Tema 6: Modelización con daos de series emporales Universidad Compluense de Madrid 23
Inroducción (I) Una caracerísica que disingue los daos de series emporales de los daos de sección cruzada, es que los daos emporales esán ordenados de una forma naural cronológicamene (primero va enero de un año, después febrero de ese año, ec.) Ese hecho es muy imporane, ya que deermina qué ipo de relaciones son posibles enre un ipo de daos y oros.así: () El orden de las observaciones en una sección cruzada es irrelevane. Por ejemplo, en una sección de daos de salarios, primero podemos ener al individuo que más gana hasa el que menos gana o a la inversa. Ningún resulado de la esimación cambiaría al cambiar el orden de los daos. En cambio, en una serie emporal el orden es cronológico y único. El IPI rimesral de un país irá ordenado en el iempo, por ejemplo, endremos una muesra desde el primer rimesre de 99 hasa el segundo de 2. 2
Inroducción (II) (2) En una serie emporal es más razonable suponer que exise correlación serial. Por ejemplo, el IPI de un rimesre de un año puede esar correlacionado con el valor de IPI del rimesre anerior; las venas de una semana de una empresa endrán relación con las venas de la(s) semana(s) anerior(es). Es más difícil que el peso de un niño enga correlación con el peso de oros niños de la muesra. (3) Con daos emporales, exise un fundameno empírico a lo que enendemos por causalidad. Es decir, una variable X causa a ora variable Y, si los valores pasados de la X esán correlacionadosconlosvalorespresenesdelay. Condaosde sección cruzada, la causalidad enre variables puede exisir, pero no enemos una manera empírica de deecar la dirección de la causalidad (qué variable causa a qué ora variable). 3
Caracerísicas comunes de las series emporales 7 5 Airline 6 5 4 3 Rendimieno % IBEX35 5 5 5 2 29 2 89 9 92 2 94 9 96 26 98 27 28 2 29 4 8 6 95 952 954 956 958 96 Día En una serie emporal de baja frecuencia (es decir, con daos mensuales, rimesrales, ec) las caracerísicas más habiuales son: (a) una endencia (en el caso del nº de pasajeros a crecer); (b) esacionalidad (en el caso de los pasajeros, vuelan más personas siempre en vacaciones de verano) y (c) una varianza (dispersión alrededor de la media) que crece con la media. En una serie emporal de ala frecuencia (es decir, con daos diarios, horarios, ec.) se encuenra: (a) una media esable alolargodeliempo;(b)no hay esacionalidad y(c) una varianza que cambia con el iempo, de modo que se alernan períodos de ala volailidad (ala varianza) con períodos de baja volailidad (baja varianza). La varianza cambia de forma no sisemáica. 4
Objeivos del análisis de series emporales (I) En ese ema, nos cenramos en daos emporales de baja frecuencia (series anuales, rimesrales o mensuales). Las variables medidas en ala frecuencia suelen ser financieras y su modelización es más complicada. El objeivo es modelizar las caracerísicas más habiuales que hemos viso. Es decir: Capurar la endencia y el comporamieno esacional observado Traar la varianza no consane (heerocedasicidad) Modelizar la auocorrelación serial. Es decir, enconrar un modelo esadísico que sea capaz de reproducir esa inercia o auocorrelación que ienen muchas variables económicas emporales. 5
Objeivos del análisis de series emporales (II) Ese objeivo se puede conseguir usando disinos enfoques: () Usar un modelo univariane: Es decir, inenamos explicar la correlación de una variable emporal usando para ello sólo su propia hisoria pasada y reciene. No incluimos variables explicaivas adicionales. Puede parecer una resricción, pero si el objeivo es predecir a coro plazo el fuuro de la variable, esos modelos funcionan muy bien o mejor que oras especificaciones alernaivas. (2) Usar un modelo de relación (en ese curso, un modelo de regresión). En ese caso, se pueden usar ideas del análisis univariane para que el modelo de regresión esé bien consruido. Si el objeivo es predecir a medio y largo plazo, es evidene que hay que ener en cuena la correlación conemporánea y dinámica de unas variables sobre ora (que es la variable de inerés, la que hay que predecir). 6
