Estimadores Paramétricos y Estimadores de Estado de la Máquina de Inducción.

Transcripción

1 Capítulo 4: Estmados Paamétcos y Estmados d Estado d la Máquna d Induccón. 4.1 Intoduccón En l capítulo anto s han psntado y dscutdo vaos modlos n égmn pmannt y tanstoo d la máquna d nduccón. Paa utlza stos modlos s ncsaa la dtmnacón d sus paámtos spctvos. Una vz qu los paámtos son conocdos, l modlo pud valua l compotamnto físco d las dfnts vaabls d stado d la máquna, dnto dl gado d apoxmacón pmtdo po las hpótss smplfcadoas ncals. a stmacón d stado s utlza fcuntmnt n los sstmas d contol automátco, paa dtmna vaabls dfícls d md o paa duc las nctdumbs y los os ntoducdos po los dspostvos d mdcón. En las máqunas d nduccón sulta d gan ntés dtmna l pa léctco, así como la magntud y dccón d la ampltud dl flujo sultant n l ntho. El conocmnto d stas vaabls smplfcan las accons d contol sob las funts d almntacón d la máquna, y aclan l sgumnto d las consgnas. Pud sulta staño nclu n l msmo tma los pocsos d stmacón paamétca con los métodos d stmacón d stado, po s ncsao dstaca qu l éxto d stos últmos, dpnd fundamntalmnt d la pcsón d los pmos. a lacón xstnt nt stas técncas s tan stcha qu sulta lógco tata l poblma n su conjunto. os acconamntos d las máqunas d nduccón dbn ntga d foma amonosa stos concptos, s ptndn compt con los acconamntos cláscos, o con las nuvas das. Tal vz l poblma más smpl d la stmacón d los paámtos dl modlo d la máquna d nduccón consst n dsaolla algotmos automátcos, qu dtmnn con cta pcsón los paámtos dl ccuto quvalnt clásco. Est poblma s vn studando dsd hac mucho tmpo, y n la actualdad l dsaollo d las hamntas d cálculo psonals pmtn su solucón ápda y pcsa. Sn mbago, las técncas smpls qu s mplaban n l pasado, pudn tn n muchos casos un ámbto d aplcacón muy mpotant todavía. as técncas apoxmadas basadas n smplfcacons dl ccuto quvalnt o dl dagama d cículo d la máquna d nduccón, son - 1 -

2 sufcnts paa ctas aplcacons, o pudn sv d punto d aanqu a métodos numécos más laboados. os modlos dnámcos d la máquna d nduccón dpndn d los msmos paámtos qu l ccuto quvalnt clásco. Esto hac pnsa con cta lógca n la posbldad d utlza las msmas técncas d stmacón paamétca qu s mplan n l ccuto quvalnt paa dtmna los paámtos d los modlos tanstoos. Sn mbago, los modlos dnámcos stán ontados a oto tpo d aplcacons. En stas aplcacons los paámtos no pudn consdas státcos o nmutabls. Cuando la vaacón dnámca d los paámtos con las condcons d opacón d la máquna son mpotants, s ncsao utlza técncas d stmacón mucho más ápdas y fnadas. as técncas modnas d mdcón y adquscón d datos n tmpo al hacn posbl nuvos métodos d mdda. En algunos casos s ncsao alza una adaptacón pmannt d los paámtos dl modlo a mdda qu l pocso tanscu y las condcons d opacón camban. S han dsaollado vaos métodos aplcabls a la solucón d st mpotant poblma [6,7,46,47,61]. Rcntmnt algunos autos han aplcado las técncas d stmacón paa solv l poblma [17,41,58,71]. En st tabajo s psntan algunas das ognals, qu pudn smplfca y acla los métodos popustos antomnt. Tanto la stmacón d stado como la stmacón paamétca utlzan las técncas báscas d la optmzacón matmátca d funcons [9,3,65]. Cuando las funcons qu s dsan optmza no son lnals, l poblma s complca notablmnt [3]. os métodos numécos d optmzacón ofcn n muchos casos altnatvas satsfactoas paa aboda st poblma, po cuando l tmpo d solucón s una vaabl cítca, ntnta la fomulacón mdant funcons lnals s una altnatva más dsabl. En st capítulo s compaan y dscutn los dfnts métodos popustos, con la ntncón d psnta lnamntos conctos sob l ámbto y alcanc d aplcacón d cada uno. - -

3 4. Estmacón d los paámtos dl ccuto quvalnt clásco d la máquna d nduccón po métodos convnconals apoxmados. El ccuto quvalnt clásco d la máquna d nduccón con oto bobnado stá dfndo po ss paámtos o lmntos ccutals, ts sstncas qu modlan las péddas n l cob d los conductos y n l matal magnétco, y ts actancas qu psntan los flujos d dspsón y d magntzacón d la máquna. Paa modla máqunas d nduccón con otos d jaula d adlla con baas pofundas o dobl jaula, son ncsaos ocho o más paámtos ccutals [49,5]. El ccuto quvalnt clásco d la máquna d nduccón s smjant al d un tansfomado con caga sstva vaabl. Po sta azón, la mtodología utlzada n la dtmnacón d los paámtos dl ccuto quvalnt dl tansfomado s pud aplca con ctas vaacons a la stmacón apoxmada d los paámtos dl ccuto quvalnt d la máquna d nduccón. as dfncas fundamntals nt los tansfomados y las máqunas d nduccón son dos: po un lado la posbldad d movmnto latvo nt la pza dl stato y la dl oto, y po oto la psnca dl ntho ncsao paa pmt st movmnto. En los tansfomados convnconals, la cont d magntzacón s muy pquña n compaacón con la cont nomnal, po sta azón s pud dspca sta ama dl ccuto quvalnt, cuando s dsa dntfca l valo d las actancas d dspsón. En la máquna d nduccón sta hpótss o apoxmacón s más dfícl d sostn poqu l ntho hac ncsao un mayo consumo d fuza magntomotz paa foza la cculacón dl flujo magnétco. Es fcunt qu n los tansfomados s tnga ascso a los tmnals pmaos y scundaos d las bobnas. Sn mbago, n la mayoía d las máqunas d nduccón l accso a los ccutos otócos no s posbl, al mnos n condcons nomals. Paa dntfca los paámtos dl ccuto quvalnt d un tansfomado, s alzan los nsayos nomalzados d vacío y cotoccuto [5,66,73]. El pmo con la fnaldad d obtn la actanca y sstnca d magntzacón, y l sgundo paa dtmna las actancas d dspsón y sstncas d los conductos. a spaacón d la sstnca dl ccuto - 3 -

4 pmao y dl ccuto scundao s pudn alza mdndo la caída d tnsón al nycta una cont contnua dtmnada n una d las dos bobnas. a spaacón nt las actancas d dspsón pmaa y scundaa s obtn patndo popoconalmnt a la actanca d dspsón total, la luctanca dl camno magnétco n cada bobna. En los tansfomados cuyos ccutos pmaos y scundaos tnn la msma potnca apant, las bobnas ocupan páctcamnt l msmo volumn. En l sstma admnsonal d undads - sstma n po undad -, las dos actancas d dspsón dl modlo T dl tansfomado son apoxmadamnt guals. En valos físcos, la azón nt stas actancas s gual al cuadado d la lacón d vultas dl tansfomado. En la máquna d nduccón la stuacón s dfnt, dbdo a qu las anuas y los camnos magnétcos d las bobnas dl stato y dl oto pudn s dfnts. A psa d las dfncas xstnts nt los modlos cláscos dl tansfomado y d la máquna d nduccón, la pma apoxmacón n l poblma d la stmacón paamétca consst n utlza xactamnt las msmas hpótss mpladas paa los tansfomados. Sgún sta da, s alzan los nsayos d vacío y oto bloquado d la máquna d nduccón paa obtn una stmacón paamétca apoxmada dl modlo. El nsayo d oto bloquado s quvalnt a la puba d cotoccuto d un tansfomado. Admás d stos dos nsayos pud s convnnt o ncsaa la alzacón d nsayos adconals n caga. En l nsayo d vacío s hac ga l oto d la máquna a una vlocdad angula qu sa páctcamnt gual a la vlocdad sncónca, d pfnca mdant un acconamnto xtno. D sta foma l dslzamnto nt la vlocdad angula dl campo magnétco otatoo dl stato y la vlocdad angula mcánca dl oto s nulo. En stas condcons la fuza lctomotz nducda n los conductos dl oto s co y no ccula cont po stos ccutos. a máquna s almnta a fcunca y tnsón nomnal n l stato y s mdn con la mayo pcsón posbl las conts po las fass, tnsons d lína y potnca actva d ntada. Como l ccuto s futmnt nductvo s convnnt utlza vatímtos spcals paa md bajos factos d potnca duant l nsayo. Estos nstumntos son vatímtos nomals qu poducn una dflxón d la aguja unas cnco vcs mayo qu la d un vatímto convnconal smla. S s utlzan nstumntos dgtals, sta pcaucón no s ncsaa. En la fgua

