Programa para el Análisis Dinámico de Rotores Flexibles situados sobre Apoyos Móviles de Característica de Comportamiento No Lineal

Transcripción

1 Pogama paa l Análss Dnámco otos Flxbls stuaos sob Apoyos Móvls aactístca ompotamnto No Lnal J.M. PINO OOIA, J. OS GANZA, I. ZAALZA ILLAA Dpatamnto Ingnía Mcánca, Engétca y Matals, nvsa Públca Navaa. ampus Aosaía s/n, 36, Pamplona, España. (txma@upna.s) ESMEN S ha saollao, mplmntao n un pogama nfomátco, la fomulacón matmátca un molo cálculo paa analza l compotamnto námco otos flxbls con apoyos compotamnto no lnal y cuya stuctua sopot no sa ncsaamnt íga. S han molzao matmátcamnt los apoyos, lmntos "státcos" (aunu sujtos a vbacons) y "otatvos", u psntan una poblmátca fnt u conuc a la utlzacón técncas stntas paa su smulacón námca. Los lmntos otatvos sufn sfuzos nca bos a fctos goscópcos y sulbos, y xcntcas y salnamntos gnan sfuzos vaabls n l tmpo. S han aplcao técncas síntss componnts paa apovcha los sultaos obtnos la molzacón npnnt ambos poblmas: caactzano la "pat státca" mant sus paámtos moals paa nclulos n l stuo la "pat otatva". El acoplamnto s ha alzao a tavés los sfuzos accón accón u ntoucn los apoyos l oto. Plantaas las cuacons l movmnto, l molo pmt obtn sus paámtos moals y smula l compotamnto n égmn staconao o tanstoo. ASA An nfomatc pogam bas on a vlop alculaton Mol fo th analyss of th ynamc bhavou of flxbl otos s psnt. hs alculaton Mol woul allow th pop psntaton of th flxblty of th non otatng pat of th otatng machns along wth th non lna chaactstcs on th flxbl oto an ts suppots.. Intouccón34 El análss námco otos flxbls consttuy un mpotant campo nvstgacón paa accas al conocmnto l compotamnto las máunas otatvas n gnal. El fcto la nca otatoa y amtal n las fcuncas natuals l oto ya fu stuao po aylgh //, n 896, y moshnko // añaó a st plantamnto l sfuzo cotant. La nflunca los fctos goscópcos n las vlocas cítcas l oto ha so amplamnt stuaa po

2 Gn /3/, Dtmbg /4/ y Eshlman y Eubanks /5/, po mncona algunos. Po su pat, Amtabha /6/ stua con molos sncllos l fcto la fccón y amotguamnto ntnos, la ansotopía l j y la plícula lubcant n los apoyos, mntas otos autos como ao /7/ han psntao publcacons pacas y Dn Hatog /8/ stua l fcto la ansotopía l j. ambén l MEF ha so aplcao a la námca otos. Nlson /9/, // paa stua l fcto l cotant, Zoz y Nlson // l fcto l amotguamnto sob la stabla, y nyolas // y a /3/ paa analza las vlocas cítcas y la spusta n l tmpo l oto con la consacón los fctos cotant, nca otatoa, caga axal, amotguamnto ntno y fcto goscópco. Sn mbago, l poblma auí analzao cog /4/ ctas patculaas no psnts n los stuos ctaos: l caáct no lnal los apoyos la "pat otatva" y la flxbla la "pat státca" u ls sv sopot. on s objtvo, s ha saollao la fomulacón matmátca un molo cálculo paa analza l compotamnto námco otos flxbls con apoyos no lnals y stuctua sopot no ncsaamnt íga. S han molzao matmátcamnt los componnts pncpals: apoyos, lmntos u s nomnaán "státcos", aun cuano stén sujtos a vbacons, y lmntos "otatvos". Estos últmos psntan una poblmátca fnt u conuc a la utlzacón técncas stntas paa su smulacón námca. Así, sufn sfuzos nca poucos po fctos goscópcos y sulbos; amás, os montaj como xcntcas o salnamntos an luga a la apacón sfuzos vaabls n l tmpo, conscunca la otacón. n análss conjunto sultaía xcsvamnt compljo. Las técncas "síntss componnts" /5/ y /6/ pmtn apovcha los sultaos obtnos la molzacón npnnt ambos poblmas caactzano la pat "státca po sus paámtos moals obtnos n l análss moal, paa nclulos n l molo la pat "otatva. S uc así la fculta y tamaño l poblma al apovcha la lnala la pat "státca" u, po su gomtía, sul ocasona mayos poblmas molzacón. La pat "otatva", po su pat, ps a ntouc un caáct no lnal mayo, sulta más snclla molza.

