REVISTA MEXICANA DE INGENIERÍA QUÍMICA Vol. 1 (2002) 85-96

Transcripción

1 REVSTA MEXCANA E NGENERÍA QUÍMCA Vol. (00) AMQ METOO CORTO PARA E SEÑO E COUMNAS E ESTACON TERMCAMENTE ACOPAA PETYUK A SHORT CUT METHO FOR THE ESGN OF PETYUK THERMAY COUPE STATON COUMNS Resumen A. Castro-Agüero* y A. Jménez-Gutérrez. epto. ngenería Químca, nsttuto Tecnológco de Celaya. Av. Tecnológco y García Cubas S/N, 800, Celaya, Gto. Se propone un método de dseño para el sstema de destlacón térmcamente acoplado, mejor conocdo como sstema Petlyuk. El método se basa en las ecuacones de Fenske, Underwood y Gllland, con las cuales se puede tener un buen estmado de los flujos nternos, número de etapas teórcas, así como las zonas o etapas de nterconexón entre el prefracconador y la columna prncpal. Para mostrar la aplcacón del método de dseño, se ncluye el caso de estudo de separacón de una mezcla ternara. Palabras clave: destlacón, petlyuk, destlacón térmcamente acoplada. Abstract A method for the desgn of the Fully Thermally Coupled stllaton system, or Petlyuk column, s presented. The method s based on the Fenske, Underwood and Gllland equatons, whch provde the nternal flowrates, number of deal stages, as well as the stages where the prefractonator and the man column must be nterlnked. A case study for the separaton of a ternary mxture s presented to show the applcaton of the desgn method. Key words: dstllaton, petlyuk column, thermally coupled dstllaton. ntroduccón En este campo los esfuerzos se han concentrado en utlzar la ecuacón de Underwood (948) para comparar los dferentes arreglos desde el punto de vsta de consumo de energía. os sstemas convenconales de destlacón son relatvamente fácles de dseñar y operar, pero tenen un consumo de energía sgnfcatvo. En los últmos 0 años, se han hecho estudos sobre los sstemas de destlacón para mejorar su consumo de energía (Fnn, 99). Se han desarrollado secuencas no convenconales como las columnas con correntes laterales y los sstemas térmcamente acoplados, entre otros. entro de los sstemas acoplados, se ha demostrado que el sstema denomnado Petlyuk puede ahorrar hasta un 0% del costo de energía comparado con los sstemas convenconales (Tedder y Rudd, 978; Glnos y Malone, 985). Una de las razones por la que se ha lmtado el uso de las columnas térmcamente acopladas es la falta de métodos confables de dseño. Autor para la correspondenca. E-mal: arturo@qcelaya.tc.mx Tel. (466) 780 Fax: 7575 Tedder y Rudd (978) hceron un estudo paramétrco de ocho sstemas de destlacón para separar mezclas ternaras. entro de estos sstemas se encuentran ncludos las secuencas convenconales (recta e ndrecta) y tres sstemas acoplados (rectfcador lateral, agotador lateral y sstema con prefracconador). Para este estudo utlzaron métodos de dseño basados en Nodos de Composcón, los cuales hacen un leve sobredseño de la columna para separacones perfectas. Este sobredseño se ncrementa cuando la separacón es más mperfecta. Publcado por la Academa Mexcana de nvestgacón y ocenca en ngenería Químca, A. C. 85

