APÍTULO ) Ecuación de Mvimient mdel de pequeñas perturbacines El mvimient de la aernave viene determinad pr una serie dcuacines que se derivan de las lees de Newtn de la física clásica. A partir dstas ecuacines generales, añadiend ciertas particularidades simplificacines, se va a llegar a una serie dcuacines del mvimient que crrespnden al mdel de pequeñas perturbacines []. En dich mdel se deberá encntrar una epresión para ls ceficientes aerdinámics que permita intrducirls en el nuev sistema dcuacines en función de las variables del prblema. Aquí se intrducirá el cncept de derivada dstabilidad. Adicinalmente se realiará el desacple de las ecuacines en lngitudinal en lateraldireccinal... Ecuación de mvimient Las ecuacines que gbiernan el mvimient del avión se derivan de las lees de Newtn de la física clásica sn las siguientes F = m( Uɺ + qw rv ) (.) F = m( Vɺ + ru pw ) (.) F = m( Wɺ + pv qu ) (.3) 5
L = p ɺ ( pq + rɺ ) + qr( ) (.4) M = q ɺ + rp + p r (.5) ( ) ( ) N = r ɺ ( pɺ qr) + pq( ) (.6) Dnde F, F F sn las fueras que actúan sbre la aernavn ls diferentes ejes. L, M N sn ls mments que actúan sbrl avión en ls diferentes ejes. U, V W sn las cmpnentes de la velcidad de la aernave. p, q r sn las cmpnentes de la velcidad angular. El punt encima de la variable cm U ɺ indica que se trata de aceleración. Estas ecuacines gbiernan el mvimient del avión cn respect a un sistema inercial de referencia fij en Tierra. Para alcanar estas ecuacines se ha ignrad el mvimient de rtación de la Tierra, así cm su mvimient alrededr del Sl, se ha supuest qul avión tiene un plan de simetría vertical qul rigen del sistema djes cuerp está lcaliad en el centr de gravedad del avión... Mdel de pequeñas perturbacines Para el estudi de la estabilidad, las ecuacines antes presentadas pueden ser simplificadas si se asume qul avión está en equilibri las variacines de mvimient sn l suficientemente pequeñas, est es, la perturbación del mvimient es pequeña en cmparación cn el mvimient en el estad dquilibri. Las variables del mvimient perturbad serán U = U + U V = V + V W = W + W (.7) p = p + p q = q + q r = r + r (.8) F = F + F F = F + F F = F + F (.9) L = L + L M = M + M N = N + N (.0) dndl sufij indica las variables en vuel dquilibri el prefij indica las pequeñas perturbacines. 6
Figura. Avión en vuel estable en vuel cn perturbacines []. Se asume qul avión, antes dnfrentarse a la perturbación está en vuel estable, sin aceleración. Est es, las fueras netas mments nets sn iguales a cer. Est implica U ɺ = 0 V 0 = W = (.) p = q = r = 0 (.) F = F = F = 0 (.3) L = M = N = 0 (.4) 7
Dsta manera U = U + U V = V W = W (.5) p = p q = q r = r (.6) F = F F F = F = F (.7) L = L M = M N = N (.8) Se asume también que cada cmpnente de la velcidad perturbada es pequeña en cmparación cn la velcidad de referencia U que las cmpnentes de la velcidad angular perturbada sn mu cercanas a cer. Teniend td est en cuenta las ecuacines (.)-(.6) se reescriben, ignrand términs de segund rden cm q W, dand l siguiente F = m U ɺ (.9) F = m( V ɺ + ru ) (.0) F = m( W ɺ qu ) (.) L = p ɺ rɺ (.) M =ɺ q (.3) Se definen las siguientes variables adimensinales. N = r ɺ pɺ (.4) U u = U = = l F S L S V v = U = = m F S M c w U W = (.5) F = (.6) S N n = (.7) b dnde, U es la velcidad de vuel, S la superficie alar, c es la cuerda principal b la envergadura. Ls ánguls de ataque de barrid al tratarse de pequeñas perturbacines se apriman así 8
W tanα α = (.8) U V sin β β = (.9) U Teniend en cuenta la adimensinaliación mstrada las ecuacines (.9)-(.4) tman la siguiente frma: mu = uɺ (.30) S mu = ( r) ɺ β + (.3) S mu = ( ɺ α q) (.3) S l = ( p ɺ r ɺ ) (.33) m = qɺ (.34) n = ( r ɺ p ɺ ) (.35) El siguiente pas es hallar una epresión para ls diferentes ceficientes aerdinámics. Se asume que las fueras mments lngitudinales ( F, F M ) sól están afectadas pr las variables lngitudinales ( u, α q ). Se hace l mism para las fueras lateral-direccinales desacpland las ecuacines en ds sistemas. n esta supsición teniend en cuenta que las perturbacines sn pequeñas se pueden epresar ls ceficientes aerdinámics cm series de Talr en trn al punt dquilibri. ada ceficiente quedaría de la siguiente manera 9