3 x oto Dsco Nuo ka ca k c an an x Elmnto oto xn Pat státca Funacón homgón Fg.. Esuma l oto y su acoplamnto a la "pat státca" x j El oto s ha molzao (Fg. ) vénolo n lmntos u fnn la gomtía con su longtu y ámto, ncal y fnal, y apotan gz, masa, nca y amotguamnto al sstma. Los lmntos vnn fnos po los nuos con cuato gaos lbta (g..l.): os splazamntos y os gos n los u pu stuas un sco, u apota masa nca, o un apoyo, u ntouc unos sfuzos como sultao la ntaccón nt l oto y la "pat státca". El acoplamnto las cuacons otos flxbls () con las cuacons la "pat státca" (), xpsaas n funcón sus paámtos moals, [ ] { x } [[ K ] [ Ĉ ]] { x } { F } [ ] { x } [ ] [ G ] M [ m ]{ η } [ c ]{ η } [ k ]{ η } [ Φ] { f } [ Φ] { f } s alza a tavés los sfuzos accón accón n los apoyos l oto. La psntacón smbólca l acoplamnto vn aa po la Fg., on x, x j son las coonaas los nuos, j l oto y x, x n las los nuos y n la pat státca (asocaos a los apoyos y n).. Plantamnto matmátco Ducos y acoplaos ambos sstmas cuacons, s han saollao los métoos cálculo ncsaos paa su solucón bajo ts stuacons: Suponno nulas las fuzas u actúan sob l sstma. La solucón, así plantaa, s convt n un poblma valos y vctos popos. onsano amóncas las fuzas u actúan sob l sstma, lo u uval al análss l compotamnto l oto n égmn staconao. Amtno la hpótss unas fuzas xtos cualsua, obtnno la spusta n l tmpo tanstoos l sstma "oto pat státca". () ()

4 Paa planta las cuacons un oto flxbl sccón ccula, sótopo y ígo a tosón, s han obtno las xpsons las ngías cnétca y potncal y la funcón spacón l sstma n bas a las coonaas gnalzaas, aplcano postomnt las cuacons Lagang. S han stablco ts sstmas fnca (Fg. ): z Z c Ω b y F: (X, Y, Z): Sstma fjo, con l j "X" concnt con la lína cntos gava l oto paao. ωt Fg.. Sstmas fnca Y : (x, y, z): "x" conc con la lína cntos gava l oto paao, y los js "y" y "z" s fnn a pat F con una otacón (ωt) alo "x". D: (a, b, c): "a" ppncula a la sccón l oto y "b" y "c" solaos con lla. S pu obtn a pat l F mant una s otacons, /7/ y /8/. D caa a la fomulacón las cuacons ntsa toma "a", "b" y "c" moo u san pncpals nca. S la ntsccón nt la sccón l sco y la lína fomaa nuta no conc con l cnto gava la sccón (G) s fnn las coonaas G n l sstma (a,b,c): (, J, K ) S han consao cuato gl po nuo: os splazamntos (,) y os gos (,) u tmnan l cnto gométco la sccón y su ontacón (Fg. 3). Las xpsons matcals la ngía cnétca y potncal l lmnto oto s han uco ntpolano los splazamntos y vlocas cualu sccón n funcón los valos asocaos a los nuos xtmos. Analzaos los scos y lmntos l oto, s han nsamblao las matcs y aplcao Lagang paa obtn la xpsón matcal l sstma cuacons movmnto l oto. Y y ω t X,x Z z Fg. 3. Elmnto fnto oto. G.D.L. los nuos xtmos y una sccón abtaa La Fg. pmt stngu la vloca go l oto (Ω ) la vloca combaua o pcsón (ω) vloca go los js móvls. Llamano al vcto {}{ } "coonaa gnalzaa " los nuos, la ngía cnétca l sco s pu xpsa matcalmnt /9/:

