VII ERLAC - Mayo 97 1 Partcón de Sstemas Eléctrcos en Subsstemas menores para su Resolucón Dstrbuda B. Barán +, D. Benítez y R. Ramos Centro Naconal de Computacón Unversdad Naconal de Asuncón Paraguay RESUMEN El presente trabajo propone un método para descomponer sstemas eléctrcos, de manera a facltar su resolucón utlzando ambentes dstrbudos heterogéneos como computadores paralelos y/o redes de computadores. La presente propuesta asgna a los procesadores de un sstema dstrbudo heterogéneo dstntos números de ecuacones según sea la performance relatva de los procesadores a ser utlzados. Asmsmo, el método presentado permte utlzar la técnca de solapamento parcal (Partal Overlappng) para mejorar la convergenca. Además, se ntroduce un parámetro de seleccón para escoger la mejor partcón de un conjunto dado. Se presentan resultados expermentales que avalan la presente propuesta. Palabras clave: Partcón de sstemas - Paralelsmo - Método teratvo. 1. INRODUCCIÓN Las mplementacones paralelas de algortmos teratvos son una opcón mportante dentro del contexto de la computacón dstrbuda [1]. Para aprovechar sus ventajas en la resolucón de sstemas eléctrcos de gran porte es necesaro descomponer la red eléctrca en subredes menores, las cuales pueden ser asgnadas a los dstntos procesadores de un sstema dstrbudo para su resolucón paralela. Esta descomposcón estará condconada por dos factores: a) la capacdad de procesamento relatvo de cada máquna del sstema dstrbudo, factor que determna las dmensones de las subredes asgnadas a cada procesador; b) el grado de acoplamento que puedan tener las subredes entre sí, lo que determna la dependenca entre las varables y por consguente, nfluye en la convergenca del algortmo [2]. Así, el sstema debe descomponerse de forma tal que a cada procesador se le asgne una subred de dmensón proporconal a su performance, y que la dependenca entre las varables actualzadas por cada procesador faclte la convergenca del algortmo teratvo a ser utlzado. Desde la década del 60[3] fueron publcados dversos métodos de descomposcón, en su mayoría dseñados para procesadores, problemas o algortmos ben específcos [4-5]. Así, Vale et al. [6] formuló una propuesta para la resolucón de sstemas de ecuacones lneales utlzando computadores paralelos. Sn embargo, la Descomposcón ε [7] que despreca lgacones débles, es la más utlzada en la actualdad, por su smplcdad. Insprada en el trabajo de Vale et al. [6], se desarrolla la presente propuesta que permte generar partcones en número y tamaño controlables por el operador, válda para cualquer sstema eléctrco. Además, se ntroduce un parámetro que permte escoger una buena partcón de un conjunto de partcones y se sugere la utlzacón de solapamento parcal (partal overlappng) [8]. La seccón 2 formula matemátcamente el problema; mentras la seccón 3 presenta el método propuesto. Resultados expermentales se presentan en la seccón 4 y las conclusones se resumen en la seccón 5. + Centro Naconal de Computacón - Campus Unverstaro - San Lorenzo, Paraguay Caslla de Correos 1439; teléfonos (595-21)585.550; E-mal: bbaran@una.py
, {,G, (2.10) VII ERLAC - Mayo 97 2 2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Consderando un sstema de n ecuacones algebracas con n ncógntas dado por: n n n 0 (2.1) Φ( x), x R, Φ : R R n defndo en un domno D R ; se desea resolver (2.1) utlzando un sstema dstrbudo con p procesadores, n p. Para esto, se debe descomponer el problema de forma tal que cada procesador resuelva solamente una parte del sstema, comuncando sus resultados parcales a los demás procesadores del sstema computaconal. Sea la Descomposcón Cartesana: n n n R R 1 R p, n 1+ + n p n (2.2) con D n R un domno tal que n D D D, D R,,..., p} (2.3) Entonces: 1 p 1 [ p] 1 1 x x x x D, {,..., p} (2.4) Análogamente, [ 1 p ] Φ( x) Φ ( x) Φ ( x) Φ: D R n (2.5) Consecuentemente, la ecuacón a ser resuelta en cada procesador (problema local), estará dada por: Φ ( x) 0, { 1,..., p} (2.6) Nota 1: La partcón adecuada de la funcón Φ ( x ) en p funcones Φ ( x ), es el objetvo central del presente trabajo. Para resolver el problema será utlzado un algortmo teratvo de la forma: x k + 1 k G( x ) (2.7) donde k representa la teracón. Por lo tanto, en forma análoga a (2.4) y (2.5): [ 1 p ] G( x) G ( x) G ( x) ( x): D D (2.8) La mplementacón síncrona de (2.7) para el procesador será entonces: k+ 1 x G ( x ) (2.9) k Consderando un contexto asíncrono, se denota como x j ( d j ( k )) al valor de x j envado desde el procesador j y dsponble en el procesador al ncar su teracón k. Denotamos así como x (k) al vector x dsponble en el procesador en el momento de su teracón k, esto es: [ p ] x ( k ) x1 ( d1( k )) x ( d1( k )) Usando esta notacón dada en [1], podemos escrbr el algortmo asíncrono basado en (2.8) en la forma : x ( k + 1) G ( x ( k )) { 1,..., p}, (2.11) En [9] se derva una condcón sufcente de convergenca del algortmo, demostrando el sguente teorema: eorema 1 (Condcón sufcente de convergenca) Bajo las hpótess de: uncdad de la solucón en el domno D, asncronsmo parcal y operador bloque- Lpschtz, el algortmo asíncrono representado por (2.11) converge a un únco punto fjo x* en D s ρ( H ) < 1 donde ρ es el rado de la matrz de comparacón H. En resumen, el rado espectral de la matrz de comparacón es un parámetro que nos permtría asegurar a pror que el algortmo converge[10], y por consguente podría ser utlzado para escoger buenas partcones. La técnca de solapamento parcal (partal overlappng) fue ntroducda para mejorar la convergenca de los métodos de resolucón en bloque, y consste en resolver una msma ecuacón repetdamente en varos bloques (o procesadores de una mplementacón paralela) [8]. 3. PROPUESA DEL RABAJO El método de descomposcón propuesto utlza la matrz smétrca de admtancas Y ( y j y j ) de dmensón n x n y elementos dagonales no nulos (y 0), cuyos elementos y j ( j) representan el acoplamento exstente entre las barras y j respectvamente. Decmos que las barras no son adyacentes s y j 0; caso contraro las barras son adyacentes. Se dce que barras adyacentes están déblmente acopladas s y j 0 y que están fuertemente acopladas s y j es muy grande. Báscamente, el método propuesto consste en la formacón de p subredes a partr de p barras ncales, llamadas semllas, donde p representa tambén el número de procesadores. A estas barras semllas se van agregando las demás barras del sstema hasta que este quede totalmente descompuesto en p subsstemas, de dmensones relatvas especfcadas. Basados en el prncpo descrto, se propone un método compuesto por cuatro etapas[11]: clasfcacón de barras, seleccón de semllas, formacón de partcones y seleccón de la mejor partcón, nsprado en el trabajo de Vale et al.[6]. 3.1. Clasfcacón de barras: Esta se lleva a cabo establecendo un rankng de las barras en base al peso relatvo de cada una de ellas,calculado según:
VII ERLAC - Mayo 97 3 P m j 0 ( m ) j zj { n} donde mj yj / y, z m / D 3.2. Seleccón de semllas 1,...,, (3.1) j j 1 n n D y j, nc 1 j 1, j nc nú mero de y j 0 Deben selecconarse como semllas a aquellas barras que sean centro de aglutnamento y que no se encuentren fuertemente acopladas entre sí. Para ello, se consderan como canddatas a semllas sólo aquellas barras que posean un valor de peso sgnfcatvo, es decr, que cumplan con la condcón P > vlm, donde vlm es un parámetro pre-defndo. Alrededor de cada una de estas barras canddatas se agrupan ngrup barras adyacentes, calculándose posterormente la sumatora de los pesos de las barras agrupadas para cada canddata. Se selecconan como semllas aquellas barras que posean los mayores valores de sumatoras, cudando que nnguna semlla se encuentre entre las nvec prmeras barras agrupadas alrededor de las demás semllas. 