5 s psnta l dagama squmátco dl qupamnto qudo paa la alzacón d st nsayo. R W I R V UV U x y z RPM I a S T - W - I S I T V VW V W M.I. 3 φ M.C.C I c V a - Fg. 4.1 Montaj xpmntal paa l nsayo d vacío con acconamnto xtno dl j d la máquna a tnsón n la ama d magntzacón s apoxmadamnt gual a la tnsón d almntacón, dbdo a qu las conts d magntzacón no poducn una caída sgnfcatva n la ama s dl modlo, aun cuando stá compndda nt una tca pat y la mtad d la cont nomnal. Con sta smplfcacón, la sstnca y actanca d magntzacón s calculan d la sgunt foma: S 0 = 3 V 0 I P 0 = P 1 P 4. Q 0 = S 0 P R m V 0 P X m V 0 Q El nsayo d oto bloquado consst n taba l oto d la máquna d nduccón. Cuando l oto stá dtndo, l dslzamnto s untao. El ccuto quvalnt n stas condcons d opacón s smjant al d un tansfomado - 5 -

6 n la condcón d cotoccuto. En la dntfcacón d los paámtos dl ccuto quvalnt dl tansfomado s pud dspca la ama d magntzacón, poqu la cont d cotoccuto s mucho mayo qu la cont d magntzacón. a tnsón d la ama d magntzacón s dpm páctcamnt a la mtad d la tnsón d vacío y sto duc aún más la cont qu ccula po lla duant l nsayo. En l tansfomado, la nflunca d la ama d magntzacón duant la puba s páctcamnt dspcabl. En la máquna d nduccón la cont d oto bloquado pud alcanza nt ts y ss vcs la cont nomnal. a cont d vacío stá compndda nt la tca pat y la mtad d la cont nomnal. Duant la puba d oto bloquado la tnsón d la ama d magntzacón s dpm más o mnos a la mtad, y po sta azón la cont d la máquna duant st nsayo pud alcanza a s nt ss y dcocho vcs mayo qu la cont d magntzacón. Dsd un punto d vsta páctco s posbl dspca sta ama n la stmacón d los paámtos. Sn mbago la apoxmacón no s tan pcsa como cuando s aplca n l nsayo d cotoccuto d un tansfomado [73]. El squma d mdda s smla al lustado n la fgua 4.1, po n luga d hac ga la máquna d nduccón a vlocdad sncónca, s ncsao bloqua mcáncamnt l oto. Como l ccuto quvalnt n st nsayo tambén s muy nductvo, dbn utlzas vatímtos d bajo facto d potnca paa mjoa la pcsón d la mdda, o nstumntos dgtals qu lmnan st nconvnnt. En la páctca, l nsayo d oto bloquado no s alza a valos nomnals d tnsón paa vta l calntamnto xcsvo dbdo al ncmnto d las péddas con l cuadado d la cont, qu admás s v afctado adconalmnt po la falta d vntlacón n las máqunas cuyo vntlado s ncunta acoplado dctamnt al j mcánco. D cualqu foma, s ncsao utlza una tnsón sufcntmnt gand como paa qu l ccuto magnétco sté opando n la zona lnal. Aun cuando l nsayo a oto bloquado s alc con cta apdz, la sstnca d las bobnas camba apcablmnt con la tmpatua y s ncsao cog las mddas alzadas po st mpotant facto. Paa st fn, s mdn las sstncas dl stato cuando la máquna stá a tmpatua ambnt, ants d comnza l nsayo. Esta mdda s alza nyctando cont contnua n las bobnas y s md la caída d tnsón cospondnt. a - 6 -

7 cont nyctada db s mno a un décmo d la cont nomnal paa qu l calntamnto sa páctcamnt dspcabl. Postomnt s fctúa l nsayo a oto bloquado, nmdatamnt dspués d tmna stas mddas, s alza una nuva mdda d las sstncas dl stato, po l msmo método dscto antomnt. as dos mddas d sstnca, y l conocmnto dl matal utlzado n l bobnado d la máquna -nomalmnt cob cocdo n fío- pmtn dduc la tmpatua alcanzada po la máquna duant l nsayo. S la máquna stá bobnada con cob cocdo n fío, la cuacón qu dtmna la vaacón d la sstnca n funcón d las tmpatuas s la sgunt [31]: R T 1 R T = 34.5 T 1 ( C) 34.5 T ( C) 4.6 Paa dtmna los paámtos d la ama s dl ccuto quvalnt d la máquna d las mddas d potnca, tnsón y cont s utlza l sgunt pocdmnto: S cc = 3 V cc I cc 4.7 Q cc = S cc P cc 4.8 R T R R = P cc Icc X T X X = Q cc Icc as sstncas s pudn cog dsd la tmpatua d la puba, a la tmpatua nomnal d opacón. Como admás s conoc la sstnca dl stato po mdcón dcta, la sstnca dl oto fda al stato s calcula po dfnca: R R T R P cc R Icc Con las mddas alzadas, no s posbl obtn una spaacón d las actancas d fuga dl stato y oto, la páctca más habtual consst n dvdlas po gual n las dos amas. Sn mbago, s ncsao coda qu los camnos d fuga dl stato y dl oto son dfnts. os camnos d fuga - 7 -

8 dpndn d las fomas d las anuas, y stas pud df nt l stato y l oto d una msma máquna. os nsayos tadconals d vacío y oto bloquado aplcados a la máquna d nduccón no pudn dtmna compltamnt los ss paámtos dl ccuto quvalnt clásco. Cada uno d stos nsayos pud stablc tan solo dos cuacons ndpndnts. Son ncsaos nsayos adconals paa la dtmnacón pcsa d todos los paámtos. a mdda dcta d la sstnca d las bobnas dl stato lmna una ncognta, po todavía s ncsaa una cuacón adconal. Consda qu las actancas d dspsón dl stato y la dl oto fda al stato son guals, popocona una d las apoxmacons más gnalzadas. S s qu mayo xacttud s ncsao alza alguna puba adconal tal como l nsayo d la máquna n un punto d opacón ccano al nomnal. Como los paámtos d la máquna vaían duant la opacón, y dpndn d la vlocdad dl oto, dbdo pncpalmnt al fcto plcula, l sstma d cuacons no lnals qu s obtn d ts nsayos a dfnts vlocdads o dslzamntos, pud no s compatbl. Una solucón pud s ncmnta los paámtos dl modlo paa psnta st fnómno. Ota solucón consst n obtn l conjunto d paámtos qu mnmza una cta funcón d costo consttuda po los os nt las mddas als y los valos calculados po l modlo [3,71,73]. En cualqu caso, s un bun cto dtmna cada paámto d aqul nsayo qu lo psnta o snsblza mjo. os paámtos d la ama d magntzacón son potagonstas duant la puba d vacío. a actanca d dspsón s la lmtant fundamntal d la cont duant l nsayo a oto bloquado. a sstnca dl oto s la sponsabl d la tansfnca d potnca y pa lctomcánco al j d la máquna, po sta azón los nsayos n caga y los datos nomnals d placa sumnstan nfomacón valosa sob st mpotant paámto. En ocasons s dspon d muy poca nfomacón sob una dtmnada máquna, ncluso pud s posbl qu s cunt solamnt con los datos d placa. Paa dtmna n foma gusa los paámtos d sta máquna cuando no s posbl alza nsayos, s pocd d la sgunt foma: - 8 -