Modelos deerminisas de series emporales (I) Dada una serie emporal denoada por descomponerse de modo adiivo como: y = + s + c + e, se supone que puede donde es la endencia, s es el componene esacional, es el componene cíclico (ó ciclo) y el error. Es difícil definir cada una de esas componenes. No hay consenso en la lieraura sobre el ema. La endencia debe recoger el movimieno a largo plazo de una serie, independienemene de oros componenes irregulares. Es decir, debe recoger el nivel subyacene y regular de la serie. e y c 7
Modelos deerminisas de series emporales (II) El componene esacional debe recoger las oscilaciones que se producen con un período inferior o igual al año. Es decir, son oscilaciones a coro plazo que se repien en años sucesivos. Las razones por las que una serie presena esacionalidad pueden ser de ipo físico (el clima, ec.) o de ipo insiucional (vacaciones, fesividades varias, ec.). El error debe recoger movimienos ransiorios e irregulares de la serie. Esa componene puede descomponerse en una pare claramene aleaoria e imprevisible y en ora pare no siempre previsible, pero que se puede idenificar a poseriori (como una huelga, una caásrofe naural, un cambio políico, ec.) 8
Modelos deerminisas de series emporales (III) En la prácica siempre se supone que: E [ e ] =," E[ e 2 ] = s 2," E[ ee ] =," ¹ s e N[, s 2 I] s El ciclo se define de diversas formas. Desde el puno de visa macroeconómico deben ser oscilaciones en orno a la endencia que se deben a la alernancia enre períodos de crisis y de prosperidad. Desde el puno de visa esadísico, el ciclo incluye cualquier caracerísica que no sea endencia, esacionalidad y ruido. Si se han omado logarimos a la serie, la descomposición de la variable original será de ipo muliplicaivo,esdecir: s c y = e e e e e 9
Modelos deerminisas de series emporales (IV) Los modelos más simples para la endencia son regresiones de la variable con respeco al iempo. Un modelo de endencia lineal sería (cuando la misma crece o decrece): = a + a, " =, 2,..., n yunmodelo de endencia cuadráico: 2 = a + a + a2, " = 2,,..., n Los gráficos de la derecha muesran el resulado de ajusar una endencia lineal (arriba) a la serie del nº de pasajeros (en logs) y una endencia cuadráica (abajo) a la misma serie. Esos modelos explican la evolución pasada de una serie en función de pauas simples, pero ienen problemas y limiaciones. 6.6 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6 6.6 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6 l_airline Tend_lineal 95 952 954 956 958 96 l_airline Tend_Cuadraica 95 952 954 956 958 96
Modelos deerminisas de series emporales (V) Los modelos de endencia deerminisa son una exensión inmediaa de los méodos de regresión. Aunque son úiles para describir las pauas que sigue una serie emporal, las predicciones que proporcionan suelen ser muy malas (es decir, con un gran error asociado). La razón de eso es que en una serie emporal la observación más reciene depende, en general, de sus valores pasados, pero esa dependencia suele ser más fuere con los daos más recienes y más débil con los más alejados. Los modelos de endencias deerminisas proporcionan predicciones que no uilizan esa propiedad. Si la serie no iene esacionalidad, el modelo es: y = a + a+ e donde es el iempo. El parámero a represena la pendiene de la reca que describe la evolución de la serie (crecimieno esperado enre dos períodos). La previsión de la variable en el período T+k es: yˆ ( k) = aˆ + aˆ ( T + k) T
Modelos deerminisas de series emporales (VI) Si se observara una endencia exponencial, del ipo = exp[ a + a ], endríamos omando logarimos: ln y = a + a + e donde los parámeros a y a se esiman por MCO y es el iempo. Esacionalidad: es un cambio en la media de la serie que se repie periódicamene cada s esaciones. Si la serie es mensual, s=2; si es rimesral, s=4; si es semanal, s=52 ó 53, ec. Una forma deerminisa de capar la esacionalidad consise en definir variables dummies (con valores ó ). Por ejemplo, para una serie mensual definir las doce dummies correspondienes a Enero (S), Febrero (S2),., hasa Diciembre (S2). Se puede escribir como: s = bs + b S2 +... + b S2 2 2 2
