PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

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1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE POSGRADO MAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO Y DISEÑO DE UN ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES TIPO PÉNDULO PARA UN MOTOR DE COMBUSTIÓN INTERNA DE CILINDROS Y 4 TIEMPOS TESIS PARA OPTAR EL GRADO DE MAGÍSTER EN INGENIERÍA MECÁNICA PRESENTADA POR: KENNY ALBERTO MELENDRES QUISPE ASESORADA POR: DIPL.-ING. LUIS ALFREDO CONTRERAS CARRANZA LIMA PERÚ

2 I RESUMEN E la dusra acoal, dode es predomae el uso de máquas roavas como urbas, moores elécrcos, compresores, moores de combusó era, ec, el feómeo de las vbracoes es descubero cuado ya esos esá e operacó. Las fuerzas y orques de excacó por más pequeñas que sea puede producr vbracoes de ampludes admsbles e zoa de resoaca. El aálss de las vbracoes es muy mporae más au e maquas recprocaes dode es muy mporae el aálss de vbracó orsoal, ya que os hace ver la ecesdad de usar alguas éccas para corolar esas vbracoes. Téccas como medos dspadores de eergía o masas auxlares acopladas al ssema, que sozados co la frecueca de resoaca y aplcados e las zoas que presea mayor amplud de vbracó correspodee al modo de vbracó, os ayudará a euralzar las vbracoes que se presee. El aálss del comporameo de esos ssemas se hace por lo geeral cosderado los parámeros de erca y rgdez cosaes, los cuales so esudos váldos, s embargo exse máquas co mecasmos más complejos que exge cosderar el comporameo peródco de sus parámeros, como es el caso del mecasmo bela mavela muy ulzado e la fabrcacó de máquas; e esa ess se omó a cosderacó al comporameo y se dseñó u absorsor pedular basados e la meodología del dseño, ormalzado segú la orma alemaa VDI, para obeer el dseño ópmo, además de aalzar la efecvdad e la reduccó de la amplud de vbracó orsoal de u moor de combusó era de cldros e líea y 4 empos. Falmee el desarrollo de esa ess es ua base para poserores vesgacoes dode habría que omar e cuea aspecos como la varacó cosae de la velocdad y la comparacó de los resulados obedos por smulacó umérca y daos expermeales meddos, que o se cosderaro e esa ess.

3 II Dedco ese logro a Dos, a m hjo oaquí, a m esposa Hlda, a ms Padres Lus y Zoa, a m hermao Edw, a m Abuela usa y a ms Abuelos Hpólo y Alejadra que e paz descase, quees so el moor y movo que sempre me mpulsa a lograr ms meas persoales.

4 III AGRADECIMIENTOS Porque ese rabajo de ess fue logro o solo de ua persoa s o de u grupo de persoas compromedas co lograr u esupedo rabajo, es dgo dar m más scero agradecmeo: A ms Padres por el apoyo codcoal e el empo que me omó ermar ms esudos de maesría y la presee ess. Gracas mamá por us cosejos, gracas Papá por esar ahí cuado lo ecesé. A m asesor de ess, Dpl.-Ig. Lus Alfredo Coreras Carraza, por sus valosos cosejos y asesorías. Gracas por ser u asesor ejemplar y gra oreador. Al Dpl.-Ig. orge Alecasre Mrada, por sus valosos cosejos. Gracas por ser el amgo y segudo Padre que sempre esuvo ahí para orearme. Al Msc. Ig. Federco Coz Pacorbo, por sus valosos comearos y observacoes semaales, e el curso de Semaro de Tess que corbuyero e ésa ess. Es u gra orgullo para mí haberlo edo como Profesor y saber que e cada reuó que sosuvmos, sempre apredía algo más. Sceramee Muchas Gracas y descase e paz Maesro. Al Dr. Ig. Lus Rcardo Chros García por los valosos comearos y observacoes semaales e el curso de Semaro Tess que corbuyero a que ésa ess ega la forma y el fodo más adecuado. Gracas por ser ese amgo y maesro oreador.

5 IV Al Dpl.-Ig. orge Rodríguez Herádez, al Dpl.-Ig. Bejam Barrga Gamarra, al Msc. Roy Sáchez Guérrez, al Dr. Ig. Paul Lea Sfuees, al Msc. Ig. Mguel Álvarez Rojas, al Dr. Ig. Dae Elías Gordao, al Msc. Ig. Waler Tupa Acoa, a odos usedes m más scero agradecmeo por los valosos coocmeos y cosejos que me brdaro e el empo que me omó ermar la maesría. A ms amgos y compañeros Carlos Olare, Eduardo Po, Omar Gozales, Darío Ccahuaa, Wllam osel, Gusavo Holguí, Carlos Bueo, osé Lus Vargas, osé Mauel Tuqu a odos usedes gracas por su amsad scera y cosejos valosos. Falmee, m más scero agradecmeo a odas las persoas que de algua maera colaboraro e la culmacó de esa ess.

6 V ÍNDICE Pága INTRODUCCIÓN CAPÍTULO : VIBRACIONES TORSIONALES 4.. CONCEPTO DE VIBRACIONES TORSIONALES 4.. VIBRACIONES TORSIONALES EN MÁQUINAS RECIPROCANTES 4... MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL EE CIGÜEÑAL DE UNA MÁQUINA RECIPROCANTE 5... VIBRACIÓN FORZADA Y RESONANCIA.3. BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 4 CAPÍTULO : MODELAMIENTO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL SISTEMA A ANALIZAR 5.. MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL EE CIGÜEÑAL DE UN MOTOR DE COMBUSTIÓN INTERNA DE CILINDROS CON DISPOSICIÓN DE CILINDROS EN LÍNEA 5.. MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN 8.3. BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 3: ANÁLISIS Y DISEÑO DEL ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES TIPO PÉNDULO CENTRÍFUGO MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO GENERAL DE UN ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO COMO UN SISTEMA DE GDL 8

7 VI 3.. MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO GENERAL DE UN ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO CONSIDERANDO LA RIGIDEZ DEL EE ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO TIPO BIFILAR ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO TIPO MECEDOR DISEÑO DEL ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES TIPO PÉNDULO CENTRÍFUGO - METODOLOGÍA DE DISEÑO VDI COMPRENSIÓN DE LA SOLICITUD LISTA DE EXIGENCIAS CONCEPCIÓN DE LA SOLICITUD ABSTRACCIÓN DEL MÓDULO ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES SECUENCIA DE OPERACIONES ESTRUCTURA DE FUNCIONES MATRIZ MORFOLÓGICA CONCEPTOS DE SOLUCIÓN ELABORACIÓN DEL PROYECTO PROYECTO PRELIMINAR PROYECTO PRELIMINAR ÓPTIMO EVALUACIÓN DE PROYECTOS MEMORIA DE CÁLCULOS DEFINITIVOS CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DEL SISTEMA CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DEL ABSORSOR PENDULAR CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DEL ABSORSOR AMORTIGUADO ELABORACIÓN DE DETALLES PLANOS DE ENSAMBLE PLANOS DE DESPIECE BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 3 64

8 VII CAPÍTULO 4: SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA TORSIONAL BAO DISTINTAS CONDICIONES DE TRABAO SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA PARA RPM COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DE LOS ELEMENTOS K Y K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA TORSIONAL SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SIN APLICACIÓN DEL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES ACOPLADO SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADO SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR Y EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADOS SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA PARA RPM COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DE LOS ELEMENTOS K Y K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA TORSIONAL SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SIN APLICACIÓN DEL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES ACOPLADO SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADO SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR Y EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADOS 88

9 VIII 4.3. SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA PARA 3 RPM COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DE LOS ELEMENTOS K Y K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA TORSIONAL SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SIN APLICACIÓN DEL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES ACOPLADO SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADO SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR Y EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADOS SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL ABSORSOR PENDULAR COMO UN SISTEMA DE GDL INFLUENCIA DE LA MASA DEL PÉNDULO EN LA RESPUESTA DEL SISTEMA TORSIONAL DE GDL 4.5. BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 4 4 CONCLUSIONES 5 RECOMENDACIONES 8 ANEXOS. 9 ANEXO A: ANÁLISIS DE VIBRACIÓN TORSIONAL EN MÁQUINAS PURAMENTE ROTATIVAS 9 ANEXO B: DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL MATRICIAL DEL MOTOR DE COMBUSTIÓN INTERNA DE CILINDROS EN LINEA Y 4 TIEMPOS 6

10 IX ANEXO C: DESARROLLO DEL MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN 4 ANEXO D: MÉTODO MODAL PARA EL CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN TORSIONAL 37 ANEXO E: DESARROLLO DEL MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DE UN ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES VISCOSO 4 ANEXO F: COEFICIENTES ARMÓNICOS DE FOURIER (CAF) 45 ANEXO G: CATÁLOGO DE ESPECIFICACIONES DEL MOTOR WESTERBEKE 57 ANEXO H: PLANOS DE ENSAMBLE Y DESPIECE 59

11 X LISTA DE FIGURAS Fgura. Fgura. Fgura.3 Fgura.4 Fgura. Esquema de u Ssema Torsoal Ssema Torsoal de accoameo de ua Hélce Reduccó del momeo erca del mecasmo bela - mavela al eje Modelo mecáco - maemáco del Ssema Torsoal. Modelo mecáco - maemáco del eje cgüeñal de u moor de cldros y 4 empos (a) Parámeros Couos y (b) Parámeros Cocerados. Fgura. Fgura.3 Fgura.4 Reduccó del momeo de erca del mecasmo bela - mavela Esquema de u Ssema bela mavela. Curva de presó de los gases de combusó caracerísco de u moor de combusó era de 4 empos. Fgura.5 Dagrama de cuerpo lbre del mecasmo bela mavela. Fuerzas orgadas por la presó de los gases de la combusó. Fgura.6 Dagrama de cuerpo lbre del mecasmo bela mavela. Fuerzas orgadas por las ercas del mecasmo e movmeo. Fgura.7 Torque de excacó como fucó peródca para ua velocdad del moor de rpm. Fgura 3. Modelo mecáco - maemáco del absorsor pedular como u ssema de GDL. Fgura 3. Modelo mecáco - maemáco del absorsor pedular cosderado la erca del eje cgüeñal. Fgura 3.3 Fgura 3.4 Fgura 3.5 Fgura 3.6 Frecueca Domae del Torque de Excacó Peródco. Absorsor Pedular Cerífugo Bflar Absorsor Pedular Cerífugo Mecedor Esquema Blac Box del ssema écco.

12 XI Fgura 3.7 Fgura 3.8 Fgura 3.9 Esrucura de Fucoes. Absorsor Pedular Cerífugo Tpo Bflar Acoplado al Eje Cgüeñal. Absorsor Pedular Cerífugo Tpo Mecedor Acoplado a los Codos del Eje Cgüeñal. Fgura 3. Absorsor Pedular Cerífugo Osclae Acoplado a la Volae del Eje Cgüeñal. Fgura 3. Dagrama de evaluacó segú VDI 5. Fgura 3. Fgura 3.3 Fgura 4. Fgura 4. Fgura 4.3 Modos de Vbracó Torsoal del Ssema. Esquema del Absorsor Amorguado. Reduccó del momeo erca del mecasmo bela - mavela al eje. Comporameo peródco del momeo de erca reducdo a rpm. Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm. Fgura 4.4 Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm. Fgura 4.5 Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm. Fgura 4.6 Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm. Fgura 4.7 Fgura 4.8 Fgura 4.9 Fgura 4. Fgura 4. Fgura 4. Fgura 4.3 Ssema Torsoal s aplcacó del absorsor pedular. Respuesa del ssema s aplcacó del absorsor pedular para rpm. Ssema Torsoal co aplcacó de los absorsores pedulares. Respuesa del ssema co el absorsor pedular acoplado para rpm. Respuesa emporal de los absorsores pedulares para rpm. Ssema orsoal co el absorsor amorguado acoplado Respuesa del ssema co el absorsor amorguado acoplado a rpm.

13 XII Fgura 4.4 Respuesa de la amplud de osclacó del volae amorguador para rpm. Fgura 4.5 Ssema orsoal co los absorsores pedulares y el absorsor amorguado acoplados Fgura 4.6 Respuesa del ssema co el absorsor pedular y el absorsor amorguado acoplados al ssema orsoal para rpm. Fgura 4.7 Respuesa de la amplud de osclacó de los absorsores pedulares y del volae amorguador para rpm. Fgura 4.8 Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm. Fgura 4.9 Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm. Fgura 4. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm. Fgura 4. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm. Fgura 4. Fgura 4.3 Fgura 4.4 Fgura 4.5 Fgura 4.6 Respuesa del ssema s aplcacó del absorsor pedular a rpm. Respuesa del ssema co el absorsor pedular acoplado para rpm. Respuesa emporal de los absorsores pedulares para rpm. Respuesa del ssema co el absorsor amorguado a rpm. Respuesa de la amplud de osclacó del volae amorguador para rpm. Fgura 4.7 Respuesa del ssema co el absorsor pedular y el absorsor amorguado acoplados al ssema orsoal para rpm. Fgura 4.8 Respuesa de la amplud de osclacó de los absorsores pedulares y del volae amorguador para rpm.

14 XIII Fgura 4.9 Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para 3 rpm. Fgura 4.3 Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para 3 rpm. Fgura 4.3 Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para 3 rpm. Fgura 4.3 Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para 3 rpm. Fgura 4.33 Fgura 4.34 Fgura 4.35 Fgura 4.36 Respuesa del ssema s aplcacó del absorsor pedular a 3 rpm. Respuesa del ssema co el absorsor pedular acoplado para 3 rpm. Respuesa emporal de los absorsores pedulares para 3 rpm. Respuesa del ssema co el absorsor amorguado acoplado para 3 rpm. Fgura 4.37 Respuesa de la amplud de osclacó del volae amorguador para 3 rpm. Fgura 4.38 Respuesa del ssema co el absorsor pedular y el absorsor amorguado acoplados al ssema orsoal para 3 rpm. Fgura 4.39 Respuesa de la amplud de osclacó de los absorsores pedulares y del volae amorguador para 3 rpm. Fgura 4.4 Modelo mecáco - maemáco del absorsor pedular como u ssema de GDL. Fgura 4.4 Fgura 4.4 Fgura 4.43 Fgura 4.44 Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.5 g). Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.335 g). Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.6 g). Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.9 g).

15 XIV LISTA DE TABLAS Tabla 3. Tabla 3. Tabla 3.3 Evaluacó Técca del Proyeco Evaluacó Ecoómca del Proyeco Valores obedos del crero écco y ecoómco.

16 XV LISTA DE SÍMBOLOS A p : Área de la cabeza del psó (m ). A : Coefcee coseo del -ésmo armóco de la Ierca reducda (g m ). A : Coefcee coseo del -ésmo armóco de la Ierca reducda (g m ). () a : Coefcees de la compoee coseo armóco (Nm). B : Coefcee seo del -ésmo armóco de la Ierca reducda (g m ). B : Coefcee seo del -ésmo armóco de la Ierca reducda (g m ). () b : Coefcees de la compoee seo armóco (Nm). c : Coefcee de amorguameo del absorsor amorguado (Nm - s). C : Coefcee coseo del -ésmo armóco del Torque de Excacó T (N m). C : Coefcee coseo del -ésmo armóco del Torque de Excacó T (N m). d c : d : d : d : d : D : D p : Dámero del eje cgüeñal (mm). Cosae de amorguameo del ésmo elemeo (Nm - s). Amorguameo geeralzado del -ésmo modo de vbracó (Nm - s). Dámero de los agujeros del corapeso del cgüeñal (mm). Dámero de las espgas (pes) (mm). Marz de amorguameo del ssema roavo (Nm - s). Dámero del psó (mm). D : Coefcee seo del -ésmo armóco del Torque de Excacó T (N m).

17 XVI D : Coefcee seo del -ésmo armóco del Torque de Excacó T (N m). E : E p : Eergía céca del ssema orsoal (). Eergía céca del pédulo (). E : Coefcee coseo del -ésmo armóco del elemeo K de la marz de rgdez (N - m/rad). E : Coefcee coseo del -ésmo armóco del elemeo K de la marz de rgdez (N - m/rad). E v : Eergía requerda para la volae (). F g : Fuerza debdo a la presó de los gases de la combusó (N). F : Fuerza debdo a las ercas e movmeo (N). F : Coefcee seo del -ésmo armóco del elemeo K de la marz de rgdez (N - m/rad). F : Coefcee seo del -ésmo armóco del elemeo K de la marz de rgdez (N - m/rad). g : Peso poderado e fucó a los creros de evaluacó. G : Módulo de czallameo (N/mm ). : Numero de cldro del moor. I p : Momeo de erca polar (mm 4 ). : Marz de erca del ssema roavo (g m ).

