MODELOS ARIMA Prof. Rfel de Arce Prof. Rmón Mhí Dpo. Economí Aplicd U.D.I. Economerí e Informáic
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin INRODUCCIÓN En 97, Box Jenkins desrrollron un cuerpo meodológico desindo idenificr, esimr dignosicr modelos dinámicos de series emporles en los que l vrible iempo ueg un ppel fundmenl. Un pre imporne de es meodologí esá pensd pr liberr l invesigdor económer de l re de especificción de los modelos dendo que los propios dos emporles de l vrible esudir nos indiquen ls crcerísics de l esrucur probbilísic subcene. En pre, los procedimienos que vmos nlizr se conrponen l "form rdicionl" de idenificr especificr un modelo poándonos en ls eorís subcenes l fenómeno nlizdo unque, convenienemene uilizdos, los concepos procedimienos que exminremos consiuen un herrmien úil pr mplir complemenr los conocimienos economéricos básicos. Se comenzrá nlizndo los modelos en los que un vrible es explicd uilizndo exclusivmene un "exógen": su propio psdo. Podemos decir que l considerción exclusiv de los vlores psdos de un deermind vrible pr explicr su evolución presene fuur supone, l mismo iempo, un ven un inconveniene: - l ven rdic en el hecho de no necesir disins series de dos (disins vribles referids l mismo período de iempo (crcerísic común odos los modelos univrines, l mismo iempo, horrrnos l idenificción especificción del modelo en el senido de l economerí rdicionl, - el inconveninee es que, l renuncir l inclusión de un conuno más mplio de vribles explicivs, no endemos ls relciones que sin dud exisen enre csi ods ls vribles económics perdiendo cpcidd de nálisis l iempo que renuncimos, implicimene, l esudio eórico previo del fenómeno su indudble uilidd. Denro de esos modelos univrines se desrrollrán suficienemene los conocidos con el nombre de ARIMA. Poseriormene se complemenrá es perspeciv univrine ñdiéndose l especificción un o más vribles exógens l modelo "rdicionl" proximándonos l esudio de los conocidos como modelos de rnsferenci. Como es hbiul en economí, definiremos un esrucur que nos permi, por sus crcerísics, cumplir el fin úlimo de predicción: proceso esocásico escionrio. Diremos cules son ls condiciones que h de cumplir es función pr que podmos clculrl definiremos el proceso esocásico escionrio linel discreo. Poseriormene, nlizremos los modelos más simples (que emplen menos rerdos conforme un serie de funciones crcerísics (covrinz, uocorrelción ol uocorrelción prcil, describiendo sus condiciones plnendo esrucurs eórics que luego puedn ser idenificbles con series emporles reles. DEFINICIÓN CONCEPOS BÁSICOS DE LOS MODELOS ARIMA Proceso esocásico escionriedd Los modelos uorregresivos o de medis móviles que más rde concepulizremos necesin pr su comprensión de l inroducción del concepo de proceso esocásico. Un proceso esocásico es un sucesión de vribles leoris ordends,pudiendo omr culquier vlor enre -. Por eemplo, l siguiene sucesión de vribles leoris puede ser considerd como proceso esocásico:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 3,,,,..., - 5-4 -3-3 4 El subíndice no iene, en principio, ningun inerpreción priori, unque si hblmos de proceso esocásico en el conexo del nálisis de series emporles ese subíndice represenrá el pso del iempo. Cd un de ls vribles que configurn un proceso esocásico endrán su propi función de disribución con sus correspondienes momenos. Así mismo, cd pr de ess vribles endrán su correpondiene función de disribución conun sus funciones de disribución mrginles. Eso mismo ocurrirá, no pr cd pr de vribles, sino pr conunos más mplios de ls misms. De es form, pr crcerizr un proceso esocásico deberímos especificr ls funciones de disribución conun de culquier conuno de vribles: (,,,... 3 m culesquier que fuern los vlores de (,,... m culquier que fuer el vlor de m; por eemplo:,, ( 3,,, ( 3 3 4 5 6 m 3 m 4 Hbiulmene, conocer ess funciones de disribución resul compleo de form que, pr crcerizr un proceso esocásico, bs con especificr l medi l vrinz pr cd l covrinz pr vribles referids disinos vlores de : E[ ] µ σ Vr( E[ - µ ] Cov(, s E[( - µ ( - µ ] s s Ls disribuciones de probbilidd podrín no esr complemene crcerizds en lguns de ls vribles, los momenos podrín no coincidir incluso no exisir pr lgun de ls vribles leoris, lo mismo puede ocurrir con ls disribuciones conuns o mrginles. Sin embrgo, de odos los ipos de procesos esocásicos posibles, nos ineresn especilmene dos de ellos los que l esdísic h ddo nombres precisos: - ruido blnco es un sucesión de vribles leoris (proceso esocásico con espernz (medi cero, vrinz consne e independienes pr disinos vlores de (covrinz nul. - proceso esocásico escionrio.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 4 Decimos que un proceso esocásico es escionrio si ls funciones de disribución conuns son invrines con respeco un desplzmieno en el iempo (vrición de. Es decir, considerndo que, +, +,..., +k reflen períodos sucesivos: F(, +,... +k F( +m, ++m,..., +k+ m pr culquier, k m; por eemplo: F(,,..., 6 F(,,... 5 donde,k 5,m 9 F( 3, 4, 5 F( 7, 8, 9 donde 3,k,m 4 Es definición de escionriedd se conoce como escionriedd en senido esrico o fuere puede relrse susncilmene uilizndo l denomind escionriedd en senido mplio o débil. Decimos que un proceso esocásico es débilmene escionrio si: - Ls espernzs memáics de ls vribles leoris no dependen del iempo, son consnes: E[ ] E[ + m ] m - Ls vrinzs mpoco dependen del iempo son finis: Vr[ ] Vr[ + m ] m - Ls covrinzs enre dos vribles leoris del proceso correspondienes períodos disinos de iempo (disinos vlores de sólmene dependen del lpso de iempo rnscurrido enre ells: Cov(, s Cov( +m, s+ m m De es úlim condición se desprende que, si un fenómeno es escionrio, sus vribles pueden esr relcionds linelmene enre si, pero de form que l relción enre dos vribles sólo depende de l disnci emporl k rnscurrid enre ells.