Cículos y Cicunfeencias Áeas y peímetos Agosto 01. Pesentación: El cálculo de áeas y peímetos de figuas es siempe atactivo. Y sin luga a dudas que siento una alegía cuando de cicunfeencias se tata. Ya sea poque me ememoa la antigua ceencia, aunque equivocada, de que las tayectoias de los planetas ean ciculaes, dado que la cicunfencia ea consideada siglos atás como la figua plana po excelencia dento del plan de Dios en la ceación del Univeso conocido -o mal conocido. Po ota pate, la definición de cicunfeencia como el luga geomético de aquellos puntos que equidistan de un punto fijo dado me paece, en el lenguaje o en su expesión, una definición o idea exquisita sin sabe poqué. Áeas y peímetos intincados con otas figuas dan su foma a este aficionado tabajo, que, sin combinase con polígonos estaía incompleto. Bueno, se deja enteve la petensión de que es más o menos completo, je. Es una soñada pesunción, pues, tas editalo finalmente, la alegía del tabajo me duaá un tiempito y ojalá pueda tene el tiempo paa pensa en oto tema. Igual es cuestión de años, je. Básicamente po el tiempo de descanso, ese tiempo libe paa dedica manos a la oba (je, y un sniff también). Hasta la póxima si Dios y mis opciones de usa "ese tiempo libe"! lo pemiten, (je). Guillemo Cobacho Casto. Pofeso de Matemáticas y Física. Licenciado en Educación. Titulado y gaduado en abil de 003, de la Pontificia Univesidad Católica de Chile. Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 1
Índice 1. Definiciones de Cicunfeencia y Cículo...3 1.1.Ejemplos de Cálculo de peímetos y áeas.3-1..algo podemos conclui..5-6. Coona Cicula...7 3. Tapecio cicula..8. Secto cicula.9 5. Segmento cicula...1 5.1.Tablas de áeas de tiángulos que foman segmentos ciculaes...1 5..Áeas de tiángulos con ángulos del cento suplementaios 15 5.3.Peímetos de la base de tiángulos que foman segmentos ciculaes...16 5..Tablas de peímetos de bases vs. segmentos ciculaes 16 5.5.Ejecicios esueltos...17-19 6. Flo de ejecicios.0-1 7. Cicunfeencias y cículos en un cuadiláteo como fondo. 7.1. Listado de ejecicios Resueltos. -5 7.. Ejecicios con altenativas.6-9 8. Ángulos en la Cicunfeencia y ejemplos de ejecicios combinados de áeas y peímetos con ángulos en la cicunfeencia...30-31 9. Guías de ejecicios vaiados. 9.1.Ejecicios esueltos..3-1 9..Ejecicios popuestos...- 10. Intoducción a ejecicios combinados con tiángulos.5 10.1. teoema paticula de Pitágoas 5 10.. númeos pitagóicos..5 10.3. áea de todo tiángulo ectángulo.6 10.. áea de un tiángulo cualquiea....6 10.5. puntos notables en el tiángulo.6 10.6. la lúnula 8 10.7. la cuadatua.....9 10.8. listado de ejecicios esueltos...51-55 10.9. listado de ejecicios popuestos....56-57 11. Guía de autoapendizaje nivel básico. 11.1. Ejecicios esueltos y popuestos..58-6 11.. Ejecicios popuestos 65 Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01.
Definiciones: 1. PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA Y AREA DEL CÍRCULO El Peímeto de la cicunfeencia, designada comúnmente con la leta P, es la longitud de la línea fonteiza que enciea un cículo. El númeo Pi, designado con la leta giega π y cuyo valo es π 3,1 suge del cuociente ente el peímeto P de una y su diámeto d = R R adio de la. P P π = P= π d O bien, π = P = π d La última expesión es la más usada en la liteatua matemática paa calcula el peímeto P de una. En cambio, un cículo es una egión que tiene a una cicunfeencia como fontea. Es una supeficie inteio a la cicunfeencia y podemos calcula en el áea del cículo. Aquí estamos ilustando el cículo, al inteio de la cicunfeencia, con la egión sombeada. El áea A del cículo viene dado po: A = π Ahoa no coesponde habla de peímeto del cículo. Pues, como ya se indicó, el peímeto no mide supeficies, sino longitudes, dimensiones lineales. 1.1. Ejemplos de cálculos de Áeas y Peímetos de s 1. Halle el áea y peímeto de la de adio 5 cm.. Halle el áea y peímeto de la de diámeto 1 cm. 3. Halle el áea y peímeto de la egión sombeada. o es cento de la mayo. Reemplazando el valo de: = 5 cm. en las fómulas del Áea y Peímeto, tendemos: A= π = π 5 cm = 5 π cm d =1 cm R =7cm Reemplazando el valo R = 7 cm. en las fómulas del Áea y Peímeto: π A = = π 7 cm = 9 π cm La egión achuada tiene po áea la difeencia de áeas de dos s: ( ) ( ) A = πr π = π R = π 36 9 cm = 7 π cm P= π=π 5 cm =10 π cm P= π=π 7 cm =1 π cm También podemos usa:: P= dπ =1 π cm Y su peímeto po la suma: P = πr+ π = π ( R+ ) =π 6+3 cm = π 9 cm =18 π cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 3
. Halle el áea y peímeto de la egión sombeada. En la figua, AB= 1 cm, donde AB es diámeto de la más gande. 5. Halle el áea y peímeto de la egión sombeada. O es cento de la mayo y el adio de la meno mide cm. 6. Halle el áea y peímeto de la egión sombeada. O es cento y AB es diámeto. Al igual que en el ejemplo anteio, debemos esta áeas de s. Peo en este caso, debemos esta áeas de a la mayo. Pues bien: AB =1 cm R = 6 cm; = 3 cm. Entonces: A= πr π π = π 8 3 3 cm = 6 9 9 π cm ( ) = 6 cm El peímeto de la figua achuada está limitado po tes cicunfeencias. Y viene dada po la suma de todos los peímetos: P= πr+ π+ π = π ( R+ + ) = π ( 6 + 3+ 3 ) cm = π 1 cm = π cm Aquí nuevamente tenemos dos cicunfeencias, de las cuáles debemos esta sus espectivas áeas paa obtene la supeficie de la egión achuada. La cicunfeencia más pequeña tiene adio = cm. Mientas que paa obtene el adio de la mayo, debemos nota que la medida de 13 cm sobepasa a la medida de su adio pecisamente en la medida del adio de la más pequeña. Quieo deci que, según la figua, el adio R de la más gande es: R= 13 cm R=9 cm Ya con los adios de ambas s, pocedemos a esta sus áeas paa obtene así, la de la figua sombeada: A= π R ( ) = π 9 cm = π 81 16 cm ( ) = 65 π cm El peímeto de la figua está nuevamente delimitado po el de ambas s. En este caso, se suma sus peímetos individuales: P = π 9+ π cm π = 18+8 cm =6 π cm Si tasladamos el semicículo de la izquieda a la deecha, tendíamos la siguiente figua: Que es a su vez el áea de un semicículo de adio: = 8 cm. π π8 A= = cm 6π = cm = 3π cm En cambio, el peímeto de la figua oiginal achuada, está limitado po tes semicicunfeencias: La mayo de las s, de adio R = 8 cm y las dos semi s menoes, de adio = cm. P = π R + π = πr+ π = π ( R+ ) = π ( 8+ ) cm = π ( 8+8 ) cm =16 π cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01.
