Control óptimo estocástico en la enseñanza de la economía matemática

Transcripción

1 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez Resme: E ese docmeo expoemos de maera ddácca el plaeameo del problema de corol ópmo esocásco e empo coo, e el cal las resrccoes so procesos de dfsó observables codcdos por el movmeo geomérco browao. Asmsmo, co el propóso de lsrar el so del corol ópmo esocásco e la ecoomía maemáca, preseamos de maera ddácca dos ejemplos. El prmero es modelo de agee ecoómco racoal qe dspoe de a rqeza cal y efrea la decsó de cómo dsrbr s rqeza ere cosmo y porafolo de acvos e horzoe de plaeacó fo, de maera al qe maxmce s ldad oal esperada por el cosmo. El segdo ejemplo correspode al caso de horzoe emporal fo cya dracó es esocásca. Palabras clave: opmzacó dámca esocásca, corol ópmo esocásco e empo coo, ecacó dferecal parcal de Hamlo-Jacob-Bellma, eorema de verfcacó del cálclo esocásco, lema -dmesoal de Iô. Sochasc opmal corol he eachg of mahemacal ecoomcs Absrac: I hs paper we prese a ddacc way he saeme of he sochasc opmal corol problem coos me where cosras are observable dffso processes drve by he geomerc Browa moo. Frhermore, order o llsrae he se of sochasc opmal corol Mahemacal Ecoomcs, we prese a edcaoal way wo examples. The frs s a model of a raoal ecoomc age ha has a al wealh ad faces he decso of how o dsrbe hs wealh cosmpo ad a porfolo of asses a fe plag horzo, so as o maxmze hs oal expeced ly for cosmpo. The secod example cocers he case of a fe me horzo of sochasc drao. Keywords: sochasc dyamc opmzao, sochasc opmal corol coos me, paral dffereal eqao of Hamlo-Jacob-Bellma, verfcao heorem of sochasc calcls, - dmesoal Iô s lema. Fe cha de re cep có: 10 de abrl de 011. Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011, pp EM3-3_pp dd 147 1/4/11 10:34:0 PM

2 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca Irodccó La ecesdad de aplcar el corol ópmo esocásco e empo coo como herramea de modelacó e las cecas ecoómcas se ha cremeado oablemee e las úlmas décadas. Las respesas de vesgacó a ales ecesdades se ha hecho paees e dversos exos, por ejemplo, Veegas-Maríez (008), Herádez-Lerma (1994), Björk (004), Hyê (009), ere oros. Así pes, Veegas-Maríez (008) presea dversas aplcacoes ecoómcas del corol ópmo, deermsa y esocásco, e empo coo. Por s pare, Herádez-Lerma (1994) desarrolla aplcacoes ecoómco-faceras de procesos de dfsó markovaos corolados e horzoe de empo fo. Asmsmo, Björk (004) presea la eoría de corol ópmo esocásco para la modelacó del problema de seleccó de carera y cosmo ópmos. A pesar del éxo e ss aplcacoes, es be coocdo qe el corol ópmo esocásco e empo coo o es fácl de compreder por el rgor maemáco qe lo ssea y mcho meos es fácl de aplcar, a para aqellos qe so maemácos o especalsas e el área. Por lo aes referdo, el objevo de ese docmeo es presear de maera accesble y ddácca el modelo de corol ópmo esocásco e empo coo y algas de ss aplcacoes e Ecoomía para aqellos qe o so ecesaramee experos e corol ópmo esocásco, pero qe lo reqere como herramea e ss acvdades profesoales o de vesgacó. Co ese objevo e mee, de maera ddácca, se formlará el problema de corol ópmo esocásco y se preseará la écca de programacó dámca para obeer la ecacó dferecal parcal (edp) o leal de Hamlo- Jacob-Bellma (hjb), cya solcó os lleva a ecorar el corol ópmo y, co ello, las rayecoras ópmas de las varables qe opmza la fcó objevo. 1 Asmsmo, como lsracó, se presea dos ejemplos de aplcacó. El prmero de ellos correspode a modelo de agee ecoómco qe desea maxmzar s ldad oal esperada y descoada de cosmo e horzoe emporal fo y el segdo ejemplo versa sobre agee ecoómco qe desea maxmzar s ldad e horzoe emporal fo y esocásco. Ese rabajo esá orgazado de la sgee maera. E la seccó, se hace el plaeameo del problema geeral de corol ópmo esocásco e empo 1 Para a rgrosa formalzacó de problemas de corol ópmo esocásco e empo dscreo y coo léase Herádez-Lerma (1994). Para a ampla refereca de problemas de corol ópmo esocásco e empo dscreo y coo, aplcados e Cecas Ecoómcas, reférase a Veegas-Maríez (008). 148 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 148 1/4/11 10:34:0 PM

3 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez coo cado las resrccoes so dfsoes codcdas por movmeos browaos. E la seccó 3, se plaea de maera geeral la meodología de programacó dámca (recrsvdad) e la qe se basa la solcó del problema de corol ópmo plaeado, obeedo como reslados cerales: prmero, la ecacó dferecal parcal o leal de Hamlo-Jacob-Bellmam y, segdo, las codcoes de prmer orde qe lleva a ecorar de maera geeral la expresó de la varable ópma de corol. E la seccó 4, se eca el eorema de verfcacó del corol ópmo esocásco y s demosracó se presea e el apédce A. de ese docmeo. E la seccó 5, se realza a prmera aplcacó del modelo de corol ópmo esocásco y se presea s solcó. E la seccó 6, se descrbe evamee, medae oro ejemplo, la aplcacó del problema de corol ópmo esocásco y s solcó co la verfcacó correspodee. La seccó 7 presea las coclsoes de ese rabajo y la úlma seccó coee apédce e el qe se desarrolla dealladamee el lema de Iô para movmeos browaos y la demosracó del eorema de verfcacó del cálclo esocásco, co la ecó de proporcoarle al lecor las pares del aálss qe o aparece e el cerpo prcpal del rabajo. Plaeameo del problema de corol ópmo esocásco La opmzacó dámca esocásca es el esdo de ssemas dámcos sjeos a perrbacoes aleaoras qe pede ser coroladas co el objevo de opmzar algú crero de desempeño. Srge e problemas de oma de decsoes bajo cerdmbre y ecera campo my férl para s aplcacó e ecoomía y fazas. E co, se lzaba los prcpos de opmzacó de Poryag y Bellma, pero e los úlmos años la eoría de corol se ha desarrollado oablemee movada por los problemas qe srge e la ecoomía maemáca y las maemácas faceras (Hyê, 009). El corol ópmo esocásco es a écca maemáca sada para resolver problemas de opmzacó de ssemas qe evolcoa e el empo e ambee de cerdmbre. El problema maemáco geeral de opmzacó eremporal esocásca, e empo coo o dscreo, se compoe de a fcó objevo, defda sobre varos perodos (fos o fos) sjea a resrccoes, de las cales, al meos a de ellas es dámca, así como a codcoes de froera (Wckes, 008), lzado varables de corol qe perme opmzar la Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 149 1/4/11 10:34:0 PM

