Un Modelo de Asignación de Recursos a Rutas en el Sistema de Transporte Masivo Transmilenio

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1 Un Modelo de Asgnacón de Recursos a Rutas en el Sstema de Transporte Masvo Transmleno A Model for Resource Assgnment to Transt Routes n Bogota Transportaton System Transmleno Sergo Duarte, Ing., Davd Becerra, Ing., Lus Fernando Nño, PhD. Laboratoro de Investgacón en Sstemas Intelgentes, ALGOS UN Unversdad Naconal de Colomba Sede Bogotá (srduartet, dcbecerrar, Recbdo para revsón 28 de Novembre de 2007, aceptado 14 de Febrero de 2008, versón fnal 28 de Febrero de 2008 Resumen En este tr abajo se presenta un modelo basado en algor tmos genétcos, teor ía de colas y teor ía de grafos para la planea cón de sst emas masvos de tr a nspor te. Entr e las ca r act er ístca s pr ncpales del modelo se pr op one: ) E l modelamento real de la troncal de las Amér cas del sstema de tr ansp or te masvo Bogotan o Tr ansmlen o; ) Un prepr ocesamento de datos utlzando teor ía de gr afos par a caracterzar las r utas más cortas entre todas las combnacones posbles de est acones or gen y destno ) Utlzacón de algor tmos genétcos par a optmzar el tempo que gasta un usuar o en el sstema Tr ansmleno por medo de la asgnacón de buses y frecuencas de salda. v) La smulacón de eventos por medo de dstrbucones de Posson y Erlang, smulando el evento de llegada de un bus Transmleno a una estacón determnada y el tempo de espera de arrbo del próxmo bus respectvamente. Además se desar r olla una metodología exper mental para valdar el modelo propuesto y estudar los r esultados otorgados por el msmo. Palabras Clave Sstema de Tr anspor te, Teor ía de Colas, Dstrbucón Erlang, Gr afos, Djkstra, Algortmos Genétcos. Abstract In ths work, a model based on genetc algor thms, queue theor y and gr aph theor y for r oute plannng n a mass tr anspor taton system s presented. Most mpor tant features of the proposed approach are ) the modelng of the Amercas lne n the mass transportaton system Transmleno n Bogota; ) Data pr epr ocessng usng gr aph theor y to char acter ze the shortest routes between all the possble combnatons of destnaton and sour ce statons; ) the optmzaton of tr avel tme by r oute assgnment usng genetc algorthms v) the smulaton of events usng the Posson and Erlang dstrbutons, correspondng to bus arrval at specfc statons and to user s watng tme. Addtonally, an exper mental methodology was developed to valdate the proposed approach. Keywords Tr anspor taton System, Gr aph Theor y, Queue Theory, Genetc Algorthm, Djkstr a. I. INTRODUCCIÓ N l desarrollo de estrategas de planeacón de rutas en los E sstemas de transporte masvo es fundamental para la optmzacón de costos del negoco y del cumplmento de necesdades por parte del usuaro de los sstemas de transporte. La mplementacón de dchas estrategas está enfocada a evtar costos operaconales elevados, dsmnuyendo la proporcón de estos costos respecto a los logístcos [1]. La optmzacón de operacones logístcas de transporte es una de las áreas de planeacón que más auge ha tendo durante la últma década debdo al ncremento de necesdades de crear solucones y optmzacones a los problemas de dstrbucón, así msmo se ha vsto soportada por la mplementacón de nuevas tecnologías que contrbuyen a la realzacón de solucones más ntegrales, confables y dnámcas. El desarrollo de nuevas tecnologías partendo de sstemas ntelgentes para la planeacón de la operacón de sstemas de transporte son herramentas útles para la optmzacón de funcones y costos operatvos de un sstema de transporte. [2] Se espera que al aplcar las nuevas tecnologías de procesamento de nformacón, comuncacones, control y electrónca, los sstemas masvos de transporte creen camnos, vehículos y usuaros "más ntelgentes". Se espera tambén que la aplcacón de estas tecnologías mejore la operacón de los sstemas de transporte al proveer rutas más efcentes a los vajeros. [2] Revsta Avances en Sstemas e Informátca, Vol.5 No. 1, Edcón Especal, Medellín, Mayo de 2008, ISSN III Congreso Colombano de Computacón 3CCC 2008

