Tópicos de Álgebra Enero 2015

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Gregorio Casado de la Fuente
hace 5 años
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1 Laboratorio # 1 Algebra de Matrices I.- Calcular las operaciones indicadas, dadas las siguientes matrices A = ( 1 1) B = ( 0 6) C = ( ) 1 D = ( ) E = ( ) F = ( 8 9 ) 1 1) A + 3B ) CD 3) BE + D 5) D F 6) ( A t + B t )C 7) 3F t - B t 4)A t B t II.- Hallar la matriz X tal que: 1) X 4A = B ) 3A + 5X = B 1 Siendo A = ( 4 1 ) B = ( ) 5 III.- Hallar la inversa de la siguiente matriz mediante la definición A = ( ) 1

2 Laboratorio # Formas Reducidas I.- Obtener la Forma Reducida Inferior (FRI) y Forma Reducida en Escalón (FRE) de las siguientes matrices. 3 1 A = ( 1 5 ) B = ( 3 1 ) C = ( 4 1 3) D = ( ) E = ( ) F = ( ) II.- Hallar la inversa, si existe, de la matriz dada, utilizando transformaciones elementales B = ( 0 3) C = ( 0 1 1) D = ( 3 7) A = ( )

3 Laboratorio # 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales I.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, mediante el método indicado. 1) ) 3) 4) x y z = 3 x + y + z = 4 x 3y z = 4 4x + 3y + 5z = 0 x 4y 3z = 0 6x y + z = 0 x + z = 1 y + z = 7 x + 3y = 4 x y + z + w = 3x + z w = 8 4y w z = 1 3z w + 5x = 3 ; Inversa de la matriz de coeficientes. ; Elegir el Método ; Gauss. ;Gauss 5) x + z = 4 x 3z = 7 3x + z = 8 ; Gauss-Jordán 6) x 3y + z w = 0 3x 4y z + w = 0 4w 4z + 5y = 0 ; Elegir el Método 7) x 6y + 4z + w = x 8y + z + w = x + y + w 4z = x + 8y 3z + w = 0 ; Inversa de la matriz de coeficientes 3

4 Laboratorio # 4 Determinantes I.- Considere el siguiente determinante y calcule: a) Los menores M 13, M, M 3, M 44. b) Los cofactores C 1, C 33, C 3, C. II.- Resolver para x. x 0 1 3x 1 0 a) 3 x 4 = 10 b) = 10 1 x x 5 - III.- Hallar la inversa de la matriz dada, si existe, utilizando determinantes a) ( 3 7) b) ( ) III.- Calcular las siguientes determinantes, utilizando propiedades y el desarrollo por menores. 3 4 A= B= C= D=

5 Laboratorio # 5 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por Determinantes I.-Resolver el sistema dado por el método indicado. x y + z = 7 1) x + y z = x z = 5 Cramer ) 3z 5w = 1 x y + 3w = 4 z 3x 5y + 4z = 5 x 4w 3y = 5 Cramer 3) x + y z = 3 x y + z = 7 x + y 4z = 1 Inversa 4) 4x + y z = 6 x + z = 1 x + y + z = 3 Inversa 5) x + 4y z + 3w = 0 x + 6y + z 5w = 0 4x y + 3z + w = 0 3x 4z + 3w = 0 Elegir el método 6) 3x 4y z + w = 3 x + y + z + 3w = 1 x 3y + z w = 0 x + y + 9z w = 5 Elegir el método 5

6 II.-Determina los valores de k tales que el sistema dado tenga: a) solución única, b) ninguna solución, c) una infinidad de soluciones. 1) x + y + kz = 3x + 4y + z = k x + 3y z = 1 ) kx + y + 6z = 0 x + ky + 4z = x + ky + 6z = k 6

7 Laboratorio # 6 Fracciones Parciales I.-Indicar la descomposición en fracciones parciales de las fracciones siguientes. 1) 7x3 +3x +15x 3 (x+1)(3x 1)(x 3) ) 16x 4 +7x 3 +x 3 x 6 +x 5 x 3 3x +x+ 3) 6x +3x+ (x 1)(x+4) 4) 3x +x 1 (x+4)(x x+) 5) x+3 (x 1) 3 (x+) (x x+1) II.-Descomponer en sus fracciones parciales simples la fracción dada. 1) 3 x 3 8x+1 (x ) 3 ) 4 x 3 + x +14x 4 (x x)(x +4) 3) 4 x x +5x+17 9 x 4 6 x 3 11 x +4x+4 4) x +3x+3 x 3 +x +x+1 5) x 5 +7x 3 x +9x 1 (x +3)(x +x+) 7