4 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca fcó objevo, a f de ecorar las sedas ópmas y obeer así la rayecora ópma de las varables de esado a parr de la ecacó de movmeo qe las e (Cerda, 001). Ese problema eremporal comúmee se cooce como problema de corol ópmo esocásco e opmzacó dámca. Para esablecer el modelo maemáco geeral del problema de corol ópmo esocásco e opmzacó dámca e empo coo, resla ecesaro dspoer del plaeameo geeral del problema maemáco. Para ello, se cosdera ssema dámco formlado e empo coo e el horzoe emporal [0, T], y se defe las fcoes μ, x,, dadas por, μ : R + R R k R, σ : R + R R k R d. y σ, x, Para po x 0 R cosdere la sgee ecacó dferecal esocásca de esado d μ (,, )d σ (,, )dw (1) 0 = x 0, () e dode se cosdera el proceso -dmesoal como el proceso de varables de esado qe se reqere corolar, el proceso k-dmesoal como el proceso de corol, cya correca eleccó corolará a, y W es proceso de Weer o movmeo browao d-dmesoal, defdo sobre espaco fjo de probabldad co a flracó ( Ω,F, (F W) 0,T,P ). Se defe a coacó a regla de corol admsble; para al efeco, se cosdera la clase de procesos de corol admsble como proceso de corol cyo valor e el empo se adapa al proceso de esado, y el cal se obee medae la fcó (, x). defda por : R R R k, = (, ), así defda, se llama regla de corol de reroalmeacó. Spógase ahora qe se elge la regla de corol de reroalmeacó fja (, x) y se ssye e 1, de dode se obee la ecacó dferecal esocásca 150 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 150 1/4/11 10:34:1 PM

5 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez d σ (,,(, ))dw. (3) d μ,,(, ) Además, se mpoe a la resrccó de qe, para cada, U R k, dode U es la clase de coroles admsbles. Defcó 1. Ua regla de corol (, x) es admsble s (Björk, 004); 3 ) (, x) U, R y x R ) Para calqer po cal (, x) dado, la ecacó dferecal esocásca ( ) ds σ ( s, s,( s, s )) dw s d s μ s, s, s, s = x ee a úca solcó. Peso qe el problema de corol ópmo por defr se ecera e el marco esocásco y oda vez qe el proceso de esado es -dmesoal, será ecesaro defr las sgees fcoes y esablecer el eorema fdameal del cálclo esocásco, llamado lema de Iô para el caso de varables. Defcó ) Para calqer vecor fjo R k, las fcoes m y s esá defdas por μ σ (, x) μ (, x,) (, x) σ, x, y se spoe co segdas dervadas coas. ) Para calqer regla de corol las fcoes m y s esá defdas por μ σ ( ) ( ) (, x) μ, x,, x (, x) σ, x,, x y se spoe co segdas dervadas coas. 3 Varos de los cocepos eórcos fdameales lzados, así como alga de la oacó adopada e ese docmeo, provee del exo de Björk (004). Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 151 1/4/11 10:34:3 PM

6 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca Lema de Iô 4 para varables ) Cosdere la fcó y = f (x, ), x = (x 1, x,, x ), la ecacó dferecal esocásca dx = μ, )d + σ, ) dw y calqer vecor fjo R k, e dode, como ya se dcó, W es movmeo browao defdo sobre espaco fjo de probabldad co a flracó W ameada 1Ω,F, (F ) [0,T ],. Eoces, medae a aplcacó esádar de expasó e sere de Taylor y el so de las reglas del cálclo de Iô, se obee el eorema fdameal del cálclo esocásco (véase el apédce A, seccó A.1), f x, dy = + =1 f x, + 1 j =1 =1 μ f x, j σ, )σ j, )ρ j, ) d + f x, σ, )dw. =1 ) Aálogamee, para calqer regla de corol, se ee (véase el apédce A, seccó A.1) f x, dy = + =1 f x, + 1 j =1 =1 μ f x, j σ, )σ j, )ρ j, ) d + f x, σ, )dw. =1 Dada a regla de corol co s correspodee proceso corolado, algas veces saremos la oacó dode, d = μ d + σ dw (4) 4 Varos de los cocepos eórcos fdameales lzados, así como alga de la oacó empleada e ese docmeo se adopa del lbro de Veegas-Maríez (008). 15 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 15 1/4/11 10:34:4 PM

7 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez (, ) Para defr la fcó objevo del problema de corol se cosdera las fcoes (Cerda, 001): y F : R R R k R dada por,, F (,, ) Φ : R R dada por Φ dode F valúa el desempeño del ssema a ravés del empo y F es el esado e el qe qeda el ssema e el horzoe emporal del problema. Se spoe qe ao F como F so de clase C. Se defe la fcoal objevo de esro problema como la fcó J 0 : U R defda por, J 0 T ( ) E F (,, )dφ T 0 F 0, dode es la solcó de 3, co codcó cal 0 = x 0, y dode F 0 represea la formacó dspoble hasa el empo = 0. El problema de corol pede ser escro como o de maxmzacó de la fcoal J 0 1, sobre odo U, de dode se defe la fcoal ópma por Ĵ 0 max U J 0 ( ). S exse la regla de corol admsble û al qe J û Ĵ0 0 eoces û se defe como a regla de corol ópmo para el problema dado. Defcó 3. Se spoe a pareja 1, x fja, dode 0, T y x R. El problema de corol P 1, x se defe como: Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 153 1/4/11 10:34:5 PM