9 S supon qu toda la cont d magntzacón s páctcamnt actva, con lo cual s dspca la sstnca d magntzacón. S consda qu sta cont db s apoxmadamnt, un tco d la cont nomnal. a cont nomnal, n módulo y ángulo pud dtmnas d los datos d placa. a dfnca nt las conts nomnal y la cont d magntzacón s la cont qu ccula po la ama otóca dl ccuto quvalnt. Esta cont tn qu tansmt la potnca al j mcánco a tavés d la sstnca dl oto. a potnca nomnal n l j, la cont po la ama otóca y l dslzamnto nomnal dtmnan dctamnt la sstnca dl oto fda al stato. Paa dtmna apoxmadamnt la actanca d dspsón total d la máquna, s cuda dl luga gométco d las conts d la máquna d nduccón, qu la bsctz nt dos puntos dl dagama pasa po l cnto dl cículo. Como s ha dspcado la sstnca d magntzacón, la dccón d la cont d magntzacón tambén pasa po l cnto dl cículo. a ntsccón d stas dos línas s l cnto. En la fgua 4. s musta la dtmnacón dl dámto dl cículo po st pocdmnto. Rcodando qu l dámto dl cículo s apoxmadamnt gual al cocnt nt la tnsón aplcada y la actanca d dspsón total, s pud dtmna fáclmnt st paámto. Fnalmnt, s pudn hac consdacons sob l ndmnto d la máquna paa obtn una apoxmacón a la sstnca dl stato

10 V th I n I o V th /X th -j Fg. 4. Obtncón d la actanca d dspsón apoxmada a pat d los datos d placa d la máquna d nduccón 4.3 Estmacón d los paámtos dl ccuto quvalnt clásco d la máquna d nduccón utlzando técncas d optmzacón no lnal. En la sccón anto s psntó l método apoxmado qu pmt la dtmnacón d los paámtos dl ccuto quvalnt clásco d la máquna d nduccón. Esta técnca s una adaptacón dl pocdmnto convnconal paa la stmacón d los paámtos dl ccuto quvalnt dl tansfomado. Con los nsayos d vacío y oto bloquado, s alza la mdda d la mpdanca quvalnt d la máquna n dos condcons d opacón, cospondnts a los dslzamntos co y uno spctvamnt. Admás s alza una mdda dcta d la sstnca dl stato. Conocda la sstnca dl stato, sólo qudan po dtmna cnco paámtos. Cada uno d los nsayos pmt stablc dos cuacons, una paa la pat al y ota paa la pat magnaa d la mpdanca d ntada. En total, s dspon d cuato cuacons y cnco paámtos dsconocdos. El poblma matmátco stá ndtmnado. a solucón obtnda con tan scasa nfomacón, admás d utlza smplfcacons más o mnos azonabls, db consda una spaacón atfcal d las actancas d dspsón. Est

11 poblma s pud solv alzando nsayos adconals a dfnts dslzamntos. Con stos nsayos, s obtn un sstma con un mayo númo d cuacons - dos po cada nsayo -. Como los paámtos qu s stán dtmnando son smp cnco, s tnn más cuacons qu ncógntas. El sstma d cuacons obtndo stá sob dtmnado. as mddas alzadas n los nsayos ncluyn os d apcacón dl obsvado y pcsón n los nstumntos. os paámtos d la máquna vaían duant la opacón, dpndndo d vaabls tals como l gado d satuacón, la tmpatua y l fcto plcula nt otas. Admás, l modlo s una apoxmacón n la cual s alzan vaas hpótss smplfcatvas, qu s váldo solamnt n un égmn d opacón pfctamnt qulbado. En sta stuacón, sulta d gan utldad la técnca d stmacón paamétca po l método d los mínmos cuadados [71]. Dl ccuto quvalnt d la máquna d nduccón s pud dtmna la mpdanca d ntada n funcón d los paámtos d la máquna, la fcunca d almntacón y l dslzamnto dl oto. a funcón d mpdanca d ntada vsta n bons dl stato tn la sgunt stuctua: dond: Z σ m ( R, σ, R, σ, Rm, m, s, ω ) = Zσ Zσ Zm = Zσ 4.1 Zσ Zm Z = R jω 4.13 σ σ Z Z Z = R jω 4.14 σ σ = R jx = jω R m m Z m m m 4.15 Rm jωm S s utlza l modlo d mpdanca d ntada d la máquna obtndo n la xpsón 4.1, alzando n nsayos ndpndnts con una cta pcsón, paa lo cual s vaía la vlocdad dl oto o la fcunca d almntacón, l poblma qu s db solv paa dtmna los paámtos dl ccuto quvalnt clásco d la máquna d nduccón consst n: Mnmza Ψ: n Z ψ = 1 cal ( s, ) (, ) ω Zmd s ω Z σ. Zmd ( s, ω ) cal ( s, ) (, ) ω Zmd s ω σ. Zmd ( s, ω ) = *

12 dond: Z md -ésma mpdanca mdda n los nsayos. Z cal -ésma mpdanca calculada mdant l modlo. s ω dslzamnto d la -ésma mdda. fcunca d la -ésma mdda. σ facto d pcsón d la mdda. númo cospondnt a cada mdda, y n númo total d mddas. a cuacón 4.16 s pud scb matcalmnt como: dond: ψ = f T *.f, 4.17 f T * = [ f * 1 (x,s 1,ω 1 ) f * (x,s,ω ) f * n (x,s n,ω n )], 4.18 f (x,s,ω ) = Z cal(x, s,ω ) Z md (x,s,ω ), y 4.19 σ.z md (x,s,ω ) x T = [ R σ R σ R m m ] 4.0 Consdando qu la cuacón 4.17, no s lnal n l caso gnal, las dvadas pacals d la funcón d costos ψ con spcto a cada una d los paámtos dl vcto x dl modlo, s calculan d la sgunt foma: T* T* ψ ( x) T* f( x) f ( x) f ( x) T = ( ) = ( ).. =. ( ) =. ( ). ( ) Gx f x f fx J xfx x x x x 4.1 a matz J(x) dfnda n la cuacón 4.1 s la matz Jacobana dl vcto d os pondados f(x). a matz Jacobana s d dmnsón nxm, dond n s l númo d mddas, y m l númo total d vaabls d stado o paámtos dl modlo. El ncmnto d los paámtos qu mnmza la funcón d costos 4.17, cuando s utlza l método d optmzacón d Gauss-Nwton [3,65] s d la sgunt foma: x = Jx k [( ) T. Jx ( k )] 1 ( ) T.fx ( k ) 4..Jx k - 1 -