18 XVII b : Momeo de erca de la bela (g m ). D : Momeo de erca del corapeso del cgüeñal (g m ). ce : Momeo de erca cosae (g m ). d : Momeo de erca del volae amorguador (g m ). : Momeo de Ierca del - ésmo elemeo e u ssema recprocae (g m )., : Prmera dervada del momeo de erca., : Seguda dervada del momeo de erca. : Momeo de erca del ésmo elemeo e u ssema roavo (g m ). p : Momeo de Ierca del - ésmo elemeo e u ssema roavo (g m ). ro : Momeo de erca roavo (g m ). v : Momeo de erca de la volae (g m ). () : Momeo de erca reducdo como fucó armóca. : Compoee cosae del momeo de erca reducdo. : Ierca geeralzada del - ésmo modo de vbracó (g m ). K : : : : l : L : L e : Marz de rgdez del ssema roavo (Nm/rad). Rgdez de ésmo elemeo (Nm/rad). Coefcee de rgdez orsoal (Nm/rad). Rgdez geeralzada del -ésmo modo de vbracó (Nm/rad). Logud del pédulo (m). Logud de la bela (m). Logud equvalee del eje cgüeñal (mm).

19 XVIII m b : m B : : Masa de la bela (g). Masa del psó (g). Orde del armóco domae del orque de excacó. p : Puaje (Escala de Valores segú VDI 5). P g : Presó de los gases de la combusó e fucó del águlo de cgüeñal (Pa). q : q : r : r : r : T e : T : Respuesa del ssema vbraoro orsoal (rad). Vecor de coordeadas geeralzadas. Rado del eje cgüeñal y rado del dsco graoro (m). Rado del orfco clídrco (mm). Rado del cldro mecedor (mm). Torque Nomal por Ierca e máquas roavas (Nm). Torque Nomal e máquas roavas (Nm). T g : Torque debdo a la presó de los gases de la combusó (Nm). T : Torque debdo a las ercas e movmeo (Nm). T : Torque de excacó oal (Nm). T : Prmera dervada del orque de excacó oal. T : Torque de excacó geeralzado del -ésmo modo de vbracó (Nm). V p : V m : x : Velocdad absolua del pédulo (m/s). Velocdad de la masa pedular (m/s). Coordeada geeralzada del -ésmo modo de vbracó.

20 XIX X : X : Marz Modal de gro. Valor Técco. x, y G G : Poscó del cero de masa de la bela e coordeadas fjas Y B : Y : Poscó del psó. Valor Ecoómco. : : : o : : : Relacó ere la logud del pédulo y el rado del dsco graoro. Águlo de la bela (rad). Águlos de fase del cgüeñal (rad). Amplud agular del dsco amorguado (rad). Desplazameo agular del ésmo elemeo (rad). Velocdad agular del ésmo elemeo (rad/s). : Aceleracó agular del ésmo elemeo (rad/s ). : : : : p : D : : : : Relacó ere rado del cgüeñal y logud de la bela. Coefcee de correlacó de ercas. Frecueca de excacó (rad/s). Frecueca aural del ssema orsoal (rad/s). Frecueca aural del pédulo (rad/s). Frecueca amorguada de vbracó (rad/s). Frecueca aural del K ésmo modo de vbracó (rad/s). Eergía poecal del ssema recprocae (). Eergía de dspacó del ssema recprocae ().

21 XX : : o : : : Águlos de carrera de poeca (rad). Águlo del cgüeñal (rad). Amplud agular del eje roavo (rad). Vecor de desplazameo agular (rad). Vecor de velocdad agular (rad/s). : Vecor de Aceleracó agular de la - ésma erca (rad/s ). : : Facor de amorguameo del ésmo elemeo. Águlo de fase de la respuesa del ssema vbraoro orsoal (rad).

22 INTRODUCCIÓN PLANTEAMIENTO Y USTIFICACIÓN DEL TEMA El feómeo de las vbracoes orsoales e ssemas roavos es u ema basae amplo e mporae que debe ser omado e cuea e la dusra del dseño y cosruccó de máquas co elemeos roavos, ya que e muchas ocasoes ese po de vbracoes so causaes de falla por faga e la máqua. U ejemplo ípco de máquas e las que se presea vbracoes orsoales so las máquas recprocaes, como los moores de combusó era, compresores de émbolo y bombas de expulsó, las cuales presea vbracoes durae su fucoameo ya sea del po rasversal o orsoal causadas por la combacó de la aceleracoes peródcas causadas por la presó de los gases de la combusó y las pares móvles como so psoes, belas y cgüeñales. E los moores de combusó era las vbracoes orsoales so los causaes de falla por faga del eje cgüeñal. El presee rabajo esá oreado a desarrollar u aálss de las vbracoes orsoales e u moor de combusó era de cldros e líea y 4 empos para el poseror dseño de u absorsor de vbracoes orsoales po pédulo, además de la smulacó del comporameo del ssema luego de ser aplcado el absorsor a u moor de combusó era co la faldad de reducr las vbracoes orsoales.

23 HIPÓTESIS U absorsor pedular reduce los veles de vbracó orsoal e u moor de combusó era de cldros e líea y 4 empos. OBETIVOS DE LA TESIS OBETIVO GENERAL Dseñar u absorsor pedular capaz de reducr las vbracoes orsoales que se presea e el eje cgüeñal de u moor de combusó era de cldros e líea y 4 empos. OBETIVOS ESPECÍFICOS Aalzar las vbracoes orsoales e ua máqua recprocae, específcamee e u moor de combusó era de cldros e líea y 4 empos. Desarrollar u modelo mecáco maemáco del eje cgüeñal del moor para el aálss de las vbracoes orsoales y deermar las frecuecas aurales y modos de vbracó orsoal de ese ssema. Aalzar y Dseñar el absorsor pedular usado para ese úlmo la meodología alemaa de dseño VDI. Deermar la respuesa del ssema aes y después de aplcarse el absorsor de vbracoes orsoales. Comparar la efecvdad que ee el absorsor pedular cerífugo free a oros méodos de reduccó de vbracoes orsoales.

24 3 MÉTODO DE TRABAO Para empezar el presee rabajo de vesgacó prmeramee se realza ua recoplacó de fuees bblográfcas y págas de ere, de al maera que se ega ua base de daos mporae y así adqurr el coocmeo ecesaro para realzar el presee ema de ess. Se cará co el esudo de las vbracoes orsoales e máquas roavas y se podrá especal éfass e las máquas recprocaes, segudamee se desarrollará el modelo mecáco maemáco de u moor de combusó era de cldros e líea y 4 empos, para su poseror aálss co y s aplcacó del absorsor de vbracoes. Se deermará los parámeros de erca y rgdez del eje cgüeñal, luego se hallará las frecuecas aurales y modos de vbracó orsoal del ssema plaeado cosderado para eso el comporameo cosae de los parámeros del ssema. Ulzado la Meodología de dseño segú la orma VDI se procederá co el dseño del absorsor pedular cerífugo, dode además se deermará los parámeros de masa y logud del absorsor pedular. Se hará ua comparacó de la efecvdad que ee el absorsor free a oros méodos de reduccó de las vbracoes orsoales, para falmee proceder co las coclusoes y recomedacoes de acuerdo a los resulados que se obuvero e el aálss y dseño del absorsor.

25 4 CAPÍTULO VIBRACIONES TORSIONALES.. CONCEPTO DE VIBRACIONES TORSIONALES La vbracó orsoal es ua osclacó de ua poscó agular respeco a ua líea ceral, y es causada por momeos o cosaes que se ejerce sobre el árbol por ejemplo el de u moor de combusó era, que debdo a las ercas e movmeo se edrá ua orque peródco lo que produce ua vbracó orsoal e el eje. Es mporae cudar que esas fuerzas o ocurra cerca de las frecuecas de resoaca orsoal del ssema, o los veles de vbracó puede ser admsbles. Fgura.: Esquema de u Ssema Torsoal... VIBRACIONES TORSIONALES EN MÁQUINAS RECIPROCANTES Las osclacoes de orsó e el eje cgüeñal y e la líea de ejes de ua máqua coducda es u feómeo de vbracó de mporaca prácca e el dseño de las máquas recprocaes. El orque promedo emdo por u cldro e ua máqua

26 5 de movmeo aleravo, es ua fraccó del orque máxmo que se produce durae el perodo de eceddo. Las máquas recprocaes cuea co mecasmos de bela - mavela que al grar rasforma el movmeo aleravo de los psoes e el movmeo de roacó del eje cgüeñal. El eje cgüeñal es ua de las pezas fudameales de ua máqua recprocae, la cual esá someda a fueres cargas dámcas, que da lugar a la vbracó orsoal; esas cargas dámcas so los orques de excacó que varía voleamee dero de u perodo; ese hecho cosuye ua de las desveajas, ya que comparados co ua urba el orque de excacó e esa úlma es práccamee uforme. Debdo a la geomería y la complejdad mecáca que presea u ssema recprocae, es dfícl esudar la dámca de ese ssema co la msma precsó que es comú e el esudo de máquas roavas. Es esecal que las caraceríscas de vbracó orsoal dero de ua salacó se aalce aes de que la udad se poga e fucoameo.... MODELO MECÁNICO-MATEMÁTICO DEL CIGÜEÑAL DE UNA MÁQUINA RECIPROCANTE El desarrollar u modelo mecáco maemáco de u ssema recprocae ee alguos puos de aálss que lo hace algo más complcado que el modelo de ssemas puramee roavos. Para ese caso se omará como ejemplo u ssema recprocae, como el que se muesra e la fgura..

27 6 Fgura.: Ssema Torsoal de accoameo de ua Hélce. Se debe poer especal éfass al aálss de los cldros del moor de combusó era dode se presea la varacó del momeo de erca reducdo al eje e fucó del águlo del cgüeñal, como el que se muesra e la fgura.3. Fgura.3: Reduccó del momeo erca del mecasmo bela - mavela al eje.

28 7 El proceso maemáco de reduccó del momeo de erca del mecasmo bela - mavela dode se dealla cómo es que el momeo de erca es fucó del águlo de cgüeñal se muesra e el aexo B de la presee ess. Los orques de excacó peródcos e cada cldro del moor debdo a la presó de los gases de la combusó y las ercas e movmeo acopladas al eje cgüeñal, que e cosecueca da lugar a la vbracó orsoal paramérca y cuyo modelo mecáco - maemáco vee dado por la fgura.4. Fgura.4: Modelo mecáco - maemáco del Ssema Torsoal. Ulzado las ecuacoes de Lagrage de º po se ee el ssema de ecuacoes dferecales que descrbe el comporameo dámco del ssema, dode además defmos lo sguee: La eergía céca del ssema esá defda como: E (.) La eergía poecal del ssema esá dada por: (.)

29 8 La eergía de dspacó del ssema esá expresada como: d (.3) Las ecuacoes de Lagrage de º po para el ssema esá defda como: T E E d d (.4) El ssema de ecuacoes dferecales de movmeo del ssema orsoal puede ser escro de la forma:, T d (.5) T d d, (.6) Para,,3, T d, (.7) Asumedo que y que el ssema expermea úcamee ua vbracó orsoal de pequeña amplud q, a velocdad de roacó cosae se edrá por desarrollo e seres de Taylor que:,, q q q (.8) p q T q T T q q T,,,, (.9)

30 9 Dode:,,,, T, y T p, esá defdos como: p T T T T d d d d,,,, ; ; ; (.) Susuyedo las ecuacoes (.8) y (.9) e las ecuacoes (.5) y (.6) y desprecado los érmos o leales, las ecuacoes dferecales de movmeo del ssema vee dados por: T q q T q d q T d q p,,,,, (.) T q q T q d q T d d q p, 3,, 3,, (.) T q q T q q d q T d d q d q p,,,,, (.3)

31 Para,, T q T q q T d q d q p,,,,, (.4) Agrupado las ecuacoes (.) hasa la (.4) se edrá la ecuacó dferecal de movmeo del ssema e su forma marcal: T q K q D q (.5) Dode es la marz de erca del ssema: 3 (.6) D es la marz de amorguameo del ssema, dode odos los valores fuera de la marz dagoal so odos cero: 4 4,4 4, ,3 3,3 3,, d T d d d d T d d d d T d d D p p p (.7) K es la marz de rgdez del ssema que al gual que la marz de amorguameo ee ua forma badeada:

32 4 4,4 4, ,3 3,33 3,, T T T K (.8) q es el vecor de desplazameo agular: q q q q 3 (.9) Y T es el vecor de orques: T T T T T, 3,3 3,, (.)... VIBRACIÓN FORZADA Y RESONANCIA Las ecuacoes de movmeo para el ssema dscreo co vbracó forzada mosrado e la fgura.4 se deerma paredo de la ecuacó (.5) y cosderado que el amorguameo es desprecable, co lo que se ee: T K (.)

33 Dode T es el vecor de orques de excacó que es ua fucó que depede del empo. Usado el modo ormal de expasó de la respuesa, eemos: X q (.) Dode X es la marz modal de gro y q es el vecor de coordeadas geeralzadas. Reemplazado la ecuacó (.) e la ecuacó (.), además mulplcado por la zquerda esa ecuacó por la raspuesa de la marz modal X y usado las propedades de orogoaldad de los modos de vbracó orsoal se obee: q q T (.3) Para =,,, N, dode es la erca geeralzada del -ésmo modo de vbracó. S dvdmos la úlma ecuacó ere obeemos: T q q (.4) De las ecuacoes (.3) y (.4) deducmos: N x (.5) La rgdez geeralzada del -ésmo modo de vbracó: N x (.6) El Torque de excacó geeralzado del -ésmo modo de vbracó:

34 3 N T T x (.7) x es la coordeada geeralzada del -ésmo modo de vbracó. Se asume u orque de excacó peródco desarrollado e Seres de Fourer, por lo que la úlma ecuacó queda expresada como: T () j x b sej () x a cos (.8) j j La solucó a la ecuacó (.3) para la -ésma coordeada geeralzada será: q ( ) j j x a () cos () j xb sej (.9)

35 4.3. BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO. RAO,.S., ROTOR DYNAMICS, 3º Edcó, Edoral New Age Ieraoal, Nueva Delh, WILSON, W Ker, VIBRATION ENGINEERING, º Edcó, Edoral Charles Grff, Lodres, VANCE, oh. ROTORDYNAMICS OF TURBOMACHINERY, º Edcó, Edoral oh Wlley & Sos, Texas, DRESIG, H. DYNAMICS OF MACHINERY, Edcó e Igles, Edoral Sprger, Auerswalde,. 5. VAN KHANG, N., PHONG DIEN, N. ad MANH COUNG, H., Paramerc Torsoal Vbrao Of Mechacal Drve Sysems Wh No Uform Trasmsso Mechasm, Techsche Mecha, Bad 8, Hef 3-4, pp. 3 33, 8 6. PASRICHA M. S. ad CARNEGIE W. D., Formulao of he equaos of dyamc moo cludg he effecs of varable era o he orsoal vbraos recprocag eges, par I, oural of Soud ad Vbrao, Vol. 66, No., pp. 8 86, GUZZOMI, A. L. Torsoal Vbrao of Powerras: A Ivesgao of some Commos Assumpos Tess de Ph. D., Uversdad del Oese de Ausrala, Perh, BRUSA E., DELPRETE C. ad GENTA G., Torsoal Vbrao of Crashafs: Effecs of o-cosa momes of Iera, oural of Soud ad Vbrao, Vol. 5, No., pp. 35 5, 997.

36 5 CAPÍTULO MODELAMIENTO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL SISTEMA A ANALIZAR. MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL EE CIGÜEÑAL DE UN MOTOR DE COMBUSTIÓN INTERNA DE CILINDROS Y 4 TIEMPOS CON DISPOSICIÓN DE CILINDROS EN LÍNEA Para eeder mejor el ssema a aalzar se opa por hacer dos modelos mecácos - maemácos, el prmero de la derecha (a) u modelo mecáco - maemáco couo y u modelo mecáco - maemáco de parámeros cocerados como el que se muesra al lado zquerdo (b) de la fgura.: Fgura.: Modelo mecáco - maemáco del eje cgüeñal de u moor de cldros y 4 empos (a) Parámeros Couos y (b) Parámeros Cocerados. El Modelo mecáco - maemáco del eje cgüeñal de dos cldros se basará e el modelo de parámeros cocerados mosrado e la fgura..

37 6 Para car co el modelado del ssema mosrado e la fgura. es ecesaro presar aecó a la dsposcó del eje cgüeñal e el modelo co parámeros couos ya que a parr de ése se ee que reducr los momeos de erca al eje cgüeñal. Fgura.: Reduccó del momeo de erca del mecasmo bela - mavela. El proceso de reduccó de los momeos de erca al eje cgüeñal y las smplfcacoes e geeral para llegar al plaeameo de la ecuacó dferecal marcal de movmeo del ssema mosrado e la fgura. se desarrolla co mayor dealle e el aexo B (ver aexo B). Como se dedujo e el capulo aeror, la ecuacó dferecal marcal que descrbe el comporameo del ssema mosrado e la fgura. vee dado por la expresó: ( ) q K( ) q T ( ) (.)