2 164 Revsta Avances en Sstemas e Informátca, Vol.5 No. 1, Edcón Especal, Medellín, Mayo de 2008, ISSN III Congreso Colombano de Computacón 3CCC 2008 En este trabajo se aplcó un algortmo genétco como metodología de optmzacón para la asgnacón de frecuencas y número de buses para las rutas determnadas en la operacón del sstema de transporte masvo Transmleno en la troncal de las Amércas. Se smuló el comportamento del sstema partendo de la teoría de colas, herramentas estadístcas y probablístcas. La smulacón del comportamento de usuaro se trabajó a partr de teoría de grafos. El documento está organzado como sgue: En la seccón 2 algunos fundamentos de dstrbucones y teoría de colas es brevemente explcado. En la seccón 3 se analza la lógca de la aproxmacón planteada. En la seccón 4 se explca la mplementacón a partr de algortmos genétcos. En las últmas seccones se desarrollar una metodología de expermentacón para valdar la sgnfcanca y precsón del modelo, seguda de los resultados y correspondentes conclusones. Exste un ntervalo lo sufcentemente pequeño, de tamaño h, para el que la probabldad de que en el msmo ocurra un sólo evento es proporconal al tamaño del ntervalo, es decr es λ h, sendo por tanto λ la probabldad de que ocurra un evento en un ntervalo de tamaño undad. La probabldad de que en cualquer ntervalo de tamaño h sufcentemente pequeño ocurran dos o más eventos, es práctcamente desprecable. B. Dstrbucón Erlang La dstrbucón Erlang es una dstrbucón de probabldad contnua con dos parámetros k y θ cuya funcón de densdad para valores x > 0 es. f ( x ) = λ e λ x k 1 ( λ x ) ( k 1 )! (Eq. 2) La dstrbucón Erlang es el equvalente a la dstrbucón gamma con el parámetro k=1,2,..etc y λ = 1 / θ. Para k = 1 eso es la dstrbucón exponencal. Se utlza la dstrbucón para descrbr el tempo de espera hasta el suceso número k en un proceso de Posson. Es decr que esta dstrbucón mde el tempo que transcurre entre un suceso y el m ésmo sguente. La dstrbucón tene dos parámetros Erlang(m,b)donde b es la meda de una dstrbucón exponencal y m es el número de sucesos que se cuentan[4]. Fgura 1. Sstema de programacón y control de Transmleno (tomado de [5]). II. BACK GRO UND A. Dstrbucón de Posson La dstrbucón de Posson es una dstrbucón de probabldad dscreta, que expresa la probabldad de un número de eventos ocurrendo en un tempo fjo s estos eventos ocurren con una tasa meda conocda, y son ndependentes del tempo desde el últmo evento. La dstrbucón de probabldad está dada por: λ k e λ f ( k ; λ ) = (Eq. 1) k! donde e es , k! es el factoral de k, λ es el número esperado de ocurrencas durante un ntervalo dado. A.1 Proceso de Posson Una varable es de Posson cuando el número de eventos que ocurren en un ntervalo temporal o espacal de tamaño dado cumple las sguentes condcones [3]: El número de eventos que ocurren en el ntervalo es ndependente del número de los que ocurren fuera del msmo. C. Teoría de Colas La teoría de las colas es el estudo matemátco de las colas o líneas de espera. La formacón de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre sempre que la demanda efectva de un servco excede a la oferta efectva. Dentro de las característcas claves de un sstema de colas podemos encontrar. [6] Una poblacón de clentes, que es el conjunto de los clentes posbles. Un proceso de llegada, que es la forma en que llegan los clentes de esa poblacón. Un proceso de colas, que está conformado por (a) la manera que los clentes esperan para ser atenddos y (b) la dscplna de colas, que es la forma en que son elegdos para proporconarles el servco. Un proceso de servcos, que es la forma y la rapdez con la que es atenddo el clente y por últmo un proceso de salda. Ver fgura 2.