13 Y l vcto d vaabls d stado o paámtos dl modlo n la tacón k1 s calcula como: x k 1 = x k x 4.3 S n la tacón k, l módulo dl vcto x s mno qu un cto o ε spcfcado ncalmnt, l poblma convg al mínmo local más ccano d la funcón d costos ψ. Est método psnta ctos poblmas d convgnca, n patcula cuando l pso d las sgundas dvadas n la matz Hssana s mpotant. Paa gaantza la convgnca dl método s comndabl modfca la cuacón 4.3 d la sgunt foma: x k 1 = x k α. x 4.4 Susttuyndo la cuacón 4.4, n l vcto d os pondados f(x k 1 ) s pud obtn mdant la cuacón 4.17, la funcón d costos paa la tacón k 1, n funcón d las vaabls d stado obtndas n la tacón k, y l paámto undmnsonal α : ψ( x k1 )= ψ( x k α. x)= fx ( k α. x) T.fx ( k α. x)= ψα ( ) 4.5 Paa obtn l nuvo vcto d coccón α. x, s ncsao dtmna l valo dl paámto α qu mnmza la funcón d costos. Una vz obtndo l valo d las vaabls d stado qu mnmzan la funcón d costos n la tacón k 1, s posgu l cálculo dtmnando una nuva dccón mdant la cuacón 4., y un nuvo pocso d búsquda dl mínmo con la xpsón 4.5. Cuando l módulo dl vcto d dccón s nfo a la pcsón quda n los cálculos, culmna l pocso d mnmzacón obtnéndos la mjo stmacón d los paámtos dl modlo. En la fgua 4.3 s psnta l algotmo básco d st pocso d stmacón paamétca

14 ctua d: - Nº d mddas n - dslzamnto s - fcunca ω - mpdanca Z m k = 0 Cálculo d los valos ncals dl vcto x k Evaluacón d J k=k1 no g (x k ) = J T f H(x k ) J T J k>k max s x k = - H -1 g x k1 = x k α x k s Fn no Ota Solucón? s x < ε? no Obtncón d a qu mn. Ψ (x α x) búsquda lnal Fg. 4.3 Dagama d flujo dl método d mnmzacón d Gauss-Nwton Uno d los nconvnnts qu psnta l método d Gauss-Nwton modfcado s la ncsdad d nconta un valo ncal paa las vaabls d stado. a funcón d costos ψ, pud tn múltpls mínmos locals. a mjo solucón paa l modlo s aqulla qu poduc l mno d los mínmos locals. os valos d aanqu pudn s gnados mdant una stmacón ncal d tpo dtmnístco qu pud s alzada mdant los métodos tadconals smplfcados analzados n la sccón anto. D todas fomas, l método d Gauss-Nwton qu d un valo ncal ccano a la solucón paa gaantza la convgnca a la solucón óptma. S s dsa asgua la convgnca dl método, s convnnt lmta la coccón máxma α x k paa qu nnguno d los paámtos d la máquna

15 dfndos n l vcto x k puda aumnta o dsmnu n más d un cncunta po cnto n cada paso o taccón dl pocso d optmzacón. Esto pud duc la vlocdad dl algotmo, po asgua qu los paámtos han d s smp postvos, y vta las posbls dvgncas ognadas po la no lnaldad dl modlo. El método d Gauss-Nwton s muy fcnt paa la dtmnacón d los paámtos cuando la funcón d costos s dfn po mínmos cuadados. Otos métodos d optmzacón no lnal tambén pudn obtn solucons con más o mnos dfcultad. Como jmplo, s psnta a contnuacón l lstado d un algotmo alzado n l ntono d pogamacón MATAB vsón 3.5. En st jmplo s alza la stmacón d los paámtos dl modlo d una máquna d nduccón d oto bobnado. Paa valda la hamnta s dfnn los valos d las sstncas nductancas dl ccuto quvalnt. Con stos paámtos s valúan las mpdancas d ntada d la máquna paa las condcons d la puba d vacío, caga y oto bloquado. Po l método apoxmado dscto n la sccón anto, s alza una stmacón ncal d los paámtos. S utlza un pogama d la lbía dl ntono dnomnado fmns qu utlza la modfcacón al método Smplx d Nld-Mad [39]. Ejmplo 1: Estmacón paamétca d la máquna d nduccón d oto bobnado. ************************************************************ Estmacón d los paámtos d una máquna d nduccón mdant la técnca d los mínmos cuadados. ************************************************************ pogama paámtos. Paa st jmplo s utlzó l ccuto quvalnt paa dtmna la mpdanca d ntada paa ts dslzamntos dfnts: vacío (s=0), caga (s=0.03) y oto bloquado (s=1) os paámtos dl ccuto quvalnt d sta máquna son: R =.0 p.u. X =.10 p.u. Rm = 50. p.u. Xm = 3.0 p.u. X =.15 p.u. R =.03 p.u. os nsayos alzados don los sgunts sultados: Zmdda(s=0) = j3.089 p.u. Zmdda(s=0.03) = j p.u. Zmdda(s=1) = j.496 p.u. R =.0 p.u. (Mdda dcta) Utlzando l método apoxmado s consgun los sgunts valos d aanqu. Xo =.1 p.u. Rmo = 48.0 p.u. Xmo = 3.3 p.u. Xo =.1 p.u. Ro =.076 p.u

16 Estos valos s cagan n l vcto d aanqu x0: x0 = [ ]; Fnalmnt s llama a la utna fmns qu calcula los valos d los paámtos x qu mnmzan la funcón d costo. El o latvo spcfcado paa la convgnca s x = fmns(costo, x0, 0.001); En l vcto x s han cagado los paámtos óptmos d la stmacón. a solucón s: Rfn = 0.0 Xfn = x(1) Rmfn = x() Xmfn = x(3) Rfn = x(4) Xfn = x(5) Fn dl cálculo paamétco. ************************************************************ functon F = costo(x) ************************************************************ Evaluacón d la funcón d costos po mínmos cuadados. F = Sumatoa(os latvos)^ Dslzamntos cospondnts a los nsayos d vacío, caga y oto bloquado. s = [ ]; R = 0.0; Mdcón dcta d la sstnca stato X = x(1); Ractanca d dspsón dl stato Rm = x(); Rsstnca d magntzacón Xm = x(3); Ractanca d magntzacón R = x(4); Rsstnca dl oto fda al stato X = x(5); Ractanca dspsón oto fda al stato Vcto fla d las mpdancas d ntada mddas n los nsayos. Zmdda = [ * * *]; Evaluacón d las mpdancas calculadas mdant la stmacón d los paámtos dl modlo. Z = Rj*X; Zm = (Rm*j*Xm)/(Rmj*Xm); Zth = Z*Zm/(ZZm)j*X; V = 1.00; Vth = Zm*V/(ZmZ); I = Vth./(ZthR./s); E = I.*(R./sj*X); Im = E./Zm; I = ImI; Zcalculada=V./I; Impdanca stato Impdanca magntzacón Impdanca d Thvnn Tnsón dl stato Tnsón d Thvnn Cont dl oto fda Tnsón ama magntzant Cont d magntzacón Cont dl stato Impdanca d ntada calculada Cálculo dl o latvo nt las mddas y l modlo

17 o = (Zmdda-Zcalculada)./Zmdda; Cálculo d la funcón d costo po mínmos cuadados F = o*o; Fn d la funcón costo ************************************************************ Rsultados obtndos al jcuta l pogama... ************************************************************»paámtos Rfn = Xfn = Rmfn = Xmfn = Rfn = Xfn = » En la sgunt tabla s psnta una compaacón nt los sultados d los dos métodos: Paámto Método Estmacón Exacto Apoxmado MATAB R X R m X m R X S la máquna d nduccón pos un oto d jaula d adlla d baa pofunda o d dobl jaula, s ncsao modfca l cálculo d la mpdanca d ntada, ncmnta l númo d nsayos lnalmnt ndpndnts. En la fgua 4.4 s ha psntado l modlo ccutal d la máquna d nduccón con oto d dobl jaula, st modlo s utlza tambén paa analza, n una pma apoxmacón, l compotamnto d las máqunas con oto d jaula d adlla con baas pofundas [49,5]