1.. En elación al peímeto del último ejecicio algo podemos induci Notemos que en el ejecicio = R. (*) En este caso: = 8 Antes de eemplaza los valoes R = 8 cm y = cm. La expesión del peímeto es: P = π ( R + ) El que se puede eescibi usando (*) como: P = π (R+R) = πr Es deci, la figua sombeada siempe tendía un peímeto igual a la mayo. Ahoa viene lo inteesante. El peímeto de todas las siguientes figuas sombeadas, también son iguales a πr! Lo inteesante es ve el patón egula en las fomas de estas y conclui posteiomente. En cada una de las siguientes figuas, AB es diámeto y o es cento de la cicunfeencia. 1.. 3. Podemos imagina una cicunfeencia con n semicicunfeencias conguentes y tangentes ente sí a lo lago del diámeto de la cicunfeencia completa. De esta manea y po lo que se despende de la figua, podemos induci una elación ente el adio R de la cicunfeencia y el adio de cada una de las semicicunfeencias que se distibuyen en tono al diámeto. Númeo N de Relación ente AO = Peímeto de la figua sombeada semicicunfeencias R = OB y N = (pág.anteio) R = OB = P = πr + π = π( R+ ) y como R= R = π( R+ R) = = π R N = 3 (ecuado 1) R = OB = 3 P = πr+ 3 π= π( R+ ) R = π( R + R) pues R= 3 = 3 = π R N = (ecuado ) R = OB = P = πr+ π= π( R+ ) R = π( R + R) pues R= = = π R N = 5 (ecuado 3) R = OB = 5 P = πr+ 5 π= π( R+ 5) R = π( R + R) pues R= 5 = 5 = π R N = n (ecuado 3) R = OB = n R = n P = πr+ nπ= π( R+ n) = π( R + R) pues R= n = π R Se puede nota además que, cuando el númeo n de semicicunfeencias es pa, las supeficies sombeadas se pueden edistibui paa cubi con exactitud medio cículo. Con π R lo que el áea, en tales casos es: A = Y si n es impa, el áea tendá una de las fomas: Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 5
πr π π R πr 1 A= ± = R ± = 1± n n Siendo el último témino + si sobesale más allá del medio cículo la edistibución de las egiones sombeadas y en caso que la edistibución de las zonas sombeadas no alcance a cubi medio cículo. Ejemplos: Halle el peímeto y áeas de las siguientes egiones sombeadas: En cada una de las siguientes figuas, R = 60 cm. AB es diámeto y o es cento de la cicunfeencia. 1.. 3. El peímeto, confome a la tabla anteio es: P = πr = 10 π cm. La egión sombeada no alcanza a cubi medio cículo, po lo que su áea es, con = 60 cm/3 = 0 cm. πr π A= 3600 π 00 π = cm 300 π = cm =1600 π cm El peímeto, confome a la tabla anteio es: P = πr = 10 π cm. El númeo de semicicunfeencias es pa, así que el áea de la egión sombeada foma exactamente medio cículo: π R A= π 3600 = cm =1800 π cm El peímeto, confome a la tabla anteio es: P = πr = 10 π cm. La egión sombeada cube más de medio cículo. Su áea es, con = 60 cm/5 = 1 cm. πr π A= + 3600 π 1 π = + cm = 1800 π + 7 π cm =187 π cm Inteesante es nota que la elación del peímeto P = πr se mantiene en egiones sombeadas de la foma: 1.. 3. Donde en todos los casos, AB es diámeto de la cicunfeencia mayo. Y podemos induci que es válida paa n cicunfeencias inteioes con adios a lo lago del diámeto. Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 6
. CORONA CIRCULAR Es la supeficie compendida ente dos cicunfeencias concénticas, esto es, que compaten el mismo cento. Pesentamos a continuación, en la fig. de la izquieda, la foma de toda coona o anillo cicula. Y cuya áea se obtiene como la difeencia o esta de las áeas de los dos cículos que lo componen, ilustado a la deecha. Esto es: A = πr π = π R En cuánto al peímeto de todo anillo cicula, debemos considea la suma de peímetos de las dos cicunfeencias que lo definen, de adios R y. Esto es: = πr+ π = π R+ P Ejemplos: Halle en cada una de las siguientes coonas o anillos ciculaes, el áea y peímeto en cm. 1.. 3. Reemplazando R = 9 y = 5 cm. espectivamente en las fómulas del Áea y Peímeto, tendemos: = π R A π ( ) = 9 5 cm = π 91 5 cm ( ) =66 π cm Reemplazando R = 5 y = 3 cm. espectivamente en las fómulas del Áea y Peímeto, tendemos: A = π ( R ) π ( ) = 5 3 cm = π 5 9 cm =16 π cm Reemplazando R = 8 y = 3 cm. espectivamente en las fómulas del Áea y Peímeto, tendemos: A = π ( R ) = π ( ) 8 3 cm = π ( 6 9) cm = 55 π cm π P = π R+ = 9+5 cm = π 1 cm =8 π cm P = π ( R+ ) π = 5+3 cm =π 8 cm =16 π cm P = π ( R+ ) π = 8+3 cm = π 11 cm = π cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 7
3. TRAPECIO CIRCULAR Un tapecio cicula es una egión de un anillo o coona cicula, limitado po los lados que detemina un ángulo del cento al inteio de un cículo. El peímeto de un tapecio cicula -figua de la deecha, viene dado po: P = peímeto de ( AC + BD + AB + CD) πr α π α πα = ( R ) + ( R ) + + /factoizamos 360º 360º 360º ( R ) πα = ( R ) + ( R+ ) y simplificando po la facción 360º απ = ( R ) + ( R+ ) 180º Donde el peímeto de cada aco es popocional a la medida del ángulo α especto a los 360º que componen los peímeto πr y π de cada una de las cicunfeencias concénticas -con un mismo cento O. El áea del tapecio cicula viene dado po la difeencia de los sectoes ciculaes que deteminan los lados que definen el ángulo del cento sobe el cículo. R A = π α π α = ( R ) πα 360º 360º 360º Nota apate (peo no despeciable): Si las bases supeio e infeio- del tapecio cicula se pusiesen ectilíneas, consevando las medidas de sus distancias ente los extemos y sin vaia tampoco su altua R ente ellas, la expesión del áea del nuevo tapecio ectilíneo, seía la misma especto al del tapecio cicula. Ejecicios Resueltos: Halle el peímeto y áea en cm y cm espectivamente, de: 1. R = 7 cm y = cm.. R = 10 cm y = cm. 3. R = 8 cm y = 5 cm. El peímeto del tapecio cicula, en cm es: 0π P=( 7 ) + ( 7+) 18 0 36π =10+ cm =10+ π cm 18 El áea es: π ( 0 A = 7 ) cm 360º 0º π = 5 cm 360º 9 5 = π cm = 5 π cm 9 El peímeto del tapecio cicula, en cm es: 60π P = 10 + + 10 180 1π = +1 cm 3 ( ) El áea es: ( 60π A= 10 ) 360º 6 π = 8 cm 6 =1 π cm cm El peímeto del tapecio cicula, en cm es: P= ( 8+5) 15 0 π +( 8 5) 18 0 5π = 13 + 6 cm 6 65π = + 6 cm 6 El áea es: 5 ( 15 0π A= 8 5 ) cm 1 36 0 5π 195 = 39 cm = π cm 1 1 Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 8
. SECTOR CIRCULAR La supeficie compendida ente dos adios y el aco que subtienden ente sí, se denomina secto cicula. En la figua, es la egión achuada El áea de un secto cicula cuyo ángulo del cento -o acomide α, se detemina mediante popocionalidad diecta. Clasificando ángulos de la completa con α y sus espectivas áeas, como sigue: Efectuando el poducto cuzado y despejando x: Gados Áeas 360 π α x α π 360x= α π x= 360 α π Donde x = es la medida del áea de un secto cicula cuyo ángulo del cento 360 y aco que subtiende miden αº. En tanto, el peímeto de un secto cicula puede obtenese usando también una popoción, peo lógicamente no con el áea, sino con el peímeto de una cicunfeencia. Ejemplo: la medida lineal del aco BA = x es: Gados Peímeto 360 π α x α π απ 360x= α π x= = 360 180 Y el peímeto final del secto cicula de adio es: α π P= OA+ OB+ BA= + + 360º α π = + 360º O bien, si se pefiee, simplificando la facción po dos: α π P = + 180º RESUMIENDO: El áea de un secto cicula de adio, que subtiende un aco o ángulo del cento α α π viene dado po: A = 360 Y el peímeto del mismo es: α π α π P = + = + 360º 180º Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 9
