Lo ratio de traformació, permitirá ormalizar la reitecia de etrada alida del circuito a la uidad Sabiedo que e cumple la iguiete relació ver Aexo D: Z i Z out Tabla Impedacia de etrada alida de u traformador Se igue que para que la reitecia de etrada alida ea igual a la uidad, debe cumplire que: Z i Z out Co lo que el circuito quedará como e oberva e la figura 9 9 Por otra parte, egú 6, e cumple que 88: T k k λk, teiedo e cueta 9 Si bucamo exprear de la mima forma que, ólo teemo que paar el parámetro a la parte derecha de la igualdad: Tk Tk Tk Tk Tk 93 k λk k λk k λk De la mima forma, egú 6, abemo que, teiedo e cueta la expreió 87: T k T k 94 λ Ahora podemo exprear k de la mima forma que : Tk T k Tk λ k k k k T λ k k 95 49

72 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Por tato, hemo determiado el valor de T T k k T T k k T k T k, que vedrá dado por: 96 Co la primera última fila de T a determiada, la fila ortogoale que queda e obtiee co el proceo de ortoormalizació de Gram-Schmidt que explicaremo e el apartado iguiete, fialmete itetizamo la matriz de acoplo t uado la igualdad T Λ T 333 Ortoormalizació de Gram Schmidt E primer lugar aclaremo el igificado de alguo cocepto báico: Bae: Se deomia bae de u epacio vectorial de dimeió fiita a todo couto de vectore de dicho epacio vectorial liealmete idepediete, a partir de lo cuale e puede geerar el epacio vectorial completo Vectore ortogoale: Do vectore x e o ortogoale i u producto ecalar e cero Eta ituació implica que x e o perpediculare Vectore ortoormale: U couto de vectore e ortoormal i e a la vez u couto ortogoal la orma de cada uo de u vectore e igual a E poible hallar ua bae ortoormal a partir de ua bae ortogoal dividiedo cada vector de la bae ortogoal por u orma Ua vez recordado eto cocepto, veamo e qué coite el método de ortogoalizació de Gram-Schmidt Utilizaremo el método e cuetió para ortogoalizar u couto de vectore e el epacio euclídeo La ortogoalizació coitirá e comezar co u couto de vectore { u, u,, u } liealmete idepediete, ecotrar ua bae ortogoal { v, v,, v } que geere el mimo u u,, ubepacio que lo vectore { }, u Defiamo a cotiuació el operador proecció: u, v pro v u 97 v que proecta ortogoalmete el vector u ortogoalmete obre v 5

73 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Por eemplo, i u u v v o tal como e muetra e la figura [], el vector pro u v erá el que e idica: Figura 4 Primer pao e el proceo de ortogoalizació de Gram-Schmidt El método de Gram-Schmidt, e u cao geeral, fucioaría como igue: Pao v u 98 Pao Pao 3 v u pro v 99 u v 3 u 3 pro v 3 - pro v 3 u u Pao v u pro u v Tra realizar lo pao, obtedríamo u couto ortogoal de vectore { v, v,, v } liealmete idepediete e el epacio euclídeo, que por tato formaría ua bae ortogoal para dicho epacio ormalizado lo vectore de la bae ortogoal, obtedríamo la bae ortoormal bucada: v v v3 v e 3,,,, v v v3 v {, e, e,, e } E el problema que o ocupa a la hora de itetizar la matriz de acoplamieto del filtro, partiremo de do vectore que a o ortogoale etre í, T T egú vimo e 96, que ha de permaecer itacto durate el proceo, de forma que el couto de vectore ortogoale que obtegamo como reultado, debe icluir eto do vectore Veamo cuál erá etoce el procedimieto a eguir k k 5

74 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x E primer lugar, tomaremo como vectore iiciale lo do vectore coocido: Pao Pao v u T 3 k v u T 4 k Seguidamete realizamo el proceo de la mima maera que e el método geeral Pao 3 v 3 u 3 pro v 3 - pro v 3 5 u u Pao v u prov u 6 De eta forma o aeguramo que lo do vectore iiciale va a perteecer a la bae T T, v,, v que obtedremo tra el proceo Éta vedrá dada por { } k, k 3 Tambié hemo de teer e cueta que lo vectore iiciale T k T k de lo que partíamo, e correpodía co la primera última fila de la matriz T que bucábamo para poder determiar la matriz de acoplo egú 8 Deberemo pue, cotruir uetra matriz T defiitiva, ituado dicho vectore dode correpode: Co lo que la matriz T tedrá la forma: { v,, v T } k, 3, k T 7 T k v3 T 8 v Tk 5

75 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, Caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz x Ua vez coocida la matriz de acoplamieto, e ecillo obteer a partir de éta la repueta e frecuecia del filtro que repreeta Para ello primero tedremo que calcular la admitacia de reflexió la admitacia de traferecia Como abemo, cuado excitamo e el puerto, la ecuacioe del circuito o: i i i i e 3,, Si dividimo e ambo lado de la igualdad por e, tedremo: [ ] 3 e i e i e i e i I El valor de la matriz de acoplo e coocido De la mima maera, el valor de podemo determiarlo a partir de la reitecia dode erá ula e rede de ua termiació Por tato, abiedo que, reolviedo el itema 9 para cada valor de frecuecia, podemo ecotrar la admitacia bucada Cocretamete, el vector de olucioe tra reolver el itema, erá [ ] 3 e i e i e i e i olucio, por lo que: e i olucio Y i e i olucio Y tra Coocida la admitacia de etrada Y i la de traferecia Y tra, o queda ecotrar la relació etre éta lo parámetro de catterig que o dará la repueta e frecuecia, S S

76 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 4 elació etre la admitacia de etrada, la admitacia de traferecia lo parámetro S S Para el aálii circuital que o permitirá exprear S S e fució de Y tra e Y i, ditiguiremo etre rede de do termiacioe, rede de ua termiació pueto que el proceo e algo diferete 4 ede de do termiacioe E eta rede e verifica la iguiete relacioe etre teioe, corriete, oda refleada oda icidete []: Figura 5 ed de do termiacioe a V 3 b a V 4 I b I a b 5 a b 6 Ahora bucamo exprear la oda a, a, b b e fució de la teioe corriete del circuito Para ecotrar a umamo la ecuacioe 3 5 depeamo u valor: V I a b a b 7 V I a 8 V a I 9 54

77 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 55 Para ecotrar b retamo la ecuacioe 3 5 depeamo u valor: b a b a I V b I V I V b Para ecotrar a umamo la ecuacioe 4 6 depeamo u valor: b a b a I V 3 a I V 4 I V a 5 Para ecotrar b retamo la ecuacioe 4 6 depeamo u valor: b a b a I V 6 b I V 7 I V b 8 Si eguimo etoce co el aálii, vemo que e cumple lo iguiete: Figura 6 Aálii de la red de do termiacioe i I I i 9 i V V g i V 3

78 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 56 Por tato, i utituimo eta ecuacioe e la expreioe de a, a, b b : V i i V I V a g g 3 i i I V a 3 i V i i V I V b g g 33 i i i i I V b 34 Fialmete, e ecillo obteer la relació bucada etre lo parámetro de admitacia lo parámetro S: g g a V i V i a b S 35 Y tra S 36 g g g a V i V i V a b S 37 Y i S 38 4 ede de ua termiació E eta rede, como a abemo, : Figura 7 ed de ua termiació

79 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La pricipal diferecia e ete cao e que la oda refleada e el puerto de etrada erá ula: b Por tato, cuado calculemo el parámetro: b S 39 a a tato la oda icidete a como la oda refleada b erá ula Aí, la ecuacioe 9,, 5 8 e reduce a: I V V a 4 b I 4 a 4 b 43 Sólo queda etoce ecotrar la relació etre Y tra el parámetro S : Y tra I V V b a b a S 44 S Y 45 tra E ete cao, el módulo del parámetro S lo calcularemo a partir de la ecuació de uitariedad como: S S 46 57

80 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 5 Eemplo E ete apartado vamo a ver ditito eemplo de ítei de la matriz de acoplo Tratado de cubrir la maor parte de cao poible, veremo u eemplo utilizado ua red de do termiacioe, aí como u eemplo utilizado ua red de ua ola termiació A cotiuació realizaremo ua pequeña comparativa etre la ditita matrice obteida e fució de lo cero de tramiió epecificado, variado u poició frecuecial, dada por la parte imagiaria, o bie variado la ditacia de lo cero al ee imagiario, cuo valor viee dado por al parte real de lo cero de tramiió 5 Sítei de ua red co do termiacioe Vamo a realizar el iguiete dieño: Tipo Pao Bada Chebhev Orde 6 Pérdida de retoro 5 db 4 Cero de tramiió 38 5 Tabla Epecificacioe del filtro Comprobamo e primer lugar que lo cero de tramiió deeado cumple la codicioe ecearia para aplicar el método de ítei de poliomio: Debe exitir al meo do cero de tramiió e el ifiito, por lo que el úmero de cero fiito debe er meor o igual que -: fz Lo cero de tramiió debe etar ituado e el ee imagiario o bie de forma imétrica alrededor de éte: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 8 Cero de tramiió epecificado 58

81 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 A partir de lo cero de tramiió epecificado podemo calcular fácilmete el poliomio P : Coeficiete de P aíce de P Cero de tramiió Tabla 3 Coeficiete raíce de P A cotiuació, realizamo la ítei de poliomio, que o coduce a: Coeficiete de F 4 aíce de reflexió F 4 Tabla 4 Coeficiete raíce de F 4 Coeficiete de V 4 aíce de Cero de V 4 áximo de reflexió e bada Tabla 5 Coeficiete raíce de V 4 E cuato a la cotate de ormalizació obteida e ete cao, teemo: P L F 59

82 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Sólo o queda etoce calcular el último de lo poliomio utilizado el Alteratig Pole ethod: Coeficiete de E aíce de E Polo de tramiió reflexió Tabla 6 Coeficiete raíce de E Gráficamete, la raíce del poliomio E e preeta e la iguiete figura: 5 Complemetariedad aice de E aice de E Figura 9 aíce del poliomio umerador E Coocido lo poliomio que determia la fucioe de traferecia reflexió, podemo calcular la matriz de acoplo x la reitecia de fuete de carga: eitecia de fuete: 9 eitecia de carga: 9 6

83 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La repueta frecuecial del filtro podemo obteerla etoce a partir de la matriz o bie a partir de lo poliomio, e cualquier cao tedrá la forma: Caracterítica lieal de traferecia del filtro Caracterítica de traferecia del filtro e db X: -38 Y: 556 X: -4 X: 5 Y: 6 Y: Figura 3 Caracterítica de traferecia Caracterítica lieal de reflexió del filtro Caracterítica de reflexió del filtro e db X: 6955 X: -743 Y: 756 X: -36 Y: 75 Y: 8497 X: -975 Y: 675 X: 4 Y: 85 X: 9643 Y: Figura 3 Caracterítica de reflexió 6

84 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Obervamo tambié que la pérdida de retoro o de 5 db, como habíamo epecificado: 6 Caracterítica de traferecia reflexio e db 4 L db X: 44 Y: frecuecia rad/eg Figura 3 ivel de pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió e db Y fialmete, el retardo de grupo adquiere la iguiete forma: 8 etardo de grupo Figura 33 etardo de grupo 6

85 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 5 Sítei de ua red co ua termiació E ete cao, vamo a realizar el iguiete dieño, para ua red de ua ola termiació: Tipo Pao Bada Chebhev Orde 8 Pérdida de retoro db Cero de tramiió Tabla 7 Epecificacioe del filtro Vemo que e ete cao teemo do cero de tramiió compleo, cua parte real idicará la eparació de éto repecto del ee imagiario e el plao La parte imagiaria como iempre, idicará la poició frecuecial de lo cero de tramiió Vamo a comprobar que lo cero de tramiió deeado cumple la codicioe ecearia para aplicar el método de ítei de poliomio: Debe exitir al meo do cero de tramiió e el ifiito, por lo que el úmero de cero fiito debe er meor o igual que -: fz Lo cero de tramiió debe etar ituado e el ee imagiario o bie de forma imétrica alrededor de éte: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 34 Cero de tramiió epecificado 63

86 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x A partir de lo cero de tramiió epecificado podemo calcular fácilmete el poliomio P : Coeficiete de P aíce de P Cero de tramiió Tabla 8 Coeficiete raíce de P A cotiuació, realizamo la ítei de poliomio, que o coduce a: Coeficiete de F 4 aíce de reflexió F 4 Tabla 9 Coeficiete raíce de F 4 Coeficiete de V 4 aíce de Cero de V 4 áximo de reflexió e bada Tabla Coeficiete raíce de V 4 La cotate de ormalizació obteida e ete cao e la iguiete: P L F 64

87 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Sólo o queda etoce calcular el último de lo poliomio utilizado el Alteratig Pole ethod: Polo de tramiió reflexió Coeficiete de E aíce de E Tabla Coeficiete raíce de E Gráficamete, la raíce del poliomio E e preeta e la iguiete figura: 5 Complemetariedad aice de E aice de E Figura 35 aíce del poliomio umerador E Coocido lo poliomio que determia la fucioe de traferecia reflexió, podemo calcular la matriz de acoplo x: 65

88 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x La repueta frecuecial del filtro podemo obteerla etoce a partir de la matriz o bie a partir de lo poliomio, e cualquier cao tedrá la forma: Caracterítica lieal de traferecia del filtro Caracterítica de traferecia del filtro e db X: 798 Y: Figura 36 Caracterítica de traferecia Caracterítica lieal de reflexió del filtro X: 98 X: -56 Y: 66 X: 4 X: 5485 Y: 893 Y: 5365 Y: X: -973 Y: 4478 X: Y: 4734 Caracterítica de reflexió del filtro e db X: -495 Y: 54 X: 888 Y: Figura 37 Caracterítica de reflexió 66

89 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Obervamo tambié que la pérdida de retoro o de db, como habíamo epecificado: Caracterítica de traferecia reflexio e db db L frecuecia w rad/eg Figura 38 ivel de pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió e db Y fialmete, el retardo de grupo adquiere la iguiete forma: Figura 39 etardo de grupo 67

90 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x 53 Eemplo comparativo Primer eemplo: E primer lugar vamo a comparar gráficamete la repueta frecuecial la matriz de acoplamieto obteida cuado dieñamo u filtro grado 4, variado el igo de u úico cero de tramiió ituado a frecuecia fiita Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Cero de tramiió 6 Cero de tramiió atriz de acoplamieto x atriz de acoplamieto x Caracterítica de traferecia reflexio e db 8 L 8 Caracterítica de traferecia reflexio e db L db 6 db frecuecia rad/eg frecuecia rad/eg Tabla Comparació gráfica etre do filtro variado el igo del cero de tramiió 68

91 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Segudo eemplo: E ete cao vamo a ver gráficamete qué ocurre cuado dieñamo u filtro grado 4, variado la poició e frecuecia de u úico cero de tramiió ituado a frecuecia fiita A cotiuació preetamo la poició de lo cero de tramiió e el plao, el valor de la cte, la matriz de acoplamieto obteida, la reitecia de fuete de carga, la repueta frecuecial e cada cao: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiar Cero de tramiió 3 Cero de tramiió atriz de acoplamieto x atriz de acoplamieto x db Caracterítica de traferecia reflexio e db 8 L frecuecia rad/eg db Caracterítica de traferecia reflexio e db L frecuecia rad/eg Tabla 3 Comparació gráfica etre do filtro variado la poició del cero de tramiió 69

