DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL EFECTO DOPPLER COMPLETO USANDO UN TELESCOPIO REFLECTOR NEWTONIANO ALBERT ZOTKIN Resumen. En este orto artíulo se ofreerá una deduión de la fórmula del efeto Doppler Completo en el maro de la Relatividad Galileana, y se omparará diho formalismo on el usado en la Teoría de la Relatividad Espeial de Albert Einstein. Consideremos un telesopio refletor newtoniano, por el que entra luz proedente de una fuente emisora que se aleja inerialmente por la misma linea de visión. La luz que refleja el espejo parabólio primario posee pues una freuenia f, la ual, por el efeto Doppler, es menor que la freuenia original que emite la fuente. Aeleremos ahora un diferenial de veloidad dv el espejo parabólio primario haia el espejo entral diagonal. Eso signifia que el espejo entral diagonal está reflejando ahora luz haia el objetivo on una freuenia ligeramente mayor a f, es deir, esa freuenia será f = f + df. Por lo tanto podemos esribir la siguiente euaión diferenial y hallar su soluión: (1 f + df = f ( 1 + dv (2 f + df = f + f dv 1
(3 df = f dv (4 df f = dv (5 ( f ln = v f 0 (6 ( v f = f 0 exp on lo ual hemos hallado la fórmula del Doppler ompleto. En la euaión diferenial iniial he usado la fórmula del efeto Doppler de primer orden de aproximaión, es deir la lásia no relativista. Es importante realar que uando se integra un diferenial de veloidad lo que se está haiendo es sumar infinitas antidades infinitamente pequeñas, es deir, en el proeso de integraión se está aelerando onstantemente al sistema material, y al final de la integraión el sistema material aeleró desde 0 hasta v, (7 dv = 1 (dv + dv + dv +... = v Alguien que se suponía entendido en la matería alegó que usar diha fórmula de primer orden de aproximaión para deduir una fórmula de Doppler ompleto no es orreto, porque desde ella no es posible hallar ninguna fórmula que posea los infinitos órdenes. Por supuesto, diha persona está muy equivoada al respeto. Ya Eulides demostró que es posible aproximarse al área de un irulo mediante retángulos on la longitud de uno sus lados siendo un infinitesimal. En esta deduión, se aplia algo muy similar y que está en la naturaleza de la propia definiión de integral. De heho la soluión hallada vemos que es un área. Diha área es preisamente β = v/, que se orresponde on el área ln(f/f 0. Después vino otro supuesto entendido en la materia y afirmó que yo estaba muy onfundido, porque lo que en esa fórmula aparee omo β = v/ es en realidad una rapidez (rapidity. Esta persona me indió que lo que yo llamo veloidad es en realidad una veloidad hiperbólia, tal y omo está definida en la teoria de la relatividad espeial de Einstein. Efetivamente, la veloidad hiperbólia de la relatividad espeial, que también se llama eleridad, es igual a la rapidez multipliada por. Efetivamente, si sustituimos β = v/ en la exponenial que he hallado la por la rapidez, θ = tanh 1 β, obtenemos la famosa fórmula relativista del Doppler,f = f 0 (1 + v//(1 v/. Pero, a este último supuesto experto en la materia le dije que, puesto que yo no estaba usando la relatividad espeial, sino la relatividad Galileana, no hay onfusión posible, por lo tanto la veloidad v, se postula omo una veloidad real, y nuna omo una veloidad hiperbólia. Todos esos supuestos entendidos en la materia intentan refutar la fórmula del Doppler Completo hallada arriba, afirmando que los experimentos validan todos la relatividad espeial pero invalidad la fórmula que yo hallé. Eso que afirman, es, por supuesto, una gran mentira. Lo dien úniamente porque se dejan influeniar por su primera impresión de que yo debo de estar onfundidísimo y la relatividad espeial tiene que seguir siendo la mejor y más testada teoría al respeto. Pero si omparamos las expansiones en series de potenias (series de Taylor en ambas fórmulas, tenemos: (8 (9 f ( v = exp = 1 + v f 0 + v2 2 2 + v3 6 3 + v4 24 4 +... f 1 + v/ = f 0 1 v/ = 1 + v + v2 2 2 + v3 2 3 + 3v4 8 4 +... 2