38 7 Dode la marz de erca ) ( esá dada por: 3 ) ( (.) De acuerdo co la cofguracó que se muesra e la fgura. se puede defr las sguees ercas, cosderado además que. 6 6 cos cos o o se b a se b a (.3) Dode el momeo de erca cosae o y los coefcees armócos se dealla e el aexo B de la presee ess. La marz de rgdez ) ( K esá dada por:,,,, ) ( T T K (.4) E la marz de rgdez se ee la flueca de la seguda dervada de las ercas reducdas mosradas e la expresó de (.3), además de la flueca de la dervada

39 8 de los pares de orsó T, y T, de cada cldro del moor que será desarrollado e el sguee capíulo de esa ess. El vecor de orques de excacó acuaes sobre el ssema vee dado por: T T ( ) ) T ( ) (.5) ( Dode los orques para cada cldro vee dados por: T ( ) T T ( ) T,,, ( ), ( ) (.6) Como se dcó, e las úlmas ecuacoes se puede ver la flueca del momeo de erca del ssema e el vecor de pares de orsó.. MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN El orque de excacó e ua máqua recprocae como es el caso de u moor de combusó era esá fluecado prcpalmee por la presó del gas e el proceso de la combusó y las ercas que gra alrededor del eje cgüeñal. Para poder eeder la flueca de cada uo de esos facores e el orque de excacó oal se desarrolla brevemee los orques de excacó debdo a la presó del gas y debdo al gro de las ercas del ssema. Para obeer el orque de

40 9 excacó debdo a la presó de los gases de la combusó se realzará ua aálss cemáco al mecasmo bela mavela. Fgura.3: Esquema de u Ssema bela mavela. De la fgura se puede deducr luego de u procedmeo deallado que se muesra e el aexo C las expresoes de desplazameo, velocdad y aceleracó respecvamee del puo B. Y B L r r cos cos 4 4 (. 7) V B r se se (.8) a B r cos cos (.9)

41 Como se apreca e la fgura.3 o se cosdera au la masa del corapeso del cgüeñal debdo a que como se mecoó líeas arrba se hará u prmer aálss del ssema cosderado úcamee la flueca de la presó de los gases de la combusó e el mecasmo. La fuerza orgada por la presó de los gases de la combusó esá dada por: F g g P A (.) p La presó de los gases de la combusó es fucó del águlo de cgüeñal y esá defda por la ermodámca del moor, por lo que se rabaja co la curva de presó de gases de combusó caracerísca. Esa fuerza se cosdera egava úcamee por la oreacó elegda para el ssema, además la líea de accó de dcha fuerza esá e el eje Y Presó e el cldro (Pa) Águlo del Cgüeñal (º) Fgura.4: Curva de presó de los gases de combusó caracerísco de u moor de combusó era de 4 empos.

42 A couacó se descompoe el mecasmo bela mavela para realzar u aálss dámco. r Fgura.5: Dagrama de cuerpo lbre del mecasmo bela mavela. Fuerzas orgadas por la presó de los gases de la combusó.

43 El orque de excacó debdo a los gases de la fgura.5 se orga a cosecueca de la fuerza de los gases que acúa e u brazo de momeo co respeco al cero del cgüeñal e el puo A. Ese brazo de momeo varía desde cero hasa u valor máxmo segú gre el cgüeñal. El desarrollo maemáco para la obecó del orque debdo a la presó de los gases de la combusó para u cldro y poserormee la expresó para el orque combado por cada cldro se dealla e el aexo C. El orque debdo a la presó de los gases de la combusó combado esá dada por: T T g g F g P r g se cos A r se cos p ˆ ˆ (.) Dode g P es la fucó que defe la curva caracerísca de presó de los gases de la combusó, A p es el área de la cabeza del psó dode acúa las fuerzas. Fg es la fuerza debdo a los gases de la combusó. es el úmero de cldros del moor. Los valores del águlo de carrera de poeca será 7º y 36º respecvamee eso debdo al orde de eceddo que ee el moor. El orque de excacó oal esá fluecado ambé por las ercas que esá e el ssema para el cual se desarrollará el sguee aálss.

44 3 F 43 Fgura.6: Dagrama de cuerpo lbre del mecasmo bela mavela. Fuerzas orgadas por las ercas del mecasmo e movmeo.

45 4 El desarrollo maemáco para la obecó del orque debdo a las ercas e movmeo y reducdas al eje cgüeñal para u cldro y poserormee la expresó para el orque combado por cada cldro se dealla e el aexo C. El orque de excacó debdo a las ercas combado para ambos cldros se obedrá de la corbucó de cada uo de los cldros fluecada además por el águlo de fase del cgüeñal. 3 T mbr se se se3 ˆ (.) Los águlos de fase del cgüeñal so los águlos a los cuales esá dspuesos los codos de bela e u eje cgüeñal y que para ese caso muy parcular cocde co el águlo de carrera de poeca debdo a la presó de los gases de la combusó. defdo e la obecó del orque de excacó El orque de excacó oal debdo a la presó de los gases y las ercas e movmeo combado por cada cldro vee dado por la sguee expresó. T P g A r m r cos cos se p cos B ˆ... (.3) Es mporae mecoar que para poder relacoar las corbucoes de los pares de orsó combados de la presó de los gases de la combusó y las ercas e movmeo se uvo que ver ua relacó ere el águlo de carrera de poeca y el águlo de fase, que para ese caso e parcular oma el msmo valor debdo a

46 5 que el orde de eceddo del moor que defe el águlo de carrera de poeca cocde co el águlo de fase del cgüeñal Al grafcar la expresó (.3) e fucó del águlo de cgüeñal se ee ua fucó peródca como la que se muesra e la fgura.7 la cual puede ser desarrollada co mucha aproxmacó medae las seres de Fourer. 5 Desarrollo e Seres de Fourer del Torque de Excacó Fucó Aproxmacó Torque (N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura.7: Torque de excacó como fucó peródca para ua velocdad del moor de rpm. La expresó maemáca e Seres de Fourer que descrbe la fucó peródca mosrada es eoces: T (.4) A A cos B se ˆ para,

47 6 Al dervar la expresó co respeco de (.4) se edrá la sguee expresó: T A se B cosˆ para,, (.5) La ecuacó (.5) expresa como el orque de excacó fluye e la rgdez del ssema, al y como se expresó e el acápe aeror dode se desarrolló la marz de rgdez del eje cgüeñal de dos cldros. El procedmeo compleo desarrollado para obeer el orque debdo a la presó de los gases de la combusó y el orque debdo a las ercas e movmeo alrededor del eje cgüeñal, dode se cluye las relacoes cemácas, los procedmeos maemácos y dsas smplfcacoes se puede verfcar e el aexo C.

48 7.3. BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO. NORTON, Rober L., DESIGN OF MACHINERY, 3º Edcó, Edoral Mc Graw Hll, Massachuses, GENTA, Gacarlo, VIBRATION DYNAMICS AND CONTROL, º Edcó, Edoral Sprger, Toro, THOMSON, Wllam T., THEORY OF VIBRATION WITH APPLICATIONS, 5º Edcó, Pearso Educao, Bejg, DEN HARTOG,.P., MECANICA DE LAS VIBRACIONES, 4º Edcó, Edoral McGraw Hll, Méxco, GIACOSA, Dae., MOTORES ENDOTÉRMICOS, 3º Edcó, Edoral Ceífco - Medca, Barceloa, VAN KHANG, N., PHONG DIEN, N. ad MANH COUNG, H., Paramerc Torsoal Vbrao Of Mechacal Drve Sysems Wh No Uform Trasmsso Mechasm, Techsche Mecha, Bad 8, Hef 3-4, pp. 3 33, DRESIG, H. ad THÜMMEL, T., Paramerc Exced Vbraos Of Mechams, 8h IFTOMM World Cogress o TMM, Prag 99 Proceedgs, Vol., pp 77-8, BRUSA, E., DELPRETE, C. ad GENTA, G., Torsoal Vbrao of Crashafs: Effecs of o Cosa Momes of Iera, oural of Soud ad Vbrao, Vol. 5, No., pp. 35 5, MOHAMMED A. R., E. A., Torsoal Vbrao Aalyss of Auomove Drveles, Tess de Ph. D., Uversdad de Leeds, Leeds, 997.

49 8 CAPÍTULO 3 ANÁLISIS Y DISEÑO DEL ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES TIPO PÉNDULO CENTRÍFUGO 3.. MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO GENERAL DE UN ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO COMO UN SISTEMA DE GDL Uo de los méodos más ulzados para corregr ssemas que presea vbracoes orsoales es el absorsor pedular cerífugo que a couacó se desarrolla e el presee acápe. Para u ssema recprocae como u moor de combusó era, ulzado e auomóvles, los orques de excacó so peródcos y depede de la velocdad del moor, la cual varía e u amplo rago. Así para que el absorsor pedular sea efecvo debe sozarse co el armóco domae de la fucó peródca que descrbe el orque de excacó, además la frecueca del pédulo debe ser proporcoal a la velocdad del moor. La masa del pédulo absorsor acúa como ua masa fa para el armóco y la frecueca a la cual se sozó el absorsor, dado lugar a u orque de reaccó. Pueso que o exse pérdda de eergía e el pédulo o puede el absorsor ser cosderado como u dsposvo amorguador.

50 9 E la sguee fgura se muesra u esquema cocepual de u absorsor pedular cerífugo. Fgura 3.. Modelo mecáco - maemáco del absorsor pedular como u ssema de GDL. E la fgura 3. se observa que el absorsor pedular se desplaza e el plao que coee a los vecores uaros e y e que esá fjos al pédulo de masa m y logud r. Los vecores, e y aalzar u ssema de dos grados de lberad., e esá fjos al ssema graoro; por lo que se ee que Para obeer las ecuacoes de movmeo que descrbe el comporameo del ssema se hará uso de las ecuacoes de Lagrage de º po.

51 3 De la fgura 3. se deduce que la velocdad absolua del pédulo., cos,, e r R e se R V e r e R V V V V m m o m o m (3.) La eergía céca del ssema esá dada por: cos cos cos cos R r m r m r R r r R m E R r r R m E r R se R m E V m V E o p o p o p m m o p (3.) S se gora los efecos de la gravedad y la rgdez del elemeo graoro, eoces o se edrá eergía poecal e el ssema. Además como o se ha cosderado gua forma de amorguameo, o hay pérdda de eergía por dspacó. Las coordeadas geeralzadas para el ssema de dos grados de lberad será: q y q ; además al omar e cuea el orque de excacó perurbae Q y T Q, las ecuacoes de Lagrage de º po queda expresadas como:

52 3 d E p E p T d d E p E p d (3.3) Relacoado las expresoes (3.) y (3.3) se obee las sguees ecuacoes acopladas o leales. m R r r R cos m r r R cos o m r R se m r R se T... (3.4) m r r R cos m r m r R se Al dvdr el ssema de ecuacoes (3.4) por mr e roducr la relacó admesoal r de logud del pédulo se llega a: R T se se mr (3.5) Dode: o cos mr se (3.6) La roacó del ssema graoro esá defdo como: (3.7)

53 3 Dode: es la roacó e régme permaee. es la perurbacó al ssema debdo a la roacó. Al susur la ecuacó (3.7) e el ssema de ecuacoes (3.6) se ee: T se se se mr (3.8) El ssema de ecuacoes dferecales (3.8) es o leal, e cosecueca para lealzar ese ssema de ecuacoes es ecesaro cosderar pequeñas osclacoes del pédulo y por lo ao se cos ; gorado el feómeo de Corols por eer osclacoes pequeñas además de las o lealdades cuadrácas se edrá el sguee ssema leal de ecuacoes dferecales. o mr T mr (3.9) La seguda ecuacó que se muesra e la expresó (3.9) proporcoa la frecueca aural del pédulo absorsor. p p R r (3.) Por ao la frecueca aural del pédulo es lealmee proporcoal a la velocdad de roacó.

54 MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO GENERAL DE UN ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO CONSIDERANDO LA RIGIDEZ DEL EE El modelo desarrollado e el acápe aeror es el más secllo para aalzar el comporameo del ssema, s embargo se ecesa saber la flueca de ambos absorsores pedulares sobre el ssema y el ercambo de eergía ere esos, por lo que es ecesaro desarrollar u modelo para el absorsor pedular cosderado la erca del eje cgüeñal. E el esquema que se muesra e la fgura 3., el pédulo de masa (m) y de logud (l) esá arculado a u dsco de momeo de erca (). El odo esá e el dsco del modelo maemáco mosrado y el odo esá dode el dsco se coeca co el eje de rgdez (). Fgura 3.. Modelo mecáco - maemáco del absorsor pedular cosderado la erca del eje cgüeñal. La masa pedular acúa como ua masa fa para el armóco y la frecueca a la cual se sozó el absorsor, dado lugar a u orque de reaccó que reduce el

55 34 efeco del orque de excacó y por ede las ampludes de vbracó orsoal que se ejerce e el eje cgüeñal. El objevo de ese aálss es cosrur u elemeo fo absorsor pedular, el cual pueda ser esamblado co facldad al modelo maemáco dscrezado que se muesra e la fgura 3.. La eergía céca del ssema mosrado vee dado por la sguee expresó: E E p p m V mr m l mrl cos p (3.) La eergía poecal del ssema vee dado por la expresó: U (3.) La ecuacó de movmeo del ssema orsoal e osclacó lbre se obee hacedo la dervadas ecesaras, lealzado las expresoes rgoomércas y reordeado. m ml r l ml r l r l ml m r l (3.3) La amplud e el odo se reducrá meras el pédulo absorsor esé sozado y se cumpla la relacó: r l p (3.4)

56 35 Dode es la frecueca aural del pédulo y vee dado por: p p r l La varacó ere la amplud de osclacó del dsco y el pédulo vee dado por la sguee expresó: l r p l r (3.5) La preseca del absorsor de vbracoes pedular e el -ésmo odo del ssema mosrado e la fgura 3. puede ser represeado adcoado las sguees expresoes e la marz de masa y rgdez respecvamee. M m K r l l r l l r l l m r l (3.6) La logud del pédulo es por lo geeral muy pequeña sobre odo s el absorsor se ha sozado a u armóco domae alo. La frecueca aural del pédulo absorsor, para los dos desarrollos maemácos del absorsor, al gual que los demás pos de absorsores de vbracó debe de esar sozada co la frecueca de excacó, pero e el caso de u ssema recprocae el orque de excacó esá represeado por ua oda peródca y por lo

57 36 ao la frecueca de excacó vee mulplcada por u coefcee deomada ambé orde de la vbracó. U orque de excacó peródco puede ser expresado hacedo uso de las seres de Fourer de la sguee maera. T (3.7) A A cos B se ˆ para, El orde de la vbracó vee defdo por el coefcee armóco domae que a couacó se muesra e la sguee fgura. 4 Frecueca Domae del Torque de Excacó Frecueca w*/w Fgura 3.3. Frecueca Domae del Torque de Excacó Peródco. U absorsor pedular sozado edrá la sguee caracerísca:

58 37 r (3.8) l Dode: es el orde de la vbracó. r es el rado del elemeo graoro. l es la logud del pédulo ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO TIPO BIFILAR El Absorsor cerífugo bflar fue desarrollado e Fraca por Zaraz y e Esados Udos por Chlo e 935. El pédulo ee la geomería e forma de ua U alargada que ecaja co basae oleraca e el corapeso del cgüeñal como se muesra e la sguee fgura. Fgura 3.4. Absorsor Pedular Cerfugo Bflar [4]. El corapeso del cgüeñal debe eer dos agujeros de dámero d. El Absorsor deberá ambé eer dos agujeros del msmo dámero; El pédulo se ue al corapeso del cgüeñal medae dos pes (espgas) de dámero d.

59 38 E esas codcoes el pédulo puede osclar s deslzarse sobre las espgas; El movmeo del cero del agujero del pédulo descrbe u pequeño círculo alrededor del cero del agujero del corapeso del cgüeñal. El rado de esa rayecora crcular vee dado por: d d. E la ecuacó (3.8), el rado del elemeo graoro r es reemplazado por la dsaca desde el eje logudal del cgüeñal al cero de gravedad del pédulo r l; dode l d d. Se puede ferr que cluso co u r basae pequeño se puede lograr ua masa muy grade. Eoces la ecuacó (3.8) queda expresada como: r l (3.9) l 3.4. ABSORSOR PENDULAR CENTRÍFUGO TIPO MECEDOR. Ora de las solucoes que se ee para afroar las vbracoes orsoales es el absorsor pedular cerífugo del po mecedor; cosse e u cldro de rado r que se mece o gra e u orfco clídrco de rado r como se apreca e la fgura 3.5. E el caso e que el cldro se deslce s grar, odos sus puos edrá rayecoras smlares de rado r r ; esa magud será eoces equvalee a la logud l del pédulo.