8 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca sjeo a las ecacoes dámcas y a la resrccó T Maxmzar E F ( s, s, s )d s Φ T F d s μ ( s, s,( s, s )) ds σ s, (, s, s ( s )) dw (5) s ( s, y ) U, para odo ( s, y ),T = x (6) R. (7) Ecacó de Hamlo-Jacob-Bellma E esa seccó os efocamos e la regla de corol ópmo para el problema de corol dado, para lo cal, lzaremos la programacó dámca. Defcó 4 ) La fcó de valor esá defda por J, x, J : R R U R T E F s, s, s dsφ T F jo co las ecacoes dámcas 5 y 6. ) La fcó de valor ópmo es y esá defda por Ĵ : R R R Ĵ (, ) max J (, x,). U 154 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 154 1/4/11 10:34:7 PM

9 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez El objevo, ahora, es caracerzar la fcó de valor e el corol ópmo y hacer a dervacó de s ecacó dferecal parcal, mejor coocda como la edp de hjb, 5 por lo cal se hace los sgees spesos. Spesos 1. Se spoe qe: 1) Exse a regla de corol ópmo. ) La fcó de valor ópmo Jˆ es de clase C. ( 0,T ) R Cosdere el par, x fjo pero arbraro y spoga cremeo my peqeño, de hecho, dferecal d R, al qe < + d < T. També elegmos a regla de corol fja pero arbrara. Por ao, dada la defcó de la fcó de valor ópmo y el cremeo d, se ee la relacó recrsva emporal (Veegas-Maríez, 008), T Ĵ (, ) = max J (, x,) = maxe F ( s, U U s, s )ds +Φ ( T ) F + d T = maxe F ( s, U s, s )ds + F ( s, s, s )ds +Φ ( T ) F +d + d = maxe F ( s, U s, s )ds +Ĵ ( + d, + d ) F, a esa expresó se le aplca e el prmer smado el eorema del valor medo de cálclo egral y, e el segdo smado se aplca expasó e sere de Taylor, de lo qe resla = max Ĵ, E F, U, smplfcado, se ee 0 = max U d + o d E F (,, )d + o d + Ĵ, ( ) + dĵ, ( ) + o ( d ) F F + dĵ, E la expresó aeror aplcamos el lema de Iô para obeer la dferecal esocásca de Jˆ, así 5 La ecacó de hjb es el reslado ceral e la eoría de corol ópmo. La ecacó correspodee e empo dscreo se cooce como la ecacó de Bellma.., Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 155 1/4/11 10:34:8 PM

10 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca 0 max U 1 j 1 1 Ĵ, ( ) EF (,, )d o d Ĵ (, ) Ĵ σ j, )σ j, )ρ j d 1 1 Ĵ,, μ σ, ), )dw F. Peso qe dw N 1d, al omar valores esperados a los érmos aleaoros de la ecacó aeror, se sge qe: 0 max U 1 j 1 1 Ĵ, ( ) F (,, )d o d Ĵ (, ) σ j, )σ j, )ρ j d. Ĵ, Ahora, se dvde ere d y se oma el líme cado d 0 0 lm max F (, d 0 U,) d o ( d ) Ĵ, d d Ĵ, ( ) 1 σ j, )σ j, d )ρ j j 1 1 d y así se obee falmee la edp de hjb: 0 max U 1 Ĵ, ( ) F,, j 1 1 Ĵ, j σ 156 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de Ĵ, μ Ĵ, μ, ), ) μ, ), )σ j, )ρ j. (8) EM3-3_pp dd 156 1/4/11 10:34:9 PM

11 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez Peso qe el aálss ha sdo realzado sobre po fjo pero arbraro, la ecacó se sosee para odo po 1, x 10, T R, y podemos esablecer ahora el sgee eorema. Teorema 1. Ecacó de Hamlo-Jacob-Bellma Bajo los spesos 1 se afrma lo sgee: a) Jˆ sasface la ecacó Hamlo-Jacob-Bellma + Ĵ, ( ) 0 = maxf, U, + Ĵ (, ) + 1 σ j j =1 =1 Ĵ(, T ) = Φ( T ) para oda 0,T =1, )σ j Ĵ, R. μ, )ρ j, ) para oda pareja (x, ) ( 0,T ) R b) Para cada 1, x 10, T R, el máxmo e la ecacó hjb es alcazado por = û 1,x. Codcoes de prmer orde A parr de la ecacó de hjb, se sge qe es la úca varable, ya qe x y so fjos y las fcoes F, Jˆ, μ,σ y σ j se cosdera como dadas. S se ee qe U es máxmo, eoces se obee la sgee ecacó dferecal parcal de segdo orde e Jˆ, + Ĵ, ( ) 0 = F,, + =1 Ĵ, μ + 1 Ĵ, σ j, )σ j, )ρ j. j =1 =1, ) Al dervar dcha ecacó co respeco de la varable de corol se ee la codcó de prmer orde Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 157 1/4/11 10:34:30 PM