Es deir, se neesitaría un experimento que pudiera disriminar ambas prediiones on una preisión tal que llegara hasta el terer orden de aproximaión, pero eso no es posible realizarlo on la tenología atual. La preisión atual en los tests experimentales sólo llega hasta el segundo orden, v 2 /2 2. Corollary 0.1. Es fáil deduir el momento de una partíula desde el efeto Doppler: (10 p = m (D(v/ D( v/ 2 esta euaión genéria del momento se umple siempre para ualquier fator Doppler de ualquier teoría. Donde D(v/ es un vetor en la direión del movimiento de la partíula. El fator Doppler Completo arriba deduido es D(v/ = exp(v/, por lo tanto, el momento que se dedue desde ese fator Doppler es: (11 p = m sinh ( v De igual forma, la energía total de una partíula deduida desde el Doppler saldría de la euaión genéria: (12 E = m2 (D(v/ + D( v/ 2 Por lo tanto, tenemos: (13 E = m 2 osh ( v También es fáil ver que para el aso de la relatividad espeial, tendriamos D(v/ = (1 + v//(1 v/. Por lo tanto, después de algunas manipulaiones algebráias obtenemos E = m 2 γ y p = mvγ, donde γ es el fator de Lorentz. Y por supuesto, también es fáil ver que las euaiones genérias de arriba satisfaen la relaión E 2 2 p 2 = m 2 4, si la funión genéria D(v/ posee la propiedad D(v/D( v/ = 1, propiedad que debe poseer todo fator Doppler que pretenda no ser inonsistente on el efeto físio que modela. Corollary 0.2. El siguiente ejeriio me lo planteó amarashiki, en una disusión dentro de un thread del blog Franis (the mule Siene s News, on la malsana intenión de refutar definitívamente el modelo que yo propongo: Exerise 0.3. alula, usando TU definiión de energía y momento, la energía mínima y la energía inétia mínima para rear un par protón antiprotón en la olisión de un protón A on un protón B en reposo. Nota, no puedes usar la definiión relativista de energía E = mγ 2 ni p = mγv, sino que tienes que usar tus euaiones, a saber E = m 2 osh(v/ y p = m sinh(v/. Yo ya he heho los álulos. En relatividad espeial sale que la energía mínima es 7m 2 (donde m es la masa del protón, y la energía inétia mínima es 6m 2. En tu teoría on TUS definiiones de energía y momento, antes esritas, yo digo que es IMPOSIBLE la reaión de pares. Como la reaión de pares se observa experimentalmente, entones tu teoría es un uento hino. Refútame, si puedes... Con euaiones... Lo que sigue fue lo que yo le ontesté: Este ejeriio lo voy a resolver primero usando un sistema de referenia entrado en el entro de masas de los dos protones, por lo tanto el momento total será nulo. Primero voy a alular suponiendo que la reaión reará un pión, π 0, on todas las partíulas finales en reposo tras la olisión, (p, p, π 0. Usando mi modelo, la energía total del sistema será: E = 2m 2 = 2m p 2 + m π 2 3
donde m = m p osh(v/ por lo tanto para la reaión de ese π 0 la veloidad de aproximaión de ada protón haia el entro de masas debe ser de ( v = osh 1 1 + m π 2m p Y omo en mi modelo las veloidades se suman trivialmente omo suma de vetores, tenemos que la veloidad, v, de aproximaión de uno de los protones en el sistema de referenia donde el otro protón está en reposo sería de v = v + v = 2 osh 1 ( 1 + m π 2m p Esto sería para la reaión que rea un pión, p + p p + p + π 0. Y es muy fáil ver ahora que la reaión que rea un par protón-antiprotón, p + p p + p + p + p, debe impliar una veloidad de aproximaión de un protón haia el otro de: v = 2 osh 1 ( 1 + 2m p 2m p Lo ual signifia que la energía inétia mínima será Y la energía total mínima será de = 2 osh 1 (2 = 2,63392 E k = m p 2 (osh(2,63392 1 = 6m p 2 E = m p 2 osh(2,63392 = 7m p 2 Traduido al modelo de la SR, donde la onstante juega el rol falso de una veloidad límite, que no puede ser superada por nada, tendriamos una veloidad de v = tanh(2,63392 = 0,989743 Ese es el engaño que la SR logró olar a toda la físia desde hae más de un siglo. Creer que las partíulas no pueden superar la veloidad, uando de heho esa veloidad es superada rutinariamente en ualquier aelerador de partíulas, inluso en los muones reados por rayos ósmios en la atmósfera terrestre. Para perpetrar ese engaño, la SR ideó efetos omo la dilataión del tiempo, o la ontraión de las longitudes, o el más absurdo aún de la relatividad de la simultaneidad de eventos, y trampas teorétias omo la onvenión de Einstein