Modelos deerminisas de series emporales (VII) Si a la serie mensual del nº de pasajeros (en logarimos) le ajusamos un modelo de endencia cuadráica y una esacionalidad deerminisa mensual, se escribiría como: 2 ln( Airline ) = a + a + a + bs + bs2 +... + b S + e 2 2 La figura de la derecha muesra el resulado del ajuse del modelo de endencia + esacionalidad anerior a los daos de pasajeros. En color azul se muesra la evolución de la serie real (en logarimos) 6.6 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 l_airline Trend_Season En color rojo la evolución de la serie 4.6 95 952 954 956 958 96 ajusada al esimar por MCO el modelo 3 4.8
Ora aproximación (I) Ora forma de capurar los cambios en la media (endencia creciene, decreciene, ec) y los cambios en la varianza (crece la dispersión conforme crece la media) en una serie emporal, consise en realizar una serie de ransformaciones en los daos que eliminan esas caracerísicas ípicas. Por ejemplo, si la varianza crece a medida que crece la media (ver la figura de la izquierda) ó bien, el gráfico rango mediade la derecha (se dibujan pares de valores de la media local y la desviación ípica local, calculados para submuesras de igual amaño de la serie). La ransformación logarímica hace que la dispersión sea más o menos consane a medida que crece la media. 7.5 range-mean plo for l_airline wih leas squares fi 6.48.46 5.44.42 Airline 4 range.4.38 3.36.34 2.32 95 952 954 956 958 96.3 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 mean 4
Ora aproximación (II) Si omamos logarimos a la serie del nº de pasajeros (ver Figura de abajo) comprobamos que: La dispersión de la serie es más o menos consane a medida que crece la media La ransformación logarímica no consigue que la media de la serie sea consane (se sigue apreciando una endencia creciene). l_airline 6.6 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6 95 952 954 956 958 96 Si una serie emporal iene una media consane a lo largo del iempo, decimos que es esacionaria con respeco a la media. Si iene varianza consane con respeco al iempo, decimos que es esacionaria en varianza. Si una serie emporal es esacionaria (en media y en varianza) enconrar un modelo que explique su auocorrelación es mucho más fácil. 5
Ora aproximación (III) La ransformación que elimina la endencia (o lo que es lo mismo, induce esacionariedadenmedia)es la diferenciación. Tomar una diferencia regular consise en calcular la diferencia enre cada dao (por ejemplo, mensual) y el anerior. Siempre se pierde el primer dao de la serie. y y y.25.2 La primera diferencia de la serie de pasajeros (en log) se represena en la figura de la derecha. Se observa que la serie flucúa alrededor de una media esable y finia. No obsane, odavía es esacional esa variable. Es decir, los picos alos (por encima de la media) son meses de verano y los bajos, son meses en donde se vuela mucho menos. d_l_airline.5..5 -.5 -. -.5 -.2 -.25 95 952 954 956 958 96 6
Ora aproximación (IV) De nuevo, enemos la serie en logarimos, para mosrar el marcado comporamieno esacional de la misma (picos que se repien cada 2 meses). l_airline 6.6 6.4 6.2 6 5.8 5.6 Una forma de desesacionalizar es omar una diferencia esacional. Es decir, calcular la diferencia enre el valor de la serie en un mesdeunañoconrespecoaldaodeese mismo mes, pero del año anerior. Se represena como: s y y y s donde s es el período esacional (s=2). La figura de abajo represena la diferencia esacional de la serie. No se observa esacionalidad, aunque localmene la serie no es esacionaria sino que deambula. sd_l_airline 5.4 5.2 5 4.8 4.6.35.3.25.2.5..5 -.5 95 952 954 956 958 96 95 952 954 956 958 96 7
Ora aproximación (V) Al final, hay que omar odas las ransformaciones que induzcan esacionariedad, esdecir,ellogarimo (para que la varianza sea consane), la diferencia regular (para eliminar la endencia) y la diferencia esacional (para eliminar el componene esacional). Se presena el gráfico de la serie con odas las ransformaciones omadas secuencialmene. Se escribiría como:.5. NP z 2 ln sd_d_l_airline.5 donde NP es el número de pasajeros. -.5 -. -.5 95 952 954 956 958 96 Esasransformacionessonúilespara esabilizar la media y la varianza de una serie emporal económica 8
