EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio nº 1.- Calcula (), utilizando la definición de derivada, siendo: f () + 5 f ( + ) f () ( + ) + 5( + ) 18 (4 + 4 + ) + 10 + 5 18 ( ) lím lím lím 8 + 8 + lím 0 + 10 + 5 18 lím + 1 lím ( + 1) lím ( + 1) 1 Ejercicio nº.- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f () 4 - + 1 que son paralelas a la recta y 10 +. Si son paralelas a la recta y 10 +, tienen la misma pendiente; es decir, a de ser: () 10 ( ) 1 10 1 1 1 1 1 Ordenadas en los puntos: f (-1) -1; f (1) Ecuaciones de las rectas tangentes: - En -1 y -1 + 10 ( + 1) y 10 + 9 - En 1 y + 10 ( - 1) y 10-7
Ejercicio nº.- Considera la función: f () + 9 + 1 + 1 a) Estudia su crecimiento y alla sus máimos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de infleión. a) () 6 + 18 + 1 () 0 6 ( + + ) 0 ± 9 8 ± 1 1 Signo de (): f () es creciente en (-, -) (-1, + ); es decreciente en (-, -1). Tiene un máimo en (-, -) y un mínimo en (-1, -4). b) '() 1 +18 ' ( ) 18 0 1 + 18 0 1 Signo de '(): f ( ) es cóncava en, ; es convea en, +. Tiene un punto de infleión en 7,.
Ejercicio nº 4.- Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión de la función: f () ( -) ( + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convea. Derivada: () ( - ) ( + 1) + ( - ) ( - ) [ ( + 1) + - ] ( - ) ( + + - ) ( - ) - 6 ( ) 0 ( ) 0 0 Signo de (): f () es creciente en (-, 0) (, + ); es decreciente en (0, ). Tiene un máimo en (0, 4) y un mínimo en (, 0). Segunda derivada: '() 6-6 '() 0 6-6 0 1 Signo de '(): f () es cóncava en (-, 1); es convea en (1, + ). Tiene un punto de infleión en (1, ).
Ejercicio nº 5.- Un eladero a comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 00 elados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos elados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, a qué precio de venta es máimo el beneficio diario que obtiene el eladero? Cual será ese beneficio? Llamamos al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada elado costará 50 + céntimos; y venderá 00 - elados diarios. Por tanto, por la venta de los elados obtendrá unos ingresos: I () (50 + ) (00 - ) Pero tiene unos gastos de: G () (00 - ) 40 Luego, el beneficio será de: B () I () - G () (50 + ) (00 - ) - (00 - ) 40 (00 - ) (50 + - 40) (00 - ) ( + 10) - + 180 + 000 Hallamos para que el beneficio sea máimo: B '() -4 + 180 B '() 0-4 + 180 0 45 B ''() -4; B ''(45) < 0 en 45 ay un máimo Por tanto, obtendrá el máimo beneficio vendiendo cada elado a 50 + 45 céntimos de euro. En este caso, el beneficio sería de B (45) 6 050 céntimos, es decir, de 60,50 euros. Ejercicio nº 6.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y + 6 en 0. Ordenada en el punto: y ( ) 16 4 Pendiente de la recta: y' 1 + 6 ( ) + 6 y' ( ) 7 8 Ecuación de la recta: 7 7 y 4 ( + ) y + 8 8 9 4
Ejercicio nº 7.- Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la función: f ( ) + 1 Dominio R {1} Derivada: ( ) ( )( 1) ( + ) + ( 1) ( 1) ( 1) + ( ) 0 0 ( ) 0 0 Signo de f' (). f () es creciente en (, 0) (, + ); es decreciente en (0, 1) (1, ). Tiene un máimo en (0, ) y un mínimo en (, ). Ejercicio nº 8.- Una uerta tiene actualmente 4 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la uerta para que la producción sea máima? Cuál será esa producción? Llamamos al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de frutos sería: f () (4 + ) (600 15) 15 + 40 +14 400 Buscamos para que f () sea máima: () 0 + 40 40 0 Veamos que es un máimo: ( ) 0 0 + 40 0 8 8 ' () 0 ; ' (8) 0 < 0 en 8 ay máimo. (Como f () corresponde a una parabola invertida, en 8 está el máimo absoluto). Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, abrá un total de 4 + 8 árboles, que producirán 15. 60 frutos.
Ejercicio nº 9.- Halla la derivada de la función f (), en 0-1, utilizando la definición de derivada: f ( ) 4 + 1 f' ( 1) f ( 1+ ) f lím ( 1) lím 4( 1+ ) + 1 5 lím 4(1 + ) + 1 5 lím 4 8 + 4 + 1 5 lím 4 8 lím ( 4) lím ( 4) 4 Ejercicio nº 10.- Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva eje de abscisas. y + 1 en el punto de corte con el Punto de corte con el eje X: y 0 0 + 1 Punto (, 0) Pendiente de la recta: + 1 ( ) + 1 + y' ( + 1) ( + 1) ( + 1) y' ( ) 9 1 Ecuación de la recta tangente: 1 1 y ( ) y
Ejercicio nº 11.- Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la función: f 4 1 ( ) ( ) Dominio R - { } Derivada: 4( ) (4 1) ( ) ( ) [4( ) (4 1)] 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 8 8 + 4 4 + 16 ( ) ( ) () 0-4 + 16 0 4 Signo de (): Ejercicio nº 1.- f () es creciente en (-, ) (4, + ); es decreciente en (, 4). Tiene un máimo en el punto (4, 1). a) Halla la T.V.M. de la función f + 1 + ( ) en el intervalo [, ]. b) Con el resultado obtenido, calcula (). a) b) T.V.M. f ( + ) f () ( + ) + 1 ( ) (4 + 4 + ) + 1+ [, + ] 4 4 f' ( ) f ( + ) f lím 0 + 4 ( 4 ) 4 ( ) ( 4 ) 4 lím
Ejercicio nº 1.- Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? Llamamos al lado de la base e y a la altura del depósito. Así, el volumen es: 4000 y 4000 dm y V La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será: 4000 16000 A 4y + 4 + + ; > 0 Buscamos para que A sea mínima: 16000 16000 + A' + A' 0 16 000 + 0 16 000 000 16 8000 8000 0 dm Veamos que es un mínimo: 000 A' ' +, A'' ( 0) > 0 en 0 ay mínimo Por tanto, el lado de la base debe medir 0 dm y la altura, y 10 dm.