para la sinronizaión de dos relojes en reposo muy alejados. Corollary 0.4. Veamos ómo la dilataión del tiempo, que se afirma haberse testado on éxito en los muones de rayos ósmios, es en realidad una gran falaia. Los muones poseen una vida media de 2,19703(4 10 6 s. Pero entones un muón reado en las altas apas de la atmósfera terrestre no tendría sufiiente tiempo de llegar a ser detetado en la superfiie terrestre, inluso viajando a veloidad de, o omo muho solo sería detetada una antidad muy pequeña de muones, la ual no se orrespondería on lo que se observa. El razonamiento mainstream es que los muones deben poseer veloidades relativistas muy altas, pero nuna superlumínias, es deir esos muones deben tener veloidades del orden de 0.999, o más era de aún. Según la SR, a esas veloidades tan eranas a, existe una signifiativa dilataión del tiempo propio del muón, on lo ual su vida media se prolongaría exatamente la antidad neesaria de tiempo para observar lo que es observado. Se puede omprobar fáilmente que eso es una falaia. Lo que suede realmente es que los muones onservan onstante su vida media de 2,19703(4 10 6 s, pero sus veloidades son superiores a. Veamos on más números por qué es una falaia la interpretaión de la SR afirmando que lo que se observa 4
es debido a una dilataión del tiempo. Supongamos que un muón posee, uando es reado en altas apas de la atmósfera, una energía total de E = 20 GeV. Entones on esa energía es muy fáil alular uál debe ser la veloidad de un muón, pues ( v (14 E = m 2 osh ( E (15 v = osh 1 m 2 y omo la energía en reposo de un muón es E 0 = m 2 = 105,658367(4 MeV, tenemos que (16 v = osh 1 ( 20 10 9 105,6 10 6 = 5,93697 6 O sea, los muones on energía 20 GeV reados en las altas apas de la atmósfera llegan a los detetores en la superfiie a tiempo porque poseen una veloidad de unas seis vees la veloidad de la luz!. Esto demuestra también, irrefutablemente que los neutrinos muónios, resultado de la desintregaión de muones, medidos en el experimento OPERA viajaron realmente a veloidades superlumínias, aunque, omo he demostrado de forma fehaiente, es más que evidente que los formalismos de la SR enmasaran esa realidad. Corollary 0.5. Podemos ver que la euaión diferenial desde la ual se podría integrar el Doppler relativista de la Relatividad Espeial sería, (17 df f = dv (1 v2 2 on lo que si integramos tenemos, ( ( f v (18 ln = tanh 1 f 0 ( f (19 ln = 12 { 1 + v } f ln 0 1 v 1 v (20 f = f 0 1 + v El problema de esta euaión de la Relatividad Espeial reside en el heho de que no está del todo laro de qué situaión fisia o ondiión iniial podríamos plantear tal euaión diferenial para que la deduión tuviera onsistenia no sólo matemátia sino fisia. De todas formas, intentemos profundizar un poo más en esta última relaión. Vemos que al integrar la euaión diferenial obtenemos ln( f f 0 = tanh 1 ( v, y vemos que esa arotangente hiperbólia es preisamente la definiión de rapidez (rapidity en inglés. O sea, (21 θ = tanh 1 ( v Y eso signifia que es un diferenial de rapidez dθ, de tal forma que al integrar dv (22 dθ = (1 v2 2 obtenemos la rapidez θ. Y este orolario demuestra que en la fórmula de Doppler Completo que deduje arriba no se onfunde ninguna veloidad on la veloidad hiperbólia, ni ninguna on la rapidez, porque se ve láramente que esta última posee su propia euaión diferenial. 5
1. Conlusion Mediante esta deduión de la fórmula del efeto Doppler Completo podemos apreiar ómo la Teoría de la Relatividad Galileana equipada on este formalismo ya no puede admitir orreiones relativistas que provengan de la Relatividad Espeial, pues por sí misma paree apaz de modelar energías y momentos ompletos en maros ineriales de referenia. La únia objeión que podría argumentarse en ontra de esta propuesta de modelo es que se habla de veloidades superluminias, y que supuestamente eso está desartado definitivamente por los experimentos. Sin embargo, afirmar que una partíula on masa en reposo no nula pueda moverse a una veloidad superlumínia (v > en algún maro inerial de referenia, no es en modo alguno ontrario al experimento, sino sólo ontrario ierta teoría de la relatividad. 6