Derivada de una función

Transcripción

1 ACTIVIDADES f ()-f() 9-5 f(6) -f() -5 T. VM..([,] ) TVM...([, 6] ) - 6- f() -f() 5-5 TVM...([, ] ) 5 - f(5) -f() -5 TVM...([, 5] ) 6 5- f(5) -f() -9 TVM...([, 5] ) 5- f(6) -f() -9 TVM...([, 6] ) 8 6- a) TVM...([, + ] ) b) TVM...([, + ] ) f( + ) - f() ( + ) -( + ) + -( - + ) f( + ) - f() ( + ) -( + ) + -(9 - + ) a) - f( + ) - f() f () lim lim lim f( - + ) -f(-) - + f - lim lim lim ( -) 0 0( - + ) 6 b) f( + ) - f() ( + ) + ( + ) -( + ) f () lim lim ( + + ) lim lim lim ( + 9) f( - + ) -f(-) ( - + ) +- ( + ) -é ê - +- ù ú f ( - ) lim lim ë û ( -) 0 (+ - ) lim lim lim (- ) c) - f( + ) -f() ( + ) -( + ) f () lim lim lim ( + ) -(+ + ) lim lim lim ( + + ) f( - + ) -f(-) (- + ) (-) -(- + ) - - f ( - ) lim lim lim lim lim ( -) ( - + ) (- + ) - + 9

2 a) b) ( + ) + -( + ) + + f lim lim lim () ( + + ) (- + ) + - ê é- + ú ù ( ) + -(- 6+ ) f ( - ) lim ë û lim lim( 8) 8 0 c) d) ( + ) + -( + ) () ( ) f lim lim lim é- + ù f lim lim lim ( ) ê ú 9 ( ) ( - ) ë û ( ) é ê + - ( + ) ù ú-(- ) + - (+ + ) f () lim ë û lim lim f() La ecuación de la recta tangente en el punto P(, ) es: y ( ) f () ( ) y ( ) y (- + ) -(- + ) - ê é- - - ú ù ( ) f ( - ) lim ë û lim lim f( ) ( ) La ecuación de la recta tangente en el punto P(, ) es: y ( ) f ( ) ( ( )) y ( ) y 9 Cortes con el eje X: (, 0), (, 0) La derivada f (a) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)). (- + ) + ( - + ) + - ê é ù ú f ( - ) lim ë û lim lim (- + ) + ( - + ) + -é ê ù ú f ( - ) lim ë û lim lim Corte con el eje Y: (0, ) (0 + ) + (0 + ) + - é(0) (0) ê + + ù ú f (0) lim ë û lim 0 0 9

3 a) b) f( + ) - f ( + ) - ( ) f lim lim lim lim f( + ) - f ( + - )( + + ) + - f lim lim lim lim ( + + ) ( + + ) f ( + ) - f c) f lim lim lim lim ( + )( + + ) ( + )( + + ) ( + ) a) f( + ) - f ( + ) + ( + ) -( + ) f lim lim ( + + ) lim lim f ( + ) - f ( + ) + 8( + ) -( + 8 ) f lim lim 0 0 ( + + ) lim lim f ( + ) - f 6( + ) + 8 -(6 + 8) 6 f lim lim lim b) f( + ) - f ( + ) -( + ) + 5 -( - + 5) f lim lim lim lim ( + - ) f ( + ) - f ( + ) --(-) f lim lim lim f ( + ) -f - f lim lim a) f ( ) 0 c) - b) f - - f f d) f f a) - - f f 8- b) f

4 c) f f d) f f a) f ( ) ln b) f ( ) ln c) f ( ) ln a) f ln b) f ln c) f ln a) f c) f + + b) f - + d) f ln - + a) f c) f - - b) f cos -(- sen ) cos + sen d) f a) 5 f b) f e + e c) f sen + cos 96

