5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x k Costruiremos u poliomio P(x de grado que pase por estos + putos. El poliomio P(x puede luego usarse como ua aproximació a f(x e todo el itervalo [a,b]; o obstate, si queremos coocer la fució error E(x = f(x P(x, etoces sí ecesitaremos coocer f (+ (x o bie ua cota de su tamaño como ( M max f ( x axb o Existe fucioes especiales y = f(x, que aparece e aálisis estadísticos o cietíficos, para las que sólo se dispoe de ua tabla de valores; es decir, sólo coocemos + putos (x k,y k y es ecesario u método para aproximar f(x e abscisas que o está tabuladas. Si el error de los valores tabulados es sigificativo, etoces es mejor usar los métodos de aproximació. Si, por el cotrario, los putos (x k,y k tiee u grado alto de precisió, etoces podemos cosiderar el poliomio y = P(x que pasa por todos ellos como ua buea aproximació de f (x. Cuado x < x < x, la aproximació P(x se cooce como valor iterpolado; si se tiee x < x o bie x > x, etoces P(x se cooce como valor extrapolado. Los poliomios se utiliza para diseñar algoritmos de aproximació de fucioes, para derivar e itegrar uméricamete y para dibujar, utilizado u ordeador, curvas que debe pasar por putos especificados de atemao. Dados + putos x, x,..., x perteecietes al itervalo [a,b], el poliomio de iterpolació de grado meor o igual que que pasa por esos putos es úico. Recordemos brevemete que la forma eficiete de evaluar u poliomio P(x: es el método de Horer: P( x a x a x a x a x a t P( x ( ( a x a xa x a 5..- POLIOMIO DE ITERPOLACIÓ DE LAGRAGE Iterpolació sigifica estimar el valor descoocido de ua fució e u puto, tomado ua medida poderada de sus valores coocidos e putos cercaos al dado. E la iterpolació lieal se utiliza u segmeto rectilíeo que pasa por dos putos que se cooce. La pediete de la recta que pasa por dos putos (x,y y (x,y viee dada por m = (y -y / (x -x, y la ecuació de la misma es: x x y P( x y ( y y x x 53
f (x y P P x Figura. El matemático fracés Joseph Louis Lagrage llegó a este mismo poliomio usado u método ligeramete distito. Si escribimos y P x y x x y x x ( x x x x etoces cada uo de los sumados del miembro derecho de esta relació es u térmio lieal, por lo que su suma será u poliomio de grado meor o igual que uo. Deotemos los cocietes x x x x L, ( x y L, ( x x x x x U secillo cálculo muestra que L, (x =, L, (x =, L, (x = y L, (x = ; es decir, el poliomio P (x tambié pasa por los dos putos dados: P ( x y y y y P ( x y y y Los térmios L, (x y L, (x defiidos ateriormete se llama poliomios coeficietes de Lagrage para los odos x y x. Usado esta otació, podemos escribir P (x como ua suma P ( x y L ( x k, k k Cuado las ordeadas y k viee dadas por y k = f(x k, el proceso de utilizar P (x para aproximar f(x e el itervalo [x,x ] se cooce co el ombre de iterpolació lieal. Geeralizado el poliomio P (x de grado meor o igual que que pasa por + putos (x,y, (x,y,..., (x,y viee dado por: P ( x y L ( x k, k k dode L,k es el poliomio coeficiete de Lagrage para los odos x, x,..., x defiido por ( x x ( x xk ( x xk ( x x L, k ( x ( x x ( x x ( x x ( x x k k k k k k que multiplica a y k e el sumatorio y se ha de aular e todos los odos excepto e x k dode toma el valor : L,k (x j = si j = k y L,k (x j = si j k Resulta cómodo itroducir la otació compacta para el producto y escribir: 54
