FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES La eplicación ó descripción del mundo real y social han planteado, la necesidad de considerar funciones de más de una sola variable. Por ejemplo, considere la temperatura T en un punto de la superficie de la tierra depende en todo momento de la longitud y la latitud y del punto. Podemos pensar en T como una función de dos variables e y ó como una función del par (,y). Esta dependencia funcional lo representaremos por T= f(,y). Una función f de n variables f: D n, es una regla que asigna a cada elemento (,,, n ) de D un único número real f(,,, n ). El rango de f, denotado por Rg(f), es el conjunto de valores que toma f, es decir: Rg(f) ={ f(,,, n )/ (,,, n ) D} Ejemplo: Determinar el dominio, rango de la función f(,y) = 4 Sea f: D n, una función con dominio D. La gráfica de f, es el conjunto: G(f) = { (,,, n, z)/ z = f(,,, n ), (,,, n ) D)} Al conjunto D se conoce como dominio de f. A menudo escribimos z = f(,,, n ) para hacer eplícito el valor que toma f en el punto general (,,, n ). Las variables,,, n son las variables independientes y z es la variable dependiente. (,y,z) (,y) Observación: i) Si f: D, su gráfica se encuentra en Si f: D, su gráfica se encuentra en 3 Ejemplo: Obtener la gráfica de la función f, definida por: f(,y) = 4 CONJUNTO DE NIVEL Sea f: D n, una función y k. Entonces el conjunto de nivel de valor k, se define como: { D/ f(, y) = k } n Si: n =, el conjunto de nivel será una curva de nivel (de valor k) Si: n = 3, el conjunto de nivel será una superficie de nivel (de valor k) NOTA. Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de mapas hidrográficos, meteorológicos, etc. 3
Ejemplo: Determine las curvas de nivel de: z = + y OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sean f, g: D n, funciones de n variables con dominios Df y Dg f, respectivamente, entonces f + g, f - g, f. g, f / g, se definen como: i) (f + g )() = f() + g(), D f+g =D f 8 6 i (f - g )() = f() - g(), D f-g = D f (f. g )() = f() g(), D f.g =D f 4 Ejercicio. Determinar el dominio de la función: f(,y) = - - - - 4 5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES y Lámina de metal Temperatura (a, b) (, y) L f(, y) Si la temperatura f(,y) se acerca a un valor fijo L, cuando (,y) se aproima cada vez más a un punto fijo (a,b), entonces esto se denotará como: (,y) (a,b) f(,y) = L y puede leerse: el límite de f(,y) cuando (,y) tiende a (a,b) es L 6 7
Ejercicio. Analizar si Ejercicio. Analizar si y = (,y) (,) 3 4 y = 4 4 (,y) (,) CALCULO DE LIMITES MEDIANTE OPERACIONES ALGEBRAICAS Ejemplo: Calcular los siguientes límites:. y (,y) (,5). y (,y) (,) 7 y Ejercicio 3. Analizar si = (,y) (,) 3 4 ( )( y 6) 4. y 3. (,y) (,) ( )( 4) (,y) (,) y 4 8 9 TEOREMA DEL ENCAJE Dadas las funciones f, h, g tal que f() h() g(), D n., Si f()= g(),entonces, h()= f()= g() Ejemplo: Calcular: i) ( + y )cos (,y) (,) y (,y) (,) 3 +y TEOREMA DE LA ACOTACIÓN Si f es una función tal que f()= ; g() una función acotada (es decir eiste una constante k> de modo que: -k g() k ), entonces, f() g()= Este teorema nos indica que si una función tiene límite cero en un punto, y otra función está acotada en los alrededores del punto, entonces, su producto también tiene límite cero en dicho punto.
PUNTO DE ACUMULACIÓN Se dice que p es un punto de acumulación de un conjunto D n, si toda bola abierta reducida B (p,r):= B(p,r) { p } contiene infinitos puntos de D, es decir: B (p,r) D. Ejemplo. Calcular: i), y si eiste. y (, y) (,) ( y, ) (,) 3y 4 3 z i si eiste (, yz,) (,,) 4 z Ejemplo Analizar si el punto (,) es un punto de acumulación de S= {(,y) / >, y > } REGLA DE LA TRAYECTORIA Sea S y S conjuntos de n que tienen al punto p como un punto de acumulación. Si f() f() p p S S f() entonces,, no eiste. p 3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sea f es una función de n variables y sea p un punto en n Se dice que f es continua en el punto p si se cumplen la tres condiciones: i) f (p) esta definida eiste i f() p f() = f(p) p Sea f una función de n variables, definida en el conjunto abierto D de n. Se dice que f es continua en el conjunto D (o simplemente que f es continua) si f es continua en cada uno de los puntos o D. Propiedad Sean f, g: D n funciones definidas en el conjunto abierto D de n. Si f y g son funciones continua en el punto o, entonces. la función f+ g: D n, (f + g)()= f()+g(), es continua en o. la función fg: D n, (f g)()= f() g(), es continua en o 3. la función f/ g: D n, (f /g)()= f() /g(), es continua en o, siempre que g( o ) Nota. Cualquier función polinómica f: n es continua en n. Ejemplo: Analizar si la función f(,y,z)= y y 7, es continua en todo 4 su dominio 4 5
Ejercicios En cada caso, analizar si f es continua en (,), si i) y si y, si(, y) (,) ( )/( ), (, ) (,) y si y, si(, y) (,) /( ), (, ) (,) Propiedad Si f: D n es un función continua o y g es una función continua en f(o), entonces, la función compuesta definida por (gof)()=g(f()) es continua en o, es decir: g( f( )) g(( f( )) Ejemplo. Analizar si f(,y)=sen( -y ) es continua en todo su dominio. i y si y, si(, y) (,) ( )/( ), (, ) (,) 6 7