5 d) f ln + ln + e) + ( - ) - f cos cos sen sen cos sen - ( + ) + ( + ) -- - f) f f g) f (+ ) sen + ( + ) cos e - ) f ( e -) ln + a) f 6 log + 6 log + ln ln b) f e sen + e cos e ( sen + cos ) c) f cos - sen d) -sen f -sen tg + cos ( + tg ) -sen tg + cos + cos cos cos cos e) f sen cos cos sen ( ) sen ( ) cos - f) f + ln + e + e (- ln ) + e ( + ) 5 5 g) f ( cos + sen ) tg + ( sen - cos )( + tg ) ) f cos sen cos sen - ( + ) a) f - ( + ) ( + ) ( + ) b) f c) ( + )( + ) -( + -) + + f ( + ) ( + ) 9

6 a) cos -sen cos - sen f 6 cos - ( -sen ) cos cos + sen b) f cos ( cos + ) ( -)-( sen + ) ( -) cos -6-sen ( -) ( -) c) f a) + f + ( arc sen ) b) f - c) f -5 a) f - cos sen b) f æ ö ( 5) cos - ç çè - 5 ø + - c) f e ( + ) SABER HACER f m - + m m m f ( - ) m- m m ( m) m m m m m Una función es derivable si también es continua, así que primero analizamos si la función es continua en : lim f - k + üï ïýï Para que sea continua k k k. lim f k ïþ f() solo es continua para k, por tanto, solo puede ser derivable para este valor. Analizamos la derivabilidad para este valor: ì si < f ï í ï ïî - si ³ lim f üï ïýï f() no es derivable para ningún valor de k. lim f ïïþ

7 f æ p ö p p cos + sen æ - ö ç è ø çè ø f æ p ö p p - ç sen - cos çè ø La ecuación de la recta tangente en el punto P æ p -, ö ç çè es: ø y æ - ö æ öæ p - ö ç è ø çè ç è ø ø y æ ö p p - ç çè ø 6 f - 0 f() - A(, - ) - f( - ) B( -,) f ( k- ) + - k æö f ç f ( -) ( k- ) + - k ( k-) --k k çè ø 9 æ ö y ç - çè 9 ø 6 y 5 5 æ 8ö f - ç - æ 9 ö çè ø æ ö ç 9 9 è ø çè ø 8 f ç æ ö - çè 5 ø 9 La ecuación de la recta tangente en el punto 6 P æ ç, ö çè 5 5 ø es: 6 8 æ ö y- - ç - y y çè 5 ø f e + cos f e -sen f 8e - cos 99

8 a) f ( + 5- ) (8 + 5) b) - cos 5 f sen cos sen c) f - ( + tg ) tg d) f ( ) ( ) ( --) a) b) f ln 5 (6- ) f ln ( - sen ) - ln sen cos cos a) - - f b) f a) f é ê + tg (-5) ù ë úû b) f - sen a) ln f() lné( ) ù ê + ú ln( + ) ë û f ln ( + ) + f + é ù f ln( + ) + ( + ) êë + úû é êë b) ( ln f lnê + ) ú ln( + ) ù úû f ln( + ) + ln ( + ) + f + + é ù f ln ê + ú ë û ú 00

9 a) f + ( ) æ ö + + ç çè ø b) f a) f cos e f ln 6 ln sen b) ACTIVIDADES FINALES f( -)-f(-) - f() -f(0) 6 - TVM...([, ] ) -9 TVM...([ 0, ] ) 5 --(-) - 0 f() -f(-5) -56 f() -f() 9 - TVM...([ 5,]) - TVM...([, ] ) 9 -- ( 5) - 0

10 f() -f(-) -(-) a) TVM...([, ] ) f() - f() b) TVM...([,] ) - - c) æ ö f f p p- æ ép ùö çè ø 0- TVM..., p ú - çèê ë úû ø p p p- p d) TVM...([,0] ) + 8 f( + ) -f() - - ( + ) ( + ) ( + ) a) - - ( + ) c) - - ( + ) 5 b) - - ( + ) d) ( + 9) 0 f - f( 0) + a-( -5) + a a