L, k ( x ( x x j ( xk x j j j jk jk 5.3.- TÉRMIOS Y COTAS DEL ERROR Es importate eteder la aturaleza del térmio del error que se comete cuado se utiliza u poliomio de iterpolació para aproximar ua fució f(x. Teorema. Supogamos que f C + [a,b] y que x, x,..., x [a,b] so + odos de iterpolació. Si x [a,b], etoces f(x = P (x + E (x dode P (x es el poliomio que iterpola a f(x e los + odos y que podemos usar para aproximar f(x: f ( x P ( x f ( x L ( x k, k k y E (xel térmio del error que se puede escribir como para algú valor = (x del itervalo [a,b]. E ( ( x x( x x ( x x f ( ( x (! 5.4.- POLIOMIO DE ITERPOLACIÓ DE EWTO Hay ocasioes e las que resulta útil costruir varios poliomios aproximates P (x, P (x,..., P (x y, después, elegir el más adecuado a uestras ecesidades. Si usamos los poliomios de iterpolació de Lagrage, uo de los icoveietes es que o se puede utilizar los cálculos realizados e la costrucció de P - (x para la de P (x; cada poliomio debe costruirse idividualmete y para calcular poliomios de grado elevado es ecesario hacer muchas operacioes. Vamos a seguir ahora u camio de costrucció distito, e el cual los poliomios de iterpolació, que se llamará de ewto, se calcula mediate u esquema recursivo: P ( x a a ( x x P ( x a a ( x x a ( x x ( x x P ( x a a ( x x a ( x x ( x x a ( x x ( x x ( x x P ( x a a ( x x a ( x x ( x x 3 3 a ( x x( x x( x x ( x x El poliomio P (x se obtiee a partir de P - (x usado la recurrecia: P P ( x a ( x x ( x x ( x x ( x x El poliomio P (x calculado así es el poliomio de iterpolació de ewto. 55
5.4..- Multiplicació ecajada Para evaluar el poliomio P (x, lo más eficiete (meos operacioes es usar el esquema de multiplicacioes ecajadas. Para P 3 (x, por ejemplo: b g P ( x ( a ( x x a ( x x a ( x x a 3 3 de maera que, si deseamos evaluar P 3 (x para u valor dado de x, etoces operamos desde detro hacia afuera formado sucesivamete las catidades: S a Esta última catidad S es P 3 (x. 3 3 S S ( x x a 3 S S ( x x a S S ( x x a 5.4..- Cálculo del Poliomio de Iterpolació de ewto Supogamos que queremos ecotrar los coeficietes a k de todos los poliomios P (x, P (x,..., P (x que os sirve para iterpolar ua fució dada f(x. Etoces cada P k (x es el poliomio de ewto que tiee como odos x, x,..., x k. Para el poliomio P (x, los coeficietes a y a tiee u sigificado familiar: f ( x P ( x a a ( x x a Por tato: a f ( x f ( x P ( x a a ( x x f ( x a ( x x y despejado a : a f ( x f ( x x x Es decir, a es la pediete de la recta que pasa por los putos (x,f(x y (x,f(x. Los coeficietes a y a so los mismos para P (x y P (x. Para cotiuar, ahora evaluamos la expresió e el odo x y obteemos: f ( x P ( x a a ( x x a ( x x ( x x de dode se obtiee que tambié se puede escribir como a F HG a f ( x a a( x x ( x x ( x x f ( x f ( x f ( x f ( x x x x x I KJ ( x x El cálculo de los coeficietes se puede realizar de forma más rápida y secilla utilizado la otació de las diferecias divididas. Defiició: Diferecias divididas. Las diferecias divididas de ua fució f(x se defie como: la diferecia dividida de orde cero: f [ x ] f ( x f [ xk ] f [ xk ] la diferecia dividida de primer orde: f [ xk, xk ] x x k k k k 56