18 Z Z R j X j X 1 j X R m j X m R 1 s R s Z ntada Z m Fg. 4.4 Modlo d la máquna d nduccón con oto d dobl jaula a mpdanca d ntada d una máquna d dobl jaula s pud calcula, a pat dl modlo d la Fg. 4.4 como: Z ntada = Z Z Z m 4.6 Z Z m dond: Z = R jx 4.7 Z m = jr m X m R m jx m 4.8 R 1 Z = R 1 s Z s Z jx 1, y 4.9 Z = R s jx 4.30 Paa dtmna los ocho paámtos d st modlo son ncsaos al mnos cuato nsayos ndpndnts. En stas pubas las vaabls d contol pudn s l dslzamnto y la fcunca d almntacón. os valos ncals d los paámtos dl modlo s obtnn smplfcando l ccuto quvalnt n cada una d las condcons d nsayo

19 Ejmplo : Estmacón pacal d los paámtos d la máquna d nduccón d dobl jaula ************************************************************ Estmacón d los paámtos d una máquna d nduccón d dobl jaula mdant la técnca d los mínmos cuadados. ************************************************************ Paa st jmplo s utlzó l ccuto quvalnt paa dtmna la mpdanca d ntada paa cuato dslzamntosdfnts: vacío (s=0), caga (s=0.03 y 0.06) y oto bloquado (s=1) os paámtos als dl ccuto quvalnt d sta máquna son: R =.0; X =.10; Rm = 50.; Xm = 3.0; X1=.10; R1 =.08; X =.15; R =.04; os dslzamntos d los cuato nsayos son: s=[ ]; os cuato nsayos alzados don los sgunts sultados: Zmdda=[ * * * *] Utlzando l método apoxmado s consguon los sgunts valos d aanqu. Ro = 0.0 Xo =.10 Xmo = 3.00 Rmo = 50. R1o = 0.08 X1o =.1 Ro = 0.03 Xo=.1 S pud supon paa smplfca l pocso d stmacón qu los paámtos dl stato son conocdos con pcsón. S s cagan las stmacons dl sto d los valos n l vcto d aanqu xo: x0=[ ]; Fnalmnt s llama a la utna fmns qu calcula los valos d los paámtos x qu mnmzan la funcón d costo. El o latvo spcfcado paa la convgnca s OPTIONS=[ ]; x=fmns(costo,x0,options); Fn dl algotmo d stmacón paamétca ************************************************************ functon F = costo(x) ************************************************************ Evaluacón d la funcón d costos po mínmos cuadados. F = Sumatoa(os latvos)^ Dslzamntos cospondnts a los nnsayos d vacío, caga y oto bloquado

20 s = [ ]; R = 0.0; Mdcón dcta d la sstnca stato X =.1 ; Ractanca d dspsón dl stato Rm = 50 ; Rsstnca d magntzacón Xm = 3.0 ; Ractanca d magntzacón R1= x(1); Rsstnca dl oto1 fda al stato X1= x(); Ractanca dspsón1 oto fda al stato R= x(3); Rsstnca dl oto fda al stato X= x(4); Ractanca dspsón oto fda al stato Vcto fla d las mpdancas d ntada mddas n los nsayos. Zmdda=[ * * * *]; Evaluacón d las mpdacas calculadas mdant la stmacón d los paámtos dl modlo. Z = R./s*X; Z1 = (R1*Z./s)./(R1./sZ)*X1; Zm = *Rm*Xm/(Rm*Xm); Z = R*X; Zcal = Z(Z1*Zm)./(Z1Zm); Cálculo dl o latvo nt las mddas y l modlo o = (Zmdda-Zcal)./Zmdda; Cálculo d la funcón d costo po mínmos cuadados F = o*o; Fn d la funcón costo ************************************************************ Rsultados optndos al jcuta l pogama... ************************************************************» a solucón s: Rfn = 0.0 Xfn =.1 Rmfn = 50 Xmfn = 3. R1fn = X1fn = Rfn = Xfn = » En la sgunt tabla s psnta una compaacón nt los sultados d los dos métodos: Paámto Método Estmacón Exacto Apoxmado MATAB R X R m X m

21 R X R X En l jmplo, l pocso d stmacón paamétca s pud acla consdablmnt s s dtmnan dctamnt los paámtos dl stato. Estos paámtos pudn s obtndos con mucha pcsón d los nsayos d vacío - ama d magntzacón-, scunca co - actanca d dspsón dl stato-, y sstnca d las bobnas dl stato. En st caso no s han alzado nsayos a vaas fcuncas, po sto pmt dscn con mayo pcsón nt los paámtos dl oto. Aun cuando la técnca d stmacón no lnal conduc a un conjunto d paámtos qu poduc con gan apoxmacón l compotamnto d la máquna, los algotmos d optmzacón tnn una convgnca latvamnt lnta dsd l punto d vsta dl tmpo d cálculo qudo. Sn mbago, cuando la stmacón ncal no df dmasado d los paámtos d solucón, l pocso s acla notablmnt. Esta da podía s mplada n un stmado paamétco n tmpo al, fua d lína s pudn dtmna los paámtos d la máquna con gan pcsón, y postomnt s ajustan a mdda qu stos vaían d acudo con las condcons d opacón. D cualqu foma, la dnsdad d cálculo ncsaa n sta solucón, qu la utlzacón d computados d muy alta vlocdad d pocsamnto y lnguajs d pogamacón d alto nvl - Fotan, Pascal, C, Matlab, tc-. El cálculo d la mpdanca d ntada pud s fctuado n lína, a pat d las mddas d las tnsons y conts nstantánas obtndas n bons d la máquna mdant tansductos adcuados y convsos analógco-dgtals latvamnt ápdos

22 4.4 Estmacón paamétca utlzando modlos dnámcos d la máquna d nduccón. a pncpal dfcultad n la stmacón d los paámtos d la máquna d nduccón stba n la mposbldad d md dctamnt algunas vaabls ntnas. os modlos d égmn pmannt y tanstoo dfnn paámtos, conts y tnsons qu no son accsbls dctamnt. Po sta azón l método d stmacón dsaollado n la sccón anto, dtmna un compotamnto no lnal d la mpdanca d ntada. Paa solv st poblma s pcso obtn un sstma d cuacons lnals como psntacón d la máquna d nduccón, y lmna las vaabls no mdbls. Esta da no s nuva, y ha sdo utlzada po la toía d contol automátco paa caactza plantas d gan compljdad [6,7,58,71]. El modlo tanstoo d la máquna d nduccón n coodnadas abtaas dsaollado n l capítulo 3, s pud xpsa como: v δ v δ δ δ { } δ δ δ d d = R j δ 4.31 dt dt δ δ { } δ δ δ d d = R j( δ θ ) 4.3 dt dt δ * δ d θ {( ) } τ α m = J fc. θ 3 Im 4.33 dt S la vlocdad angula mcánca θ = ωm, s constant, y la vlocdad angula d la fnca abtaa δ, s consda nula po azons d smplcdad, las cuacons dfncals 4.31 y 4.3, s convtn n una psntacón lnal dl compotamnto d la máquna d nduccón. Admás, n gnal la tnsón dl ccuto otóco s nula: v = R p p 4.34 { } 0 = R p p j θ 4.35 Dspjando d la cuacón 4.35, la dvada d la cont dl oto p y susttuyéndola n la xpsón 4.34, s obtn: - -

23 - 3 - p j R j p = θ θ 4.36 R j p j R v = ˆ θ θ 4.37 dond: ˆ =. Dvando con spcto al tmpo la xpsón 4.37, susttuyndo la dvada d la cont dl oto p, obtnda a pat d la cuacón 4.36, y mplazando n la msma xpsón la cont dl oto, obtnda a pat d la popa cuacón 4.37, sulta: ( ) R R j p j R R p p v v = ˆ ˆ θ θ 4.38 a xpsón 4.38, s pud scb d la sgunt foma: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k k j k p k p j p k j p v v v = θ θ θ 4.39 dond: ; ; ; ; ˆ R R k R k R k R R k k = = = = = En la cuacón 4.39, l mmbo d la zquda d la gualdad no dpnd d los paámtos d la máquna, pud s valuado dctamnt d mddas nstantánas alzadas n bons d la máquna. En cambo, l mmbo a la dcha d la gualdad, dpnd d los cnco cofcnts ndcados como k 1, k, k 3, k 4 y k 5, admás d las cnco funcons d vaabls qu tambén pudn s mddas dctamnt. Esta cuacón qu d un mínmo d ts mddas lnalmnt ndpndnts paa pod dtmna po gsón lnal stos cnco cofcnts. Paa qu las cuacons cospondnts a cada mdda san ndpndnts, s ncsao utlza al mnos ts puntos d opacón con dfnt caga n j dl oto. Paa dtmna los cnco cofcnts d la cuacón 4.39, s constuy una funcón d costo con la sumatoa d los os cuadátcos, nt los valos mddos qu son ndpndnts d los paámtos, y los valos calculados