Ejemplos: Halle en cada una de los siguientes sectoes ciculaes, el áea y peímeto. 1.. 3. El ΔABC es equiláteo. R, S y T son puntos medios de sus lados. Reemplazando en las expesiones del áea y peímeto = 9 cm tendemos: α π 1 A = = 10 º π 9 360º 360º 3 Reemplazando en las expesiones del áea y peímeto = 3 cm tendemos: 1 α π 5 º π 3 A= = 360º 360º 8 9π = 8 O bien, notando: que 10º es la 3 ea. pate de una. π π 9 A = = =7 π cm 3 3 O bien, notando: que 5º a π P= + es la 8 va. pate de una : 360 1 1 0 π 9 3 π π3 9π A = = = c = 9+ 8 8 8 m 3 1 36 0 Después de múltiples simplificaciones: Y el peímeto esulta se: π π3 = ( 18+6 π) =6( 3+ π)cm P= + = 3+ 8 8 O bien: como el aco de 10º P=6+ π 3 3π =6+ cm es la 3 ea 8 pate de la : π π 9 P= + = 9+ 3 3 = ( 18+6 π ) cm = 6 3+ π cm Los tiángulos equiláteos tienen sus tes lados iguales y además epaten en sus vétices los 180º también en tes pates iguales. Po lo que cada secto cicula tiene un ángulo del cento en el vétice del Δ igual a 60º con un adio de cm. Así que los tes sectoes ciculaes son conguentes ente sí. Basta entonces halla el áea y peímeto de uno de ellos y a cada esultado, amplificalo po tes. α π 60º π A 1 = = 360º 360º 6 16π = cm 6 8π = cm 3 Po lo tanto: A=8 π cm Es el áea pedida. Y el peímeto de un solo secto cicula es: α π P1 = + 360 60 π = + 360 3 6 π = 8 + cm 3 Entonces, el peímeto final es: P= + cm π Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 10
Considee la utilidad de simplifica expesiones algebaicas faccionaias, facilitan el cálculo final de áeas y peímetos. Es impotante tene pesente algunas elaciones de compaación ente distintos ángulos, especto a los 360º que confoman una. Tales consideaciones simplifican el cálculo de áeas y peímetos, como se usó en los ejemplos 1 y. Así, en luga de las expesiones más comunes del: α π Áea A = y peímeto P α = + π o P = + α π 360 360 180 Paa los ángulos de la siguiente tabla, es mejo nota que: Gados Razón con especto a los gados de una Cicunfeencia (360º) 10º 10º 1 = 360º 36 0º 1 0º 0 º = 360º 36 18 0 º = 1 18 30º 1 30º 3 0 º = 360º 36 1 0 º = 1 1 Tal denominado, en el Peímeto de un Secto Cicula es: π P = + 36 π P= + 18 1 π π = + = + 18 9 9 π P= + 1 = + 1 π π = + 1 6 6 Tal denominado, en el Áea del Secto Cicula es: A = π 36 A = π 18 A = π 1 Halle expesiones paa el áea y peímeto de sectoes ciculaes usando simplificación de las fómulas de áeas y peímetos, como hemos vistos, con los siguientes ángulos: Gados Relación con especto a una Peímeto del Secto Áea del Secto Cicunfeencia (360º) Cicula Cicula 5º 1 5º 5 º = 360º 360 8 º = 1 π P= + π A = 8 60º 90º 10º 180º Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 11
5. SEGMENTO CIRCULAR Es la egión del cículo compendida ente una cueda y uno de los acos que subtiende. El cuál, obsevemos, esulta de la difeencia ente las siguientes áeas: Es deci: Áea segmento cicula = áea del secto cicula áea del ΔOAB α π = áea delδoab 360º Paa conoce el áea del ΔOAB pocedemos a baja la altua desde el vétice O hasta la base b = AB. h base h base hb Y el áea viene dado po A= A= = Y po Pitágoas, en el ΔOBD: b b b b = h + = h + h = = (*) Podemos considea los siguientes casos paa áeas de Δs OAB: i) El ΔOAB es equiláteo, o bien: α = 60º. En tal caso se tiene que la medida de todos sus lados son iguales, la base es igual al adio, esto es: b= Y al eemplaza b =, la medida de la altua h indicado en (*) se tansfoma en: 3 3 h = h = h= 3 h base 3 Con lo que el áea del ΔOAB nos queda: A = = = Y el Áea segmento cicula = áea del secto cicula áea del ΔOAB α π 3 1 60 π 3 π 3 = = = 360º 360º 6 6 En este caso, podemos expesa el áea del secto segmento cicula en función de. Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 1
ii) Cuando el ΔOAB sea ectángulo en O, o bien: α = 90º. La expesión del áea es muy fácil. Pues el áea de todo tiángulo ectángulo puede hallase mediante el semipoducto de sus dos catetos. En este caso, de sus adios. OA OB A ΔOAB = = Y el Áea segmento cicula = áea del secto cicula áea del ΔOAB α π 1 90 π π = = = 360º 360º Y podemos expesa el áea del segmento cicula en función de. No es necesaio memoizala, sino más bien sabe deducila del áea de todo Δectángulo. iii) En el caso de que el Δ OAB sea isósceles con α = 30º, tendemos que ecoda que: Baja la altua desde uno de los vétices que están en la, al lado opuesto. Se foma así un ΔOAD ectángulo en D. Véase figua de la deecha. Donde la base b=. Además, en TODO Δectángulo, el lado opuesto al de 30º mide SIEMPRE la mitad que la hipotenusa, en este caso, que el adio (su fundamento se halla en la función seno, de tigonometía). Así, h =. En definitiva, lo que se debe de ecoda es h =, más el áea de todo tiángulo: hb A = = = Obteniendo el áea del ΔOAD. Así, el áea de todo el segmento cicula que subtiende un ángulo del cental de 30º vendá dado po: Áea segmento cicula = áea del secto cicula áea del ΔOAB α π 1 30 π π = = = 360º 360º 1 1 Y podemos expesa el áea del segmento cicula en función de. No es necesaio memoizala, sino más bien ecoda lo necesaio paa deducila. iv) En el caso de que el ΔOAB sea isósceles con α = 5º. Fig. de la deecha: En el ΔOAD ectángulo h sen 5º = = h = hb el áea de ΔOAB es A = = = Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 13
Y el Áea segmento cicula = áea del secto cicula áea del ΔOAB 1 α π 5º π π = = = 360º 360º 9 9 Y podemos expesa el áea del segmento cicula en función de. v) Si el ΔOAB es isósceles con α = 10º, tendemos que: Taza la bisectiz de α = 10º, la cual coincide con la mediatiz del segmento AB y contiene la altua bajada del vétice O. Se foman así los Δs conguentes OAD y OBD, con s del cento de 60º cada uno, así como uno ecto en D y el ángulo agudo estante, en los Δs conguentes OAD y OBD miden necesaiamente 30º. Pues, ecodemos que en todo Δectángulo, los s agudos han de se complementaios suman 90º. Véase la figua de la deecha. Recodemos que en TODO Δ ectángulo, el lado que se opone al ángulo de 30º mide SIEMPRE la mitad que la hipotenusa, en este caso, que el adio. Es deci, la altua h mide /. Podemos usa como áea de cada uno de los Δs conguentes OAD y OBD y ectángulos en D, el semipoducto de los catetos. Peo nos falta la medida, po ejemplo, en el ΔOBD, del cateto BD. Paa ello usamos en el Pitágoas. = OD + DB 3 3 = + DB DB = = DB= Luego, el áea del ΔOBD es: 3 OD DB 3 A = = = 8 3 3 Y como áeaδ OAB = áeaδ OBD + áeaδ OAD = = 8 Tenemos que: Áea segm cicula = áea del secto cicula áea del ΔOAB 1 α π 3 10 π 3 π 3 = = = 360º 8 360º 3 8 3 5.1. Tabla de áeas de Δs OAB que foman segmentos ciculaes Ángulos Fómula del ΔOAB 30º = 1 5º = 60º 3 3 = 90º = = Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 1