f [ xk, xk ] f [ xk, xk ] la diferecia dividida de segudo orde: f [ xk, xk, xk ] x x Las diferecias divididas de orde superior se forma de acuerdo co la siguiete fórmula de recursió: f [ xk j,, xk ] f [ xk j,, xk ] f [ xk j, xk j,..., xk ] x x k k j que se utiliza para calcular la Tabla de Diferecias Divididas: x f ( x f ( x f ( x x x x f ( x x x f ( x x x f ( x 3 3 3 3 f ( x f ( x x x f ( x 3 f ( x x x 3 TABLA DE DIFERECIAS DIVIDIDAS x x k x x k 3 3 Co esta otació el coeficiete a del poliomio P (x se puede expresar como: f [ x, x ] f [ x, x] a f x, x, x x x Teorema. (Poliomio de iterpolació de ewto. Supogamos que x, x,..., x so + úmeros distitos e [a,b]. Etoces existe u úico poliomio P (x de grado meor o igual que tal que f(x j = P (x j para j =,,..., La forma de ewto de este poliomio iterpolador: P ( x a a( x x a ( x x( x x ( x x siedo ak f [ x, x,, xk ] para k,,, Así: P (x = f (x P (x = f (x + f [x,x ](x x P (x = f (x + f [x,x ](x x + f [x,x,x ](x x (x x P (x = f (x + f [x,x ](x x + +f [x,x,..,x ](x x (x-x E este poliomio los odos se ha colocado e el orde x, x,..., x. Si se hubiera colocado los odos e otro orde, por ejemplo x, x,..., x, x, el poliomio obteido habría sido: P ( x f ( x ( x x x ( x x ( x x 57
pero este poliomio tiee que coicidir co el aterior, luego: f [ x, x,..., x ] f [ x, x,..., x ] es decir, la diferecia dividida es idepediete del orde e que se tome los odos. E resume las diferecias divididas tiee las siguietes propiedades: ª.- La diferecia dividida de orde K es el coeficiete de x k e P k (x. ª.- La diferecia dividida de cualquier orde es idepediete del orde e que se tome los odos. 3º.- La diferecia dividida de orde K se calcula recursivamete a partir de dos diferecias divididas de orde K. 5.4.3.- Relació etre la diferecia dividida de orde y la derivada eésima de f. Térmio de error. Teorema. Sea f C [a,b] y x, x,..., x que f [x, x,..., x ] = f ( /! + putos distitos e [a,b]. Etoces (a,b tal Demostració. Sea g(x = f(x P (x, siedo P (x el poliomio de iterpolació de ewto de f(x, e los + putos, es decir, g( x f ( x P ( x f ( x ( f ( x f [ x, x ]( x x f [ x, x,, x ]( x x ( x x ( x x g(x se aula e x, x,..., x, y aplicado el teorema de Rolle geeralizado existirá u (a,b tal que g ( =, es decir, f ( f ( P ( f (! f xx x f xx x! Utilizado esta relació, el térmio de error: E siedo z (a,b. f ( ( x (! i ( x x f x, x,, x, z ( x x i Esta expresió permite estimar el error del poliomio de iterpolació de grado cuado o se cooce la fució, siempre que sea posible añadir u odo más y obteer la diferecia dividida de orde +. 5.5.- ITERPOLACIÓ CO ODOS EQUIDISTATES El cálculo del poliomio de iterpolació se simplifica cuado los odos está igualmete espaciados, esto es, x i+ x i = h (i =,,...,. E este caso el poliomio se calcula utilizado el cocepto de diferecia fiita. Defiició: Diferecia fiita progresiva. Se defie como diferecia fiita progresiva de ua fució f(x e u puto x, y se represeta por f (x a la diferecia: f (x = f(x f(x i i 58
Esta diferecia fiita es la de primer orde. Del mismo modo se puede defiir la de segudo orde: f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x k k k E geeral: f ( x f ( x f ( x La relació etre las diferecias fiitas progresivas y las diferecias divididas se obtiee: f ( x f ( x f ( x f xx f ( x h f xx x x h x x x f ( x f ( x h E geeral: f ( x h! f xx x Defiició: Diferecia fiita regresiva. f ( x h x Se defie como diferecia fiita regresiva de f(x e x, y se represeta por f(x, a la diferecia: f ( x f ( x f ( x Esta es la diferecia fiita regresiva de primer orde. La de segudo orde será: y la de orde k: f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x k k k f ( x f ( x f ( x Ambas diferecias fiitas está relacioadas etre sí: f ( x f ( x f ( x f ( x E geeral: f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x k k k f ( x f ( x k k! h f xk x k x 5.6.- FÓRMULAS DE EWTO PROGRESIVA Y REGRESIVA A partir de la fórmula de ewto co diferecias divididas y de la relació etre estas últimas y las diferecias fiitas progresivas se tiee: P ( x f ( x ( x x x ( x x ( x x f xx x ( x x ( x x Haciedo el cambio de variable x = x + t h co t(,: x x ( t h ; x x ( t h ; ; x x ( t h 59