92 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x Tercer eemplo: Ahora compararemo do filtro de orde 4 cuo cero e frecuecia etá ituado e el mimo puto, pero co la diferecia de que el primero tiee lo cero compleo má cerca del ee imagiario que el egudo Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario de tx deeado : Simetría alrededor del ee ima Cero de tramiió 3 3 Cero de tramiió atriz de acoplamieto x atriz de acoplamieto x Caracterítica de traferecia reflexio e db 8 L Caracterítica de traferecia reflexio e db 8 6 L db 4 db frecuecia rad/eg 8 6 etardo de grupo frecuecia rad/eg 8 6 etardo de grupo Tabla 4 Comparació gráfica etre do filtro variado la ditacia de lo cero de tramiió al ee imagiario 7

93 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Cocluioe: E la primera de la comparacioe realizada, para ua red de do termiacioe, obervamo cómo al cambiar el igo de la parte imagiaria del cero de tramiió, éte paa a ituare e el otro lado de la bada de pao E decir, i etaba a frecuecia má alta que la que cotitue la bada de pao, tra el cambio de igo paará a etar a frecuecia má baa, vicevera E cuato a lo valore de la matriz de acoplo, vemo que úicamete cambia el igo de alguo de u elemeto, pero o u valor aboluto E la eguda de la comparacioe, para ua red co do termiacioe, obervamo cómo al variar el valor de la parte imagiaria del cero de tramiió i cambiar u igo, éte e deplaza a frecuecia maore o meore e fució de i aumetamo o dimiuimo dicho valor, pero mateiédoe iempre e el lado de la bada de pao e el que e ecotraba previamete E cuato a lo valore de la matriz, e matiee el igo de todo lo acoplo, pero varía u valore El tercer cao e el má itereate E él, comprobamo qué ocurre cuado lo cero de tramiió tiee ua parte real ditita de cero La comparació, muetra lo reultado cuado dicho cero etá a ua ditacia de del ee imagiario, cuado etá a ua ditacia de 6 E primer lugar obervamo que la matriz de acoplamieto matiee el igo de todo lo acoplo al variar la parte real de lo cero de tramiió Tambié e oberva cómo e uaviza el efecto e frecuecia del cero de tramiió al aumetar u parte real Fialmete, eto e lo má itereate, podemo utilizar la parte real de lo cero de tramiió para ecualizar el filtro e cuetió, coeguir u retardo de grupo má o meo plao e la bada de pao 6 Software dearrollado La teoría dearrollada e ete capítulo ha dado lugar al dearrollo de u oftware que a partir de lo iguiete parámetro de etrada: Orde Pérdida de retoro Acho de Bada Frecuecia cetral úmero de reoadore del filtro Valor medido e db de dicha pérdida Acho de bada de repueta frecuecial e la bada de pao Frecuecia a la que e cetra la repueta del filtro Cero de tramiió Parte real Parte imagiaria Idica la ditacia de cada cero al ee imagiario, cuado lo repreetamo e el plao compleo Para cada uo de lo cero de tramiió, idica el valor frecuecial e el que la eñal o e tramite Tabla 5 Parámetro de etrada del oftware dearrollado 7

94 Capítulo II étodo de ítei de la matriz x o permite obteer lo coeficiete raíce de lo poliomio que determia lo parámetro S S, aí como la repreetació gráfica de la repueta frecuecial dada por dicho parámetro Debido a que la ítei de poliomio etá dearrollada para el cao pao bao ormalizado co u acho de bada que va de a rad/eg, el uuario podrá itroducir la frecuecia cetral e Hz, lo cero de tramiió el acho de bada, el programa traducirá eto dato a otro ormalizado, mediate: f fi f i 5 Δf f f i iempre teiedo e cueta que todo lo cero de tramiió debe er imétrico alrededor del ee imagiario Ademá, e realiza la ítei que o lleva a obteer la matriz de acoplo, aí como la reitecia de etrada alida co cuo valore podremo de uevo obteer la repueta e frecuecia del filtro comprobar la validez de la matriz de acoplo Para la ítei de la matriz hemo dearrollado ademá ua fució epecífica que implemeta el método modificado de Gram Schmidt, explicado e el apartado Cocluioe E ete capítulo hemo preetado u método recurivo para la geeració de poliomio de traferecia Ete método podemo utilizarlo cuado lo cero de tramiió e itúa de forma imétrica o aimétrica, a ea e filtro de orde par o impar E egudo lugar hemo dearrollado la teoría ecearia que permite itetizar matrice de acoplamieto para rede caóica del tipo má geeral, cuado hablamo de filtro de Chebhev, explicado detalladamete cada uo de lo pao que hemo eguido Fialmete, expoemo la forma de obteer la caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz x itetizada, viualizamo gráficamete lo reultado obteido e ditito eemplo, realizado ua breve comparativa etre ello 7

95 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Capítulo 3 étodo de ítei de la matriz 3 Itroducció E ete capítulo vamo a geeralizar el método etudiado, de forma que podamo icluir el cao full caoical, e el que lo fz cero de tramiió deeado e ecuetra todo e poicioe fiita, coicide co, iedo éte el grado del filtro El uevo método itetiza la matriz de acoplo de ua red traveral pao bada, e la que e puede aloar múltiple acoplo de etrada / alida, aí como el acoplo directo fuete / carga eceario para lo cao e lo que la red e full caoical Vamo por tato, a uperar algua de la limitacioe de la matriz de acoplo x Abordaremo tambié la exteió de la formulació para aplicar el método a filtro de bada rechazada, aí como eemplo ilutrativo de cada cao La vetaa de la matriz de acoplo frete a la tradicioal x preetada e el capítulo aterior o pricipalmete la iguiete: Se puede icluir múltiple acoplo de etrada / alida, e decir, e puede icluir acoplo directamete dede la fuete hacia lo reoadore itero, o dede éto hacia la carga, ademá de lo pricipale acoplo de etrada / alida del primer último reoador e el circuito del filtro Se puede itetizar, como a hemo dicho, fucioe de filtrado del tipo full caoical, mietra que el método de ítei de la matriz de acoplo x, permitía ólo u máximo de - cero de tramiió e poicioe fiita La matriz permite ademá, aparcar temporalmete acoplo e la fila o columa má extera durate alguo procedimieto de ítei, mietra e realiza rotacioe e otro lugar de la matriz, lo cual puede reultar mu útil El método de ítei de la matriz, e má ecillo que el de la matriz x, pueto que o requiere la etapa de ortoormalizació de Gram- Schmidt 73

96 Capítulo III étodo de ítei de la matriz 3 Sítei de la fució de admitacia Para cotruir la matriz de acoplo traveral, cotruiremo la matriz de lo parámetro de admitacia e cortocircuito [ Y ] para la red total, de do forma ditita: La primera, a partir de lo coeficiete de lo poliomio racioale que determia lo parámetro de catterig S S, que repreeta la caracterítica del filtro que vamo a realizar La eguda, a partir de lo elemeto del circuito del arra traveral de la red Aí, mediate la do expreioe de la matriz [ Y ] que obtegamo, podremo relacioar lo elemeto de la matriz de acoplo co lo coeficiete de lo poliomio S S 3 Sítei mediate poliomio de traferecia reflexió Lo poliomio de traferecia reflexió o: Fució de reflexió Fució de traferecia S S F 3 E P 3 E dode, como a cometamo e el procedimieto de ítei de la matriz x : Se aume que lo poliomio E, F P ha ido ormalizado a u grado má alto E F, o poliomio de grado, iedo el grado de la fució de filtrado P e u poliomio de grado igual al úmero de cero de tramiió deeado, fz Pero ademá, por tratare de la ítei de la matriz, debemo teer e cueta que ahora: Se cumple que el úmero de cero de tramiió fiito debe er meor que el grado de la fució de filtrado, eto e, fz <, a diferecia de lo que ocurría e la ítei de la matriz de acoplo x, dode la limitació era fz < Aparece u uevo térmio, cuo valor e igual a la uidad e todo lo cao, excepto e fucioe de filtrado full caoical otar que, e el proceo de ítei de matrice x, obviábamo ete térmio a que como debía cumplire que fz <, el cao full caoical o era realizable 74

97 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La aparició del uevo térmio, hace que tegamo que calcular de forma diferete u valor, al igual que el de la otra cotate, e fució de i etamo e ua red full caoical o o Veámolo de forma detallada: CÁLCULO GEEAL DE ξ Y ξ E el cao má geeral, excluedo aquello e lo que la fució de filtrado ea de u orde igual al del úmero de cero de tramiió ituado e poicioe fiita, el valor de la cotate e calcula como: P, co L ivel de pérdida de retoro L F CÁLCULO DE ξ Y ξ E FUCIOES DE FILTADO FULLY CAOICAL E ete cao la cotate tedrá u valor algo maor que la uidad, que vedrá dado por: 35 Para el cálculo de la cotate, ua vez que coozcamo lo poliomio P F, podremo calcular el iguiete valor: k L Como ademá,de 35 e deduce que: P F 36 k 37 Se puede calcular el valor de la cotate como: k E importate tambié aegurar la ortogoalidad de lo parámetro de traferecia reflexió E el Aexo B e demuetra que para ello, debe cumplire la codició de fae B6, lo que implica que la uma de la fae idividuale que forma la fae total de lo vectore S, S, debe er múltiplo de π radiae 75

98 Capítulo III étodo de ítei de la matriz Como S, S S comparte deomiador comú E, ólo e eceario coiderar u poliomio umeradore hata dode cociere a la codició de fae θ θ π Δϕ φ ± k Etoce, lo múltiplo de π depederá, como e oberva e el Aexo B, de: El úmero de cero de tramiió e poicioe fiita fz, del poliomio umerador de S, eto e, de P El grado de la fució de filtrado, que erá el grado de lo poliomio umeradore de S S, eto e, de F F repectivamete θ Sabiedo eto, veamo qué e eceario para que θ φ produzca u múltiplo impar de π : θ θ π π π π π π Δϕ φ fz fz fz 3 Se oberva que para que Δ ϕ produzca u múltiplo impar de π, e decir para aegurar la ortogoalidad etre F P, la catidad etera fz, debe er impar Por tato, e eceario multiplicar P por cuado fz ea u úmero etero par De eta forma, etaremo añadiedo π a la fae φ, por tato Δ ϕ paará a er, como deeamo, u múltiplo impar de π radiae Por otra parte, lo poliomio umerador deomiador de lo elemeto e de la matriz [ Y ], puede cotruire directamete a partir de lo poliomio de traferecia reflexió, S S Sabemo que para ua red de do termiacioe co impedacia de fuete de carga de Ω, e cumple, como vimo e el egudo capítulo aptdo 3 que : Para par: 3 m d d P m 3 Para impar: m 33 d d P 34 76

99 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 dode: e f Im e f e e f e f e e f Im e f m e 35 Im 36 i,,, ei Coeficiete compleo de E 37 f i Coeficiete compleo de F / De la mima forma, como vimo e el apartado 3 del egudo capítulo, para rede de ua termiació lo poliomio e puede ecotrare de la iguiete maera: Para par: 38 m d d P m 39 Para impar: dode: m 3 d d P e Im e e e 3 m e 3 e e e Im e Im 33 i,,, e Coeficiete compleo de E i 34 Coociedo etoce lo poliomio umerador deomiador de e, u reiduo r k r k k,, podrá obteere co la expaió e fraccioe imple, mietra que lo valore propio puramete reale λ k de la red, e puede ecotrar a partir de la raíce puramete imagiaria del poliomio deomiador comú d, que vedrá dada por λk 77

100 Capítulo III étodo de ítei de la matriz Si expreamo lo reiduo de forma matricial, obteemo la iguiete matriz de admitacia: 35 d [ Y ] K K [ Y ] r λ r k k k k k k r r 36 dode la cotate real K, e ula excepto e el cao full caoical, e decir, cuado fz, e cuo cao el grado del umerador de e igual al del deomiador, K debe extraere de previamete, para reducir el grado de u poliomio deomiador por uo, ate de ecotrar u reiduo r k Ademá, hemo de teer e cueta que e el cao full caoical, fz e ua catidad par, por lo que e eceario, como hemo dicho, multiplicar P por para aegurar que e atiface la codicioe de uitariedad de la matriz de catterig El valor de la cotate K, iedo idepediete de la variable frecuecial, debe evaluare e como igue: K d P d 37 El proceo para cotruir el deomiador d 35 36, lleva a que el coeficiete de grado má alto tega u valor de, como el grado má alto de P e, fiádoo e 3, vemo que el valor de K erá: K 38 Etoce, el uevo poliomio umerador ecotrar como: que erá de grado, lo podemo K 39 d mietra que lo reiduo r k de, podemo ecotrarlo de la forma d habitual, e decir, mediate la expaió e fraccioe imple 78

101 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 3 Sítei mediate aproximació circuital Ademá de la ítei de la matriz de admitacia que utiliza lo poliomio de traferecia reflexió, la matriz [ Y ] para ua red de do puerto, puede obteere mediate la ítei directa que parte de la red traveral full caoical Figura 3 Arra de reoadore traverale icluedo el acoplo directo fuete / carga SL Eta red, como vemo e la figura aterior, comprede ua erie de eccioe idividuale pao bao de primer orde, coectada e paralelo etre lo termiale fuete carga El iveror de acoplo directo etre la fuete la carga, SL, e iclue para permitir la realizació de fucioe de traferecia full caoical, de acuerdo a la regla del camio míimo Eta regla, como abemo, implica que el úmero máximo de cero de tramiió e poicioe fiita fz max que puede realizar ua red, viee dado por el grado de éta, meo el úmero de reoadore exitete e la ruta má corta de la red etre la termiació de fuete la de carga mi E rede full caoical, mi,por lo que fz max - mi, eto e, el úmero máximo de cero de tramiió e poicioe fiita que puede realizar la red coicide co el grado de la fució de filtrado 79

102 Capítulo III étodo de ítei de la matriz Cada uo de la eccioe pao bao, comprede u codeador C coectado e paralelo, ua uceptacia B ivariate co la frecuecia, k coectada mediate iverore de admitacia, de admitacia caracterítica Lk, a la fuete la carga repectivamete k Sk Figura 3 Secció pao bao k-éima Particularizació para fucioe de filtrado full caoical El iveror directo etre fuete carga SL, e ulo, excepto para fucioe de filtrado full caoical, e la que el úmero de cero de tramiió e poicioe fiita e igual a A frecuecia ifiita, ±, todo lo codeadore C k, e covierte e cortocircuito e paralelo: Z c Ck 33 el circuito queda etoce como: Figura 3 3 Secció pao bao equivalete, a frecuecia ifiita Lo cortocircuito creado por lo codeadore e la ditita eccioe pao bao, aparece como circuito abierto e lo puerto de fuete carga debido a lo iverore Sk Lk, por tato, el úico camio etre fuete carga retate, e produce a travé del iveror de admitacia SL ivariate co la frecuecia Figura 3 4 Úico camio poible etre fuete carga 8

103 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Si la impedacia de carga e de Ω, etoce el circuito equivalete del arra traveral a frecuecia ifiita, erá el iguiete: Figura 3 5Circuito equivalete del arra traveral cuado ± Por tato, podemo calcular la drivig poit admittace Y, abiedo que u iveror de admitacia e comporta como u traformador e λ 4 Eto implica que la impedacia de etrada del iveror vedrá dada por: Y como uetro cao, Y Ω, llegamo a: L L Y i SL 33 Y L Y 33 SL E ecillo etoce, calcular el coeficiete de reflexió a la etrada, cuado ± : S Y S S 333 Y Ademá, teiedo e cueta que la ecuació de coervació de la eergía implica que: S S 334 podemo calcular el valor de S S 335 S : Y S 336 Y SL SL S 337 8

104 Capítulo III étodo de ítei de la matriz S S SL SL SL SL SL SL SL 339 SL S 4 34 SL SL SL SL Y por tato, e ecillo ahora ecotrar ua expreió de S Para ello depeamo S : SL, e fució de S S S SL SL 34 SL S SL S 34 S S 343 SL SL Si ahora reolvemo la ecuació, obteemo el valor de SL : S S ± 4 ± S SL 344 S S Y teiedo e cueta la ecuació 334 de coervació de la eergía ; ± S SL 345 S Ademá, como e ua red full caoical, P, F E erá poliomio de grado ormalizado a la uidad e u coeficiete de grado má alto, e cumple que, a frecuecia ifiita: P S 346 E S F 347 E 8

