REFUERZO TERCER PERÍODO LÍMITES DE FUNCIONES

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1 REFUERZO TERCER PERÍODO LÍMITES DE FUNCIONES INTRODUCCIÓN Cálculo infinitesimal Designación conjunta para el cálculo diferencial, integral y de variaciones; en principio fue el calculo ingenuo con magnitudes infinitamente pequeñas; en la actualidad es el cálculo mediante límites El concepto de límite marcó una gran diferencia entre las matemáticas fundamentales y el cálculo. El nacimiento del cálculo infinitesimal permitió el desarrollo de ideas importantes en matemáticas y física. Conocer la velocidad y la aceleración de un objeto a partir de la posición o conocer la posición a partir de la velocidad y la velocidad a partir de la aceleración, involucra procesos propios del cálculo. Los límites son importantes para estudiar el comportamiento de datos que se an modelado mediante ecuaciones matemáticas, como crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radiactivos, inversiones de capital y velocidades límites alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada. Cuando, por ejemplo, un paracaidista de masa (m), cae por la acción de la gravedad (g), la resistencia del aire logra disminuir la velocidad de caída. La velocidad del paracaidista en función del tiempo, está dada por la ecuación: mg V t) e k k m t (, en donde k es una constante positiva. A medida que transcurre el tiempo, el término k t m e se ace cada vez más pequeño, de tal manera que la velocidad mg límite es V( ) (ver pie de página). Esta velocidad es k aproimadamente 0 km/

2 PRÁCTICA PREVIA DE ÁLGEBRA A. Utilice un método apropiado para factorizar cada una de las epresiones: + y + z y + 8z + y + 7z z + 8 yz X ( y) + y ( y) + y y ( + y) + y( + y) 6 8y + 8y 6 Z( ) ( ) + y( ) y + z + 6yz z y + 8yz y y y z z Z + z z z X + 7 6y 9y y y z 6y 8 y ( ) ( + ) 8 ( + y + y ) z B. Simplifique cada una de las epresiones dadas y + 6 y y y y y 6 (6 y 9 ) ( ) y 0 7 6

3 TEOREMA DE LA UNICIDAD. Hallar el límite, en caso de que eista. a) Hallar f ( ), si, si f ( ) 6 7, si b) Hallar f ( ), si c) Hallar f ( ), si, si f ( ) 7, si, si f ( ) (6 ), si. Si. Si a, si f ( ) Calcula el valor de a para que f ( ), eista., si a, f ( ) 7 si Calcula el valor de a para que f ( ) eista., si. Si a, si f ( ) Calcula el valor de a para que f ( ), si eista. PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN Evaluar los siguientes límites: 6.. Cos ( ) Sen( a) ( ) 9 9. Sen Cos 0.

4 FORMA INDETERMINADA 0 0 :. Calcula los siguientes límites, einando las indeterminaciones que se presenten a) d) g) j) m) p) 6 8 u 8u u0 u 6u v v r 8 r 8 b) e) ) v k) n) r q) m m t 9 t t 6 n n 0 n ( ) ( ) m c. t f) i) l) o) r) t 6 t t Dada la función f ( ), allar f ( ) 0 f ( ). Dada f ( ) allar f ( ) 0 f ( ) cuando.. Resuelve los siguientes límites: a) d) g) ( ) ( ) b) 0 ( ) 0 e) ) v v v c) ( ) f) i) ( ) 0 ( )( ). Resuelve los siguientes límites: f ( ) f ( ) (, demuestre que b c 0 a) Si f ) b c d b) Si f ( ) f ( ) f ( ), demuestre que 0 c) Si f ( ), demuestre que f ( ) f ( ) 0

5 LA DIVISIÓN SINTÉTICA EN EL CÁLCULO DE LÍMITES Utilice la división sintética para factorizar, y así poder einar las indeterminaciones en los siguientes límites: / a a a a a a a a 6 a a 6 LÍMITES INFINITOS Evaluar los siguientes límites por simple intuición ) (. 8. ( ) LÍMITES AL INFINITO: a) b) c) d) 6 e) 6 f) g) ) i) j) u t t t k) l) u u u t t t z z m) n) z z z z

6 6 o) q) s) p) 6 r) 6 t) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Evaluar los siguientes límites, aplicando las fórmulas anteriores, cuando sea necesario, y considerando algunas identidades trigonométricas cuando se requiera: Sen 0. Sen 0. Sen 0 6. Sen 0 8. Sen 0 0 Sen Sen Cos 0 Sen 0 Tan 0 Cos 0 Cos 0 Cos 0 6 Cos 0 0 Cos Sen 0 Sen 0 0 Sen Sen 0 Sen9 0 Sen7 0 Sen 0 Cos 0 Sen tan 0 Sen Cos 0 6 Cos 0 Cos 0 7 7Cos 0 Sen 0

7 Sen Cos Sen. 0 Sen 0 Sen. SecCsc 0 Cos 0 Cot CscCot 0 0 Cos( ) Cos 8. Sen( ) 0 0 Sen Cos Cosa (sugerencia u = ) 0. a a Sen Cos (sugerencia u = ). 0 Sen Sen( ) Sen. 0 Cos (sugerencia u = a) (sugerencia u = ) Respuestas Práctica previa A. ( + y + z) ( + )( + ) ( + y + 9z + y) ( + 6)( ) z(9z + 6 y) ( )( ) ( y)( + y ) ( + 8y)( y) ( + y)( + y) 6 ( y)( +y ) 6 ( )(z ) 7 ( + )( + ) 7 ( )( + y) 8 ( + )( + ) 8 ( + y)( + z) 9 ( + )( ) 9 (z y)( + y) 0 ( + )( + ) 0 ( )(8y z)) ( ) ( ) ( + ) (Z + 7) ( ) ( + 6z) ( + )( + 9) y ( + )( + ) ( y)( + y) 6 ( )(9 + + ) 6 ( 9y)( + 9y) 7 7 (0 z y)(0 z + y) 8 ( + y)( y) ( )( ) 9 ( )( ) 0 ( + ) ( ) 0 ( + 0) ( )( + )( + )( + ) ( + y + z)( + y z) ( + )( )( + )

8 8 B ( + ) 9 7 ( )( ) 6 7 y y ( )( ) y y y( y) 9 ( )( ) 8 0 Teorema de la unicidad ) a) N.E. b) N.E. c) 0 ) a = /9 ) a = ) a = 8/ Principio de sustitución ) /9 ) ) ) ) N.E. 6) 0 7) 0 8) Cosa 9) 0) 7 Indeterminaciones 0/0 ) a) / b) 6 c) 8 d) 8/ e) 6 f) 6 g) / ) / i) 0 j) / k) 0 l) / m) / n) 0 o) / p) / q) 0 r) /7 ) ) ) a) / b) / c) / d) 0 e) 0 f) / g) ) / i) / La vivisión sintética em El cálculo de límites ) ) 0/7 ) ) ) 6) 8 7) 0 8) 9 ites infinitos ) ) ) ) ) 6) 7) 8) ites al infinito a) / b) / c) 0 d) 0 e) f) 0 g) ) i) j) / k) l) / m) i/ n) i o) ½ p) 0 q) 0 r) 0 s) t) ites trigonométricos ) ) / ) / ) 0 ) 6) 7) / 8) / 9) / 0) ) / ) 7/ ) ) 00/ ) 8 6) 7) 8) 9) 0) / ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 6) 0 7) / 8) 0 9) 0 0) 0 ) 0 ) / ) ) ) / 6) / 7) Sen 8) 9) 0 0) Sena ) ) 0 ) Cos )