Nótese la egulaidad del facto constante y de las aíces: 1,, 3, que hay de 30º a 90º en las expesiones de las áeas paa cada ΔOAB. Recodalo puede facilita todo el cálculo de lo que debemos esta al secto cicula, al momento de obtene el áea de un segmento cicula. 5.. Relaciones de Áeas en Δs OAB de ángulos del cento suplementaios Ade más, habíamos hallado que la áeas de Δs AOB de 60º y 10º tienen la misma fómula o expesión paa el áea en función solo del adio, no ya de α. Es deci, sus áeas tienen igual medida ya sea si α = 60º ó α = 10º. La siguiente figua lo confima: También ocue una igualdad de áeas de tiángulos en otas paejas de ángulos: El punto paa ecoda es nota y ecoda, que: las paejas de ángulos son suplementaios y que ellos define áeas de Δs OAB iguales ente sí. Así po ejemplo, si al halla el áea de un segmento cicula nos hallamos con que debemos esta de un segmento cicula, un áea de ΔOAB cuyo ángulo del cento mide 150º, bastaá entonces ecoda el áea paa el ángulo del cento de 30º, ya que 150º + 30º = 180º, con la tabla de áeas que nuevamente me tomo la confianza de pesenta: Tabla de áeas de Δs OAB en segmentos ciculaes Ángulos Fómula de Áeas de Δs OAB 30º 1 = 5º 60º 3 90º = = Inspiada en una egla nemotécnica de la tigonometía. Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 15
5.3. Peímetos de las bases AB de tiángulos que foman segmentos ciculaes Paa obtene el peímeto de cada segmento cicula, debemos halla o conoce el peímeto de la base AB del tiángulo AOB La función tigonomética seno nos da las espuestas paa tales peímetos. La función seno de define como el cociente del lado opuesto a un ángulo y la hipotenusa del tiángulo ectángulo al cual petenecen. Po esto, tazamos la altua desde O hasta la base AB, fomándose dos Δs conguentes. La altua h bajada desde el vétice del cento, coincide con la bisectiz y la mediatiz. Esto quiee deci, que: AB = BD y cada uno de los dos Δs conguentes tiene un ángulo del cento igual a ( α /). En el ΔODB: lado opuesto al ( α / ) DB sen ( α / ) = = DB = sen ( α / ) hipotenusa AB = sen ( α / ) El peímeto del segmento cicula viene dado po la suma de los peímetos de la base ectilínea AB y cuvilínea del aco AB. Es deci, la expesión del peímeto del segmento cicula, cuyo ángulo cental es α tiene po expesión: π α P = sen( α /) + 360º La que nos muesta que debemos tene pesente SIEMPRE al momento de obtene el peímeto de segmentos ciculaes: que si el secto cicula o ΔAOB tienen un ángulo cental α, el peímeto de la pate ectilínea es con sen ( α /). Es bueno tene pesente el cuado que facilita la obtención de algunos valoes de la función seno. Razón o cociente ente el lado opuesto a un ángulo y su hipotenusa al inteio de un tiángulo ectángulo. Ángulos seno 30º 1 1 = 5º 60º 3 5.. Tabla de peímetos de bases AB de Δs OAB y de segmentos ciculaes Ángulos Fómula del ΔOAB Peímeto segmento cicula 30º AB = sen15º 0,5 30º π π + sen15º + 0,5 con calculadoa científica. 360º 6 5º AB = sen,5º 0,77 5º π π + sen,5º + 0,77 Usando calculadoa científica paa 360º obtene seno de,5º. 60º 1 60º π π AB = sen30 º = = + sen30 º = + 360º 3 90º 90º π π AB = sen5º = = + sen5 º = + 360º 10º 3 10º π π AB = sen60º = = 3 + sen60 º = + 3 360º 3 Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 16
5.5. Ejecicios Resueltos: Halle el áea y peímeto de cado uno de los siguientes segmentos ciculaes sombeados. 1. o cento de la cicunfeencia.. o cento de la cicunfeencia. 3. o cento de la cicunfeencia. El áea del secto cicula: 60º gados es la sexta pate del cículo, así que, en cm : π 3 6π 3π A = = = 6 6 3 3 =10,6 π Áea del Δ OAB: 60º ocupa la tecea posición de la tabla, esto es, le acompaña una 3 al facto constante. Es deci, el áea en cm es: 3 8 3 A ΔOAB = = 6 3 = =16 3 Y el áea del segmento cicula es la difeencia ente las áeas indicadas. 3π A= 16 3 cm 3 = 10,6 π 16 3 cm El peímeto, en cm, viene dado po: 1 π 60º P= sen 30º+ 6 360º 1 = 8 + π 8 6 3 8π = 8+ cm 3 El áea del secto cicula: 90º gados es la cuata pate de 360º, así que, en cm es: π 91π A = = =,75 π Áea del Δ OAB: 90º ocupa la cuata posición en la tabla anteio, asi que acompaña una al facto. Es deci, en cm : A ΔOAB = = 81 = = = 0,5 Y el áea del segmento cicula es l a difeencia ente las áeas indicadas. A =,75 π 0,5 cm El peímeto, en cm, viene dado po: π 90º P = sen5º+ 360º π 9 90º 1 = 9 + 360º 9π = 9 + cm El áea del secto cicula: 5º gados es la octava pate del cículo, así que su áea es, en cm : π 36π 9π A = = = =,5π 8 8 Áea del Δ OAB: 5º ocupa la da posición de la tabla, esto es, le acompaña una al facto constante. Es deci: 6 3 A ΔOAB = = = 9 3 en cm. Y el áea del segmento cicula es la difeencia ente las áeas indicadas. 9π A= 9 3 cm =, 5 9 3 cm ( π ) El peímeto, en cm, viene dado po: π α P= sen ( α /) + 360º π 6 3 = 6 sen,5º+ 8 3π = 1 sen,5º+ cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 17
. El ΔABC es equiláteo. 5. AB diámeto de la La unidad de medida está cicunfeencia de cento o. en m. 6. La cicunfeencia de cento o ha sido dividida en doce acos de igual medida. El tiángulo equiláteo define tes tiángulos con s del cento de 10º. 10º equivale a la tecea pate del cículo, po lo tanto:: π 100 π A sect = = m 3 3 = 33, 3 π m Y 10º y 60º son suplementaios. Sus Δ AOB tienen facto 3. 3 Aea ΔOAB = m 100 3 = m = 5 3 m Finalmente, el áea de la zo na sombeada es: A= 33,3 π 5 3 m El peímeto, en m, viene dado po: π α P= sen ( α /) + 360º 3 π 10 = 10 + 3 0π = 10 3 + cm 3 Tenemos dos sectoes ciculaes unidos foman media cicunfeencia: π π 16 A semi = = cm = 8 π cm Y las áeas de los Δ AOC y ΔBOC son iguales, pues 60º y 10º son s suplementaios. 60º ocupa la 3ea posición de la tabla, esto implica que le acompaña un 3 al facto constante /. Es deci, (en cm ): 3 3 A ΔAOC = = = 3 cm La suma de áeas de ambos tiángulos es el doble: A Δs =8 3 cm El áea de los dos segmentos ciculaes es la difeencia ente las áeas de los sectoes y los tiángulos: A = 8π 8 3 cm ( π ) = 8 3 cm El peímeto, en cm, de los dos segmento es: P = sen(60º /) + sen(10º /) π π + + 6 3 1 3 π 8π =8 +8 + + 3 3 = + 3 + π cm El áea del secto cicula oab: 360º 360º α = = =30º n 1 Con n = 1 acos en que se dividió la. Esto nos indica que un secto cicula es la doce ave pate del cículo. Po lo tanto, el áea de tal secto cicula es entonces: π π 8 8 A = = cm 1 1 3 16π = cm = 5,3 π cm 3 Áea del Δ OAB: α = 30º A ΔOAB = 1 8 8 = cm =16 cm Y el áea del segmento cicula es la difeencia ente las áeas indicadas. A = 5,3 π 16 cm El peímeto, en cm, viene dado po: π α P= sen ( α /) + 360º π 8 = 8 sen 15º+ 3 1 π = 16 sen 15º+ cm 3 Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 18