60 39 Fgura 3.5. Absorsor Pedular Cerífugo Mecedor [4]. Para u cldro que gra la osclacó es meor, de maera que la logud l del pédulo es mayor que r r, como la masa para ese po de absorsor es más pequeña que la usada e u absorsor bflar la amplud a la cual deberá osclar para que ega u correco fucoameo es mucho mayor, lo que orga dfculades e el dseño. Cosderado úcamee que el pédulo mecedor se deslza e el orfco la ecuacó (3.8) queda expresada como: r l (3.) r r

61 DISEÑO DEL ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES TIPO PÉNDULO CENTRÍFUGO - METODOLOGÍA DE DISEÑO VDI COMPRENSIÓN DE LA SOLICITUD LISTA DE EXIGENCIAS LISTA DE EXIGENCIAS PROYECTO: CLIENTE: DESEO O EXIGENCIA Dseño de u módulo Absorsor de Vbracoes Torsoales po Pédulo Cerífugo Pofca Uversdad Caólca del Perú DESCRIPCIÓN FECHA: 9/4/ ELABORADO: KAMQ RESPONSABLE E Fucó prcpal: Reducr las vbracoes orsoales que se presea e el eje cgüeñal de u moor de combusó era Desel de cldros e líea y 4 empos KAMQ E Maera prma: U moor de combusó era de cldros y 4 empos. dscos de acero de espesor sufcee que garace la erca que se ecesa para absorber las vbracoes orsoales y co propedades mecácas adecuadas para su adecuado mecazado. Las vbracoes orsoales e los ejes cgüeñales causadas por el orque varable que se presea. KAMQ

62 4 LISTA DE EXIGENCIAS PROYECTO: DESEO O EXIGENCIA E E E E E Dseño de u módulo Absorsor de Vbracoes Torsoales po Pédulo Cerífugo DESCRIPCIÓN Fuerza: La erca y la rgdez del absorsor orsoal debe esar sozadas co la frecueca de vbracó orsoal de al maera que las ampludes de vbracó se reduzca cuado sea aplcadas e el eje cgüeñal. Eergía: El absorsor de vbracoes orsoales o requere eergía adcoal más que la roacó del eje cgüeñal del moor de combusó era. Segurdad: El absorsor orsoal debe dseñarse de al maera que o exsa pelgros para la persoa que esé rabajado co el módulo. Fabrcacó: El absorsor orsoal debe poder ser fabrcado e su oaldad co maeral y alleres acoales ulzado para ese f ecología local. Moaje: El absorsor orsoal deberá ser de fácl moaje e salacó co herrameas esádar, al gual que el moor de combusó era ulzado para el esudo. FECHA: 9/4/ RESPONSABLE KAMQ KAMQ KAMQ Técco Capacado KAMQ E Cosos: No se precsa. KAMQ E Plazo de erega: /7/ KAMQ E E Maemeo: El moor de combusó era ulzado para ese módulo debe esar e perfecas codcoes de fucoameo y debe presar facldad al momeo de desmoar sus elemeos como los psoes para el moaje del absorsor orsoal e el eje cgüeñal. Ergoomía: Las dmesoes prcpales del módulo debe ser ales que pueda rabajarse co comoddad, el absorsor pedular debe adecuarse a las dmesoes del moor de combusó era. KAMQ KAMQ

63 CONCEPCIÓN DE LA SOLICITUD ABSTRACCIÓN DEL MÓDULO ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES Fgura 3.6: Esquema Blac Box del ssema écco. ENTRADAS Eergía: Eergía mecáca para accoar el moor de combusó era y geerar vbracó orsoal e el ssema. Maera: Ssema que asga la erca y la rgdez al ssema prmaro (eje cgüeñal). Señal: Las grades ampludes de vbracó orsoal del ssema prmaro observables e el equpo de medcó. SALIDAS Eergía: Eergía mecáca expresada e la roacó del eje cgüeñal. Maera: Ssema que asga la erca al ssema secudaro (absorsor) Señal: Pequeñas ampludes de vbracó del ssema observables e el equpo de medcó SECUENCIA DE OPERACIONES Eceder el moor de combusó era que va a producr las vbracoes orsoales.

64 43 Operar el moor de combusó era a ua deermada frecueca de excacó. Esablecer los daos de ercas y rgdez del eje cgüeñal del moor de combusó era. El absorsor de vbracoes orsoales, cuya erca ha sdo dmesoada de acuerdo a los parámeros prcpales del eje cgüeñal (masas roavas y osclaes y rgdez del eje), se soza a la frecueca de excacó para absorber las vbracoes orsoales que produce el moor de combusó era o ssema prmaro ESTRUCTURA DE FUNCIONES A couacó se muesra la esrucura de fucoes empleada e el dseño del módulo, el cual es modelado como u ssema orsoal compueso. FUENTE MOTRIZ TORQUE DE EXCITACIÓN SISTEMA TORSIONAL PRIMARIO, I, ω SISTEMA TORSIONAL SECUNDARIO I a, ω a Fgura 3.7: Esrucura de Fucoes.

65 MATRIZ MORFOLÓGICA ÍTEM FUNCIONES PARCIALES ALTERNATIVA ALTERNATIVA ALTERNATIVA Ssema prcpal Ierca Psoes Muñoes de Bela Volae de Ierca Rgdez Eje Cgüeñal Ssema secudaro 3 Ierca Bflar Mecedor Pédulo Osclae 4 Fjacó Pasador Torllo Solucó Solucó Solucó

66 CONCEPTOS DE SOLUCIÓN A. C ONCEPTO DE SOLUCIÓN Fgura 3.8: Absorsor Pedular Cerífugo Tpo Bflar Acoplado al Eje Cgüeñal. [] B. C ONCEPTO DE SOLUCIÓN Fgura 3.9: Absorsor Pedular Cerífugo Tpo Mecedor Acoplado a los Codos del Eje Cgüeñal []

67 46 C. C ONCEPTO DE SOLUCIÓN 3 Fgura 3.: Absorsor Pedular Cerífugo Osclae Acoplado a la Volae del Eje Cgüeñal ELABORACIÓN DEL PROYECTO PROYECTO PRELIMINAR PROYECTO PRELIMINAR ÓPTIMO Sobre la base de las aleravas que se rabajaro e la marz morfológca, se procede a desarrollar res cocepos de solucó para el absorsor de vbracoes orsoales, los cuales poserormee pasaro a ser somedos a ua evaluacó écca y ecoómca a parr de lo cual se obedrá el proyeco prelmar ópmo, co el cual se desarrollará el proyeco fal para el absorsor EVALUACIÓN DE PROYECTOS Para ese acápe se ha seleccoado ua sere de creros de evaluacó éccos X y ecoómcos Y los que os ayudará a evaluar cada uo de los cocepos de solucó, los que falmee luego de compararlos os ayudará a deermar cuál es uesro proyeco ópmo a desarrollar e el presee dseño.

68 47 Tabla 3.. Evaluacó Técca del Proyeco. EVALUACIÓN DE PROYECTOS - VALOR TECNICO PROYECTO: Dseño de u absorsor de Vbracoes Torsoales po Pédulo Cerífugo para el eje cgüeñal de u Moor de dos Cldros y 4 empos. p: Puaje de a 4 (Escala de Valores segú VDI 5)....: No Sasface : Acepacó a las jusas : Sufcee 3: Be 4: Muy be g: Peso poderado e fucó a los creros de evaluacó. Varaes de Cocepo / Proyecos Solucó S Solucó S Solucó 3 S3 Solucó Ideal Sdeal Nº Creros de Evaluacó g p gp p gp p gp p gp Dseño Fucó Uso de la eergía Espaco requerdo Maufacura Moaje Segurdad Maemeo Puaje Máxmo p ó gp Valor Técco X,7,7,688,68,594,57 Orde 3 3 Dode los valores de X se obee medae las fórmulas que a couacó se mecoa: X p (3.) p max

69 48 X p max ( g p) g (3.) Tabla 3.. Evaluacó Ecoómca del Proyeco EVALUACIÓN DE PROYECTOS - VALOR ECONÓMICO PROYECTO: Dseño de u absorsor de Vbracoes Torsoales po Pédulo Cerífugo para el Eje Cgüeñal de u Moor de dos Cldros. p: Puaje de a 4 (Escala de Valores segú VDI 5)....: No Sasface : Acepacó a las jusas : Sufcee 3: Be 4: Muy be g: Peso poderado e fucó a los creros de evaluacó. Varaes de Cocepo / Proyecos Solucó Solucó Solucó Solucó 3 Ideal S S S3 Sdeal Nº Creros de Evaluacó g p gp p gp p gp p gp Dseño Maeral Maufacura Compoees (compra) Isalacó Repuesos Maemeo Puaje Máxmo p ó gp Valor Ecoómco Y,7,7,68,69,64,65,, Orde 3 3 Dode los valores de Y se obee medae las fórmulas que a couacó se mecoa: Y p (3.3) p max

70 49 Y p max ( g p) g (3.4) Ahora, co los valores resalados e cada ua de las evaluacoes que se muesra a couacó, se procede de elaborar el dagrama de evaluacó segú VDI 5. Tabla 3.3. Valores obedos del crero écco y ecoómco. X Y,7,7,68,69,57,65 El dagrama de evaluacó será: S 3 S S Fgura 3.. Dagrama de evaluacó segú VDI 5.

71 5 De las ablas 3. y 3. además de la fgura 3. se observa, que el proyeco que cumple co los requsos éccos y ecoómcos es el cocepo de soluco que correspode al Absorsor de Vbracoes Torsoales po Pédulo Cerífugo Bflar, por ser la que más se aproxma a la líea de solucó ópma e la fgura 3.5, auque cabe la posbldad de omar el cocepo de solucó por ser ua solucó muy aproxmada a la líea deal MEMORIA DE CÁLCULOS DEFINITIVOS CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DEL SISTEMA Los parámeros del ssema esá defdos e su gra mayoría por las especfcacoes del moor maro WESTERBEKE de Hp y 3 rpm deallado e el aexo G. Número de cldros: Velocdad de roacó promedo: 3 rpm Carrera del psó: C p 4 p lg mm Dámero del psó: D p 3 p lg 76 mm Área del psó: 7.5 p lg 4536 mm A p Peso del psó: W p lb 9 N Logud de la bela: L 8 p lg 3 mm Peso de la bela: W b 3lb3N Momeo de erca de la bela: b.75 slug pe 86 g mm

72 5 Rado del Cgüeñal: r p lg 5mm Presó máxma de los gases de la combusó P g 5 lb / p lg 3.5 N / mm Debdo a que el momeo de erca del corapeso del cgüeñal o es u dao comú, se deermará e forma aproxmada. La dsaca desde el puo B al cero de gravedad de la bela se obee por recomedacoes de dseño [6]. Y G.7 a. 8L, se omará: Y G X G.75 L Y G 5.5mm.5L X 5.75mm G (3.5) La masa del psó esá dada por: m La masa de la bela esá dada por: m W p 9N m p. g (3.6) g m 9.8 s p 9 Wb 3N mb. g (3.7) g m 9.8 s b 3 Aplcado la eoría de reduccó de masas usado para ese f masas equvalees se edrá lo sguee:

73 5 Pare de la masa de la bela cocerada e el cgüeñal, que ee movmeo úcamee roavo: YG 5.5 mc. b mb.3 mcb. 975g (3.8) L 3 Pare de la masa de la bela cocerada e el buló del psó (puo B), que ee movmeo alerae: X G 5.75 mb. b mb.3 mcb. 35g (3.9) L 3 Debdo a que la geomería del cgüeñal es compleja y ecesamos saber cuáo de la masa del cgüeñal se debe cosderar como masa puramee roava, recurredo a u sofware de dseño de dode se obee lo sguee. m ro C.. 38 g (3.3) La masa equvalee del cgüeñal e el puo C, para r G. c r rg. c mc. c mc. ro mc. c. 9g (3.3) r La masa equvalee oal e el puo C vee dada por la sguee expresó: mc mc. b mc. c mc. 3 g (3.3) La masa del corapeso del cgüeñal cocerada e el puo D será eoces: md mc md. 3 g (3.33)

74 53 Como se puede ver e la fgura. el movmeo de la masa m D es puramee roavo alrededor del puo A, eoces se deduce que: D 5 mm 5496 g m D r.975 g D mm (3.34) Aes de desarrollar la ecuacó marcal que descrbe el comporameo del ssema, se hace ecesaro hallar el valor de la rgdez orsoal del eje cgüeñal. G I p (3.35) L e Dode: : Coefcee de rgdez orsoal. 4 N G: Módulo de czallameo = 6.75 mm I p : Momeo de erca polar. L e : Logud equvalee del eje cgüeñal. El momeo de erca polar esá dado por: I p 4 c d 3 Dode d c es el dámero del cgüeñal y es gual a: d. 75 D c p Dode D p es el dámero del cldro que es especfcacó del moor. Eoces: d.7575mm c 4 57 mm mm I p mm 3 La logud equvalee del eje cgüeñal se cosdera como la dsaca ere los ejes logudales de los cldros, que por recomedacó de dseño esá dada por [6]:

75 54 76mm L mm Le.5 D p. e 95 La rgdez orsoal del ssema vee dada por: G I L e p N m rad (3.36) Es ecesaro ambé dmesoar aproxmadamee al volae de erca del ssema para lo cual defremos lo sguee: Se ee como aproxmacó ua erca cosae para cada cldro defda por la relacó: ce ro mrecr (3.37) Dode: ro es el momeo de erca puramee roavo represeado por el momeo de erca del corapeso y pare del cgüeñal, eoces: ro.536 g m.845 g.5.5 m (3.38) D ro La masa recprocae m es la masa de la bela, eoces: m rec. 3g rec Además el rado del cgüeñal ee como valor umérco: r 5mm g m La erca cosae oma el valor de: ce Ahora es ecesaro defr a la eergía que ecesa la volae para vecer a las ercas del ssema, eoces: E v rad.g m 3.4 E N m ce v 59 (3.39) s El momeo de erca para la volae queda defdo como: Ev v (3.4) c

76 55 Dode c es u coefcee de flucuacó de la velocdad del moor y por recomedacó es gual a.5 [5]. Reemplazado eemos: v 59N m rad.53.4 s. v g m Co los parámeros de rgdez, momeo de erca reducdo cosae de cada uo de los cldros y el momeo de erca de la volae, se procede a hallar las frecuecas propas del ssema y sus respecvos modos de vbracó orsoal; para al f se usa la fucó eg mplemeada e el programa MATLAB. Prmero es ecesaro defr la marz de erca del ssema orsoal como se muesra e la sguee expresó. j j (3.4) j 3 Dode: j. g m j. g m j3. g m De la msma maera la marz de rgdez del ssema s cosderar la flueca de la seguda dervada del momeo de erca reducdo y la dervada del orque de excacó para cada cldro, se ee la sguee expresó. K (3.4) Dode: N m rad Ua vez defdo la marz de erca y rgdez se procede a elaborar u Scrp e el MATLAB dode a ravés de la fucó eg podamos calcular las frecuecas propas

77 56 y grafcar los modos de vbracó del ssema orsoal. Las frecuecas propas halladas so: 3 rad 4 rad (3.43) seg seg Los modos de vbracó orsoal so los que se muesra a couacó: Modos de Vbraco Torsoal 3 =.3474e+4 = 5.577e+3 = Fgura 3.. Modos de Vbracó Torsoal del Ssema. El ssema aalzado ee dos cldros eoces el momeo de erca para cada uo de esos vee dado por las expresoes (.3):

78 cos cos o o se b a se b a (3.44) El érmo cosae del momeo de erca peródco dado e la expresó (3.44) vee defdo por la expresó (B.6) desarrollada e el aexo B: g mm L L r m X r m X r m o p G b G b b D o (3.45) Dode los coefcees b y a armócos vee dados por las ecuacoes (B.8) y (B.9) desarrolladas e el aexo B. Los coefcees a coseo armócos esá defdos por las expresoes:

79 g mm a L m X r m a g mm a L r m X r m a g mm a L m X r m X m a g mm a L r m X r m a g mm a L r m X r m X r m X m a g mm a L r m X r m a p G b p G b p G b G b b p G b p G b G b G b b p G b (3.46) Los coefcees b seo armócos esá defdos por las expresoes: b e r m b b e r m b b e r m b g mm b L r m X r m b b e r m b b e r m b b b b p G b b b (3.47)

80 59 Al observar los coefcees b seo armócos se ve que la mayoría de esos oma el valor de cero debdo a que o se cosdera la dsaca e perpedcular al eje logudal de la bela descro e el modelo preseado e el capíulo, para ese modelo se ubcó el cero de gravedad e el eje logudal. Como se puede verfcar e la expresó.4 para la marz de rgdez se ee flueca de la seguda dervada de las ercas de ambos cldros y la prmera dervada del par de orsó e los elemeos de la dagoal. La prmer y seguda dervada de las ercas del ssema se esablecó e el capíulo medae las sguees expresoes de la forma., 6 a se b cos,, 6 6 a se b cos a cos b se (3.48), 6 a cos b se Los coefcees coseo y seo armócos de esa úlma expresó será calculados medae aproxmacó de la curva peródca del momeo de erca por seres de Fourer e el capíulo 4 de smulacó del ssema.

