Guía Didáctica II. bachillerato 2. Matemáticas. Autores Rodolfo Esteve Maribel Deusa Pascual Montesinos Antonio J. Ramírez Ernesto Veres

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3 Guía Didáctica II bachillerato Matemáticas Autores Rodolfo Esteve Maribel Deusa Pascual Montesinos Antonio J. Ramírez Ernesto Veres

4 Matemáticas bachillerato Guía Didáctica II ES PROPIEDAD Rodolfo Esteve Maribel Deusa Pascual Montesinos Antonio J. Ramírez Ernesto Veres Editorial ECIR, S.A. ISBN: Diseño de interior: Diseño gráfico ECIR Edición: Editorial ECIR Impresión: Industrias gráficas Ecir (IGE) Ilustraciones: Diseño Gráfico ECIR Diseño e ilustración cubierta:valverde e Iborra / Diseño gráfico ECIR Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo ecepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Villa de Madrid, P. I. Fuente del Jarro - PATERNA (Valencia) Tels: 9-9 Móvil: Fa: 9 ecir@ecir.com -

5 9 SISTEMA DE ECUACIONES: PROBLEMAS LINEALES... MATRICES... DETERMINANTES... EL TEOREMA DE ROUCHÉFROBENIUS Y LA REGLA DE CRAMER... VECTORES EN EL ESPACIO... RECTAS Y PLANOS... PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO... LÍMITE DE UNA FUNCIÓN... CÁLCULO DE LÍMITES. CONTINUIDAD... DERIVADA DE UNA FUNCIÓN... TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES... APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES... CÁLCULO DE PRIMITIVAS... LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES... Índice

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7 Tema SISTEMAS DE ECUACIONES: PROBLEMAS LINEALES. a) ; y ; y ; z c) No tiene solución. a) Son equivalentes porque la primera ecuación es igual y la segunda está multiplicada por. Son equivalentes porque las dos primeras ecuaciones y la tercera es la suma de las tres ecuaciones del primer sistema.. a) ; y ; z No tiene solución c) ; y ; z. a) ; y ; z ; y ; z c) No tiene solución. a) ; y + λ; z λ λ; y + λ; z λ c) No tiene solución. a) y z λ, y λ, z λ c) y z. a) λ; y λ; z λ λ; y λ; z λ c) λ; y λ; z λ. a) Si k, compatible determinado con solución, y Si k, incompatibles Compatible determinado para cualquier valor de m, con solución, y m, z m c) Si a, compatible indeterminado con solución y z λ Si a, compatible indeterminado con solución λ, y, z λ Si a y a, compatible determinado con solución y z 9. a) y z y + z c) y ; z d) + y + z. No son equivalentes, pues el de la izquierda es incompatible y el de la derecha es compatible determinado con solución, y, z. Si. a) Sistema compatible determinado de solución, y, z Sistema compatible determinado de solución, y, z. a) Sistema incompatible Sistema homogéneo compatible indeterminado de solución λ, y λ, z λ. a) Sistema homogéneo compatible determinado, solución trivial (,, ) Sistema compatible determinado de solución, y. a) Sistema homogéneo compatible determinado de solución, y, z Sistema compatible determinado de solución, y, z, t. a) Sistema compatible determinado de solución si a b c ( d ( c d) ( d c)( d a) y ( a c)( b a) ( b c)( b a) ( b d)( a d) z ( b c)( a c) Si no es a b c incompatible Sistema compatible determinado de solución, y, z 9, t. a) Sistema compatible determinado de solución, y, z, t Sistema incompatible. No tiene solución.. a) Sistema compatible indeterminado α, y 9α, z 9α, t α Sistema compatible indeterminado α + β, y α, z α, t, s β Solucionario

8 α + α 9. a), y, z α α+ + α, y, z, t α. a) α, y α ; Incompatible. a), y, z, t z t α, y α. a) t y t ; t ; c) t. a) Si a es compatible determinado de solución b a + b b, y, z a a a Si a y b es compatible indeterminado de solución α, y + α, z α Si a y b es incompatible Si a es compatible indeterminado de solución α β, y α, z β Si a es incompatible Si a y a es compatible determinado y z a +. a) Si a, incompatible Si a, compatible determinado con solución a a a a a, y, z a ( a ) ( a ) Si a, compatible indeterminado con solución y z λ Si a, compatible determinado con solución y z. a) Si a compatible determinado de solución + a; y ; z Si a compatible indeterminado de solución λ μ; y λ; z μ Si a sistema homogéneo compatible determinado de solución y z Si a sistema homogéneo compatible indeterminado de solución ; y ; z λ λ λ. a) a. Compatible determinado a. Compatible indeterminado α, y α, z α Para todo valor de a, es compatible determinado y z a. a) z + z + t. a) + y z ; + y z 9. a). a) y z + z y z + y z + + y y z + z + +. a), y, z Incompatible. a) Compatible determinado con solución, y, z Compatible indeterminado con solución λ+ λ+, y, z λ. Alberto: Bernardo: Carlos:. Oro gr. Plata gr.. a) y, y c) No se puede saber el precio de cada localidad pues el sistema es compatible indeterminado.. km/h y km/h. a) para que las tres concurran en un punto a y b para que sean paralelas, no es posible c) para que se corten en dos puntos a y b cualquier valor. f(d) ( + + ) A (n + n + ); B ( n n ) n