7. ABCDEF polígono egula inscito en la cicunfeencia de cento o. R = OA = OB = 3 cm. 8. El fondo es un cuadado 9. El fondo es un cuadado de lado 3 cm. de lado 3 cm. Sol ución: El áea del secto cicula oab: 360º 360º α = = =60º n 6 Donde n es la cantidad de lados del polígono egula inscito. En nuesto caso, n = 6. Esto nos indica que el secto cicula es la sexta pate de los 360º del cículo. Po lo tanto, el áea de tal secto cicula -fomado po el polígono egula es, entonces: 1 π π 3 3 A = = cm 6 6 3π = cm Áea del Δ OAB: α = 60º 9 3 A ΔOAB = 3= cm Y el áea del segmento cicula es la difeencia ente las áeas indicadas. 3π 9 3 A= cm El peímeto, en cm, viene dado po: π α P= sen ( α /) + 360º = 3 sen 30º+ π 3 6 1 = 3 + π cm = 3+ π cm La zona sombeada son dos segmentos ciculaes. Unidos en el eje de simetía del cual es pate una diagonal del cuadado. Hallemos pimeo la medida de un segmento El áea del secto cicula de la figua de aiba es: π 9π A = = cm El áea del Δ(ect) que debemos esta tiene el facto = al facto /. AΔ = 9 = cm La difeencia de tales áeas es: [(9/) π (9/)] cm Y el áea pedida, dos segmentos, es el doble: A= [(9/) π 9] cm El peímeto son dos cuatos (invetidos) de igual a media. P= π = π=3 π cm El áea de un cuadado de lado a es A = a. En nuesto caso, a = 3 cm. Así: = 3 cm =9 cm A Al cual debemos esta el áea obtenido pecisamente en el ejecicio anteio. El áea final es: A =9 (,5 π 9) cm ( π ) cm = 18,5 La difeencia es positiva, veámoslo al eemplaza π po 3,1. 18,5 3,1 cm =18 ( 1,13 ) =3,87 cm cm Es clao que paa esolve este ejecicio, ea necesaio plantease y esolve el anteio. El peímeto de la egión sombeada tiene contiene la medida de la pate cuvilínea del esultado al ejecicio anteio (media cicunfeencia) más la pate ectilínea (los lados del cuadado). P= a+ π= 1+3 π cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 19
6. Flo de Ejecicios! El penúltimo ejecicio de la pági na anteio es la base de un tema litealmente floido de ejecicios, como los siguientes. Halla el áea y peímeto de floes de n pétalos. 1. Un pétalo de flo.. Flo de dos pétalos. El fondo son dos cuadantes de adio. Debemos considea el eje de simetía del cual es pate una diagonal del cuadado. Hallamos pimeo la medida de un segmento cicula, notando que lo esencial es ve el cuato de un cículo. Claamente, solo se tata de duplica el áea y peímet o de la figua anteio. Pues tenemos dos cuadantes de adio, que es un valo cualquiea. π A pétalos = A segm s = 1 O bien : = ( π ) El peímeto s on cuatos (invetidos) de, lo que foman medias s, o bien, 1. El doble de medida que el ejecicio anteio. P pétalos = π El áea del secto cicula es: 3. Flo de tes pétalos. Los tes cuadantes son conguentes. π A 1 sect = Y el áea del Δ(ect) que debemos esta, con 90º en un vétice, tiene el facto = acompañando al facto /. AΔ = = Áea: Claamente, solo se tata de tiplica La difeencia de tales áeas es: el áea y peímeto del ejecicio 1. π A π A 1 segm = A 1 sect AΔ = 3 pétalos = A6 segm s =3 1 π El peímeto son 6 cuatos (invetidos) de = 1, lo que foman 3 medias s. P 3 pétalos = 3 π Y el áea pedida es el doble del áea. Flo de cuato pétalos. Los cuadantes hallada: son conguentes. π A 1 pétalo = A segm s = 1 El peímeto son cuatos de cicunfeencia (invetidos ente sí), que distibuidos convenientemente foman 1 mitad. P 1 pétalo = π = π Amplificamos po los esultados del ejec.1. Y hasta aquí únicamente se pueden amplifica. Más de pétalos cuyos vétices ocupen todo un cuadante se supepondían ente sí, no seían posibles. Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 0
5. Flo de tes pétalos conguentes. 6. Flo de seis pétalos conguentes. Consideando la simetía cental, hallaemos pimeo el áea de un pétalo. Paa esto, debemos pimeo considea uno de los segmentos ciculaes de los dos que lo componen y luego duplica su medida. Remitiéndonos al cuadante de la figua. A 1 segm =A 1 sect AΔ60º π 3 = 6 / π 3 A 1pét = 6 / 3 π 3 A 3pét =6 6 3 3 O bien : = π El peímeto está compuesto po la pate cuvilínea de seis sextas pates de s. Sextas pates poque cada una está fomada con un ángulo del cento de 60º. Así que: π P= 6 = π 6 Aquí solo debemos considea la simetía cental especto al ejecicio anteio y si, podemos duplica los esultados del ejecicio anteio. Peo ojo, no se puede considea 9, 1, 15, pétalos con objeto de amplifica en tales casos los esultados del ejecicio 5. Poque con 6 pétalos si? La espuesta se debe a que 6 60º = 360º 6 es el númeo de otaciones que cube un pétalo fomado con 60º en una cículo, sin supepone pétalos. Es también el númeo máximo de pétalos que se puede foma con la simetía cental de los 3 pétalos to mados todos a la vez, del ejecicio anteio, sin supeposición de ellos. Po lo tanto, si: A 1pet = A 60º π 3 = 6 π 3 A 6pet =1 6 = 3 3 ( sect AΔ ) ( π ) Y el peímeto es: P= π= π Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 1
7. CIRCUNFERENCIAS Y CÍRCULOS EN UN CUADRILÁTERO COMO FONDO Una supeficie puede esta compuesta po distintas figuas geométicas. Comenzaemos con un cuadado como fondo, que es un tema de pesentación muy usual en la liteatua matemática. 7.1. Listado de Ejecicios Resueltos: Halle el áea y peímeto de cada una de las siguientes figuas sombeadas. Suponga la unidad de medida en cm. 1. La cicunfeencia está. La cicunfeencia está inscita en el cuadado. inscita en el cuadado. Áea de la egión sombeada: La medida de cada lado del cuadado coincide con el diámeto de la y esta a su vez equivale el doble que el adio. En nuesto caso, si a es la medida de cada lado: a= =10 cm La figua sombeada esulta de esta el áea del cículo de adio, al del cuadado de lado a. Esto es: A= a π = 10 π 5 cm = 100 5 cm ( π ) = 5( π ) cm (Tas factoiza po 5 la expesión anteio). Peímeto de la egión sombeada: El peímeto de la figua achuada es la suma de los peímetos del cuadado y de la cicunfeencia que lo delimitan. P= a+π = ( 10 + 5π ) cm = 0 +10 π cm Áea de la egión sombeada: El áea de la figua achuada se puede esolve viéndolo o intepetándola de dos maneas distintas. 1 eo : Como la cuata pate de la difeencia ente las áeas del ejecicio anteio: Es deci, se puede deiva su esultado del ejecicio pevio. A a π 100 5π = 5 = cm = ( π ) cm : También se puede halla el áea intepetando la figua achuada como la difeencia ente las áeas de un cuadado de lado a = 5 cm y la cuata pate de una cicunfeencia de adio = 5 cm. π 5 π A = a = 5 π cm = 5 1 cm No es la misma expesión del áea, hallada en la pimea intepetación de la figua achuada, peo si ambas expesiones son equivalentes ente sí. do Peímeto de la egión sombeada: El peímeto que limita la egión achuada viene dado po la suma de peímetos del cuadado de lado a = 5 cm y del aco de del pime cuadante: π P= a + 5π = 5 + cm = 0 +,5 cm ( π ) Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01.