81 6 No podemos eer la prmera dervada del par de orsó s aes defr al par de orsó que se defó e el capíulo medae la expresó.3, de la forma. T P g A r m r cos cos se p cos B ˆ... (3.49) Debdo a que el par de orsó es ua fucó peródca se procedó co su respecvo desarrolló e seres de Fourer, de la forma. T (3.5) A A cos B seˆ para, De la msma forma los coefcees coseo y seo armócos de esa úlma expresó será calculados medae aproxmacó de la curva del orque por seres de Fourer e el capíulo 4. La prmera dervada del orque de excacó respeco de vee dado por: T, A se B cosˆ para, (3.5) Los Torques de excacó esá fluecados por la erca de cada ua de los cldros medae sus prmeras dervadas dado como resulado la expresó: T ( ) T T ( ) T,,, ( ), ( ) (3.5)

82 6 A parr de esos parámeros se puede obeer las frecuecas propas varables y e u caso muy parcular cuado se cosdere las ercas coaes se podrá eer los modos de vbracó del ssema que se desarrolla co mayor dealle e el capíulo CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DEL ABSORSOR PENDULAR Las formulas ecesaras para calcular los parámeros del absorsor pedular po bflar se desarrollaro e ese capíulo, por lo que e esa seccó defmos: Rr rp (3.53) r p Se sabe por defcó de los parámeros del ssema que: R r es el rado del cgüeñal y es gual a 5 mm. es el orde de la armóca domae del orque de excacó para cada cldro, que para ese caso parcular oma el valor de 4. Resolvedo la expresó (3.53) co los valores dados, se podrá obeer el valor de la logud del pédulo r p 3. 4 mm. La frecueca aural del pédulo vee dado por la expresó: R r p (3.54) rp Adcoalmee se debe eer la masa del pédulo que o debe fluecar e el balaceo esáco y dámco del ssema, por lo que os regmos a usar el absorsor co masa gual a la masa removda del corapeso, eoces m p. 335 g

83 6 rad Reemplazado co los valores asgados eemos que p s S se coloca el absorsor e la volae de erca del moor, eoces el valor de R r sería el rado de esa volae y como es de supoer la frecueca del pédulo sufrrá ua lgera varacó CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DEL ABSORSOR AMORTIGUADO Recurredo a la eoría del absorsor de vbracoes orsoales vscoso desarrollado e el aexo D, se procede a calcular los parámeros que ervee e ese ssema sobre odo el coefcee de amorguameo de la slcoa. Fgura 3.3. Esquema del Absorsor Amorguado []. Se defe el coefcee de correlacó de ercas como: d 3 Dode: d es la erca del volae amorguador 3 es la erca efecva de la volae

84 63 Asumedo que 3. g m, u coefcee de correlacó. 8 v El facor de amorguameo ópmo vee dado por: o.5 (3.55) El coefcee de amorguameo de la slcoa para ua rgdez del el eje cgüeñal K 5 N m 6.86, vee defdo por: rad K g m c c c 3.8 (3.56) s ELABORACIÓN DE DETALLES Los plaos que se dealla a couacó se ecuera aexados PLANO DE ENSAMBLE Plao. Esamble del ssema PLANOS DE DESPIECE Plao Plao 3 Plao 4

85 BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 3. DEN HARTOG,.P., Mecáca de las Vbracoes, 4º Edcó, Edoral McGraw Hll, Méxco, THOMSON, Wllam T., Theory of Vbrao Wh Applcaos, 5º Edcó, Pearso Educao, Bejg, KER WILSON, W., Praccal soluo of orsoal vbrao problems VOL., Cap., º Edcó, Edoral Wley, New Yor, BALACHANDRAN, B., VIBRACIONES, º Edcó, Ieraoal Thomso Edores, Méxco, NORTON, Rober L., DESIGN OF MACHINERY, 3º Edcó, Edoral Mc Graw Hll, Massachuses, OVA, M. S., Moores de Auomovl, º Edcó, Edoral MIR, Moscu TROY FEESE, P.E., Gudeles For Preveg Torsoal Vbrao Problems I Recprocag Machery, Gas machery Coferece, Nashvlle Teessee, 8. WESTERBEKE DIESEL ENGINE. hp:// 9. CRANKSHAFT DYNAMICS AND STRENGTH hps:// GEISLINGER VDAMP hp://

86 65 CAPÍTULO 4 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA TORSIONAL BAO DISTINTAS CONDICIONES DE TRABAO 4.. SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA PARA RPM 4... COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO Para la smulacó umérca del ssema orsoal se omó como velocdad del moor rpm, velocdad a la que se desarrolla el máxmo orque e el ssema. Además es ecesaro eeder el comporameo peródco del momeo de erca de los elemeos acoplados al eje cgüeñal; como se mecoó las ercas de esos elemeos debe ser reducdos al eje logudal del cgüeñal. Fgura 4.: Reduccó del momeo erca del mecasmo bela - mavela al eje.

87 66 E el proceso de reduccó es dode la erca de la bela y la masa del psó debdo a su movmeo de roacó y raslacó ocasoa el comporameo peródco. El comporameo peródco del momeo de erca reducdo al eje cgüeñal mosrado e la fgura 4. es el msmo ao para el º como pare el º mecasmo bela mavela acoplado al cgüeñal y ee que ser aproxmado por seres de Fourer co la faldad de obeer ua expresó maemáca para el momeo de erca reducdo que ervee e el ssema de ecuacoes de esado usadas para la solucó umérca del ssema orsoal. x Varacó de la Ierca Reducda al eje Cgüeñal Ierca (Kg-m ) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.. Comporameo peródco del momeo de erca reducdo a rpm Las expresoes maemácas que descrbe el comporameo peródco del momeo de erca reducdo del mecasmo bela mavela para ua aproxmacó de 6 armócos es la sguee:

88 67 A o A cos B se A o A cos B se 6 6 (4.) Esas úlmas expresoes cluye los coefcees coseo y seo armócos de Fourer los cuales se dealla e los aexos COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN La mayoría de ssemas forzados ee como ee de excacó ua fuerza seodal; e el caso de los ssemas dámcos recprocaes, ese ee de excacó es de comporameo peródco debdo a dversos facores. Loa facores que fluye so: la flueca de la presó de los gases de combusó, el movmeo de roacó y raslacó de las ercas del ssema, la dsposcó del cgüeñal y el orde de eceddo que para ese caso parcular es de cldros e líea y 4 empos respecvamee; además que la varacó peródca de las ercas reducdas del ssema ambé fluye e el orque de excacó. El ee de excacó para el ssema orsoal aalzado será u oque de excacó peródco que como e el caso del momeo de erca reducdo es aproxmado por seres de Fourer para ser usado e la solucó umérca del ssema. El orque de excacó e el prmer cldro para ua aproxmacó de armócos vee represeado por la sguee expresó maemáca:

89 68 C o T C cos D se (4.) El comporameo peródco del orque de excacó descro por la expresó (4.) esá represeado e la fgura 4.3. Torque de Excaco e el prmer cldro 5 Torque(N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.3. Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm. El orque de excacó para el segudo cldro co ua aproxmacó de armócos vee represeado por la sguee expresó: Co T C cos D se (4.3)

90 69 Los coefcees coseo y seo armócos de fourer para la expresó (4.) y (4.3) se dealla e el aexo F. El comporameo peródco del orque de excacó e el º cldro esá represeado e la fgura 4.4. Torque de Excaco e el segudo cldro 5 Torque(N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.4. Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm. El orque de excacó e cada uo de los cldros ee la flueca de la prmera dervada del momeo de erca reducdo al eje cgüeñal de cada uo de los mecasmos bela mavela presees e el moor de combusó era de cldros aalzado

91 COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DE LOS ELEMENTOS K Y K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA TORSIONAL La marz de rgdez orsoal del ssema ee e sus elemeos K y K expresoes que varía e fucó al águlo del cgüeñal y por cosguee ambé fucó del empo, esas expresoes ya fuero desarrolladas e el capíulo y. La expresó maemáca del elemeo K de la marz de rgdez orsoal para ua aproxmacó co 4 armócos vee expresada de la sguee maera: 4 E o K E cos F se (4.4) El comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez esá represeado e la fgura x 5 Varacó del elemeo K de la marz de Rgdez Torsoal K ((N-m)/rad) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.5. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm.

92 7 La expresó del elemeo K de la marz de rgdez orsoal para ua aproxmacó co 4 armócos vee expresada como: 4 Eo K E cos F se (4.5) El comporameo del elemeo K de la marz de rgdez orsoal esá represeado e la fgura x 6 Varacó del elemeo K de la marz de Rgdez Torsoal K ((N-m)/rad) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.6. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm. Los coefcees coseo y seo armócos de Fourer presees e las expresoes maemácas de los elemeos K y K respecvamee se dealla e el aexo C. Los elemeos K y K de la marz de rgdez vee fluecados ambé por la seguda dervada del momeo de erca reducdo y la prmera dervada del orque de excacó correspodee a cada cldro.

93 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SIN APLICACIÓN DEL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES U modelo mecáco - maemáco del ssema orsoal s aplcacó de los absorsores pedulares se muesra e la fgura 4.7 Fgura 4.7. Ssema Torsoal s aplcacó del absorsor pedular. Ua vez aalzado el comporameo peródco del momeo de erca reducdo al eje cgüeñal para ambos cldros, el orque de excacó para el º y º cldro, además del comporameo de los elemeos K y K de la marz de rgdez orsoal, se procede co la smulacó umérca del ssema orsoal s aplcacó del absorsor pedular. Para la smulacó umérca se usará la fucó ODE45 de solucó de ssemas de ecuacoes dferecales mplemeada e el MATLAB. Adcoalmee se debe geerar u Scrp e el MATLAB dode esé el ssema de ecuacoes dferecales de prmer orde que se ee que resolver y oro Scrp dode se ejecue la fucó ODE45 co las codcoes cales, el empo de evaluacó, paso de egracó y las opcoes de oleraca ecesaras.

94 73.5 (rad) (s).5 (rad) (s).5 3(rad) (s) Fgura 4.8. Respuesa del ssema s aplcacó del absorsor pedular para rpm.. La fgura 4.8 muesra claramee que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro es de.35 radaes, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma es de.4 radaes lo que e ambos casos equvale a más de º sexagesmales SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES ACOPLADO U modelo mecáco - maemáco del ssema orsoal co los absorsores pedulares acoplados e el prmer y segudo codo del cgüeñal se muesra e la fgura 4.9. La amplud de osclacó para las res ercas que se muesra e la fgura 4.8 so cosderables debdo a que co el empo podría fallar por faga.

95 74 Fgura 4.9. Ssema Torsoal co aplcacó de los absorsores pedulares. Hacedo uso ua vez más de la fucó ODE45 mplemeada e el MATLAB y geerado u prmer Scrp dode se dealle el ssema de ecuacoes dferecales de prmer orde y oro Scrp dode se ejecue la fucó ODE45 co las codcoes cales, el empo de evaluacó, paso de egracó y las opcoes de oleraca ecesaras.. (rad) (s). (rad) (s). 3(rad) (s) Fgura 4.. Respuesa del ssema co el absorsor pedular acoplado para rpm.

96 75 La fgura 4. muesra claramee que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro se ha reducdo a.6 radaes; lo que sgfca ua reduccó del 83%, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.9 radaes, alcazado ua reduccó del 77%. Además es ecesaro saber cuál es el comporameo e el empo de los absorsores pedulares acoplados e los corapesos de los mecasmos bela mavela co la faldad de saber s afecará al ormal fucoameo del moor. 4 x -3 (rad) (s) x -3 (rad) (s) Fgura 4.. Respuesa emporal de los absorsores pedulares para rpm. La fgura 4. muesra el comporameo e el empo de los absorsores, dode claramee se muesra que la amplud de osclacó máxma para el prmer y segudo absorsor es de. radaes. El comporameo de los absorsores muesra el feómeo de rasfereca de eergía ere pédulos.

97 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADO U méodo basae usado ambé para mgar vbracoes orsoales es el absorsor amorguado po Houde; e ese acápe evaluaremos cuao es la reduccó de ese absorsor al ser aplcado a uesro ssema orsoal. U modelo mecáco - maemáco del ssema orsoal co el absorsor amorguado acoplado se muesra e la fgura 4. Fgura 4.. Ssema orsoal co el absorsor amorguado acoplado Para obeer la respuesa emporal del ssema orsoal se usará ua vez más la fucó ODE45 mplemeada e el MATLAB, se debe geerar u prmer Scrp dode se dealle el ssema de ecuacoes dferecales de prmer orde y oro Scrp dode se ejecue la fucó ODE45 co las codcoes cales, el empo de evaluacó, paso de egracó y las opcoes de oleraca ecesaras. E la fgura 4.3 se puede ver que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro se ha reducdo a. radaes; lo que sgfca ua reduccó del 43%, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.7 radaes, alcazado ua reduccó del 35%.

98 77. (rad) (s).5 (rad) (s).5 3(rad) (s) Fgura 4.3. Respuesa del ssema orsoal co el absorsor amorguado acoplado para rpm.. Además es ecesaro saber cuál es el comporameo e el empo del volae amorguador acoplado (rad) (s) Fgura 4.4. Respuesa de la amplud de osclacó del volae amorguador para rpm.

99 78 La fgura 4.4 muesra el comporameo e el empo del volae amorguador, dode se muesra que la amplud de osclacó máxma es de.5 radaes SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR Y EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADOS Adcoalmee a las smulacoes ya realzadas, se hará la smulacó del ssema dode se cluye al absorsor pedular y absorsor amorguado acoplados al ssema cal, para lo cual se hará uso ua vez más de la fucó ODE45 mplemeada e el MATLAB. U modelo mecáco - maemáco del ssema orsoal co los absorsores pedulares y el absorsor amorguado acoplados se muesra e la fgura 4.5 Fgura 4.5. Ssema orsoal co los absorsores pedulares y el absorsor amorguado acoplados Para usar esa herramea es ecesaro geerar u prmer Scrp dode se dealle el ssema de ecuacoes dferecales de prmer orde a solucoar y oro Scrp dode se ejecue la fucó ODE45 co las codcoes cales, el empo de evaluacó, paso de egracó y las opcoes de oleraca ecesaras.

100 79 La fgura 4.6 muesra el comporameo e el empo del ssema orsoal co ambos absorsores acoplados. 5 x -3 (rad) (s) 5 x -3 (rad) (s). 3(rad) (s) Fgura 4.6. Respuesa del ssema co el absorsor pedular y el absorsor amorguado acoplados al ssema orsoal para rpm. La fgura 4.6 muesra que la amplud de osclacó máxma e el prmer cldro se ha reducdo a.35 radaes y e el segudo cldro se ha reducdo a.5 radaes; lo que sgfca ua reduccó del 9% y 93% respecvamee, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.5 radaes, alcazado ua reduccó del 87% aproxmadamee. Se hace ecesaro ambé saber cuál es el comporameo e el empo de los absorsores pedulares acoplados e los corapesos de los mecasmos bela

101 8 mavela y el absorsor amorguado, co la faldad de saber s afecará al ormal fucoameo del moor. La fgura 4.7 muesra el comporameo e el empo de los absorsores, dode se muesra que la amplud de osclacó máxma para el prmer y segudo absorsor es de. radaes aproxmadamee meras que para el volae amorguador su amplud máxma de osclacó es de.4 radaes, evdecado así que la accó combada de los dos pos de absorsores es más efcee e la reduccó de la vbracó orsoal. x -3 (rad) (s) x -3 (rad) (s) 5 x -3 3(rad) (s) Fgura 4.7. Respuesa de la amplud de osclacó de los absorsores pedulares y del volae amorguador para rpm. Como ya se mecoó para lograr la smulacó umérca del ssema bajo dsas codcoes de rabajo se usó la fucó ODE45 mplemeada e el MATLAB.

102 8 Adcoalmee se sabe que el moor de combusó era rabaja a más de ua velocdad y por lo ao las codcoes de rabajo y los parámeros vbraoros ambé cambará co la velocdad, lo que hace ecesaro saber cuál será el comporameo de uesro ssema vbraoro y del absorsor pedular bajo esas uevas codcoes de velocdad. Co la faldad de demosrar que el absorsor pedular dseñado reducrá la vbracó orsoal e el eje cgüeñal o sólo a la velocdad e la que el moor rabaja a su máxmo orque ( rpm), s o a bajas velocdades ( rpm) y máxma velocdad (3 rpm) se procederá a la smulacó del ssema orsoal a dos dferees velocdades de fucoameo.

103 8 4.. SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA PARA RPM 4... COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN El orque de excacó para el caso e que la velocdad del moor es de rpm ee dferee comporameo al desarrollado aerormee debdo a que e la eoría del capíulo dode se obuvo la expresó para los orques la velocdad del moor esaba dero de la expresó. El comporameo peródco del orque de excacó para el º cldro esá represeado e la fgura Torque de Excaco e el prmer cldro 4 Torque(N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.8. Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm.

104 83 El comporameo peródco del orque de excacó para el º cldro esá represeado e la fgura Torque de Excaco e el segudo cldro 4 Torque(N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.9. Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para rpm COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DE LOS ELEMENTOS K Y K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA TORSIONAL Los elemeos K y K de la marz de rgdez orsoal se ve fluecadas ambé por la velocdad del moor. El comporameo peródco el elemeo K de la marz de rgdez esá represeado e la fgura 4..

105 x 5 Varacó del elemeo K de la marz de Rgdez Torsoal K ((N-m)/rad) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm. El comporameo del elemeo K de la marz de rgdez orsoal esá represeado e la fgura x 6 Varacó del elemeo K de la marz de Rgdez Torsoal K ((N-m)/rad) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para rpm.

106 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SIN APLICACIÓN DEL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES La smulacó umérca del ssema orsoal s aplcacó del absorsor pedular esá fluecada por la varacó de la velocdad del moor y por lo ao la respuesa emporal del ssema será dferee a la esudada e el capíulo 4. Se debe geerar u Scrp e el MATLAB dode esé el ssema de ecuacoes dferecales de prmer orde que se ee que resolver y oro Scrp dode se ejecue la fucó ODE45 co las codcoes cales, el empo de evaluacó, paso de egracó y las opcoes de oleraca ecesaras..5 (rad) (s).5 (rad) (s).5 3(rad) (s) Fgura 4.. Respuesa del ssema s aplcacó del absorsor pedular a rpm.. La fgura 4. muesra claramee que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro es de. radaes, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma es de.4 radaes.