3.3. Formacón de partcones Una vez determnadas las semllas para cada subsstema, es necesaro adconar las demás barras a las subredes adecuadas. Esto se realza de la sguente manera: a cada paso del proceso, la barra a ser agregada a una subred es la adyacente a ésta que posea el mayor peso. La determnacón de las barras a ser anexadas a una dada semlla depende del rankng de barras, establecdo en la etapa 1 (seccón 3.1). En caso de que dos o más subredes selecconen a la msma barra como canddata a ser ncluda, el método la asgnará a aquella subred con la cual posea un mayor acoplamento. S no es posble desempatar y la barra en dsputa posee un peso sgnfcatvo, realzar solapamento parcal sería una opcón recomendable. Para esto se asgna la barra a todas las subredes que la hayan selecconado como canddata. A medda que las subredes van sendo formadas, debe verfcarse que el tamaño de las msmas se encuentre en proporcón a la performance relatva w de los procesadores a los cuales serán asgnadas. Para esto, se anexan barras sólo a aquellas subredes que aun no alcanzaron la proporcón de barras sugerda por su performance relatva. El proceso de agrupamento de barras contnua hasta que todas las barras hayan sdo asgnadas a alguna subred. En caso de obtenerse mas de una descomposcón, se utlza un crtero de seleccón para elegr la partcón mas convenente. 3.4. Seleccón de la mejor partcón Partendo de dstntas ternas de parámetros vlm, ngrup y nvec pueden ser determnados varos conjuntos dferentes de semllas que a su vez servrán de pe para generar dferentes partcones. Para dentfcar a la mejor partcón de todas las obtendas, se mpone aquí una seleccón de partcones utlzando para ello un parámetro de seleccón. En [2] se proponen varos parámetros posbles de seleccón, ndcándose como óptmo al Parámetro de Acoplamento Par_A, dado por: Par_A y j, rama cort ada por la partcon esto es, la sumatora de los valores absolutos de los acoplamentos entre barras separadas por la partcón. En base a lo expuesto en la seccón 2, este trabajo propone como parámetro de seleccón al rado espectral de la matrz de comparacón H, sendo elegda como óptma aquella partcón que presente el mínmo ρ ( H ). La efectvdad de este parámetro frente al parámetro Par_A quedará demostrada por los resultados expermentales presentados en la seccón 4. 4. RESULADOS EXPERIMENALES La efcenca del método descrto fue verfcada resolvendo el problema del Flujo de Potenca para dos sstemas tpos de la IEEE: el sstema IEEE-14 y el sstema IEEE-118. Dcho problema puede ser formulado como un sstema cuas-lneal de ecuacones [10] de la forma: n n n n Yx I( x ), Y C, x C, I( x ) C (4.1) donde Y es la matrz de admtancas de la red, x el vector de voltajes en las barras e I(x) el vector de correntes nyectadas (funcón de la ncógnta x). La matrz de acoplamentos a ser utlzada será la matrz de admtancas Y, tenendo en cuenta que ésta representa en forma efectva al acoplamento entre los voltajes en las barras. Las dferentes partcones generadas por el método propuesto fueron comparadas con otras partcones determnadas arbtraramente y con partcones generadas por la Descomposcón ε [7]. Además se realzó un estudo comparatvo entre los parámetros de seleccón ( ) ρ H y Par_A. 4.1. Sstema IEEE de 14 barras Se aplcó la metodología propuesta a la descomposcón del sstema IEEE de 14 barras para la resolucón del problema de flujo de potenca. Este sstema fue resuelto en forma síncrona (2.9) y asíncrona (2.16), utlzando un sstema dstrbudo consttudo por dos workstatons: una SUN SPARC y una DEC 3000, con performance relatva de w [4 1]. Para esta relacón de carga computaconal, se analzaron todas las 286 partcones posbles del sstema.