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 5 Lógicmene, l escionriedd en senido esrico grniz l escionriedd en senido mplio pero no l revés. Un vez inroducido el concepo genérico de proceso esocásico puede decirse que un serie emporl culquier es, en relidd, un muesr, un relizción concre con unos vlores concreos de un proceso esocásico eórico, rel. El nálisis de series que vmos esudir rrá, prir de los dos de un serie emporl, inferir ls crcerísics de l esrucur probbilísic subcene, del verddero proceso esocásico. Modelos uorregresivos L plbr ARIMA signific Modelos Auorregresivos Inegrdos de Medis Móviles. Definimos un modelo como uorregresivo si l vrible endógen de un período es explicd por ls observciones de ell mism correspondienes períodos neriores ñdiéndose, como en los modelos esrucurles, un érmino de error. En el cso de procesos escionrios con disribucion norml, l eorí esdísic de los procesos esocásicos dice que, bo deerminds condiciones previs, od puede expresrse como un combinnción linel de sus vlores psdos (pre sisemáic más un érmino de error (innovción. Los modelos oorregresivos se brevin con l plbr AR rs l que se indic el orden del modelo: AR(, AR(,...ec. El orden del modelo expres el número de observciones resds de l series emporl nlizd que inervienen en l ecución. Así, por eemplo, un modelo AR( endrí l siguiene expresión: φ + φ - + El érmino de error de los modelos de ese ipo se denomin generlmene ruido blnco cundo cumple ls res hipóesis básics rdicionles mencionds l principio del exo: - medi nul - vrinz consne - covrinz nul enre errores correspondienes observciones diferenes L expresión genéric de un modelo uorregresivo, no de un AR( sino de un AR(p serí l siguiene: φ + φ - + φ - +...+ φ p - p + pudiéndose escribir de form brevid como: φ (L φ p + donde φ p (L es lo que se conoce como operdor polinomil de rerdos:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 6 φ p (L -φ L -φ L -...- φ p L p donde, su vez, el érmino L es lo que se conoce como operdor rerdo l que, plicdo l vlor de un vrible en, dé como resuldo el vlor de es mism vrible en -: L - plicdo sucesivmene p veces rerd el vlor en p períodos L p -p Normlmene, se suele rbr con modelos uorregresivos de órdenes bos: AR( o AR(, o bien con órdenes coincidenes con l periodicidd de los dos de l serie nlizd (si es rimesrl AR(4, si es mensul AR(... Modelo de medis móviles Un modelo de los denomindos de medis móviles es quel que explic el vlor de un deermind vrible en un período en función de un érmino independiene un sucesión de errores correspondienes períodos precedenes, ponderdos convenienemene. Esos modelos se denon normlmene con ls sigls MA, seguidos, como en el cso de los modelos uorregresivos, del orden enre prénesis. Así, un modelo con q érminos de error MA(q responderí l siguiene expresión: µ + - - +... q -q que de nuevo puede brevirse uilizndo el polinomio de rerdos (como en en cso de los modelos AR: q(l+µ Al igul que en el cso de los modelos uorregresivos, el orden de los modelos de medis móviles suele ser bo MA(, MA( o corresponderse con l periodicidd de los dos nlizdos MA(4, pr series rimesrles, o MA( pr series mensules. Inerpreción de un modelo de medis móviles Así como un modelo uorregresivo es inuiivmene sencillo de comprender, l formulción de un modelo de medis móviles resul sorprendene pr el no inicido. Qué signific que un vrible leori se explique en función de los errores comeidos en períodos precedenes?, De dónde proceden esos errores?, Cuál es l usificción de un modelo de ese ipo?. En relidd, un modelo de medis móviles puede obenerse prir de un modelo uorregresivo sin más que relizr sucesivs susiuciones.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 7 Efecivmene, un modelo AR(, sin érmino independiene, iene l expresión: φ - + si considermos - en lugr de el modelo serí en ese cso: - φ -+ - susiuendo qued: + φ -+ φ - si hor susiuimos - por su expresión uorregresiv sí sucesivmene llegmos un modelo del ipo: + φ - + φ - + φ 3-3 +...+ φ - +... que es l expresión, sin érmino independiene, de un modelo de medis móviles como el plnedo neriormene. En relidd, de form esric, el pso de un modelo oro deberí relizrse l conrrio (de un MA un AR uilizndo el eorem generl de descomposición de Wold. Condiciones ríces uniris pr los modelos AR MA Hemos dicho neriormene que, bo condiciones generles, odo proceso esocásico escionrio se presb un especificción ipo AR(p en consecuenci podí expresrse mbién como un MA(q. Es hor el momeno de especificr lo que nes hemos llmdo "condiciones generles" exminr en que csos es posible l relizción de un proceso AR ó MA pr represenr un proceso esocásico escionrio. Pr que un proceso esocásico escionrio dmi un formulción del ipo que quí esudiremos hn de cumplirse dos condiciones ccesoris: - el proceso no debe ser nicipne (hipóesis de recursividd emporl; lo que quiere decir que los vlores de un vrible en un momeno no dependerán de los que es mism ome en +, siendo o culquier vlor superior cero. - el proceso h de ser inverible; lo que supone que l correlción enre un vrible su psdo v reduciéndose medid que nos lemos más en el iempo del momeno pr el que esmos considerndo dich correlción (proceso ergódico. L explicción inuiiv de es siución derivrí de que si el especificármos un vrible en función de cieros coeficienes que nos deerminen su correlción con los vlores psdos de ell mism, los vlores de dichos coeficienes deberín ser necesrimene inferiores uno, porque sino el proceso de infinios números serí "explosivo".