12 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca 0 F (,, ) 1 j 1 1 Ĵ (, ) Ĵ, j σ 1, )σ j Ĵ, μ, ), )ρ j. (9) La ecacó 9, codcoada por las fcoes F, Jˆ (jo co ss dervadas parcales) μ,σ y σ j, caracerza al corol ópmo e fcó de x y y Jˆ; es decr, û = û 1, x, Jˆ. Para resolver la ecacó de hjb y ecorar la rayecora ópma del corol, eórcamee se procede a resolver por el méodo de fcoes e varables separables (e prodco), ya qe se raa de a ecacó dferecal parcal o leal; aqe es ecesaro recordar qe, e geeral, es dfícl obeer a solcó explíca de la ecacó de hjb. S embargo, para el po de aplcacoes qe se reqere e las cecas ecoómcas, exse algos casos e los qe, a pesar de ser o rvales, la ecacó de hjb ee a solcó aalíca; véase, al respeco, Mero (1990), Lehoczky (1983) y Hakasso (1970). Teorema de verfcacó Obsérvese qe el eorema 1 ee la forma de a codcó ecesara, pero aforadamee la ecacó de hjb ambé acúa como codcó sfcee para el problema de corol ópmo. El reslado qe ssea esa codcó, el cal se eca a coacó, se cooce como el eorema de verfcacó para la programacó dámca (reférase al apédce A seccó A. para ver la demosracó del eorema de verfcacó). Teorema. Teorema de verfcacó Spoga qe se ee las fcoes H(, ) y g(, x), ales qe ) H sasface la egral de Iô y es solcó de la edp hjb, es decr, 0 max U H, ( ) F,, 1 H, μ, ) 158 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 158 1/4/11 10:34:31 PM

13 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez Ï Ì Ó 1 j 1 1 H, j σ, )σ j H(, T ) Φ( T ) para odo R, )ρ j para odo par (x, ) ( 0,T )R ) La fcó g es a regla de corol admsble. ) Para cada 1, x 10, T R, 1, x, fjo pero arbraro, el máxmo e la ecacó de hjb es alcazado por la eleccó = g 1, x. Por lo ao se sosee lo sgee: 1) La fcó de valor ópmo Jˆ del problema de corol, esa dada por Ĵ(, ) H(, ). ) Exse a regla de corol ópma û al qe û 1, x = g 1, x. U problema de cosmo ópmo Cosdere agee ecoómco racoal de vda fa, lo qe se erprea como qe s descedeca heredará s rqeza y s fcó de ldad por el cosmo. E el empo = 0, el agee es doado co a rqeza cal x 0 y efrea el problema de cómo dsrbr s rqeza ere versó y cosmo e horzoe fo de al modo qe maxmce s fcó de ldad por el cosmo. Así pes, spoemos qe la ldad oal del agee esá dada por E F ( c s,s)ds F 0 0 dode F es la fcó de sasfaccó por el cosmo y F 0 es la formacó dspoble e el empo 0. Spoemos qe el agee pede verr a pare de s dero como ahorro e baco qe le oorga a asa de erés r > 0, lbre de resgo de cmplmeo. Así, el saldo de la versó e el empo es B = B 0 e r, el cal pede ser expresado medae la ecacó dferecal Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 159 1/4/11 10:34:3 PM

14 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca db rb d, co B 0 dado, lo cal mplca qe R B db B rd. (10) També pede verr e acvo co resgo cyo proceso de precos es codcdo por la sgee ecacó dferecal esocásca: Lo cal codce a ds = ms d + ss dw, dr S ds μd + σdw S, (11) dode W es proceso de Weer, ambé llamado movmeo browao, qe esá defdo sobre espaco fjo de probabldad co s flracó ameada Ω,F, (F W) 0,T,P. Las proporcoes de la rqeza qe se desará a los acvos s resgo y co resgo e el porafolo de versó e el empo las deoaremos por 1 - q y q. Asmsmo, deoaremos por c la asa de cosmo, a la qe se le pde qe c 0, 0. Adcoalmee, resrgmos las esraegas de cosmoversó a qe sea aofacables y spoemos, además, qe vvmos e mdo e el qe las egocacoes so posbles de maera coa s crrr e gú momeo e cosos por comsoes a agees de bolsa pagos de mpesos a aordades fscales. Spoemos ambé qe las veas e coro (pedr accoes presadas) so permdas e lmadas. De esa maera, s represea la rqeza del cosmdor e el empo, eoces la dámca del proceso de la rqeza esá dada por: d ( 1 θ )dr B θ dr S c d ( 1 θ )rd θ ( μd σdw ) c d rd θ rd θ μd θ σdw c d θ ( μ r )d ( r c )d θ σdw r θ ( μ r ) c d θ σdw, (1) 160 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 160 1/4/11 10:34:33 PM

15 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez eqvaleemee, dode d μ d + σ dw (13) μ r θ ( μ r ) c y σ θ σ. (14) E la ecacó 1 se erprea θ μd como el redmeo esperado de la versó co resgo de q pesos drae el perodo de a + d ; θ σdw represea el resgo mplcado e verr los q pesos e el acvo resgoso; el érmo 11 - q rd es el erés gaado por el ahorro de 11 - q pesos y, falmee, c d represea el cosmo e el ervalo de empo de a + d (Seh y Thompso, 000). E resme, y esablecedo formalmee el problema de maxmzacó de ldad del cosmdor como problema de corol ópmo esocásco, se ee: Maxmzar E F ( c θ,c s,s)ds s F 0 dx r θ ( μ r ) c d θ σdw (15) 0 x 0 c 0, 0 Para dar solcó a esro problema, defmos la fcó de valor de la sgee maera: E F ( c θ R,0 c s,s)ds F s d max E F ( c θ R,0 c s,s)ds s F ( c s,s)ds d J (, ) max x F (16) Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 161 1/4/11 10:46:57 PM

16 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca Al aplcar el eorema del valor medo del cálclo egral al prmer smado y recrsvdad al segdo smado, se obee qe max J, θ R,c, +d { F ( c, )d o ( d ) J ( d, d ) F }. S se lza la expasó e sere de Taylor al segdo smado, se obee max J, θ R,c, d coseceemee, 0 max θ R,c { F ( c, )d o ( d ) J (, ) dj (, ) o ( d ) F }, d { F ( c, )d o ( d ) dj (, ) F }. Al aplcar a dj 1, el lema de Iô y smplfcar, se obee 0 max F ( c, )d o d θ R,c, +d J (, ) J (, ) J (, ) μ 1 J (, ) σ dw σ d F. Ahora se oma el valor esperado de la úlma ecacó, peso qe dw se dsrbye N 10, d, se elma el érmo co el movmeo browao, de lo qe resla 0 max θ R,c, d J, F ( c, )d o d d J, 1 μ d F. J, σ d A coacó se dvde la expresó aeror ere d y se oma el líme de ésa cado d 0, para obeer la edp de hjb 16 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 16 1/4/11 10:46:58 PM