9 Solucionario 9. Para λ tal que, < λ <, Se han vendido de trigo: ; cebada: ; mijo: λ., y respectivamente. a el sistema es compatible indeterminado a el sistema es incompatible. La solución no es única. Por ejemplo: a) Solución: c) d) Solución:. Si es el número de Tm de arroz, y el de lentejas y z el de garbanzos, se tiene:, +,y +,z, +,y +,z, +,y +,z de solución, y, z.. y respectivamente. a al %, b al % y c al %. pasajeros el importe total, el % y el %. cajas de tipo A, cajas de tipo B y de tipo C 9., y, z Es posible transformarlo en compatible indeterminado cambiando la primera ecuación por + y z.. A a /barril B a /barril.. 9, y respectivamente. Cuando nació el primero tenía años y cuando nació el segundo años y z λ λ λ y z y z y + + y z + λ λ y z y z + + λ λ. a) Por ejemplo ( ) Por ejemplo c) Por ejemplo d) Por ejemplo. a) a en A, b en B diagonal secundaria y c) A( ) y B( ) A t y B t. a) A ; B La A no y la B si es simétrica c) siendo (A t ) (j i) siendo (B t ) j i. a) A t B t ( B) t. ; B A la opuesta de A B A B A B + B j i t ( ) A j i t ( ) Tema MATRICES

10 . a) Ventas de Enero Ventas de Febrero E + F c) F E. a) a, b 9, c, d, e, f. 9. ;. a) ; ; c) Sí, si son A y B matrices filas y columnas.. ; B no tiene inversa. rg(a) rg(b) rg(c) rg(d) rg(e) rg(f) C A B A A B 9 9 cm cm cm Andrés Juan Lucas Pedro 9 cm cm cm Andrés Juan Lucas Pedro.. a).., y, z, t.. Las que lo tienen fuera de la diagonal principal 9., y, z. X., luego son inversas. Solución general: Solución particular: X ( ). C no tiene inversa. con λ R X λ λ λ λ λ λ D 9 B cos sen sen cos α α α α A X a a a n n X AB ; B A 9 9 AB BA

11 Solucionario 9. Como A I se tiene que: si n es par si n es impar., y, z. A luego A tiene inversa La ecuación A + A + I no tiene solución.. a) X ; No 9. a) Que el número de filas de A sea igual al número de columnas de B y que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. c) No. X, en general X. a) ; Si... A B. X 9 A A A A a a a a X X A A A A I A I A IA A n n n n ( ) A A I I n ( ). A X. B (A I) A + I AI A + I A I, pues A A e I I. A 9. Por inducción A n n A es cierta para n, A A para n, A A la suponemos cierta para n y comprobamos que es cierta para n + A n+ A n A n A A n A n A n A. rg(a) ; rg(b). r(a) ; r(b). rg(a) ; rg(b). r(a) ; r(b). rg(a) ; rg(b). a). con λ R. a) α, y α siendo α cualquier número real ( ) A B C + X λ λ λ A n n A A 9 9

12 C no tiene inversa.. a) 9. ; ; A (A ) A A A I A A A A I 9 A A D B A X P X 9. a) c). a) ; c) ;. a) c). Propiedad ; propiedad ; propiedad. Menor de Menor de Menor de.. a (a ). 9.. A, B, C, D. a) y. a) y y. y. A, B ab, C yz, D. A lo es al serlo la segunda columna; B lo es al ser la primera fila múltiplo de y la tercera múltiplo de. A por tener una columna de ceros. B por tener dos columnas iguales... ; a A ; 9 a A a A ; 9 Tema DETERMINANTES

13 9. Si no tiene inversa, pues su determinante es nulo;. A y X. A 9. A ó., y, z. si la matriz inversa es B At ; ( A). m y m. k y k +. A A luego es regular. a) A y + z; B y + z A B c) λ; y λ; z λ λ R. a), c) d),. a) c) d). a) (a + ) (a ) + y + z y z yz c) a b d) a d + b e abed + cf(ad be). A no tiene inversa por no ser matriz cuadrada B C no tiene inversa porque C. ( A B) B A., y, z 9. X.. a) a (b a) (d c) (c. n.. A ; B C. A A y z y z. a) t u v ( ) t u v ( ) a b c a b c Solucionario

14 c). a) ; y z u t v ( ) t y z u v ( ) b a c a b c y z t u v a y b z c t y z u v +( ) t y z u v ( ) y z a b c. a) det(a) ; det(a ) ; det(a + I) ; det (I) Sí, propiedad de los determinantes c) M z y. Basta desarrollar por los elementos de la primera fila del determinante equivalente. a a a a ( a + )( a ) a a a a. No eiste tal matriz.. y z / / y z. Δ a a + a a a (a ). a) ; c) No, pues. (,, ) 9. Ct C C Tema EL TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS Y LA REGLA DE CRAMER. rg(a) ; rg(b) ; rg(c). a) c). a) Compatible indeterminado Compatible determinado c) Incompatible d) Compatible indeterminado. a) A X ( ) ;( A ) λ. a), y, z λ con λ R + λ λ 9, y, z λ con λ R c) A. a) No es posible ; y ; z. a) No tiene inversa c). rg(a) ; rg(b) ; rg(c) ; rg(d). rg(a) ; rg(b) ; rg(c). Si k rg(a) y si k rg(a) Si k ± rg(b) y si k ± rg(b) rg(c) k Si k rg(d) y si k rg(d)