VII ERLAC - Mayo 97 4 Las ablas I y II muestran los resultados expermentales. Se observan las poscones de las 2 partcones (56 y 59 respectvamente) generadas por el método propuesto en los dversos rankng, tanto para el caso síncrono como para el asíncrono. La partcón 59 es la selecconada como mejor partcón por el método propuesto cuando se utlza ρ ( H ) como parámetro de seleccón. Inclusve, en el caso asíncrono esta partcón es la óptma. Nótese además que s se utlzara Par_A como parámetro de seleccón, la partcón 56 sería elegda como la mejor, sendo que ésta es en realdad nferor a la partcón 59 selecconada por el parámetro ( ) ρ H. Resolucón síncrona del sstema IEEE-14 Poscón respecto a: Part. ter. % sup.. Real % sup.. CPU % sup. 59 3 ra 1.04 4 ta 1.39 3 ra 1.04 56 47 a. 16.43 34 a 11.88 43 a 15.03 abla I: Resolucón síncrona Resolucón asíncrona del sstema IEEE-14 Poscón respecto a: Part. ter. % sup.. Real % sup.. CPU % sup. 59 7 ma 2.44 1 ra 0.35 1 ra 0.35 56 82 a. 28.67 45 a 15.73 56 a 19.58 abla II: Resolucón asíncrona La abla III ndca las correlacones entre los valores meddos y los parámetros de seleccón a comparar, tanto en el caso síncrono como en el asíncrono. Se verfca en ambos casos que el rado espectral ρ ( H ) presenta una mejor correlacón que el parámetro de seleccón Par_A. Iteracones empo Real empo de CPU sn. asn. sn. asn. sn. asn. ρ ( H ) 0.41 0.87 0.37 0.34 0.41 0.39 Par_A 0.03-0.05 0.01 0.08 0.01 0.01 abla III: Correlacones 4.2. Sstema IEEE de 118 barras 4 comportamento del método propuesto con sstemas eléctrcos de mayor porte, el problema del Flujo de Potenca fue resuelto sobre el Sstema IEEE-118 de forma a utlzar 4 procesadores de gual performance relatva. Fueron mplementadas las partcones generadas por el método propuesto, utlzando semllas selecconadas tanto de forma automátca como manual. Se analzó además la partcón generada por la Descomposcón ε, así como partcones realzadas manualmente sobre el grafo del sstema. Estas últmas fueron organzadas tomando en cuenta crteros empírcos y la experenca del operador sobre el problema. Debdo a la gran dmensón del sstema, no es posble un estudo exhaustvo sobre todas las partcones posbles. Como ejemplo, cabría consderar todas las formas posbles de partr el sstema en dos subsstemas guales. endríamos así:! 1, 6 10 34 partcones ( 118 54)! 54! C 118 118 59 Por este motvo, y adconalmente a las partcones antes ctadas, fueron analzadas 100 partcones realzadas al azar en forma aleatora. El parámetro de comparacón en este caso fue solamente el tempo real utlzado por el sstema dstrbudo en llegar a la solucón. En las tablas IV y V se muestran los resultados de estos estudos, ndcando el posconamento de las dstntas partcones evaluadas. Puede verfcarse fáclmente que las partcones generadas por el método propuesto se encuentran entre las mejores posbles, especalmente en el caso de la resolucón asíncrona. Este últmo caso es de especal nterés, al ser la mplementacón asíncrona la que en general ofrece un mejor aprovechamento de las capacdades de procesamento de las máqunas, al no exstr tempos muertos de sncronzacón en el proceso de resolucón. Poscón po de partcón Semllas.(s) 1 ra Método propuesto man. 57 2 da Método propuesto man. 58 3 ra Método propuesto man. 62 3 ra Descomposcón ε --- 62 4 ta Método propuesto man. 87 5 ta Método propuesto autom. 95 6 ta Partcón manual --- 139 7 ma Partcón manual --- 149 8 a Partcón manual --- 289 abla IV: Resolucón síncrona El procesamento paralelo muestra todo su potencal en la resolucón de problemas de grandes dmensones. enendo en cuenta la necesdad de evaluar el
