Capítulo 8 Geometía del Espacio Intoducción Esta ama de la geometía, también denominada Esteeometía, se ocupa de las popiedades y medidas de figuas geométicas en el espacio tidimensional. Estas figuas se denominan sólidos y ente ellas se encuentan el cono, el cubo, el cilindo, la piámide, la esfea y el pisma. La geometía del espacio amplía y efueza las poposiciones de la geometía plana y es la base fundamental de la tigonometía esféica, la geometía analítica del espacio y la geometía desciptiva, ente otas. El estudio de la geometía tidimensional data de la antigua Gecia, cuando se planteó el famoso poblema de la duplicación del cubo. Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de lleva a la muete a Peicles. Un embajado de la ciudad fue al oáculo de Delfos, paa consulta qué se debía hace paa eadica la motal enfemedad. Tas consulta al oáculo, la espuesta fue que se debía duplica el alta consagado a Apolo en la isla de Delfos. El alta tenía una peculiaidad: su foma cúbica. Los atenienses constuyeon un alta cúbico en el que las medidas de los lados ean el doble de las medidas del alta de Delfos, peo la peste no cesó. Consultado de nuevo, el oáculo advitió a los atenienses que el alta no ea el doble de gande, sino 8 veces mayo, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su aista ((a) 3 = 8a 3 ). Nadie supo cómo constui un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de oto cubo dado, y el poblema matemático pesistió duante siglos (no así la enfemedad). János Bolyai, matemático húngao (180-1860) Gauss fue el pimeo que ceyó constui una geometía (un modelo del espacio) en la que no se cumple el V postulado de Euclides, peo no publicó su descubimiento. Son Bolyai y Lobachevsky quienes, de manea independiente y simultánea, publicaon cada uno una geometía distinta en la que no se veifica tampoco pág. 681
el V postulado. Qué quiee deci esto? Tanto Bolyai como Lobachevsky paten de un objeto geomético y establecen sobe él, unos postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Petenden oiginalmente azona po educción al absudo: si el V postulado depende de los otos cuato, cuando lo sustituya po aquél que dice exactamente lo contaio, se ha de llega a alguna contadicción lógica. Nikolai Lobachevsky, matemático uso (179-1856) Lo sopendente es que no se llega a contadicción alguna, lo cual indica dos cosas: 1. El V postulado es independiente de los otos cuato, es deci, no puede deducise de los otos cuato, no es un teoema, y Euclides hizo bien en considealo como un postulado.. Existen modelos del espacio en los que, en conta de toda intuición, un punto que no esté contenido en una cieta ecta no necesaiamente foma pate de una única ecta paalela a la dada. Esto no es intuitivo, pues no podemos concebi tal cosa, no podemos imagina (ni mucho menos dibuja) una situación así, sin eintepeta los conceptos de ecta, plano, etc. Peo desde el punto de vista lógico, es pefectamente válido. Como es de imagina, esto supuso una fuete cisis en las matemáticas del siglo XIX, que vino a sumase a otas contovesias. 8.1 Figuas en el espacio En esta sección se identifican los elementos que paticipan en la geometía espacial, los cuales son fundamentales paa la ceación de objetos en tes dimensiones. En el espacio existen figuas (conjuntos de puntos) que no están contenidas en plano alguno, a continuación se muestan algunos de ellos y sus elaciones. P П L П 1 П a) Recta intesecando un plano. pág. 68 b) Planos paalelos.