Ora aproximación (VI) Además, esas ransformaciones ienen una inerpreación económica sencilla, que se resume en la siguiene abla: Transformación Inerpreación z y y y Cambio en y Es un indicador de crecimieno absoluo. y y z ln y ln y y z [ln y ln y ] y y s z ln y ln y s y s Es la asa logarímica de variación de una variable. Es un indicador de crecimieno relaivo. Si se muliplica por es la asa de crecimieno porcenual de la variable. Es el cambio en la asa logarímica de variación de una variable. Es un indicador de la aceleración de la asa de crecimieno relaivo de una variable. Es la asa de crecimieno (en log) acumulada durane s períodos. Si el período esacional es un año, se inerprea como la asa de crecimieno anual de una variable. 9
Modelos de auocorrelación (I) Los modelos deerminisas son úiles para descomponer una serie emporal, pero no sirven para predecir. Si el objeivo es predecir a coro plazo, se adopa ora aproximación consisene en los siguienes pasos. () Decidir qué ransformaciones omar a los daos para inducir esacionariedad en media y/o en varianza. (2) Enconrar qué esrucura de auocorrelación (modelo esocásico) explica mejor esa serie ya ransformada. Para ello, se definen los modelos ARMA (familia de modelos esadísicos sencillos que son capaces de reproducir una gran variedad de series esacionarias). Esacionariedad: Se dice que una serie es esacionaria si sus propiedades esadísicas permanecen consanes a lo largo del iempo. Si y esuna serie esacionaria (en media y varianza) se cumple que: E[ y ] = m, E[( y - m) 2 ] = g, E[( y - m)( y - k - m)] = g k, ", " k donde m, g, g k son momenos finios que no dependen del iempo. 2
Modelos de auocorrelación (II) El modelo de auocorrelación más sencillo es un AR(), es decir, un modelo auorregresivo de orden (el orden del modelo se escribe enre parénesis). Si una serie emporal esacionaria sigue un modelo AR(), enonces: y c y a f donde c es una consane, es el parámero auorregresivo y a es un error con esperanza cero, varianza consane (igual a s 2 ) y ausencia de auocorrelación con a cualquier oro error fechado en oro insane. La inerpreación es como en una regresión, salvo que a la variable dependiene le influye sólo su pasado más inmediao y no exisen oras variables explicaivas. Recuérdese que ésas eran las hipóesis habiuales (y deseables) de las perurbaciones aleaorias en un modelo de regresión lineal. Cuando una variable aleaoria iene esas propiedades en el análisis de series emporales se le denomina ruido blanco. Si, además, la disribución que sigue es normal, enonces hablamos de un ruido blanco gaussiano. 2
Modelos de auocorrelación (III) Los momenos de un AR() son: y c y a Media: E[ y] c E[ y ] y bajo esacionariedad, E[ y] [ por lo que la E y ] media del proceso es: c Varianza: por lo que: 2 2 a E[ y ] y bajo esacionariedad var[ y ] var[ y ] var[ y] var[ y ] 2 a var[ y ] 2 Auocovarianzas: cov[ yy ] E[ yy ] E[( y a) y ] donde la ilde en las variables indica que esán desviadas con respeco a su media: 2 cov[ yy ] E[ yy ] E[( y a) y ] 2 2 2 2 j y por inducción se iene que j cov[ y y j] Se ha enido en cuena esacionariedad en covarianza, es decir, la covarianza enre dos variables sólo depende del desfase que hay enre ellas y no del iempo. Por ello: Eyy [ ] Ey [ y 2] o bien, E[ y y ] E[ y y ] 3 2 4 2 22
Modelos de auocorrelación (IV) A parir de las auocovarianzas, se calcula lo que se denomina la Función de Auocorrelación Simple o ACF de un modelo, cuyos valores no son más que coeficienes simples de auocorrelación de disino orden: ACF de un AR(): 2 r 2 2 r 2 j j r y, por inducción, j Además de la ACF, se suelen calcular las auocorrelaciones parciales o valores de la PACF del modelo. Cómo se obienen los valores de la PACF para cualquier modelo de auocorrelación? El primero es el esimador MCO del coeficiene que relaciona el valor de la variable con su primer reardo,esdecir: y y 23