3 Un Modelo de Asgnacón de Recursos a Rutas en el Sstema de Transporte Masvo Transmleno Duarte, Becerra y Nño. 165 Lo anteror supone que el usuaro es "ntelgente" y tomará aquellas rutas que lo lleven a su destno en el menor tempo posble, por tanto dsmnuremos el tempo que el usuaro gasta en el sstema, maxmzando satsfaccón y mnmzando costos del sstema. Fgura 2. Sstema de Cola genérco (tomado de[7]) III. APROXIMAC IÓN PROPUESTA Se desarrollo un algortmo genétco que evolucona poblacones de confguracones de frecuenca y número de buses para unas rutas preestablecdas en un sstema de transporte de pasajeros masvo. El objetvo de la mplementacón y modelo desarrollado es generar una solucón óptma al problema de planear la asgnacón de los buses a las dferentes rutas y su frecuenca de salda. A. Smulacón de un Sstema Real Se modelo el sstema de transporte de Transmleno[5] en la troncal de las Amércas, se utlzaron las 18 estacones comprenddas entre el Portal de las Amércas y la estacón Jménez. De gual forma se utlzó las especfcacones técncas de carga de pasajeros de los buses Transmleno (160 pasajeros por bus) y las rutas actuales que cubren la troncal F1, F14, F19, F23, F60, F61 y F91. B. Objetvos de Optmzacón En todo sstema de teoría de colas, es necesaro maxmzar la satsfaccón del clente mnmzando los costos de operacón del sstema, es decr que se debe establecer un balance equlbrado y óptmo entre las consderacones cuanttatvas de costes y las cualtatvas de servco. En una solucón al problema de la asgnacón de rutas se espera no solo en mnmzar el tempo que los clentes pasan en el sstema, sno tambén en mnmzar los costos totales de aquellos que solctan el servco y de quenes lo prestan. El modelamento del sstema es realzado por medo de la smulacón de los tempos de espera por servco y los tempos de servco. Es decr que se ntenta mnmzar el tempo total que el clente gasta en el sstema, esto se logra mnmzando el tempo que el usuaro gasta en su vaje y el tempo que el usuaro gasta esperando la llegada de un bus. Se ha ntroducdo una heurístca de las rutas óptmas para llegar de un orgen a un destno determnado, ésta heurístca es el producto de un preprocesamento y análss de rutas en grafos que representan el sstema de transporte. Fgura 3. Portal de las Amércas, Transmleno (tomado de [5]) C. Arrbo de Usuaros La dstrbucón utlzada para asgnar a los pasajeros, da mayor prordad a estacones de mayor afluenca (Portal Amércas, Banderas, Rcaurte, Av Jmenez), dado que en stuacones reales exsten estacones con un mayor volumen de usuaros, caso de los portales e nterseccones en el caso del sstema de trasporte masvo modelado Transmleno. En el modelo propuesto cada estacón corrente tene asocada una probabldad de: 1 = e + ( e p (Eq. 3) portales 2 ) Y para estacones portales o especales la probabldad asocada es de: 3 = e + ( e p (Eq. 4) portales 2 ) donde e es el número de estacones y e portales es el número total de portales o estacones especales consderadas en el sstema.

4 166 Revsta Avances en Sstemas e Informátca, Vol.5 No. 1, Edcón Especal, Medellín, Mayo de 2008, ISSN III Congreso Colombano de Computacón 3CCC 2008 D. Utlzacón del servco D.1 Modelamento de eventos por procesos de Posson El arrbo de buses Transmleno a una estacón determnada se modela como un proceso de Posson, ya que el número de Transmlenos que paran en una estacón dada dentro de la Troncal Amércas en las horas de mayor tráfco es un claro ejemplo que posee las característcas de una dstrbucón de probabldad de Posson. El promedo (meda) de los arrbos de los buses Transmleno por hora de gran tráfco puede estmarse a partr de las frecuencas de salda de los buses de Transmleno de un portal dado, es decr, que la meda se calcula como la dstanca en tempo de salda de cada Transmleno a cumplr su ruta. Esta meda está determnada por. TR NB meda =, (Eq. 5) donde TR es el tempo óptmo de recorrdo de la ruta, y NB es el número de buses asgnado a la ruta. Es claro que la smulacón posee las sguentes característcas: El número de buses Transmlenos que llegan en un determnado ntervalo a un tempo específco es ndependente del momento en que el ntervalo de tempo ocurre durante la hora de gran tráfco. El número de llegadas de un bus Transmleno en cualquer ntervalo de tempo no depende del número de arrbos de cualquer otro ntervalo de un segundo. D.2 Modelamento de tempos de espera Erlang dstrbudos Los eventos que ocurren ndependentemente con alguna rata promedo de ocurrenca pueden ser modelados con procesos de Posson. El tempo de espera entre k ocurrencas de los eventos son dstrbudos Erlang. Es decr que el evento ndependente de la llegada