VII ERLAC - Mayo 97 5 Poscón po de partcón Semllas.(s) 1 ra Método propuesto autom. 30 2 da Método propuesto man. 31 3 ra Método propuesto man. 43 4 ta Método propuesto man 44 5 ta Descomposcón ε --- 189 6 ta Método propuesto man. N.C. + 6 ta Método propuesto man N.C. + 6 ta Partcón manual --- N.C. + 6 ta Partcón manual --- N.C. + 6 ta Partcón manual --- N.C. + + N.C. : No converge abla V: Resolucón síncrona Al analzar la resolucón del problema utlzando las partcones generadas aleatoramente, nnguna de ellas pudo llegar a la solucón, tanto para el caso síncrono como para el asíncrono. Esto enfatza una vez mas la mportanca de una buena partcón en la resolucón paralela de este tpo de problemas. 5. CONCLUSIONES Los métodos de descomposcón de sstemas eléctrcos tradconalmente utlzados no poseen domno smultáneo sobre la cantdad de subredes en la cual el sstema en estudo es descompuesto y el tamaño relatvo de los subproblemas, o consderan solucones muy partculares. Esta carenca mpde lograr un aprovechamento óptmo de los procesadores que componen un sstema dstrbudo, generalmente heterogéneo. Este trabajo presentó un método que permte descomponer un sstema eléctrco conforme a un desbalanceamento deseado. Se ntrodujo además un parámetro de seleccón de partcones que mostró mejor comportamento expermental que los presentados en otros trabajos. De los resultados expermentales se puede conclur que: El método propuesto genera mejores partcones que una seleccón aleatora. La mejor partcón generada por el método propuesto es sn duda una buena partcón, nclusve en varos casos la óptma, según sea el crtero de optmzacón. Las partcones generadas por el método propuesto son mejores ó guales que las generadas por la Descomposcón-ε, con la ventaja adconal de poder ejercer control sobre el número de subredes y el tamaño relatvo de las msmas. El rado espectral de la matrz de comparacón es un mejor parámetro de seleccón que el parámetro Par_A, como lo demuestran las correlacones presentadas en la seccón 4.2. Otros trabajos [12] corroboran la utldad del método propuesto en dversas aplcacones. En resumen, la presente propuesta nos brnda una solucón superor a las hoy exstentes para la descomposcón de sstemas eléctrcos con el objeto de resolverlos en un sstema dstrbudo heterogéneo. Agradecmentos especales: a los profesores Eugenus Kaszkurewcz y Djalma Mosquera Falcão, de la Unversdad Federal de Ro de Janero - Brasl. BIBLIOGRAFÍA [1] Barán B., Kaszkurewcz E. y Bhaya A., Parallel Asynchronous eam Algorthms: Convergence and Performance Analyss. IEEE ransactons on Parallel & Dstrbuted Systems. Julo de 1996. [2] Vale M.H., Descomposção de Redes Eléctrcas para Procesamento Paralelo. ess Doctoral COPPE/UFRJ. Ro de Janero, Brasl, 1995. [3] Carré B.A., Soluton of Load-Flow by Parttonng Systems nto rees, IEEE ransactons on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-88, pp. 1931-1938, novembre 1968. [4] Irvng M.R. y Sterlng M.J.H., Optcal Network earng Usng Smulated Annealng, IEEE Proceedngs, vol. 137, no. 1, pp. 69-72, enero 1990. [5] Gupta M. y Banerjee P., Demostraton of Automatc Data Parttonng echnques for Parallelzng Complers on Multcom-puters, IEEE, ransactons on Parallel and Dstrbuted Systems, vol. 3, no.2, pp. 179-193, marzo 1992. [6] Vale M.H., Falcão D.M. y Kaszkurewcz E., Electrcal Power Network Decomposton for Parallel Computatons. IEEE Internatonal Symposum on Crcuts and Systems, (ISCAS 92). San Dego, Calforna, 1992. [7] Sezer M. y Šljak D.D., Nested epslon decompostons of complex systems. IFAC 9 th World Congress, Budapest, Hungría. [8] Ikeda M. y Šljak D.D., Overlappng decomposton, expansons and contractons of dynamc systems. Large Scale System 1, North- Holland Publshng Co., pp.29-38, 1980. [9] Barán B., Estudo de Algortmos Combnados Paralelos Asíncronos. ess Doctoral COPPE/UFRJ. Río de Janero, Brasl. Octubre 1993.
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