f ( x f ( x P ( x th q ( t f ( x th th( t h h! h ( x th( t h( t h! h f ( x f ( x f ( x f ( x t t( t t( t t( t!! k f ( x t k F t( t ( t k f ( x k! H G I k K J k Las diferecias fiitas progresivas e x se obtiee formado la siguiete tabla y tomado los elemetos de la diagoal descedete: f ( x f ( x f ( x f ( x k 3 f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x 3 f ( x TABLA DE DIFERECIAS FIITAS PROGRESIVAS Si se hubiese tomado el poliomio de ewto co diferecias divididas tomado los odos e el orde x, x -,..., x, etoces el poliomio resultate sería: P ( x f ( x ( x x x ( x x ( x x Haciedo el cambio de variable: x = x + t h co t(,: x x th; x x ( t h, x x ( t h y teiedo e cueta que se obtiee: f x f x f xx x ( ( ; ; h! h f ( x f ( x P ( x P ( x th q ( t f ( x t h t h ( t h h! h f ( x f ( x f ( x t h ( t h ( t h f ( x t t( t!!! f ( x t k F I t( t ( t f ( x! k Las diferecias fiitas regresivas e x se obtiee formado la tabla correspodiete, y tomado los elemetos de la diagoal ascedete. k Las tablas de diferecias fiitas progresivas y regresivas so la misma. Solo cambia la otació. E la tabla de diferecias fiitas progresivas todo está refereciado a x mietras que e la tabla de diferecias fiitas regresivas todo está refereciado a x. HG KJ 6
Si el puto e el que se quiere iterpolar está próximo a x es coveiete usar diferecias fiitas progresivas y si está próximo a x diferecias fiitas regresivas. Si se cosidera todos los odos el poliomio de iterpolació calculado co diferecias fiitas progresivas es el mismo que el calculado co diferecias fiitas regresivas. f ( x f ( x f ( x f ( x 4 f ( x f ( x f ( x 3 f ( x f ( x f ( x f ( x 3 f ( x 4 3 f ( x f ( x 3 f ( x 4 TABLA DE DIFERECIAS FIITAS REGRESIVAS 5.7.- ITERPOLACIÓ POLIOMIAL A TROZOS Se podría supoer que el error cometido al aproximar ua fució mediate el poliomio de iterpolació dismiuye a medida que aumeta el grado de dicho poliomio; si embargo esto o es así. U poliomio de grado puede teer extremos relativos y por lo tato su gráfica puede presetar oscilacioes importates. Este feómeo se cooce como efecto Ruge. E la gráfica de la figura se represeta la fució f (x = /(+x y el poliomio de grado que iterpola a f e los putos 5, 4,...,,..., 4, 5. 3 4 3 4 4 Figura Para resolver este problema se emplea la iterpolació poliomial a trozos, que cosiste e ir defiiedo poliomios de grado bajo que iterpola a la fució e dos odos cosecutivos. Así, S k (x es el poliomio que iterpola a f e dos odos cosecutivos (x k,y k y (x k+,y k+. El cojuto de fucioes {S k (x} forma la curva 6
poliomial a trozos o splie. El ajuste de ua curva poliomial a trozos a u cojuto de putos dados tiee aplicacioes e los campos del diseño asistido por ordeador, fabricació asistida por ordeador y sistemas de geeració de gráficas mediate ordeador. Lo más secillo sería uir los odos mediate segmetos rectilíeos, pero la gráfica de esta fució o es suave, es decir, la derivada primera o es cotiua e los odos. Tambié se podría utilizar poliomios de segudo grado, pero co éstos o se puede asegurar la cotiuidad de la derivada seguda. Los poliomios más utilizados so los cúbicos. Co