5 { } [ ] { } { } [ ] { } { } { } p sco H I M (3) on [M] s la "matz masas" {} l "vcto scntamntos" y [H] una matz u aá luga, postomnt, a la "matz goscópca": [ ] [ ] { } sn K cos J sn J cos K m I H I I m m M p D D (4) y sno m, I p I D la masa y los momntos nca pola y amtal l sco. La ngía cnétca un lmnto oto s obtn po ntgacón (3), ntvnno la masa po una longtu (m ), los momntos nca g D y g p, amtal y pola po una longtu, y l scntamnto l oto n caa sccón. Al consa u l cnto gava una sccón cualua no tn u sta stuao n la lína nuta, apac un témno u, vao con spcto a y cambao sgno, s convtá n la xpsón las fuzas gnalzaas. Aplcano la toía moshnko paa la flxón vgas // mant un cofcnt (k) u pmt consa u l cotant no s constant a lo lago la sccón, la ntgacón s xtn a lo lago la longtu l lmnto y los vctos { } { } s cosponn con los una sccón abtaa (Fg. 3), puénos xpsa, mant la "matz funcons ntpolacón" [ψ/φ] //, n funcón los nuos xtmos l lmnto { } {} { } { } [ ] { } φ ψ (5) A pat (3), la xpsón la ngía cnétca l lmnto oto sá //: s K sn Jcos Jsn K cos m s g s g s g g m m L L p p L D D L (6) Susttuyno (5) n (6) ua, foma smplfcaa: { } [ ] { } { } [ ] { } { } { } p lmnto H I M (7)

6 sno L L [ M] [ ψ φ] [ M][ ψ φ] s [ H] [ ψ φ] [ H][ ψ φ] K cos Jsn Jcos K sn L { } m [ ψ φ] s La ngía potncal l oto ( ) /3/ y /4/ pu scompons n la ba al momnto flcto ( ), la ba al cotant ( ) y la ba a la caga axal ( A ): A { } [[ K' ] [ A] ] { } on [K'] ncluy la gz ba al momnto flcto más l sfuzo cotant y [A] la asocaa a la caga axal. D foma smplfcaa, (9) pu xpsas: lmnto { } [ K] { } Po lo u s f al amotguamnto, pu s xtno ntno. El xtno lo ntoucn los apoyos y lmntos l oto, povocao po la sstnca l a o l fluo u o al oto. D caa al plantamnto las cuacons Lagang, s ha tomao n consacón la funcón spacón aylgh: D { } [ ] { } on [ ] s la matz amotguamnto xtno l oto, suma l amotguamnto los apoyos más l los lmntos. El ntno s pouc foma xclusva n los lmntos l oto y sulta s: D { p } [ ] { p } on {p} son las coonaas móvls y [ ] la matz amotguamnto ntno l α M α K oto, u s ha supusto popoconal: [ ] [ ] [ ] Sno L la Lagangana l sstma (L ), D la funcón spacón aylgh, y {} l vcto coonaas gnalzaas (cuato po nuo,, y y una coonaa más, común a toos los nuos), las cuacons l movmnto l oto s obtnán aplcano las cuacons Lagang: L L D t s (8) (9) () () () (3)

7 Acoplano las xpsons obtnas paa la ngía cnétca y potncal (3), (7) y () y aplcano (3) s obtnn las cuacons l movmnto l oto /5/: [ M] { [ H]{ } { v} } { ([ H]{ } ) { } } I [ K] [ ][ ][ ] { } { } p { } [ G] [ ] [ ][ ][ ] { } { ([ H]{ } )} { } { } { F} ' PA PA Don {F} cog las fuzas jcas sob caa nuo como conscunca l scntamnto l cnto gava y s obtn vano con lacón a {} la ngía cnétca ba al scntamnto, Ip s la nca pola l oto, [G] s la { } matz nsamblaa las [G ] asocaas a caa lmnto [ G ] [ H ] [ H ] [ ] cos sn sn cos cos sn sn cos tal u cuano l oto s sccón ccula, s compuba /6/ u: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Ĉ] D foma suma, la cuacón matcal (4) pu xpsas: [ M ]{ x } [ ]{ x } [ G ]{ x } [ K ]{ x } { F } y [] s: sno [M ] la matz nca l oto, [ ] su matz amotguamnto (xtno ntno), [ G ] la matz goscópca [ G ] [ G ], [ K ] la matz gz K K Ĉ, {x } l vcto coonaas los nuos l oto y {F } las [ ] [ ] [ ] fuzas u actúan sob l msmo. Po lo u a la pat státca s f, su sstma cuacons xpsao n funcón los paámtos moals l Análss Moal la msma aopta la foma: [ m ]{ η } [ c ]{ η } [ k ]{ η} Φ [ ] { F } [ Φ] { F } on [m ], [c ] y [k ] son matcs agonals, [Φ] s la matz moos la pat "státca", {η } su vcto coonaas moals y {F } l vcto fuzas u actúan sob la pat "státca". (4) (5) (6) (7) (8)