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 8 L escionriedd de ls series emporles en l relidd Qued clr que l proximción los procesos esocásicos con modelos AR o MA esá resringid, en érminos generles, quellos procesos esocásicos que cumpln, l menos de form débil, l resricción de escionriedd. Cundo, en l relidd, queremos inferir prir de un serie emporl (muesr l esrucur del proceso esocásico medine modelos AR ó MA, debemos cubrir dos eps: - segurrnos de que l serie emporl, como muesr del proceso esocásico, es escionri, si no lo es, - rnsformr l serie emporl originl de form que l nuev serie rnsformd si lo se. cómo verificmos si l serie nlizr es escionri en medi? cómo logrr que lo se? Filrdo de l serie originl Pr resolver l primer cuesión exisen diversos méodos de proximción, de enre ellos, descmos Podrímos subdividir l serie emporl en vrios períodos de, proximdmene, l mism longiud, clculr su medi. El proceso serí escionrio en el cso en que dichos esdísicos fuern prácicmene igules pr odos los subperíodos nlizdos. En l morí de los csos, un simple gráfico sirve pr observr si exise o no un clr endenci, por no, si l serie es escionri o no. Hbiulmene, cundo un serie muesr endenci, se subdivide dich serie en dos componenes: un primer, l esimción de dich endenci,, l segund, el residuo o error que se comee cundo se uiliz dich endenci como vlor esimdo de l serie originl. + r Un vez esimd l endenci, proximd con un regresión linel, prbólic, exponencil... que se más conveniene; rbremos con l serie del residuo, que enonces no mosrr endenci podremos decir que es escionri en medi. Es sobre ese residuo sobre el que llevremos cbo odo el proceso descrio como meodologí de idenificción ARIMA, sumndo finlmene el vlor de l endenci esimd si queremos dr resuldos de esimción de l serie originl. Es decir:.- l idenificción del proceso ARIMA se hrá sobre es serie del residuo rˆ ˆ, esimd previmene l endenci del modo más decudo..- Pr obener vlores esimdos de l serie originl, sumremos el componene endencil l vlor esimdo del residuo medine el modelo ARIMA ˆ ˆ + rˆ. A ese procedimieno se le conoce con el nombre de filrdo de l endenci de l serie. Por supueso, exisen mu vrids forms de plicr un filro, siendo l que quí hemos enuncido l más sencill. b Cómo se comprueb si un serie es escionri en vrinz? Orden de inegrción
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 9 Sin dud lgun, el es más hbiul l hor de deerminr l escionriedd de un serie emporl, consise en l plicción del conocido como es de Dicke Fuller (es DF o Dicke-Fuller Amplido (es ADF. Ése es un conrse de No escionriedd que l hipóesis nul es precismene l presenci de un ríz uniri en el proceso generdor de dos de l serie nlizd. Vmos suponer inicilmene, como modelo de prid pr el nálisis de un deermind serie, el de un proceso escionrio uorregresivo de orden uno: + ε (Ec. frene ese modelo se plne, como hipóesis nul H, el modelo lernivo de un pseo leorio no escionrio del ipo : + ε se r por no de conrsr si el coeficiene es igul l unidd o disino de ell. Sin embrgo, pr conrsr l nulidd del coeficiene, no podemos uilizr el conrse hbiul sobre un esimción por MCO del primer modelo. L rzón es que l hipóesis nul que hbiulmene se conrs, prir de l cul se deriv l expresión propieddes del es, es l de nulidd del prámero ( de l (Ec., sin embrgo, en nuesro cso, necesirímos conrsr H :. Si l hipóesis nul fuer cier, l vrinz de no serí escionri sino que crecerí con los vlores de según l expresión de l vrinz de un pseo leorio con deriv: Vr ( σε L esimción de en + ε será siempre consisene sin embrgo, su disribución vrirá según los vlores que ome l esimción. Uilizndo ls plbrs de Novles (993, l disribución de probbilidd sinóic del esimdor de MCO del modelo AR( presen un disconinuidd cundo, como susiuo, deberán uilizrse ls disribuciones derivds de form empíric medine un procedimieno de Monecrlo relizdo por Dicke (976. Más recienemene, McKinnon (99 relizó un número mor de simulciones que ls bulds por Dicke Fuller. Además, McKinnon esimó l superficie de respues usndo los resuldos de l simulción, lo que permie clculr los vlores críicos del es DF pr culquier mño muesrl culquier número de vribles en el ldo derecho de l ecución. En l prácic, por cuesiones de sencillez operiv, el modelo uilizdo pr el conrse DF no es el expueso l comienzo del epígrfe sino oro, equivlene l nerior, que se obiene resndo uno oro ldo el érmino - : + ε ε en un proceso de ese ipo, susiuendo recursivmene se obiene: esocásic: + ε i, proceso con medi consne E[ ] E + i E[ ] i V [ ] E[ E[ ] E i E + ε i E i i [ ε + ε + ε ε + ε ε +...] E[ ε + ε... + ε ] σ... 3 ε ε vrinz ε i