3. La semi cicunfeencia tiene adio = 5 cm.. La cicunfeencia está inscita en el cuadado. Áea de la egión sombeada: Aquí tenemos la difeencia de áeas ente un ectángulo de lados: a = 5 cm, b = 10 cm y un semicículo de adio = 5 cm. ab π π 5 A = = 5 10 cm 5π π = 50 cm = 5 cm Donde hemos factoizado po 5 en la última expesión. Peo también se puede intepeta, si ecodamos el ejecicio anteio, como la semidifeencia de áeas ente un cuadado de lado a = el doble del adio de = = 10 cm y la de adio = 5 cm. a π 100 π 5 A = = cm 100 5π = cm 5π = 50 cm π = 5 cm Es inteesante que el alumno note en los ejecicios, las vaiaciones que se despenden a pati de otos efectuados peviamente. Así como las fomas en que puede expesase un esultado debido po medio de la factoización. Peímeto de la egión sombeada: El peímeto de la figua achuada está definido po tes de los lados del ectángulo y po la media cicunfeencia sin considea su diámeto. Áea de la egión sombeada: Se despende de la figua anteio, que solo se ha otado el secto deecho de la egión achuada, sin sufi vaiación alguna en el tamaño de la supeficie afectada. Esto dado que la cicunfeencia es tangente en el punto medio de cada lado del cuadado. Lo que define simetías en las medidas de las esquinas. Po lo tanto, el áea de la figua esultante es igual al caso anteio. ab π 5 π A = = 50 cm π = 5 cm Peímeto de la egión sombeada: El peímeto está fomado po cuato segmentos ectilíneos de 5 cm cada uno más cuatos del peímeto de una cicunfeencia de adio = 5 cm. Esto es: 1 P= 5+ π 5π = 0 + cm = ( 0 +,5 π ) cm P= a+ b+ a+ π = ( 5+10+5 +5 π ) ( π ) = 0 + 5 cm cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 3
5. ABCD es un cuadado de lado a = 10 cm. E, F, G y H son puntos medios de cada lado del cuadado. 6. 7. Áea de la egión sombeada: Los puntos medios nos indican que los vétices A y C son cento de un cuadante de s de adios = 5 cm. Los que en conjunto foman una semicicunfeencia con el adio indicado. Así el áea de la e gión achuada es nuevamente la difeencia ente un cuadado de lado a = 10 cm. y una semicicunfeencia de adio = 5 cm. π 5π A = a = 100 π = 5 cm Peímeto de la egión sombeada: Viene dado po la difeencia ente el cuadado de lado a = 10 cm y cuato medios lados que equivalen a lados, los que a su vez se suman a dos cuatos de cicunfeencia que foman ente sí media cicunfeencia. Esto es: P=a ( a+ π ) = a π 5 = 0 5 π cm Áea de la egión sombeada: E, F, G, H son puntos de medios de cada lado del cuadado. Y cada secto cicula es un cuadante de cicunfeencia, los cuales unidos, foman un ciculo de adio = 5 cm. Esto es: π A= =5 π cm Peímeto de la egión sombeada: El peímeto está fomado po el cuadado de lado a = 10 cm y cuato cuatos de s que foman una de adio = 5 cm. P= a+π = ( 10 + π 5) cm = 0 +1 0 π ) cm ( Áea de la egión sombeada: Del ejecicio anteio se despende que el áea achuada esulta de la difeencia de áeas ente un cuadado de lado a = 10 cm y un cículo de adio =5 cm. A= a π = 100 5 π cm ( π ) = 5 cm Peímeto de la egión sombeada: El peímeto está fomado po cuato cuatos de s que a su vez, foman una completa de adio = 5 cm. P = π cm =10 π cm. Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01.
8. ABCD cuadado de lado a = 10 cm. E punto medio del lado BC. F y G son puntos medios de BF y FC espectivamente. Halle el áea y peímeto de la egión sombeada. 9. ABCD es cuadado de lado a = 10 cm y O es cento de la semicicunfeencia de diámeto AB. 10. E, F, G, H puntos medios de los lados de 10 cm del cuadado ABCD. Halle el áea y peímeto de la egión sombeada. Áea de la egión sombeada: El áea viene fomada po la difeencia de áeas ente el cuadado y los tes semicículos. El mayo de adio = 5 cm y los dos cículos menoes, de adio,5 cm = 5 cm. cada uno. π R π A= a + 5π 5 =100 + π 5 =100 1,5 π + π =100 ( 1,5 π + 6,5 π) = 100 18,75 π cm Peímeto de la egión sombeada: Fomado po dos lados del cuadado, una semicicunfeencia de adio R = 5 cm y dos de adio =,5 cm. P=a+ π R π + = a+ πr+ π = 0 + 5π + (,5) π = 0 + 10 π cm Áea de la egión sombeada: El cuadado nos indica que tenemos el cuadante de un cículo de adio R = 10 cm, al cual debemos esta la supeficie de un semicículo de adio = 5 cm. πr π A= 100π 5π = cm 5π = 5 π cm 5π = cm Peímeto de la egión sombeada: Viene dado po un lado de a = 10 cm., más un cuato de peímeto de una de adio 10 cm y un semipeímeto de adio = 5 cm. Esto es: π R π P = a + + 5 π 10 =10+ + π 5 = 10+5 π +5π =10 +10 π cm =10 1+ π cm Áea de la egión sombeada: La figua ilusta tapecios ciculaes que si unimos convenientemente, foman un anillo cicula que esulta de dos concénticas de igual cento. La mayo, de adio = 5 cm y la cicunfeencia meno, de adio = 3 cm. El áea viene dada po la difeencia de áeas ente los cículos que ambas foman: A= πr π = R π ( 3 ) = 5 π cm =16 π cm Peímeto de la egión sombeada: Viene dado po el anillo cicula que se foma, más segmentos ectilíneos, cada uno conguente al segmento IM = AM AI = (7 3) cm = cm. π ( + ) + π ( + 3) + ( ) ( π + ) ( π ) P= R IM = 5 7 3 cm = 8 16 cm =16 +16 cm = 16( π + 1) cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 5
7.. EJERCICIOS DIVERSOS CON ALTERNATIVAS 1) ABCD es ectángu lo. AB = cm. Entonces, la suma de las áeas de los tes semicículos es: A) 6 π cm B) 1 π cm C) D) 18 π cm π cm E) 36 cm π Las tes cicunfeencias de la figua son conguentes. Y el diámeto de cada una de ellas es cm =6 cm. Así que sus adios, po definición, igual a la mitad del diámeto, esulta se: R = 3 cm. Pues bien, paa obtene el áea de la egión sombeada, basta calcula el áea de tan solo una de las s y amplifica dich a áea po la cantidad de s pesentes, esto es, po cuato. Pues bien. El áea de una de ellas es: A = πr = π 3 cm = 9 π cm Y al amplifica este esultado po el númeo de s pesentes, obtenemos: A = 9 π cm = 36 π cm. Altenativa E). ) Respecto al enunciado anteio, Cuál es el peímeto que enciea la egión sombeada? A) 6 π cm B) 1 π cm C) 18 π cm D) π cm E) 36 π cm El peímeto de una de la s es: P=πR= π 3 cm=6 π cm Y al amplifica este esultado po el númeo de s pesentes, obtenemos: P= 6 π cm = π cm. Altenativa B). 3) Si cada cuadadito epesenta 1 m entonces el áea de la supeficie sombeada mide: A) 7,1 m B) 8 m C) 10,8 m D) 11,1 m E) 1, 8 m El áea no está expesada en téminos de π. O la figua es cuadable, lo que siempe es maavillosos o es solo que se ha eemplazado el valo de π po 3,1. Veamos: Claamente se obseva un cuadado cental de cuaditos de 1 m c/u, los que suman un áea de. Y semi s que foman ente sí solo s de adio 1 m m c/u. El áea que suman ambas s es de π R = π 1 = π. Luego, el áea total es: + π m = + 3,1 m = +6,8 m = 10,8 m Altenativa C). Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 6