15 . Si a ó rg(a). Si a rg(b) ; si a rg(b). Si A rg(c) ; si a rg(c). Si a ó rg(d) 9. a) Si a ó / rg(a) y si a ó / rg(a) Si a compatible indeterminado; si a / incompatible; si a ó / compatible determinado. c) λ; y λ; z λ. a ; b ; c a) Si m incompatible; si m compatible determinado. y z t ; ; ;. a) Si k es incompatible; si k es compatible indeterminado; si k ó es compatible determinado. λ; y ; z λ. Si k, λ; y λ; z λ; si k, λ; y ; z λ. a y b compatible indeterminado; a y b incompatible; a compatible determinado.. a) ; y ; z b + a; y b a; z ab. a) ; y ; z ; y ; z. a) ; y ; z y z ; ; 9. a) ; y ; z λ ; y λ 9; z λ 9. a) λ; y λ; z + λ λ; y + λ; z λ. a) λ; y λ ; z λ λ; y λ ; z. a) Si a ± incompatible; si a ± compatible determinado., ; y, ; z,. a) m incompatible, m compatible determinado. ; y ; z. y z a. a) m y n compatible indeterminado; m y n incompatible; m compatible determinado. ; y ; z. Si m compatible determinado; si m incompatible. Tema VECTORES EN EL ESPACIO. a) AB (,, ); CD (,, ). Son equipolentes porque tienen las mismas coordenadas. F(,, ). A(,, ). Es libre. Ligado.. (, 9, ). (,, ). MA MO + OA MB MO + OB MC MO + OC MD MO + OD y como OA OC y OB OD, sustituyendo se demuestra la igualdad Solucionario

16 9. a) B ; B ; c),,,, B,,.. a) S ; T(,, ) 9,,. BA (,, ) BA BC BC (,, ). Es isósceles y no es rectángulo.. a) No Sí; c) Sí; a b + c d) No. a) w u + v (,, ), por ejemplo w (,, ), por ejemplo. P,, Como u, v y w son linealmente independientes α+ β+ γ β+ γ α β γ, y, z γ son linealmente independientes.. A es ligado (,, ) (,, ) + (,, ) (,, ) B es libre C es ligado (,, ) (,, ) (,, ). α(,,, ) + β(,,, ) + γ(,,, ) + + δ(,,, ) (,,, ) α + β + γ α + β α β γ δ α + β α + β + γ son linealmente independientes. α + βy + γz αu + β( u + v) + γ( u + v + w) ( α + β+ γ) u + ( β+ γ) v + γw 9. k y la relación es r y + z a b + c. α(,, ) + β(,, ) + γ(,, ) (,, ) α β γ son linealmente independientes Las coordenadas del (,, ) en la base B son,,. α(,, ) + β(,, ) + γ(,, ) (,, ) α+ β+ γ α+ β γ α β γ α β+ γ son linealmente independientes. Las coordenadas del (,, ) en la base B son (,, ).... AB AC. a) c) d). a) 9 c) 9 d) 9. a) c) no es posible d) y. a) ± c) d). a) c), d). a) ' ' 9''. α+ β+ γ α γ α β+ γ P + + A '; B ' ''; C 9 ' ''

17 . AB AC AD los cuatro puntos no son coplanarios.. V ( ). r:. a) AB AC (,, ) A, B y C no pueden estar alineados. Tema RECTAS Y PLANOS s: t: { P(,, ), u(,, ) } P, u,,,, P u,,, (,, ). r: λ y λ. La determinación puntual es {(,, ), (,, )} s: λ y λ La determinación puntual es,,,(,, ) t: λ y λ. La determinación puntual es,,, 9,, Ecuación vectorial (, y, z) (,, ) + λ(,, ) (, y, z) (,, ) + λ(,, ) (, y, z) (,, ) + λ(,, ) (, y, z) (,, ) + λ(,, ) Ecuaciones paramétricas + λ y λ z + λ λ y + λ z + λ y λ z λ y + λ z Ecuaciones continuas y z + y + z + y z + y z Ecuaciones implícitas + y z y z y + z + z. r: y + ; s: y + z + y z + r: y z +. r: Ecuación vectorial (, y, z) (,, ) + λ(,, ) λ Ecuaciones paramétricas y λ z λ s: Ecuación vectorial (, y, z) (,, ) + λ(,, ) Ecuaciones paramétricas y + λ z λ t: Ecuación vectorial (, y, z) (,, ) + λ(,, ) + λ Ecuaciones paramétricas y + λ z λ. y z +. P no pertenece al plano y z +. + z 9. Ecuación vectorial: (, y, z) (,, ) + α(,, ) + β(,, ) Ecuaciones paramétricas: Ecuación general: y + z +. Coincidentes.. Son paralelos distintos.. a) Se cortan en el punto (,, ) Los tres planos son distintos y se cortan en una recta.. Se cortan en el punto (,, ). m + α+ β y α + β z α + β Solucionario

18 . a) P y Q no pertenecen, R sí pertenece P y R no pertenecen, Q sí pertenece c) P y Q no pertenecen, R sí pertenece. Ecuación vectorial Ecuaciones paramétricas Ecuaciones continuas Ecuaciones implíticas a) (, y, z) (,, ) + λ(,, ) + λ y λ z λ y + z + y + z (, y, z) (,, ) + λ(,, ) λ y λ z λ y z y + z c) (, y, z) (, 9, ) + λ(,, ) + λ y 9 λ z λ y 9 z y + + z d) (, y, z) (,, ), + λ(,, ) y + λ z y + z z e) (, y, z) (,, ) + λ(,, ) y z + λ y z + y. a) No porque C no pertenece a la recta y z + que pasa por A y B + y z. a) + y + z + y + z c) + y + z 9. a) Q sí pertenece R sí pertenece. Ecuación vectorial Ecuaciones paramétricas Ecuaciones continuas. a) b, la ecuación del plano es: + y z a, b. a b. La ecuación del plano que pasa por A, B y C es a y z a b bc + acy + abz abc a c Si a ; b y c, dividiendo por abc se obtiene la ecuación canónica. Ecuaciones implíticas a) (, y, z) (,, ) + λ(,, ) + λ y λ z λ y + z + y + z (, y, z) (,, ) + λ(,, ) λ y λ z λ y z y + z c) (, y, z) (, 9, ) + λ(,, ) + λ y 9 λ z λ y 9 z y + + z d) (, y, z) (,, ), + λ(,, ) y + λ z y + z z e) (, y, z) (,, ) + λ(,, ) y z + λ y z + y