estos poliomios se cosigue que la fució S(x (cojuto de poliomios de grado 3, uo diferete etre cada dos odos cosecutivos iterpole al cojuto de datos y tega derivadas primera y seguda cotiuas e el itervalo completo [x,x ]. La cotiuidad de S''(x sigifica que el radio de curvatura está defiido e todos los putos del itervalo. Defiició: Splie cúbica iterpoladora. Supogamos que se tiee como datos + putos (x k,y k (co k =,..., cuyas abscisas está ordeadas de forma creciete. Se dice que ua fució S(x es ua splie cúbica iterpoladora para dichos datos si existe poliomios de tercer grado S k (x que se puede escribir e térmios de uos coeficietes a k, b k, c k y d k tales que: º.- S(x = 3 S( x a b ( x x c( x x d( x x ( x x x 3 Sk ( x ak bk ( x xk ck ( x xk dk ( x xk ( xk x xk 3 S ( x a b ( x x c ( x x d ( x x ( x x x Esto idica que S(x es u poliomio de tercer grado defiido a trozos. º.- S k (x k = y k (k =,,...,. Esto idica que S(x iterpola los datos. 3º.- S k (x k+ = S k+ (x k+ (k =,,...,. 4º.- S' k (x k+ = S' k+ (x k+ (k =,,...,. 5º.- S'' k (x k+ = S'' k+ (x k+ (k =,,...,. Estas tres últimas relacioes sigifica que S(x es ua fució cotiua e el itervalo [x,x ], co derivadas primera y seguda cotiuas e el mismo itervalo. (Co esto se evita las esquias que se produce co la iterpolació lieal. Para determiar S(x hay que calcular los coeficietes a k, b k, c k y d k, que so e total 4. Para ello se platea u sistema de ecuacioes lieales a partir de las relacioes ª, 3ª, 4ª y 5ª, obteiédose (+ + ( + ( + ( = 4 ecuacioes. Esto os deja dos grados de libertad para calcular los coeficietes. Estos dos grados de libertad se llama restriccioes e los extremos, porque ormalmete so los valores de S'(x o de S''(x e los extremos. Etre las splies más utilizadas se tiee: - Splie atural: S''(x = S''(x = ; y 6
- Splie co codicioes de cotoro: S'(x = f '(x y S'(x = f '(x. 63
5.8.- TEMA 5. EJERCICIOS.. Estudiar el problema siguiete: Hallar u poliomio de grado tal que: p( x z ; p( x z ; p ( x z. Queda determiado u poliomio p(x de grado 3 por los siguiete datos?: a p(, p(, p'(, p''( b p(, p'(, p'''(, p''( / 3. Se desea iterpolar ua fució f(x utilizado u poliomio de la forma p(x = a + b x coociedo f(x e dos putos dados x, x. Estudiar el problema de iterpolació correspodiete. 4. Determiar el poliomio de iterpolació de Lagrage de grado o mayor que dos, que tome los valores,, e los putos,,, respectivamete. Sol: p (x=x+ 5. Supógase que se tiee calculada ua tabla de diferecias divididas para ua fució f(x e los putos x, x,..., x por la cual se cooce el poliomio de iterpolació p (x. Si se desea añadir u puto más x + y hallar el uevo poliomio de iterpolació p + (x, qué cálculos hay que realizar? 6. a Costrúyase la tabla de diferecias divididas para la fució f(x = x 3 e los putos x =, x =, x = 3, x 3 = 4. A partir de ella escríbase la expresió del poliomio de iterpolació de f(x e la forma de ewto. b Escríbase tambié e la forma de Lagrage y cométese el resultado. Sol.: p 3 (x = x 3 7. E el ejercicio aterior, escríbase el poliomio de iterpolació de f(x e x =, x =, x = 3, e las formas de ewto y Lagrage. Comprobar las vetajas de la primera al añadir u puto más, el x 3 = 4, y llegar a los resultados del ejercicio aterior. Sol.: p (x = 4x -3x ; p 3 (x = x 3 8. Determiar el poliomio de iterpolació de grado = 3 que pasa por los putos dato de la tabla, siguiedo el orde idicado: i 3 x i 3 4 y i 5 5 55 Sol.: p(x = x 3 x + 7x 5 9. Escríbase la expresió del poliomio de iterpolació si se cooce úicamete los datos f [x ], f [x, x ],..., f [x,..., x ], además de los valores de x,..., x. Sol.: p (x=f(x +f[x x - ](x- x + f[x x - x - ](x- x (x- x - +...+ + f[x x - x - x ] (x- x (x- x -...(x-x. Si e la fórmula de ewto se prescide de los dos últimos sumados, qué represeta el poliomio obteido?. E la siguiete tabla se preseta valores de la fució cos( y las correspodietes diferecias divididas. Evaluar el poliomio de iterpolació de segudo 64