) 11Si cada cuadadito epesenta 1 m, entonces el áea sombeada mide: A) ( 8 3 π ) m B) ( 11 3 π ) m C) ( 1 3 π ) m D) ( 0 3 π ) m E) 3 π m Los contonos y las egiones sombeadas se pueden distibui de distintas maneas paa facilita el cálculo del áea. Una de ellas es: Esta distibución nos muesta 8 cuaditos de 1 m = 8 m Y 3 veces la difeencia ente: Un cuadado de lado a= m y un cículo de adio 1 m. Es deci: 3 a π R 1 =3 π =3 π =1 3 π. La suma de las áeas que nos aoja la egión sombeada es: (0 3 π ) m Altenativa D). 5) En la figua, las cuato cicunfeencias inteioes son conguentes. El peímeto que enciea la egión sombeada es, expesada en téminos de R igual a: π R π R C) A) π R B) π R D) E) N.A R Cada inteio tiene un adio de medida. Luego, el peímeto de una de ellas es: R P π = y el peímeto de las cuato es: P = π R = π R Quien lo diía. Igual al peímeto de la más gande. Altenativa A). 6) El áea de la egión sombeada en la figua anteio es, expesada en téminos de R: A) π R B) π R C) π R π R π R D) E) R π R El áea de una de ellas es: A π = = y la suma de las áeas de las cuato s 16 π R π R esulta se entonces: A = =. Altenativa E). 16 Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 7
7) El diámeto AB de la ha sido dividido en seis pates iguales. Cada pate es a su vez diámeto de una semi. Halle una expesión paa el áea de la egión sombeada. A) 6π R B) 3π R πr C) D) π R 3 E) π R 6 Las semi inteioes son conguentes ente sí y ceadas po el diámeto AB, las áeas que de estas son iguales ente sí. Po lo que podemos edistibui las áeas a la siguiente foma: Lo que en definitiva, se puede obtene el áea de una semi-. πr A= Altenativa C). 8) El peímeto que enciea la egión sombeada en la figua del enunciado anteio expesada en téminos de R: A) π R B) π R C) 3π R 7π R D) E) π R Se tiene una semicicunfeencia ( semi ) de adio R. El peímeto de ella es π R P = = π R. Si llamamos el adio de cada semi inteio y compaamos los adios R y del cento de la al punto A (ó B) obtenemos la elación: R = 6 adios de semi s inteioes R=6 O bien, despejando en función de R: R = 6. Y el peímeto de las seis semi s inteioes es: π R P 6 =6 =6 π = π R 6 El peímeto total de la figua sombeada es: P = P + P = πr + πr = πr 6 El de la cicunfeencia completa!, (como en los ejecicios pevios del peímeto paa este tipo de ejecicios, págs. 5-6! Altenativa B). Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 8
9) La azón ente las áeas de la egión A de cento en O y colo gis- especto al cículo B -de diámeto OT y colo azul- es, con T punto de tangencia ente los cicunfeencias, igual a: A) 8 1 B) 1 C) 3 1 D) 1 E) N.A Sea R adio de la A ( mayo), entonces ( meno). Así, la azón ente sus áeas es: R πr π R R áea A R = = = R : = áea B R R π Altenativa B). R 1 R 1 R es la medida del adio de la B = 1 Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 9
8. COMBINACIÓN DE EJERCICIOS DE ÁREAS Y PERÍMETROS CON PROPIEDADES DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Con la combinación de popiedades de ángulos en la cicunfeencia sugen ejecicios que difícilmente nos pueden deja indifeentes. Recodemos algunas de estas popiedades: 1. El ángulo del cento mide el doble que el ángulo inscito.. El ángulo del cento subtiende un aco de cicunfeencia de igual medida que el. AB = α = AOB O bien; el ángulo inscito mide la mitad que el ángulo del cento. 3. Los ángulos inscitos que subtienden el mismo ángulo del cento -o aco de cicunfeencia, son iguales ente sí y miden la mitad que el ángulo del cento así como del aco que subtiende.. Ángulos opuestos suman 180º en todo cuadiláteo inscito a una cicunfeencia. En la figua: α + γ = 180º β + δ = 180º O bien, el ángulo del cento mide el doble que todos los ángulos inscitos que subtienden el mismo aco que el. 5. Ángulo inteio a una cicunfeencia. Un ángulo inteio a una cicunfeencia es aquel ángulo fomado po dos cuedas que se cotan, como se muesta en la figua. Y su medida se obtiene mediante la fómula: AB + CD x = O bien, α + β x = 6. Ángulo exteio a una cicunfeencia fomado po dos secantes. La medida de un ángulo exteio x, fomado po dos secantes PA y PD, se obtiene mediante la fómula: AB CD α β x = O bien: x = Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 30
Veamos sus aplicaciones a ejecicios de áeas y peímetos en sectoes ciculaes: Halle el áea y peímeto de los sectoes ciculaes sombeados: 1. El ángulo x es inteio a la. El ángulo x es exteio a la 3. El cuadiláteo ABCD está cicunfeencia de cento o. cicunfeencia de cento o. inscito en la α = AD =? y β = BC = 10º α = CD =?; β = AB =?; cicunfeencia de cento o. El adio = 18 cm. y el diámeto CD mide AEB = 15º ; x = 30º; 8 cm. = 6 cm. Sol ución: La figua nos muesta que x es adyacente suplementaio al ecto (90º). Entonces: 90º + x= 180º x= 90º Y po se x inteio, tenemos entonces: α + β x = Reemplazando x = 90º: α +10º 90º= / / 10º 180º 10º= α 60º= α La egión sombeada subtiende un aco de 60º. Y la supeficie es la sexta pate del cículo, de adio: = (8 cm)/ = cm. π π A = = cm 6 6 8π = cm 3 El peímeto de la sexta pate de la : π π π P= = cm= cm 6 3 3 3 β = AEB = 15º= 30º Pues un aco mide el doble que todo inscito con el cual subtienda el mismo aco. Po definición de ángulo exteio a una cicunfeencia: α β x = Reemplazando x y β, iguales a 30º, obtenemos: α 30º 30º= / / + 30º 60º+30º = α 90º= α Esto nos dice que la egión es la cuata pate del cículo. Así que: π π 6 A= = 36 π = cm = 9 π cm Y el peímeto de la cuata pate de la cicunfeencia es: π π 6 P = = cm 1π = cm = 3 π cm Recodemos que un cuadiláteo inscito a una, los ángulos opuestos son suplementaios suman 180º. Así, en la figua del ecuado: x+ x= 180º 3 x =180º / : 3 x = 60º Y ecodando que el del cento α, mide el doble que el ángulo inscito con el cual subtiende el mismo ac o BD. α = DAB = 60º = 10º. Luego, la egión achuada es la tecea pate del cículo. Entonces: 6 π π 18 18 A= = cm 3 3 =108 π cm 6 π π 18 P= = cm 3 3 =1 π cm Queda clao que la aplicación de estas popiedades puede combinase igualmente de manea análoga, mutatis mutandis (cambiando lo que hay que cambia) en la combinación de cálculo de áeas y peímetos de segmentos ciculaes. Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 31