19 . Un haz de planos paralelos a y + z. bc + acy + abz abc. a) El punto es el (,, ) y + z +. a, y + z + 9. a) y + z + y + 9z c) y z + d) + y z + 9. a) se cortan en (,, ) se cortan en (,, ) c) se cruzan d) se cruzan. + y + z.. a P,, λ y z λ. a) Si a y b son coincidentes Si a y b se cortan en (,, ) Si a y b son paralelas Si a y b se cruzan Siempre son paralelas Si a serán coincidentes y si a son paralelas distintas c) Si a y b son coincidentes, en el resto de las posibilidades se cortan en el punto (,, ). Se cruzan sin juntarse.. a y b son paralelos a y b son coincidentes a se cortan en una recta. a) paralelas distintas se cortan en una recta de ecuación vectorial (, y, z) (,, ) + λ,, La determinación vectorial es: P(,, ), u,, c) son coincidentes d) se cortan en una recta de determinación vectorial. Se cortan en el punto (,, ). y + z La recta es, y z λ, que pasa por el origen.. Si m se cortan en una recta Si m se cortan en el origen. Si k se cortan en una recta Si k se cortan dos a dos en sendas rectas paralelas. a) Si k se cortan en una recta Si k no tienen ningún punto en común Si k y k v (,, ). Se corta con r en Se corta con s en Contiene a t. r está contenida en a b y r se cortan en c es paralelo a r se cortan en un punto. a) Se cortan en una recta pues m + ny + kz m para cualquier valor de m, n y k. a) P u,,,, αβ y α z + β + y + z + y + z +,, 9 9 9,,,, Solucionario

20 y + z + c) + y z ) Los planos º y º coinciden y son paralelos al segundo.. ) Los planos º y º coinciden y se cortan con el º 9. y + z ) Los tres planos son distintos y se cortan dos a dos.. y z. a ; y z +. Si lo corta. a) k + y z + ) Los tres planos se cortan en un punto.. y + 9z ) Los tres planos coinciden. ) Los tres planos son distintos y paralelos dos a dos. ) Los planos º y º son paralelos y se cortan con el º. Tema PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO. Vector director de la recta (,, ), vector director del plano (,, ). Como (,, ) (,, ) son perpendiculares Todos los puntos de la recta son de la forma ( + λ, λ, + λ) para todo λ R. Como ( + λ) λ ( + λ) + Ningún punto de r pertenece a π.. a) α arcsen º '. a) α 9º α º ' '' ) Los tres planos son distintos y se cortan en una recta.. a) α 9 son perpendiculares α ' '' c) α ' ''.. d

21 . d. d 9.. d. 9 9 d y z La mínima distancia entre ambas,, es la distan- cia entre los puntos (,, ) de r y de s.,,. a) arccos º ' '' arccos 9 º ' 9'' c) 9º d) arccos 9º ' ''. a) α º ' '' α º ' '' c) α 9º d) α º e) α 9º. a) arcsen º ' '' c) arcsen 9 º ' '' d) arcsen º ' '' 9. d((,, ), ( y + z )). a) + z d. (,, ); d 9 9. d 9. Están a la misma distancia del origen porque son paralelos y el valor absoluto de sus términos independientes son iguales. + y + z. El vector director del plano (,, ) y el vector director de la recta (,, )son perpendiculares.. d,. (,, ); d 9. d, 9. a) d d. dos planos; y + z ; z. a) (,, ) + y + z c) d. d c 9. d d d y z. a) R(,, ). a) ; ; c). a) + y z r. + y ± z. a y el punto A(,, ) Solucionario 9

22 . a) Si A (,, λ), B (,, λ) y C (,, λ), AB y AC nunca pueden ser linealmente dependientes (proporcionales).. V A + λ λ. a) z + Se cortan en el punto (,, ) y por tanto no tiene sentido hablar de la distancia entre ambos.. a) A(,, ), B(,, ), C(,, ) (, y, z) (λ, λ, λ) c) d 9. D (,, ) ó D (,, ). a) A(a, a, a); B(a, a, a); C(a, a, a); D(a, a, a) V 9a. a) y + z. a) d(a, π). π: y + z +. a) a y a. r: y z plano paralelo a π que pasa por B: y d,, A',, d(, π ) 9 + y + z r : + y. a). No es rectángulo. a) Plano equidistante a A y B: + y + z C 9,,. a) ; ; c) ; d) No. a). a). a) Se cruzan sin cortarse. 9 u.v.. a) El plano perpendicular a r que pasa por P es: + y z y s: z Q(,, ) c) (,, ). a) a y z + Tema LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. a) Son perpendiculares z. a) Se cortan en un punto Punto de corte (,, ), α º. 9. a) d y + z +