2 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Fdkowsk y Królkowsk (986, 987 y 990) desarrollaron un procedmento para obtener el flujo de vapor óptmo para sstemas térmcamente acoplados, ncludo el sstema Petlyuk. Para calcular los flujos nternos utlzan la ecuacón de Underwood (948). El procedmento se presenta para una solucón deal ternara, es decr, valores constantes de volatldades relatvas y velocdades de flujos nternos equmolares, y separacones perfectas. El estudo se ve lmtado a sstemas con almentacón como líqudo saturado. Glnos y Malone (985) desarrollaron un procedmento smplfcado para calcular los flujos mínmos de vapor y líqudo dentro de una columna de destlacón con rectfcador lateral. En este estudo, la columna con rectfcador lateral se descompone en un arreglo equvalente (en cuanto a flujos) de dos columnas, con el destlado de la prmera srvendo como almentacón a la segunda columna. Glnos y Malone muestran que bajo certas condcones de operacón, los flujos que srven de nterconexón entre la prmera y la segunda columna se pueden consderar como una seudo-almentacón con una condcón térmca desplazada. El sstema Petlyuk puede ser reproducdo en una sola torre de destlacón con una dvsón nterna. Este sstema se denomna de pared dvdda. Para que el sstema Petlyuk y el de pared dvdda sean termodnámcamente equvalentes, no debe de haber transferenca de energía a través de la pared dvsora. El presente trabajo propone un método smplfcado para el dseño del sstema Petlyuk o de pared dvdda. a mportanca de este método es que proporcona una prmera aproxmacón de manera rápda, la cual puede luego valdarse medante smulacones rgurosas.. Teoría Cuando se trata de separar una mezcla ternara o de multcomponentes en tres productos, normalmente se usan dos torres de destlacón (secuencas convenconales drecta e ndrecta). En el caso del sstema Petlyuk (Fg. a) o su equvalente de pared dvdda (Fg. b), la forma de separar los componentes es dferente a los sstemas convenconales. a almentacón se ntroduce a un prefracconador o seccón, el cual hace una separacón ncal entre el componente más volátl y el más pesado. a composcón del componente ntermedo se dstrbuye entre el domo y el fondo de la seccón. a columna prncpal se puede dvdr en dos seccones, la seccón superor a la corrente de producto S o seccón de las Fg. a y b, y la seccón nferor a la corrente S, o seccón. a seccón tene una almentacón de vapor saturado y una corrente lateral líquda que es el reflujo de la seccón, mentras que la seccón tene una almentacón de líqudo saturado y una corrente lateral en forma de vapor. Cada una de las seccones de la columna prncpal realza una separacón entre compuestos adyacentes. Además, s la separacón que se realza en la seccón es lo más perfecta posble, se puede consderar como una separacón bnara. Fnalmente lo que se obtene son tres correntes de productos: el destlado, la corrente lateral S y el fondo B. Teórcamente se puede alcanzar cualquer pureza deseada en cada uno de los productos. Algunos nvestgadores han llegado a la conclusón que este sstema ahorra energía debdo a que elmna los retromezclados que se presentan en las columnas convenconales (Trantafyllou y Smth, 990; Fnn, 99). 86

3 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Fg.. (a) Sstema Petlyuk, (b) Sstema de pared dvdda.. esarrollo del modelo Para nuestro estudo tomamos una almentacón de tres componentes (F, F, F ). Se utlzan las ecuacones de Underwood (948), Fenske (Henley y Seader, 990) y Gllland (940) con sus respectvas consderacones. El sstema Petlyuk (Fg. a) se smplfca como se muestra en la Fg. b. En la seccón, además de la almentacón, se defnen los productos netos; el destlado neto es la dferenca entre el vapor que sale por el domo y el líqudo que entra, y el fondo neto es la dferenca entre el líqudo que sale y el vapor que entra en la parte baja. as funcones que hacen las etapas de nterconexón ahora las hacen el condensador y rehervdor que se presentan en la seccón. Fnalmente, la columna prncpal puede verse como la suma de dos seccones o columnas convenconales, tal que la corrente lateral, S, es la suma de la corrente del fondo de la seccón ( B ) y la corrente de destlado de la seccón ( ).. seño del prefracconador (Seccón ) En el caso de la seccón, se deben especfcar ncalmente las recuperacones de los componentes clave lgero (f ) y clave pesado (f ) en el domo. e acuerdo con los grados de lbertad de una columna convenconal, es necesaro especfcar una varable adconal; en este caso se usa la recuperacón del componente ntermedo (f ). 87