11 Respuesta abierta. Por ejemplo: Porque la gráfica de la función es una recta de pendiente, y esta indica su variación en cualquier intervalo. f) f - f( 0) f (0) lim lim

12 0

13 - a) f ( + ) f 8 d) f f (- ) b) f - f ( 0) - e) f f ( 8) - ( + ) 5 - c) f f () - ( - ) 9 æ ö La parábola pasa por los puntos ç 0, çè, (, ), (, ). Sustituyendo estos puntos en la ecuación cuadrática ø f() a b c, obtenemos la función: ü ìï a a 0 + b 0+ c ï ï í b - a+ b+ c ý 9a+ b+ c ï ïþ ïc ïî f - + f - a) f (- ) - b) f 0 - c) f () 0 d) f 05

14 a) f 6+ f (- ) -8 b) f - + f c) f 8- f ( 0) - f La derivada f (a) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)). Cortes con el eje X: (, 0), (, 0). f f (- ) - Corte con el eje Y: (0, ). f 0 0 La tangente a la curva f() es orizontal cuando la pendiente de la recta tangente es cero, es decir, cuando la derivada es cero. a) f + 6 ( + ) 0 0, - Es orizontal en los puntos (0, 0) y (, ). b) f Es orizontal en el punto (, ). c) f , - Es orizontal en los puntos (, 5) y (, ). a) f 6 f 6 f () y- f ()( -) y- 6 ( -) y 6-06

15 b) f f f 8 y- 8 f ( -) y- 8 ( -) y - 6 c) f - f 0 f () - y-- ( ) f ( -) y + 0 y - d) f - f (- ) - f (- ) - y-- ( ) f (-) é ù ë -- û y + - ( + ) y -- a) Tenemos que allar la ecuación de la recta tangente a la curva en. f f f () - y-- ( ) f ( -) y + ( -) y - 6 b) Tenemos que allar la ecuación de la recta tangente a la curva en. f - f (- ) 5 f (- ) - y-- ( ) f (-) é ù ë -- û y + 5 ( + ) y 5 + f + a) f 6 f () c) , - y- 6 ( -) y 6-9 f () y + ( -) y -6 f ( - ) - y + - ( + ) y -- b) f (- ) 0 f( - ) -6 d) El punto de corte con el eje Y es (0, 5): y-- ( 6) 0 y - 6 f 0 y-( - 5) y - 5 0

16 f + 6 a) Los puntos de corte con el eje X son (0, 0) y (, 0). El punto de corte con el eje Y es (0, 0). f 0 0 La recta tangente en (0, 0) es y 0. f (- ) 9 y- 0 9 é ù ë - - û y 9 + b) f () 9 f () y- 9 ( -) y 9-5 c) +, - El caso coincide con el apartado b). f (- ) 0 y- 0 y f f () f () y- ( -) y + Como tiene que ser paralela a la recta y, la pendiente debe ser, es decir, la derivada debe valer. f, - æ ö f ç y- - y - çè ø æ ö f æ ö æ ö y ç y + èç ø èç ø çè ø Como y 6, la pendiente de la recta es. a) f + - æ ö 5 æ 5ö 9 f y é æ öù y - ç è ø çè ø ê ç ë è øú û 08

17 ( -)- (-) ì 0 f( 0) 0 y b) f ï í ( -) ( -) ï ïî f -6 y-( - 6) ( -) y - ì f() - y-( - ) ( -) y -6 c) f í ï ï f 5 y ( 5) é ù ïî ë - - û y d) f No tiene solución. Como y 6, la pendiente de la recta es. ìï f y f í ï ( + ) ( + ) ï -- f( -- ) + y + + ïî Como la recta tangente al vértice es orizontal, la pendiente tiene que ser cero, es decir, la derivada tiene que ser cero. a) f - 0, f V(, ) b) f - + 0, f 0 V(, 0) c) f - + 0, f V(, ) d) f + 0 -, f( - ) - 5 V(, 5) e) f 6-6 0, f V(, ) f) f ( - )( + 5) f + 0 -, f æ ç - ö - çè ø 8 9 V ç-ç æ,- ö çè 8 ø a) f - f üï ý y - ( - ) y - f ï ïþ f 0 -üï ý y - f ( 0) 0 ï ïþ El punto de corte de las dos rectas es: y - ü ï ý - -, y - P(, -) y - ï þ 09