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin + + ( + ε (Ec. + + ε + ε por no, l hipóesis nul inicil pr l (Ec., se rnsform hor en H : frene H : <. Decir que es nulo es lo mismo que decir que, o se, que exise un ríz uniri, decir que es menor que cero equivle decir que es menor que l unidd (proceso uorregresivo escionrio. El procedimieno básico pr l plicción simple del es DF es, prir de quí, prenemene sencillo. Se esim el modelo propueso se clcul el vlor esimdo de l del prámero nlizdo. Un vez clculdo se compr con el vlor empírico de referenci obenido con ls bls de Dicke Fuller o de McKinnon. Si el vlor esimdo pr es inferior en vlor bsoluo l buldo ddo un deermindo nivel de confinz, dmiiremos l hipóesis nul, o se, l presenci de un ríz uniri. El modelo expueso hs el momeno es el más simple posible, pero cbe que el modelo más decudo l relidd inclu oros érminos, como un consne /o un endenci. Doldo e l. (99 Perron (99 propusieron, enre oros uores, seguir un proceso en eps fin de grnizr el éxio en l elección del modelo de referenci en el mor número de ocsiones: - En primer lugr se esimrí el modelo menos resringido (con érmino consne endenci deerminis. - Ddo que el principl error de es ácic inicil consisirí en l escs poenci del conrse pr el rechzo de l hipóesis nul por inclusión de vribles irrelevnes, si los vlores críicos indicn rechzo (usenci de ríz uniri, erminrímos el procedimieno. - En el cso de no rechzrse l hipóesis nul de presenci de un ríz uniri, es decir, en el cso en que dmimos l presenci de un ríz uniri (H : psrímos hor exminr l significividd del prámero endencil deerminis. Ddo que, en ese puno, esrímos bo l hipóesis dmiid de que, uilizrímos el vlor de referenci de τ βτ e incluso, pr mor seguridd, mbién el conrse conuno φ 3 (. - Si el érmino endencil resul significivo ( conrsremos de nuevo l presenci de un ríz uniri (H : pero uilizndo enonces ls bls de un norml esndrizd. Se cul se el resuldo del es con ls nuevs bls finlizrímos quí el conrse dmiiendo o rechzndo l presenci de un ríz uniri. - Si el érmino endencil es no significivo, deberá replnerse el modelo inicilmene esimdo psándose exminr oro con érmino consne pero sin es endenci deerminis. Con ese modelo se vuelve nlizr l presenci de un ríz uniri (. No se consider el cso de procesos uorregresivos explosivos en que >
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin - En el cso en que, nuevmene, se soseng l presenci de un ríz uniri, se conrsrá enonces l decución del érmino independiene bien con el conrse τ αµ, bien con φ. Si el érmino independiene resul significivo usmos de nuevo ls bls de un norml pr conrsr l presenci de l ríz uniri, concluendo de nuevo quí el conrse. - Sólo si enonces l consne es no significiv se uiliz el modelo más simple como modelo de referenci conrsándose, de nuevo, l presenci de ríz uniri. En ese cso, no iene cbid el uso de l disribución norml esndrizd. Esá clro que lo expueso hs ese momeno permie conrsr l presenci de un o más ríces uniris en un deermind serie emporl pr l que se supone un proceso AR(. Sin embrgo, muchs serie emporles se usn más decudmene procesos uorregresivos de orden superior AR( o AR(3. No prece, por no, mu correco, conrsr l presenci de un o más ríces uniris uilizndo siempre l esrucur de un modelo AR( que ls ríces uniris pueden precer mbién en esrucurs más comples. Ese problem d lugr lo que se conoce como es de ríces uniris de Dicke-Fuller Amplido (DFA: si se quiere conrsr l presenci de un ríz uniri en un serie que sigue un proceso AR(p, deberá plicrse el procedimieno expueso pr el cso simple AR(, pero suponiendo hor del modelo: donde: : p i β p i i p + + βi i+ + ε i MODELO ARIMA(p,d,q SARIMA(P,D,Q En su form más generl el modelo ARIMA(p,d,q ARIMA(P,D,Q, S podrí escribirse como: ϕ - + ϕ - +...+ ϕ Ps+p+Ds+d -Ps- p-sd-d + + δ +U U - +... Qs+q U -sq-q Enendiendo que puede hber más de un proceso generdor de l serie (en l pre regulr en l escionl escribiendo un combinción de los modelos MA(q AR(p que hn precisdo de un serie de diferenciciones "d" en l pre regulr o "D" en l pre escionl pr que fuern escionrios. FUNCIONES DE UN PROCESO ESOCÁSICO ESACIONARIO Definido un proceso esocásico como escionrio ( se de form débil o fuere, se h
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin comendo que si cumple ls condiciones en senido esrico, mbién cumple ls condiciones en senido débil. Siendo sí, el proceso esrí perfecmene definido si conociermos su medi consne (µ, su vrinz consne (σ l covrinz enre cd pr de momenos diferenes en el iempo. Dicho éso: L función de uocovrinz vendrá definid por los disinos vlores que omrí dich covrinz cundo cmbimos el lpso emporl enre ls observciones de l serie que mnemos. Anlíicmene, se podrí expresr como: cov(, - E[( - µ ( - - µ ] donde, evidenemene, cundo el vlor de "" es cero, endrímos l vrinz de l función: cov(, E( - µ σ - L función de uocorrelción se define igulmene como: ρ cov(, vr( - vr( - como nos enconrmos ne un proceso definido como escionrio, l vrinz es consne, por lo que podemos escribir: ρ L función de uocorrelción de un proceso esocásico escionrio mnifies ls siguienes propieddes:.- _.- _, que Eso segur que el compormieno de l función no se explosivo. 3.- - (simerí ddo que si un proceso es escionrio, l covrinz de dos vribles leoris seprds por el mismo lpso de iempo es l mism. lim ρ 4.- 5 (proceso ergódico. infini Es úlim propiedd, que define l proceso como "ergódico", es l que posibili inferir vlores de un serie en función de l informción que sobre ell nos d su propio psdo, logrndo esimdores consisenes. Sólo si se d es propiedd, l pérdid de informción l no considerr l influenci de los infinios vlores obenidos en el psdo es cd vez más escs e, incluirlos, ñdirí poc informción pr l definición del proceso generdor de dos que se inen reproducir pr plicr l fuuro.