24 mdant una cta stmacón. os paámtos qu mnmzan la funcón d costo son la mjo solucón posbl al poblma plantado. a funcón d costos s pud psnta d la sgunt foma: dond: n = 1 t (, ) (, ) (, ) (, ) ψ = fmd t ω m f cal t ω m f md t ω m f cal t ω m 4.41 ( ω ) = v θv = [ ] fmd t, m p j h 4.4 t ( ω ) = θ θ v [ ] = [ ][ ] fcal t, m p j p p j k k k k k w k 4.43 Calculando las dvadas pacals d la funcón d costo ψ con spcto a cada uno d los paámtos k, s obtn: n [ h] [ w][ k] [ h] [ w][ k] 4.44 ψ = = 1 t n n n ψ [ h] [ w][ k] [ ] [ h] [ w][ k] k = = 0 = = 1 = 1 = 1 = = n n n n t t t t [ w] [ h] [ w] [ w][ k] [ w] [ h] [ w] [ w] [ k] = 1 = 1 = 1 = 1 n 1 n t t [ k] [ w] [ w] [ w] [ h] = = 1 = Una vz qu l vcto d los cofcnts [ k] ha sdo obtndo mdant la xpsón 4.45, s pudn dtmna los paámtos d la máquna d nduccón utlzando las dfncons 4.40: k k3 1 3; ; ; 1 k4 k4 R = k = T = = k 4.46 a técnca d stmacón paamétca po gsón lnal, s pud utlza n tmpo al paa adapta los paámtos dl modlo, a mdda qu las condcons d opacón dtmnan posbls vaacons d los msmos. a nductanca mutua stato-oto, y la nductanca dl oto, no s pudn - 4 -

25 obtn ndpndntmnt con sta fomulacón. Algunos autos sugn la posbldad d nclu una cuacón adconal paa lmna st poblma [1,58,68]. Una posbldad s la d utlza l cto d gualdad nt las nductancas dl stato y dl oto d la máquna. Esta da no s dscabllada y bn sndo utlzada dsd hac mucho tmpo paa pat la actanca d fuga dl modlo n las dos amas. Admás, l modlo n coodnadas d campo ontado utlza solamnt los paámtos calculados n la xpsón Esto sgnfca qu l modlo no pd nfomacón dnámca al alza sta consdacón. a stmacón ndpndnt d cada uno d los paámtos dl modlo, s pud obtn dvando po sgunda vz la cuacón dl stato 4.38 [58]. Est pocdmnto tn po dsvntaja la ncsdad d utlza dvadas d mayo odn - pmo, sgundo y tco -. a dvacón ntoducn udos n l pocso d stmacón, spcalmnt cuando s alza a vaabls mddas y dgtalzadas. Tambén tn como nconvnnt qu l sstma d cuacons lacona los cofcnts [] k con los paámtos dl modlo mdant un sstma no lnal d cuacons algbacas, cuya solucón numéca tn una convgnca latvamnt lnta cuando s compaa con la solucón dcta obtnda n la xpsón 4.46, paa l método con pmas y sgundas dvadas. ógcamnt, sto pud s más ápdo dsd l punto d vsta d cálculos qu la optmzacón d funcons no lnals, po d cualqu modo duc consdablmnt la aplcabldad dl método. Paa lusta la técnca s han stmado los paámtos d un moto d nduccón con oto d jaula d adlla con los sgunts datos y valos nomnals: P n = 100 Hp V n = 460 V I n = 154 A T n = 570 Nm n n = 1719 pm cos φ n = 0.91 I a. = 594 A T a. = 573 Nm η n = p = 4 f = 60 Hz T m = 1114 Nm Conxón n stlla tfásco J j = 5 Kgm as bass scogdas paa la psntacón dl modlo y sus paámtos n l sstma admnsonal d undads, son las sgunts: - 5 -

26 S BASE =13 kva V BASE = 460 V I BASE = 154 A ω BASE = ps T BASE = 68 Nm t BASE =.7-3 s os voltajs y conts d las bobnas dl stato, y la vlocdad angula mcánca dl oto s mdon n ts condcons d opacón dfnts. El pa d caga fu dfnt n cada punto. os gstos numécos fuon pocsados paa dtmna las pmas y sgundas dvadas d las vaabls ncsaas. Algunos gstos d ntés s psntan a contnuacón: tmpo [p.u.] ω m [p.u.] v [p.u.] j j j0.460 pv [p.u.] j j j1.337 [p.u.] j j j p [p.u.].8707-j j j0.181 p [p.u.] j j j Cuando s aplca l pocdmnto d gsón lnal 4.45, a los ts gstos d valos ndpndnts d la tabla anto, s obtnn los sgunts valos d los cofcnts ndtmnados [ k], y d los cospondnts paámtos dl modlo dnámco d la máquna d nduccón: k 1 k k 3 k 4 k E-4 R / T Consdando qu las nductancas popas dl oto y dl stato son páctcamnt guals, s obtn l sgunt conjunto d paámtos: R R Algunos autos [18,7,47] han utlzado las mddas dctas d la potnca actva o actva nstantána, paa adapta l valo d la constant d tmpo dl oto T, duant la opacón d la máquna. Est método s fundamnta n dtmna l valo d la constant d tmpo dl oto qu anula l o nt la - 6 -

27 potnca mdda n bons dl convtdo y aqulla qu s calcula mdant l modlo. El squma d contol adaptvo [7], consda qu l únco paámto dl modlo qu vaía duant la opacón d la máquna s la sstnca dl oto. a ntgal dl o d potnca dtmna un valo popoconal a la vaacón d la constant d tmpo dl oto, ncsaa paa lmna l popo o. Esta da s útl ntsant, aun más cuando l o s stablc utlzando como bas la potnca actva nstantána d la máquna, dbdo a qu n st caso s lmna la dpndnca funconal con las sstncas d las bobnas dl stato. Combnando sto con los métodos d stmacón paamétca po gsón lnal d las cuacons dfncals, ducdas a vaabls mdbls, s obtn un método novdoso d stmacón paamétca. Est método utlza la gsón lnal, las cuacons d potnca actva y actva nstantana, y las spctvas mddas n bons d la máquna, paa lmna la ncsdad d calcula dvadas d odn mayo a uno. En un convtdo lctomcánco con vaos putos léctcos, la potnca nstantána d ntada s dfn como la sumatoa d los poductos d las tnsons y conts n cada uno d los putos. Paa la máquna d nduccón tfásca, s tn: p( t) = v a a v b b v c c 4.47 S la conxón no ncluy tono, s db cumpl alguna d las sgunts lacons: a b c = v a v b v c = a potnca nstantana, calculada a pat d los vctos spacals d tnsón y cont s alza multplcando l faso spacal d la tnsón v, po l conjugado dl faso spacal d la cont *, sto con la fnaldad d mantn la convncón d potnca actva nductva ntando al puto dl convtdo como postva: - 7 -