8 Los apoyos ncopoan al sstma unos sfuzos no lnals, futo la ntaccón "oto apoyo pat státca", y cuyo valo sá funcón // l movmnto latvo nt las pats "otatva" y "státca" y pu xpsas paa l nuo "": { Fa } { Fa ( x x,x x )} A la fuza ntouca po l apoyo "k" n la ccón "s" asocaa al gl " s " l oto s la nomnaá "Fa ks " y su valo pná l splazamnto y vloca latvas nt l apoyo como lmnto patcpant la pat státca y l oto: oto Fa ks s s Apoyo Fa ks δ a ks δ a ks µ δa µ δ a ks s ks ks s ks (9) sno δa ks y δ a ks l splazamnto y vloca l apoyo n la ccón s (Fg. 5). coano la xpsón gnéca una cuacón moal: m η c η k η { Φ } { F} Fg. 5. onjunto oto apoyo Dao u n l sstma cuacons u s obtnga al acopla (7) y (8) apacán los gl l oto {} y las coonaas moals {η} la "pat státca", la contbucón n la ccón "s" l apoyo "k" al vcto fuzas sá: s s s { Faks} {,,,,, Φ Φ,, Φ nºmoos } Faks { aks} Faks () on l "" cosponá a la poscón l gl l oto " s ", asocao al apoyo "k" n ccón "s", y l sto las poscons no nulas l vcto a las fnts coonaas moals la stuctua státca. Dsglosano n (7) y (8) los vctos fuzas {F } y {F } n fuzas ntnas al sstma y fuzas xtnas, s obtn: [ M ]{ x } [ ]{ x } [ G ]{ x } [ K ]{ x } { f } { f } [ m ]{ η } [ c ]{ η } [ k ]{ η } [ Φ] { f } [ Φ] { f } () () (3) sno {f }, {f } y {f }, {f } las fuzas xtos ntos u actúan sob oto y pat "státca", spctvamnt. Y son pcsamnt las ntos, bas a los sfuzos n los apoyos, las u pmtán acopla los sstmas. coano (9): { f } { f } { Fa( x x,x x )} (4)

9 y consano u l movmnto la "pat státca" pu xpsas n funcón sus moos vbacón, las fuzas n los apoyos sultan: x Nºmo os φ η, { x } [ Φ]{ η } { f } { f } { Fa( x, η,x η )} on "Fa" s una funcón pnnt las ncógntas l sstma, po lo u cospon pasa chos témnos al mmbo zuo () y (3): (5) [ M ]{ x } [ ]{ x } [ G ]{ x } [ K ]{ x } { f } { f } [ m ]{ η } [ c ]{ η } [ k ]{ η} Φ [ ] { f } [ Φ] { f } (6) (7) 3. solucón las cuacons l sstma Los paámtos moals caactzan l compotamnto l oto n égmn staconao (vloca angula constant) cuano los apoyos pun consas lnals. S obtnn solvno l poblma autovalos y autovctos [ A]{ z} λ{ z} u s planta al hac nulo l témno fuzas vbacons lbs asocao a las cuacons l movmnto (6) y (7) y on: [ A] [ M] ([ G] [ ] ) [ M] ([ K] [ Ĉ] ), [ I] [ ] { } { z} { x }{ x} En l análss l oto n égmn staconao, s tata tmna la spusta a la xctacón povocaa po sulbos o l salnamntos. La solucón sta custón sólo tn snto n os supustos: patno la hpótss lnala los apoyos, o consano apoyos no lnals ptnno analza úncamnt l pm amónco la spusta l sstma. onsano los apoyos con caactístca compotamnto lnal, las cuacons l sstma pun xpsas /7/: [ ]{ x } [ K] [ Ĉ] [ ]{ x} [ ] [ G] [ ]{ x} { F} M on l vcto {F} tn la foma: { F} { f f } [ Φ] { f } sno l vcto { }' { } { } { { }' [ Φ] { f }} A (8) (9), y l vcto {} l obtno al acopla los { } y { j }, vctos scntamnto asocaos a los scos (4) y lmntos (8) l oto. Suponno nulas las fuzas xtos u actúan sob la pat státca ({f }), y consano las fuzas gnalzaas no nulas xpsaas foma amónca ωt ω { }', la spusta tambén sá tpo amónco puno xpsas:

10 ωt ωt ωt { x} { X} { x } ω{ X} { x } ω { X} Intoucno stas consacons n la cuacón (9): [ ω [ M] ω[ [ ] [ G] ] [[ K] [ Ĉ] ]]{ X} ω { } { } ' ω { } ' { } (3) (3) Al conc la fcunca xctacón ω con la l oto, spjano la spusta {X} s obtn un sstma cuacons matz complja fácl solucón: { } [ [ ] [ ] ω[ ] ' K Ĉ { X} ω ω [ M] ω[ ] ω[ G] { } Paa tmna la spusta n l tmpo hay u ntga l sstma cuacons (6) y (7). Exstn vaos métoos numécos, y Gacía Jalón y ayo alzan /8/ una scpcón los más utlzaos: l métoo las Ss aylo y su apoxmacón conoca como métoo Eul, los métoos xplíctos mplíctos ung Kutta, los métoos xplíctos mplíctos mult tapa y la famla algotmos l métoo Nwmak, la más popula famla algotmos mplaa n st tpo poblmas. En st caso, s ha aplcao l métoo Nwmak hacno uso l algotmo ntgacón n l tmpo conoco como la "gla tapzoal". El sstma u sulta al aplca l métoo ntgacón s oblmnt no lnal: la no lnala los apoyos y la ncopoacón la vaabl u ntvn n la fomacón matcs y vctos y, amás, aña al sstma una cuacón n la u los gl l oto, ncógntas l sstma, apacn n las matcs. Po llo, s ha lnalzao l sstma con l "métoo tatvo Nwton aphson", con convgnca on cuaátco n la poxma la solucón /9/. El análss la spusta n l tmpo llva a la ntgacón las cuacons (6) y (7), on las matcs l oto apacn olaas po la cuacón nfo l sstma (4) asocaa a la coonaa. La aplcacón l métoo Nwmak (métoo mplícto) llva a consa l ulbo l sstma n l nstant "": ( *) { } f (33) sno (x,x,x,t ) y * la solucón cho sstma paa l nstant "". Los pasos sguos n l pocmnto tatvo hasta l ulbo n "" son: Estmacón paa s nstant una poscón ncal a pat los sultaos l paso ntgacón anto (s ha supusto movmnto unfommnt aclao): (3)

11 { x } { x } { x } { x } { x } t { x } { x } { x } t { x } t t t t t t Lnalzacón l sstma mant la aplcacón Nwton aphson: f ( ) ( ) ( *) f t t t (34) f { } f { } f x x { x} { } x ( ) x ( ) x ( ) (35) t t on, pasano los témnos conocos a la cha la guala, ( ) [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } ( M x x K x f ) t t M f [ ] ( ) x x ( ) x sno: [ ] ( ) t t ( ) f f [ ] ( K ) ( ) (36) 3 Aplcacón l métoo ntgacón Nwmak consano la suposcón alzaa (34) al comnzo caa paso ntgacón: { } { } { } { } [ ] ( ) [ ] ( [ ) [ ] ( ) ( ) x a x x a x a Mt t a K ]{ x} f 4 sulto l sstma (37), s calcula: ( ) { } { } ( ) { } { } { } ( ) x x x x a { x} { x } { x } ( ) a { x} x S l sulbo l sstma f ( x,x,x,t t) (37) (38) s mayo u la tolanca fjaa po l cto convgnca s gsa al paso. 4. onclusons S ha saollao la fomulacón matmátca un molo cálculo u pmt analza l compotamnto námco otos flxbls con apoyos compotamnto no lnal y cuya stuctua sopot no s ncsaamnt íga. Plantaas las cuacons l movmnto l sstma, l molo calcula sus paámtos moals y smula su spusta n égmn staconao o tanstoo. El molo cálculo s ha mplmntao n un pogama computao sponbl paa s utlzao n ntonos 3 bts como nows N. El saollo cho pogama s ha llvao a cabo hacno uso los lnguajs pogamacón, y FOAN. 5. fncas

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