105 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Por tato: SL ± S S ± ± 348 dode e u valor algo maor que la uidad e rede full caoical, por lo que tomado el igo egativo, obtedremo u valor relativamete pequeño de SL : SL 349 como debe ocurrir e filtro que o o full caoical, e lo que, e cumplirá que SL Si eguimo dearrollado SL, utituedo el valor correpodiete de dado por 39, vemo que SL puede expreare tambié como: 35 SL 35 SL Si tomamo ahora el igo poitivo e 348, utituedo de uevo el valor de dado por 39, ocurrirá lo iguiete: 35 SL 353 SL SL 354 SL SL Vemo pue, que exite ua eguda olució SL SL 355, ivera a la que e obtiee tomado el igo egativo Si embargo, eta ueva olució SL erá maor que, por lo que e la práctica, para filtro pao bada, uca e toma el igo SL poitivo 83

106 Capítulo III étodo de ítei de la matriz Sítei de la matriz de admitacia [Y ] Procedamo ahora al cálculo de la matriz de parámetro ABCD de cada ua de la eccioe que formará el circuito de la figura 3 Tedremo por tato eccioe como la iguiete: Figura 3 6 Secció k-éima Para el cálculo de la matriz total, coideraremo tre etapa coectada e cacada, calcularemo la matriz idividual ABCD i de cada ua de ella, para poteriormete multiplicarla obteer la matriz ABCD de la ecció k-éima al completo: Figura 3 7 Etapa para el cálculo de la matriz ABCD ETAPA Eta etapa, coite e u iveror de admitacia, cua admitacia caracterítica vale Y, por tato e correpode co ua líea de tramiió de logitud c Sk l λ 4, ua impedacia caracterítica Z c Sk Su parámetro ABCD podemo obteerlo a partir de u expreioe geerale para ua líea de tramiió de logitud l, e impedacia caracterítica Z [3]: l l l l c A co β 356 B Z c i β 357 C Yc i β 358 D co β

107 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Por tato, e uetro circuito de logitud l λ 4 admitacia caracterítica Y c Sk, eto e traduce e: π λ π A co co λ 4 36 π λ B i Sk λ 4 Sk 36 π λ C Sk i Sk λ 4 36 π λ π D co co λ De eta forma, la matriz ABCD erá: ETAPA ABCD Sk 364 Sk Eta eguda etapa, coite e ua admitacia Y coectada e paralelo Su parámetro ABCD podemo obteerlo a partir de u expreió geeral [3]: A 365 B 366 C Y 367 D 368 Y como abemo que Y C B, la matriz ABCD erá: k k ETAPA 3 ABCD Ck B k 369 Eta etapa e imilar a la primera, co la diferecia de que aquí, la admitacia caracterítica del iveror viee dada por Lk Actuado de la mima forma que e el primer cao, llegamo etoce a la matriz ABCD 3 : ABCD 3 Lk 37 Lk Tra el cálculo de la matriz ABCD i de cada ua de la etapa, podemo obteer la matriz total ABCD multiplicado la tre matrice: 85

108 Capítulo III étodo de ítei de la matriz 86 Lk Lk Sk Sk B C ABCD k k 37 Lk Lk Sk Sk Sk B C ABCD k k 37 Lk Sk Lk Sk Sk Lk k k B C ABCD 373 Eta matriz ABCD puede covertire de forma directa a u equivalete de matriz de parámetro, utilizado la iguiete expreió [3]: B A B B C B D A B D 374 Aí pue, calculamo cada uo de lo parámetro : Lk Sk k k Lk Sk k k Sk k k B C B C B C B D Lk Sk Lk Sk 375 k k k k B C B C B C B D A Lk Sk Lk Sk Lk Sk Sk Lk 376 k k k k B C B C B Lk Sk Lk Sk 377 Sk Lk Sk Lk Lk Sk Sk Lk k k k k B C B C B A 378 Etoce, la matriz de parámetro para cada ua de la eccioe k-éima erá: Lk Lk Sk Lk Sk Sk Lk Lk Sk Lk Sk Sk k k k k B C B C 379

109 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Fialmete, la matriz de admitacia e cortocircuito de do puerto [ Y ] del arra traveral de la eccioe coectada e paralelo figura 3, erá la uma de la matrice de parámetro de cada ua de la eccioe idividuale, má la matriz de parámetro [ SL ] del iveror directo de acoplo fuete / carga, SL [ Y ] [ SL ] k k k k k 38 SL [ Y ] SL k C k B k Sk Sk Lk Sk Lk Lk Sítei de la matriz traveral Hemo coeguido exprear [ Y ] de do forma ditita, la primera e térmio de lo reiduo de la fució de traferecia 336, la eguda e térmio de lo elemeto circuitale del arra traveral 38 Si igualamo amba expreioe tedremo: K K k r λ k r k k r k r k SL SL k C k B k Sk Sk Lk Sk Lk Lk 38 Se deduce por tato la iguiete relacioe: K SL 383 rk - λ k C Sk k Lk B k 384 rk - λ k C Lk k B k 385 Lo reiduo r k r k, lo valore propio λ k a e ha obteido de lo poliomio S S de la fució de filtrado deeada, por tato, igualado la parte reale e imagiaria de la ecuacioe , podemo relacioarlo directamete co lo parámetro del circuito: B C 386 k λk 387 k kk co k,, Lk rk Sk Lk r k Lk r k Tk 388 r k Sk T k 389 r k 87

110 Capítulo III étodo de ítei de la matriz E aquí dode debemo daro cueta que Sk Lk cotitue lo vectore fila o ecalado T k T k de la matriz ortogoal T, defiida e el capítulo aterior E ete puto abemo que lo codeadore C k de la rede paralela o todo igual a la uidad, que la uceptacia ivariate co la frecuecia o Bk λk repreeta lo valore de la matriz,,, Ademá, lo acoplo de etrada Sk, lo acoplo de alida Lk, el acoplo directo fuete / carga SL o todo coocido, por lo que la matriz de acoplo recíproca traveral que repreeta la red, puede cotruire a E la matriz tedremo etoce que: Sk T k o lo acoplo de etrada, ocupa la primera fila columa de la matriz, de la poició a la poició Lo Lk T k o lo acoplo de alida ocupa la última fila columa de la matriz, de la poició a la Lo elemeto,,, e correpode co lo λk El reto de lo elemeto de la matriz o ulo Lo Figura 3 8 atriz traveral 88

111 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, Caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz Para obteer la repueta frecuecial del filtro cuado partimo de ua matriz de acoplamieto, a la que llamaremo, procederemo prácticamete de la mima forma que cuado teemo ua matriz x, cao que a vimo e el apartado 4 La diferecia e que ahora hemo de elimiar la depedecia frecuecial de lo elemeto Z Z de la matriz total I Z, pueto que e ete cao a o repreeta u deplazamieto repecto de la frecuecia de reoacia para el primer reoador para el último, io que e refiere a la fuete la carga La diferecia erá etoce que ahora la matriz diagoal I tedrá u elemeto I I iguale a, quedado ua matriz total Z igual a:,, Z Eemplo de ítei de la matriz Pao bada Vamo a dieñar u filtro cuo orde coicide co el úmero de cero de tramiió ituado a frecuecia fiita o ecotramo por tato e ua red full caoical fz, co do termiacioe Cocretamete, la epecificacioe del filtro va a er: Tipo Pao Bada Chebhev Orde 4 Pérdida de retoro 5 db Cero de tramiió Tabla 3 Epecificacioe del filtro

112 Capítulo III étodo de ítei de la matriz Aplicado la técica recuriva, obteemo lo poliomio umerador deomiador de S : S S S F 39 E P 39 E E ete cao, como fz, tedremo u valor de ditito de la uidad Pero ademá, debido a que fz e u úmero par, lo coeficiete de P debe multiplicare por E cuato a lo poliomio umerador deomiador de e, pueto que etamo e u cao e el que e par, e cotruirá como: 393 m d P 394 m d poteriormete e ormalizará repecto el coeficiete de grado má alto de d El iguiete pao erá ecotrar lo reiduo de e mediate la expaió e fraccioe imple Como el umerador de tiee u grado meo que u deomiador, lo reiduo r de e puede ecotrar directamete Si k embargo, el grado del umerador de e el mimo que el de u deomiador, por lo que ha que extraer el factor K SL para reducir u grado e uo, ate de obteer lo reiduo Eto e coigue fácilmete, bucado e primer lugar el valor de K SL, evaluado para ello e : SL K Comprobamo ademá que ete valor coicide co el del coeficiete de grado má alto del umerador de, como puede comprobare e la tabla de reultado que icluimo al fial de ete eemplo A cotiuació, debemo extraer K maera: SL del umerador de, de la iguiete d K 396 E eta fae por tato, erá u grado meor que d, lo reiduo r k podremo ecotrarlo a de forma directa 9

113 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Co lo reiduo, como explicamo e la ítei, podemo ecotrar lo valore propio λ k lo vectore propio T k T k Coocido ademá SL, podemo completar la matriz traveral de acoplo : Figura 3 9 atriz traveral Lo poliomio umeradore deomiadore 3-3 obteido para ete eemplo o lo iguiete: Deomiador d umerador umerador Tabla 3 Poliomio del filtro full caoical dieñado Lo valore propio lo reiduo, aí como lo vectore que determiará la primera última fila de la matriz o: Valore propio λ k eiduo r k eiduo r k Tabla 3 3 Valore propio reiduo del filtro full caoical dieñado Vector T k Tabla 3 4 Vectore Vector T k T k T k del filtro full caoical dieñado 9

114 Capítulo III étodo de ítei de la matriz Fialmete, la matriz de acoplo que bucábamo, e la iguiete: Co eta matriz podremo obteer la repueta frecuecial del filtro e tramiió e reflexió, egú hemo vito e el apartado 34 A cotiuació, vamo a ver gráficamete alguo de lo reultado La repreetació e el plao compleo de lo cero de tramiió o permite aegurar u imetría alrededor del ee imagiario Como vemo a cotiuació, e ete cao cocreto, todo lo cero etá uto obre dicho ee: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 3 Cero de tramiió del filtro full caoical dieñado Por otra parte, la fució de filtrado cumple la codicioe dada por la tabla, etudiada e detalle e el egudo capítulo: 4 x ódulo 6 de C o fució de filtrado de grado Detalle Figura 3 Fució de filtrado de grado del filtro full caoical dieñado 9

115 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 E cuato a la raíce del poliomio deomiador calculada a partir del Alteratig Pole ethod, podemo ver i ituació e el plao compleo e la iguiete figura: 5 Alteratig Pole ethod aice de 7 P- F Plao aice E Figura 3 aíce del poliomio deomiador Fialmete, veamo la repueta frecuecial del filtro que hemo dieñado: Caracterítica lieal de traferecia del filtro X: -8 Y: 34 Caracterítica de traferecia del filtro e db X: Y: 4 X: 3 Y: 977 X: 5999 Y: Caracterítica lieal de reflexió del filtro X: -373 Caracterítica de reflexió del filtro e db Y: X: -939 Y: 6786 X: 43 Y: 6973 X: 934 Y: Figura 3 3 Caracterítica de traferecia reflexió del filtro full caoical dieñado 93

116 Capítulo III étodo de ítei de la matriz Tambié obervamo que el ivel de la pérdida de retoro e de 5 db, como habíamo epecificado: 4 Caracterítica de traferecia reflexió e db Pérdida de etoro 8 db 6 4 X: 77 Y: frecuecia rad/eg Figura 3 4 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro full caoical dieñado Por último, el retardo de grupo viee dado por: etardo de grupo frecuecia rad/eg Figura 3 5 etardo de grupo del filtro full caoical dieñado 94

117 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 36 Exteió a filtro de bada rechazada E ete apartado, vamo a preetar ua técica directa de ítei de filtro de bada rechazada, extediedo la técica hata ahora vita para filtro pao bada Coideraremo de uevo que exite acoplo directo etre carga fuete mediate u iveror de admitacia para poder geerar hata cero de reflexió, veremo cómo ahora, para cada dieño, e puede obteer do olucioe ditita válida de la matriz de acoplo, o relacioada mediate imilarit traformatio que veremo e el capítulo iguiete 36 elació etre filtro pao bada bada rechazada La ecuacioe que determiará la repueta pao bada de u equema imilar al de la figura 3, o idética que la que determia ua repueta del tipo bada rechazada De hecho, para u filtro full caoical de orde co cero de tramiió a frecuecia fiita, la ditició etre u filtro pao bada u filtro de bada rechazada e meramete cualitativa U programa de ítei de filtro pao bada co acoplo directo etre la fuete la carga, podremo utilizarlo para itetizar filtro de bada rechazada Lo úico que e requerirá, erá itercambiar lo role de la ditita epecificacioe La que ate determiaba la repueta e tramiió del filtro pao bada, erá ahora la que determie la repueta e reflexió vicevera E u filtro co repueta pao bada, la ítei comieza epecificado lo cero de tramiió la pérdida de retoro U filtro de bada rechazada cuo ivel de rechazo e bada ea igual a la pérdida de retoro de otro filtro pao bada, cuo cero de reflexió ea idético a lo cero de tramiió de éte último, puede itetizare implemete itercambiado S S Podemo por tato, uar eta propiedad para utilizar uetro programa de ítei de filtro pao bada caóico, para itetizar filtro de bada rechazada Por tato para paar de u filtro pao bada full caoical a u filtro de bada rechazada co cero de reflexió, lo cambio eceario erá úicamete lo iguiete: El poliomio que e pao bada ería P ahora erá F El poliomio que e pao bada ería F ahora erá P El poliomio que e pao bada ería P ahora erá F El poliomio que e pao bada ería F ahora erá P La cotate que e pao bada ería ahora erá La cotate que e pao bada ería ahora erá Tabla 3 5 Cambio para paar de u filtro pao bada a otro de bada rechazada Si o etamo e u filtro de bada rechazada full caoical, e decir, i exite algú cero de reflexió e el ifiito, la ítei requerirá lo cambio que acabamo de cometar, pero ademá, el valor del coeficiete de acoplo directo etre fuete carga, SL, deberá er igual a uo e magitud, viiedo u igo determiado e fució de i etamo tomado la primera o la eguda olució poible, como veremo a cotiuació 95

118 Capítulo III étodo de ítei de la matriz 36 Solució dual e ítei de filtro de bada rechazada Hemo cometado la validez de la ecuacioe vita para la ítei de filtro pao bada cuado trabaamo co filtro de bada rechazada, realizado lo cambio idicado e la tabla 35 Si embargo, hemo de hacer ua aclaració má Demotramo e la ítei de filtro pao bada que exitía do olucioe poible de la matriz de acoplamieto, e fució del igo tomado e la ecuació 348, pero que ólo aquella e la que tomábamo el igo egativo era válida, pueto que tomado la de igo poitivo, lo valore de la matriz de acoplo tomaba valore mu alto por tato poco práctico Veamo u eemplo: Si por eemplo e el dieño de u filtro pao bada de grado 4, co cuatro cero de tramiió ituado e 8, 3, 3 8, ua pérdida de retoro de 5 db, utilizamo el valor de acoplo directo SL dado por: ± SL 397 tomamo el igo egativo, obtedremo la iguiete matriz de acoplo: 5 Caracterítica de traferecia reflexió e db Pérdida de etoro db frecuecia rad/eg Figura 3 6 epueta e frecuecia del filtro pao bada de orde 4 Si embargo, i tomamo el igo egativo e la ecuació 397, obtedríamo la matriz: E evidete que eta última matriz, a pear de coducir a la repueta del filtro deeada, o e práctica debido al alto valor que toma lo ditito acoplamieto 96