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 3 Además de ls dos funciones neriores, se puede definir un ercer conocid como función de uocorrelción prcil, con el fin de ener en cuen los vlores de correlción enre dos vribles leoris seprds enre si "" períodos en función de los vlores inermedios enre ells. Es decir: Π corr(, - -, -,..., - + Si plnemos ls meores predicciones de e - como los resulnes de plner Mínimos Cudrdos Ordinrios (MCO siendo el primero de ellos del siguiene modo: ˆ α -+ α - +...+ α - - + Se puede escribir l función de uocorrelción prcil, si l medi es nul, como: Π cov[( - ˆ ( vr( - ˆ - - ˆ vr( - - ] - ˆ - Pudiendo demosrrse que: ρ -αρ - - α ρ Π -α ρ -α ρ - -...-α -...-α - - ρ ρ - APLICACIÓN DE ESAS FUNCIONES A MUESRAS CONCREAS En ese prdo se preender especificr esimciones de los vlores que crcerizn el proceso escionrio del ipo que se esá describiendo no pr el proceso esocásico generl, sino pr un mnifesción concre de ése rslucid en un serie emporl. Hbrá que esimr l medi (µ, pr lo que usremos l medi muesrl; l vrinz ( l función de uocovrinz (, pr lo que empleremos l fórmul de l covrinz muesrl l función de uocorrelción (ρ. Medi muesrl. Como se h dicho, el esimdor µe( será l medi muesrl: dicho esimdor cumplirá dos propieddes: Insesgdez.- l espernz de l medi de l serie será igul µ Eso se demuesr que:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 4 E( e( µ µ b Consisenci.- es decir, l vrinz se nul cundo mplimos l muesr l poblción siendo el esimdor insesgdo, propiedd que se cumplirá siempre que se dé l siguiene condición, que no desrrollmos: Función de uocovrinz muesrl. El esimdor de se obendrá según l siguiene expresión: C - + ( - ( - - que, pesr de ser sesgdo, dicho sesgo será deerminble cd vez más reducido según se umene l muesr. Función de uocorrelción muesrl. Pr su cálculo se recurrirá l cociene de funciones de uocovrinz del siguiene modo: r C C El esimdor pr l función de uocorrelción prcil empler se clculrá según el méodo recursivo de Durbin del siguiene modo: φˆ r φˆ i φˆ +, +,i φˆ i r -φˆ + - - +, + i i φˆ φˆ φˆ i i,+-i r ri +-i /i...
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 5 Emplendo ess fórmuls pr los primeros csos, podremos escribir: φˆ r φˆ 33 φˆ φ r φˆ 3 - -φˆ φˆ 3 r φˆ - -φˆ φˆ φˆ -φˆ r φˆ - r φˆ - -φˆ 33 r r r φˆ r r φˆ 3 φˆ -φˆ 33 φˆ PROCESO ESOCÁSICO ESACIONARIO LINEAL DISCREO Vmos definir un nuevo cso especil de un proceso esocásico que nos permi luego inenr enconrr lgo precido en l relidd que se fácilmene idenificble. como: Se conoce por proceso esocásico escionrio linel discreo quel que puede expresrse µ ++ -+ -+... donde: - es linel porque puede escribirse como combinción linel de los errores. - es ruido blnco (espernz covrinz nuls vrinz consne. - es discreo porque los lpsos emporles considerdos son uniformes (no h slos emporles disinos enre ls vribles considerds. El siguiene pso será especificr ls condiciones que nos segurn que ese proceso es escionrio, es decir que iene medi vrinz consnes que su covrinz sólo vrí cundo lo hce el espcio emporl que sepr ls observciones empleds pr clculrl. Pr ver ess condiciones, clculremos los momenos de primer segundo orden segurndo l escionriedd en senido débil. Medi consne:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 6 E( E( µ + + - +... µ + i i E( / i i k < Es decir l medi será consne en l medid en que exis l segund pre del sumndo que, l quedr muliplicd por l espernz del "ruido blnco" será finlmene cero, l medi quedrá igul µ. Vrinz consne: E( - µ E( µ - µ ++ - - +... E( - - +... - - +... σ ( +...+ + σ i i / Siendo enonces condición necesri pr que l vrinz exis que el úlimo sumorio se clculble (conver. Covrinz consne: E[( - µ ( - - µ ] E[(+ - - +...( - - - - - +...] E( - + E( - - + E( - - +... σ ( + + +... σ i i i+ Luego el proceso será escionrio en l medid en que se cumpln ess res condiciones:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 7 i i E( / i k i < i i < / i i+ < i Vens: Un vez definido ese proceso priculr, vmos ver resumidmene sus vens respeco no conr con él. En principio, si quisiermos definir un proceso esocásico en generl, endrímos, l menos, que definir sus momenos de primer segundo orden, pr lo cul serí necesrio esimr vrinzs, espernzs ( -/ covrinzs, lo que nos es imposible si sólo conmos con dos. Si el proceso fuer escionrio, sólo endrímos que esimr un espernz un vrinz (medi un vrinz consnes (- covrinzs (cov(, -, cov(, -,...; en ol ++(- + prámeros, lo que mpoco es posible. Si esmos ne un proceso esocásico escionrio linel discreo, sólo necesiremos conr con: > p+ q + siendo "p" "q" los órdenes de los rerdos de los modelos uorregresivos de medis móviles que hemos definido neriormene. MODELOS MA( Un vez enemos definids ls vens de conr con un proceso esocásico escionrio linel discreo, que podemos clculr ls funciones de uocovrinz uocorrelción, puede resulr ineresne ver que vlores omn éss en quellos csos sencillos que luego nos permin comprobr si series económics generles pueden ener un compormieno similr, simplemene cudiendo l comprción de sus correlogrms (de l función de uocorrelción ol prcil. El primer cso nlizr será el modelo de medis móviles de orden uno, que se define como: µ + + - Ese modelo mbién se puede escribir en función del operdor rerdo, comendo, del siguiene modo:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 8 µ (L / (L- L Se dice que un modelo MA(q es inverible en l medid en que se pued escribir como un proceso uorregresivo de orden infinio. Pr que es circunsnci pued drse, será condición necesri que ls ríces de: -(L cign fuer del círculo unirio, lo que se cumplirá siempre que < Es siución proviene de l conversión del modelo de medis móviles en modelo uorregresivo. Si escribimos el MA( como: µ + + - Podemos hcer sucesivs susiuciones hs llegr l modelo uorregresivo: - - - µ - - µ ( - - µ - - + µ + + - - µ -. -... - - +...