4 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Fg.. Resultados del dseño para el caso de estudo. e acuerdo con el procedmento de Underwood (948), el valor del flujo del reflujo mínmo se obtene susttuyendo las raíces obtendas de () en () y es el mayor de las dos solucones de (). Fdkowsk y Królowkosk (986) encontraron que el valor óptmo del reflujo se obtene cuando () se resuelve smultáneamente con ambos valores de φ. e esta forma se pueden obtener los valores de mn y de f. XF q, φ > φ > > φ > F φ j mn max f j φ j () () Con los resultados del procedmento de Underwood (948) se pueden calcular los productos netos de la seccón ( y B ), las composcones ( X y XB ), el reflujo mínmo ( R mn ), y s se consdera que los flujos molares nternos son constantes, se pueden estmar los flujos nternos. Conocendo las composcones de los productos netos de la seccón, se puede estmar el número mínmo de etapas teórcas medante la ecuacón de Fenske (Henley y Seader, 990). Además, s se ha establecdo una relacón de reflujo para esta seccón, se puede estmar el número de etapas teórcas por medo de la Ecuacón del Gllland (940). Por últmo, con la correlacón de Krkbrde (Henley y Seader, 990) se puede estmar la localzacón de la almentacón para esta seccón. En el Apéndce A. se puede encontrar el procedmento completo para el dseño de la seccón. 88

5 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) seño de la columna prncpal as dos seccones de la columna prncpal se consderan como la suma de dos columnas convenconales. a seccón se dseña separando el componente clave lgero (f ) del ntermedo (f ); el clave pesado se va completamente al fondo de esta seccón. a seccón separa el clave ntermedo (f ) del clave pesado (f ); el clave lgero se va completamente al domo de esta seccón. el dseño de la seccón, se conocen los flujos de las almentacones a las seccones y pero no se conocen sus composcones. Tampoco se conocen las composcones de las correntes laterales que van haca la seccón, y no están en equlbro con las almentacones. Por lo tanto el procedmento de Underwood (948) no se puede utlzar drectamente para determnar el reflujo mínmo de las seccones y. Glnos y Malone (985) desarrollaron un procedmento para estmar el reflujo mínmo en sstemas con rectfcador lateral. Estos sstemas presentan un problema smlar al que se tene para la seccón. a conclusón a la que llegaron fue que una almentacón a una columna de destlacón con una corrente lateral a una o unas pocas etapas por arrba o debajo de dcha almentacón puede representarse por una seudo almentacón con la condcón térmca desplazada () y (4). q X φ V q, > φ > () (4) S aplcamos el msmo procedmento para la seccón se obtenen las expresones equvalentes para esta seccón, ecuacones (5) y (6). e esta forma en ambas seccones se pueden reducr la almentacón y corrente lateral a una seudo-almentacón con flujos y composcones conocdas. XB φ q q V, B > φ > (5) (6) as Ec. () y (4) proporconan el valor de la raíz de φ para la seccón, de la msma forma las que las Ec. (5) y (6) lo hacen para la seccón. Con estas raíces se puede estmar el reflujo mínmo necesaro para cada seccón. Una vez calculados los flujos mínmos nternos, se procede a establecer cual de las dos seccones es la domnante. Para poder comparar los flujos nternos es necesaro que el flujo de reflujo mínmo de la seccón sea llevado hasta el domo de la seccón, para comparar drectamente el flujo mínmo de la seccón con el flujo mínmo necesaro para la seccón (7). e acuerdo con Nkolades y Malone (987), para sstemas con múltples almentacones la seccón que requera el mayor flujo nterno es la domnante. R mn mn max (7) mn + S q Se pueden en seguda calcular los flujos nternos a la condcon del reflujo de operacón ( R ): R* + q -S (8) 89

