IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II UNIDAD 8 VECTORES EN EL ESPACIO VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO Sea E el connto de pntos del espaco qe notaemos po A B C K Dados dos pntos A B de E se llama ecto fo de ogen A y extemo B al pa odenado ( A B Se epesenta po AB Un ecto fo qeda detemnado po s módlo deccón y sentdo nto con s ogen o pnto de aplcacón Receda qe: B Módlo de AB : longtd del segmento AB AB Deccón de AB : la de la ecta qe pasa po A y B A Sentdo de AB : sentdo del ecodo qe se defne cando nos tasladamos de A a B Vecto fo nlo : S A B y po tanto s módlo es ceo y caece de deccón y sentdo Vecto ntao: todo ecto qe tenga módlo VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO Dos ectoes fos AB y CD son eqpolentes s tenen la msma deccón msmo módlo y msmo sentdo Se epesenta po AB ~ CD La elacón de eqpolenca pemte clasfca el connto de ectoes fos del espaco en coleccones de ectoes Cada coleccón a a se denomnada ecto lbe Vecto lbe: Connto de ectoes fos eqpolentes a no dado Se llama ecto lbe poqe se pede epesenta en calqe pnto del espaco con la únca condcón de no altea s módlo s deccón y s sentdo B w [ AB ] A Un ecto lbe se epesenta po letas mnúsclas y w ben escbendo el ecto fo AB ente cochetes [ AB ] Dado n ecto lbe del espaco y n pnto O exste n únco epesentante de este ecto qe tene s ogen en el pnto O Repesentamos po V al connto de los ectoes lbes del espaco OPERACIONES CON VECTORES LIBRES: a Sma de ectoes lbes: Dados V (ectoes lbes se defne como el ecto lbe qe se obtene del sgente modo: a b Regla del paalelogamo Popedades: Asocata: ( w ( w Conmtata: Elemento neto: Vecto opesto: ( ( Depatamento de Matemátcas Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco o
IES Pade Poeda (Gadx b Podcto de n ecto po n númeo eal: Dado R ecto lbe qe tene: Deccón: msma qe Módlo: el módlo de mltplcado po : Sentdo: S > el msmo de S < opesto al de Popedades: y V Matemátcas II se defne como el Asocata: ( ( Dstbta I: ( Dstbta II: ( Neto: A ( V R se le llama espaco ectoal de los ectoes lbes del espaco COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados K n V decmos qe el ecto es na combnacón lneal de ellos s exsten K n R tales qe K n n Eemplo: Los ectoes 4 x y y x y son combnacones lneales de los ectoes x e y DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES Un connto de ectoes de V son lnealmente ndependentes s nngno de ellos pede expesase como combnacón lneal de los demás En caso contao demos qe son lnealmente dependentes Obseacones: En V tendemos a lo smo tes ectoes lnealmente ndependentes Dos ectoes alneados o paalelos (gal deccón son lnealmente dependentes Dos ectoes NO alneados son lnealmente ndependentes Tes ectoes coplanaos (están en el msmo plano son lnealmente dependentes Tes ectoes NO coplanaos son lnealmente ndependentes Dado n connto de ectoes podemos detemna el máxmo númeo de ectoes lnealmente ndependentes qe contene Este númeo se denomna ango y se denota po ang BASES DE V Decmos qe tes ectoes V a Foman n sstema de geneadoes de expesa como combnacón lneal de b y son lnealmente ndependentes S V foman na base escbemos B { } foman na base de V s: V : Calqe ecto de V se pede y Popedad: Tes ectoes de V lnealmente ndependentes foman na base Base otogonal: Base en la qe los tes ectoes son pependclaes (otogonales ente sí Base otonomal: Base otogonal en la qe los tes ectoes tenen el msmo módlo qe tomamos como ndad Se epesenta po B { } o ben B e e e po { } Depatamento de Matemátcas Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco
IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II Toda base de V endá dada sempe po tes ectoes Decmos qe V es n espaco ectoal de dmensón COORDENADAS (COMPONENTES DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE Sea B { } na base de V y sendo R se les llama coodenadas o componentes del ecto especto de la base B y A se expesa ( Las coodenadas de los ectoes qe foman la base son ( ( ( Opeacones con coodenadas w w w w V S w( w w w ( ( y R ( ( Eemplo: S ( 5 ( 4 ( 4 Popedad: ( w Tes ectoes de V ( son lnealmente ndependentes w w( w w w w ang w Obseacón: En el detemnante anteo los ectoes tambén se peden pone como flas Es dec ( Eemplo : Calcla los aloes del paámeto paa qe los ectoes ( ( w ( expesados en na ceta base sean lnealmente dependentes 4 Eemplo : Las coodenadas de los ectoes w y x en na ceta base son ( ( w ( y x ( a Compeba qe y w foman na base b Expesa el ecto x como combnacón lneal de y w Solcón: a 7 y w son ln ndependentes Foman na base b x a b cw ( a( b( c( Opeando e galando coodenada a coodenada obtenemos el sstema: a b a b c a b c a c Po tanto: x w Es dec en esta nea base x ( En coodenadas: ( ( ( ( y Depatamento de Matemátcas Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco
IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL ESPACIO SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO Los ectoes nos an a pemt asgna coodenadas a los pntos del espaco Un sstema de efeenca en el espaco está fomado po n pnto O E llamado ogen y na base B { } de V Lo epesentamos po R { O; } Nos a a pemt detemna la poscón de calqe pnto del espaco asgnándole nas coodenadas Vamos a consdea en lo qe sge n sstema de efeenca otonomal R { O; } es dec los ectoes qe foman la base B { } son ntaos y otogonales (pependclaes dos a dos VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO P COORDENADAS DE UN PUNTO P RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA Un pnto P del espaco ( P E detemna n ecto OP llamado ecto de poscón del pnto P Como OP p p p las coodenadas de OP en la base Z P OP B son OP ( p p p X O Y Po tanto: Se defnen las coodenadas de n pnto P especto al sstema de efeenca R { O; } como las coodenadas de s ecto de poscón OP Se escbe P ( p p p Fíate: Hemos hecho coesponde a cada pnto del espaco P n ecto de poscón OP y na p p p de R qe nos pemte stalo en el espaco Es dec: tena de númeos ( E P V R OP ( p p p COORDENADAS (COMPONENTES DE UN VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS Z A AB B OA OB O Y X S ( a a a B( b b b A son las coodenadas de dos pntos A y B entonces: OA AB OB AB OB OA Po tanto las coodenadas (componentes de AB son: AB ( b a b a b a Eemplo: S A ( 4 B ( entonces ( 4 PUNTOS ALINEADOS a a a B b b b Sean A ( ( y ( c c c C AB y BA ( A B y C están alneados s AB y BC son popoconales (lnealmente dependentes es dec AB BC Eemplo: Aega los aloes de m y n paa qe A( 4 B( 5 y C ( m n alneados AB BC m 5 n Solcón: ( ( estén Depatamento de Matemátcas 4 Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco
IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II m5 m5 8 m m5 n A B C están alneados n n n 5 5 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO a a a B b b b M x y z el pnto medo del segmento AB Sean A ( ( y ( Qeemos obtene las coodenadas del pnto medo M de AB OM OA AM OA AB B Z M ( x y z ( a a a ( b a b a b a A OB b a b a b a a a a OM OA a b a b a b O Y X a b a b a b M Coodenadas del pnto medo de AB Eemplo: Halla las coodenadas del pnto medo del segmento de extemos A ( 5 y ( Solcón: B SIMÉTRICO DE UN PUNTO P RESPECTO DE OTRO Q El smétco de n pnto P especto de oto Q es n pnto P de modo qe Q es el pnto medo del segmento P P P p p p Q q q q P x y z P x y z se obtenen fáclmente S ( ( ( las coodenadas de ( tenendo en centa la fómla del pnto medo: P Q P Eemplo: Halla el smétco Solcón: 7 x 4 y ; ; 5 M p x q ( M p y q p z P del pnto P ( 74 especto de ( 7 Despeando x y z q se obtenen las coodenadas de P Q z 7 x ; y ; z P 4 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES V y se expesa Se defne el podcto escala de dos ectoes y ( 4 como: ( cos ( Obsea qe el podcto escala de dos ectoes es n númeo eal ( Depatamento de Matemátcas 5 Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco
IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II Depatamento de Matemátcas Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Dados V Sea la poyeccón del ecto sobe cos cos Po tanto: El podcto escala de dos ectoes es gal al módlo de no de ellos po el módlo de la poyeccón del segndo sobe el pmeo PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR ª (Conmtata ª ( w w (Dstbta ª 4ª ( ( ( No cmple la popedad asocata ( ( º nº ecto ecto n w w Fíate: el esltado es n ecto EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Dada na base otonomal { } B de V y los ectoes ( ( entonces ( ( ComoB es na base otonomal los ectoes y son otogonales dos a dos y de módlo : Po tanto: Expesón analítca del podcto escala especto a na base otonomal Eemplo: Dados los ectoes ( y ( 4 en na base otonomal Calcla Solcón: Aplcamos la expesón analítca del podcto escala: ( ( ( ( 4 4 4 APLICACIONES a Módlo de n ecto ( ya qe ( { º cos b Ánglo fomado po dos ectoes Dados dos ectoes y ( cos s c Condcón de pependcladad y paalelsmo Sean V Entonces Demostacón: S (son pependclaes otogonales ( º 9 9º cos S 9º cos Pemte obtene el ánglo qe foman y
IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II Foma ápda de obtene n ecto pependcla a oto : Se camban de lga dos coodenadas y na de ellas además de sgno La ota coodenada se hace ceo a b 5 84 85 Eemplos: ( ( ( ( Dos ectoes y son paalelos // s ss coodenadas son popoconales Eemplo: Las coodenadas de y en na base otonomal son ( y ( Calcla: a S podcto escala el módlo de cada ecto y el ánglo qe foman b El alo de a paa qe el ecto w ( a sea otogonal al ecto c Un ecto ntao en la deccón de Solcón: a ( ( ( 9 4 74 cos ( 5 ( 57º 4 8 4 b w ( ( a a 8 a a 4 c Vecto peddo: ( 5 PRODUCTO VECTORIAL Se defne el podcto ectoal de y como n neo ecto Módlo: sen( Compeba qe qe efca: Deccón: pependcla a y a Sentdo: el de aance de n sacacochos qe ga de haca Fíate: S y son lnealmente dependentes entonces EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL Dada na base otonomal B { } de V y los ectoes ( ( entonces s podcto ectoal ene dado po: Paa ecodalo meo podemos escb smbólcamente: anqe no tenga sentdo habla de n detemnante fomado po ectoes y númeos Eemplo: Halla el podcto ectoal de los ectoes de coodenadas ( 5 y ( especto a na base otonomal Depatamento de Matemátcas 7 Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco
IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II Solcón: 5 5 5 7 7 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL ª ( (Antconmtata ª (Son lnealmente dependentes ª ( w ( ( w (Dstbta 4ª ( ( ( con R No cmple en geneal la popedad asocata APLICACIONES a Intepetacón geométca: Áea de n paalelogamo Dados y constmos el paalelogamo ABCD Áea h (base alta h Peo sen h sen Con lo cal: Áea sen Es dec: A paalel ogamo El módlo del podcto ectoal de y concde con el áea del paalelogamo constdo sobe ellos b Áea de n tánglo Sean A B C los étces de n tánglo A tánglo AB AC Es dec: A tánglo A paalelo gamo Eemplo: Sean A ( B( 5 y ( 4 ( C tes étces consectos de n paalelogamo ahalla el áea del paalelogamo ABCD y la del tánglo ABC bobtén las coodenadas del étce D Solcón: BA ( 44 a BA BC 4 4 5 BA BC BC ( A p A t BA BC BA BC ( 5 ( 5 54 5 77 b AD~ ( x y z ( ( 5 Depatamento de Matemátcas 8 Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco Apaalelog amo AB AD BC x 5; y ; z D( 5 c Obtencón de n ecto pependcla a dos ectoes dados Eemplo: Las coodenadas de y en na base otonomal son ( 4 y ( 8 Halla n ecto pependcla a y Halla oto ecto pependcla de módlo 5 Solcón:
IES Pade Poeda (Gadx Matemátcas II Po defncón de podcto ectoal w es n ecto pependcla a y : w 4 4 w( 4 es pependcla a y 8 Calclemos ahoa n ecto pependcla a y de módlo 5 5 5 5 4 ( w w 4 w w ; ( PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Se defne el podcto mxto de tes ectoes y [ ( w w y se expesa [ como el númeo eal: Depatamento de Matemátcas 9 Bloqe III: Geometía en el Espaco Pofeso: Ramón Loente Naao Undad 8: Vectoes en el Espaco EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO MIXTO S ( ( w ( w w w son tes ectoes dados po ss coodenadas especto a na base otonomal B { } de V entonces: [ w w w Eemplo: Las coodenadas de y w en na base otonomal son ( ( 5 y w ( Calcla [ autlzando la defncón de podcto mxto busando la expesón analítca del podcto mxto Solcón: a w( 9 5 7 [ ( w ( ( 95 7 7 5 4 8 Hacelo b [ 5 8 PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO ª [ [ w ] [ w ] ª [ [ w ] [ w ] [ ª [ [ [ w w w w con 4ª [ ] [ ] [ ] [ ] R APLICACIONES a Intepetacón geométca: Volmen de n paalelepípedo V paalelepípedo [ El alo absolto del podcto mxto de y w concde con el olmen del paalelepípedo constdo sobe ellos Demostacón: V A h w h w cos p base h cos h cos w w w cos V w Peo [ ] ( [ ] paalelepípedo
IES Pade Poeda (Gadx Eemplo : Halla el olmen del paalelepípedo defndo po los ectoes ( 57 ( 47 y w ( 4 5 [ 4 7 Vp 7 4 Matemátcas II Eemplo : Halla el olmen del paalelepípedo ABCDEFGH sabendo qe las coodenadas de los étces A B D y E son A ( 5 B( 4 D( 4 y E ( 5 Solcón: AB( AD( 4 [ 4 5 w AE( V p 5 b Volmen de n tetaedo S A B C D son los étces de n tetaedo entonces: V t Abt Abp ht hp V A h t V t A V bt p h bp t p V tetaedo V paalelepípedo Es dec: V tetaedo [ AB AC AD] Eemplo: Halla el olmen del tetaedo cyos étces son A ( 5 B ( C ( y D ( Solcón: AB AC w AD ( ( 44 ( 8 V V 85 85 t p [ 4 4 85 c Cato pntos A BC D son coplanaos s [ AB AC AD] ( No hay olmen Tes ectoes son coplanaos s s podcto mxto es nlo Eemplo: Halla el alo de x paa qe los ectoes ( 5 ( 74 y w ( x sean coplanaos Solcón: 5 [ 7 4 x 4 8 5x 47x x 47 x 8 Depatamento de Matemátcas Pofeso: Ramón Loente Naao Bloqe III: Geometía Undad 8: Vectoes en el Espaco