17 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez 0 max F c θ R,c, J (, ) J (, ) μ 1 J (, ) σ. (17) Ahora spoemos qe la fcó de ldad es de la forma F 1c, = e -r V 1c, dode V 1c es membro de la famla de fcoes de ldad hara (Mero, 1990 y Hakasso, 1970) 6 y r es parámero qe represea la asedad por cosmr del agee. Para esro problema elegmos, e parclar, la fcó de cosmo F ( c, ) e ρ c γ, co 0 γ 1, Noe qe V 1c ee la propedad de qe V ʹ( 0) γc γ dado qe 0 γ 1, c c 0 lo qe forzará a qe el cosmo sea posvo a ravés del horzoe emporal. Al spoer máxmo eror y hacer las sscoes correspodees, de la edp de hjb se obee 0 e ρ c γ J, 1 J, J (, ) ( θ σ). r θ μ r c Lo qe ahora se reqere es opmzar para c y q. Las codcoes de prmer orde so: 0 e ρ γc γ 1 J (, ) γc γ 1 J, e ρ (18) 6 S la fcó de ldad es al qe s medda de aversó absola o relava al resgo es posva e hperbólca e el cosmo y peso qe se ha speso qe los precos de los acvos so geerados por el movmeo browao, será posble obeer solcoes explícas para el cosmo y porafolo ópmos. Para amplo aálss de fcoes de ldad de po hara, véase por ejemplo Mero (1990) y Hakasso (1970). Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 163 1/4/11 10:46:59 PM

18 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca 0 J (, ) ( μ r ) J (, ) J, ( μ r ) θ σ θ. J, σ Ahora, para elegr la fcó J 1, qe sasfaga la edp de hjb y oda vez qe se raa de a ecacó dferecal parcal o leal, s fcó solcó es prodco de fcoes e varables separables (e prodco) de la forma J (, ) V ( x )h( )e ρ, es decr, J (, ) h( )e ρ x γ. (19) Ua vez elegdo el caddao de solcó para J, se calcla ss dervadas parcales J (, ) γx γ1 h( )e ρ, J, J, γ( γ 1) x γ h( )e ρ, ρx γ h( )e ρ x γ hʹ( )e ρ. (0) Ssmos los valores aerores e las codcoes de prmer orde de al maera qe θ γc γ1 J x, J x, ĉ xh ( μ r ) x σ J x, e ρ 1 γ1 γx γ1 h( )e ρ e ρ c γ1 x γ1 h( ) ( ), μ r x σ γ γ 1 (1) γx γ1 e ρ ( ˆθ x γ e ρ μ r ) σ ( γ 1). () 164 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 164 1/4/11 10:47:00 PM

19 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez Observamos qe la proporcó ópma qe se asga a la eeca del acvo resgoso es cosae y la regla ópma de cosmo es leal e la rqeza. Para sar el eorema de verfcacó, se reqere mosrar qe J 1, reselve la ecacó de hjb, por lo qe ssmos las ecacoes 0, 1 y e la ecacó 18, de al modo qe: 0 x γ hʹ ( h( ) ( ρ) γ r μ r ) σ ( γ 1) ( 1 γ)h γ γ1 ( ). 1 γ( μ r ) σ γ 1 (3) Al deoar las cosaes k 1 ρ ( γ r μ r ) σ ( γ 1) 1 γ( μ r ) σ γ 1 y k ( 1 γ), (4) se ee la ecacó dferecal ordara γ 0 x γ γ1 hʹ ( ) k 1 h( ) k h ( ). (5) S esa ecacó se sosee para oda x y, eoces h1 debe de resolver la ecacó hʹ ( ) k 1 h k h γ γ1 ( ), (6) la cal es a ecacó de Beroll co p 1x = k 1, q 1x = -k y γ γ 1. Para rasformar la ecacó de Beroll e a ecacó dferecal leal de a fcó (descoocda), ssmos z h 1 h 1 γ1 ( ), de dode se ee qe h z 1 γ y hʹ( ) ( 1 γ)z γ z ʹ, al ssr e 6 y mlplcar ambos lados de la ecacó por z γ, se obee, ( 1 γ) Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 165 1/4/11 10:47:01 PM

20 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca zʹ k 1 1 γ z k ( 1 γ) o zʹ k 11 z k. (7) Para resolver esa ecacó leal, se ee qe el facor egrae esá dado por e k 11, de dode se obee qe z 1 es z μ q ( )d k 5 μ k k 11 k 5 e k11, μ ( ) e k d 11 k e k11 d k 5 e k 11 k e d k k 5 11 e k 11 (8) y, por ao, h k k k 5 e k γ. (9) Hemos mosrado qe, s J esá defda por 19 co h1 dada por 9 y defda como la solcó de 5 y s defmos qˆ y ĉ por 1 y, eoces J sasface la ecacó de hjb y qˆ y ĉ cosge opmzar el problema de corol ópmo. U problema de cosmo-versó ópmos Cosderemos agee ecoómco y ervalo de empo fjo [0, T ], e el empo = 0; el agee es doado co a rqeza cal 0 y el problema qe efrea es cómo dsrbr s rqeza ere versó y cosmo de al modo qe s rqeza o sea egava e horzoe de empo fo y al qe maxmce s ldad oal esperada y descoada por el cosmo. Spogamos qe la ldad del agee esá dada por: T E F (,c )d Φ ( T ) F Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 166 1/4/11 10:47:0 PM