Modelos de auocorrelación (V) El segundo valor de la PACF, mide la relación lineal enre la variable y su segundo reardo, pero eniendo en cuena la influencia del primer reardo. Es decir, la regresión que hay que consruir es: y y y 2 2 22 2 22 y el esimador MCO del parámero es el segundo coeficiene de la PACF. Por ano, el coeficiene j ésimo se calcularía a ravés de la regresión: y y y y j j j2 2... jj j En el caso de un AR(), el único coeficiene de la PACF disino de cero es el primero (y además coincide con el parámero auorregresivo en cuanía y signo), siendo los demás nulos. Eso es una pisa imporane a la hora de idenificar si una serie emporal esacionaria sigue una esrucura AR() o no. Para faciliar el análisis, se suelen dibujar los valores de la ACF y PACF eóricas de cada modelo. 24
Modelos de auocorrelación (VI) En la prácica, cuando enemos una serie esacionaria (ya ransformada) sus auocorrelaciones simples y parciales son desconocidas y hay que esimarlas. Los correlaciones eóricas de la ACF hay que susiuirlas por correlaciones muesrales. Es decir: n å ( y -y)( y j ) j - -y =+ rˆ j = n 2 ( y - y) n y y = å n å = = donde es la media muesral de la serie. Los valores muesrales de la PACF se obienen esimando por MCO el correspondiene coeficiene ( f jj ).Es necesario esimar cada coeficiene en un modelo diferene, en donde cada vez que se quiere esimar un coeficiene nuevo, se añade a la regresión un nuevo reardo de la serie. y y y y j j j2 2... jj j 25
Modelos de auocorrelación (VII) FAC de AR_ +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 6 reardo En esas figuras se muesra el perfil de la ACF y PACF de un proceso AR() simulado donde el valor del parámero auorregresivo es.7 (posiivo y menor que uno)..5 FACP de AR_ +-.96/T^.5 Noad que la ACF es posiiva y va decayendo porque el parámero es posiivo y menor que uno. -.5-2 4 6 8 2 4 6 reardo En la PACF sólo el primer valor es disino de cero esadísicamene, indicando el orden del AR. Cuando se iene una serie emporal esacionaria se esiman los valores de la ACF y PACF y se La idenificación de un modelo dibujan. Se calculan unas bandas de significación consise en comparar la ACF y PACF para saber qué coeficienes son disinos de cero eórica de un modelo con la ACF y (fuera de bandas) y cúales no (denro de bandas) PACF esimada de una serie 26 esacionaria.
Auocorrelación en el modelo de regresión (I) En el conexo del modelo de regresión lineal general: y = x b + e " =, 2,..., T decimos que las perurbaciones ienen auocorrelación si exisen observaciones disinas ¹ s, ales que los errores asociados ienen una covarianza disina de cero (y por ano, correlaciones disinas de cero): E[ ee ] ¹ " ¹ s s En ese caso, la mariz de varianzas y covarianzas de los errores no es diagonal. Y= Xb+ e Las consecuencias sobre las propiedades del esimador MCO de b son las mismas que si el problema es la heerocedasicidad. Es decir, el esimador MCO sigue siendo lineal e insesgado, pero deja de ser eficiene. n T E[ ee ] =W 27
Auocorrelación en el modelo de regresión (II) Al igual que en el caso de heeroscedasicidad, si exise auocorrelación en los errores de una regresión, sabemos que los conrases habría que llevarlos a cabo usando una esimación de la mariz de varianzas siguiene: var[ ˆ ] ( X X ) X X ( X X ) W T T T donde la mariz no es diagonal y es desconocida. Silaesrucurade auocorrelación es desconocida, se puede usar una idea similar a la de la corrección de Whie cuando el problema es la heeroscedasicidad. Así, Newey y Wes (987) proponen el siguiene esimador de la mariz anerior: var[ ˆ ˆ ] ( X X ) X VX ˆ ( X X ) p T T T n åå T ˆ T T X VX = w ˆˆ [ x x + x x ] ee - - - donde j j j j j= = j+ j w y j = - p + Por úlimo, p es el orden máximo de la auocorrelación en el error del modelo. 28
Auocorrelación en el modelo de regresión (III) Obsérvese que decidir el ordende auocorrelación p es a veces difícil, yaque si ese valor es alo la auocorrelación enre los errores es larga y si es bajo, la esrucura de auocorrelación es más bajo. Un procedimieno diferene para rabajar con auocorrelación, supone conocer el ipo de relación que hay enre el error de un modelo en un insane de iempo y oro. Por ejemplo, supongamos que queremos esimar eficienemene los parámeros de la siguiene regresión simple: y = b + bx + e donde sabemos que el error sigue una esrucura de auocorrelación AR(). Es decir: e = f e - + donde f es el parámero auorregresivo y a es un proceso de ruido blanco (con esperanza nula, varianza consane y ausencia de auocorrelación serial) a 29