107 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES ACOPLADO La smulacó umérca del ssema orsoal co el absorsor pedular acoplado ambé es fluecada por la varacó de la velocdad del moor y por lo ao la respuesa emporal del ssema dferrá de la respuesa esudada e el capíulo 4.. (rad) (s). (rad) (s). 3(rad) (s) Fgura 4.3. Respuesa del ssema co el absorsor pedular acoplado para rpm. La fgura 4.3 muesra claramee que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro se ha reducdo a.7 radaes; lo que sgfca ua reduccó del 68%, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.7 radaes, alcazado ua reduccó del 7%. El comporameo e el empo de los absorsores se muesra e la fgura 4.4 dode claramee se muesra que la amplud de osclacó máxma para el prmer y segudo absorsor es de.5 y.4 radaes respecvamee.

108 87..5 (rad) (s) 5 x -3 (rad) (s) Fgura 4.4. Respuesa emporal de los absorsores pedulares para rpm SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADO Ahora se evaluará como afeca el cambo de la velocdad e el moor y cuao es la reduccó de ese absorsor al ser aplcado al ssema orsoal.. (rad) (s). (rad) (s). 3(rad) (s) Fgura 4.5. Respuesa del ssema co el absorsor amorguado a rpm.

109 88 E la fgura 4.5 se puede ver que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro se ha reducdo a.5 radaes; lo que sgfca ua reduccó del 3 %, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.7 radaes, alcazado ua reduccó del 9 %. Además es ecesaro saber cuál es el comporameo e el empo del volae amorguador acoplado. La fgura 4.6 muesra el comporameo e el empo del volae amorguador, dode se muesra que la amplud de osclacó máxma es de.6 radaes (rad) (s) Fgura 4.6. Respuesa de la amplud de osclacó del volae amorguador para rpm SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR Y EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADOS Adcoalmee a las smulacoes ya realzadas, se hará la smulacó del ssema dode se cluye al absorsor pedular y absorsor amorguado acoplados al ssema cal.

110 89 La fgura 4.7 muesra el comporameo e el empo del ssema orsoal co ambos absorsores acoplados. 5 x -3 (rad) (s) 5 x -3 (rad) (s) 5 x -3 3(rad) (s) Fgura 4.7. Respuesa del ssema co el absorsor pedular y el absorsor amorguado acoplados al ssema orsoal para rpm. La fgura 4.7 muesra que la amplud de osclacó máxma e el prmer cldro se ha reducdo a.35 radaes y e el segudo cldro se ha reducdo a.3 radaes; lo que sgfca ua reduccó del 84 % y 9 % respecvamee, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.35 radaes, alcazado ua reduccó del 85% aproxmadamee. La fgura 4.8 muesra el comporameo e el empo de los dos absorsores pedulares y del absorsor amorguado.

111 9 5 x -3 (rad) (s) x -3 (rad) (s) 5 x -3 3(rad) (s) Fgura 4.8. Respuesa de la amplud de osclacó de los absorsores pedulares y del volae amorguador para rpm. La fgura 4.8 muesra el comporameo e el empo de los absorsores, dode se muesra que la amplud de osclacó máxma para el prmer y segudo absorsor es de.7 y.8 radaes respecvamee meras que para el volae amorguador su amplud máxma de osclacó es de.33 radaes, evdecado así que la accó combada de los dos pos de absorsores es más efcee e la reduccó de la vbracó orsoal.

112 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA PARA 3 RPM COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN El orque de excacó para el caso e que la velocdad del moor es de 3 rpm ee dferee comporameo al desarrollado e el capíulo 4 debdo a que e la eoría del capíulo dode se obuvo la expresó para los orques la velocdad del moor esaba dero de la expresó. El comporameo peródco del orque de excacó para el º cldro esá represeado e la fgura Torque de Excaco e el prmer cldro 3 Torque(N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.9. Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para 3 rpm.

113 9 El comporameo peródco del orque de excacó para el º cldro esá represeado e la fgura Torque de Excaco e el segudo cldro 3 Torque(N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.3. Comporameo peródco del Torque de Excacó e el º cldro para 3 rpm COMPORTAMIENTO PERIÓDICO DE LOS ELEMENTOS K Y K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA TORSIONAL Los elemeos K y K de la marz de rgdez orsoal se ve fluecadas ambé por la velocdad del moor. El comporameo peródco el elemeo K de la marz de rgdez esá represeado e la fgura 4.3.

114 x 5 Varacó del elemeo K de la marz de Rgdez Torsoal K ((N-m)/rad) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.3. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para 3 rpm. El comporameo del elemeo K de la marz de rgdez orsoal esá represeado e la fgura x 6 Varacó del elemeo K de la marz de Rgdez Torsoal K ((N-m)/rad) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura 4.3. Comporameo peródco del elemeo K de la marz de rgdez para 3 rpm.

115 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA SIN APLICACIÓN DEL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES La smulacó umérca del ssema orsoal s aplcacó del absorsor pedular esá fluecada por la varacó de la velocdad del moor y por lo ao la respuesa emporal del ssema será dferee a la esudada e el capíulo 4. Adcoalmee se debe geerar u Scrp e el MATLAB dode esé el ssema de ecuacoes dferecales de prmer orde que se ee que resolver y oro Scrp dode se ejecue la fucó ODE45 co las codcoes cales, el empo de evaluacó, paso de egracó y las opcoes de oleraca ecesaras..5 (rad) (s).5 (rad) (s).5 3(rad) (s) Fgura Respuesa del ssema s aplcacó del absorsor pedular a 3 rpm. La fgura 4.33 muesra claramee que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro es de.5 radaes, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma es de.39 radaes.

116 SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR DE VIBRACIONES TORSIONALES ACOPLADO La smulacó umérca del ssema orsoal co el absorsor pedular acoplado ambé es fluecada por la varacó de la velocdad del moor y por lo ao la respuesa emporal del ssema dferrá de la respuesa esudada e el capíulo 4.. (rad) (s). (rad) (s). 3(rad) (s) Fgura Respuesa del ssema co el absorsor pedular acoplado para 3 rpm. La fgura 4.34 muesra claramee que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro se ha reducdo a.7 radaes y.5 radaes, lo que sgfca ua reduccó del 7 % y 8 % respecvamee; e la volae la amplud de osclacó máxma se redujo a. radaes, alcazado ua reduccó del 74 %. El comporameo e el empo de los absorsores se muesra e la fgura 4.35 dode claramee se muesra que la amplud de osclacó máxma para el prmer y segudo absorsor es de. y.6 radaes respecvamee.

117 96 x -3 (rad) (s) x -3 (rad) (s) Fgura Respuesa emporal de los absorsores pedulares para 3 rpm SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADO Ahora se evaluará como afeca el cambo de la velocdad e el moor y cuao es la reduccó del absorsor amorguado al ser aplcado al ssema orsoal.. (rad) (s). (rad) (s).5 3(rad) (s) Fgura Respuesa del ssema co el absorsor amorguado acoplado para 3 rpm.

118 97 E la fgura 4.36 se puede ver que la amplud de osclacó máxma e el prmer y segudo cldro se ha reducdo a.6 radaes; lo que sgfca ua reduccó del 36 %, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.4 radaes, alcazado ua reduccó del 38 %. Además es ecesaro saber cuál es el comporameo e el empo del volae amorguador acoplado. La fgura 4.37 muesra el comporameo e el empo del volae amorguador, dode se muesra que la amplud de osclacó máxma es de.9 radaes (rad) (s) Fgura Respuesa de la amplud de osclacó del volae amorguador para 3 rpm SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMA CON EL ABSORSOR PENDULAR Y EL ABSORSOR AMORTIGUADO ACOPLADOS Adcoalmee a las smulacoes ya realzadas, se hará la smulacó del ssema dode se cluye al absorsor pedular y absorsor amorguado acoplados al ssema cal.

119 98 La fgura 4.38 muesra el comporameo e el empo del ssema orsoal co ambos absorsores acoplados.. (rad) (s) 5 x -3 (rad) (s). 3(rad) (s) Fgura Respuesa del ssema co el absorsor pedular y el absorsor amorguado acoplados al ssema orsoal para 3 rpm. La fgura 4.38 muesra que la amplud de osclacó máxma e el prmer cldro se ha reducdo a.5 radaes y e el segudo cldro se ha reducdo a.7 radaes; lo que sgfca ua reduccó del 8 % y 96 % respecvamee, meras que e la volae de erca la amplud de osclacó máxma se redujo a.35 radaes, alcazado ua reduccó del 88% aproxmadamee. La fgura 4.39 muesra el comporameo e el empo de los dos absorsores pedulares y del absorsor amorguado.

120 99 x -3 (rad) (s) x -3 (rad) (s) 5 x -3 3(rad) (s) Fgura Respuesa de la amplud de osclacó de los absorsores pedulares y del volae amorguador para 3 rpm. La fgura 4.39 muesra el comporameo e el empo de los absorsores, dode se muesra que la amplud de osclacó máxma para el prmer y segudo absorsor es de.3 y.6 radaes respecvamee meras que para el volae amorguador su amplud máxma de osclacó es de.36 radaes, evdecado así que la accó combada de los dos pos de absorsores es más efcee e la reduccó de la vbracó orsoal.

121 4.4. SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL ABSORSOR PÉNDULAR COMO UN SISTEMA DE GDL INFLUENCIA DE LA MASA DEL PÉNDULO EN LA RESPUESTA DEL SISTEMA TORSIONAL DE GDL Los moores de combusó era depededo de la cofguracó de cgüeñal vee balaceados ao esáca como dámcamee; aquí es dode el parámero de masa del pédulo ervee, ya que para lograr el moaje del absorsor se removó maeral de los corapesos a f de cumplr co el requermeo de espaco a la hora de poer e fucoameo el moor. La masa del maeral removdo es el que se debe omar e cuea a la hora de elegr el parámero de masa del pédulo. Para eeder mejor la flueca de la masa de pédulo absorsor, se resuelve el ssema de ecuacoes desarrollado e al capíulo 3 a parr del esquema que se muesra ua vez más e la fgura 4.4. Fgura 4.4. Modelo mecáco maemáco del absorsor pedular como u ssema de GDL.

122 Se evaluará u ssema de grados de lberad, medae la fucó ODE 45, para ua orque de excacó armóco y dsos valores de la masa de pédulo. Para ua masa del pédulo m =.5 g.6 Comporameo de la Ierca.4 (rad) (s) x -4 Comporameo del Absorsor (rad) (s) Fgura 4.4. Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.5 g). Para ua masa del pédulo m =.335 g.3 Comporameo de la Ierca. (rad) (s) x -4 Comporameo del Absorsor.5 (rad) (s) Fgura 4.4. Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.335 g).

123 Para ua masa del pédulo m =.6 g 5 x -3 Comporameo de la Ierca (rad) (s) 4 x -5 Comporameo del Absorsor (rad) (s) Fgura Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.6 g). Para ua masa del pédulo m =.9 g x -3 Comporameo de la Ierca (rad) (s) 4 x -5 Comporameo del Absorsor (rad) (s) Fgura Osclacó de la erca equvalee y el absorsor pedular (m =.9 g).

124 3 De las 4 úlmas fguras podemos deducr que a mayor masa del pédulo, la amplud de osclacó de la erca equvalee será meor, lo msmo pasa co la osclacó del pédulo s la masa es mayor eoces el pédulo osclara meos. Co basae clardad se apreca la flueca de la masa de pédulo sobre la amplud de osclacó de la erca equvalee; s solo se realza ese aálss eoces se elgría ua gra masa ya que edría mayor efecvdad a la hora de reducr las vbracoes orsoales, pero como ya se mecoó las cosderacoes de balace esáco y dámco para el ormal fucoameo del moor so los que lma el parámero de masa del pédulo.

125 BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 4. RAO V. D., SOLVING VIBRATION ANALYSIS PROBLEMS USING MATLAB, º Edcó, New Age Ieraoal (P) Lmed, Publshers, New Delh, 7. MAGRAB, Edward B., AN ENGINEER'S GUIDE TO MATLAB, º Edcó, Edoral Pearso Prece Hall, New ersey, MARCHAND, Parc, GRAPHICS AND GUI S WITH MATLAB, 3º Edcó, Edoral Chapma & Hall / RC, Lodres, HAHN, Bra D., ESSENTIAL MATLAB FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS, 3º Edcó, Edoral Elsever, Amserdam, 7.

126 5 CONCLUSIONES Las vbracoes orsoales es u feómeo muy comú e máquas roavas y recprocaes, sedo esa úlma la que más parculardades rae, al es el caso del par de orsó e ese po de máquas que se defe como fucoes peródcas las cuales debe ser desarrolladas ulzado la seres de Fourer. Para mgar esas vbracoes orsoales exse dferees éccas, ua de las éccas que se ulza es el uso de absorsores de vbracoes. Para el modelo del ssema orsoal desarrollado e la presee ess se cosderó como fucoes del águlo del cgüeñal a la erca equvalee de cada uo de los cldros y a los compoees de la dagoal de la marz de rgdez, lo que facló poder represear de mejor maera el comporameo dámco del moor. El modelo mecáco - maemáco desarrollado para el orque de excacó rajo cosgo el desarrollar u aálss algo exeso del mecasmo bela - mavela, así como ambé eeder la flueca de la presó de los gases de la combusó y de las ercas e movmeo e la deermacó de las fuerzas y pares de orsó acuaes sobre el mecasmo. U absorsor pedular cerífugo usado para mgar los problemas de vbracó orsoal es u caso especal de absorsores de vbracó usados; a dfereca de los demás pos de absorsores ee como parámero más mporae su logud (dfereca de dámeros segú sea el dseño), la veaja de poder sozarse a dsas velocdades del moor y como recomedacó para la eleccó de la masa del pédulo, el que cumpla codcoes de balaceo esáco y dámco del ssema.

127 6 El dseño ópmo del absorsor de vbracoes se desarrolla hacedo uso de la meodología del dseño geeralzado segú la orma VDI, el cual codujo que la mejor solucó es la de u absorsor pedular po bflar, por ser ese el absorsor que cumple mejor co requermeos de espaco y ópma operacó. La flueca de aalzar la marz de momeos de erca co dos de sus compoees varables e fucó del águlo de gro del cgüeñal, hace que sea mposble hacer u aálss de modos de vbracó orsoal adecuado debdo a que los elemeos de la dagoal de la marz de erca se ve fluecados por la varacó de las ercas y de los orques de excacó. El modelo mecáco maemáco desarrollado ee la parculardad de eer como ecuacó que descrbe su movmeo a u ssema de ecuacoes dferecales paramércas, lo que colleva a desarrollar programas de egracó umérca más elaborados que los que se acosumbra usar cuado se ecesa resolver ssemas de ecuacoes dferecales co coefcees cosaes. La aplcacó del absorsor pedular al ssema orsoal redujo cosderablemee la amplud de vbracó e las ercas reducdas del º y º cldro, dode se redujo el 83 % de la vbracó, y e la volae de erca, dode se redujo el 77 % de la vbracó orsoal. La reduccó e la amplud de vbracó alcazada co la aplcacó del absorsor amorguado es del 43 % e las ercas reducdas al eje y del 35 % e la volae de erca, lo que se cosdera ua reduccó acepable, además que el comporameo e el empo de la volae amorguador muesra ampludes de

128 7 vbracó orsoal muy parecdas a las ampludes que ee la erca efecva de la volae. La aplcacó del absorsor pedular y del absorsor amorguado e su cojuo alcazaro reducr cosderablemee la amplud de vbracó, llegado a ua reduccó del 9 y 93 % para las ercas reducdas del prmer y segudo cldro respecvamee; y ua reduccó del 87 % e la amplud de vbracó de la volae de erca. La efecvdad e la reduccó de la amplud de vbracó orsoal por pare del absorsor pedular radca e que se adapa a cualquer codcó de velocdad de rabajo del moor; eso se apreca e la smulacó umérca desarrolla para y 3 rpm que se muesra e el capíulo 4. El comporameo e el empo del absorsor pedular luego de ser aplcado al ssema orsoal ee ua parculardad ya que muesra el feómeo bea debdo a la rasfereca de eergía ere los pédulos; ese comporameo de los absorsores o ee flueca sobre el correco fucoameo del moor por ser ampludes pequeñas las desarrolladas por los absorsores acoplados.

129 8 RECOMENDACIONES El modelo desarrollado para el par de orsó es exclusvamee para el caso de u moor de cldros e líea y de 4 empos por lo que se recomeda recurrr a la bblografía cada para aalzar oro po de moor. Se recomeda corasar el aálss eórco y smulacó abordado e la presee ess co curvas y daos expermeales a parr de medcoes co srumeos elecrócos adecuadamee calbrados a u moor de cldros e líea y 4 empos co las especfcacoes dealladas. Se recomeda el esudo de u ssema orsoal como el que se aalzó e la presee ess pero bajo regímees rasoros de velocdad, ya que os proporcoaría formacó valosa acerca del comporameo del ssema e codcoes de velocdades o cosaes. Se recomeda segur vesgado los dversos méodos de mgacó de vbracoes orsoales sobre odo el absorsor pedular por presear ceras veajas free a los demás méodos.