9. Guías de Ejecicios Vaiados 1. Cículos y Cicunfeencias Áeas y Peímetos 9.1. Ejecicios Resueltos. Halla el áea y peímeto de las siguientes figuas sombeadas:.. 3. El peímeto es: P=πR= π 6 cm =1 π cm El áea es: A = πr = π 6 cm = 36 π cm Apovechando los esultados del ejecicio anteio. Paa la mitad de la cicunfeencia. P=6 π cm A=18 π cm Tenemos la cuata pate de un cículo. Pues bien, las fómulas del peímeto y del áea estaán divididas po. El peímeto de la figua en cm es: 3 π R π 6 P= = =3 π cm Y el áea es, en cm : πr π 6 A= = =9 π cm. Se tiene dos semicicunfeencias concénticas en O de adios 1 m y 6 m. 5. Los adios de las cicunfeencias mayo y meno son 9 cm y 3 cm. espectivamente. 6. Las cicunfeencias inteioes tienen adio y son tangent es con la de al lado. El valo del adio R de la figua son 1 cm. El peímeto esulta se: P = π ( R+ ) π ( 1+6) m = = 9 π m El áea de los dos semicículos es: π ( R + ) A= π ( 1 + 6 ) = m 180 π = m = 90 π m La egión está limitada po los peímetos de ambas cicunfeencias. P= π ( R+ ) = π ( 9+3 ) cm = π cm El áea de la supeficie sombeada esulta de la difeencia de áeas ente los dos cículos. A= π R = π 81 cm = 7 π cm ( 9) El peímeto de s tangentes e inteioes a la mayo, cubiendo todo el diámeto AB es siempe igual a πr. En este caso, si R = 1 cm P = π cm. Cada inteio tiene un adio = R/ = 3 cm. El áea de una de ellas es: A = π 3 cm =9 π cm Y el de las cuato es entonces: A =36 π cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 3
7. O, P y Q son centos de 8. ABCD es ectángulo. La cicunfeencias. R es punto base AB mide 16 cm. de tangencia de todas ellas. La unidad de medida son cm. 9. ABCD cuadado y O es cento de la cicunfeencia de adio = 3 cm. La egión está limitada po los peímetos de l as tes cicunfeencias, de adios 3, 6 y 9 cm. = 3+6+9 cm P π = 36 π cm El áea esulta de la difeencia ente las supeficies de las s mayoes y luego agega el áea de la meno. A = 9 6 +3 cm π = 5 π cm 10. Las semi s son tangentes en el cento del cuadado ABCD. Las cuato cicunfeencias de la figua son conguentes y el diámeto de cada una de ellas es d= 16 cm/ = cm. sus adios miden R = cm. El áea de una de ellas es: A 1 = πr = π cm Y al amplifica este esultado po el númeo de s pesentes obtenemos: A = π cm =16 π cm. El peímeto es πr = π cm. El de las s es 16π cm. 11. ABCD es un ectángulo y O es cento de la semicicunfeencia. El peímeto queda definido po el cuadado cuyo lado mide el doble que el adio y la. Esto es, P= a+π = 6+ π 3 cm ( π ) = +6 cm El áea de la egión sombeada esulta de esta al áea del cuada do, la del cículo: A= a π R = 36 9 π cm 1. OA = m y OB = 1 m. El peímeto de la figua es un cuadado de lado a = 6 cm y dos semicicunfeencias que foman ente sí una de = 3 cm. El peímeto es así, el mismo que en el ejecicio anteio: P= ( +6 π ) cm Al uni las dos semi s debemos esta a la supeficie obtenemos un cículo. El áea es, en cm. A= a πr =36 9 π Tenemos media de R= 3 cm. Y los lados de los costados suman 6 cm y con el de la base supeio 1 cm. P = ( 3π +1 ) cm La supeficie sombeada es la difeencia ente la mitad de un cuadado de lado a = 6 cm y un semicículo de R = 3 cm. a π R A = 6 = π 3 cm =(18 3 π ) cm El peímeto que enciea la egión sombeada está definido po dos semi de adios = m y R = 1 m. Po lo tanto: P = π ( R+ ) = π ( 1+ ) m =16 π m El áea esulta de la esta e nte l as áeas de ellas dos: π ( R ) 18 π A = = m = 6 π m Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 33
13. AB y AC adios en un cuadante de cicunfeencia. 1. AB diámeto de cicunfeencia de cento o. = cm. la 15. C y D dividen el diámeto AB de la cicunfeencia de cento o en pates iguales. El peímeto es la suma de un cuato de de R= 16, las tes semi s de = y AD = 8. π R π P = +3 +8 cm = ( 0 π + 8 ) cm El áea esulta de la esta: R A = π 3 = 0 π cm 16. AB diámeto de la cicunfeencia de cento o. = cm. La figua nos muesta que: El peímeto está fomado R =OB= = cm = 8 cm. po: 1 semicicunfeencia de Y po lo que hemos visto en adio R = OA = OB = 0 cm.; la pesentación de este tipo 1 semicicunfeencia de de ejecicios: adio = OA = OB = 10 cm.; P=πR=16 π cm semicicunfeencias que ente sí foman una completa Y paa n pa de semi s a lo de adio = AC/ = OC/ = lago del diámeto, ellas (10/) cm. = 5 cm; completan medio cículo. Es deci, el peímeto es: πr π8 A = = cm P = π(r + + ) = 0 π cm. El áea es, en cm : = 3 π cm A= [π(r )/] + π =175 π 17. AB diámeto de la 18. ABCD es un cuadado de cicunfeencia de cento o. lado a = 1 cm. Los acos = 1 cm. son semicicunfeencias. La figua nos muesta que: R =OB=7 =7 cm = 1 cm. Y po lo que hemos visto: P= πr = π 1=8 π cm Una edistibución de las supeficies sombeadas sobepasaía el medio cículo: πr π A= + π = ( 1 + ) cm π = 1 00 cm =100 π cm La figua nos muesta que: R =OB=9 =9 1 cm = 9 cm. Y po lo que hemos visto del peímeto de estas fomas: P= πr = π 9=18 π cm Con la edistibución de los semicículos gises no se sobepasa la supeficie del medio cículo mayo. Así que πr π A= ( ) π = 9 1 cm = 0 π cm Una edistibución de los semicículos sombeados loga cubi el cuadado ABCD ni más ni menos. El áea es: A = a =1 cm El peímeto de la figua es: P = [ (π) + πr] cm =[ (π 3) + π 6] cm = π cm Quilicua. Pobl Painacota, 010 a 01. 3