28 s ( ) * =. = p t jq( t) = v 4 4 j π 3 j π 3 j π 3 j π 3 3 va vb v c 3 a b c = 1 = a a b b c c a bc b ca c ab 3 [ v v v ] j [ v v v ] 4.50 a pat al d la xpsón 4.50, cospond xactamnt con la dfncón 4.47, d la potnca actva nstantána, l témno magnao s pud asoca al concpto d potnca actva nstantána utlzada po la máquna. Paa ntpta físcamnt sta dfncón, s pud coda la lacón qu xst nt la fuza lctomotz, y la ntnsdad d campo léctco E po una pat, y nt la ntnsdad d campo magnétco H y la cont po ota. El poducto vctoal d los campos léctco E y magnétco H s dfn como vcto d Pontng P [38,40,60]. El vcto d Pontng P psnta l flujo d potnca po undad d áa dl campo lctomagnétco. En un punto dtmnado dl ntho d la máquna, l vcto d Pontng P tn dos componnts, una n la dccón axal qu dtmna l flujo d potnca nt l stato y oto, y ota tangncal qu mantn l campo magnétco ntno. Como la cont y la ntnsdad dl campo magnétco H stán laconados a tavés d la ly d Ampè, y la fuza lctomotz s obtn ntgando la ntnsdad dl campo léctco E, s azonabl pnsa qu la potnca actva nstantána stá stchamnt laconada con la componnt axal dl vcto d Pontng P, y qu la potnca actva nstantána dpnd d la componnt magnaa d st msmo vcto. Sn mbago, s ncsao coda qu la magntud y fas dl vcto d Pontng P, dpnd d la poscón spacal y dl tmpo, mntas qu las potncas actvas y actvas nstantánas solamnt son funcons tmpoals. Esto s dbdo a qu stas potncas son dfncons macoscópcas qu tnn mplícta una ntgacón n l spaco, y l vcto d Pontng s la dnsdad d potnca n un punto dtmnado dl spaco y dl tmpo. Paa alza la analogía complta con la tnsón spacal v n luga d la fuza lctomotz, s ncsao nclu los fnómnos no consvatvos, s dc las péddas óhmcas n los conductos. En l sstma d coodnadas abtaasδ = 0 ; δ = 0, la potnca actva y actva nstantána s: - 8 -

29 * δ jδ δ jδ δ δ () t () t. () t p() t jq() t (. ).(. ).( ) δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ ( vd jvq ).( d jq ) = ( vd. d vq. q ) j( vq. d vd. q ) * * s = v = = v = v = 4.51 a xpsón 4.51 s válda paa cualqu sstma d coodnadas, po n l sstma d coodnadas d campo ontado todas las vaabls dl oto han sdo lmnadas d la fomulacón. Rmplazando stas vaabls apac l módulo y dccón d la cont d magntzacón m y δ spctvamnt. Aun cuando stas nuvas vaabls no son mdbls dctamnt, stán fdas al sstma d coodnadas dl stato, lo qu smplfca n cto modo l poblma. Susttuyndo las xpsons 3.90 y 3.91 n 4.51, s obtn: ( M ) ˆ d d d q dm p = R d q δ qm d 4.5 dt dt dt dond: ( M ) ˆ ˆ dq d d dm q= δ d q δ dm q 4.53 dt dt dt = 4.54 d q as cuacons 4.5 y 4.53, dpndn d ts paámtos o combnacón d paámtos dl modlo dnámco. Tambén son funcón d dos tpos dfnts d vaabls, unas qu s pudn md dctamnt n bons d la máquna, y las otas qu s ncsao stma mdant l popo modlo. as potncas actvas y actvas nstantánas, así como la magntud d la cont dl stato s obtnn d las mdcons nstantánas d tnsons y conts n las bobnas. as conts d, q, m y la poscón δ así como sus spctvas dvadas tnn qu stmas dl modlo. Paa solv st poblma s ncsao dtmna n pm luga la poscón nstantána δ () t. a poscón angula dl vcto spacal d la cont d magntzacón δ(t ). s pud obtn d la nfomacón sumnstada po l popo stmado d stado dl sstma d contol. Sn mbago sta solucón no s satsfactoa, dbdo a qu xstn gados d lbtad sufcnts n las cuacons 4.53 y 4.54, paa obtn un conjunto d paámtos dpndnts d st ángulo. Est conjunto d paámtos cumpl con las cuacons d potnca nstantána po pud no psnta l compotamnto dnámco dl convtdo. Est azonamnto - 9 -

30 sug la ncsdad d conoc d la nfomacón más o mnos pcsa d algún paámto dl modlo. os métodos d stmacón paamétca qu ducn las vaabls no mdbls po dvacón d las cuacons ognals, ncstan dfn una lacón adconal nt las nductancas, paa dntfca l sto d los paámtos. Una d las lacons utlzadas con mayo fcunca consst n dfn qu las actancas d fuga dl sto y oto son guals [6]. Ota posbldad pud s ndca qu las bobnas dl oto no tnn fuga, n st caso la dspsón quda concntada compltamnt n los dvanados statócos. Esta últma hpótss, más o mnos dscutbl, pud smplca l pocso d stmacón d la dccón d la fnca d campo ontado. En la fgua 4.5 s psnta l ccuto quvalnt tanstoo d una máquna d nduccón n coodnadas pmtvas - δ = 0; Ý δ = 0 -, con la nductanca dl oto, gual a la nductanca mutua stato oto M. R R M v m M j Ý θ M m Fg. 4.5 Ccuto quvalnt tanstoo d la máquna d nduccón n coodnadas pmtvas sn actanca d fuga n l oto En stas condcons la cont d magntzacón m, dl ccuto quvalnt n coodnadas pmtvas, concd con la cont d magntzacón utlzada como fnca n l sstma d coodnadas d campo ontado. a dtmnacón d la dccón d st vcto pud alzas ntgando la cuacón d la malla statóca:

31 t ( ) o v ˆ d dm = R M dt dt v R dτ ˆ = M = λ = λ jλ jδ m m m m 4.55 D la xpsón 4.55, s obtn dctamnt las funcons tgonométcas d la dccón δ: λ t ( ) τ ˆ = v R d 4.56 m o t ( ) τ ˆ λ = v R d 4.57 m α α o λ m = ( λ m ) ( λ m ) 4.58 cosδ = λ m λ m ; snδ = λ m λ m ; tanδ = λ m λ m 4.59 a dvada d la poscón angula d la fnca d campo ontado δ, s pud obtn a pat d la xpsón 4.55: ˆ d dm v = R M dt dt dλ m dλ m jδ ( ) ( ) ˆ d d = j δλm = v jv R j j dt dt dt dt ˆ d ˆ d λm v R λm v R dt dt δ = ( λm ) ( λm ) 4.60 En stado cuas-staconao, la vlocdad angula dl oto θ, y la cont d magntzacón m, son páctcamnt constants. Al ntoduc stas hpótss smplfcatvas n las cuacons d potnca actva y actva nstantána 4.5 y 4.53, s obtn l sstma sgunt:

32 dond: d dq d... d q δ d R q p dt dt ˆ q = d q dd 0 δ d. q. δ d M dt dt d cosδ snδ = q snδ cosδ pd cosδ snδ p snδ cosδ = δ p q snδ cosδ p cosδ snδ Con un mínmo d dos mdcons lnalmnt ndpndnts, s posbl dtmna los paámtos d la máquna d nduccón mdant las técncas d gsón lnal. a constant d tmpo dl oto s obtn dctamnt valuando la cuacón 3.93, n las condcons d opacón cuas-státcas: q 1 q 1 T = ( δ θ) ( δ 4.63 θ) m Esta técnca d stmacón paamétca qu cta pcsón n la mdda d la nductanca d dspsón d la máquna. Est paámto tn la vntaja d s poco dpndnt d la tmpatua y d la satuacón, po sta azón s comndabl alza nsayos d oto bloquado o utlza los datos nomnals d la máquna paa su dtmnacón. os os n sta valuacón no ntfn n l compotamnto dl modlo n égmn pmannt, po sí n égmn tanstoo. Un método altno al popusto, consst n consda al mnos dos nstants duant la opacón n égmn pmannt po con vlocdad dfnt. a técnca más smpl s la qu utlza como uno d stos puntos l cospondnt a la condcón d vacío. En vacío la cont q s nula, y toda la magntud d la cont, nyctada n l stato d la máquna s gual a la componnt dcta d. En la opacón d égmn pmannt las dvadas d las conts d q, son nulas. D sta foma s obtn d la xpsón 4.61, las sgunts lacons: d - 3 -