+ µ ( 3 +... n- + - n -n si n : - - +...+ µ - + donde es necesrio que < pr que l progresión geoméric que se produce sobre los prámeros se clculble no explosiv. El siguiene pso, un vez definid l condición de inveribilidd, es definir ls funciones que se hn descrio pr los procesos esocásicos en generl pr el cso del modelo MA(. Espernz:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 9 E( E( µ ++ - E( µ +E( E( - µ Vrinz: vr( E( - µ E( µ ++ - - µ E( - + - σ σ + Función de uocovrinz: cov(, - E(( + E(( - µ ( - ( - - - - µ E( - - - - - - E( - σ cov(, - E(( - µ ( - - µ E(( - ( - - - E( - - - - - - - - E( - - - - - - - - Luego l función de uocovrinz se nul pr vlores de "" mores que uno es un frcción de l vrinz del error pr el vlor de. Función de uocorrelción:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin Clculd como cociene enre l función de uocovrinz l vrinz, l como se vio nes, endrímos: ρ σ ρ ( σ ( ρ / > L función de uocorrelción prcil se clculrí siguiendo l siguiene expresión, que no demosrmos: φˆ (+ - Definids ls funciones crcerísics de los procesos esocásicos pr el cso concreo del MA(, podemos enuncir ls siguienes priculriddes de ese ipo de proceso:.- Siempre es escionrio..- Pr ser inverible, es necesrio que <. 3.- L ρ sólo iene un puno significivo. El modelo "olvid" l correlción con períodos disinos l inmedimene nerior el correlogrm sólo endrá un puno significivo. 4.- L función de uocorrelción prcil no se nul, pero endrá un compormieno morigudo hci cero. MODELOS AR( Definido el modelo AR( como: φ + φ - + que mbién puede escribirse como: φ(l φ + (- φ(l-φ L diferenci de los modelos de medis móviles, los uorregresivos no son escionrios por definición, pr que lo sen, h de cumplirse que ls ríces de l siguiene ecución sen mores que uno:
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin φ (L - φ L lo que nos permiirí escribirlo como un modelo de medis móviles, en definiiv, eso supone que los coeficienes φ hn de ser menores que. Psmos describir ls funciones definids: Espernz memáic: E( E( φ - + φ + φ E( - + φ + donde, como el proceso es escionrio, ls espernzs E( E( -...E( - µ puedo escribir: E( µ φ µ + φ φ µ -φ Vrinz: Pr hcer los cálculos con mor fcilidd es conveniene poner el modelo uorregresivo en desviciones l medi, sin que ello supong ningún cmbio en ése (se puede hcer l prueb escribiendo el modelo en desviciones llegndo l modelo norml. El modelo en desviciones l medi lo definiremos como: ~ φ ~ - + donde: ~ - - - µ φ - -φ
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin Pr clculr l vrinz, escribimos el momeno de segundo orden: φ vr( E( φ E( ~ - - E( φ + + φ ~ ~ - + + E( + φ E( ~ - - ddo que el proceso es escionrio: E( ~ E( ~ - E( σ como el proceso en desviciones l medi se puede escribir como un proceso de medis móviles por lo que hemos viso neriormene, podrímos escribir: E( ~ σ -h /h si h > Por odo lo cul: φ + σ σ -φ
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 3 Función de uocovrinz: cov( ~ ~ - E( ~ - ( φ ~ - + φ cov( ~ ~ - σ φ -φ E( ~ - ( φ ~ - + φ φ φ σ -φ Lo que generlizndo, se podrí escribir como: σ -φ φ Función de uocorrelción ol ρ φ / Función de uocorrelción prcil φ ρ / si > modo: Definids ods ess funciones, podemos crcerizr el proceso uorregresivo del siguiene.- Siempre es inverible (esá direcmene inverido..- Pr ser escionrio, h de cumplirse que φ <. 3.- L función de uocorrelción ol no se nul, pero se v morigundo hci cero. 4.- L función de uocorrelción prcil se nul pr rerdos superiores uno.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 4 FAC FAP MA(q Se nul pr rerdos superiores q Decrecimieno rápido sin llegr nulrse AR(p ARMA( p,q Decrecimieno rápido sin llegr nulrse Decrecimieno rápido sin llegr nulrse Se nul pr rerdos superiores p Decrecimieno rápido sin llegr nulrse IDENIFICACIÓN DEL MODELO Aunque podrímos seguir definiendo ls crcerísics de oros procesos ARIMA de órdenes mores, no iene mor inerés un vez se h enendido el procedimieno sí ineres precisr l form que doprín los correlogrms de ess funciones porque, fruo de su comprción con los que obendremos con nuesrs series de inerés, podremos socir nuesr serie emporl de esudio un proceso ARIMA que idenifique su proceso generdor de dos, no psdo como fuuro. Los correlogrms o funciones de uocorrelción ol prcil esán disponibles en el libro de Pulido,A(989: "Predicción Económic Empresril" Edioril Pirámide. De form mu poco cdémic, el proceso de idenificción consisirá en clculr ls funciones de uocorrelción ol prcil de nuesr serie (un vez esmos seguros de que és cumple ls condiciones que definen un proceso esocásico escionrio comprr sus correlogrms con los correspondienes los modelos eóricos AR(p,MA(q o ARMA(p,q. En principio, si el proceso esá bien idenificdo, procederemos su esimción, si nlizmos los correlogrms de los residuos obenidos en l esimción, serán "ruido blnco". Si éso no es sí, hbrá que relizr un nuev esimción incorporndo l esrucur más precid l modelo eórico que podmos inuir con l comprción con los modelos eóricos. Pr sber cundo esmos ne un "ruido blnco", se pueden hcer ls siguienes comprobciones: - Medi nul Puede observrse en el gráfico de residuos si el error se mueve en orno l vlor cero o bien clculrse el cociene enre l medi l vrinz muesrl de los residuos. Si ese rio es inferior, podemos concluir (con un ε,5 que l medi no es significivmene disin de cero. - Vrinz consne Observndo el gráfico de los residuos puede nlizrse l consnci de l vrinz del error. En cso de heerocedsicidd es recomendble un rnsformción logrímic en l serie originl. - Incorrelción
