LECCIÓN 2 ESTADÍSTICA DE ELECTRONES Y HUECOS EN LOS SEMICONDUCTORES

Transcripción

1 )ITROUIÓ LIÓ STAÍSTIA LTROS Y HUOS LOS SMIOUTORS omo mos visto n la Lcción, una banda llna no contribuy al transport d carga o nrgía a través d un sólido. xist un gran númro d sustancias n las qu s da la circunstancia d qu, a T K, todos los lctrons s ncuntran n bandas compltamnt llnas, y las bandas vacías s ncuntran a nrgías supriors, sparadas d las bandas llnas por un intrvalo d nrgía n l qu no xistn stados lctrónicos (figura ). S llama banda proibida g a la difrncia ntr l bord infrior d las bandas vacías y l bord suprior d las bandas llnas. A una tmpratura difrnt dl cro absoluto, simpr abrá cirta proporción d lctrons ocupando las bandas supriors (y contribuyndo a los fnómnos d transport), y cirta proporción d stados vacíos n las bandas infriors (qu también contribuirán al transport). Sgún l valor d g, sa proporción d lctrons pud sr mas o mnos grand. A los sólidos n los qu g s tan grand qu la concntración d lctrons xcitados s simpr dsprciabl, s ls llama aislants. Para valors d g infriors a unos, la concntración d lctrons xcitados pud llgar a sr aprciabl a tmpraturas no muy altas. A dicos sólidos s ls llama smiconductors. o xist, pus, difrncia cualitativa ntr smiconductors y aislants. igura : bandas d nrgía n un smiconductor n un smiconductor, s dnomina banda d valncia a la banda ocupada situada mas alta n nrgía y banda d conducción a la banda vacía situada mas baja n nrgía. icas bandas son las qu jugan un papl prdominant n los fnómnos d transport, ya qu las rstants bandas starán simpr totalmnt llnas o totalmnt vacías. )STAÍSTIA LTROS Y HUOS L SMIOUTOR ITRÍSO

2 onsidrmos un smiconductor con la structura d bandas d la figura. A K, la banda d valncia stará totalmnt ocupada por lctrons, por unidad d volumn, d manra qu: v Ú g ( ) d () dond g v () s la dnsidad d stados por unidad d volumn n la banda d valncia. Al sr la probabilidad d ocupación d todo stado d nrgía infrior a v, no ay qu introducir ninguna función d distribución stadística. Por l contrario, a T K, la probabilidad d qu los stados d la banda d conducción stén ocupados s no nula y ay qu introducir la función d distribución d rmiirac: v Ú f() g v()d + Ú f() g c c ()d dond g c () s la dnsidad d stados n la banda d conducción. omo no varía, ya qu los lctrons pasan d un stado a otro, consrvándos su númro, y la dilatación térmica s dsprciabl, podmos scribir, a partir d las cuacions y : o, lo qu s lo mismo: () v v Ú g ( ) d Ú f() g v()d + Ú f() g v()d () c v Ú v Ú v c ( f() ) g ()d f()g ()d () f() s la probabilidad d qu l stado o stados a nrgía stén vacíos, lugo l primr mimbro d la cuación s n ralidad la concntración d stados vacíos n la banda d valncia, a los qu llamarmos ucos. omo l sgundo mimbro s la concntración d lctrons n la banda d conducción, la cuación s rduc a: n p (5) qu indica, simplmnt, qu por cada lctrón qu pasa a la banda d conducción, aparc un uco n la banda d valncia. Rcordmos la forma d la función d distribución d rmi irac: f() (6) La cuación 6 mustra qu f() tin la misma structura qu f(), por lo qu pud considrars como función d distribución d una partícula, a la qu llamarmos uco, cuya nrgía s mid n sntido contrario a la d los lctrons, por lo qu podmos considrarlos como partículas con carga positiva. finamos las siguints nuvas variabls:

3 c... ( v ) (7) c... v Podmos, pus, scribir: Ú g ( ) d g d + Ú ( ) (8) + v + + n l primr mimbro, podmos cambiar l signo intrcambiando los límits d intgración y xtndr asta infinito l límit suprior d intgración dado qu, n todo caso, + >> y, por tanto, l intgrando tind rápidamnt a cro al aljarnos dl bord d las bandas. ado qu ambos mimbros tinn la misma forma y qu las dnsidads d stados n ambas bandas van a sr dl mismo ordn d magnitud (o d órdns muy próximos), y no pudn sr muy difrnts, por lo qu l nivl d rmi db star muy próximo al cntro d la banda proibida. S llama smiconductors no dgnrados a aqullos n los qu l nivl d rmi s ncuntra n la banda proibida, a varias unidads dl bord d las bandas. n s caso, la xponncial n l dnominador d la función d rmiirac s simpr muco mayor qu y dica stadística coincid con la d Boltzmann, por lo qu la cuación 8 s rduc a: + + g d g c Ú v( ) ( ) Ú c( ) d (9) v cuación sta qu pud scribirs: p g d g c Ú v( ) ( ) Ú c( ) d n () v Y, si dfinimos las dnsidads d stados fctivas n las bandas d valncia y conducción, v y c, la cuación quda: Ú g v( ) d Ú g ( ) d () p n () Hay qu subrayar qu la dfinición d las dnsidads d stados s indpndint d las cuacions y, s dcir, indpndint d la posición dl nivl d rmi n la banda proibida. co, y como vrmos mas adlant, n y p djarán d sr iguals n smiconductors con impurzas. Sin mbargo, d las cuacions y s dduc una cuación gnral qu rlaciona n y p. alculmos l producto d n y p: np + g ni ()

4 La cantidad n i (qu solo dpnd d la structura d bandas dl smiconductor y d la tmpratura) s la llamada concntración intrínsca d portadors y corrspond a la concntración d cada tipo d portadors qu stán xcitados n l smiconductor a una tmpratura dada. alculmos l valor d n i n l caso d bandas parabólicas. Sabmos qu, n s caso, la dnsidad d stados n las bandas vin dada por: g, c, v( m, ) ( ), p () dond m, s la masa fctiva d dnsidad d stados n la banda corrspondint. Sustituyndo sta xprsión n la cuación y acindo l cambio d variabl x, /KT, obtnmos: m, d m,, x, ( ) ( ) x dx Ú,, Ú p p (5) La variación con la tmpratura d la concntración intrínsca n un smiconductor con bandas parabólicas vndrá dada por: ni ( p ) ( m m ) g ni ( p ) ( mm ) g (6) olvindo aora a la cuación, podmos calcular la volución dl nivl d rmi n función d la tmpratura: p v + c + ln( n ) + c+v + ( m ln m ) (7) A T K, l nivl d rmi s ncuntra justo n l cntro d la banda proibida. Al aumntar la tmpratura, l nivl d rmi s irá acrcando a la banda con mnor masa fctiva (normalmnt, la banda d conducción). ) STAÍSTIA LOS LTROS LOS ILS IMPURZA La introducción d impurzas dadoras o acptoras n un smiconductor conduc a la aparición d stados lctrónicos cuya función d ondas stá localizada n torno a la impurza y qu s ncuntran situados, n nrgía, n la banda proibida, a unas dcnas d mililctronvoltios dl bord d las bandas (si s trata d nivls idrognoids), o mas crca dl cntro d la banda proibida ( si s trata d nivls profundos). A baja tmpratura, los lctrons s ncuntran n los nivls mas bajos d nrgía, por lo qu si l smiconductor solo contin impurzas dadoras, los lctrons n xcso s ncontrarán n los nivls a llas asociados. Al aumntar la tmpratura, los lctrons pudn xcitars a la banda d conducción. A dico procso s l llama ionización d la impurza.