8 Laboratorio # 7 Logaritmos I.-Expresar el logaritmo dado en términos de logaritmos más simples. 4 1) log a xy z 3 ) ln x y 3 z 3) log x (x 9) (x +4)(x ) 4) log 3 x +5 (x 4)(x 3) 5) log 5 (x 7)x x 1 (x 5)(x 3 ) II.-Expresar como un solo logaritmo. 3) ln x ln(x + 1) ln(x + 1) 4) log x + log y log(3x y) + log(x + y)+1 5) log 3 (x ) log 3 (x + ) - 3 6) 3ln x + ln y 4ln z 7) log 5 x 1 3 log 5 y + (x + ) log 5 7 8) log(x + 5) + log(x + 8) + 4 log(3x + 1) log(x 3) 9) log y 1 log x 4 log(x y)+8 10) log (x + y) log (x + 1) log (xy ) III.-Expresa x en términos de y. 1) ln(30 x) = y + ln 30 ) y = 4x 4 x + 4) log 5 (xy) = log 5 x y 3) y = 3x 3 x 8

9 Laboratorio #8 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas I.-Resuelve las siguientes ecuaciones. 1) log + log(11 x ) = log(5 x) ) log 8 (x + 1) + log 8 (x + 3) = 1 3) log 5 (x + 1x 10) log 5 (5x 1) = 1 4) log 3 (13x + 3) log 3 (x + 1) = 5) log (x + 4) log (x + 1) = 1 6) log(16 x ) log(3x 4) = 7) log(x 3 1) log(x + x + 1) = 1 8) log 3 x log 7 x = 1 9) x = 5x+6 10) 3 x+ = 7 11) 5 +3x = 8 4x 1 1) 8 4x+5 = 5 3x +1 13) 4e x + 8e x 5 e x + e x = 0 14) e x e x 9 + 9e x = 0 15) e x + 3e x 1 3e x = 0 16) 5e 3x + 3e x + 8e x + 6 4e x =0 17) e 4x + e 3x + e x + e x + e x + 1 = 0 18) 4e 5x 4e 4x 5e 3x + e x + e x = 0 9

10 I.- Simplifica la expresión dada Tópicos de Álgebra Enero 015 Laboratorio # 9 Permutaciones y Combinaciones 1) ) 3) 5! 48! 3! 6! 8! 4! 5! 8! II.- Halla n o r si: 1) P(n, 5)= 9 P(n -1, 4) ) C (6, r) = 3 C (5, r) 3) 1 P (7, r)= 5 P (9, r) III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Un comerciante dispone de 5 latas idénticas de sopa de tomate, 4 latas idénticas de sopa de elote, 3 latas idénticas de sopa de champiñones y 3 latas idénticas de sopa de apio. En cuántas formas diferentes puede exhibir las 15 latas? ) Cuántas credenciales se pueden formar si el número de identificación de cada una consiste de una letra del alfabeto seguida de un número de tres dígitos, a) si se permite la repetición de dígitos, b) si no se permite la repetición de dígitos. 3) De cuántos modos se pueden formar un grupo de 6 soldados y sargentos si se elige un grupo de 0 soldados y 5 sargentos? 4) De cuántas maneras pueden arreglarse en un estante 4 libros de francés, libros de alemán y 3 libros de español, de manera que los libros del mismo idioma permanezcan juntos? 5) Se tienen 7 puntos coplanares de manera que 3 de ellos no son colineales. Determinar (a) el número de rectas que pueden trazarse; (b) el número de triángulos que pueden formarse. 10