de un bus a una estacón dada dentro de la troncal de las Amércas son eventos modelados con procesos de Posson, y el tempo de espera que debe aguardar un pasajero del sstema para abordar el sguente bus que le srve dentro de la ruta óptma escogda es un evento Erlang dstrbudo. El modelamento es guado respecto a el evento esperado y la meda de espera, donde la meda de espera está defnda por la frecuenca de salda de los buses de la ruta que cada usuaro del sstema espera, y el evento k se defne como el número de buses que arrban (evento) antes que el usuaro pueda tomar su servco. D.3 Modelamento de exceso de cupo de servco. La utlzacón del servco (tomar el bus Transmleno) depende de la capacdad de cupos lbres que tenga la ruta asgnada en el momento de presentarse el evento de arrbo a una estacón. Este modelamento es realzado por la probabldad: NB * 160 = = NP = 1 f ( NP > NB * 160 ) f ( NP <= * 160 ) NB p (Eq. 6) donde NP corresponde al número de usuaros que esperan una ruta determnada y NB corresponde al número de buses asgnados a esa ruta. Es mportante anotar que esta probabldad determna la varable k en la dstrbucón Erlang, donde k se defne como el número de sucesos necesaros o arrbos de buses Transmlenos necesaros para la utlzacón del servco. IV. ALGORITMO GENÉTICO PRO PUESTO Los algortmos genétcos han emergdo como una muy buena aproxmacón para la solucón de problemas ndustrales, de servcos u otros sstemas complejos que son modelados por smulacones en el computador y que necestan ser optmzados en térmnos de su dseño estructural y polítcas operaconales [9, 10]. Los algortmos genétcos son métodos sstemátcos para la resolucón de problemas de búsqueda y optmzacón que aplcan a estos los msmos métodos de la evolucón bológca: seleccón basada en la poblacón, reproduccón sexual y mutacón. De forma explícta, el proceso de evolucón es modelado como una sucesón de frecuentes cambos en los genes, que consttuyen las solucones análogas a cromosomas. El espaco de solucones posbles es explorado aplcando transformacones a éstas solucones canddatas tal y como se observa en los organsmos vventes: cruce, nversón, mutacón. Las solucones codfcadas en un cromosoma el genotpo compten para ver cuál consttuye la mejor solucón (aunque no necesaramente la mejor de todas las solucones posbles). El ambente, consttudo por las otras posbles solucones, ejercerá una presón selectva sobre la poblacón, de forma que sólo los mejor adaptados (aquellos que resuelvan mejor el problema) sobrevvan o donen su materal genétco a las sguentes generacones, gual que en la evolucón de las especes. La utlzacón de estos algortmos nos ofrece varas ventajas para el problema de asgnacón de buses y frecuencas en un sstema de trasporte dada la donedad de los algortmos

5 Un Modelo de Asgnacón de Recursos a Rutas en el Sstema de Transporte Masvo Transmleno Duarte, Becerra y Nño. 167 genétcos para encontrar solucones en espacos de búsquela grandes y complejos, que suelen ser característcos en el problema tratado dado el alto grado de lbertad que conlleva la asgnacón de frecuencas a las dstntas rutas junto al alto número de posbldades en la asgnacón de buses en las msmas. Adconalmente, los algortmos genétcos representan un método de búsqueda dóneo dada su naturaleza paralela que permte explorar el espaco de búsqueda en varas dreccones, esta característca evta estancamentos al encontrar solucones sub óptmas como en otros métodos en los que es necesaro comenzar de nuevo todo el proceso al estar en uno de estos estados. Para el problema de trasporte tratado, este comportamento es de gran utldad dado que nos permte estudar solucones alternas que pueden llegar a ser de gran utldad en la toma de decsones cuando surgen condcones externas al problema. El algortmo genétco propuesto para el problema de asgnacón de buses y frecuencas al sstema de trasporte tratado se bosqueja en la fgura 1. El proceso comenza con la asgnacón de parámetros del algortmo genétco, entre los parámetros se encuentra el grado de la mutacón, el número total de usuaros en el sstema, número de buses, capacdad de los buses, número de rutas, tempo total de vaje de cada ruta teórca, tamaño de la poblacón, número de generacones, entre otros. Posterormente se ncalza la prmera poblacón de algortmo genétco y luego de forma cíclca se evolucona las generacones por medo de la aplcacón de mutacones a los ndvduos, la seleccón de los ndvduos que conforman cada nueva generacón se mplementa por el método de torneo. En las sguentes seccones se explca en detalle los componentes del algortmo genétco para el problema de asgnacón e buses y frecuencas por