18 b) f - f 0 üï ý y - ( - ) 0 y - f -ï ïþ f 0 -üï ý y - - y - + f ( 0) ï ïþ El punto de corte de las dos rectas es: y - ü ï ý y -, P(, - ) y - + ï þ c) f f f 5 y- 5 ( -) y - f 0 0 f ( 0) y- 0 y El punto de corte de las dos rectas es: y -ü ï ý y, P y ï ïþ d) f + (, ) üï f ï ý y - ln ( - ) y - + ln f lnï ïþ f 0 üï ý y f ( 0) 0ï ïþ El punto de corte de las dos rectas es: üï y - + ln ï æ ö ý y - + ln P - + ln, - + ln çè ø y ï ïþ La recta tangente tiene pendiente en los puntos en los que la derivada es. æ ö f - +, - A(, ), B ç -, - çè ø + -( -) f ( + ) ( + ) a) f 0, - ( + ) La recta tangente a la curva tiene pendiente en los puntos de abscisa 0 y. b) f -, - ( + ) La recta tangente a la curva tiene pendiente en los puntos de abscisa y. 0

19 c) f ¹ 0 ( + ) No eisten puntos en los que la recta tangente a la curva sea paralela al eje X. d) f ( ), 6 ( ) - + La recta tangente a la curva tiene pendiente en los puntos de abscisa y 6. f a g + Necesitamos que coincidan en el punto, es decir, que f g. También necesitamos que la pendiente sea la misma en ese punto, es decir, que f g. Resolvemos el sistema de ecuaciones: 9a bü ï ý a, b - a + ï ïþ a) f - f f 0 La recta tangente es: y ( - ) La recta normal es: y - ( - ) b) f - f - 6 f - La recta tangente es: y + -6( - ) La recta normal es: y + ( -) y c) f f () f () La recta tangente es: y- ( - ) La recta normal es: y- - ( -) y - +

20 d) f - f (- ) - f (- ) - La recta tangente es: y + - ( + ) La recta normal es: y + + y Como la pendiente de la recta paralela a la recta normal es, la pendiente de la recta tangente deberá ser -. f - - La ecuación de la recta normal es: f æ ç- ç ö çè ø 6 9 y- æ ö ç + y + 6 çè ø 6 f 6 - f (- ) f (- ) La recta tangente a la curva es: y- ( + ) y + La recta normal a la curva es: y- - ( + ) y a) f ln La ecuación de la recta tangente es: y- 6ln( -) y 6ln( - ) + La ecuación de la recta normal es: y - - 6ln - y - 6ln - +

21 d) f + + La ecuación de la recta tangente es: y 0 La ecuación de la recta normal es: 0 a) f -- b) f (- ) ( -) - (-) f f () - - a) f b) f f (- ) ( -) -5 (- ) f c) f ( - 8) ( -) -5 (- ) f f ( 8) f ( )- f ( 8) ¹- 00 f ( - 8)

22 a) f b) f c) f + 5 d) f a) f b) f ( + ) ( + ) c) f - + a) f b) f (- ) f ( 0) f a) f æ ö æ ö ç è ø èç ø b) f ( 6 ) ç ( ) f é ù é ù ê ú ê ú ë û ë û c)

23 a) f (- ) + ( -) b) f (- ) - - é( -) -5 (-) ù 6 8 êë úû f () f a) f ( -) ( -) b) f c) f d) f - - ( + ) -( -) ( -) -( + ) 8 f ( + ) a) f c) f - f æ ö ( - ) ç è 5 ø - b) f - - d) f