Auocorrelación en el modelo de regresión (IV) El objeivo es enconrar una ransformación del modelo original en el que en lugar del error con auocorrelación, aparezca un ruido blanco (que por definición no iene auocorrelación). En el ejemplo anerior, la ransformación es fácil: y Resando las expresiones () y (3) se iene: O bien: = b + b x + e () (2) - - - fy = fb + fbx + fe (3) (4) El problema es que si el parámero AR es desconocido, no podemos obener los daos ransformados de la variable dependiene y de la independiene. y = b + bx + e e = f e - + - - - y y ( ) x x y y ( ) ( x x ) a a 3
Auocorrelación en el modelo de regresión (V) En el caso de que el parámero sea desconocido, es necesario esimar conjunamene el mismo con los parámeros. Evidenemene, el crierio de esimación no es MCO. En el caso del que el parámero sea conocido (algo raro en la prácica) se pueden ransformar los daos de la regresión anerior y esimar eficienemene por MCO. Por ejemplo, supongamos que.5. El modelo ransformado donde el error es ruido blanco es: y.5 y (.5) ( x.5 x ) a Al aplicar MCO a la regresión anerior se obiene una esimación de ˆ*.5 ˆ y de ˆ. En el caso de que, en el modelo ransformado rabajamos con daos diferenciados, es decir: y y ( ) ( x x ) a Observad que el érmino consane desaparece en ese caso y que x x x y y y 3
Ejemplo (I) En el Tema 2 ya veíamos la relación enre Consumo y Rena con daos emporales en la economía americana en érminos per cápia Modelo 3: MCO, usando las observaciones 959-995 (T = 37) Variable dependiene: c Coeficiene Desv. Típica Esadísico Valor p ----------------------------------------------------------------- cons 463,77 98,792 4,688 4,e-5 *** y,77949,6964 2,8,99e-46 *** Media de la vble. dep. 328,65 D.T. de la vble. dep. 255,24 Suma de cuad. residuos 6997,4 D.T. de la regresión 33,92 R-cuadrado,997256 R-cuadrado corregido,99778 F(, 35) 272,5 Valor p (de F),99e-46 Log-verosimiliud -232,442 Crierio de Akaike 468,8824 Crierio de Schwarz 472,42 Cri. de Hannan-Quinn 47,82 32
Ejemplo (II) Los residuos MCO resulanes de dicho modelo ienen la siguiene evolución a lo largo del iempo (gráfico de la izquierda) juno con la siguiene ACF y PACF (gráficos de la derecha). Parece claro un modelo AR() con parámero posiivo. Residuos de la regresión (= c observada - esimada) 3 2,5 FAC de los residuos +-,96/T^,5 -,5 residuo - 2 3 4 5 6 7 8 reardo - -2,5 FACP de los residuos +-,96/T^,5-3 -,5-4 96 965 97 975 98 985 99 995-2 3 4 5 6 7 8 reardo 33
Ejemplo (III) Si el érmino de error de la regresión de Consumo sobre Rena sigue una esrucura auorregresivade orden, la esimación del modelo que recoge ésa es: Modelo: ARMAX, usando las observaciones 959-995 (T = 37) Esimado usando el filro de Kalman (MV exaca) Variable dependiene: c Desviaciones ípicas basadas en el Hessiano Coeficiene Desv. Típica z Valor p ---------------------------------------------------------- cons 227,76 3,52 2,63,39 ** phi_,97874,493 23,9 3,7e-26 *** y,663438,666839 9,949 2,55e-23 *** Media de la vble. dep. 328,65 D.T. de la vble. dep. 255,24 media innovaciones 4,83765 D.T. innovaciones 4,758 Log-verosimiliud -226,832 Crierio de Akaike 46,3663 Crierio de Schwarz 466,8 Cri. de Hannan-Quinn 462,63 La esimación del parámero auorregresivo es muy cercana a la unidad, lo que indica que se podrían omar las primeras diferencias de Consumo y Rena. Si además omamos logarimos, la conclusión es que relacionaríamos la Tasa log de variación del Consumo en función de la Tasa log de variación de la Rena. 34
Correlación espuria (I): Concepo Una correlación espuria es una relación empírica enre dos aconecimienos sin conexión lógica Las correlaciones espurias pueden producirse con daos de core ransversal o series emporales Ejemplo: En 952 J. Neyman analizó la relación enre la asa de nacimienos y la población de cigüeñas en varias regiones, enconrando un elevado coeficiene de correlación enre ambas variables Ejemplo: Uilizando daos anuales para el período 866 9, G. Udny Yule enconró que el coeficiene de correlación enre la asa de moralidad en Inglaerra Gales y el porcenaje de marimonios en la iglesia de Inglaerra era de.95 Al esimar regresiones enre series no esacionarias es muy fácil que la relación sea espuria, ya que basa con que ambas series engan algo de endencia para que surja una aparene relación enre ellas Al suprimir la endencia, por ejemplo, diferenciando los daos, la relación espuria desaparece 35