medo de la especfcacón del ndvduo, la funcón de ftness, los operadores genétcos y el procedmento de seleccón. A. Defncón del Indvduo El prmer paso a la hora de mplementar un algortmo genétco consste en decdr la estructura que tendrá el cromosoma de cada ndvduo. De la defncón correcta de esta estructura dependerá en gran medda el comportamento del algortmo. Para el presente enfoque se codfcó el cromosoma como un arreglo de gual longtud al número de rutas, de esta forma cada poscón del arreglo contene la programacón correspondente a una ruta. Dcha programacón consste en el número de buses el cual se codfca por medo de un número entero, y a la frecuenca de salda de dchos buses o la dstanca en tempo entre los buses de dcha ruta, el cual se representa por medo de un número de doble precsón. En la Fgura 2 se muestra un esquema del genotpo del ndvduo: El rango posble para el parámetro buses de cada ruta es [1, n r], donde n es el número total de buses establecdo para el sstema y r representa el número de rutas, este ntervalo smplemente nos dce que todas las rutas deben tener asgnado por lo menos un bus. Para el parámetro frecuenca de cada ruta, el rango de valores posbles es: [t /b, ], donde t es el tempo máxmo de vaje de la ruta y b es el número de buses actualmente asgnado a la ruta. Con este ntervalo garantzamos que al menos exsta un bus para una ruta dada en el sstema. Es mportante recalcar, que el cromosoma representa en últma nstanca una potencal solucón de planeacón para el sstema de trasporte defndo. B. Incalzacón de la Prmera Poblacón La ncalzacón de la prmera poblacón del algortmo genétco se lleva a cabo por medo de un proceso completamente aleatora. En el proceso, el cual es aplcado a cada ndvduo, se asgna cada uno de los buses a una ruta que es elegda sguendo una dstrbucón unforme, no obstante se garantza que nnguna ruta posea al menos un bus asgnado. Es mportante menconar que junto a la ncalzacón de la prmera poblacón, se lleva a cabo un proceso de ncalzacón de los orígenes y destnos de los pasajeros en el sstema por cada generacón de ndvduos del algortmo genétco. Para este fn se construye una matrz de tamaño e e donde e representa el número de estacones en el sstema y se genera de forma aleatora el orgen y destno para cada uno de los pasajeros en el sstema el número de pasajeros es un parámetro de entrada del modelo, de esta forma en la poscón M,j de la matrz, contamos el número de pasajeros que parten de la estacón e y se drgen a la estacón e j. Naturalmente no se admte que el orgen sea gual al destno, lo cual produce que la dagonal de esta matrz sea sempre cero.

6 168 Revsta Avances en Sstemas e Informátca, Vol.5 No. 1, Edcón Especal, Medellín, Mayo de 2008, ISSN III Congreso Colombano de Computacón 3CCC 2008 un número establecdo de buses en el sstema, se hace necesaro equlbrar el número total de buses, por lo que se elge de forma aleatora otro gen y se resta al número de buses contendo en éste el número de buses sumado al prmer gen elegdo. En el caso de que la dferenca realzada resulte en un número negatvo o en cero, se ntenta computar la resta con un gen dferente, s luego de ntentar con todos los genes restantes no es posble termnar la operacón, el ndvduo mutado se toma como no valdo y se renca completamente el proceso de mutacón selecconando otro ndvduo de forma aleatora. En el caso en que el proceso haya sdo extoso esto es equlbrar el número de buses en el sstema, se procede a actualzar la frecuenca de salda en las dos rutas afectadas. Dcha actualzacón se efectúa por medo de la sguente fórmula: Fgura 4: Dagrama de flujo del modelo Fgura 5: Representacón del cromosoma C. Defncón de los Operadores Genétcos Uno de los puntos clave del éxto de los métodos que utlzan algortmos genétcos se encuentra en la habldad de usar nformacón encontrada en los genes de una poblacón para utlzarla con la dea de crear unos nuevos canddatos más aptos. En el presente enfoque, este objetvo es alcanzado a través de un proceso de mutacón, en el cual se llevan a cabo varacones en ndvduos de la poblacón orgnal con el fn de explorar el espaco de búsqueda y encontrar mejores solucones por medo de un crtero de seleccón. La mutacón que se propone consste en elegr de forma aleatora un gen en el ndvduo de forma unformemente dstrbuda y añadr al gen (ruta) selecconar un número de buses aleatoro entre el rango [1, max], donde max es un parámetro del algortmo genétco que nos permte controlar el grado de varacón en los ndvduos mutados. Dado que exste T b f = (Eq. 7) donde T es el tempo total de recorrdo de la ruta y b es el nuevo número de buses asgnado a dcha