ɺ αc qc = uu + α + θ + q... α θ α + + + t t + (.36) ɺ U U ɺ αc qc = uu + α + θ + q... α θ ɺ α + + + t t + (.37) U U ɺ αc qc m = muu + m α + m θ + m mq m... α θ ɺ α + + + m t t + (.38) U U ɺ βb pb rb = β β + φ φ + p r... ɺ a a β + + + + r r + (.39) U U U ɺ βb pb rb l = lβ β + l φ φ + lp lr l... lɺ a a β + + + + l r r + (.40) U U U ɺ βb pb rb n = nβ β + n φ φ + np nr n... nɺ a a β + + + + n r r + (.4) U U U Dnde e es la variación de defleión del elevadr, t el términ que indica la variación a del empuje, la variación de defleión del alerón r la variación de defleión del timón de cla. El desarrll de ls ceficientes aerdinámics está cmpuest pr uns términs del tip u, α θ que sn las derivadas dstabilidad trs del tip e que sn las derivadas de cntrl. Pr las cndicines previas que se han definid se desacplan las fueras lngitudinales de las lateral-direccinales. Dsta manera se reducl prblema n lineal de seis grads de libertad a ds prblemas de tres grads de libertad cada un linealiads en el punt dquilibri. La linealiación dstas ecuacines simplifica el estudi pr métds analítics de la estabilidad del avión. Ha que tener en cuenta las simplificacines que se han hech para llegar a estas epresines. Se ha tenid en cuenta un mdel de pequeñas perturbacines la linealiación de fueras aerdinámicas en trn a un punt de vuel estable, un punt dquilibri. Para situacines que se alejen dstas cnsideracines la aprimación n sería válida. A cntinuación se muestran las ecuacines que rigen el cmprtamient lngitudinal el cmprtamient lateral-direccinal para pequeñas perturbacines. t 0
... Ecuacines del mvimient lngitudinal para pequeñas perturbacines Sustituend ls valres de, (.36)-(.38) en las ecuacines (.30)-(.3) se llega a m btenids del desarrll de Talr en d d d m u u ɺ αc + α α qc + θ θ = + t t (.4) dt dt dt d d d d u u m ɺ αc α α m + qc + θ θ = + t t dt dt (.43) dt dt d d d muu mɺ αc + m α α + mqc θ = m + m t t (.44) dt dt dt dnde c c = (.45) U m m = (.46) S = (.47) Sc A cntinuación se van a desarrllar algunas de las derivadas dstabilidad que aparecen en las ecuacines (.4)-(.44). Las fueras que actúan sbre la aernave sn la sustentación L, la resistencia D, el empuje T, el pes W. En vuel en equilibri se cumple F = T D W sinθ = 0 (.48) para el vuel en equilibri perturbad debe ser F = F + F (.49) = T D W sin( θ + θ) (.50) = T ( D + D) W sin( θ + θ) (.5)
Y, teniend en cuenta la Ec.(.48) aprimand sin( θ + θ) cm csθ θ la epresión de F queda de la siguiente manera F = F D W csθ θ (.5) Pr simplicidad se ignran las variacines dmpuje durante las perturbacines. Supóngase que la aernave sól está perturbada en velcidad de vuel. Se tendría U = U + U, θ = 0, F = D U = U. Entnces F F D D = = = U U U U ρ = U U S D = ρ D USD S U (.53) (.54) (.55) n U U se tiene F D = SD S U U U U U U (.56) U n u = = F / S la Ec.(.56) se simplifica siend al final U = (.57) u D Du Ahra se supndrá qul avión sól está perturbad en el ángul de cabece siend el nuev ángul θ + θ U = 0. Entnces de la Ec.(.5) se btiene F = W csθ θ. Desarrlland de la misma manera qun el cas anterir se llega a F F = = W csθ θ θ (.58) O, l qus l mism, = csθ (.59) θ L El rest de derivadas se btienen de idéntica manera.
... Ecuacines del mvimient lateral-direccinal para pequeñas perturbacines Sustituend ls valres de, l n btenids del desarrll de Talr en (.39)-(.4) en las ecuacines (.33)-(.35) se btiene d d d d d m b β β b p φ φ m b r ψ r r β + + = + a a dt dt dt dt dt (.60) ɺ d d d d d lβ lβ β lp φ lr ψ l r r l a a b + b + + b = + dt dt dt dt dt (.6) ɺ d d d d d nβ nβ β np φ nr ψ n r r n a a b + b + b = + (.6) ɺ dt dt dt dt dt dnde d φ = p (.63) dt d ψ = r (.64) dt b b = (.65) U = (.66) = (.67) = (.68) A cntinuación se van a desarrllar algunas de las derivadas dstabilidad que aparecen en las ecuacines (.4)-(.44). Se supne qul avión está perturbad en el ángul de balance φ cm se vn la Figura.. Se tendría entnces F = F + F = W csθ φ + Y + Y (.69) aer aer 3
Dnde Y aer denta la fuera lateral aerdinámica. Se tiene pr equilibri que F = Y = 0, pr l que derivand F = W csθ φ + Y (.70) aer aer F F = = W csθ φ φ (.7), l qus l mism = csθ (.7) φ L Y así, de la misma manera, cn el rest de derivadas dstabilidad. En el presente capítul se han desarrllad las ecuacines del mvimient hasta llegar a una epresión simplificada en la que las fueras aerdinámicas spresan en función de uns términs denminads derivadas dstabilidad derivadas de cntrl. Será precis encntrar uns métds válids para determinar el valr de cada una dstas derivadas. Del estudi de cada métd de cálcul de derivadas dstabilidad de cntrl sncarga el siguiente capítul. 4