24 a) f - - ( 5 + ) ( 5 + ) b) f f ( -)( -)-( --)( - ) c) f æö + æ( ) ( ) ö f + + f çè ø + + ( ) ( ) èç + ø a) f + e æ ö b) f log + log ln 0 ç + çè ln 0 ø + c) f log + ln e -( ln + ) e ln d) f - - e e e -ln e ln e) f - e e f) f 5e - ln 6

25 a) f + f + f + - b) f f f 5 8 -

26 c) f cos f cos - sen f - sen - 8 cos d) f e f e f 8e a) f + + f 6+ f ( ) 6 b) f - f - ( - ) f 8 ( - ) 5 c) f f - f d) f ( cos -sen ) e sen + cos sen + cos sen + cos f ( cos -sen ) e - e ( sen + cos ) sen + cos f e é( cos -sen ) -( cos -sen ) -( cos -sen ) ù êë úû a) f f b) f f ( + ) a) f 0 0, -6 ( + ) ( + ) ( + 6)( + ) - ( + 6)( + ) 8 b) f ¹ 0 ( + ) ( + ) No eiste ningún valor de que anule la segunda derivada. Calculamos las primeras derivadas: - f - ( - ) - f ( - ) - f -( - ) IV - f 8( - ) 5 La derivada n ésima es de la forma: n n -! ( n+ f - n - ) 8

27 a) f() g[()], donde g ln y f b) f() g[()], donde g log y - f ( - ) c) f() g[()], donde g( ) 0 + y + f 0 ln0 d) f() g[()], donde g e y f e e) f() g[()], donde g f) f() g[()], donde g ln cos y - f - sen( - ) sen y - f cos( - ) + ( + ) - + a) f ( + ) ( + ) e b) f e ln + 9

28 -æ 6 ö æ + ö c) f e e ç çè çè ø ø e + - e e - + d) f ( -) - - e) f ln ( - ) ( - ) ln ( + ) f) f ln + ln e -ln e ( -- ) + e é ( ) ln ù g) f ê + + ú ë û - - e æ ö e e e e e e e ç çè ø ) f + e + e e æ - ö a) f 6 cos e) f - sen ç çè ø b) f - sen( + ) f) f ( tg ) é ù êë úû c) f + tg ( -) ( -) d) f cos + ( + ) + æ ö - g) f -cosç çè- + - ø æ ö ) f ç + tg çè - ø ( - ) 0

29 a) f 5( - + ) ( - ) æ ( ö æ ö ) 5 + b) f 5 ç 6 çè - ø ç çè ( - ) ø ( - ) c) f 5 - d) ( + ) f 8 e e e) ( -) ( - ) ln f ln - - f) 8 f - e ( - e ) 5 g) f sen cos sen( ) ) f -cos ( - + ) sen( - + ) ( - ) i) f 6 tg( -8) é+ tg ( -8) ù æ ö æ ö j) f sen cos sen cos + - ç è ø çè ø êë úû -

30 a) f e ( + + ) - + b) f - æ ö c) f e ç + e + log çè ln ø d) f éln( ln ) ù ë û ln e) f 6cos + sencos 6 sen + + f) f cos + g) f sensentg é ( ) ùcostg ( )( + tg ) êë cos cos + sen sen ) f sen cos i) f e cos - e sen - sen j) f cos úû

31 æ ö æ8 9 ö a) f ç è 5 ø çè 5 ø é ù æ æ - öö sen cos + 6cos( -) sen( - ) tg ç è çè + ø ø ( ) ê + ú b) f ë û - sen -cos ( - ) + tg æ ( 6) 0 0 öæ æ 0 ö ö c) f + - tg tg èç - ø ç è èç - ø ø ( -6) æ ö - sen d) f tg tg ç( sen cos ) è - ø sen - cos æ ö + ç çè ø e) lnf ( ) ç ln( 0 ) ln( ) f æ ln 0 ö é 6 0 ù f è ç - ø ê ( ) ( - ë ) ú û æ ö ln 0 é ( ù f ú ) ú ç ( 0 ) ( ) è ç - ê ú ø ç - ë û æ ö æ + ö ç è ø è ø