23 lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) + c) No d) No. Por ejemplo..., +,,, 99 δ ε + f(),,, f(),,9,99,999. lim f ( ) ; lim f ( ) + ; lim f ( ) + lim f ( ) ; lim f ( ) + ; lim f ( ) +. a) lim g ( ) ; lim g ( ) + ; lim g ( ) lim g ( ) ; lim g ( ) ; lim g ( ) + +.,9,99, f(),,9,99...,,,... f(),,,... lim f ( ). a) ; ; c).,99 < <,. + lim lim lim + lim lim lim. a) ; ; c) ; d) ; e) ; f) no eiste; g) ; h). Por ejemplo 9. a) F; V; c) V; d) F.,9,99,999,9999 f(),9,99,999,9999,,,, + f(),,,, a) Si; No. ε > hemos de encontrar un δ > tal que si < δ + < ε + < ε < ε ε < < ε ε < < ε ε < δ. a) ; ; c) ; d) 9. Si. y. No Solucionario

24 . k. ε > hemos de encontrar un k tal que si < k + < ε + < ε + < ε + < ε + pues k > a + b < a + b. a) V; F; c) F; d) V + < < + < + k k δ k k (puesto que + < ) + ε > + ε k ε ε. a) ; + ; c) /+.,9,99,999 f(),, 9, 99,,,, + f(),,,, + a) Si ( ) Si (+ ). a) + ; ; c) +. a) ; + ; c) /+. Si. y 9. k < hemos de encontrar un δ > tal que si < δ > k ( ) ( ). a) k > hemos de encontrar δ > tal que si δ < < < k < k < k pues k < y < > k > ( ) < δ k k > + > k k k pues a b > a b δ k k > hemos de encontrar un δ > tal que si < < + δ > k k pues k > y > > k > Tema 9 CÁLCULO DE LÍMITES. CONTINUIDAD. a) + c) + d) e) f) + g) h) i) j) + k) l). a) ; ; c) por la izquierda y + por la derecha; d) e /. a) V V c) F d) V. a) + c) d) e) f) + g) h). a) c) d) + e) + f) +. a) c) d) e) + f) por la izquierda y + por la derecha.. a) c) d) + e) f)

25 . a) + ; ; c) ; d) + ; e) ; f). Por ejemplo 9. a) c) d) e) + f). a) c) por la izquierda y + por la derecha; d) e) f). a) por la izquierda y + por la derecha c) + d) e) + f) e. a) + + c) + d) e e) e f) +. No es continua en ni en. a) + c) d) e) f) +. a) c) d) e 9 e) f). a) e a c) d) e) + f). Es continua en y en R.. 9 f ( ) lim Es continua en y en [,[. En R no es continua. a) + ; ; c) e ; d) ; e) e ; f). a) c) d). a) Continua e) + por la izquierda y por la derecha. a) c) d) + 9. a) c) d) +. a) ; + ; c) ; d) por la izquierda y + por la derecha. Continua. a) +. f( ) ; lim f( ). Sí es continua en Solucionario

26 c) Discontinua de salto finito. Salto. Por ejemplo d) Discontinuidad evitable. Verdadero valor. a) Es discontinua en,, y c) En, salto ; en, salto d) En es continua a la izquierda; en es continua a la derecha y los otros puntos no tienen continuidad lateral 9. a) discontinuidad de salto infinito discontinuidad de salto infinito c) y discontinuidades de salto infinito d) discontinuidad evitable. Verdadero valor e) discontinuidad evitable. Verdadero valor discontinuidad de salto infinito f) discontinuidad evitable. Verdadero valor g) ; y discontinuidades de salto infinito h) continua en [,+ [ i) continua en ], [ [, + [. a) Si; Si; c) No. En tiene una discontinuidad evitable con verdadero valor.. Si; No; Si; Si; No; Si; Si; No; No; Si. a) [, ] ], [ ], [ ], [ [, [ ], [ [, ],,,, y c) En salto ; en verdadero valor ; en verdadero valor y en salto. a. Verdadero valor 9. a) R R c) R d) ], [ ], [ ], + [ e) ], ] [, + [ f) [, ] g) ], [ ], [ ], + [ h) ], [ ], + [. a ; b. El máimo absoluto en a y el mínimo absoluto en b.. a λ y b λ para todo λ real.. a) En no es continua, en sí es continua Es discontinua en y. Ambas discontinuidades son de salto finito de unidades. a) y Es evitable la discontinuidad en. Verdadero valor

27 . f() + + es continua en [, ], signo (f()) signo (f()). Entonces, por el teorema de Bolzano eiste al menos un c tal que f(c). c es la raíz de la ecuación a) f'() + ; R {} g'() ; ], + [ + c) h'() ; ], + [. a) y' ln() ln Tema DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. a) f '() g '() c) h ' d) j '( ). a) f'() + g'() + c) h'() + d) j'(). a) f'() ; R g'() + ; R c) h'() + ; ], + [ ( ) a) f'( ) + ( ) 9 g'( ) c) h'( ) ( ) + +. a) f'() ; R ( + ) g'() ; [, + [ c) h'() ; ], + [. a) f'( ) + + ; ], [ + g'( ) ; ], + [ c) h'() + + ; R y' () ( + ln()) c) d) y' ( + ) + ln ( + ) y' ( + ) ( + ) 9. Es derivable en R. Es derivable en R. No es derivable en. La derivada por la izquierda es y por la derecha.. a) a, b tangente: y normal: + y. Recta tangente: + y Punto de corte (, ). a) f'() ; g'( ) ; c) h'(). a) t: y ; n: y t: y + ; n: y c) t: y + ; n: y. a) tangente: y + normal: y + tangente: y + normal: + y c) tangente: y normal: y π d) tangente: y + ln 9 normal: + y 9 ln 9. (, ) y (, ) + ( + ) + ln ( + ) + Solucionario