119 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Ua de la vetaa e la ítei de filtro de bada rechazada, radicará e la validez práctica de la do poible olucioe, tomado el igo poitivo o egativo e la expreió de 397 SL Cocretamete, para cambiar de ua matriz de acoplamieto a u matriz dual, debemo ivertir lo igo de S S [3]: F paará a er F P paará a er P paará a er paará a er lo que e equivalete a tomar el igo poitivo e 397, cambiar el igo de éte acoplo Eto de demuetra abiedo que, como vimo e : SL SL 398 de dode, i cambiamo el igo de para llegar a la olució dual, e deduce que: SL SL 399 Vemo por tato que el valor SL de la matriz de acoplo e la primera olució, tedrá iempre el igo cotrario a u equivalete e la eguda olució Por otra parte, el valor de acoplo directo fuete / carga rechazada full caoical, erá el iguiete: Solució Si -fz e par, etoce Solució Si -fz e impar, etoce Solució Si -fz e par, etoce Solució Si -fz e impar, etoce SL SL SL SL SL e filtro de bada 3 Aí, forzamo que el coeficiete S ea ulo a frecuecia ifiita, a que egú , e cumple que: S SL 3 S Y por tato, para que vito S e aule, SL debe er igual a e magitud, como hemo 97

120 Capítulo III étodo de ítei de la matriz 363 Eemplo de ítei de la matriz Bada rechazada Primer eemplo: Comecemo co u filtro de bada rechazada de egudo orde co do cero de reflexió ituado imétricamete e ± 6, u ivel de rechazo de db Etamo por tato e u cao full caoical fz Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiar Figura 3 7 Cero de tramiió deeado La repueta frecuecial de ete filtro, e la que podemo apreciar la poició de lo cero de reflexió de lo cero de tramiió, aí como el ivel de rechazo el orde del filtro, tedrá el iguiete apecto: Caracterítica de traferecia reflexió e db 9 8 X: Y: 95 ivel de rechazo X: 5999 Y: X: -73 Y: 736 X: 73 Y: 736 db frecuecia rad/eg Figura 3 8 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió del filtro e db 98

121 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 E cuato a la do poible olucioe obteida para la matriz de acoplamieto, teemo: o Solució o Solució Podemo obervar que el igo del acoplo SL e diferete e amba olucioe, como habíamo cometado Ademá, comprobamo la validez práctica de la do matrice de acoplo que hemo obteido, debido a que igua de ella tiee coeficiete extremadamete alto Podría, i embargo, er má coveiete la primera matriz debido a que u acoplo o meore que lo de la eguda Lo elemeto de la diagoal o mero deplazamieto de frecuecia e la frecuecia de reoacia, o preeta demaiada dificultad Segudo eemplo: Vamo a cotemplar ahora la poibilidad de ituar u cero de reflexió e el ifiito, otro e 6 Etamo por tato e u filtro de bada rechazada de egudo orde El ivel de rechazo lo etableceremo de uevo e db Caracterítica de traferecia reflexió e db ivel de rechazo X: Y: 953 X: 7488 Y: 6964 X: 5999 Y: db frecuecia rad/eg Figura 3 9 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió del filtro e db 99

122 Capítulo III étodo de ítei de la matriz La olucioe obteida para la matriz de acoplamieto o e ete cao: o Solució o Solució Vemo que el acoplo SL e igual a la uidad debido a que ahora exite u cero de reflexió ituado e el ifiito De uevo, SL tiee igo cambiado e amba olucioe Al igual que hemo ituado u cero e el ifiito, podríamo ituar ambo, coiguiedo u filtro de egudo orde i igú cero a frecuecia fiita Tercer eemplo: E último lugar, realizaremo u dieño de u filtro de bada rechazada co tre cero de tramiió a frecuecia fiita, de quito orde Lo cero a frecuecia fiita e itúa e ± 4 6, el ivel de rechazo e de db Caracterítica de traferecia reflexió e db X: Y: 76 ivel de rechazo X: 3999 Y: 4 X: 5999 Y: 68 db frecuecia rad/eg Figura 3 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió del filtro e db

123 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La matrice de acoplamieto e ete cao o: o Solució o Solució Tambié e ete último eemplo co u cero e el ifiito, coeguimo do matrice de acoplamieto válida para el filtro de bada rechazada e cuetió, e la que tiee ditito igo e cada cao 37 Software dearrollado SL La implemetació de la teoría dearrollada a lo largo de lo apartado ateriore, ha dado lugar a u oftware que permite obteer la matiz de acoplo de filtro pao bada o bada rechazada a partir de u epecificacioe Al igual que ocurría co el oftware dearrollado para la ítei de matrice x, el programa e capaz de traducir la frecuecia e Hz que itroduzca el uuario a frecuecia ormalizada utilizado la traformació 5 Ademá, hemo dieñado u oftware capaz de obteer la repueta frecuecial del filtro a partir de u matriz de acoplo, pudiedo aí verificar la validez de éta 38 Cocluioe E ete capítulo, hemo dearrollado la teoría ecearia para itetizar filtro pao bada a partir de determiada epecificacioe Cocretamete, la epecificacioe o el orde del filtro, la pérdida de retoro, lo cero de tramiió Tratamo ademá, la forma de obteer la repueta frecuecial del filtro a partir de la matriz que obteemo e dicha ítei, por último, completamo ete apartado co u eemplo completo de ítei Poteriormete, explicamo lo cambio que ha de realizare e la ítei de filtro pao bada para coeguir itetizar filtro de bada rechazada, aalizamo mediate ua erie de eemplo, la ditita matrice de acoplamieto obteida

124 Capítulo III étodo de ítei de la matriz

125 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Capítulo 4 Diferete topología para la implemetació práctica de filtro 4 Itroducció Lo elemeto de la matriz de acoplo que urge del procedimieto de ítei decrito previamete, tedrá todo, e geeral, valore ditito de cero Lo valore o ulo que e produzca e lo elemeto de la diagoal de rede eléctricamete aimétrica, repreetará lo offet o deplazamieto de la frecuecia cetral de cada reoacia, mietra que lo valore o ulo que e produzca e lo elemeto que o perteece a la diagoal de, repreetará lo acoplo etre lo ditito odo reoate Eto, e claramete poco práctico, por lo que e uual cacelar lo acoplo co ua ecuecia de traformacioe imilare o rotacioe, hata llegar a ua forma má coveiete de la matriz, co u úmero míimo de acoplo ditito de cero El uo de eta traformacioe imilare aegura que lo valore vectore propio de la matriz e coerva, de forma que la matriz traformada tedrá exactamete la mima caracterítica de traferecia reflexió que la matriz origial Exite varia forma caóica de la matriz má práctica que la obteida directamete de la ítei La má utilizada, e la llamada folded form Eta forma caóica puede utilizare directamete, i e coveiete, para obteer lo acoplo, o bie utilizare como puto de partida para la aplicació de má traformacioe que cree ua topología alterativa de reoadore iteracoplado, óptimamete adaptado a la retriccioe fíica eléctrica de la tecología co la que el filtro erá realizado Ete capítulo comezará co la decripció del método para la reducció de la matriz de acoplo a u folded form A cotiuació, etudiaremo otra do cofiguracioe, llamada parallel-coected cul-de-ac La cofiguració parallelcoected puede obteere mediate agrupacioe de reiduo que formará ubrede de do puerto eparada, que luego e coectará e paralelo etre la termiacioe de fuete carga Por u parte, la cofiguració cul-de-ac, e coigue a partir de la matriz e u forma folded caoical, aplicado ua erie de rotacioe adicioale 3

126 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro 4 Topología Folded Caoical Form Vamo a dividir ete apartado e tre parte E la primera, defiiremo el cocepto de rotacioe o imilarit traform E la eguda dearrollaremo el procedimieto completo para reducir la matriz de acoplo a u forma caóica utilizado rotacioe, e la tercera última veremo alguo eemplo 4 otacioe cacelació de elemeto de la matriz Ua traformació imilar imilarit traform, o rotació e ua matriz de acoplo de tamaño x, a la que llamaremo, e lleva a cabo realizado la iguiete operació: t dode e ua matriz de rotació x, tra la traformació erá 4 t e u trapueta La matriz reultate Para aber cómo e defie la matriz de rotació, hemo de aber que hablar del pivote [ i, ] i de r, igifica que lo elemeto ii coθ r, lo elemeto i i coθ r, iedo θ r el águlo de rotació, iempre que e cumpla que i, o El reto de elemeto de la matriz erá ulo, excepto lo de la diagoal pricipal, cuo valor erá la uidad Por tato, i por eemplo etamo hablado del pivote [ 3,5] obre ua matriz co 7, etoce la matriz r tedrá la iguiete forma: r coθ r eθ r eθ coθ r r 4 4

127 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Etoce, la traformació de pivote [,5] operació : 3, paaría por la realizació de la iguiete coθ r eθ r eθ coθ r r coθ eθ r r eθ coθ r r 43 Debido a que lo valore propio de la matriz reultate o exactamete lo mimo que lo de la matriz origial, e puede aplicar ua erie de traformacioe arbitrariamete larga, co pivote águlo arbitrariamete defiido, empezado por Cada traformació e la erie tedrá etoce la iguiete forma geeral: r co r,,3 44 r r t r aalizado la matriz reultate r, al fial de la erie de traformacioe, éta producirá exactamete lo mimo valore vectore propio que la origial i,, águlo θ r e aplica a ua matriz de acoplo r, lo elemeto de la fila i, lo elemeto de la columa i de la matriz reultate r, cambia u valore repecto a lo valore de lo elemeto correpodiete de la matriz r previa a la traformació Cuado ua traformació imilar de pivote [ ] Para u elemeto k-éimo de la fila o columa i o de la matriz r, que o e ecuetre e lo elemeto cruzado del pivote e decir, para k i,, el valor del elemeto e cuetió variará egú: ik k coθ eθ r r ik eθ coθ ik r r k k para u elemeto e la fila i 45 para u elemeto e la fila 46 ki coθ eθ r ki r k para u elemeto e la columa i 47 k dode k i, eθ coθ r ki,,3 r k para u elemeto e la columa 48 5

128 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Vemo que exite do propiedade de la traformacioe imilare que podremo utilizar e el proceo de reducció de la matriz: i, de ua traformació, ólo aquello elemeto e la fila columa i podrá er afectado por la traformació Todo lo demá cotiuará co u valore previo a E el pivote [ ] Figura 4 Eemplo gráfico de la propiedad a b Si do elemeto que etá efretado a travé de la fila columa del pivote o ambo ulo ate de aplicar la traformació imilar, erá ulo tra ella Por eemplo, i 4 o ulo ate de la traformació de pivote [,4], erá ulo tra la traformació, a pear de ecotrare e ua de la fila o columa i o A cotiuació, e preeta u eemplo de grado 7, e idica qué acoplo deeamo cacelar e la matriz mediate la traformacioe imilare, para ua determiada topología: Figura 4 Topología que pretedemo coeguir, repreetació de lo poible acoplo ditito de cero 6

129 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Figura 4 3 atriz de acoplo La ecuacioe 45 a 48, expueta para ik,, k ki k, puede utilizare para cacelar elemeto epecífico de la matriz de acoplo, e decir, para coeguir aular determiado acoplo Por eemplo, para cacelar el elemeto 5 imultáeamete el 5 e la matriz de grado 7, podemo aplicar ua traformació de pivote [ i, ] [ 3,5], por lo que la ecuació a utilizar erá la 48, defiida para u elemeto e la columa, a que 5 e ecuetra e la columa 5 El ídice k tomará etoce el valor k Aí pue, para aular el elemeto k 5 debemo igualar u expreió a cero: eθ r 3 coθ r Si ahora depeamo el águlo de rotació podremo obteer el valor que éte ha de teer para coeguir cacelar el acoplo deeado: eθ r coθ r tg r 5 θ θ r ta ta Utilizado pue, éte águlo de rotació aplicado la traformació imilar dada por 4, coeguiremo ua matriz co lo elemeto 5 5 ulo Ademá, el reto de elemeto de la fila columa 3 5 podrá haber variado u valore origiale El método para reducir la matriz de acoplo completa a u forma folded caoical, implica aplicar ua erie de traformacioe imilare a que cacele lo elemeto deeado uo por uo La traformacioe e aplica e u cierto orde de ua determiada maera, haciedo uo de la do propiedade mecioada, aegurado que ua vez cacelado, u elemeto o volverá a aparecer por ua traformació poterior e la ecuecia 7

130 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro 4 Procedimieto para reducir la matriz de acoplo a u forma folded caoical Exite u úmero de traformacioe que reducirá la matriz completa de acoplo a u forma caóica folded form La ecuecia que uaremo aquí, i etamo hablado de ua matriz de tamaño x, e la que e impar, elimia alterativamete elemeto de derecha a izquierda a lo largo de la fila, de arriba abao a lo largo de la columa, empezado por el elemeto de la primera fila la columa - Si por el cotrario, hablamo de ua matriz de tamaño x, e la que e par haremo lo mimo, pero comezado por la columa, por lo que el primer elemeto a elimiar erá el de la última columa ituado e la eguda fila Veámolo gráficamete para u cao par u cao impar: Figura 4 4 Orde de la cacelacioe de lo acoplo para el cao par e impar 8

131 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Proceo para u cao impar Siguiedo co el eemplo e el que 7, comezaremo por elimiar el elemeto 6 Para ello, podeo utilizar ua traformació de pivote [ i, ] [ 5,6] Como el elemeto etá e la columa, la fórmula a utilizar erá: k eθ coθ r ki r k 43 de dode podemo obteer el águlo de rotació a utilizar: eθ 5 coθ θ ta 45 5 A cotiuació elimiaremo el elemeto 5, para lo que podemo utilizar el pivote [ i, ] [ 4,5] La elecció de éte pivote aegura que el elemeto 6 previamete elimiado o e verá afectado por la traformació, a que o etá i e la columa i e la fila i 4,5, 6, por lo que permaecerá a El águlo de rotació erá e ete cao: eθ coθ 46 k r ki r k eθ 4 coθ θ ta 48 4 Ahora, eceitaremo do traformacioe má para elimiar lo elemeto 4 i, 3,4 3 de la primera fila Para ello utilizaremo repectivamete lo pivote [ ] [ ] [ i, ] [,3], aegurado iempre que lo elemeto previamete elimiado o e vea afectado por ueva traformacioe Tra eta cuatro traformacioe, lo elemeto de la primera fila de la matriz etre el 7 erá ulo Ademá, debido a la imetría alrededor de la diagoal, lo elemeto etre el el 7 de la primera columa, tambié erá ulo Figura 4 5 Apecto de la matriz tra la primera 4 traformacioe 9

132 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Seguidamete, elimiaremo lo tre elemeto de la columa 7:, para lo que utilizaremo el pivote [ i, ] [ 3,4] Elemeto 37 e la fila i, por lo que el águlo e calcula como: El elemeto etá ik coθ eθ r ik r k coθ eθ 4 Elemeto 47 e la fila i, por lo que el águlo e calcula como: θ 5 ta 4 47, para lo que utilizaremo el pivote [ i, ] [ 4,5] El elemeto etá ik coθ eθ r ik r k 4 47 co 6 47 eθ 6 57 Elemeto 57 e la fila i, por lo que el águlo e calcula como: θ θ 6 ta 44 57, para lo que utilizaremo el pivote [ i, ] [ 5,6] El elemeto etá ik coθ eθ r ik r k co 7 57 eθ 7 67 θ θ 7 ta Como e el cao de la primera fila, ahora la última columa queda co lo tre elemeto que deeábamo elimiar a cero El apecto de la matriz erá ahora: Figura 4 6Apecto de la matriz tra la primera 7 traformacioe