5 Para dtrminar como cambia con la tmpratura la concntración d lctrons xcitados, mos d conocr la probabilidad d ocupación d los nivls localizados. Hay qu tnr n cunta qu la stadística d rmiirac para lctrons librs no pud aplicars sin más a los lctrons n los nivls localizados. n todo l trataminto qu mos aco asta aora, mos prscindido d la intracción rpulsiva qu xist ntr los lctrons. La introducción d dica rpulsión, así como d la nrgía d intrcambio, no supon un cambio muy grand n l spctro nrgético dl sólido, cuando los lctrons s ncuntran n una banda, spcialmnt si s trata d una banda anca. Por l contrario, n n stado localizado, qu n principio podría star ocupado por dos lctrons d spin difrnt, la rpulsión lctrostática ntr llos s dl mismo ordn qu l campo culombiano atractivo, por lo qu stado con dos lctrons tin una nrgía muy difrnt d stado con un solo lctrón. n la mayoría d los casos, dico stado s ncontrará a una nrgía muco mayor, confundido con los stados d la banda d conducción. n nivls mas profundos y localizados, la prsncia d un sgundo lctrón pud originar una rstructuración complta dl ntorno d la impurza dando lugar a lo qu s llama un cntro U, con nrgía d nlac mas grand. Para calcular l númro promdio d lctrons n dicos nivls localizados partimos pus d la ipótsis d qu solo un lctrón pud ocuparlos. Apliqumos la fórmula d Gibbs: < n > Â j j Â j j m j j m j dond la suma s raliza rspcto a todos los stados lctrónicos posibls. j s la nrgía dl stado, j l númro d lctrons n l stado y μ l potncial químico, s dcir, n nustro caso, l nivl d rmi. Tndríamos trs stados posibls: (8) ivl vacío:, ivl ocupado por un lctrón:, ivl ocupado por un lctrón d spin opusto:, Sustituyndo n la cuación 8: < n > + + (9) l númro mdio d lctrons n l nivl dador, o sa su probabilidad d ocupación, difir d la stadística d rmi para lctrons librs n l factor / dl dnominador. 5

6 ) OTRAIÓ LTROS U SMIOUTOR TIPO O OMPSAO S llama smiconductor d tipo a aqul qu contin mas impurzas dadoras qu acptoras. Si contin impurzas acptoras s dic qu stá parcialmnt compnsado. onsidrmos qu l smiconductor contin impurzas dadoras por unidad d volumn, qu dan lugar a otros tantos stados localizados, situados n la banda proibida, a la nrgía. Llamarmos Δ a la nrgía d ionización d la impurza y n a la concntración d lctrons n l nivl d impurzas. La concntración d impurzas ionizadas srá + n. n l smiconductor intrínsco tníamos solo lctrons y ucos, y la cuación 5, np, podía considrars como una cuación d nutralidad léctrica dl smiconductor. n la lcción 8 vrmos qu la nutralidad léctrica db mantnrs simpr. n l caso dl smiconductor d tipo, dbmos incluir n la cuación d nutralidad también las impurzas ionizadas, con lo qu, si n y p son las concntracions d lctrons y ucos, la cuación d nutralidad qudará: n p + + p + n () cuación qu indica qu un lctrón n la banda d conducción solo pud provnir d la banda d valncia, n cuyo caso parcrá un uco n dica banda, o d una impurza, qu qudará ionizada. Por otra part, simpr db cumplirs la cuación, np n i. Junto con la cuación, sta última nos prmit obtnr n n función d la tmpratura. n gnral, no s ncsario incluir todos los términos d la cuación, ya qu, sgún l rango d tmpraturas, prdominan unos u otros. Así, como la nrgía d ionización d las impurzas dadoras s muco mas pquña qu la banda proibida, asta tmpraturas modradamnt altas, podmos dsprciar la concntración d ucos n la banda d valncia,y la cuación d nutralidad qudará: n () + + usando la cuación, y dfinindo x xp( /), s obtin: x ( x +) x + x x + x () La solución d sta cuación d sgundo grado s: 8 ( + x ± ) () Tnindo n cunta qu x s ncsariamnt positivo, solo la solución positiva tin sntido, por lo qu la variación dl nivl d rmi con la tmpratura vin dada por: 6