28 . a) a ; No es derivable en 9. a) M(t) (, t) m(t) t c) m'(t) d) e) f) y' y' sen cos sen y' cos sen cos. a) y' + y' + c) y' a). a) y' c) y' ( ) + d) y' ( + ) e) y' ( + + ) ( + ) f) y' ( ) c) y' d) y' cos ( + ) e) y' cos ( + ) sen ( + ) f). a) y' y'. a) c) y' d) y' ( ) e) y' f) y' ( + ) ( + ) y' y' y' + cos y' y' y' c) y' ( + ) ln. a) c) d) e) f) y' ( ) + y' ( + ) y' y' (cos sen ) cos ( + ) sen ( + ) sen ( ) y' + cos ( ) cos ( ) sen y' + ( cos ). a) y' e + y' e + c) y' ln d) y' + e) y' cos ( + ) e f) y' ( ) ln. a) ( + ) y' + y' ( + ) c) ( + ) ( + ) y' ( + ) + d) y' cos cos() sen sen () e) y' ln sen ( + ) f) y' cos ( + ). a) y' d) y' ( ) y' e) y' ( ) + + sen c) y' f) y' cos

29 9. a) c) d) y'. a) y' ( + )ln y' y' ( + ) ln y' c) y' ln cos ( + ) y' ctg ( + ) sen( + ). a) y' sen ( ) e) y' cos ( ) y' ( ) cos ( + ) sen ( ) c) y' sen (tg ) ( + tg ) f) y' + ln ln ( + ). a) y' +. a) y' log + ( + ) ln ln y' + y' log + ln c) y' ( + ) ln c) y' log + ln d) y' sen ln cos e) y' (ln ) ln (ln ) f) y' ln. a) y' cos y' sen cos c) y' d) y' sen ( + ) cos ( + ) e) y' ( + ) sen ( + ) f) y' ( + tg ( + )) cos ( + ). a) y' ln e + e y' ( ) ( + tg ( )) c) d) e) f) y' ( + ) ln( + ) y' ( + ) y' sen sen ln cos + y ' (ln ) ln (ln ) + ln. a) y' ln + 9 y' c) y' e +. a) y' ; y' ; c) y' + ( + ). a) y' () + ln 9. a) y' (sen ) [sen ln (sen ) + cos ] c) y' cos + cos ( sen ) ln ln y' c) y'. a) y' (ln + ) c). P(, ). P(e, ). ( + p) y p. a ln y' y' y' ( ). a) f'''() f'''( ) 9 + c) f'''() e e Solucionario

30 . si > f'( ) + si <. Se cumple el teorema del valor medio o de Lagrange. El punto es el,. a) df ( ) d ( + ) dg() ( cos() + sen()) d c) dh ( ) d ( + tg ( ))) d cos ( ). a) y. ΔV, m 9. a) y + a a A(, a ); B a + +, a c) a ( ). y + ( ) No se verifica en el intervalo [, ] porque 9. f'() y g'() se anulan simultáneamente en y. ln a ln b.. sen ( ) sen ( ) lim sen ( ) lim π sen ( ) sen ( ) sen ( ) π Tema TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES. a, b 9. a) Porque no es derivable en ]a,b[ Porque no es continua en [a,b] c) Porque no es derivable en ]a,b[ d) Porque f(a) f(.. No, porque no eiste f'() y ],[. f() cumple las condiciones del teorema de Rolle en ese intervalo, por tanto, eiste al menos un punto ]π/, π/[ tal que f'( ).. k ;. No porque no es continua en π. Por el teorema de Rolle ya que f() es continua en [, ], derivable en ], [ y f() f() k. No porque no eiste f'().. Como es entonces >, luego lo propuesto equivale a demostrar que t ln( + t ) > con t > siendo t + t Aplicando el T.V.M. a la función f() ln( + t) en [, t], que es derivable en ], t[ tenemos: ln( + t ) ln( + ) ( t ), es decir: + t t ln( + t ) + t con < t < t

31 Cuando t < t es + t < + t, luego + t t y así: > + t + t t Por tanto: ln( + t) > con t > + t Otra forma de hacerlo, aunque no es lo que se pide, es demostrando que la función f ( ) ln( + ) + es estrictamente creciente en [, + [ pues su derivada es f'( ). ( + ) Así es f() > f() en [, + [ y se verifica la tesis en [, + [. Análogamente se probaría en ], ]. 9. Sea f() e. Por el teorema del valor medio en el intervalo [, ] se tiene e e X e > pues al ser > es e > e > +. Sea f() sen. Por el teorema del valor medio en el intervalo [, + h] se tiene sen ( + h) sen cos ( + h ) con < < + h.. Sea f ( ) ln. Por el teorema del valor medio en el intervalo [, + ] se tiene ln ( + ) con > ln ( + ) <. f() es continua en [, ], derivable en ], [ y f( ) f() entonces eiste, al menos, un o ], [ tal que f'( ). Este es 9,. Consideremos la función f() e. Se verifica que f(). Si la función tuviera dos ceros distintos, estos serían y, es decir, f() f( ) y, por el teorema de Rolle, eistiría un valor ], [ en el que f'( ). Pero f'() e en ], [ y contradice el teorema de Rolle, luego la hipótesis de que tuviera dos ceros distintos es falsa.. La función es continua en [, ] pero no es derivable en pues f'( ) f'( + ) luego no verifica las hipótesis del teorema de Rolle.. Ambas son continuas en, π y derivables en > + t π, π. Sus derivadas se anulan en, que no pertenecen al intervalo, π. Luego sí es aplicable el teorema de Cauchy. ( ). La función f() ln es estrictamente cre- + ( ) ciente en [, + [ pues su derivada f'( ) ( + ) es positiva si >. ( ) Así, si > es f() > f(), luego ln >, + si >.. Aplicamos el T.V.M. a la función f ( ) en [, ] Pero ( ) > con >,, con [, ] por tanto > luego > y de aquí se deduce: >, con >. Si f ( ) aplicando el T.V.M. en [, ], tenemos: ( ), luego y como < < podemos tomar como valor etremo y así, 9. No, pues la función no es continua en. a) Aplicando el teorema de Cauchy a las funciones π f() tg y g() en [, ] con < < se tiene: tg tg + >. Luego tg > si π < < Aplicando el T.V.M. a la función f ( ) arctg en [, ] arctg ( ) + + con [, ] Solucionario 9