133 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La elecció de lo tre último pivote e ha hecho de forma que lo elemeto previamete elimiado o e viera alterado Cocretamete, lo acoplo 3, 4, 5 6 que puimo a cero e el primer barrido, quedará a cero porque queda efretado a lo largo de lo pivote que hemo ido tomado e el egudo barrido, la eguda propiedad de la traformacioe imilare, aegura u ivariabilidad e ete cao Gráficamete: Figura 4 7 Apecto de la matriz e cada ua de la 3 traformacioe que elimia lo elemeto deeado de la última columa Si eguimo co u tercer barrido a lo largo de la eguda fila, tedremo que elimiar lo iguiete elemeto : Elemeto 5 i, e la columa, por lo que el águlo e calcula como:, para lo que utilizaremo el pivote [ ] [ 4,5] El elemeto etá k r ki r k eθ coθ 48 eθ θ co θ 8 ta 43 4

134 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Elemeto 4 i, e la columa, por lo que el águlo e calcula como:, para lo que utilizaremo el pivote [ ] [ 3,4] El elemeto etá k r ki r k eθ coθ 43 eθ θ co 4 θ 9 ta E ete puto la matriz tedrá el iguiete apecto: 9 4 Figura 4 8 Apecto de la matriz tra 9 traformacioe Fialmete, ólo queda elimiar co u último barrido, el elemeto 46 e la columa 6 Para ello utilizaremo el pivote [ i, ] [ 4,5], por lo que e trata de u elemeto e la fila i, lo que o lleva a: coθ eθ 434 ik r ik r k coθ 46 eθ θ ta Tra éta última rotació la matriz a preetará la forma caóica bucada: Figura 4 9 Apecto fial de la matriz

135 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Podemo reumir el proceo e la iguiete tabla: º de la traformació Elemeto a er elimiado Pivote i, [ ] ª Fila [ 5,6] [ 4,5] [ 3,4] 7ª Columa [,3] [ 3,4] [ 4,5] [ 5,6] ª Fila [ 4,5] 6ª Columa [ 3,4] c kl θ r ta m k l m c [ 4,5] Tabla 4 eume del proceo de reducció de la matriz de grado 7 La poicioe valore fiale de lo elemeto e la diagoale cruzada de la matriz, e determia automáticamete i eceidad de má accioe epecífica Ademá, podemo calcular de forma itemática el águlo a aplicar e cada traformació el úmero total de traformacioe: c kl θ r ta 437 m

136 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Proceo para u cao par Como a diimo, e el cao e que ea par, por eemplo 6, e procede de la mima maera, pero comezado el proceo por la columa, iguiedo el orde motrado e la figura 44 Comezaremo e ete cao por elimiar el elemeto 6 Para ello, podeo utilizar ua traformació de pivote [ i, ] [,3] Como el elemeto etá e la fila i la fórmula a utilizar erá: ik coθ eθ de dode podemo obteer el águlo de rotació: r ik r k 439 coθ 6 eθ θ ta A cotiuació elimiaremo el elemeto 36, para lo que podemo uaremo el pivote [ i, ] [ 3,4] La elecció de éte pivote aegura que el elemeto 6 previamete elimiado o e verá afectado por la traformació, a que o etá i e la columa i e la fila i 3,4, 6, por lo que permaecerá a El águlo de rotació erá etoce: ik coθ eθ r ik r k 44 coθ 36 eθ θ ta Ahora, eceitaremo ua última traformació e la última columa, para elimiar el elemeto 46 Utilizaremo para ello el pivote [ i, ] [ 4,5], aegurado que lo elemeto previamete elimiado o e ve afectado, pueto que o etá e la fila columa del pivote que vamo a utilizar: Figura 4 Apecto de la matriz, al elimiar el elemeto 46 El elemeto etá e la fila i, por lo que el águlo de rotació erá etoce: 4

137 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 ik coθ eθ r ik r k 445 coθ 3 46 eθ θ 3 ta Tra la tre traformacioe realizada, lo elemeto de la primera columa de la matriz, ituado etre el 6 el 56, erá ulo Ademá, por la imetría a ambo lado de la diagoal pricipal, lo elemeto etre el 6 el 65 e la última fila, tambié erá ulo: Figura 4 Apecto de la matriz tra la tre primera traformacioe A cotiuació elimiaremo lo do elemeto de la primera fila: El elemeto 4 i, 3,4 El elemeto etá e la columa, por lo que el águlo e calcula como:, para lo que utilizaremo el pivote [ ] [ ] k eθ coθ r ki r k 448 eθ 4 3 coθ θ 4 ta 45 3 Elemeto 3 i, e la columa, por lo que el águlo e calcula como:, para lo que utilizaremo le pivote [ ] [,3] k eθ coθ r ki r k El elemeto etá 45 eθ 5 coθ θ 5 ta 453 5

138 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Como e el cao de la última columa, ahora la primera fila queda co lo do elemeto que deeábamo elimiar a cero La elecció de lo do último pivote, la hemo hecho de forma que lo acoplo 6, que puimo a cero e el primer barrido, o e viera afectado, a que queda efretado a lo largo de la fila de lo pivote por tato la eguda propiedad de la traformacioe imilare, aegura u ivariabilidad Gráficamete: Figura 4 Apecto de la matriz, al elimiar lo elemeto 4 3 El apecto de la matriz erá etoce: Figura 4 3 Apecto de la matriz tra la primera 5 traformacioe o queda etoce u último barrido, co el que elimiaremo el último elemeto:, para lo que utilizaremo el pivote[ i, ] [ 3,4] Elemeto 35 e la fila i, por lo que el águlo e calcula como: ik coθ eθ r ik r k El elemeto etá 454 coθ 6 35 eθ θ 3 ta

139 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Tra la última rotació la matriz preetará la forma caóica que bucábamo: Figura 4 4 Apecto fial de la matriz La tabla que reume el proceo de reducció de la matriz de acoplo cuado 6, e la iguiete: º de la traformació Elemeto a er elimiado ª Columa Pivote i, [ ] [,3] [ 3,4] [ 4,5] ª Fila [ 3,4] 5ª Columa [,3] c kl θ r ta m k l m c [ 3,4] Tabla 4 eume del proceo de reducció de la matriz de grado 6 El dieño regular el orde del procedimieto de elimiació de lo acoplo, o ha permitido programar de forma ecilla el proceo de reducció de la matriz de acoplo para cualquier grado de la matriz, par o impar 43 Eemplo Primer eemplo: Comecemo co u filtro pao bada de do termiacioe de grado impar, por eemplo 5 La epecificacioe o ua pérdida de retoro de 5 db lo cero de tramiió etá ituado e 3 5, 5, La matriz de acoplo itetizada erá por tato tedrá u tamaño 7x7 7

140 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro La repueta frecuecial la matriz o la iguiete: 5 Caracterítica de traferecia reflexió e db Pérdida de etoro X: 5499 Y: 49 db X: Y: 9 X: 499 Y: frecuecia rad/eg Figura 4 5 ivel de rechazo caracterítica de traferecia reflexió e db Ahora vamo de reducir éta matriz traveral a u forma folded caoical Segú hemo vito e el dearrollo teórico, la matriz reultate debería preetar la iguiete forma: Figura 4 6 Folded form para ua matriz 7x7 8

141 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 ealizado el proceo decrito, llegamo efectivamete a la matriz caóica, e la que hemo aulado lo acoplo deeado: Eta matriz tiee lo mimo autovalore que la matriz traveral, coduce a la mima repueta frecuecial del filtro, motrada e la figura 45 Ademá, eta matriz e correpode co la topología: Figura 4 7 ed folded caoical de orde 5 Segudo eemplo: E ete cao vamo a itetizar u filtro de do termiacioe pao bada, de grado par, por eemplo 4, pero eta vez utilizado la matriz de acoplo x, por lo que la matriz que tedremo que traformar a u forma folded caoical erá de tamaño 4x4 El úico cero de tramiió etá ituado e 3, exite ua pérdida de retoro de 5 db La repueta frecuecial de ete filtro, la matriz x que obteemo o: Caracterítica de traferecia reflexio e db 8 X: -999 Y: 34 L db frecuecia rad/eg Figura 4 8 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro 9

142 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro co u valor de la reitecia de fuete carga igual a 35 Ω Ahora vamo de reducir éta matriz x a u forma folded caoical Segú hemo vito e el dearrollo teórico, la matriz reultate debería preetar la iguiete forma: Figura 4 9 Folded form para ua matriz 4x4 ealizado el procedimieto explicado e apartado ateriore, llegamo efectivamete a la matriz caóica, e la que hemo aulado lo acoplo deeado: Eta matriz tiee lo mimo autovalore que la matriz previa x, coduce a la mima repueta frecuecial, motrada e la figura 48 Si embargo, la matriz folded caoical permite ua implemetació directa e la iguiete topología: Figura 4 ed folded caoical de orde 4

143 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 43 Topología Parallel Coected La fucioe de filtrado puede eparare e grupo ubrede que má tarde e coectará e paralelo para recuperar la caracterítica de filtrado origiale E eto preciamete, e baa la cofiguració parallel-coected, e la que e forma agrupacioe de reiduo que dará lugar a ubrede de do puerto eparada, que poteriormete e coectará e paralelo etre la termiacioe de fuete carga Auque la elecció del agrupamieto de lo reiduo e arbitraria, o daremo cueta que i o retrigimo la elecció de la fució de filtrado lo grupo de reiduo que tomamo, e creará acoplo difícile de realizar detro de la ubrede, etre lo odo itero de éta la termiacioe de fuete / carga Eta retriccioe o: La fucioe de filtrado puede er full caoical, pero eceariamete debe er imétrica de grado par Lo grupo de reiduo debe coitir e pare complemetario de reiduo valore propio E decir, i lo reiduo co ídice i r i, r i, r r cotitue u grupo o ua parte de u grupo, etoce: r i r i r r 457 Eto implica que ólo la rede co do termiacioe del mimo valor, e podrá itetizar Si e cumple eta retriccioe, la red global coitirá e u determiado úmero de rede de do puerto, cocretamete, el úmero correpodiete al úmero de grupo e que e ha dividido lo reiduo Cada red de do puerto etará coectada e paralelo etre lo termiale de fuete carga, i la fució de filtrado e full caoical, el acoplo directo fuete-carga tambié etará preete Ua vez que lo reiduo ha ido dividio e grupo, la ítei de la ubmatrice u reducció a la forma caóica igue exactamete el mimo proceo que para ua red idividual, como e decribe e el capítulo 3 e la primera parte del preete capítulo Vamo a ver todo eto co do eemplo SL 43 Eemplo co do ubrede de grado Para ilutrar el proceo, tomaremo u eemplo pao bada co ua caracterítica de cuarto grado, db de pérdida de retoro, do cero de tramiió imétricamete ituado a frecuecia ± Ete filtro e itetizará como do ubrede, amba de grado do

144 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Siguiedo el proceo explicado e el capítulo aterior, e obtiee lo iguiete reiduo valore propio: Valore propio eiduo Vectore k λ k r k r k Tk rk T k r k / rk Tabla 4 3 eiduo valore propio vectore T k T k Segú la codició 457, podemo tomar el grupo de reiduo, el grupo de reiduo 3 4 para dividir la red e do ubrede El agrupamieto de lo reiduo k k da lugar a la iguiete matriz 4x4: Si aplicamo el procedimieto para reducir eta matriz a u forma folded caoical, teemo la iguiete matriz: que e correpode co la iguiete topología: Figura 4 Topología de la primera ubred eiduo k k

145 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 El agrupamieto de lo reiduo k 3 k 4 da lugar a la iguiete matriz 4x4: Si le aplicamo tambié a eta matriz el procedimieto para llegar a u forma folded caoical, obteemo: que e correpode co la topología: Figura 4 Topología de la eguda ubred eiduo k 3 k 4 Si a cotiuació uperpoemo la matrice caóica correpodiete a la topología de la figura 4 4, llegaremo a la matriz que repreeta la topología bucada Dicha matriz topología o: Figura 4 3 Topología de la red total 3

146 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro El reultado del aálii de la matriz global que acabamo de obteer, aí como el retardo de grupo, e muetra a cotiuació: X: -999 Y: 7645 Caracterítica de traferecia reflexio e db X: 999 Y: 7645 L 5 db frecuecia rad/eg Figura 4 4 ivel de pérdida de retoro, caracterítica de traferecia reflexió e db Figura4 5 etardo de grupo 4

147 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 43 Eemplo co ua ubred de grado 4 otra de grado E ete cao, tomaremo u eemplo pao bada co ua caracterítica de grado ei, 5 db de pérdida de retoro, do cero de tramiió imétricamete ituado a frecuecia ± 5 Añadiremo ademá do cero que tiee úicamete parte real e el plao compleo, para ecualizar el filtro, coeguir u retardo de grupo plao e la bada de pao Ete filtro e itetizará como do ubrede, ua de cuarto grado, otra de grado do De uevo, iguiedo el proceo explicado e el capítulo aterior, e obtiee lo iguiete reiduo valore propio: Valore propio eiduo Vectore k λ k r k r k Tk rk T k r k / rk Tabla 4 4 eiduo valore propio vectore T k T k Segú la codició 457, podemo tomar, por eemplo el grupo de reiduo 6, el grupo de reiduo, 3, 4 5 para dividir la red e do ubrede El agrupamieto de lo reiduo k k 6 da lugar a la iguiete matriz 4x4: Aplicado el procedimieto para reducir eta matriz a u forma folded caoical, teemo la iguiete matriz: 5

148 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro que e correpode co la iguiete topología: Figura 4 6 Topología de la primera ubred eiduo k k 6 Por otra parte, el agrupamieto de lo reiduo k, k 3, k 4 k 5 da lugar a la iguiete matriz 6x6: Si aplicamo el procedimieto para llegar a la matriz e u forma folded caoical, obteemo: eta matriz, e correpode a la iguiete topología: Figura 4 7 Topología de la eguda ubred eiduo k, k 3, k 4 k 5 Si a cotiuació uperpoemo la matrice caóica correpodiete a la topología de la figura 46 47, llegaremo a la matriz que repreeta la topología bucada 6

149 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La matriz total u topología o: Figura 4 8 Topología de la red total El reultado del aálii de eta última matriz, aí como el retardo de grupo, e muetra a cotiuació: Caracterítica de traferecia reflexio e db L 6 5 X: -499 Y: 6599 X: 499 Y: 6599 db frecuecia rad/eg Figura 4 9 ivel de pérdida de retoro, caracterítica de traferecia reflexió e db 7

150 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Figura4 3 etardo de grupo otar fialmete que, lo cero de tramiió ituado e el ee real del plao compleo, e decir, aquello que o tiee parte imagiaria, e utiliza para coeguir ua meor ecualizació del filtro Eto e oberva meor comparado el retardo de grupo del filtro co eto do cero de tramiió, i ello La repueta frecuecial coicide e ambo cao Cero [ 5 5 ] Cero [ 5 5 ] etardo de grupo etardo de grupo Tabla 4 5 Comparació etre el retardo de grupo co i ecualizació 8

