v = (área de la base)(altura) = (ab)h

Transcripción

1 El volumn dl paallpípdo d la figua siguint s v = (áa d la bas)(altua) = (ab)h IGURA El volumn dl cilindo cicula cto d la figua 4, a) siguint s (m )h. h a) ~ v~ IGURA 4 TI b) El áa latal dl cilindo cicula cto d la figua 4, a) s n h. (V figua 4, b» El volumn dl cilindo d la figua 5 siguint s Ah, sindo A l áa d la bas h la altua dl cilindo. IGURA 5 77

2 En l cilindo d la figua antio s tin qu: Al :: A, Al "A Y A = áa d Al = áa d A. Volumn d la piámid: un tcio dl áa d la bas po la altua. V figua siguint. IGURA 6 Volumn d la piámid ACO = un tcio dl áa dl tiángulo AC po la altua dsd l tiángulo hasta l vétic D. En fcto: compltando l cilindo AEOC, vmos qu la piámid tin un volumn qu s la tca pat dl volumn dl cilindo. V las figuas siguints:, " k== ::,., E '=- :::.,E - " " "' ----< A IGURA 7 A En la pima pat d la figua 7 s musta l cilindo AEOC (qu contin la piámid ACO), l cual tin volumn igual al áa dl tiángulo AC po la altua dsd l tiángulo hasta l oto tiángulo OE. La sgunda pat d la figua 7 musta la dscomposición dl cilindo n ts piámids d igual volumn a la oiginal. Las piámids ACO DE tinn l mismo volumn poqu ~ AC :: ~ OE, ~ AD :: ~ OE, ~CO :: ~ E Y ~ ACD :: ~ D. Las 78

3 piámids CD DE tinn l mismo volumn pus, nuvamnt, al juntalas foman cada una la mitad d la piámid CED. V la figua siguint..>----"'" E IGURA 8 Si la piámid tin ota bas, s dci un polígono difnt a tiángulo, s subdivid la bas n tiángulos. Entoncs l volumn (total) d la piámid sá un tcio d la suma d las áas d los tiángulos po la altua, lo qu da, nuvamnt, qu s un tcio dl áa (total) d la bas po la altua. abh El volumn d la piámid ctangula d la figua 9 siguint s IGURA 9 Paa l volumn dl cono s subdivid la bas, cículo, n N tiángulos pquños l volumn sá un tcio d la suma d las áas d los N tiángulos po la altua (N. piámids), suponindo qu la suma d áas s, ntoncs l volumn dl cono sá 1 h dond s l áa d la bas, cículo d adio, h s la altua dl cono. El volumn d un cono cicula cto como l d la figua 0, a) siguint s~h. 79

4 '.. '.'. MATEMÁTCAS ÁSCAS,. ) I a) IGURA 0 11: b) El áa latal dl cono cicula cto d la figua 0, a) s ~ + h / = ~ + h. (V la figua 0, b) antio). Considmos mdia sfa d adio. Subdividimos l intvalo [O, ] n N pats iguals (N subintvalos d igual longitud). Llammos Yo = O, Y I =, Y =,..., N N N 1 ti.. n = =. V a Igua siguint. N En cada punto Yi considmos l cículo d adio Xi como s apcia n la figua, llammos lmnto i-ésimo d volumn la gión sombada (la pat compndida nt los cículos d adios Xi X i _ 1 intio a la mdia sfa. Si N s suficintmnt gand, l volumn dl i-ésimo lmnto s apoimadamnt igual al volumn dl cilindo con tapa l cículo d cnto, adio altua Y - Yi-I = N. Po tanto, l volumn dl intio d mdia sfa s apoimadamnt igual a la suma d los volúmns d stos N cilindos, qu s: ~ ( I - Yo) + ~ ( - Y1) ~ ( N - Y N I) = (X ~ + X; X~ ). - N 80

5 . d ' 1 NVfi.. Po X + =, aslqu = - paa ca a 1=,,...,. Iguaslgulnt. ~/. 1 Po tanto: ( ) ( ) ( ) XI +X +" ' +X N = -YI + -Y YN N ( ) = -, + Y +" ' +YN Ahoa bin, s pud v qu: = N _ ( N ) N N = N(N+IXN+l) 6 (Po jmplo, = 14 Y ( + 1)( ~)() + 1 ) = 14 ; = 55 Y 5(5 + 1)( ()(5)+ 1) = 55, tc.). 6 Lugo: ( ) XI +X + ''' +X N =N - ~ N N ~ = N _ ( N(N + IXN + 1)] N 6 = N _ (N + 1)(N + 1) 6N Así qu l volumn dl intio d mdia sfa s apoimadamnt igual a 8