11 6) Una bolsa contiene 4 bolas rojas, 6 blancas y azules. De cuántas maneras pueden escogerse 6 bolas de modo que: a) sean blancas, b) Sean de cada color, c) Se tengan exactamente 4 blancas, d) Todas sean del mismo color, e) Ninguna sea blanca? 7) De cuántos modos se puede escoger un comité de acción social que esté formado por 3 Sembradores de Amistad, 3 Rotarios y 3 Leones, si se elige entre 0 Sembradores de Amistad, 30 Rotarios y 40 Leones? 8) Cuántos números mayores de 5000 pero de cuatro dígitos se pueden formar con las cifras, 3, 5 y 7, a) si se permite la repetición de dígitos, b) sin repetir ningún dígito? 9) Se escoge un comité de cinco personas entre un grupo de 6 abogados, 5 ingenieros y 4 doctores. De cuantas formas puede formarse si: a) todos deben ser de la misma profesión? b) debe haber abogados y 3 ingenieros? c) debe haber 3 doctores, un ingeniero y un abogado? 10) Usando uno o más de los dígitos 1,, 3, 4, y 5 se forma un número. Cuántos números pueden formarse que: a) sean mayores de 1,000, b) sean mayores de 1,400, c) sean impares? 11

12 Laboratorio # 10 Probabilidad 1) Se saca una bola de una caja que contiene 4 bolas rojas y 5 verdes. Se devuelve la bola a la caja y se saca una segunda. Encuentra la probabilidad de que a) ambas sean rojas, b) ambas sean verdes, c) la primera sea roja y la segunda sea verde. ) Se sacan dos naipes de una baraja de 5 cartas. Cuál es la probabilidad de que ambas sean a) reinas, b) corazones, c) del mismo palo? 3) Encuentra la probabilidad de que en tres oportunidades al bat un jugador pegue exactamente dos hits si en la últimas 100 veces él ha hecho a) 0 hits, b) 30 hits, c) 40 hits. 4) Encuentra la probabilidad de que en 5 tiros de un dado salgan: a) ningún seis, b) dos seises, c) 4 o 5 seises. 5) Si se forma un número de 4 cifras escogiendo entre los dígitos, 3, 5, 6, 7, 8, Cuál es la probabilidad de que sea a) un número par, b) mayor que 5,000? 6) Se toma una carta al azar de una baraja de 5 cartas, y enseguida se devuelve. Si está acción se efectúa 4 veces, encontrar la probabilidad de que las 4 cartas sean de los cuatro diferentes palos. 7) Se escoge un comité de cinco personas entre un grupo de 6 abogados, 5 ingenieros y 4 doctores. Cuál es la probabilidad de que todos los del comité sean de la misma profesión? 8) Una caja contiene 15 tornillos buenos y 3 defectuosos. Si se sacan 3 tornillos, calcula la probabilidad de que ninguno este defectuoso. 9) A y B compiten en un mismo torneo. La probabilidad de que A gane es 1 3 y la probabilidad de que B gane es 1 4. Encuentra la probabilidad de que: a) ninguno de los dos gane, b) gane alguno de los dos. 1

13 Laboratorio # 11 Sucesiones I.- Determine si la sucesión dada es monótona creciente o monótona decreciente. 1) 1 3, 5, 3 7, 4 9, ) 5, 4 9, 6 13, 3) { n+ } n 1 4) {( 1) n 1 n } 4 5) {1,, 9, 16, 5, } ) {cos (n 1)π} 7) { n +1 n } 8) {n + 3} 9) { n+1 3 n } 10) { n e n} II.- Determine si la sucesión dada es convergente o divergente. 1) { n +n n 1 } ) {( 1) n 1 ( 3 )n } 3) { n + n } 4) { n3 5n +6 3n + } 5) {3n + } III.- Calcule el límite indicado. 1) lim x π ) lim x 3) lim t 0 4) lim x 5) lim x 0 1 sen x 1+cos x x x +1 t sen t 1 cos t x 3 x x x 3 x 6) lim x 0 7) lim ex e x sen x x x 1 x+1 tg x 1 8) lim x π 4 9) lim x cos x ln 3x 3x 13

14 Laboratorio # 1 Series I.- Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta. 1) ) 1 n=0 n 3 +1 n n=0 n 5) n=1 1 n 5 6) n=1 ne n 3) n=0 n! 3 n 4) n 1 n=1 n 7) n3 8) n=1 n=1 e n 3 n n II.- Halle el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias. 1) n=0 x n n! 3) n=1 x n+1 (n+1)! ) n=0 (x ) n+1 (n+1)3 n+1 4) n=1 ( 1) n+1 (x 5) n n5 n III.- Halle la serie de Taylor para la función dada alrededor del punto indicado. Además halle una serie de Maclaurin. 1) f(x) = cos( 4x ), x = π ) f(x) = e 3x, x = 3) f(x) = sen (3x ), x = π 14

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