grado que pasa a través de los valores de la fució e,, 3 para el argumeto =.5. Estudiar el error cometido. i i...99667..9866.49.473.376.3.955336,4777.3967.34754.698.966 3.4.96.4596.37593.47866.77975 4.6.85335.44.64934 5.7.76484 Sol.: f (.5 p(.5 =.968894; E (x.4 5. Co los siguietes datos: x i 3 4 6 7 f i 5 5 55 8 89 costruir la tabla de diferecias divididas y el correspodiete poliomio de iterpolació de mayor grado posible. Sol.: x 3 x + 7x 5 3. E la tabla siguiete se da valores de la fució y(x = x / redodeados hasta cico cifras decimales: x i..5..5..5.3 f(x i.47.488.738.9545.83.47 Calcular las diferecias hasta 3. Utilizar la tabla para obteer. /,.8 /,. /. Sol.: 4. Calcular los valores y k que falta a partir de las primeras diferecias: y k y k 4 7 6..499.8.337..583 5. Calcular las diferecias fiitas hasta las de orde 4 para los siguiete valores y k. Supoiedo que x k = k, obteer el poliomio de iterpolació. k 3 4 5 6 y k 6 8 56 65 96 6. Completar la siguiete tabla x k 3 4 5 6 7 y k 4 8 5 6.. supoiedo que los datos proviee de ua fució poliómica. Sol.: x 4 65
Sol.: f (6 = 4; f (7 = 64 7. Hállese / co la exactitud de hasta. costruyedo para la fució f(x = x / u poliomio de iterpolació e el segmeto [.69,.5]. Sol.: / p( =.4449 8. a Aplicar la fórmula de ewto progresiva a los putos de la siguiete tabla para obteer u valor aproximado de f (.5 mediate u poliomio de iterpolació de º grado. x i 3 4 f i 5 9 5 55 b Aplicar la fórmula ewto regresiva para obteer el valor aproximado de f (3.5 mediate poliomio de tercer grado. Sol.: a f (.5 p(.5 = 4; b f (3.5 p(3.5 = 37.875 9. a Formar la tabla de diferecias divididas para los siguietes datos: x.3.37.4.5 f(x.9774.96557.95766.9357 b Obteer el poliomio de iterpolació que verifica los datos de la tabla. c Ua vez defiido el poliomio de iterpolació, calcular p 3 (.47 y comparar el resultado obteido co f (.47 =.9443. d Añadir a la tabla u puto dato f (.47 =.9443 y determiar p 4 (x. Es secillo realizar los cálculos isertado u puto adicioal e la tabla? Justificar la respuesta. Sol.: b p 3 (x =.9774.694(x.3.69(x.3(x.37 -.68(x.3(x.37(x.4 c p 3 (.47 =.944; E 3 (.47 = -5 d p 4 (x = p 3 (x.6776(x.3(x.37(x.4(x.5. Dada la tabla siguiete correspodiete a y = si(x, se pide: a Formar la tabla de diferecias fiitas hasta las de tercer orde, justificado por qué es suficiete co llegar a las de este orde. b A partir de esta tabla, obteer la mejor aproximació de si(.443, si(.9774 y si(.755, justificado las eleccioes de putos y fórmulas utilizadas. Obteer la aproximació de los errores cometidos al calcular si(.443 y si(.9774. x.678.3495.4363.5359.686.6983.7854.8767.95994 y.588.34.46.5.5736.648.77.766.89 Sol.: si(.443.49; si(.9774.89; si(.755.68 e(.443.4 6 ; e(.755.59 6. Completar la siguiete tabla de diferecias: 66