130 9 ANEXOS ANEXO A: ANÁLISIS DE VIBRACIÓN TORSIONAL EN MÁQUINAS PURAMENTE ROTATIVAS A.. VIBRACIONES TORSIONALES EN MÁQUINAS ROTATIVAS Las máquas roavas ales como urbas de vapor, compresores, geeradores puede desarrollar esfuerzos dámcos excesvos, s fucoa co velocdades cerca de sus frecuecas aurales de vbracó orsoal. Cuado el accoameo y las udades accoadas de ales máquas de roacó se ue a ravés de acoplameos flexbles, se produce ua frecueca aural relavamee baja del ssema, que puede esar dero del rago de velocdad de operacó de la salacó. E máquas roavas, como es el caso de las urbas, el accoameo del orque es más uforme, odo lo coraro a las máquas recprocaes, como u moor de combusó era del po desel, dode el orque que produce el moor es varable e fucó a la frecueca de roacó del ssema. S embargo e máquas roavas o recprocaes se puede producr esfuerzos excesvos a velocdades crícas debdo al desaleameo y/o desbalaceo, el dseño debe evar odas esas posbldades. U facor mporae e el dseño de máquas roavas, es la exseca de las cargas rasoras que acúa e u roor por ejemplo, el desbalace elécrco e u

131 geerador. Esas cargas rasoras puede ducr a esoes excesvas auque por u coro perodo, el cual a su vez puede llevar a u cclo coro de faga y a la falla premaura de alguas pares ales como acoplameos. E ales casos la deermacó de las esoes rasoras es ua cosderacó mporae e el dseño de ejes y acoplameos de las máquas roavas. A... MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL EE DE UNA MÁQUINA ROTATIVA El eje de ua máqua roava es el compoee dode se orga las vbracoes orsoales debdo a la preseca de masas roavas fjas al eje y cosderadas como rígdas, y debdo además a la elascdad orsoal del eje. Todas las masas rígdas ales como volaes de erca, pares eras y exeras de u acoplameo flexble, egraajes, ere oros, se puede cosderar como dscos rígdos cuyos momeos de erca oales se pueda deermar co relava facldad. A couacó e la fgura A. se muesra el modelado de u ssema orsoal co amorguameo. Fgura A.: Modelo de Ssema Torsoal co Amorguameo [3].

132 Cosderado al orque de frecueca de excacó cosae como: T T e cos (A.) Para obeer el ssema de ecuacoes o homogéeas que descrbe el movmeo del ssema, se plaea las ecuacoes de Lagrage de segudo po, cosderado que e el ssema exse elemeos que orga eergía céca, e el caso de la ercas, eergía poecal, e el caso de los resores de orsó, y eergía de dspacó, como es el caso del amorguameo, además se ee u orque exero al ssema que ambé flurá e el plaeameo. Plaeadas las ecuacoes de Lagrage de segudo po y agrupado érmos se puede expresar e forma marcal la ecuacó que rge el comporameo de ua máqua roava: )} cos( { } { } { } { T K D e (A.) Dode es la marz de erca del ssema: p N p p (A.3) D es la marz de amorguameo del ssema, dode odos los valores fuera de la marz dagoal so odos cero: C C B C C C C C C B C C C C B C C C B D N N (A.4)

133 K es la marz de rgdez del ssema que al gual que la marz de amorguameo ee ua forma badeada: N N N K K K K K K K K K K K K K K K (A.5) { } es el vecor de desplazameo agular: N } { (A.6) Y )} cos( { T e es el vecor de orques de excacó: ) cos( ) cos( ) cos( )} cos( { T T T T en e e e (A.7) A... RESPUESTA TRANSITORIA EN VIBRACIÓN TORSIONAL Las ecuacoes de movmeo para u ssema dscreo co vbracó forzada so: } { } { } { } { T K D (A.8) Dode T es el vecor de excacó que es ua fucó que depede del empo.

134 3 Usado el modo ormal de expasó de la respuesa, eemos: X q (A.9) Dode X es la marz modal de gro y q es el vecor de coordeadas geeralzadas. Reemplazado la ecuacó (A.9) e la ecuacó (A.8), mulplcado esa ecuacó que se obee por la raspuesa de la marz modal X y usado las propedades de orogoaldad de los modos de vbracó orsoal se obee: q d q q T (A.) Para =,,, N, dode x so las compoees de la marz modal de gro y es la erca geeralzada del -ésmo modo de vbracó, s dvdmos la úlma ecuacó ere se obee: q q q T (A.) De las ecuacoes (A.) y (A.) se deduce: N x (A.) es la rgdez geeralzada del -ésmo modo de vbracó, dode: N x (A.3) d es el amorguameo geeralzado del -ésmo modo de vbracó, dode: d N d x (A.4)

135 4 T es la fuerza geeralzada del -ésmo modo de vbracó, la cual se obee de: N T T x (A.5) Para obeer la respuesa rasora e vbracó orsoal de ua máqua roava es ecesaro hacer uso de fuerzas co caraceríscas mpulsvas, ormalmee so res pos de fuerzas las que so ulzadas y que se muesra a couacó. Fgura A.: Erada escaló o Fuerza cosae. Fgura A.3: Erada rampa o Fuerza proporcoal. ( ) Fgura A.4: Erada mpulso o Fuerza mpulsva.

136 5 La solucó de la ecuacó (A.) para ua fuerza cosae de la forma que se muesra e la fgura A. vee dada por: ) ( ) cos( se e e T q D D D (A.6) De la msma maera la solucó de la ecuacó (A.) para ua fuerza proporcoal de la forma que se muesra e la fgura A.3 vee dada por: ) ( ) ( ) cos( se e e q D D D (A.7) Por úlmo la solucó de la ecuacó (A.) para ua fuerza mpulso de la forma que se muesra e la fgura A.4 vee dada por: d se T se e e q D D D )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) cos( (A.8)

137 6 ANEXO B: DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL MATRICIAL DEL MOTOR DE COMBUSTIÓN INTERNA DE CILINDROS EN LINEA Y 4 TIEMPOS Para el modelado del ssema mosrado e la fgura B. es ecesaro presar aecó a la dsposcó del eje cgüeñal e el modelo co parámeros couos ya que a parr de ese se ee que reducr los momeos de erca al eje cgüeñal. Fgura B.: Reduccó del momeo erca del mecasmo bela - mavela al eje. Las relacoes cemácas del mecasmo se obee a parr de la fgura B. (a): Y B rcos Lcos (B.) Además: r r r se L se se se,, eoces: L L se se (B.)

138 7 La poscó del cero de masa de la bela queda defdo como: Y S X S r cos X G r se X cos G se (B.3) Al dervar las ecuacoes obedas obedremos las sguees expresoes: Y B r se L se (B.4) cos (B.5) cos Y S X S r se X se r cos X cos G G (B.6) Se puede deducr la sguee relacó rgoomérca: cos se (B.7) Para elmar el radcal de la úlma expresó es ecesaro hacer uso del eorema bomal de la forma: a b a a b 3 3! a b 3! a b (B.8) Para el caso e esudo se ee que: a ; b se ; La expresó B.7 edrá la forma sguee: se se se se (B.9) 8 6

139 8 La relacó ere el rado del cgüeñal r y la logud de la bela L es sempre meor a la udad, por lo que la úlma expresó bomal puede expresarse como: cos se se (B.) La expresó (B.5) se puede expresar ahora como: cos se (B.) La eergía céca del ssema mosrado e la fgura B. puede ser expresado como: T X Y m Y D b mb S S p B (B.) Dode: D: es el momeo de erca del corapeso de cgüeñal. b : es el momeo de erca de la bela. m b : es la masa de la bela. m p : es la masa del psó. Reemplazado las ecuacoes (B.), (B4), (B.5), (B.6) y (B.) e la expresó (B.) y hacedo uso de las sguees relacoes rgoomércas: cos se 4 cos cos3 3 cos se se se cos se cos cos3 6 cos5 (B.3) 5 cos se 5 3 se se4 8 3 se6

140 9 Obeemos la ueva expresó para la eergía céca del ssema. T (B.4) E las relacoes rgoomércas (B.3) se ee érmos armócos hasa de orde 6, a cosecueca de esos compoees armócos aparece los coefcees a y b que so los coefcees coseo y seo armóco respecvamee. De la expresó (B.4) se defe al érmo como el momeo de erca reducdo al eje cgüeñal que ee la sguee forma: 6 cos o se b a (B.5) Dode el érmo cosae o de esa úlma expresó vee dado por: L L r m X r m X r m p G b G b b D o (B.6) De acuerdo co la cofguracó que se muesra e la fgura. se puede defr las sguees ercas, cosderado además que. 6 6 cos cos o o se b a se b a (B.7)

141 Los coefcees a coseo armócos esá defdos medae las sguees expresoes: ; L m X r m a L r m X r m a L m X r m X m a L r m X r m a L r m X r m X r m X m a L r m X r m a p G b p G b p G b G b b p G b p G b G b G b b p G b (B.8) Los coefcees b seo armócos esá defdos medae las sguees expresoes: 64 ; 6 ; ; e r m b e r m b e r m b L r m X r m b e r m b e r m b b b b p G b b b (B.9) Al observar los coefcees b seo armócos se ve que la mayoría de esos oma el valor de cero debdo a que o se cosdera la dsaca e perpedcular al eje logudal de la bela descro e el modelo preseado e el capíulo, para ese modelo se ubcó el cero de gravedad e el eje logudal.

142 Las ecuacoes (B.7) presea u érmo cosae y ua sumaora que depede del águlo del cgüeñal y por ede del empo, lo que hace ecesaro expresar ecuacoes que derve de ésas, las cuales flurá e la marz de rgdez y e el vecor de orques acuaes sobre el ssema. La flueca de las ercas sobre el vecor de orques cosderado la velocdad del moor cosae vee dado por:,, 6 se b cos 6 a se b cos a (B.) De la msma maera, la flueca de las ercas del ssema sobre la marz de rgdez vee dado por:,, 6 cos b se 6 a cos b se a (B.) La ecuacó dferecal marcal que descrbe el comporameo del ssema vee dada por la expresó: ( ) q K ( ) q T ( ) (B.) Dode la marz de erca ( ) esá dada por: ( ) (B.3) 3

143 La marz de rgdez ) ( K esá dada por:,,,, ) ( T T K (B.4) E esa úlma marz de rgdez se ee la flueca de los pares de orsó, T y, T de cada cldro del moor que será desarrollado e el sguee capíulo de esa ess. El vecor de pares de orsó acuaes sobre el ssema vee dado por: ) ( ) ( ) ( T T T (B.5) Dode los pares de orsó e cada cldro vee dado por: ) ( ) ( ) ( ) (,,,, T T T T (B.6) Como se dcó, e las úlmas ecuacoes se puede ver la flueca del momeo de erca del ssema e el vecor de pares de orsó.

144 4 ANEXO C: DESARROLLO DEL MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DEL TORQUE DE EXCITACIÓN El orque de excacó e ua máqua recprocae como es el caso de u moor de combusó era esá fluecado prcpalmee por la presó del gas e el proceso de la combusó y las ercas que gra alrededor del eje cgüeñal. Para obeer el orque de excacó debdo a la presó de los gases de la combusó se realzara ua aálss cemáco al mecasmo bela mavela. Fgura C.: Esquema de u Ssema bela mavela. De la fgura C. se puede deducr que: q r se L se, recordado además que

145 5 Relacoado se r L se se se Además: s r cos ; u L cos La dsaca desde A hasa B esá dada por: Y B s u Y r cos Lcos (C.) B Es mporae eer ua relacó ere el águlo de cgüeñal y el águlo de bela cos se se (C.) La ecuacó (C.) quedará de la sguee maera: Y B r cos L se (C.3) Para obeer la velocdad y aceleracó del puo B es ecesaro dferecar la expresó (C.) hasa dos veces. V B se Y B r se (C.4) se a B 4 r L r se Y cos B r cos (C.5) L se Co la faldad de elmar las expresoes radcales de las ecuacoes (C.4) y (C.5) que so muy amplas y dfícles de aalzar ulzaremos el Teorema Bomal dode: cos se se (C.6) Se cosdera además la sguee relacó rgoomérca: cos se Redefedo las expresoes para el desplazameo, velocdad y aceleracó respecvamee se ee:

146 6 Y B L r r cos cos 4 4 (C.7) V B r se se (C.8) a B r cos cos (C.9) Como se apreca e la fgura C. o se cosdera au la masa del corapeso del cgüeñal debdo a que como se mecoó líeas arrba se hará u prmer aálss del ssema cosderado úcamee la flueca de la presó de los gases de la combusó e el mecasmo. La fuerza orgada por la presó de los gases de la combusó es fucó del águlo de cgüeñal y esá defda por la ermodámca del moor, por lo que se rabaja co la curva de presó de los gases de combusó caracerísca; se cosdera egava por la oreacó elegda para el ssema y esá defda por: F g g P A (C.) p Presó e el cldro (Pa) Águlo del Cgüeñal (º) Fgura C.: Curva de presó de los gases de combusó caracerísco de u moor de combusó era de 4 empos.

147 7 A couacó se descompoe el mecasmo bela mavela para realzar u aálss dámco. r Fgura C.: Dagramas de cuerpo lbre de el mecasmo bela mavela. Fuerzas orgadas por la presó de los gases de la combusó.

148 8 El orque debdo al gas de la fgura C. se orga a cosecueca de la fuerza del gas que acúa e u brazo de momeo co respeco al cero del cgüeñal e el puo A. Ese brazo de momeo varía desde cero hasa u valor máxmo segú gre el cgüeñal. Como se observa e la fgura C. el ssema de fuerzas cocurrees e el puo B esá dada por: F F g4 g 34 F g F a ˆj g ˆ F g a ˆj (C.) Adcoalmee a las fuerzas cocurrees e el puo B el dagrama de cuerpo lbre mosrado e la fgura C. os da las sguees relacoes: F g 4 F g4 ; F g 43 F g 34 F g 3 F g 43 ; F g 3 F g 3 (C.) F g 3 F g 34 F g ˆ F g a ˆj El orque morz T g e el cgüeñal geerado por la fuerza del gas puede deermarse medae el produco vecoral: T r F (C.3) g g 3 El orque de reaccó T g que correspode a la fuerza del gas que ea osclar e el plao de la bacada se deoa por: Tg Fg YB ˆ 4 (C.4) S relacoamos las expresoes (C.3) y (C.4), observado además la fgura C. os daremos cuea que el orque morz T es el egavo del orque de reaccó g T. g

149 9 T T T F Y ˆ (C.5) g g g g 4 B Además: Fg4 Fg 4, de modo que: T g Fg YB ˆ (C.6) 4 La expresó (C.6) coee al desplazameo del puo B para el cual ya se deermó su expresó correspodee (C.7), el orque morz queda deoado de la sguee maera: Tg Fg a L r r cos cos ˆ 4 4 (C.7) E la ecuacó (C.7) se ee al águlo de bela, s observamos la fgura C. deducremos que: q r se r se a a (C.8) u Lcos L se Medae la expresó bomal (B.9) podemos deducr que: se se (C.9) La expresó (C.8) queda expresada como: se se a (C.) Reemplazado (C.) e la ecuacó (C.7) se obee: Tg Fg se se L r r cos cos ˆ 4 4 (C.)

150 3 Aplcado ua vez más el eorema bomal (B.9) reducmos la ecuacó (C.) a la sguee expresó: T T g g F g P g r se cos ˆ A r se cos p ˆ (C.) Las dos úlmas ecuacoes expresa la flueca de la presó de los gases de la combusó sobre el mecasmo bela mavela de u solo cldro, pero uesro moor es bclídrco por lo que se edrá u par de orsó de gas combado. El orque debdo a los gases combado de los dos cldros es la suma de las corbucoes de cada uo de los cldros co cada fase desplazada e su águlo de carrera de poeca. Los águlos de carrera de poeca so los águlos e los cuales se ee la combusó e el cldro y esá defdos por el águlo de fase del cgüeñal y el orde de eceddo del moor. El águlo de carrera de poeca para u moor de 4 empos esá dado por. º 7 (C.3) Dode es el úmero de cldros del moor. El orque debdo a los gases combado esá dado por: T T g g F g P r g se cos A r se cos p ˆ ˆ (C.4)

151 3 Los valores de será 7º y 36º respecvamee para el prmer y segudo cldro del moor. El orque de excacó oal esá fluecado ambé por las ercas que esá e el ssema para el cual se desarrollará el sguee aálss. r Fgura C.3: Dagramas de cuerpo lbre de el mecasmo bela mavela. Fuerzas orgadas por las ercas del mecasmo e movmeo.

152 3 El vecor poscó del puo C esá dado por: R c r se ˆ r cos ˆj (C.5) La aceleracó de ese puo C es la sguee expresó: a c r se ˆ r cos ˆj (C.6) La fuerza de erca oal e el mecasmo es la suma de la fuerza cerífuga e el puo C y la fuerza de erca e el puo B. F m a m a (C.7) c c B B Las compoees de esa fuerza de erca queda expresadas como: F F y x m c m c r cos m Y r se B B (C.8) S reemplazamos la expresó (C.9) para Y B las dos úlmas ecuacoes queda expresadas como: F F y x m c m c r cosm r cos cos r se B (C.9) El erés de realzar u aálss dámco del mecasmo bela mavela recae específcamee e saber cuál es el orque debdo a las ercas, por lo que s observamos la fgura C.3 podremos deducr que: T F Y ˆ F Y ˆ (C.3) 4 B 4 B Reemplazado co los valores que se observa e la fgura C.3 y la expresó (C.7) de YB podemos reescrbr la expresó (C.9) como:

153 33 T mbyb a L r r cos cos ˆ 4 4 (C.3) Al reemplazar co las expresoes para Y B y edrá ua ueva expresó basae larga: a aerormee deermadas se T m r cos cos B L r r cos cos ˆ 4 4 se se... (C.3) Oparemos ua vez más por usar el eorema bomal para reducr érmos cuadrácos que coega a la relacó para smplfcar la ecuacó: 3 T mbr se se se se3 ˆ (C.33) Usado alguas relacoes rgoomércas como: se cos se3 se se cos se Se obee ua ueva expresó para el orque debdo a las ercas: 3 T mbr se se se3 ˆ (C.34) Es mporae mecoar que esa úlma expresó para el orque debdo a las ercas presea érmos armócos, sedo el érmo co el segudo armóco el más domae e la expresó por o esar afecada por la relacó que es sempre meor a la udad.