Correlación espuria (II): Los daos Los gráficos muesran las series anuales (936 972) de: 9 8 7 6 5 6 4 PNB nominal en Esados Unidos (daos en miles de millones de dólares), y la Incidencia del melanoma en la población masculina (daos ajusados de edad) en el esado de Connecicu. GNP 5 4 3 2 936 94 946 95 956 96 966 97 3 2 Melanoma 9 GNP Melanoma Aparenemene, ambas series manienen una fuere y clara relación lineal, aunque concepualmene resule absurdo relacionarlas. GNP 8 7 6 5 4 3 En el gráfico de abajo se muesra la nube de punos real de PNB versus Incidencia del melanoma. 2 2 3 4 5 6 Melanoma 36
Correlación espuria (III): Relación esáica en niveles El cuadro muesra los resulados de una regresión en donde el PNB acúa como variable endógena y la incidencia de melanoma como variable explicaiva Resula inmediao ver que: Todos los coeficienes son esadísicamene significaivos y El R 2 es muy elevado, de cerca del 87% El coeficiene esimado implica que, si aumenara la incidencia de melanoma en un caso, cabría esperar un aumeno del PNB de 8.98 millones de dólares (???) 37
Correlación espuria (IV): Relación en primeras diferencias Si relacionamos las variables en primeras diferencias, eso es: GNP = GNP -GNP- Melanoma = Melanoma -Melanoma - Variación en GNP 6 4 2 936 94 946 95 956 96 966 97-2 2.5.5 -.5 - Variación en Melanoma -4 -.5 la endencia suele desaparecer y, con ella, la relación espuria (véase el gráfico de arriba). -6 Variación en GNP Variación en Melanoma -2 Consecuenemene, la relación de regresión enre las variables diferenciadas no resula significaiva y lógicamene, el coeficiene de bondad de ajuse es muy pequeño (del.338%) 38
Coinegración (I): Concepo A diferencia de la correlación espuria, la coinegración es un concepo que caraceriza las relaciones válidas enre series no esacionarias. Se dice que un conjuno de series esá coinegrado si cada una de ellas necesia d diferencias para ser esacionaria, eso es, son inegradas de orden d oi(d), pero exise una combinación lineal de las mismas que es inegrada de menor orden, es decir, I(d m). La siuación más habiual es que dos series sean I() y su diferencia (o una combinación lineal de las mismas) sea I() La presencia de coinegración supone que pare de la endencia de las series es un componene común (cofeaure) y exise una combinación lineal de las series que carece de esa caracerísica común. Ora forma de enender la coinegración es que exise un equilibrio a largo plazo enre las series, demaneraquelasdesviacionesdeeseequilibrio ienden a desaparecer a coro plazo. 39
Coinegración (II): Deección visual de raíces uniarias Las figuras muesran el perfil de los rendimienos porcenuales de acivos de deuda pública a largo plazo (2 años) y coro plazo (9 días) en el Reino Unido enre 952 (segundo rimesre) y 979 (cuaro rimesre). Ambas series muesran una endencia creciene, por lo que son, evidenemene, no esacionarias. Es fácil comprobar que su primera diferencia es esacionaria, por lo que se raa de series I(), es decir, inegradas de orden uno. 8 9 7 8 6 7 5 Long 6 Shor 4 5 3 4 2 3 952 954 956 958 96 962 964 966 968 97 952 954 956 958 96 962 964 966 968 97 4
Coinegración (III): Spread 3 2.5 2 La figura de la derecha muesra el diferencial o spread enre ambas series: Spread.5.5 s = long -shor -.5 Como puede observarse, el spread muesra flucuaciones amplias a coro plazo, pero reorna sisemáicamene a una media esable (de.8 punos). Asimismo, las funciones de auocorrelación simple (ACF) y parcial (PACF) muesran la paua caracerísica de un proceso AR() con parámero posiivo. - 952 954 956 958 96 962 964 966 968 97 ACF for Spread +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 6 lag PACF for Spread +-.96/T^.5.5 -.5-2 4 6 8 2 4 6 lag 4