151 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 44 Topología Cul de Sac La cofiguració cul-de-ac [] e retrige a rede co do termiacioe u máximo de -3 cero de tramiió Podrá, i embargo, aloar prototipo imétrico o aimétrico, de grado par o impar Éta cofiguració tiee ademá la vetaa de que o exite acoplo diagoale cruzado que a vece o difícile de realizar e la práctica Otra vetaa e que u forma preeta cierta flexibilidad al realizar el laout fíico de lo reoadore Ua cofiguració típica cul-de-ac ería: Figura 4 3 Poible cofiguració cul-de-ac de grado Eta cofiguració ería u prototipo de grado, co u máximo permitido de 7 cero de tramiió E toda cofiguració cul-de-ac exite u úcleo cetral, que coite e u cuarteto de reoadore ituado e forma de cuadrado e ete cao, lo reoadore,, 9, co acoplo directo etre ello, e decir, i acoplo cruzado e diagoal La etrada hacia el cuarteto la alida dede él, e hace dede equia opueta del cuadrado e ete cao repectivamete Todo o alguo de lo reoadore retate, ale coectado e cacada de la otra do equia del cuarteto del úcleo e la mima catidad para prototipo de grado par, o por u lado u reoador má que por el otro e prototipo de grado impar El último reoador e cada ua de la do cadea, o tiee acoplo de alida, de ahí la omeclatura cul-de-ac literalmete, calle i alida para eta cofiguració 44 Sítei Afortuadamete, la ítei de rede cul-de-ac e mu imple totalmete automática Partiedo de la matriz de acoplo e u forma folded caoical, lo elemeto e elimia utilizado ua erie de traformacioe imilare regulare para filtro de grado impar, o ua erie de traformacioe cro-pivot para filtro de grado par, empezado co ua líea de acoplo pricipal cercaa al cetro de la matriz moviédoo hacia fuera, a lo largo de la atidiagoal o de forma paralela a éta Eto o da u máximo de 3 para prototipo de grado impar traformacioe para prototipo de grado par, 9

152 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro La traformació cro-pivot que e utiliza e filtro de grado par, e aquella e la que la coordeada del elemeto a elimiar o la mima que la del pivote de la traformació, e decir, el elemeto a elimiar e ecuetra e lo elemeto de cruce del pivote Por eemplo, co el pivote [3,5] trataremo de elimiar el elemeto : 35 Figura 4 3 Pivote [3,5] de ua traformació cro-pivot El águlo de ua traformació cro-pivot e diferete del habitual, que uábamo para la traformacioe imilare que o coducía a ua matriz e u forma folded caoical E la traformacioe cro-pivot, el águlo viee dado por: dode: θ ta π i k r 458 i ii - [ i, ] o la coordeada del pivote tambié del elemeto a elimiar - [ θ r ] e el águlo de la traformació, - [ k ] e u etero arbitrario otar que, para traformacioe cro-pivot de i e la que lo acoplo ii coicide, e cumple para k : ii i k π k π π k π π θ ta ta [ ] r 459 i ii 4 Para filtro de grado impar, la fórmula del águlo de traformació toma la forma covecioal: i, θ r ta 46, i 3

153 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Fialmete, idicamo la fórmula geeral de lo ídice de lo pivote eceario para filtro de grado 4 o má, egú ea de grado par o impar: Grado Poició del pivote [ i ] elemeto de la matriz e u forma folded caoical que elimiamo Traformació úmero r Dode par : impar : 3 r,,3 Águlo de traformació θ r par impar i i [ ], i, i r [ ] Ecuació 458 r i, i, Ecuació 46 r r Tabla 4 6 Coordeada para lo pivote que reduce la matriz de acoplo e u forma folded caoical a la matriz cul-de-ac 44 Eemplo Para ilutrar la ítei que hemo dearrollado vamo a ver do eemplo El primero de ello coitirá e el dieño de u filtro pao bada de do termiacioe grado 6 La pérdida de retoro erá de db, tedrá u total de tre cero de tramiió a frecuecia fiita:,, 3 4 Vemo que o e icumple la retricció que obliga a que el úmero de cero de tramiió ea meor o igual que el grado del filtro meo tre, e decir, fz 3 Siguiedo lo procedimieto decrito e capítulo ateriore del preete proecto, podemo obteer la matriz de acoplo traveral del filtro e cuetió, aí como u forma folded caoical Eta matrice o: Figura 4 33 atriz traveral de u filtro de orde 6 3

154 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro Figura 4 34 atriz e la forma folded caoical de u filtro de orde 6 A cotiuació, partiedo de la matriz folded caoical, podemo obteer la matriz que repreeta la red co topología cul-de-ac Para ello, aulamo lo elemeto 34 5 mediate lo pivote [ 3,4] [,5], que como vemo a cotiuació etá ituado e la atidiagoal: Figura 4 35 atriz correpodiete a la topología cul-de-ac Filtro grado 6 Eta matriz, repreeta etoce la topología cul-de-ac bucada: Figura 4 36 Topología cul-de-ac para u filtro de grado 6 A cotiuació preetamo lo reultado que e obtiee al aalizar la matriz de acoplo aterior, cofirmado que la pérdida de retoro e ecuetra a u ivel de rechazo de db 3

155 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, Caracterítica de traferecia reflexio e db X: 399 Y: 6666 L db frecuecia rad/eg Figura 4 37 Pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió 3 etardo de grupo Figura 4 38 etardo de grupo 33

156 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro El egudo eemplo, coite e u filtro de grado impar 5, pao bada, co u cero de tramiió a frecuecia fiita, cocretamete El ivel de pérdida de retoro e de db De uevo vemo que o e icumple la retricció que obliga a que el úmero de cero de tramiió ea meor o igual que el grado del filtro meo tre, e ete cao, fz Siguiedo lo procedimieto decrito e capítulo ateriore, obteemo la matriz de acoplo traveral del filtro e cuetió, aí como u forma folded caoical Eta matrice o: Figura 4 39 atriz traveral de u filtro de orde 5 Figura 4 4 atriz e la forma folded caoical de u filtro de orde 5 Partiedo de éta última matriz, a podemo obteer la matriz que repreeta la red co topología cul-de-ac Para ello, aulamo el elemeto 3 mediate el pivote [,4]: Figura 4 4 atriz correpodiete a la topología cul-de-ac Filtro grado 5 34

157 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Eta matriz, repreeta la topología cul-de-ac bucada: Figura 4 4 Topología cul-de-ac para u filtro de grado 5 A cotiuació preetamo lo reultado que e obtiee al aalizar la matriz de acoplo cul-de-ac Se oberva cómo la pérdida de retoro e ecuetra a u ivel de rechazo de db, como e epecificó Caracterítica de traferecia reflexio e db X: -999 Y: 953 L db frecuecia rad/eg Figura 4 43 Pérdida de retoro caracterítica de traferecia reflexió 5 etardo de grupo Figura 4 44 etardo de grupo 35

158 Capítulo IV Diferete topología para la implemetació práctica de filtro 45 Software dearrollado Ete capítulo ha coducido a la implemetació de divero programa que permite traformar la matriz de acoplamieto origial e otra má coveiete para el circuito fíico que vaamo a implemetar Por ua parte, mediate ua erie de fucioe que permite obteer lo ídice de lo ditito pivote para filtro de grado par o impar véae tabla 4 o tabla 4, coeguimo u programa que traforma ua matriz e u forma habitual x o, e ua matriz e la forma folded caoical Por otra parte, hemo implemetado u couto de programa que permite obteer lo reiduo de u filtro, eparar éto e ditito grupo co el fi de implemetar la cofiguració parallel Coeguimo por tato, matrice que e correpode co topología parallel como vimo e ditito eemplo e la ecció 43 Fialmete, implemetamo u programa que permite paar de ua matriz e cofiguració folded caoical a otra matriz e cofiguració cul-de-ac, de forma geeral para u filtro de grado par o impar iempre 4, co u máximo de -3 cero de tramiió a frecuecia fiita 46 Cocluioe E ete capítulo hemo preetado divero método para traformar ua matriz de acoplo, válida para ua determiada topología, e otra matrice que preeta má vetaa, o o má adecuada para topología alterativa Cocretamete, hemo dearrollado la metodología ecearia para obteer matrice e la forma folded caoical, e cofiguració parallel, o bie e cofiguració cul-de-ac E cada cao, añadimo ademá divero eemplo que valida cada uo de lo procedimieto, muetra lo reultado obteido mediate el oftware dieñado 36

159 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Capítulo 5 Sítei de filtro utilizado odo o reoate 5 Itroducció E ete capítulo preetamo u método de ítei para el dieño de divero filtro peudo-elíptico utilizado odo o reoate [4,5] U e implemete u odo coectado a tierra mediate ua reactacia B i idepediete de la frecuecia, que puede er u circuito abierto e cierto cao El úmero total de que puede exitir e u filtro dado e arbitrario, a que o afecta al orde del filtro La itroducció de odo o reoate e el dieño de filtro permite la aparició de algua vetaa que ha ido etudiada recietemete [4] Lo prototipo pao bao que vamo a utilizar e el preete capítulo, cotiee lo iguiete tipo de compoete: eoadore: Lo reoadore e modelará mediate capacidade de valor igual a la uidad, coectada e paralelo co reactacia idepediete de la frecuecia, que repreeta lo deplazamieto e la frecuecia de reoacia Ycodeado r C Y reactcia b i Y TOTAL b i Ycodeado r C Y Ω reactcia z Y TOTAL Ω z Tabla 5 odelo de lo reoadore 37

160 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate U reoador que e repoable de u cero de tramiió a la frecuecia ormalizada i Ω z, e repreeta, como hemo vito e la tabla 5 mediate ua capacidad de valor igual a la uidad e paralelo co ua reactacia cotate de valor Ω z Iverore de admitacia i : Ivierte la admitacia de la iguiete maera: Y i Y i out Tabla 5 Iveror de admitacia odo o reoate : Eto odo, o odo itero coectado a tierra mediate reactacia Bi idepediete de la frecuecia otar que eta reactacia o aparece e paralelo co igua capacidad, como ocurría e el cao de lo reoadore Etrada Fuete alida Carga : Eta e repreeta mediate coductacia ormalizada G G S L Cada reoador colgate e coecta olamete a u odo o reoate Para u filtro de orde co z polo de ateuació a frecuecia fiita reale, exitirá z reoadore colgate, - z reoadore a lo largo de lo odo que forma el camio etre la fuete la carga Obviamete, cuado z e meor que, la poició de lo reoadore que coduce a la repueta deeada o erá úica La elecció de la poició depederá etoce de la retriccioe de la tecología que e preteda utilizar Para compreder el procedimieto de ítei, etudiaremo tre poible cao dearrollaremo la teoría ecearia e cada cao para llegar a la matriz de acoplamieto Lo eemplo que vamo a etudiar erá: Filtro de grado 3 co u cero de tramiió: Segú hemo vito, ete filtro tedrá u reoador colgate, do reoadore a lo largo de lo odo que forma el camio etre la fuete la carga Filtro de grado 4 co do cero de tramiió: Ete filtro, tedrá do reoadore colgate, do reoadore etre la fuete la carga Filtro de grado 3 co do cero de tramiió: Ete filtro, tedrá do reoadore colgate, u olo reoador e el camio etre la fuete la carga 38

161 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 5 Sítei eemplo de u filtro de grado 3 u cero de tramiió Vamo a coiderar u filtro de tercer orde co u cero de tramiió a la frecuecia real Ω z La pérdida de retoro e la bada valdrá db La etructura que vamo a utilizar para implemetar eta repueta, tiee u reoador colgate do reoadore etre fuete carga, e la iguiete: Figura 5 Equema de acoplo utilizado para extraer u cero de tramiió e u filtro de grado 3 Partiedo de la poició del cero de tramiió de la pérdida de retoro, podemo calcular fácilmete lo polo lo cero del coeficiete de reflexió e el plao compleo, egú vimo e el capítulo do Tedremo determiado etoce dicho coeficiete: F S 5 E A partir de el coeficiete de reflexió podemo etoce calcular la admitacia de etrada, uado la iguiete relació etádar: S i 5 S Para extraer lo elemeto tedremo que comparar la admitacia de etrada dada por la ecuació 5 co la admitacia de etrada de la red Vamo pue, a calcularla Para ello, defiimo la iguiete admitacia: Figura 5 Admitacia itermedia para el cálculo de la admitacia de etrada 39

162 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate 4 Directamete del circuito aterior, e deduce el valor de la admitacia: i 53 b B c 56 z Ω b Por lo que utituedo uceivamete el valor de cada admitacia itermedia e la aterior, llegamo al valor total de la admitacia de etrada e fució úicamete de lo elemeto del circuito: b B b z c i Ω 5 El método a utilizar coitirá ahora e ir calculado el valor de cada uo de lo parámetro decoocido e la ecuació 5 Para ello, eguiremo lo iguiete pao: Para calcular, tedremo que multiplicar la admitacia de etrada por la variable complea, evaluar éta e : i 5 A cotiuació tratamo de calcular b Para ello depeamo de 5 el iguiete valor: b B b z c i i Ω 53

163 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 4 a cotiuació lo evaluamo e z Ω : b b B b z z z c i Ω Ω Ω 54 Coocido el valor de b podemo a elimiar éta cotate de la admitacia co la que etamo tratado, obteer: b B b z c i i Ω b B z c i i Ω 56 Ahora e ecillo calcular 3 c B de la iguiete maera: z z i i reidue reidue Ω Ω i i c B 3 58 De uevo podemo extraer lo térmio que a hemo calculado: b B z c i i Ω 59 calcular etoce la cotate 4 como: i Si extraemo fialmete la cotate que acabamo de calcular: b i i 5 Por lo que la última cotate e calcula implemete como la parte real e imagiaria de 5 i : e 5 5 i 5 Im 5 b i 53

164 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate 4 Coocido todo lo parámetro que determia el circuito, podemo ecribir la matriz de acoplo del filtro fiádoo e la figura 5 5: Ω b B b z c 54 otar que, para obteer la caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz de acoplo e ete cao, hemo de actuar como vimo e el apartado 34, pero co la diferecia de que ahora hemo de elimiar tambié la depedecia frecuecial del elemeto correpodiete a la reactacia c B Por ete motivo la matriz idetidad que multiplica a la variable complea tedrá el elemeto 33 I igual a cero La matriz total Z quedaría etoce como: Z,,, Ua vez realizada la ítei ecearia para calcular la matriz de acoplo, vamo a comprobar el fucioamieto co u eemplo Vamo a dieñar u filtro de tercer orde, co ua pérdida de retoro de db u cero de tramiió a la frecuecia real 8 La matriz de acoplo que obteemo egú el procedimieto decrito, que e correpode co la matriz 54, e la iguiete: 56 Aalizado eta matriz, podemo obteer etoce la caracterítica de tramiió reflexió del filtro, verificar que el cero de tramiió e ecuetra dode e había epecificado Tambié e oberva la pérdida de retoro a u ivel de db

165 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 8 Caracterítica de traferecia reflexio e db db 6 4 X: 799 Y: 675 X: -353 Y: frecuecia rad/eg Figura 5 3 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro Veamo a cotiuació qué ocurre i ituamo el cero de tramiió e la parte izquierda de la bada de pao mateiedo el reto de epecificacioe E decir, tedremo u filtro de orde 3 co ua pérdida de retoro de db u cero de tramiió a la frecuecia real 8 La matriz de acoplo e e ete cao la iguiete: 57 De uevo, aalizado eta matriz, llegamo a la caracterítica bucada: 8 Caracterítica de traferecia reflexio e db X: -799 Y: db 4 X: 445 Y: frecuecia rad/eg Figura 5 4 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro 43

166 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate Comparado la matrice 56 57, vemo que la úica diferecia etre la matrice de acoplamieto cuado cambiamo el cero de tramiió de la parte izquierda de la bada de pao a la parte derecha de forma imétrica, e que lo elemeto de la diagoal ha cambiado de igo Eto elemeto, e correpode co lo deplazamieto de frecuecia e la frecuecia de reoacia de lo reoadore 53 Sítei eemplo de u filtro de grado 4 do cero de tramiió E ete cao realizaremo la ítei de u filtro de cuarto orde co do cero e tramiió a la frecuecia reale Ω z Ω z, ua pérdida de retoro de db Debido a que el orde del filtro e 4 el úmero de cero de tramiió e z, la etructura para implemetarlo tedrá do reoadore colgate do reoadore etre fuete carga: Figura 5 5 Equema de acoplo utilizado para extraer do cero de tramiió e u filtro de grado 4 Partiedo de la poició de lo do cero de tramiió de la pérdida de retoro, podemo calcular el coeficiete de reflexió, egú vimo e el egudo capítulo: S F 58 E A partir de el coeficiete de reflexió podemo calcular la admitacia de etrada, egú: S i 59 S Al igual que e el cao aterior, para calcular lo elemeto del circuito tedremo que comparar la admitacia de etrada dada por la ecuació 59 co la admitacia de etrada de la red, que calculamo a cotiuació 44