33 q q q= δ = = ω ω ( δ ) m R p= R M M = p ω 4.64 Dspcando la sstnca dl stato, o utlzando l valo mddo dctamnt n bons d la máquna, s pudn stma con pcsón los otos paámtos. Con una mdda alzada n una condcón d caga, qu mantnga la msma dnsdad d flujo n l ntho - lacón tnsón-fcunca constant -, s pud obtn la constant d tmpo dl oto d la xpsón En st caso la cont dl j dcto concd con la magntud d la cont dl stato d la mdda nstantána alzada n la condcón d vacío. El método anto s muy smpl po tn un nconvnnt mpotant, n la mayoía d las aplcacons páctcas s mposbl obtn l punto d opacón n vaco. Incluso cuando sto s posbl, las popas péddas mcáncas d la máquna, hacn mposbl l mplo d st método. Sn mbago, una xtnsón dl msmo s posbl cuando s consdan dos puntos d opacón n égmn pmannt, po mantnndo la hpótss d gualdad d flujos n l ntho. Paa mantn sta hpótss s ncsao alza los nsayos n dos condcons d opacón a dfnt vlocdad, po con una lacón d tnsónfcunca páctcamnt constant. Con stas consdacons s pud obtn dctamnt la nductanca ˆ a pat d la cuacón 4.53, cospondnt a la potnca actva nstantána nyctada n l stato d la máquna: ( M ) q = δ ˆ δ ˆ = = ˆ q = δ δ d d ˆ q 1 δ1 1 δ 1 δ1q δq1 ˆ ( M ) q δ δ δ 1δ( 1) 4.65 D las cuacons 4.5 y 4.53 s pud nconta la lacón sgunt paa l paámto ( M ) : ( M ) 1 ( p R ) = 1 δ ( δ ˆ ) q

34 El únco paámto dsconocdo n la xpsón 4.66, s la sstnca dl stato R. S s dspca sta sstnca n una condcón d opacón ccana al punto d caga nomnal d la máquna, o s alza una mdda dcta dl paámto, s pud obtn la lacón xstnt nt l cuadado d la nductanca mutua stato-oto y la nductanca popa dl oto. Est paámto dtmna l cofcnt ndpndnt d la cuacón dl pa léctco. El pocdmnto dscto antomnt tn una lacón muy stcha con l dagama d cículo dl ccuto quvalnt d la máquna d nduccón. S db coda qu s sufcnt con la nfomacón complta d dos puntos d st dagama, paa taza y calba todo l dagama d cículo. Esta stuacón s análoga al conocmnto d todos los paámtos dl ccuto quvalnt. El pncpal poblma d st pocdmnto d stmacón consst n la ncsdad d mantn condcons d égmn pmannt ants d pocd a alza las mddas cospondnts. Cuando s consda qu la vaabldad d los paámtos d la máquna s mayo n vaos ódns d magntud con spcto a las constants d tmpo léctcas y mcáncas, l método s d gan ntés páctco. El oto nconvnnt n la aplcacón d sta técnca sd n la ncsdad d mantn páctcamnt constant la cont d campo duant los dos nsayos o mddas. Esta lmtacón no s dmasado guosa, dbdo a qu duant la opacón n égmn pmannt s aconsjabl mantn la mayo cont d campo posbl paa poduc l máxmo d pa léctco con las mnos conts d amadua. as funts lctóncas actuals son capacs d alza st contol con mucha sncllz. a constant d tmpo dl oto T, s obtn a pat d la msma xpsón 4.63, po dspjando d las cuacons 4.5 y 4.53, la lacón nt las conts dcta y cuadatua: d ( p R ) q 1 1 T = ( = δ θ) q ( δ θ) ( δ ˆ ) A contnuacón s psntan los sultados obtndos d la aplcacón dl método popusto d stmacón paamétca basado n la fomulacón d potncas actvas y actvas nstantánas:

35 Aplcando al modlo tanstoo d la máquna d nduccón n coodnadas d campo ontado a un sstma d tnsons tfáscas snusodals d fcunca fundamntal, balancado, y d scunca postva, con ts condcons d caga dfnts, s obtnn los sgunts gstos paa l égmn pmannt n l sstma admnsonal d undads: Tmpo ω m v m δ Ý δ [pu] j j j j j j Utlzando l método d stmacón paamétca popusto, con los datos cospondnts a la pma y sgunda fla d la tabla anto, s obtn los sgunts sultados: Paámto Estmacón [p.u.] Exacto [p.u.] Eo ( ) R ( ) / T S s utlzan los datos cospondnts a la sgunda y tca fla, con lo cual s ncluy l punto d opacón n vacío, s obtnn los sgunts paámtos: Paámto Estmacón [p.u.] Exacto [p.u.] Eo ( ) R ( ) / T S pud obsva qu l o d la pma stmacón s nfo al Est o s pud duc a mnos dl.3, cuando s utlza la nfomacón dl punto d vacío d la máquna d nduccón paa la stmacón d la sstnca nductanca d stato. Admás, la nclusón dl punto d opacón n vacío lmna la ncsdad d mantn constant la cont d magntzacón duant

36 los nsayos. El o d la stmacón dl pm caso s db fundamntalmnt a la dfnca xstnt nt las conts d magntzacón d los dos puntos d opacón, los contolados vctoals pudn mantn sta cont páctcamnt constant y duc apcablmnt l o d stmacón. os contolados d vlocdad qu opan mantnndo constant la lacón nt la tnsón y la fcunca d almntacón d la máquna d nduccón, tambén mantnn sta cont páctcamnt constant. a pncpal vntaja dl método d stmacón paamétca popusto s la lmnacón dl cálculo d las dvadas d las vaabls d stado mdbls. Sn mbago, l pocdmnto stá stngdo a qu las mddas s alcn n puntos d opacón cospondnts al égmn pmannt. Esta lmtacón no s dmasado sva dbdo a qu los paámtos d la máquna camban lntamnt n compaacón con la dnámca dl contolado d vlocdad. Hay qu coda qu l fcto plcula tn scasa mpotanca n los contolados vctoals dbdo a qu opan con dslzamntos ccanos a los valos nomnals n todo l ango d vlocdad, y a qu l cambo d tmpatua n l nto d la máquna s compaatvamnt lnto. a satuacón s hac camba más ápdamnt los paámtos. 4.5 Estmacón dl stado d la máquna d nduccón paa l contol dl pa, la vlocdad o la poscón d acconamntos lctomcáncos. En las sccons antos s han vsado y popusto dvsas técncas ontadas a la dtmnacón d los paámtos d los ccutos quvalnts d la máquna d nduccón. Algunos d stos pocdmntos pudn s alzados n tmpo al con las hamntas d cálculo qu xstn n la actualdad. a stmacón paamétca n tmpo al tn po objto cog las dsvacons dl modlo, ocasonadas po la vaabldad d los paámtos duant la opacón dl convtdo. a vaacón d los paámtos dl modlo duant la opacón mpdn la dtmnacón pcsa dl stado dl sstma. S no s conoc l stado d las vaabls dl modlo, s complca notablmnt las accons d contol ncsaas sob las funts paa gula l compotamnto státco y dnámco d la máquna d nduccón. El objtvo fundamntal d la stmacón d stado n la máquna d nduccón s cnta n la dtmnacón d las vaabls ntnas no mdbls, qu