32 - a) f d) f - ( -) - ( - ) b) f - ( -) -( -) -e e) f - e c) f + f) f + ln ( ) a) ln f ln( + ) f 6 ln( + ) + f + æ 6 ö ç ln( + ) + ( + ) f ç è + ø b) ( - - ) ln f ln f ( ) ( 6 ) ln f æ -- ö f ( 6 ) ln ç - + çè ø c) ln f ln ln( + ) f ln ln f + æ ln 6 ln ö + f + + ç çè + ø d) ln f ln( sen ) f cos ln( sen ) + f sen é cos ù f ln( sen ) + sen ê sen ú ë û ú -- ln

33 e) ln f ln( cos) f ( ) ln( cos ) + 6 sen f cos é sen ù f ln( cos ) + 6 cos ê cos ú ë û 5 f) ln f ln( - -5) f ln( - - 5) + f æ ö f (- - ) ç 5 çè 5 5 ø 5 + ç ln 5 5 g) ln f sen ln( ) f sen 0 5 cos ln f ( 0 5 ) æ sen ö f cos ln( ) ç 0 5 çè ø ) ln f f 5 f( ) - + (- 5 + ) f e sen f( 0) c- f a+ b+ c 5 f a+ b f (- ) - a+ b c -üï ïï a+ b+ c 5 ý a, b, c- - a+ b 0 ï ïþ 5

34 f( 0) c 0 f + a+ b f () + a+ b f 6+ a f (- ) a 0 c 0üï ïï + a+ b ý a, b- 6, c 0-6+ a 0 ï ïþ f + 9a+ b+ c 0 f + a+ b f + a+ b 0 f 8+ 8a+ b 0 + 9a+ b+ c 0üï ïï + a+ b 0ý a- 9, b, c a+ b 0 ï ïþ f() a+ b+ c- f a + b f () a+ b 0 La pendiente de la recta y es, entonces: f 0 b a+ b+ c-ü ï ïï a+ cb 0 ý a-, b, c- b ï ïþ f() + a+ b+ c 6 f 6 + a+ b f () 6+ a+ b 0 f + a+ b 0 + a+ b+ c 6üï ïï 6+ a+ b 0ý a- 9, b, c + a+ b 0 ï ïþ 6

35 a) f - ¹ 0 ( - ) b) f 0 +, - ( - ) 9 c) f - ¹ 0 ( - ) - d) f 0 + La pendiente de la recta r es. Por tanto, para que una recta tangente a f() sea paralela a r debemos encontrar la solución de la ecuación f (). a) f - c) f b) f + - d) - f Sin solución. ( + ) La bisectriz del primer y tercer cuadrantes tiene por ecuación y y su pendiente es, por tanto f (). a) f - c) f - -, b) f 0, ( - ) d) f' ln + La bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes tiene por ecuación y y su pendiente es, por tanto f (). a) f - - c) f b) f + - -, - d) - f - ( -)

36 f a) r: y- y + La pendiente de la recta r es. b) s:y - y - La pendiente de la recta s es c) t: y y - + La pendiente de la recta t es. - - d) u:y- - y - + La pendiente de la recta u es. f - ( + ) a) , -5 ( + ) f (- ) y- - ( + ) y - + f (- 5) - y + - ( + 5) y - - b) y y -- La pendiente de la recta es. - - ( + ) -, - ( + ) Eisten dos puntos donde la gráfica es tangente a la recta y

37 a) f + üï ý + 0 g ï ïþ c) üï f ï ý g ï ïþ Además, f(0) g(0). Además, f() g() 0. Sus gráficas son tangentes en el punto 0. Sus gráficas son tangentes en el punto. b) f e üï ï ý e 0 g ï þ f d) - sen ü ï ý - sen 0 g ï ïþ Pero f( 0) ¹ g( 0) 0. Además, f(0) g(0). Sus gráficas no son tangentes en ningún punto. Sus gráficas son tangentes en el punto 0. La de la recta es 5, por tanto f 5. Como la recta es tangente a f en f 5-6 a+ b ü ï ý a, b 8 a+ bï ïþ La ecuación de la recta es y. g( 0) y( 0) g 0 y 0 9