7 Ê ˆ Á 8 ln ( + ) () Ë n sta xprsión, dado qu x db sr positiva por dfinición, mos prscindido d la solución corrspondint al signo mnos. onsidrmos aora dos casos límit: a) A tmpraturas muy bajas, para las qu >>, y por tanto podmos dsprciar l n la raíz y fura d la raíz: Ê lná Ë 8 ˆ + + ln( ) (5) l nivl d rmi s sitúa, a K, n l punto mdio ntr l nivl d impurza y la banda d conducción, y tind a acrcars a la banda al aumntar la tmpratura. Para calcular n, basta con sustituir la xprsión d n la cuación, obtniéndos: n (6) La concntración d lctrons, a baja tmpratura, s dcir, cuando los nivls d impurza stán ionizándos, crc con una nrgía d activación igual a la mitad d la nrgía d ionización d las impurzas. b) A altas tmpraturas, aumnta y l sgundo término dntro d la raiz pasa a sr dsprciabl frnt a, con lo qu, al dsarrollar la raíz, obtnmos: Ê ˆ + lná ln (7) Ë n s rango d tmpraturas l nivl d rmi baja y tind a acrcars al cntro d la banda proibida. Al sustituir n la xprsión d n, s fácil vr qu s obtin n, s dcir, n st rango d tmpraturas la concntración d lctrons prmanc constant, lo qu corrspond al co d qu todas las impurzas stán ionizadas, pro la concntración d lctrons xcitados dsd la banda d valncia s aún dsprciabl. A partir d s rango d tmpraturas, pusto qu todas las impurzas stán ionizadas, l incrmnto d la concntración d lctrons solo pud provnir d la xcitación d stos dsd la banda d conducción. La cuación d nutralidad srá aora: y, tnindo n cunta la cuación, n p + (8) 7

8 ni + n n n (+ + ni n ni ) (9) n dond s a prscindido d la solución con signo mnos por carcr d sntido físico. l nivl d rmi srá aora Ê ˆ Á ni (+ + ) + KT ln () Ë nuvo podmos considrar dos casos límits: a) Rango d tmpraturas no muy altas: n i <<. n s caso las cuacions 9 y conducn a: n + ln () lo qu coincid con la cuación 7. b) Rango d tmpraturas muy altas: n i >>. n s caso, n p, y l nivl d rmi voluciona como n l smiconductor intrínsco. Las figuras y rsumn la variación dl nivl d rmi y la concntración d lctrons n l smiconductor xtrínsco. ln n T T T n l rango < T <T, ionización progrsiva d las impurzas. n l rango T < T <T, impurzas totalmnt ionizadas: régimn xtrínsco (n ). n l rango T > T : régimn intrínsco (nn i ). 5) TO LA OMPSAIÓ n gnral, s muy difícil obtnr ln smiconductors qu contngan un solo tipo d impurzas, por lo qu simpr ay qu considrar la prsncia d una proporción mas o mnos grand d impurzas acptoras n smiconductors d tipo (y vicvrsa). n los rangos d tmpratura qu mos studiado n la scción antrior, l fcto d la prsncia d A acptors por unidad d volumn s rduc a disminuir l númro fctivo d dadors, ya qu A /T /T /T lctrons pasarán a los nivls acptors. n las cuacions antriors bastará con sustituir por ( A ). Sin mbargo, ay qu tnr n cunta varias situacions spcials. n particular, si A, l smiconductor s comportará simpr como intrínsco. 8