154 34 El orque debdo a las ercas deermado es del aálss de u solo cldro, de la msma maera que para el orque debdo a los gases, el orque debdo a las ercas combado para ambos cldros se obedrá de la corbucó de cada uo de los cldros afecada además por el águlo de fase del cgüeñal. 3 T mbr se se se3 ˆ (C.35) Los águlos de fase del cgüeñal so los águlos a los cuales esá dspuesos los codos de bela e u eje cgüeñal, que para u moor de 4 empos esá dado por la sguee expresó, dode es el úmero de cldros del moor. º 7 (C.36) Para obeer el orque de excacó oal debdo a la presó de los gases y las ercas e movmeo será ecesaro sumar las ecuacoes (C.) y (C.3), que luego de agrupar érmos edremos como expresó: T F g m Y B B se se... L r r cos cos ˆ 4 4 (C.37) Para reducr esa ecuacó recurrremos al eorema bomal: T F r m Y se cos ˆ (C.38) g B B La ulma ecuacó obeda expresa el orque de excacó oal que acúa e el mecasmo bela mavela de u solo cldro. Para u moor bclídrco el orque de excacó oal combado para ambos cldros vee dado por:

155 T P g A r m r cos cos se p cos B ˆ (C.39) Es mporae mecoar que para poder relacoar las corbucoes de los pares de orsó combados de la presó de los gases de la combusó y las ercas e movmeo se uvo que ver ua relacó ere el águlo de carrera de poeca y el águlo de fase, que para ese caso oma el msmo valor debdo a que el orde de eceddo del moor que defe el águlo de carrera de poeca cocde co el águlo de fase del cgüeñal. Al grafcar la expresó (C.39) e fucó del águlo de cgüeñal se ee ua fucó peródca como la que se muesra e la fgura C.4 la cual puede ser desarrollada co mucha aproxmacó medae las seres de Fourer. 5 Desarrollo e Seres de Fourer del Torque de Excacó Fucó Aproxmacó Torque (N-m) Águlo de Cgüeñal (º) Fgura C.4: Torque de excacó como fucó peródca para ua velocdad del moor de rpm.

156 36 La expresó maemáca e Seres de Fourer que descrbe la fucó peródca mosrada es eoces: T (C.4) A A cos B seˆ para, Al dervar la expresó (C.4) respeco al águlo se edrá las sguees expresoes: T A se B cosˆ para,, (C.4) La ecuacó (C.4) expresa como el par de orsó fluye e la rgdez del ssema, al y como se expresó e el acápe aeror dode se desarrolló la marz de rgdez del eje cgüeñal de dos cldros.

157 37 ANEXO D: MÉTODO MODAL PARA EL CÁLCULO DE LAS FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN TORSIONAL A couacó se muesra el ssema de ecuacoes que descrbe el movmeo de uesro ssema orsoal: Dode: I = Marz Dagoal de ercas polares. I { } D{ } K T ( ) D = Marz Dagoal de amorguameo. K = Marz Dagoal de rgdez. T () = Vecor de orques exeros. (D.) El vecor de desplazameo agular puede ambé ser expresado e fucó de la marz modal de vecores propos [P] y el vecor de coordeadas geeralzadas q, de la sguee maera: q [ P] (D.) La marz modal de vecores propos [P] ee la forma: [ P] [{ ( x)}, { ( x)},,{ r ( x)}] (D.3) Susuyedo la ecuacó.63 e la ecuacó (D.), se obee: DI { q } DD{ q } DK q T (D.4)

158 38 Dode: T DI [ P] [ I][ P] = Marz Modal Dagoal de erca. T DD [ P] [ D][ P] T DK [ P] [ K][ P] = Marz Modal de amorguameo rasversal acoplada. = Marz Modal Dagoal de rgdez. T = Vecor Modal de orques exeros. Las frecuecas y modos amorguados se halla cosderado el vecor de orques exeros gual a cero. DI { q } DD{ q } DK q (D.5) Para lealzar la ecuacó (D.5) específcamee para desaparecer el érmo { q }, hacemos el sguee cambo de varable. { q } { v} (D.6) Combado las ecuacoes (D.6) y (D.5), obeemos: q v [ DI ] [ DK ] [ ] q [ DI ] [ DD] v (D.7) Dode [] es la marz dedad, y asumedo la solucó al ssema de ecuacoes de la forma: s { q} { } e (D.8)

159 39 Dode los auovecores o modos de vbracó orsoal { } y los auovalores o frecuecas aurales s so complejos. s (D.9) { q} s { } e s (D.) { v} s { } e Dode { } s { } Por lo ao la ecuacó (D.7) queda rasformada de la forma: [ ] s (D.) [ DI] [ DK] [ DI] [ DD] La ecuacó (D.) puede resolverse ulzado la lbrería de u programa de cálculo umérco compuacoal como el MATLAB.

160 4 ANEXO E: DESARROLLO DEL MODELO MECÁNICO - MATEMÁTICO DE UN ABSORSOR DE VIBRACIONES TORSIONALES VISCOSO E u ssema roavo co masas recprocaes al como el de u moor de combusó era, las frecuecas perurbadoras para osclacoes orsoales, so proporcoales a la velocdad de roacó del moor. S embargo es muy comú que e esos ssemas se ega más de ua frecueca perurbadora domae; es aquí dode el absorsor pedular cerífugo ee la desveaja de que debe ulzarse varos pédulos sozados a las frecuecas perurbadoras domaes. E corase co el pédulo cerífugo, el absorsor orsoal vscoso o se ee que sozar a gua frecueca perurbadora ya que es efecva sobre u amplo rago de operacó. Cosa de ua erca e roacoal lbre, dero de ua cavdad clídrca ya sea ubcada e la volae del eje cgüeñal e la polea ermal al oro lado del eje cgüeñal que coduce la correa del velado, al como se muesra e la sguee fgura E.. Fgura E.. Absorsor Torsoal Vscoso de Houde [].

161 4 Para descrbr el comporameo del absorsor orsoal vscoso se puede ulzar u ssema de dos grados de lberad, cosderado al cgüeñal como fjo e u exremo y coecado al absorsor e el oro exremo. La excacó que se le da al absorsor vscoso puede cosderarse e prmera saca como u orque armóco auque e moores de combusó era es más apropado cosderar que el orque de excacó es peródco. El Torque orgado dero del absorsor vscoso resula de la vscosdad del fludo dero de la cavdad clídrca, la cual se cosdera como proporcoal a la velocdad de roacó relava ere la polea o la volae y la erca co roacó lbre dero de la cavdad clídrca. Aplcado cualquera de los méodos para la deermacó de las ecuacoes de movmeo de u ssema de más de u grado de lberad, co excacó armóca, llegaremos a: K C T e C d o (E.) Se puede dar solucoes de la forma: e o e o (E.) Dode o y o so ampludes complejas de cada grado de lberad defdo. Susuyedo las ecuacoes (E.) e (E.), eemos:

162 4 o d o d o o o C C M C C K (E.3) Elmado o ere las dos ecuacoes, la expresó para la amplud o de la polea resula: K C K C M d d d o o (E.4) Hacedo: K y d, el amorguameo críco vee dado por: c c C C C C (E.5) La ecuacó de la amplud es eoces: 4 4 o o M K (E.6) Esa úlma expresó os dca que es fucó de parámeros y,. Al maeer la relacó cosae y grafcar o o M K e fucó de, la curva para cualquer facor de amorguameo será smlar a la curva que se obee al aalzar u ssema co u solo grado de lberad co u solo pco.

163 43 Cuado eemos u ssema o amorguado co frecueca de resoaca K y la amplud será fa a esa frecueca. S, la masa del dspador y la rueda se moverá juas como ua solo masa y ua vez se ee u ssema co K u solo grado de lberad pero co frecueca aural. d Exse u facor de amorguameo ópmo o para el cual la amplud pco es u mímo así como se muesra e la fgura E.. Fgura E.. Respuesa del Absorsor Torsoal Vscoso de Houde [3]. Igualado las ecuacoes de K o, para M o y, la amplud pco para el amorguameo ópmo se produce a ua frecueca gual a: (E.7)

164 44 Se puede observar que e la fgura E. odas las curvas pasa por u úco puo P, s mporar los valores umércos de. La curva de amorguameo ópma debe pasar por P co pedee cero, susuyedo la ecuacó (E.7) e la dervada de la ecuacó (E.6) gualada a cero se obedrá el resulado de Ko M o que puede presearse como u gráfco de los valores pco e fucó de para cualquer valor de la relacó, como se muesra e la fgura E.3. o (E.8) Fgura E.3. Respuesa del Absorsor Torsoal Vscoso de Houde e fucó del facor de amorguameo co cosae [3].

165 45 ANEXO F: COEFICIENTES ARMÓNICOS DE FOURIER (CAF) F.. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA RPM DE VELOCIDAD Los coefcees armócos para los parámeros co comporameo peródco se hallaro medae el programa vb3_3 mplemeada e u scrp del MATLAB F... COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO DEL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS A_ = A_ = B_ = *.e-3 A_ = B_ = *.e-3 A_3 = B_3 = *.e-3 A_4 = B_4 = *.e-3 A_5 = B_5 = *.e-3 A_6 = B_6 = *.e-3 F... COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO DEL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS A_ = A_ = B_ = *.e-3 A_ = B_ = *.e-3 A_3 = B_3 = *.e-3 A_4 = B_4 = *.e-3 A_5 = B_5 = *.e-3 A_6 = B_6 = *.e-3

166 46 F..3. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS C_ = C_ = C_ = C_3 = C_4 = C_5 = C_6 = C_7 = C_8 = C_9 = C_ = C_ = C_ = D_ = *.e+ D_ = *.e+ D_3 = *.e+ D_4 = *.e+ D_5 = *.e+ D_6 = *.e+ D_7 = *.e+ D_8 = *.e+ D_9 = *.e+ D_ = *.e+ D_ = *.e+ D_ = *.e+ F..4. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS C_ = C_ = D_ = *.e+ C_ = D_ = *.e+ C_3 = D_3 = *.e+ C_4 = D_4 = *.e+ C_5 = D_5 = *.e+ C_6 = D_6 = *.e+ C_7 = D_7 = *.e+ C_8 = D_8 = *.e+ C_9 = D_9 = *.e+ C_ = D_ = *.e+ C_ = D_ = *.e+ C_ = D_ = *.e+

167 47 F..5. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_3 =.46558*.e+6 F_3 = *.e+ E_4 = *.e+6 F_4 = *.e+ E_5 = *.e+6 F_5 = *.e+ E_6 = *.e+6 F_6 = *.e+ E_7 = *.e+6 F_7 = *.e+ E_8 = *.e+6 F_8 = *.e+ E_9 = *.e+6 F_9 = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_3 = *.e+6 F_3 = *.e+ E_4 = *.e+6 F_4 = *.e+ E_5 =.97466*.e+6 F_5 = *.e+ E_6 = *.e+6 F_6 = *.e+ E_7 = *.e+6 F_7 = *.e+ E_8 = *.e+6 F_8 = *.e+ E_9 = *.e+6 F_9 = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_3 = *.e+6 F_3 = *.e+ E_4 = *.e+6 F_4 = *.e+

168 48 F..6. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS E_ = *.e+6 E_ =.98589*.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_3 = *.e+6 F_3 = *.e+ E_4 = *.e+6 F_4 = *.e+ E_5 = *.e+6 F_5 = *.e+ E_6 = *.e+6 F_6 = *.e+ E_7 = *.e+6 F_7 = *.e+ E_8 = *.e+6 F_8 = *.e+ E_9 = *.e+6 F_9 = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_3 = *.e+6 F_3 = *.e+ E_4 = *.e+6 F_4 = *.e+ E_5 = *.e+6 F_5 = *.e+ E_6 = *.e+6 F_6 = *.e+ E_7 = *.e+6 F_7 = *.e+ E_8 = *.e+6 F_8 = *.e+ E_9 = *.e+6 F_9 = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_ = *.e+6 F_ = *.e+ E_3 = *.e+6 F_3 = *.e+ E_4 = *.e+6 F_4 = *.e+

169 49 F.. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA RPM DE VELOCIDAD Los coefcees armócos para los parámeros co comporameo peródco se hallaro medae el programa vb3_3 mplemeada e u scrp del MATLAB F... COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO DEL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS A_ = A_ = B_ = *.e-3 A_ = B_ = *.e-3 A_3 = B_3 = *.e-3 A_4 = B_4 = *.e-3 A_5 = B_5 = *.e-3 A_6 = B_6 = *.e-3 F... COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO DEL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS A_ = A_ = B_ = *.e-3 A_ = B_ = *.e-3 A_3 = B_3 = *.e-3 A_4 = B_4 = *.e-3 A_5 = B_5 = *.e-3 A_6 = B_6 = *.e-3

170 5 F..3. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS C_ = C_ = C_ = C_3 = C_4 = C_5 = C_6 = C_7 = C_8 = C_9 = C_ = C_ = C_ = D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 D_3 = *.e+3 D_4 = *.e+3 D_5 = *.e+3 D_6 = *.e+3 D_7 = *.e+3 D_8 = *.e+3 D_9 = *.e+3 D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 F..4. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS C_ = C_ = D_ = *.e+3 C_ = D_ = *.e+3 C_3 = D_3 = *.e+3 C_4 = D_4 = *.e+3 C_5 = D_5 = *.e+3 C_6 = D_6 = *.e+3 C_7 = D_7 = *.e+3 C_8 = D_8 = *.e+3 C_9 = D_9 = *.e+3 C_ = D_ = *.e+3 C_ = D_ = *.e+3 C_ = D_ = *.e+3

171 5 F..5. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 = *.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 = *.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 = *.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 = *.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3

172 5 F..6. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 = *.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 = *.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 = *.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 = *.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3

173 53 F.3. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA 3 RPM DE VELOCIDAD Los coefcees armócos para los parámeros co comporameo peródco se hallaro medae el programa vb3_3 mplemeada e u scrp del MATLAB F.3.. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO DEL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS A_ = A_ = B_ = *.e-3 A_ = B_ = *.e-3 A_3 = B_3 = *.e-3 A_4 = B_4 = *.e-3 A_5 = B_5 = *.e-3 A_6 = B_6 = *.e-3 F.3.. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO DEL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL MOMENTO DE INERCIA REDUCIDO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS A_ = A_ = B_ = *.e-3 A_ = B_ = *.e-3 A_3 = B_3 = *.e-3 A_4 = B_4 = *.e-3 A_5 = B_5 = *.e-3 A_6 = B_6 = *.e-3

174 54 F.3.3. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS C_ = *.e+ C_ = *.e+ C_ = *.e+ C_3 = *.e+ C_4 = *.e+ C_5 = *.e+ C_6 = *.e+ C_7 = *.e+ C_8 = *.e+ C_9 = *.e+ C_ = *.e+ C_ = *.e+ C_ = *.e+ D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 D_3 = *.e+3 D_4 = *.e+3 D_5 = *.e+3 D_6 = *.e+3 D_7 = *.e+3 D_8 = *.e+3 D_9 = *.e+3 D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 F.3.4. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL TORQUE EN EL º CILINDRO COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS C_ = *.e+ C_ = *.e+ C_ = *.e+ C_3 = *.e+ C_4 = *.e+ C_5 = *.e+ C_6 = *.e+ C_7 = *.e+ C_8 = *.e+ C_9 = *.e+ C_ = *.e+ C_ = *.e+ C_ = *.e+ D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 D_3 = *.e+3 D_4 = *.e+3 D_5 = *.e+3 D_6 = *.e+3 D_7 = *.e+3 D_8 = *.e+3 D_9 = *.e+3 D_ = *.e+3 D_ = *.e+3 D_ = *.e+3

175 55 F.3.5. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 = *.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 =.68493*.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 = *.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 = *.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3

176 56 F.3.6. COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COEFICIENTES ARMÓNICOS PARA EL ELEMENTO K DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TORSIONAL COSENO ARMÓNICOS SENO ARMÓNICOS E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ =.35843*.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 =.83675*.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 = *.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 E_5 = *.e+6 E_6 = *.e+6 E_7 = *.e+6 E_8 = *.e+6 E_9 = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_ = *.e+6 E_3 = *.e+6 E_4 = *.e+6 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3 F_5 = *.e+3 F_6 = *.e+3 F_7 = *.e+3 F_8 = *.e+3 F_9 = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_ = *.e+3 F_3 = *.e+3 F_4 = *.e+3

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