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 5 Deben observrse los coeficienes de uocorrelción muesrl de los residuos comprobr que ninguno de ellos super el vlor de ls bnds de significividd l 5% (±,96(/ ½.El vlor ½ es un proximción de l vrinz sinóic pero resul sólo decud pr vlores grndes de "". Se conse,por no, uilizr disin mpliud de bnds como por eemplo ±(/ ½ pr los érminos más cercnos cero. El esudio de ls funciones de uocorrelción muesrl uocorrelción prcil muesrl de los residuos, pueden servirnos fácilmene pr el replnemieno del modelo inicil. El conrse de l "Q" de Box-Pierce nliz l hipóesis nul de que: H : ρ (ρ (ρ 3 (...ρ M ( suponiendo que l expresión: Q M Σ r ( ˆ o l lerniv propues por Lung-Box: Q * ( + M Σ ( - - r (ˆ se disribue como un chi-cudrdo con M-k grdos de liberd. Oros conrses lernivos son los de Vndele (983, que nliz ls uocorrelciones muesrles de los residuos rnsformdos medine un diferenci regulr el de Peñ (983. BREVE RESEÑA SOBRE LA ESIMACIÓN DE LOS MODELOS ARIMA Se nlizrá coninución el proceso de esimción de los modelos ARMA(p,q x ARMA(P,Q, cenrndo los desrrollos en el cso específico de un modelo sin componene escionl, es decir, un ARMA(p,q ó ARIMA (p,d,q: p q ( -φ L -φ L -...-φ L w δ +(- L - L -...- q L p donde se eniende por W l serie en diferencis donde, como siempre, se supone un ruido blnco con medi cero vrinz consne (σ u. Definid es función genéric, el obeivo principl es esimr el vecor formdo por los prámeros correspondienes l pre uorregresiv φ de medis móviles (incluido, si fuer necesrio, el érmino independiene sí como l vrinz residul. Problems iniciles: los vlores iniciles l no linelidd.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 6 L nurlez del modelo implic que l vrible explicr se hce depender de vlores psdos de l mism errores comeidos en l esimción de dichos vlores psdos. De es form el plnemieno de minimizción de los errores como procedimieno de esimción llev necesrimene pred l necesidd de conocer vlores psdos de l vrible endógen de los errores que l expresión del error, por eemplo pr un período "" serí: w -φ W - -...- -...-φ p w -p -δ u - q -q Al conuno de vlores iniciles requeridos de l vrible endógen desde "-" "-p" de los errores desde "-" "-q" los noremos por los vecores: W (W ( - -,W, - -,...,W,..., -q - p El procedimieno de esimción que llev implíci l especificción priori de unos vlores iniciles se denomin "enfoque condicionl", mienrs que quel en el que se esimn simulánemene los vlores iniciles los prámeros se denomin "enfoque exco". Además de ese primer problem, se señl el de l no linelidd del modelo cundo ese inclue medis móviles, lo que puede comprobrse fácilmene prir de un rnsformción de l especificción de un modelo sencillo [por eemplo MA(]: - - + - pr + pr + ( + + Priendo de es expresión, se observ como l minimizr: ˆ Σ
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 7 ( 3 en el proceso de esimción, es expresión no será linel. Por ello, un primer conclusión es que se cul se el méodo de esimción uilizdo (Mínimos cudrdos o Máxim verosimiliud deberán plicrse lgorimos de resolución no lineles. PREDICOR ÓPIMO. "L predicción es el fin úlimo primordil del nálisis univrine de series emporles" 4 Un vez idenificdo esimdo el modelo ARIMA, se plne su uilizción pr conseguir l meor predicción de los vlores fuuro de un serie prir de su propi hisori. El primer inerrogne que surge se referirá l deerminción del PREDICOR ÓPIMO pr ese fin. Inuiivmene, el meor predicor posible será "el que menos se equivoc" o, en érminos esdísicos, quel que minimiz el error cudráico medio respeco oro poencil predicor lernivo. Eso se puede expresr: E[( +l -ˆ (l I ] E[( +l -ˆ * (l I ] donde (l serí el vlor de predicción de l serie pr el período (+l, condiciondo los vlores hisóricos de ( -, -,... Se demuesr que el predicor elegido es ópimo cundo su vlor esperdo es igul l vlor rel de predicción condiciondo l informción exisene en el período respeco l serie que nos ocup; es decir: ˆ (l E[ +l I ] El error cudráico medio de un predicor rbirrio siempre es mor que quel cuo vlor coincide con l espernz del vlor rel en el período que esemos considerndo. Es propiedd será fundmenl pr el poserior desrrollo de l predicción punul. PREDICCIÓN PUNUAL Priendo de un modelo ARIMA sobre el que se hn relizdo un serie de diferenciciones pr logrr un serie escionri, el plnemieno de l predicción se hce sobre los vlores reles de l serie, por enender que es de ésos de los que se quiere obener vlores fuuro. Es circunsci 3 El érmino " " hce referenci los vlores disponibles de l serie un vez omds diferencis no en l componene regulr (d como en l escionl (D: N - d - sd 4 RIVEZ,F.J. AZNAR,A.: "Méodos de predicción en economí" Volumen II, Análisis de series emporles" Pgs.4-67. Edioril Ariel, 993.