32 Si damos a los valores etremos del intervalo [, ] se obtiene: < arctg < con > +. a b. a.. lim (cos + sen ) e.. π. El límite propuesto no tiene valor para ningún valor de a.. a). a). a) a. a) + b 9. a) k h 9.. Es continua y derivable en cuando a, b. a). a). a). a) por la izquierda, por la derecha +. a). a) ; a b. a) e ln a ln b. a). a) ; e. a) ab. Aplicamos el T.V.M. a la función f() cos en [a, b] cos b cos a sen (b a) de donde cos b cos a sen como sen se b a cos b cos a tiene de donde: b a cos b cos a b a.. La función es continua y derivable al ser polinómica y además es f() f() a. Como f'(), la tesis se cumple para

33 Tema APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES c). a) Creciente Creciente c) Creciente d) No es creciente ni decreciente. Su derivada es siempre negativa. d). a) mínimo en (, ) máimo en (, ); mínimo en ( +, + ) c) mínimo en, d) mínimo en (, ) e) mínimo en, f) no tiene máimos ni mínimos. a) cóncava en R. Mínimo en (, ). Sin infleiones mínimo (, ), máimo (, ). Infleión (, ) c) convea en ], [, cóncava ], + [. Sin infleiones d) mínimo (, ), máimo (, ). Infleiones en (, ),,, ;,. a) convea ], [ ], [ ; cóncava ], [ ], + [. Creciente en ], [ ], + [ Decreciente en ], [ Máimo en ; Mínimo en,. f'() es creciente en R. a) Mínimos en (, ) (, ), máimo (, 9) Mínimo (, ), máimo (, ) 9. a) Mínimo (, ) Mínimo. a) Cóncava en ], [ ], + [ Convea en ], [ Infleiones en (, ) y (, ) Convea en ], [ Cóncava en ], + [ Infleión en (, ),, e e. Por ejemplo:. f() + Solucionario

34 . 9. ν km/ h 9, 9 km/ h Se consumirán,9 l/ km, siempre que ν! Debe ser creciente y convea en [O, M] y con tangente horizontal en M. ; y.. a) f() En t es f(), c) No desaparece, se estabiliza en torno a. a) a y b deben tener signos iguales y c puede tomar cualquier valor a y b deben tener signos opuestos y c puede tomar cualquier valor. má,, mín (, ) Crece en, ], + [; decrece en, Creciente en ], [ ], + [ Drececiente en ], [ Convea en ], [ Cóncava en ], + [ Máimo (, ), mínimo (, ). En bajada [, [; en alza ], ] Máimo absoluto en (, ) Mínimo en (, ). a) D R {, ). Crece en,. Convea en, ; cóncava. Máimo en (, ) Crece en ], [; decrece en ], + [ No tiene mínimo. En (, ). Sí es máimo relativo, pues, pese a que no tiene tangente horizontal en, en las proimidades de la función toma valores menores que en. a) a 9, b c. a), + Decrece en ], [ Horizontal: y Verticales: ; Máimo c),,, ], + [. a ; b ; c ; d. a) creciente en ], [ decreciente en ], + [ máimo en (, e) mínimo no tiene asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha y asíntota vertical no tiene

35 . a). a) Máimo en (, ) Mínimos en y, e, e e e y por la izquierda y por la derecha.. a) creciente en ], + [ decreciente en ], [ máimo no tiene mínimo en (, ) cóncava en R asíntotas horizontales y verticales no tiene asíntota oblícua en y D(g()) ], [ ], + [ c) g() es creciente en ], + [ g() es decreciente en ], [ g() no tiene máimo absoluto ni relativo 9. a) continua en ], [ ], [. En hay una discontinuidad de salto finito derivable en ], [ ], [ ], [ c) Consideramos la función f() + e, por ejemplo en el intervalo [, ], que es continua en dicho intervalo y como f() < < f() + e,, por el teorema de Darbou (tema 9) eiste [, ] tal que f(c).. a ; b ; c. a). Como D ], + [ y f'() entonces f'() > D. a) f() es creciente en ], [ ], + [ f() es decreciente en ], [ ], [ máimo en y mínimo en c) En si hay un punto de infleión porque f'''(). No tiene asíntotas. Asíntotas verticales: ; Asíntotas horizontales: y. Asíntota vertical: Asíntota horizontal: no tiene Solucionario

36 9. a). a). a). a). a). a)