21 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez dode F es la fcó de ldad para cosmo y F es la fcó de legado o hereca (o fcó de rero e el empo T ), la cal mde la ldad de eer algo de dero al fal del perodo. Spoemos qe el agee pede verr a pare de s dero como ahorro e baco qe le oorga a asa de erés r > 0 (coamee capalzable). Así, el moo acmlado e el empo es B = B 0 e r, el cal pede ser expresado medae la ecacó dferecal dr B = db = rd. (30) B També pede verr e acvo co resgo cyo proceso de precos es modelado por la ecacó dferecal esocásca dr S = ds S = αd + σdw, (31) dode W es proceso de Weer, o movmeo browao, defdo sobre espaco fjo de probabldad 1Ω,F, (F W) 0,T,P co s flracó ameada. Como aes, las proporcoes relavas al porafolo e el empo las deoamos por 1 - q y q para los acvos lbre de resgo y co resgo, respecvamee, c deoa la asa de cosmo y se resrge a las esraegas de cosmo-versó qe sea aofacables. Además, se spoe qe el agee vve e mdo e el qe las egocacoes so posbles de maera coa s crrr e gú momeo e cosos por comsoes a agees de bolsa pagos de mpesos a aordades fscales, y qe las veas e coro so permdas e lmadas. De esa maera, s represea la rqeza del cosmdor e el empo, eoces la dámca del proceso de la rqeza esá dada por, d = r + θ α - r eqvaleemee, - c d + θ σdw, (3) d = α d + σ dw (33) Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 167 1/4/11 10:47:03 PM

22 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca dode α r θ ( α r ) c y σ θ σ. (34) Dados los spesos del problema, obsérvese qe el agee pede pedr presada a cadad lmada e verrla e accoes, por lo qe, e algú momeo, s rqeza podría llegar a ser cero e clso egava. De esa maera, T es a varable aleaora, la cal se llama empo de paro. Para lbrar ese problema, se resrge el domo a D 0,T x x 0, y se defe la fcó { } τ m f { 0 0 },T, y la erpreacó correspodee es qe, cado el proceso de rqeza pege e la froera del domo, es decr, sea cero, eoces la acvdad se erma y ya o hay hereca, de esa maera lo aral es qe f sea cero. E resme, y esablecedo formalmee el problema de maxmzacó de ldad del cosmdor como problema de corol ópmo esocásco, se ee τ Maxmzar E F (,c θ,c )d F 0, 0 d θ ( α r )d ( r c )d θ σdw, 0 x 0, c 0, 0. (35) Para dar solcó a esro problema y ecorar las proporcoes ópmas e el porafolo de versó y el cosmó ópmo del agee maxmzador, defmos la fcó de valor de esro problema de la sgee maera: J (, ) max θ R,0 c s, τ max θ R,0 c s, τ τ E F ( c s,s)ds F d τ E F ( c s,s)ds + F ( c s,s)ds d F. (36) Despés de aplcar el eorema del valor medo del cálclo egral al prmer smado y recrsvdad al segdo smado, se obee qe 168 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 168 1/4/11 10:47:04 PM

23 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez max J, θ R,0 c, d { F ( c, )d o ( d ) J ( d, d ) F }. Al aplcar la expasó e sere de Taylor al segdo smado, se ee por cosgee, J (, ) max θ R,0 c, d { F ( c, )d o ( d ) J (, ) dj (, ) o ( d ) F } 0 max θ R,0 c s, d { F ( c, )d o ( d ) dj (, ) F }. Al aplcar a dj 1, el lema de Iô y smplfcar, se obee 0 max F ( c, )d o d θ R,0 c, d J (, ) J (, ) J (, ) α 1 J (, ) σ dw σ d F. A coacó, se obee el valor esperado de esa úlma ecacó y, peso qe dw se dsrbye N 10, d, se elma el érmo co browao, de lo qe resla 0 max θ R,0 c, d J, F ( c, )d o d d J, 1 α d F. J, σ d Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 169 1/4/11 10:47:05 PM

24 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca Ahora se dvde esa expresó ere d y se oma s líme cado d 0 0 max F c θ R,0 c, J (, ) J (, ) α 1 J (, ) σ. A esa ecacó le aexamos las codcoes de froera correspodees para obeer la edp de hjb Ï Ì Ó 0 max θ R,0 c, d J (, ) F c, J (, ) α 1 J (, ) J T, x σ, 0, 0. (37) J,0 Las codcoes de froera corpora el empo de paro. Spoemos ahora qe la fcó de ldad es de la forma F c, e ρ V c, dode V 1c es membro de la famla de fcoes de ldad hara (Mero, 1990; Hakasso, 1970); para esro problema e parclar, elegmos la fcó de cosmo e ρ c γ F c,, 0 γ 1. γ Observe qe V 1c ee la propedad de qe V ʹ0 c γ, c c 0 lo qe forzará a qe el cosmo sea posvo a ravés del horzoe emporal. Al spoer máxmo eror y hacer las sscoes correspodees e la edp de hjb, se ee 0 e ρ c γ 1 γ J, J, J (, ) r θ α r c ( θ σ). (38) 170 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 170 1/4/11 10:47:06 PM

25 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez Ahora, lo qe se reqere es opmzar para c y q, de dode se obee las codcoes de prmer orde, γ1 c J x, e ρ y θ J ( x, ) x ( α r ) J x, x σ, (39) Ahora be, para elegr la fcó J 1, qe sasfaga la edp de hjb y ya qe se raa de a ecacó dferecal parcal o leal, s solcó es prodco de fcoes separables de al maera qe: J (, ) e ρ h( ) x γ γ, (40) jo co h 1T = 0 debdo a las codcoes de froera de la ecacó de hjb. Dado J, se ee qe J ( x, ) x γ J x, γ e ρ hʹ1 ρ x γ γ e ρ h1 x γ1 e ρ h1 J x, ( γ 1) x γ e ρ h1. S ssmos los valores de 41 e 39, se obee: 1 (41) c γ 1 x γ1 e ρ h1 e ρ c x γ1 h1 γ1 γ1 ĉ xh 1, (4) x γ e ρ h1 x σ ˆθ x γ1 e ρ h1 x α r α r γ 1 σ γ 1, (43) obsérvese qe ĉ es leal e la rqeza y la proporcó de porafolo ópmo qˆ es cosae. Para hacer la verfcacó medae el eorema ecado, se reqere mosrar qe J 1, reselve la ecacó de hjb, para lo qe ssmos las ecacoes 41, 4 y 43 e la ecacó 38, de dode se obee la ecacó, 1 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 171 1/4/11 10:47:07 PM