ruta. Con esta actualzacón garantzamos que al menos halla un bus en el sstema para la ruta especfcada. Es mportante menconar que para valores pequeños del parámetro max se lleva a cabo una exploracón gradual del espaco de búsqueda mentras que valores grandes conllevan a saltos más grandes en la búsqueda. D. Funcón Ftness En el algortmo genétco buscamos la programacón de buses y frecuencas que mnmcen el tempo que gastan los usuaros en el sstema, este tempo puede ser cuantfcado por medo de la sguente ecuacón: p t total = ( t v + t e ) = 0 (Eq. 8) donde p es el número total de pasajeros del sstema en un perodo de tempo dscreto, t v es el tempo de vaje de cada uno de los pasajeros y t e es el tempo de espera del usuaro para recbr el servco. A contnuacón se descrbe como se cálculo cada uno estos térmnos. D.1 Calculo del tempo de vaje por medo de técncas de grafos Para calcular el tempo de vaje se asumó que cada uno de los pasajeros seleccona el conjunto de rutas que representa el camno más corto para llegar a su destno. Esta hpótess es congruente con la ntencón del usuaro por mnmzar su tempo de vaje y con el razonamento que lleva a cabo para satsfacer dcho objetvo. Para obtener el tempo de vaje se dseñó un grafo con las rutas selecconadas para el problema, donde los nodos del grafo

7 Un Modelo de Asgnacón de Recursos a Rutas en el Sstema de Transporte Masvo Transmleno Duarte, Becerra y Nño. 169 representan las estacones y los arcos las conexones exstentes entre las estacones, los cuales defnmos como camnos. Los costos de los arcos se defnen como el tempo que tardamos de r entre las estacones que el arco conecta, de forma adconal a este tempo, se agrega el conjunto de posbles rutas que cubren el recorrdo entre el par de nodos estacones analzadas. La utlzacón de una estructura de grafo es dónea para representar la nformacón del problema de una forma concsa y efcente, ya que tenemos acceso a los tempos de vaje entre cualquer orgen y destno y aún más mportante, podemos conocer las rutas que el usuaro debe tomar para llegar a su destno con el tempo de vaje más corto, nformacón que es tambén necesara para calcular el tempo de espera promedo de los usuaros en el sstema. Los datos que se emplearon en la construccón del grafo se resumen en la Tabla 1. TABLE I DESCRIPCIÓN DE LAS RUTAS TOMADAS PARA EL ESTUDIO Ruta Orden de las estacones que vsta F1 0,1,2,3,4,5,6.14,15,16,17 F14 0,2,4,8,13 F19 4,7,9,14 F23 0,1,4,12,14,15,17 F60 0,2,4,8,10,11,14,16,17 F61 0,2,4,7 F91 0,2,4,8,12,14,15,17 Las sete rutas que se ncluyeron en el modelo se tomaron de las rutas exstentes en el sstema de transporte masvo Transmleno para la Troncal Amércas, así como las estacones exstentes en el msmo sstema específcamente de Portal Amércas hasta Av. Jménez. De esta forma nuestro modelo tene una gran relevanca práctca ya que es posble comparar los resultados de nuestro sstema con la planeacón actual de Transmleno. La obtencón de las rutas más cortas entre todas las combnacones de nodos se obtuvo por medo del algortmo de Djsktra [8], el cual nos permte obtener de una forma efcente los camnos más cortos de un nodo orgen haca el resto de nodos del grafo. Dcho algortmo se aplcó tomando como nodos orgen cada uno de las e/2 donde e es el número de estacones prmeras estacones, nótese que no es necesaro aplcar el algortmo de Djsktra e veces ya que el costo de r a la estacón e a e j es el msmo de e j a e, así como las rutas a tomar. Es mportante aclarar que la aplcacón del algortmo de Djsktra [8] hace parte de un pre procesamento de datos en el cual se busca construr la matrz que representa al grafo con las estacones conectadas por medo de las rutas mpuestas y los tempos de los camnos más cortos así como las rutas que conllevan a dchos tempos, por lo que en la aplcacón del algortmo genétco no se utlza Djsktra, smplemente el grafo construdo de forma preva. De esta forma el cálculo de la funcón de ftness es optmzada desde el punto de vsta de tempo de cómputo, lo cual contrbuye sustancalmente a reducr la complejdad computaconal del algortmo genétco. En la Fgura 3 se muestra el grafo dseñado para las rutas selecconadas, en la fgura tambén se puede observar la aplcacón del algortmo de Djsktra tomando como nodo orgen el prmer nodo. Desde el punto de vsta computaconal, el grafo se puede representar por medo de una matrz en la que el elemento m,j de la matrz contene el tempo de vaje de r de la estacón a la estacón j y las rutas asocadas a dcho tempo. Fnalmente el cálculo del tempo de vaje de los usuaros del sstema de trasporte, se lleva a cabo por medo de la sguente fórmula: vaje e / 2 e (, j, j = 0 j = + 1 t m = p ) (Eq. 9) donde p,j se refere a los elementos de la matrz que posee el número de pasajeros que vajan de la estacón a la estacón j. D.1 Cómputo del tempo de espera El tempo de espera de los usuaros del sstema se calcula por medo de la dstrbucón de probabldad Erlang, la cual es deal para modelar los tempos de espera en sstema de colas, el cual es análogo a la espera que los usuaros llevan en las estacones para poder abordar un bus. Fgura 6: Grafo que representa las estacones de la Troncal Amércas y las rutas más cortas obtendas a partr de 7 de las rutas del sstema Transmleno. Para calcular el tempo de espera de los usuaros empleamos un vector de gual longtud al número de rutas, en el cual cada poscón contene la cantdad de usuaros que utlza la ruta que representa dcha poscón, esto es fácl de calcular a partr de la matrz que se ncalza en cada generacón con el número de usuaros que vajan de la estacón a la estacón j. Adconalmente utlzamos un vector de la msma longtud al anteror, donde almacenamos la capacdad total de trasporte de

8 170 Revsta Avances en Sstemas e Informátca, Vol.5 No. 1, Edcón Especal, Medellín, Mayo de 2008, ISSN III Congreso Colombano de Computacón 3CCC 2008 cada una de las rutas, esta nformacón se puede obtener a partr del número de buses que cada ruta tene asgnada por la capacdad de cada bus valor que es un parámetro de entrada. Con dcha nformacón podemos emplear la dstrbucón de Erlang. Para ello prmero determnamos para cada usuaro del sstema el número de ntentos que debe realzar para poder tomar el servco. S la relacón entre los cupos dsponbles y la cantdad de personas que van a vajar en una ruta determnada es mayor o gual a 1, entonces podemos asumr que el usuaro podrá utlzar el servco en el prmer ntento. En caso contraro, el número de ntentos está determnado por el número de eventos necesaros para obtener a partr de una dstrbucón unforme un valor aleatoro mayor a la razón menconada. Fnalmente, con el anteror valor obtendo, nos es posble aplcar la sguente fórmula para obtener el número total de espera: t vaje e / 2 e = erlang k, k f ( M )) (Eq. 10) = 0 j = + 1 (, j donde f(m.j ) calcula la sumatora de frecuencas de los camnos que se toman para r de la estacón a la estacón j. V. MARCO EXPERIMENTAL Se dseñó un marco expermental con el fn de analzar la consstenca y caldad de los resultados obtendos por el modelo propuesto. Así msmo, se analzó el comportamento de los algortmos genétcos respecto a la evolucón de las poblacones con el fn de valdar el modelo y la relevanca de sus resultados para el problema de programacón de buses y frecuencas en un sstema de trasporte. Es tambén de gran mportanca analzar la valdez de las dstrbucones de probabldad elegdas para modelar el problema por medo del estudo de los resultados obtendos en la smulacón Dentro de este marco expermental se desarrollo una aplcacón empleando la tecnología JAVA, que mplementa la smulacón del algortmo genétco. Los expermentos se llevaron a cabo sobre un computador de escrtoro con procesador Intel Core 2 Duo de 2.3Ghz y 1 Gb de memora RAM. Los datos de entrada del modelo son las rutas, las estacones que recorre cada una de estas rutas, la cantdad de buses del sstema y la capacdad de cada bus. Los datos utlzados en nuestra expermentacón fueron extraídos del sstema de trasporte Transmleno, en partcular se utlzaron las 18 estacones de la Troncal Amércas entre Portal Amércas y Av. Jménez y 7 de la rutas ofrecdas por Transmleno en los horaros correntes. La capacdad de los buses es de 160 pasajeros y se consderaron 400 buses en el sstema para una afluenca de usuaros de personas. Para el algortmo genétco se defnó 50 como el tamaño de la poblacón y se llevo a cabo la smulacón para generacones. Los resultados de dcha smulacón así como su análss se presentan en la sguente seccón. VI. RESULTADOS En la fgura 7 se observa el comportamento del algortmo genétco a través de las generacones, donde en la generacón ncal el ftness del mejor ndvduo fue de mnutos, mentras que el ftness del ndvduo de la últma generacón fue de mnutos. Los pcos de la fgura se explcan por la utlzacón de dstrbucones Erlang para el modelamento de los tempos de espera, ya que para cada generacón correspondía una dstrbucón dferente de los usuaros en las estacones del sstema y las probabldades de tempo de espera varaban a través de las generacones. La convergenca del algortmo genétco nos muestra que nuestro sstema es capaz de modelar con sgnfcanca un sstema de transporte, ya que el algortmo no se lmtó a unas probabldades dadas, sno que el sstema es dnámco a través del tempo. En otras