6 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Fnalmente, habendo calculado los flujos a condcones mínmas y a condcones de operacón, se pueden termnar de dseñar ambas seccones de la columna prncpal. En el Apéndce A. se descrbe el procedmento para dseñar completamente la columna prncpal, lo cual mplca la determnacón del número de etapas teórcas y las etapas donde se debe de nterconectar la columna prncpal con el prefracconador.. Ajuste del número de etapas teórcas de la columna prncpal con el prefracconador Normalmente el número de etapas para el prefracconador no concde con el número de etapas teórcas que suman la parte baja de la seccón y la parte de arrba de la seccón. Esto no representa un problema crítco para el sstema Petlyuk, en donde el prefracconador y la columna prncpal se pueden construr ndependentes. En el caso de la columna de pared dvdda sí es necesaro que concdan, aunque algunos autores (Trantafyllou y Smth, 990) han sugerdo que se puede utlzar empaques con dferentes alturas equvalentes. Para evtar este problema, se puede hacer el dseño tal que el número de etapas teórcas entre en prefracconador y las seccones menconadas de la columna prncpal concdan. Una forma de hacer concdr el número de etapas teórcas es ajustar las recuperacones especfcadas para el prefracconador. Sn embargo, esta opcón podría presentar el problema de que en ocasones las recuperacones especfcadas no se alcanzaran. Otra forma de manpular el número de etapas teórcas es ajustar la relacón de reflujo que se especfcó para el prefracconador, lo cual es mas convenente, ya que el flujo neto y las composcones del destlado y fondos del prefracconador permanecen constantes. 4. Resultados y dscusón 4. Caso de estudo Para hacer una valdacón del modelo de dseño aquí presentado, se tomó un problema base (Tablas y ). a relacón de reflujo ( R ) se fjó en.r mn y las recuperacones en el domo del prefracconador fueron 0.95 y 0.05 para f y f respectvamente. Se dseñó la columna necesara para llevar a cabo la separacón, y los resultados se utlzaron como una base para una smulacón rgurosa. Tabla. Especfcacón de la almentacón para el caso de estudo. Compuestos F q (kg-mol/hr) n-pentano n-hexano n-heptano Total Tabla. Especfcacón de los productos. Compuestos X XS XB n-pentano n-hexano n-heptano Total a smulacón rgurosa se realzó medante el smulador comercal ASPEN PUS 0.. as propedades termodnámcas se estmaron utlzando la ecuacón de estado de Redlch-Kwong. 4. Resultado a Fg. presenta el dseño preelmnar de la columna de destlacón. En este caso se recurró a modfcar la relacón de reflujo del prefracconador para hacer concdr el número de etapas teórcas en la zona del prefracconador. 90

7 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Fg.. Perfl de la fraccón mol del líqudo en la columna prncpal (dseño orgnal). a Fg. 4 presenta los resultados obtendos por el smulador ASPEN PUS. Se observa que, aunque la smulacón rgurosa no alcanza las composcones establecdas, la aproxmacón ncal es buena. En el destlado de la columna Petlyuk cas se logró la separacón deseada, ya que las composcones del destlado concden con las especfcadas. En el caso de la corrente lateral y de fondo, sn embargo, se presenta una mayor desvacón. Esto se debe prncpalmente a que la seccón es la seccón domnante, es decr, que necestaba el mayor flujo nterno. a Fg. 5 presenta los resultados de la smulacón rgurosa, en la cual se tuvo que ncrementar el reflujo de la columna prncpal desde.06 hasta.6 para lograr que las tres composcones de los productos se satsfaceran, sn sobrepurfcarse. ebe resaltarse que el número de etapas deales del prefracconador y de la columna prncpal, así como las etapas de almentacón e nterconexón entre el prefracconador y columna prncpal, no se modfcaron. 9

8 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Etapas deales Fracc. Mol íqudo n-pentano n-hexano n-heptano n-pentano n-hexano n-heptano Fg. 4. Perfl de la fraccón mol del líqudo en la columna prncpal (dseño orgnal). Etapas deales Fracc. Mol íqudo n-pentano n-hexano n-heptano n-pentano n-hexano n-heptano Fg. 5. Perfl de la fraccón mol del líqudo en la columna prncpal (reflujo a.6). 9