38 f - 5- f ( ) a a) f () - () f ( ) 9 y- - - y a a b) f (- ) - f (- ) y- - + y - + a

39 Consideramos la raíz positiva: y 0 - y y y - y- -( -) y a) f - La bisectriz del primer y tercer cuadrantes es y y tiene pendiente f æ ç ö çè ø Llamando r a la recta paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes: 9 5 r: y- - y - La bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes es y y tiene pendiente f æ ç ö çè ø Llamando s a la recta paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes: 9 æ ö 5 s: y- - ç - y - + çè ø b) El punto de corte entre las dos rectas, r y s, es: üï y - ï æ ö ý, y P, 5 ç çè ø y - + ï ïþ El punto de corte de la recta r con el eje X es: El punto de corte de la recta s con el eje X es: y 0 - P æ ç,0 ö çè ø y P æ ç,0 ö çè ø

40 c) La base mide 5 - y la altura mide. b u ÁreaT a) f , - f ( 0) f (- ) 8 Los puntos son (0, ) y (, 8). b) Si la ecuación de la recta es de la forma y m n, tenemos: n ü ï ý m -, n 8- m+ nï ïþ La ecuación de la recta es: y c) La pendiente de la recta es : f , -- f ( - ) a) Corte con el eje X: Corte con el eje Y: b) 9 f æ ç ö çè ø y - 6 f 0 y + c) Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta y - 6 : Corte con el eje Y: 0 y - 6 Corte con el eje X: 9 y 0 b 9 6 Área del triángulo que forman: AT u Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta y + : Corte con el eje Y: 0 y Corte con el eje X: y 0-9 b 9 Área del triángulo que forman: AT u

41 () - ( 0) 8,- 9 ( 6) - 56,6-56, a), m/s b) 0m/s c) 0m/s En el primer intervalo la pelota está subiendo, y por tanto la velocidad media es positiva; en el segundo intervalo la pelota recorre el mismo tramo acia arriba y acia abajo; en el último intervalo la pelota ya está en el suelo y no se mueve, por lo que la velocidad media es cero. PARA PROFUNDIZAR f cos El cos toma valores entre y, por tanto la mayor inclinación de la función es.

42 f - f () - La recta tangente es: y -( - ) , Corta también en el (0, ). f - y y- ( -) y - 8 La recta tangente es y 8. 6 iv f - f f - f 5! Por tanto: n n n f - n +

43 Sea una función f() que no es continua en 0. lim f ¹ f ( ) 0 Si la función es derivable en 0, entonces eiste el límite: f( 0 + ) -f( 0) lim l lim( f ( 0 + ) - f ( 0) ) l lim lim ( f ( 0 + ) - f ( 0) ) 0 lim f ( 0 + ) lim f ( 0) Esto no es cierto porque la función no es continua en 0, y la función no puede ser derivable en ese punto. 0 a) y y y yy 9 y y b) y + y + y y ( - - ) 9 + y y y y y y + y - y 9y+ y y y -y - - y y + y 5

44 Derivamos implícitamente: + y 0 y - y y ( 0 ) - y y 0 0 Calculamos la recta tangente que pasa por el punto P( 0, y 0 ) : y y -y - y y y- y y y y Comprobamos que y + a : 0 0 y 0 0 ( y y0) 0y0 y y + y + + y a y y y MATEMÁTICAS EN TU VIDA El costo marginal es la derivada del costo total de producción con respecto a la producción. Los insumos son todos los elementos necesarios para producir un bien. Porque mide la tasa de variación del coste entre la variación de la producción. Positivo. Función costo: f() a b Es una función cuadrática cuya representación es una parábola cóncava; en el eje de abscisas se representa la producción y en el eje de ordenadas los costes. 6