palabras, el modelamento propuesto es capaz de smular un sstema de transporte en cualquer nstante de tempo, con modfcacones de varables que afectan el sstema. En la fgura 7 se muestra la mejor confguracón obtenda para la asgnacón de buses y frecuencas para cada una de las rutas de la troncal de las Amércas. Analzando éstos datos observamos que ésta nformacón es congruente y drectamente relaconada con la nformacón obtenda por los grafos del sstema. Es decr que aquellas rutas que son más utlzadas por los usuaros y cuyo recorrdo en tempo es mayor, les fue asgnado un mayor número de buses y su frecuenca se mnmzó. Fgura 7: Comportamento del algortmo genétco TABLE II ASIGNACIONES DEL MEJOR INDIVIDUO RUTA Num_buses Frecuenca (mn) F1 97 1,4845 F ,5926 F ,6923 F ,234 F ,7353 F F ,625

9 Un Modelo de Asgnacón de Recursos a Rutas en el Sstema de Transporte Masvo Transmleno Duarte, Becerra y Nño. 171 VII. CONCLUSIONES En éste trabajo se desarrollo una aproxmacón basada en algortmos genétcos, teoría de colas y teoría de grafos para la optmzacón de la asgnacón de frecuencas y buses en rutas determnadas en un sstema de transporte masvo real. Aún cuando certas restrccones y dscretzacones del modelo real fueron tomadas, es claro que el modelo propuesto es un buen optmzador de asgnacón de buses a rutas dadas. Sn embargo es necesaro trabajos más profundos que lmten las restrccones planteadas al sstema. Las metodologías basadas en teoría de colas y grafos poseen sgnfcanca del mundo real y permten el modelamento efectvo de sstemas de transporte masvo de una forma fácl, lógca, estructurada y acorde a la realdad. El uso de teoría de grafos para la determnacón de la ruta óptma para cada una de las rutas establecdas en la troncal de las Amércas es una heurístca ntroducda como preprocesamento de datos, que permtó el modelamento del comportamento del usuaro de una forma efcaz, dsmnuyo la complejdad de la mplementacón y corrda del algortmo propuesto y adconalmente era congruente con los dos objetvos propuestos en la funcón de ftness de los ndvduos. Los algortmos genétcos para optmzar funcones extradas del funconamento de sstemas de transporte masvo son herramentas fáclmente mplementables y que logran modelar correctamente la funcón objetvo. Además, los algortmos genétcos tenen la ventaja de producr un conjunto de famlas de conformacones de asgnacones de frecuencas muy cercanas al óptmo. Al obtener una famla de solucones se tendrá mayor flexbldad en el dseño e mplementacón real de las solucones al sstema. Ser go R. Duar te. Obtuvo su título de Ingenero de Sstemas en la Unversdad Naconal de Colomba. Actualmente cursa su maestra en Lngustcas Computaconales en la Unverzta Karlova en Praga, Repúblca Checa. Sus áreas de trabajo e nterés son la bonformátca, las lngustcas computaconales, el aprendzaje de máquna y la ntelgenca artfcal. Davd C. Becer r a. Obtuvo su título de Ingenero de Sstemas en la Unversdad Naconal de Colomba. Actualmente es estudante de segundo semestre de la Maestría de Ingenería de Sstemas y Computacón en la msma Unversdad. Su área de estudo es la bonformátca y el aprendzaje de máquna. Lus F Nño. Es Ingenero de sstemas de la Unversdad Naconal de Colomba con Master en Cencas Matemátcas de la Unversdad Naconal de Colomba y Unversdad de Memphs con énfass en Cencas de la Computacón y Doctor de Flosofía en Cencas Matemátcas de la Unversdad de Memphs. Las áreas temátcas en las que trabaja son Sstemas Intelgentes, Aprendzaje de Máquna, Sstemas Inmunes Artfcales, Bonformátca, Aplcacones Bomédcas de Sstemas Intelgentes. Actualmente se desempeña como profesor asocado en el Departamento de Ingenería de Sstemas en la Unversdad Naconal de Colomba. REFERENCIAS [1] B. Blanchard, "Logstcs Engneerng And Management". Ffth Edton.Prentce Hall [2] J. Daza, J. Espnosa. "Haca una Arqutectura Naconal para los sstemas Intelgentes de Transporte". Publcacón Técnca No 251Sanfandla, Qro, [3] V. Abrara, A. Pérez. "Métodos Multvarantes en Boestadístca". Ed. Centro de Estudos Ramón Areces [4] J. Serrano, "Computacón Estadístca, Generacón de varables aleatoras", [5] TransMleno S.A, Transmleno, [6] H. Moskowtz, G.P. Wrght. "Investgacón de Operacones". Prentce_Hall Hspanoamercana S.A [7] Urban operatons Research, Logstcal and Transportaton Plannng Methods, [8] E.W. Djkstra, "A Note on Two Problems n Connecton wth Graphs". Numersche Math. 1, , [9] F. Azadvar, "Smulaton Optmzaton Methodologes", Proceedngs of the 1999 Wnter Smulaton Conference. [10] S. Ólafsson, J. Km, "Smulaton Optmzaton", Proceedngs of the 2002 Wnter Smulaton Conference.

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