x y y y 3 y 4 y 5 y 5.3.888.. 5.7 5.4663. a Completar la tabla de diferecias para los siguietes datos: x..3.5.7.9..3 y.3.67.48.48.37.58.697 b Mediate u poliomio cúbico de iterpolació obteer y(.58. Sol.: y(.58.8566 3. Utilizado diferecias progresivas, ecotrar u valor aproximado de y(3 usado los datos de la siguiete tabla: x i 3 4 5 6 y i.7365.34.5.6479.7664.8663 a A partir de u poliomio de primer grado. b A partir de u poliomio de segudo grado. c A partir de u poliomio de tercer grado. Sol.: a y(3.38944; b y(3.399; c y(3.3975 4. Si se deota por P (x el poliomio de iterpolació de la fució f(x = e x e los odos,.75 y.5, y por R (x el error debido a la aproximació de y = e x mediate su poliomio de iterpolació, obteer ua cota máxima del error cometido sabiedo que R ( x x x b g f ( (! i Sol.:.68-3 5. Dada la siguiete tabla de putos perteecietes al gráfico de la fució f(x: x k 3 4 5 6 f(x k 6 4 6 a Costruir la tabla de diferecias divididas. b Calcular u poliomio de iterpolació de segudo grado mediate la fórmula de ewto que sirva para obteer u valor aproximado de la fució para x = 4.5. Hacer ua estimació del error cometido co dicha aproximació. c Costruir la tabla de diferecias fiitas progresivas. d Calcular el valor aproximado de f (4.5 utilizado la fórmula de ewto progresiva 67
mediate u poliomio de primer grado. e Mediate u poliomio de segudo grado. f Mediate u poliomio de tercer grado. g Hacer e los dos primeros casos ua estimació del error cometido. Sol.: b f (4.5 39, e (4.5.375; d f (4.5 4; e f (4.5 39 f f (4.5 39.375; g e (4.5 3, e (4.5.375 6. Utilizar los siguietes valores para costruir u poliomio de Lagrage de cuarto orde, mediate el cual aproximar f (.5, siedo f ( x Hallar tambié u límite para error cometido e la aproximació f (x. x....3.4 f (x..3368.557.9937.6447 e x la fució a cosiderar. Sol.: f (.5.75496, e 4 ( 5..38 7. Cosideremos la fució f (x = 3xe x e x. Aproximar f (.3 utilizado el poliomio de iterpolació de grado, usado x =, x =.5 y x =.7. Comparar el error cometido co el límite de error de la iterpolació. Sol.: f (.3 3.5348, e 4 (.3.9 8. Dada la tabla de valores de la fució y = si(x desde x = 5º hasta x = 55º co amplitud de paso h = 5º: x 5 5 3 35 4 45 5 55 y.588.34.46.5.5736.648.77.766.89 a Formar la tabla de diferecias, hasta las de tercer orde, justificado por qué es suficiete co llegar a las de este orde. b A partir de esta tabla obtégase las mejores aproximacioes posibles para los valores si(4º y si(43º, justificado las eleccioes de putos y las fórmulas utilizadas. c Obteer aproximacioes de los errores cometidos al calcular los valores ateriores. Sol.: b si(4º.49, si(43º.68; c e 3 (43º 9. a Deducir los poliomios de iterpolació de ewto de cocietes icremetales de grados sucesivos (º, º, 3º, 4º y los térmios de error correspodietes para la fució f (x defiida por los putos (x i, f (x i co i =,,, 3, 4. b Utilizado los datos de la tabla, correspodietes a la fució f (x = cos(x, obteer los poliomios deducidos e al apartado a, así como los térmios de error correspodietes. 68
x k f [x k ] f [, ] f [,, ] f [,,, ] f [,,,, ]... 3. 4...5433.46468.989995.6536436.4596977.956449.5738457.3363489.483757.937.455973.46559.87939.46568 3. Dada la siguiete tabla correspodiete a la fució f (x = e x, se desea obteer ua estimació de f (.55: x..5.5.375.5.65.75.875. f (x..885.7788.6873.665.5353.474.469.3679 Obteer el grado del poliomio para que, co ua elecció adecuada de los putos base, la cota del error de trucamieto de p (x sea meor que 4. Costruir el correspodiete poliomio de iterpolació y obteer la estimació pedida. Sol.: f (.55 p (.55 =.576868 69