26 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca 0 x γ hʹ 1 h γ ρ ( r α r ) γ σ ( γ 1 ) 1 ( α r ) σ γ 1 ( 1 γ γ ) γ1 h. γ Despés de mlplcar por g, se ee qe 0 x γ hʹ h ρ γ γ1 ( 1 γ)h. rγ γ ( α r ) σ ( γ 1) S se ssye los érmos cosaes por ρ rγ γ ( α r ) σ ( γ 1) 1 γ( α r ) σ γ 1 1 γ( α r ) σ γ 1 k 3 y k 4 ( 1 γ) se obee la ecacó dferecal ordara γ 0 x γ γ1 hʹ k 3 h k 4 h. (44) S esa ecacó se sosee para oda x y, eoces h 1 debe de resolver la ecacó γ hʹ k h k h γ1, h(t ) 0, (45) 3 4 qe es a ecacó de Beroll co p(x) k 3, q(x) k 4 y γ γ 1. Aálogamee al ejercco aeror, se hace la sscó z h 1 γ1 h, de dode se ee qe h z 1 γ y hʹ 1 γz γ z ʹ, al ssr e 45 y mlplcar ambos lados de la ecacó por ( 1 γ, se obee, ) z γ 1 17 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 17 1/4/11 10:47:09 PM

27 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez zʹ k 3 1 γ z k 4 ( 1 γ) o zʹ k 33 z k 44, (46) para resolver esa ecacó leal, se ee qe el facor egrae esá dado por: de dode se obee qe z 1 es y, por ao, μ e k d 33 z μ q d k 6 μ k 44 e d k k 6 33 e k 33 e k 33, h k 44 k k 6 e k33 33 k e k33 d k 44 6 e k 33 k 44 k k 6 e k33, (47) 33 1 γ. (48) Ahora be, para sasfacer la codcó de froera se debe de cmplr: h( T ) k 1 γ 44 k k 6 e Tk33 0 k 44 k 33 k 6 e Tk por cosgee, la solcó de 45 esá dada por, h k 44 k 44 ( e T )k 33 k 33 k 33 k 44 k 33 e Tk33 k 6 1 γ. (49) Hemos así mosrado qe s J esá dada por 40, co 49 defda como la solcó de 45 y s defmos qˆ y ĉ por 43 y 4, eoces J sasface la ecacó de hjb y qˆ y ĉ cosge opmzar el problema de corol ópmo co horzoe emporal esocásco. Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 173 1/4/11 10:47:10 PM

28 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca Coclsoes Es de recoocerse el mporae papel qe ha desempeñado la maemáca e la ecoomía. Específcamee, la eoría de corol ópmo esocásco e empo coo se ha revelado como srmeo fdameal e la ecoomía maemáca cado se reqere modelar alga acvdad ecoómca qe se desarrolla de maera dámca. Por lo aeror, ese docmeo vo como propóso hacer accesbles la eseñaza y el apredzaje de la modelacó e problemas de opmzacó dámca e ecoomía maemáca. Por lo qe, de maera ddácca, se preseó de maera geeral el modelo maemáco del problema de corol ópmo esocásco e empo coo. Además, de modo ameo y secllo, se dedjo la ecacó dferecal parcal de segdo orde y leal, ecacó de hjb (codcó ecesara de ópmo) del problema e cesó, cya solcó lleva a ecorar las rayecoras ópmas qe da solcó al problema plaeado, lo cal asegra el eorema de verfcacó (demosrado e el apédce). Asmsmo, se presearo dos ejemplos de aplcacó e ecoomía maemáca, el prmero de ellos correspode a modelo de cosmdor racoal qe dspoe de a rqeza cal y efrea la decsó de dsrbr s rqeza ere cosmo y porafolo de acvos e horzoe de plaeacó fo de al modo qe maxmce s ldad oal esperada por el cosmo. El segdo ejemplo es aálogo al prmero, co la salvedad de qe ahora se esablece horzoe emporal fo cya dracó es esocásca. Ua parclardad e ambos ejemplos es el speso de qe la dámca de los precos esá modelada por proceso de dfsó, lo cal corpora mayor realsmo al modelado. La prcpal dfclad de los problemas de corol ópmo esocásco es resolver la ecacó de hjb, ya qe o hay a eoría geeral dspoble para eso. No obsae, para el caso de las aplcacoes qe os ocpa e ese aríclo, es posble ecorar solcoes aalícas y cerradas de dcha ecacó sempre qe se corpore e los spesos qe la dámca de los precos sge el movmeo geomérco browao y la fcó de ldad es del po Uc, e ρ V c,dode V es membro de la famla de fcoes de po hara (Hyperbolc Absole Rsk Averso). 7 7 Para a ampla clasfcacó de las fcoes po hara, véase por ejemplo Mero (1990) y Hakaso(1970). 174 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 174 1/4/11 10:47:11 PM

29 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez Apédce A A.1. Le m a de Iô para el caso de m o v m e o s browaos geomércos e forma dferecal Cosdere la fcó f x,, x (x 1, x,, x ), y la sgee ecacó dferecal esocásca: dx μ, )d σ, )dw, (A.1) dode dw N 10, d es movmeo browao o proceso de Weer. Cosdere ambé la sgee abla de mlplcacó para la dferecacó esocásca, d dw dw j d dw 0 d r j d dw j 0 r j d d Obsérvese qe, e la abla aeror, el coefcee de correlacó r = 1, para odo = 1,,. Para obeer el lema de Iô, prmeramee se hace a expasó e sere de Taylor hasa los érmos de segdo orde, ya qe los érmos de orde mayor se alaría segú la abla arrba ecada. Por lo qe se ee f x, df ( x, ) j 1 d f x, 1 f x, j f x, dx dx j dx dx j f x, j f x, dx dx j dx d (A.) Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 175 1/4/11 10:47:1 PM