167 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Comecemo defiiedo la iguiete admitacia itermedia: Figura 5 6 Admitacia itermedia para el cálculo de la admitacia de etrada Del circuito aterior, e deduce el valor de cada ua de la iguiete admitacia: i 53 b B Ω z B Ω z b Sutituedo uceivamete el valor de cada admitacia itermedia e la aterior, llegamo al valor total de la admitacia de etrada e fució úicamete de lo elemeto del circuito 45

168 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate 46 La admitacia de etrada queda etoce como: b B B b z z i Ω Ω 54 El método a utilizar coitirá de uevo e ir calculado el valor de cada uo de la icógita e la ecuació 54 Para ello, realizamo lo iguiete: Para calcular, multiplicamo la admitacia de etrada por la variable complea, evaluamo éta e : i 54 A cotiuació calculamo b Para ello depeamo de 54 el iguiete valor: b B B b z z i i Ω Ω 543 a cotiuació lo evaluamo e z Ω : b z i Ω 544 Coocida la variable b podemo extraer u valor de la admitacia: b B B b z z i i Ω Ω b B B z z i i Ω Ω 546 Ahora calculamo 3 mediate el teorema de lo reiduo: 3 3 z z i i reidue reidue Ω Ω 547

169 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 47 extraemo u valor de la admitacia, quedado: b B B z z i i Ω Ω 548 Para obteer B, implemete evaluamo la expreió aterior e z Ω : 4 z i B Ω 549 De uevo, extraemo el uevo térmio que acabamo de calcular de la expreió 548, quedado: b B B z i i Ω 55 El valor de 4 o va a afectar a la repueta del filtro, por lo que lo etablecemo igual a la uidad, lo extraemo de la expreió 55: b B z i i Ω 55 Calculamo etoce el valor de B 5 como igue: i B z i reidue Ω 553 lo extraemo de la expreió 55: b B z i i Ω 554 Para calcular 6 multiplicaremo la expreió aterior por la variable complea evaluaremo la admitacia e ifiito: i Fialmete extraemo ete valor: b i i 556 calculamo la última icógita: e 8 7 i 557 Im 8 b i 558

170 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate 48 Coocido todo lo parámetro, podemo ecribir la matriz de acoplo del filtro fiádoo e la figura 55 56: Ω Ω b B B b z z 559 E ete cao, para obteer la caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz de acoplo, hemo de elimiar la depedecia frecuecial de lo elemeto correpodiete a la reactacia B B Por ete motivo la matriz idetidad que multiplica a la variable complea tedrá lo elemeto 33 I e 66 I iguale a cero La matriz total Z quedaría como: Z,,, Tra la ítei, vamo a comprobar el fucioamieto del método decrito co u eemplo El dieño coite e u filtro de cuarto orde co do cero de tramiió ituado a la frecuecia reale 3 8, ua pérdida de retoro de 5 db La matriz de acoplo que obteemo e la iguiete:

171 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 aalizádola, e obtiee efectivamete la caracterítica epecificada: 4 X: Y: 3 Caracterítica de traferecia reflexio e db db 8 6 X: -993 Y: X: 657 Y: frecuecia rad/eg Figura 5 7 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro Se oberva cómo lo cero de tramiió etá a la frecuecia 3 8, aí como u ivel de pérdida de retoro de 5 db 54 Sítei eemplo de u filtro de grado 3 do cero de tramiió El último cao que vamo a cotemplar, e refiere au filtro de tercer orde, pero éta vez co do cero de tramiió, ituado a la frecuecia reale Ω z Ω z La pérdida de retoro erá de db, la etructura que utilizaremo e la iguiete: Figura 5 8 Equema de acoplo utilizado para extraer do cero de tramiió e u filtro de grado 3 Como vemo, eta etructura tiee do reoadore colgate, u olo reoador e el camio etre la fuete la carga 49

172 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate Si al igual que e lo apartado 5 53 calculamo la admitacia de etrada de éte circuito, llegamo a u expreió fial: i b 3 B Ω z B 4 5 Ω z 6 56 Para calcular cada uo de lo parámetro que determia la admitacia de etrada, debido a u imilitud co la admitacia de etrada del cao aterior dada por 54, procederemo de la mima maera que etoce, pero co ua ligera variació El proceo para calcular lo parámetro, b,, B, 3, 4, 5 igue exactamete lo mimo pao que lo explicado de 54 a 553 o queda etoce calcular el último parámetro 6, que viee dado directamete por i i B 6 56 Ω Coocido todo lo parámetro, podemo ecribir la matriz de acoplo del filtro fiádoo e la figura 58: z b B Ω z 563 B Ω z 6 Para obteer la caracterítica de traferecia reflexió a partir de la matriz de acoplo, hemo de elimiar tambié aquí la depedecia frecuecial de lo elemeto correpodiete a la reactacia B B Por ete motivo la matriz idetidad que multiplica a la variable complea a la hora de reolver el itema, tedrá lo elemeto I 33 e I 55 iguale a cero Para comprobar el fucioamieto del proceo que permite calcular la matriz de acoplo 563 aí verificar u correpodecia co el filtro de la figura 58, vamo a realizar u dieño, obteiedo dicha matriz aalizádola para viualizar la repueta e frecuecia El filtro que vamo a dieñar, tedrá do cero de tramiió a la frecuecia reale 5 El ivel de pérdida de retoro e ecuetra a 5 db 5

173 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La matriz de acoplo correpodiete a la motrada e 563 que obteemo para ete dieño e: aalizádola, obteemo la repueta frecuecial del filtro: Caracterítica de traferecia reflexio e db X: 4995 Y: 8384 db X: 99 Y: 538 X: -33 Y: frecuecia rad/eg Figura 5 9 ivel de pérdida de retoro e db fució de traferecia reflexió del filtro Vemo que efectivamete, lo cero de tramiió e ecuetra a la frecuecia 8, que exite u ivel de pérdida de retoro igual a 5 db 55 Software dearrollado Ete capítulo lo procedimieto explicado para dieñar filtro utilizado odo o reoate, ha dado lugar a tre programa que permite obteer la matriz de acoplamieto del filtro, a partir de lo cero de tramiió la pérdida de retoro que preeta u repueta e frecuecia Cada uo de lo programa permite dieñar u tipo de filtro, a aber, u filtro de orde 3 co u cero de tramiió real arbitrariamete ituado aptdo 5, u filtro de orde 4 do cero de tramiió reale ituado tambié arbitrariamete aptdo 53, u filtro de tercer orde co do cero de tramiió reale cualequiera 5

174 Capítulo V Sítei de filtro utilizado odo o reoate 56 Cocluioe E ete capítulo hemo abordado ua técica utilizada para itetizar filtro co cero de tramiió a frecuecia fiita arbitrariamete ituado Lo cero de tramiió e extrae mediate odo o reoate itero, ituado e el cetro de la etructura Ademá, para cada dieño, co u orde u úmero de cero de tramiió z determiado, erá válida divera etructura Hemo realizado tambié divero eemplo de dieño de filtro utilizado la técica decrita, motrado lo reultado obteido para la matriz de acoplo la repueta frecuecial e cada cao 5

175 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Capítulo 6 Eemplo de aplicació práctica 6 Itroducció E ete capítulo vamo a preetar diferete aplicacioe práctica de lo método de ítei de filtro que hemo dearrollado a lo largo de lo capítulo ateriore E cada uo de lo dieño que vamo a preetar, partiremo de ua epecificacioe dada, como o el tipo el orde del filtro, lo poició de lo cero de tramiió a frecuecia fiita, la pérdida de retoro deeada A partir de eta epecificacioe, realizaremo la ítei que o coducirá a la matriz de acoplamieto ecearia para la implemetació del filtro Ademá, icluiremo ditita topología para dicha implemetació, aí como poible circuito fíico 6 Dieño de u filtro pao bada de cuarto orde do cero de tramiió, e cofiguració parallel coected - La epecificacioe de ete primer filtro pao bada que vamo a dieñar, o la iguiete: Tipo Pao Bada Chebhev Orde 4 Pérdida de retoro db Cero de tramiió 3 3 Tabla 6 Epecificacioe del filtro 53

176 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica Tedremo por tato, do cero de tramiió a frecuecia fiita ituado e el ee imagiario del plao compleo: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 6 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió Siguiedo el método de ítei dearrollado e el capítulo, podemo obteer lo reiduo de la fucioe de traferecia reflexió Valore propio eiduo Vectore k λ k r k r k Tk rk T k r k / rk Tabla 6 eiduo valore propio vectore T k T k A partir de éto, agrupado lo reiduo e do grupo egú vimo e la ecció 43, cotruiremo do ubrede que coectada e paralelo o coducirá a la red total e cofiguració parallel-coected Eta cofiguració puede obteere, debido a que uetro filtro e de grado par imétrico, a que amba codicioe era ecearia para poder llegar a eta topología k La primera de la ubrede, correpode a la agrupació de lo reiduo k 4 La matriz la topología que obteemo o: Figura 6 atriz de acoplo topología de la primera ubred 54

177 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 k La eguda de la ubrede, correpode a la agrupació de lo reiduo k 3 La matriz la topología que obteemo para eta ubred o: Figura 6 3 atriz de acoplo topología de la eguda ubred Uiedo la do matrice que hemo obteido e ua úica matriz de acoplo e obtiee e la iguiete: 6 correpodiete a la topología que e muetra a cotiuació: Figura 6 4 Cofiguració Parallel-Coected El aálii de la matriz 6, como veremo a cotiuació, o coduce a la caracterítica de traferecia reflexió que pretedíamo obteer, co db de pérdida de retoro lo do cero de tramiió a la frecuecia ± 3 55

178 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica Caracterítica lieal de reflexió del filtro Caracterítica lieal de traferecia del filtro Caracterítica de reflexió del filtro e db X: Y: Caracterítica de traferecia del filtro e db 5 X: -999 Y: 43 X: 999 Y: Figura 6 5 Caracterítica de reflexió del filtro Figura 6 6 Caracterítica de traferecia del filtro La repueta frecuecial del filtro, de forma couta, preeta el iguiete apecto: Caracterítica de traferecia reflexio e db L 8 db frecuecia rad/eg Figura 6 7 ivel de pérdida de retoro repueta frecuecial del filtro 56

179 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Y el retardo de grupo, e el iguiete: Figura 6 8 etardo de grupo Fialmete, ua vez obteida la matriz 6 del filtro que pretedemo cotruir coocida u topología figura 6, podríamo implemetarlo fíicamete e ditita tecología Si utilizamo por eemplo, tecología microtrip, u poible dieño ería el que motramo a cotiuació: Figura 6 9 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado 57

180 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica 63 Dieño de u filtro pao bada de cuarto orde do cero de tramiió, e ua cofiguració alterativa E ete egudo eemplo, vamo a dieñar u filtro pao bada del mimo orde que el aterior, tambié co do cero de tramiió ituado a frecuecia fiita Si embargo, e ete cao coeguiremo reducir la matriz de acoplo iicial a otra matriz que permite ua implemetació fíica del filtro diferete La epecificacioe erá la iguiete: Tipo Pao Bada Chebhev Orde 4 Pérdida de retoro 3 db Cero de tramiió Tabla 6 3 Epecificacioe del filtro Tedremo etoce do cero de tramiió a frecuecia fiita ituado e el ee imagiario del plao compleo: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 6 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió E primer lugar, obteemo la matriz traveral iguiedo lo procedimieto decrito e el tercer capítulo El reultado e: 58

181 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 El aálii de eta matriz coduce a la repueta frecuecial del filtro co la caracterítica epecificada Si embargo, upogamo que queremo implemetar la iguiete topología: Figura 6 Topología que deeamo implemetar E ete cao, teemo que realizar ditita traformacioe obre la matriz de acoplo para coeguir aular lo elemeto o deeado, obteer otra matriz que í que e correpoda co eta topología La matriz a la que llegamo e etoce la iguiete: 6 De uevo, el aálii de eta matriz que ahora í correpode a la topología de la figura 6, o coduce a la caracterítica de traferecia reflexió bucada Éta caracterítica o: 9 Caracterítica de traferecia reflexio e db 8 7 X: -495 Y: 8547 X: 495 Y: 8547 db L frecuecia rad/eg Figura 6 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro dieñado 59

182 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica El retardo de grupo preeta la iguiete forma: Figura 6 3 etardo de grupo Fialmete, ua vez obteida la matriz 6 que e correpode co la topología 6 podemo implemetar el filtro fíicamete e la tecología deeada Utilizado tecología microtrip, u poible dieño ería el iguiete: Figura 6 4 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado 6

183 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 64 Dieño de u filtro pao bada de exto orde co cuatro cero de tramiió e cofiguració parallel coected 4- E ete cao, vamo a dieñar u filtro de orde 6 Pretedemo itetizarlo e tecología microtrip utilizado ua topología e cofiguració parallel-coected La epecificacioe iiciale de uetro filtro va a er: Tipo Pao Bada Chebhev Orde 6 Pérdida de retoro db Cero de tramiió 3 3 Tabla 6 4 Epecificacioe del filtro Vemo que e trata de u filtro de grado par 6 imétrico, a que lo cero de tramiió epecificado, e ecuetra e la iguiete poicioe del plao compleo Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 6 5 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió Siguiedo el método de ítei dearrollado e el capítulo, obteemo lo reiduo de la fucioe de traferecia reflexió Valore propio eiduo Vectore k λ k r k r k Tk rk T k r k / rk Tabla 6 5 eiduo valore propio vectore T k T k 6

184 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica A partir de éto, agrupado lo reiduo e do grupo, cotruiremo do ubrede que coectada o permitirá obteer la red total e cofiguració parallelcoected La primera de la ubrede, e obtiee agrupado lo reiduo k k 6 Para ello e obtiee la iguiete matriz la iguiete topología: Figura 6 6 atriz de acoplo topología de la primera ubred La eguda ubred, la obtedremo agrupado el reto de lo reiduo, e decir k, k 3, k 4 k 5 La matriz topología obteida para eta ubred o: Figura 6 7 atriz de acoplo topología de la eguda ubred Superpoiedo la do matrice que hemo obteido e obtiee la iguiete matriz de acoplo : 63 6

185 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Eta matriz, e correpode co la topología parallel-coected que e muetra a cotiuació: Figura 6 8 Cofiguració Parallel-Coected El aálii de la matriz que hemo obteido, produce la caracterítica de traferecia reflexió epecificada: Caracterítica de traferecia reflexio e db X: -999 Y: 7 L X: 999 Y: 7 8 db frecuecia rad/eg Figura 6 9 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro dieñado Por otra parte, el retardo de grupo e batate plao e la parte cetral de la bada de pao debido a lo do cero ituado e el ee real que hemo utilizado e el dieño Su repreetació gráfica e muetra a cotiuació 63

186 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica Figura 6 etardo de grupo Por último, coocida la matriz de acoplo del filtro, aí como la topología que éta implemeta, podremo cotruir el filtro fíico e la tecología deeada Si utilizamo tecología microtrip, u poible dieño ería el iguiete: Figura 6 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado 64