9 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Conclusones En este trabajo se propone un método de dseño para la secuenca de destlacón térmcamente acoplada Petlyuk y/o pared dvdda sencllo de aplcar. El método propuesto se puede utlzar como una buena base para dseños detallados medante smulacones rgurosas. Además el método calcula flujos de nterconexón entre el prefracconador y columna prncpal, los cuales se pueden utlzar como prmera aproxmacón para la optmzacón del consumo de energía del sstema Petlyuk. Para el caso de estudo analzado, por ejemplo, se requró sólo de leves modfcacones para obtener los requermentos de dseño establecdos. El método se utlzó para dseñar una columna Petlyuk que separa una mezcla de tres componentes, pero tambén puede ser utlzado para el dseño de columnas Petlyuk que necesten separar mezclas multcomponentes en tres productos. Como parte del desarrollo del método, se obtuveron relacones drectas para estmar el reflujo mínmo y la recuperacón del componente ntermedo en el prefracconador, cuando la almentacón es como líqudo saturado o vapor saturado. Estas relacones smplfcan en gran medda el cálculo del dseño, consderando que en muchos casos, la almentacón a una columna de destlacón cumple o está cerca de esas condcones de saturacón. Nomenclatura f Fraccón de recuperacón de un componente en el domo de la columna, (0 a ) q Condcón térmca de la almentacón B Flujo del producto en el fondo de la columna, Kg-mol/hr Flujo del producto en el domo de la columna, Kg-mol/hr F Flujo de almentacón al sstema, Kgmol/hr Flujo líqudo en la parte superor a la almentacón de la columna Flujo líqudo en la parte nferor a la almentacón de la columna, Kg-mol/hr N Número de etapas o platos deales P Presón en el domo de la columna, atm R Relacón de reflujo V Flujo de vapor en la parte superor a la almentacón de la columna, Kg-mol/hr V Flujo de vapor en la parte nferor a la almentacón de la columna, Kg-mol/hr XB Fraccón mol del destlado X Fraccón mol del destlado XF Fraccón mol de la almentacón al sstema símbolos gregos Volatldades relatvas φ Raíces de la Ecuacón de Underwood Subíndces Referenca al número de componente en la mezcla cl Componente clave lgero cp Componente clave pesado mn Mínmo Superíndces,, Seccón del sstema Petlyuk (ver Fg. ) Agradecmentos Este trabajo fue apoyado por una Beca de CONACYT a uno de los autores. Además la nvestgacón fue apoyada por el SHGO, bajo el No. del proyecto Apéndce A escrpcón del método de dseño A. seño del prefracconador (Seccón ) Para dseñar el prefracconador o seccón, es necesaro especfcar f y f en el domo de esta seccón, así como especfcar la relacón de reflujo ( R ). a Ecuacón de Underwood (948) se pueden escrbr de la sguente forma: 9

10 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) c XF q, > φ > > φ > φ (9) onde: B c mn mn c Fφ f φ c Fφ φ F *f F *f X f (0) () c F *( f ) F *( f ) XB () mn R mn () Para calcular el flujo mínmo en esta seccón se deben estmar las dos raíces de (9) y resolver el sstema de ecuacones (0). e esta forma se obtenen el flujo mínmo y la recuperacón del componente ntermedo. Con las relacones (-) se calculan los productos netos del prefracconador y sus composcones. os casos especales se presentan cuando la condcón de almentacón es como líqudo saturado o vapor saturado. En estos casos la solucón smultánea del sstema de ecuacones (0) presenta solucones analítcas. En el Apéndce B. se presenta el desarrollo de las ecuacones para almentacón como líqudo saturado y en el Apéndce B. se presenta cuando la almentacón es vapor saturado. El número mínmo de etapas deales para el prefracconador se calcula con la ecuacón de Fenske (Henley y Seader, 990): B N mn X XB cl log p XB X cl cl log cp cp p cp (4) El número de etapas deales N para el prefraccoandor se estma por medo de la correlacón de Gllland (940). mn R R x R x y exp + 7.x mn N N y N + x 0.5 x (5) a etapa de almentacón se puede estmar por medo de la ecuacón de Krkbrde: N sup B XFcp XBcl log 0.06 log (6) N XF nf cl Xcl A. seño de la seccón y A.. Estmacón del reflujo mínmo y balance de masa entre las dos seccones Por balance de masa en cada una de las seccones se obtenen el flujo y composcones de las correntes auxlares B y. Se consdera que el componente clave pesado que contene se va completamente a B, y que el componente lgero que sale por B se va completamente a. El destlado del prefracconador, que es la almentacón a la seccón, va a tener una condcón térmca de acuerdo con la Ec. (). 94