30 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca 1 f x, ddx f ( x, ) d. (A.) Ahora, se ssye e la ecacó el movmeo geomérco browao e s forma dferecal y se hace so de las reglas de mlplcacó para la dferecacó esocásca, f x, df ( x, ) 1 1 j j 1 d f x, f x, 1 j f x, j f x, μ, )d σ, )dw ( μ, )d σ, )dw ) dx dx j dx j dx, al ssr dx μ, )d μ, )σ, )ddw σ, )dw. dx dx j μ, )μ j ( x j, )d μ, )σ j ( x j, )ddw j μ j ( x j, )σ, )ddw σ, )σ j ( x j, )dw dw j σ, )σ j ( x j, )ρ j d. y smplfcar, se ee qe f ( x, ) df ( x, ) 1 1 f x, d μ, ) d 1 1 μ, ) f ( x, ) d f x, 1 μ x, x f ( x, ) σ, ) dw 176 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de σ, ) ddw EM3-3_pp dd 176 1/4/11 10:47:14 PM

31 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez j 1 1 f x, σ, ) dw σ j x, f x, de dode, falmee, se obee 1 1 j 1 f x, f x, d j 1 σ j, )ρ j dw dw j σ j σ ρ j dw j dw μ x, f x, 1 f x, σ, )d j 1 j σ j x, f x, d j f x, σ, )ρ j d, f ( x, ) σ, )dw j σ x, σ j, )ρ j d df x, f x, 1 j f x, f ( x, ) μ, ) j σ x, f x, σ, )dw. 1 σ j, )ρ j d (A.3) A.. Demosracó del eorema de verfcacó para programacó dámca Demosracó del eorema. Spógase qe H y g so dadas como se ecó aerormee. Se elje a regla de corol arbrara Œ U y po fjo 1x,. Se defe el proceso e el ervalo de empo 3, T 4 como la solcó de la ecacó Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 177 1/4/11 10:48:53 PM

32 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca d μ s, s ( s )ds σ ( s, s )dw s, (A.4) = x. Obsérvese prmero qe H ( T, T ) H ( ( T ), + ( T ) ) H, T H ( s, H (, ) s ) 1 1 H s, s μ dh, j 1 1 H s, s j σ, )σ j T H s,, ) s ds σ, ) dw s. 1 Ahora be, como H es solcó de la edp hjb, se ee qe H (, x) H (, x) F (, x,) μ, ) 1 1 H (, x ) σ j, )σ j, )ρ j ds 0, U, j 1 1 (A.5), )ρ j eoces, para cada s, se cmple qe H, ( ) H ( s, s ) μ, ) 1 1 H s, ( s ) σ j, )σ j, )ρ j ds F s, j 1 1 ( s ) (A.7) dada la codcó de froera de la edp hjb y las ecacoes A.6 y A.7, se sge qe T H (, s ) F ( s, s,)ds Φ( T ) T 1 σ, ) H s, s dw s (A.6) 178 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 178 1/4/11 10:48:54 PM

33 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez al omar valor esperado se ee T H (, s ) E F ( s, s,)ds Φ( T ) J, x, de dode se coclye qe, H, ( s ) max J (, x,) Ĵ, ( ), (A.8) eso oda vez qe la regla de corol fe elegda arbraramee. Ahora, spoga qe se elge a regla de corol 1, x = g 1, x, dado por speso el cso del eorema, de maera aáloga se obee, H, x 1 j 1 1 F g (, x) H, x j g σ 1 H, x g, )σ j g μ, ), )ρ j ds 0, lo qe codce a la sgee galdad T H (, s ) E F g g g ( s, s )ds Φ( T ) J (, x, g). (A.9) Dado qe Ĵ, es la fcó de valor ópma, se ee qe J (, x, g), (A.10) Ĵ, pero al r las ecacoes A.8, A.9 y A.10, se sge es decr, H(, ) Ĵ, s ( ) J (, x, g) H(, s ), H(, ) Ĵ, s ( ) J (, x, g) por ao, H = Ĵ y g es la regla de corol ópma. Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 179 1/4/11 10:48:55 PM

34 Corol ópmo esocásco e la eseñaza de la ecoomía maemáca Referecas bblográfcas Bersekas, D. (005), Dyamc programmg ad opmal corol, 3a. ed., Belmo, Massachses, Ahea Scefc. Björk, T. (004), Arbrage Theory Coos Tme, a. ed., Oxford Uversy Press. Björk, T., J. Myhrma y M. Persso (1987), Opmal cosmpo wh sochasc prces coos me, Joral of Appled Probably, vol. 4, úm. 1, pp Cerda, E. (001), Opmzacó dámca, Madrd, Prece-Hall. Hakasso, N. (1970), Opmal Ivesme ad Cosmpo Sraeges der Rsk for a Class of Uly Fcos, Ecoomerca, vol. 38, úm. 5, pp Herádez-Lerma, O. (1994), Lecres o Coos-Tme Markov Corol Processes, Aporacoes Maemácas 3, Socedad Maemáca Mexcaa. Hyê, P. (009), Coos-me Sochasc Corol ad Opmzao wh Facal Applcaos, Berl y Hedelberg, Sprger. Lehoczky, J., S. Seh y S. Shreve (1983), Opmal Cosmpo ad Ivesme Polces Allowg Cosmpo Cosras ad Bakrpcy, Mahemacs of Operaos Research, vol. 8, úm. 4, pp Mero, R. (1990), Coos-Tme Face, Cambrdge, Massachses, Basl Blackwell. Schmdl, H (008), Sochasc Corol Israce, Lodres, Sprger. Seh, S. y G. Thompso (000), Opmal Corol Theory, Neva York, Sprger. Veegas-Maríez, F. (008), Resgos faceros y ecoómcos, prodcos dervados y decsoes ecoómcas bajo cerdmbre, a. ed., Méxco, Cegage. Wckes, M. (008), Macroecoomc Theory: A Dyamc Geeral Eqlbrm Approach, Prceo ad Oxford Uversy Press. 180 Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de 011 EM3-3_pp dd 180 1/4/11 10:48:56 PM

35 Ma. Teresa V. Maríez Palacos y Fracsco Veegas-Maríez Daos de los aores Ma. Teresa V. Maríez Palacos Escela Speror de Ecoomía del Iso Polécco Nacoal (ese-p). erevolea@homal.com Fracsco Veegas-Maríez Escela Speror de Ecoomía del Iso Polécco Nacoal (ese-p). fveegas1111@yahoo.com.mx Edcacó Maemáca, vol. 3, úm. 3, dcembre de EM3-3_pp dd 181 1/4/11 10:48:56 PM