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 8 deberá ser omd en cuen l hor de inerprer los subíndices que compñn ls fórmuls de ese prdo. L prición de órdenes uorregresivos superiores "p" será debid dos circunsncis: rslción del modelo períodos fuer del espcio emporl conocido plicción de ls expresiones obenids pr W ( - L d direcmene los vlores de l serie sin rnsformr (susiuir W por su vlor en cd cso. En su form más generl el modelo ARIMA(p,d,q ARIMA(P,D,Q, S podrí escribirse como: ϕ - + ϕ - +...+ ϕ Ps+p+Ds+d -Ps- p-sd-d + + δ + - +... Qs+q -sq-q El desrrollo eórico se hce pr un modelo sin pre escionl, sin que ello supong pérdid de generlidd en los resuldos. El modelo podrí escribirse enonces como: φ * p (L W δ * q (L como sbemos que W ( - L d, l expresión nerior se puede reescribir como: ϕ * p * (L δ q(l donde: ϕ(l -ϕ L -ϕ L +...+ ϕ p+d L p+d + (L - L+... q L q El modelo ARIMA correspondiene serí: ϕ - + ϕ - +...+ ϕ p+d -p-d + + δ + - +... q -q En l medid en que prece l perurbción leori en l definición de cd vlor de predicción de l serie, el modelo es suscepible de ser escrio como función infini de los vlores de l perurbción leori del período considerdo de los neriores (no hbrí más que desper el vlor de l perurbción leori de l expresión generl de un modelo ARIMA.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 9 Pr hcer predicción h que ener en cuen dos supuesos inciles:.- Los prámeros de ls funciones presends son conocidos..- Ls perurbciones leoris se conocen en el período muesrl iene crácer de ruido blnco pr los períodos de predicción. eniendo en cuen mbos supuesos, se puede especificr un modelo ARIMA pr definir el vlor de predicción en función de l serie en "p" períodos neriores (por l pre uorregresiv de los "q" errores comeidos l esimr l serie en los "q" períodos previos (por l pre de ls medis móviles. Ddo que son los vlores reles quellos sobre los que es verddermene ineresne hcer predicción, se plne l ecución de predicción de un período (+l como: + ϕ l+ -l (l ˆ ϕ +...+ ϕ ˆ +l- p-d p+d (l -+ ϕ -...- ˆ + δ - + ϕ l l- - (l +...+ l+ - q +l-q Es conveniene remrcr res specos de l predicción siguiendo es formulción: - Los vlores de predicción se clculn de form secuencil. Pr hcer posible l plicción de l pre uorregresiv del modelo en períodos disinos l primero de predicción, se om el vlor predicho en el inmedimene nerior ( (l-. - Por l condición necesri pr esr ne el predicor ópimo (el vlor esperdo de l serie en el período de predicción es igul l predicho si es ópimo, se demuesr que ls perurbciones leoris empleds en l predicción son sólo ls de períodos neriores, es decir: + que se h supueso que en el período de predicción, ls perurbciones leoris ienen espernz nul. Pr relizr ls sucesivs predicciones de (l enemos que conr con unos vlores pr, -,... +l-q. Como les se omrán: + + -ˆ + -l (l - Ls predicciones ARIMA son dpivs los resuldos obenidos pr (+l, con l informción disponible hs el período, son los mismos que ls que obendrímos pr el mismo período omndo como bse informiv hs -, ñdiendo un érmino de error.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 3 CARACERÍSICAS DE LAS PREDICCIONES REALIZADAS CON MODELOS ARIMA - Modelos AR(p: l predicción iende µ (medi del proceso medid que umen el horizone emporl de l predicción. - Modelos MA(q: dd l memori limid que crceriz esos procesos, l predicción es igul µ (medi del proceso cundo el horizone emporl de l predicción es mor que el orden del proceso (q. - Modelos ARMA(p,q: prir de "q" períodos fuuros l predicción iende µ (medi del proceso medid que umen el horizone emporl de l predicción. - Modelos ARI(p,d e IMA(d,q: l predicción no iende µ sino que será un líne rec que pre de ˆ ( 88con pendiene igul l medi del proceso w (serie resulne de ls rnsformciones necesris pr hcerl escionri. SELECCIÓN DE MODELOS Si enendemos que un predicción es meor que or cundo comee menor error, los crierios de selección de modelos serín el error cudráico medio (ECM, error bsoluo medio (EAM error bsoluo porcenul medio (EAPM. Esos indicdores se clculrín período hisórico, es decir, se clculrín los vlores que el modelo ofrece pr ls H úlims observciones se comprrín con el vlor rel, del siguiene modo: ECM(H H H l e -H (l H H l [ -H+l - ˆ -H (l ] EAM(H H H l e -H (l H H l -H+l - ˆ -H (l EAPM(H H H l e -H (l * -H+l H H l -H+l - ˆ -H+l -H (l * El problem es que esos indicdores no ienen en cuen l esrucur esocásic del modelo, no informn sobre lgun crcerísic esocásic supues sobre el período exrmuesrl.
Progrm Ciius.- écnics de Previsión de vribles finnciers Págin 3 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA AZNAR, A. RIVEZ, F.J.(993: Méodos de Predicción en Economí II. Análisis de series emporles Edioril Ariel Economí, Brcelon 993. ESPASA, A. CANCELO, J.R. (993: Méodos cuniivos pr el nálisis de l counur Económic Alinz Edioril, Mdrid 993. PULIDO, A. PÉREZ GARCÍA, J. (: Modelos Economéricos Edioril Pirámide, Mdrid. Enders, W. (995. Applied Economeric imes Series. John Wile & Sons, Inc. Unied Ses.