9 Por otra part, a muy bajas tmpraturas, la cuación d nutralidad pud llgar a sr muy difrnt a la dl caso no compnsado, dando lugar a una volución difrnt d la concntración d portadors y dl nivl d rmi. n la cuación d nutralidad, los términos prdominants srán los corrspondints a las impurzas: + A n A A + A A ln () + A A l nivl d rmi s sitúa aora justo n la nrgía dl nivl d impurza para T tndindo a cro. Por otra part, utilizando las cuacions y, obtnmos la variación d n con la tmpratura: c( ) A n () A mos qu, n prsncia d compnsación, la nrgía d activación para la concntración d lctrons coincid con la nrgía d ionización d la impurza dadora. Sñalmos para acabar qu l dsarrollo para smiconductors d tipo P s totalmnt parallo al qu mos dsarrollado, sustituyndo por A y por. 6) L SMIOUTOR GRAO uando la concntración d impurzas s muy alta, l nivl d rmi pud pntrar n las bandas, alcanzándos concntracions d portadors próximas a las d los mtals. La stadística d Boltzmann dja d sr válida. irmos qu l smiconductor s dgnrado cuando l nivl d rmi pntra n la banda varias unidads. amos como podmos dducir un critrio para dtrminar a qué concntracions s alcanza la dgnración. acurdo con la cuación 5, a mdida qu van ionizándos las impurzas dadoras a baja tmpratura, l nivl d rmi s acrca al bord d la banda. ado qu n l siguint rango d tmpraturas, cuando n s constant, l nivl d rmi s alja dl bord d la banda, db abr un máximo, qu obtndrmos drivando rspcto a T la cuación 5: d dt k d ln () dt l máximo s obtndrá acindo cro la drivada, d dond: T d ln (5) dt Rcordando la xprsión d para bandas parabólicas, obtnmos: 9

10 d ln (6) dt T Para dico valor d s alcanza l máximo d. Sustituyndo n la cuación 5: m, ( p max ) La posición d para dica tmpratura srá: max + + max T max + p mk p + m sta xprsión nos prmit calcular la concntración crítica, qu s aqulla a la cual max coincid con l bord d la banda: (7) (8) + p + m ri ( Ê m ) Á Ëp ˆ (8) sta condición pud scribirs d otra manra, qu prmit mostrar su significado físico. La distancia promdio ntr impurzas srá d( ) /, d manra qu, la distancia promdio corrspondint a la concntración crítica srá: Ê p ˆ ( ( ) Á d r ri ) Ë m Sustituyndo n sta xprsión l valor d la nrgía d ionización d una impurza idrognoid, m p s obtin d ˆ r ( ) a ª Ê p Á Ë m ( p ) La concntración crítica rsulta sr aqulla para la cual la distancia mdia ntr impurzas s dl ordn dl radio d Bor fctivo. Para sas concntracions, las impurzas no pudn ya considrars como aisladas, xist intracción ntr llas y s pasa d stados localizados dgnrados n nrgía a una banda qu s suprpon con l fondo d la banda d conducción. l smiconductor, incluso a baja tmpratura tin un comportaminto mtálico. S produc lo qu s llama una transición d Mott (aislantmtal). A partir d sa concntración, l smiconductor s considra dgnrado. n sas condicions, solo cuando l nivl d rmi stá varias unidads s posibl obtnr una rlación analítica ntr l nivl d rmi y la concntración d lctrons. Para llo s ncsario intgrar la cuación 8 utilizando l dsarrollo d Sommrfld:.a

11 df() Ú f ()f()d c()f() Ú c() d d (9) ond χ() s una primitiva d φ(). Aproximando la drivada d la función d distribución con la dlta d irac, obtnmos: Ú f ()f()d c() c( ) () n nustro caso, φ() s la dnsidad d stados. Por tanto: m ( m f () g () ( ) c() ) () p p n conscuncia, y dado qu l orign d nrgías lo mos tomado n l fondo d la banda, obtnmos la siguint xprsión: n ) ( m ) ( p () sta cuación solo s strictamnt válida n l caso d dgnración xtrma. uando l nivl d rmi s ncuntra solo una o dos unidads dntro d la banda, s ncsario calcular numéricamnt intgral (cuación 8), aunqu xistn xprsions analíticas aproximadas. Por jmplo, para > ()/ > 5, la concntración d portadors s n función d T s pud aproximar mdiant la cuación: n.5 +