187 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 65 Dieño de u filtro pao bada de quito orde co do cero de tramiió, e cofiguració cul-de-ac E ete eemplo, pretedemo dieñar u filtro co la iguiete caracterítica: Tipo Pao Bada Chebhev Orde 5 Pérdida de retoro 5 db Cero de tramiió 3 Tabla 6 6 Epecificacioe del filtro Se trata por tato de u filtro de orde impar igual a 5, co do cero de tramiió a frecuecia fiita Pretedemo utilizar ua cofiguració cul-de-ac para u implemetació, coa que erá poible, a que el úmero de cero de tramiió fiito e meor o igual que el orde del filtro meo tre fz 3 Cocretamete, lo cero de tramiió e itúa e: Cero de tx deeado : Simetría alrededor del ee imagiario Figura 6 Poició e el plao compleo de lo cero de tramiió Para obteer la matriz que o coducirá a ua topología cul-de-ac, e primer lugar hemo de obteer dicha la matriz de acoplo e cofiguració traveral, traformar éta e otra co cofiguració folded caoical Siguiedo lo procedimieto decrito a lo largo del proecto para realizar eta traformacioe, obteemo la iguiete matrice: Figura 6 3 atriz traveral de u filtro de orde 5 65

188 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica Figura 6 4 atriz e la forma folded caoical de u filtro de orde 5 Partiedo de éta matriz, a podemo obteer otra que o permita llegar a ua topología cul-de-ac Para ello, aulamo el elemeto 3 mediate el pivote [,4], llegamo a: Figura 6 5 atriz correpodiete a la topología cul-de-ac Filtro grado 5 Eta matriz, repreeta la topología cul-de-ac que pretedíamo coeguir: Figura 6 6 Topología cul-de-ac para u filtro de grado 5 El aálii de eta última matriz, al igual que el de toda la ateriore, produce la caracterítica de traferecia reflexió epecificada e u pricipio Podemo ver a cotiuació, lo do cero epecificado ituado e 3, aí como la pérdida de retoro de 5 db 66

189 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Caracterítica de traferecia reflexio e db L X: 999 Y: 5 8 X: -999 Y: 8638 db frecuecia rad/eg Figura 6 7 epueta frecuecial ivel de pérdida de retoro del filtro dieñado El retardo de grupo por u parte preeta el iguiete apecto: etardo de grupo Figura 6 8 etardo de grupo 67

190 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica Fialmete, como a coocemo la matriz que implemeta la topología cul-de-ac que deeábamo, podemo implemetar fíicamete el filtro Si utilizamo tecología microtrip, u poible dieño ería el iguiete: Figura 6 9 Apecto fíico que tedría el filtro de cuarto orde que hemo dieñado 66 Dieño e implemetació de filtro plaare co múltiple acoplo A cotiuació vamo a dieñar do filtro e tecología microtrip, uo de ello pao bada el otro de bada rechazada Abordaremo e primer lugar, la ítei teórica la obteció de la matriz de acoplamieto de cada filtro, aí como u topología E egudo lugar hablaremo acerca de la implemetació, fialmete motraremo lo reultado obteido tra la fabricació medida de lo filtro [6] 66 Filtro pao bada 66 Sítei El filtro que vamo a dieñar e primer lugar, erá u filtro pao bada de egudo orde cetrado a la frecuecia f c 4 hz, co u acho de bada de hz Lo cero de tramiió e ituará e la frecuecia f 35 hz f 44 hz Traformado eta epecificacioe mediate la ecuació 33, obteemo lo iguiete valore ormalizado: Tipo Pao Bada Orde Pérdida de retoro db Cero de tramiió Tabla 6 7 Epecificacioe del filtro 68

191 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Si realizamo la ítei que o coduce a la matriz de acoplamieto traveral egú vimo e el tercer capítulo, e obtiee: Figura 6 3 atriz de acoplo traveral que e correpode co la iguiete topología: Figura 6 3 Topología del filtro pao bada que vamo a cotruir E eta figura, la líea ólida repreeta lo acoplo etre lo puerto de etrada alida lo reoadore, mietra que la líea dicotiua repreeta el acoplo directo etre la fuete S la carga L Co eta etructura, gracia a la exitecia del acoplo directo que acabamo de mecioar, coeguiremo lo do cero de tramiió que habíamo epecificado e la repueta frecuecial del filtro De hecho, i aalizamo la matriz de acoplo 63 deormalizado lo reultado obteido, por tato cetrado lo reultado a la frecuecia cetral f c 4 hz, co u acho de bada de hz, comprobamo cómo e obtiee la repueta frecuecial epecificada, co db de pérdida de retoro lo cero de tramiió a la frecuecia f 35 hz f 44 hz: db -4-5 X: 44e9 Y: X: 35e9 Y: frecuecia f x 9 Figura 6 3 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 69

192 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica 66 Implemetació reultado Para implemetar e tecología microtrip la topología motrada e la figura 63, utilizaremo la iguiete etructura: Figura 6 33 Etructura que implemeta u filtro pao bada co la topología de la figura 63 E eta etructura etamo utilizado u reoador e lazo abierto co ua logitud igual a λ de la frecuecia cetral, u tub cortocircuitado e λ 4 La diferecia de logitud etre ambo reoadore produce etrada o ula e la diagoal de la matriz de acoplo figura 63 Lo igo de éta etrada o acoplo o ulo, e puede cotrolar autado la diferecia de logitude etre lo reoadore Por otra parte, la forma e que e dobla la líea de etrada alida produce la aparició de u acoplo capacitivo etre lo puerto de etrada alida que cotrola el cero de tramiió ituado a frecuecia iferiore a la bada de pao De hecho, i éte acoplo fuera ulo, dicho cero de tramiió deaparecería Eto e puede comprobar fácilmete aalizado la matriz de acoplo co : SL - db -5 db frecuecia f x frecuecia f x 9 Tabla 6 8 epueta del filtro co el acoplo directo i él 7

193 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La poició del cero de tramiió que e ecuetra a frecuecia uperiore a la de la bada de pao, e cotrolará mediate la diferecia de logitude de lo reoadore Combiado el efecto de ambo cero de tramiió, icremetaremo la electividad del filtro a ambo lado de la bada de pao El acoplo capacitivo itroducido al doblar el tub depederá de do parámetro, el gap d g la logitud de acoplo l c El reto de lo parámetro determia la logitud efectiva de cada reoador por tato la diferecia de logitude etre el primer el egudo reoador La etructura del filtro, co la medida utilizada e la iguiete: Figura 6 34 Etructura medida para la implemetació del filtro El utrato empleado e ete filtro e u T-DUOID/66 co ua permitividad relativa de 6 5 u groor de 5 mm La repueta ideal de eta etructura, como vemo a cotiuació, e correpode co la que obteíamo de la matriz de acoplo de la figura 63: Figura 6 35 epueta frecuecial de la etructura motrada e la figura 634 7

194 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica El filtro fabricado correpodiete al dieño de la figura 634 e el iguiete: Figura 6 36 Apecto del filtro pao bada fabricado Fialmete, i compramo lo reultado medido para éte filtro, co la imulació electromagética de oda completa baada e la ecuació itegral icluedo la pérdida e el utrato dieléctrico e la área imprea metálica, vemo que exite buea cocordacia etre lo reultado medido lo que e eperaba obteer: Figura 6 37 eultado imulado medido para el filtro pao bada de la figura Filtro de bada rechazada 66 Sítei El filtro que vamo a dieñar e egudo lugar, erá u filtro de bada rechazada de orde, cetrado a la frecuecia f c 4 hz, co u acho de bada de hz Lo cero de reflexió e ituará e la frecuecia f 395 hz f 8 hz Traformado eta epecificacioe mediate la ecuació 5, obteemo lo valore ormalizado 7

195 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La epecificacioe e valore ormalizado o por tato: Tipo Bada rechazada Orde Pérdida de retoro db Cero de tramiió Tabla 6 9 Epecificacioe del filtro Si realizamo la ítei para obteer la matriz de acoplamieto traveral e obtiee: Figura 6 38 atriz de acoplo traveral que e correpode de uevo a la iguiete topología de la figura 63 Aalizado eta matriz de acoplo deormalizado lo reultado de forma que la repueta quede cetrada a f c 4 hz co u acho de bada de hz, comprobamo cómo e obtiee la repueta frecuecial epecificada, co db de pérdida de retoro lo cero de reflexió a la frecuecia f 395 hz f 8 hz: - -4 db -6 X: 395e9 Y: X: 8e9 Y: frecuecia f x 9 Figura 6 39 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 73

196 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica 66 Implemetació reultado Para implemetar e tecología microtrip el filtro de bada rechazada, utilizaremo la etructura que e muetra a cotiuació: Figura 6 4 Etructura que implemeta u filtro de bada rechazada co la topología de la figura 63 De uevo, e eta etructura etamo utilizado u reoador e lazo abierto co ua logitud igual a λ de la frecuecia cetral, u tub cortocircuitado e λ 4 La diferecia de logitude etre eto reoadore ervirá e ete cao para cotrolar el cero de reflexió que aparece a frecuecia má baa que la bada de pao Ademá, ahora la líea directa de la etrada a la alida implemetará u acoplo de tipo iductivo etre la fuete la carga, a diferecia de lo que ocurría e el filtro pao bada, e el que ete acoplo era capacitivo La etructura del filtro, co la medida utilizada e ete cao e la iguiete: Figura 6 4 Etructura medida para la implemetació del filtro El utrato empleado e ete filtro e tambié u T-DUOID/66 co ua permitividad relativa de 6 5 u groor de 5 mm 74

197 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 La repueta ideal de eta etructura reulta er etoce la que bucábamo, e decir, la de u filtro de bada rechazada, co do cero de reflexió, uo a cada lado de la bada elimiada: Figura 6 4 epueta frecuecial de la etructura motrada e la figura 64 El filtro fabricado correpodiete al dieño de la figura 64 e el iguiete: Figura 6 43 Apecto del filtro pao bada fabricado Fialmete, i compramo lo reultado medido para éte filtro, co la imulació electromagética icluedo la pérdida e el utrato dieléctrico e la área imprea metálica, vemo que exite buea cocordacia etre lo reultado medido lo que e eperaba obteer Figura 6 44 eultado imulado medido para el filtro pao bada de la figura

198 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica 67 Dieño de filtro e tecología híbrida E ete apartado vamo a dieñar tre filtro diferete, cua implemetació e realizará e tecología híbrida, pueto que mezclaremo tecología guiada tecología microtrip La etructura báica etará formada por ua guía de oda cuadrada de logitude a b, altura h h h E el iterior de la guía e itúa u dieléctrico de epeor h permitividad relativa, obre el que exite u circuito impreo e tecología microtrip, formado por u reoador, u puerto de etrada otro de alida La poició la logitude de ete circuito impreo e epecificará e cada circuito dieñado, aí como el valor de la dimeioe de la guía del dieléctrico E geeral, el filtro preetará el iguiete apecto: Figura 6 45 Filtro e tecología híbrida 67 Dieño co do cero de tramiió aimétrico El primer filtro que vamo a dieñar, erá u filtro pao bada co do cero de tramiió ituado aimétricamete alrededor de la frecuecia cetral f c 4 67 Ghz El acho de bada erá de Ghz lo cero etará ituado exactamete a la frecuecia f Ghz f 5 83 Ghz Traformado eta epecificacioe mediate la ecuació 5, obteemo lo valore ormalizado: Tipo Pao Bada Orde Pérdida de retoro db Cero de tramiió Tabla 6 Epecificacioe del filtro 76

199 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Si realizamo la ítei que etudiamo e el capítulo 3, ecearia para obteer la matriz de acoplamieto traveral obteemo: Figura 6 46 atriz de acoplo traveral Aalizado eta matriz de acoplo deormalizado lo reultado de forma que la repueta quede cetrada a 467 Ghz co u acho de bada de Ghz, comprobamo que la repueta frecuecial e la que habíamo epecificado: db X: 4378e9 Y: X: 58e9 Y: frecuecia f 55 6 x 9 Figura 6 47 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo La etructura co la que vamo a implemetar ete filtro, e la motrada e la figura 645 co la iguiete dimeioe: a 4mm b 4mm h h 3mm 3mm mietra que el circuito impreo e tecología microtrip etará ituado egú la coordeada que e idica a cotiuació 77

200 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica Figura 6 48 Vita uperior del circuito impreo e la etructura Para obteer la repueta frecuecial de eta etructura, vamo a utilizar el oftware dearrollado e [4] Dicha repueta reulta er, como eperábamo, la de u filtro de bada rechazada co do cero de reflexió ituado aimétricamete alrededor de la bada de pao: - Caracterítica de traferecia reflexio e db - -3 db frecuecia f GHz Figura 6 49 epueta frecuecial obteida a partir del aálii de la etructura motrada e la figura

201 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 67 Dieño co do cero de tramiió imétrico El egudo filtro que vamo a dieñar, erá u filtro pao bada co u acho de bada de 77 5 hz, co do cero de tramiió ituado imétricamete alrededor de la frecuecia cetral f 4 7 Ghz Eto cero etará ituado exactamete a la c frecuecia f 4 5 Ghz f 5 Ghz Traformado eta epecificacioe a u valore ormalizado mediate la ecuació 5 e obtiee: Tipo Pao Bada Orde Pérdida de retoro 55 db Cero de tramiió Tabla 6 Epecificacioe del filtro ealizado la ítei que o coduce a la matriz de acoplamieto traveral obteemo: Figura 6 5 atriz de acoplo traveral Aalizado ahora la matriz de acoplo deormalizado lo reultado, e obtiee, efectivamete, la repueta frecuecial dada por la epecificacioe de la tabla 6: - -4 db X: 45e9 Y: X: 5e9 Y: frecuecia f x 9 Figura 6 5 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo 79

202 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica La etructura co la que vamo a implemetar ete filtro, e de uevo la motrada e la figura 645 i embargo, la dimeioe o ahora la iguiete : a 4mm b 4mm h h 4mm 3mm El circuito impreo e tecología microtrip etará ituado e ete cao egú la coordeada que e idica: Figura 6 5 Vita uperior del circuito impreo e la etructura De uevo, para obteer la repueta frecuecial de eta etructura, utilizaremo el oftware dearrollado e [4] La repueta, como vemo, coicide co la epecificada figura 65: Caracterítica de traferecia reflexio e db db frecuecia f GHz Figura 6 53 epueta frecuecial obteida a partir del aálii de la etructura 8

203 óica artíez edoza Uiveridad Politécica de Cartagea, 6 Si repreetamo imultáeamete la caracterítica epecificada figura 65 e líea cotiua la que e obtiee a partir del circuito figura 653 e líea dicotiua, podemo obervar meor u cocordacia De hecho, la gráfica o prácticamete iditiguible: Caracterítica de traferecia reflexio e db - -4 db frecuecia f GHz x 9 Figura 6 54 Comparació etre la repueta frecuecial epecificada la obteida aalizado el circuito e tecología híbrida 673 Dieño co todo lo cero de tramiió ituado e el ifiito El tercer último filtro que vamo a dieñar utilizado tecología híbrida, coite e u filtro pao bada de egudo orde co todo u cero de tramiió ituado a frecuecia ifiita Ete filtro etará cetrado a ua frecuecia cetral de 4 85 Ghz co u acho de bada de 83 Ghz Traformado eta epecificacioe a u valore ormalizado mediate la ecuació 5 e obtiee: Tipo Pao Bada Orde Pérdida de retoro 4 db Cero de tramiió Todo ituado a frecuecia ifiita Tabla 6 Epecificacioe del filtro ediate la ítei que o coduce a la matriz de acoplamieto traveral llegamo a la matriz que e muetra a cotiuació: Figura 6 55 atriz de acoplo traveral 8

204 Capítulo VI Eemplo de aplicació práctica Aalizado eta matriz de acoplo deormalizado lo reultado, e obtiee, la repueta frecuecial dada por la epecificacioe que e muetra e la tabla 6: db frecuecia f x 9 Figura 6 56 epueta frecuecial del filtro, dada por el aálii de la matriz de acoplo La etructura co la que vamo a implemetar ete filtro, e tambié la motrada e la figura 645 pero co la iguiete dimeioe : a 4mm b 37mm h h 4mm 3mm El circuito impreo e tecología microtrip etará ituado egú la coordeada idicada e la iguiete figura: Figura 6 57 Vita uperior del circuito impreo e la etructura 8