37 . a). a). a). a) 9. Solucionario

38 .. cm y cm., m de altura y, m de anchura 9. El lado del cuadrado del material de es de cm y el otro es de cm.. (, ).. cm y cm.. km. ln. Los dos trozos iguales y su valor es de cada uno. a) A(). A m. El triángulo equilátero de lado m. El cuadrado de cm de lado. El cuadrado de lado cm. El cuadrado de lado cm. α º Area 9, cm Lado perpendicular m y lado paralelo m.. y cm. a) S + siendo la base del rectángulo lado del cuadrado m y base del rectángulo m 9. a). b cm 9. b m y el triángulo es equilátero. El rectángulo tendrá cm de base y cm de altura y el área será cm. Base y altura. Base cuadrada de m de lado y altura m π. a) V ( ) cm y cm. Base cm y los lados iguales cm. Base cm y altura cm ( π + ). a) A m m π+. d m. m. Es un cubo de cm de arista. cm. h r A ( ). r, cm, h 9, cm

39 . y m. a) d t + t + d km para t h. Tangente: y Normal: + y + 9. Tangente: y Normal: + y 9. Tangente: y + Normal: 9. P(, ) normal y Q(, ) normal + y Se cortan en C(, ) c) cos + c d) ln sen + c e) ln + c f) sen + c g) + + c h) ( + ) + + c i) tg( + ) + c ln + 9 tg ( + ). a) + C + C ln + 9 c) + C d) ln sen + C + e) + C f) cos e + C ln 9. Tangente en P: y 9 Tangente en Q: + y 9 α. a) + c ln (ln ) ln + c 9. Tangente: + y + Normal: y + 9. Tangente en P: + y Tangente en Q: + y + 9. a, b, c Tema CÁLCULO DE PRIMITIVAS. a) ln () + C ; ( ) cos + sen + C. a) ln + ln + + c c) ln ln + + c d) e) f) ln ln + c ó ln + c g) + ln + + c + h) 9 ln c + ln + ln + ln + + c 9 9 ln + ln + + c + ln + + ( + ) c. G ( ) +. F() +. a) ln + + C e + + C c) cos + C d) sen ( + ) + C e) ln cos + C 9. a) c) F ( ) + F ( ) F ( ) a) + c ( + ) + c. a) ], + [ F() Solucionario

40 . a) f'( ) ( a + ( a b + c) +. a) + + C + + C ( + ). I ( + + ) + + C c. a) e + c cos + c 9. a) arc tg + C In ( + ) + C. F'() + f(); F() ( + ) +.. ln + + c + Pasa por el origen la F ( ) ln +. a) ln + + c + c. a) + + C cos ( + ). a) ln cos + c + c 9. a) + C ln + + C ( ) sen. a) + c + c. a) tg () + C e arc tg + C ( ). a) + c + c ln F ( ) + ln e ( + ). a) C + +. a) tg + c + c ln. a) ln C arc tg e + C + C + + C. a) + c arc tg + c sen. a) + C ln (cos ) + C. a) cos ( + ) + c + c. a) ln C arc sen () + C cos. a) + c sen + c. a) ctg + C ln (sen + cos ) + C. a) + tg + c ln (cos ) + c. a) ctg + C cos () + C. a) tg + c ln ( ) + c 9. a) ( sen ( ) + C + ) ( ) + C. a) + c arc sen + c cos. a) ln (ln ) + C (In ) + C cos. a) ln cos + c cos ln. a) ( )( + ) + C. a) sen + c e + c ( a ) ( + a ) + C

41 . sen cos. a) + + C e ( ) + C. a) cos cos +c ctg + c sen cos. a) e cos + sen + C (ln + ) + c (sen cos + ) + C sen ( ) + +C.. + ln ( ) C + ln + + ln + ln + ln + c 9. a) ln ln + C + arctg + ln + + C. a) arctg + c arc tg + + c C. a) sen (ln ) cos (ln ) + c sen ( ) cos( ) +c. a) arc tg + c arc tg + c 9. a) sen cos cos + C e ( + ) + C ln. a) + c e ( ) + c. a) ln + + ln( + ) + C e ( ) + C. a) arcsen () + c. a) ln + + c + ln + + c + arc sen +. ln ( + ) + arctg c. ln ln + c. f ( ) + +. ln + ln ln + + C. arctg + + C. ln [( ) + ] + c ln + + ln + c. 9 ln +C. ln c Solucionario 9

42 Tema LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. a) (, ); (, ) 9 S ; S. a) c) e d) 9. A a a + a lim A +.. Puntos de corte y Area u.s.. a) Asíntota oblicua y ; S S(α) α c) Sí. lim S( α) + π. u.v.. π. Puntos de corte, y Area. F'() e F'() e. Puntos de corte, Area u.s.. e e 9. Puntos de corte,, Area u.s.. ln 9.. f'() ( ) ( + ) Creciente en ], + [ Decreciente en Área,..... d d m A ( 9) d ( 9) d,. Puntos de corte,. Area + 9 u.s... Área ; V 9, π. a) y. a) Si a es compatible determinado Si a y b es compatible indeterminado Si a y b es incompatible e e e + Area u.s. e. a) F ( ) sen + cos + + c π f ( ) d π. a) f ( ) p() +

43 . Valor Puntos de corte,, Área. a. a) f() Puntos de corte, Área. a) e, m v m. e e + e, m. π, 9 9. a) Negativa en ], [ área e. π π.. a) ; c), π.. (e ) g. A 9... La primitiva es / cos + c sen d + tg. a) F() I Puntos de corte,, Área π. a) ; a. Solucionario

44