11 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) Asmsmo, para la seccón la condcón térmca de la almentacón será de acuerdo con (5). Con estas condcones térmcas para cada seccón, se calculan las raíces de φ con las Ecs. (4) y (6). Fnalmente el reflujo mínmo para cada seccón se obtene medante: R R mn mn X φ mn R X φ mn,, mn R mn (7) (8) Ahora se compara cual de las dos seccones es la domnante medante (7). Se obtenen luego los flujos a condcones de operacón con la ecuacón (8). Fnalmente el reflujo al que van a operar cada una de las seccones por separado es el sguente: correspondentes correntes de destlados y fondos. Así tambén, el número de etapas deales se obtene aplcando la correlacón de Gllland (5) en cada seccón. Fnalmente, las etapas donde se van a conectar las seccones y con la seccón se estman utlzando la ecuacón de Krkbrde (6), consderado a y a B como las almentacones. Apéndce B Flujos mínmos para la seccón cuando q0 y q B. Almentacón como líqudo saturado (q0) Cuando la almentacón a la columna se tene como líqudo saturado, el cálculo de φ en la ecuacón (9) se converte en una solucón de una ecuacón algebraca de segundo orden. Por lo tanto se pueden encontrar las raíces analítcamente. XF XF XF φ φ φ () R (9) R (0) donde: b + φ b 4ac a A.. seño fnal de la seccón y seccón El componente calve ntermedo es ahora el componente clave pesado para la seccón y el clave lgero para la seccón. El destlado de la seccón es el destlado fnal del sstema, y el fondo de esta seccón es la corrente auxlar B ; en la seccón, el destlado es la corrente y el fondo es el fondo fnal del sstema B. El número mínmo de etapas deales de ambas seccones se obtene por medo de la ecuacón de Fenske (4), utlzando las b φ b 4ac a a F + F + F F ( + ) + F ( + ) b ( ) + F + c (F + F + F ) () Como consecuenca, el flujo mínmo de reflujo y la recuperacón del componente ntermedo en el prefracconador se obtenen en este caso medante las sguentes expresones. 95

12 Castro-Agüero y Jménez-Gutérrez / Revsta Mexcana de ngenería Químca Vol. (00) f f f mn F f + F B. Almentacón como vapor saturado (q) f () (4) Cuando la almentacón a la columna es en forma de vapor saturado, la ecuacón (9) se converte en una ecuacón cúbca. Una de las raíces de esta ecuacón es gual a cero. Al factorzar dcha raíz se dentfca una ecuacón cuadrátca como en el caso de líqudo saturado. donde: XF XF XF + + φ φ φ φ b + b a 4ac b b 4ac φ y φ 0 a a F + F + F F ( + ) + F ( + ) b + F( + ) c F + F + F (5) (6) Referencas Fdkowsk, Z. y Królkowsk,. (986). Thermally coupled system of dstllaton columns: optmzaton procedure. AChE Journl, Fdkowsk, Z. y Królkowsk,. (987). Mnmum requrements of thermally coupled dstllaton systems. AChE Journal, Fdkowsk, Z. y Królkowsk,. (990). Energy requrements of nonconventonal dstllaton systems. AChE Journal 6, Fnn, A.J. (99). Consder thermally coupled dstllaton, Chemcal Engneerng Progress, October, Gllland, E. R. (940). Multcomponent Rectfcaton; ndustral Engneerng Chemstry, 0-. Glnos, K. y Malone, M.F. (985) Mnmum vapor flows n a dstllaton column wth a sdestream strpper. ndustral Engneerng Chemcal Process esgn and evelopment 4, Henley, E.J. y Seader, J.. (990), Operacones de Separacón por Etapas de Equlbro en ngenería Químca. Reverté, S. A. Nkolades,.P y Malone, M.F. (987). Approxmate desgn for multple-feed/sdestream dstllaton systems, ndustral Engneerng Chemcal Research 6, Tedder,.W. y Rudd,.F. (978). Parametrc studes n ndustral dstllaton. AChE Journal 4, 0-4. Trantafyllou, C. y Smth, R. (990). The desgn and optmzaton of fully thermally coupled dstllaton columns. Transactons of the nsttuton of Chemcal Engneers, 70. Para este caso, se obtenen las sguentes expresones analítcas. Underwood, A. J. V. (948). Fractonal dstllaton of multcomponent mxtures. Chemcal Engneerng Progress 44. f mn ( ) ( ) ( ) ( ) f + f ( ) (7) F + F + F ( f f ) (8) 96