Capítulo 8 Geometía del Espacio L 1 L L P П c) Dos ectas concuentes paalelas d) Recta pependicula a un plano. a un mismo plano. Figua 8.1: Figuas en el espacio. 8. Rectas y planos en el espacio Objetivos П Al finaliza esta sección el lecto podá: * Dadas dos ectas en el espacio, explica si son secantes, alabeadas o paalelas, justificando adecuadamente su espuesta. * Dados un plano y una ecta en el espacio, explica si la ecta es pependicula, secante o paalela al plano. * Intepeta el concepto de semiespacio, ángulo diedo, ángulo poliedo, aista, caa y vétice. En el espacio puede ocui que dos ectas no sean paalelas o no tengan algún punto de intesección, lo cual no ocue en el plano. Definición 8.1 (Rectas alabeadas) L 1 Dos ectas L 1 y L son alabeadas cuando no son paalelas ni se intesecan. L pág. 683
Con especto a un plano П, una ecta L puede ocupa una de las tes posiciones siguientes: L L П П P a) L П = b) L П = P П L c) L П = L Figua 8.: Recta L y plano П. a) L es paalela al plano П y no está contenida en él, b) L inteseca a П en un punto P, y c) L es paalela a П y es un subconjunto de П. De los casos a) y c) se entiende el paalelismo ente el plano П y la ecta L, así: (L П ) ((L П = ) (L П )) Definición 8. (Planos paalelos) Un plano es paalelo a oto cuando no se intesecan o son coincidentes. La notación paa el paalelismo es: П 1 П. П 1 (П 1 П ) ((П 1 П = ) (П 1 = П )) П Un plano siempe divide al espacio en dos semiespacios. Dos planos no paalelos se denominan planos secantes. П 1 П pág. 684 Figua 8.3: Planos secantes.
Capítulo 8 Geometía del Espacio Definición 8.3 (Ángulo diedo) Es la unión de dos semiplanos que se intesecan en su bode. Al ángulo diedo se lo suele denomina simplemente diedo; a los semiplanos se los denomina caas del diedo y al bode común se lo denomina aista del diedo. Dos planos secantes deteminan un ángulo diedo. Un ejemplo de este ángulo lo encontamos en la figua que se foma al abi una tajeta de cumpleaños. F caa C aista E D α caa Figua 8.4: Ángulo diedo. B A En el diedo ABCDEF, los semiplanos ABCD y CDEF son las caas del diedo, y la ecta CD es la aista del diedo. Se denomina ángulo ectilíneo al ángulo fomado po dos ectas pependiculaes, DA y DE, a la aista DC, cada una situada en caas difeentes del diedo. La medida del ángulo diedo es la medida de su ángulo ectilíneo α. Definición 8.4 (Ángulo poliedo) Es la unión de semiectas que se intesecan en su extemo V y que tienen un punto común con la poligonal d contenida en un plano que no contiene a V. A las semiectas que se intesecan con uno de los vétices de la poligonal se las denomina aistas del ángulo poliedo y el punto V se denomina vétice del ángulo poliedo. Po ejemplo, el ángulo tiedo (intesección de tes semiplanos) es un ángulo poliedo fomado po el vétice V, tes aistas VA, VB, VC, y tes caas VAB, VBC, VCA. pág. 685
V A C A C B B Figua 8.5: Ángulo poliedo. П La intesección del ángulo tiedo con el plano П detemina el tiángulo A B C. Ejemplo 8.1 Ángulo poliedo. La figua que foman en un incón de una habitación las dos paedes y el techo que inciden en ese punto es un clao ejemplo de un ángulo tiedo. Las piámides utilizadas po civilizaciones como las egipcias empleaon el concepto de ángulo tetaedo. La plomada, que es un peso que se emplea en constucción, tiene en su punta un ángulo hexaedo. 8.3 Cuepos geométicos En esta sección se clasificaán difeentes cuepos que se pueden pesenta en el espacio tidimensional, atendiendo a los elementos estudiados anteiomente. Definición 8.5 (Poliedo) Se define como poliedo al cuepo que está limitado po supeficies planas (denominadas caas) y de contono poligonal (denominadas aistas de las caas). Los vétices del poliedo son los vétices de las caas. pág. 686
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8. Poliedos. Algunos mineales y esqueletos de ciatuas mainas son modelos de los sólidos denominados poliedos que se estudiaán en esta sección. Un poliedo convexo es aquel que está limitado po polígonos convexos. Ente sus popiedades más impotantes figuan: Cada aista de una caa petenece también a ota caa y únicamente a ota. Dichas caas se denominan contiguas. Dos caas contiguas están en planos distintos. El plano que contiene a cada caa deja a todas las demás a un mismo lado del espacio, es deci, en un mismo semiespacio. El númeo de aistas es igual al númeo de caas más el númeo de vétices disminuido en. D E C E A B D C A B Figua 8.6: Poliedo. En el poliedo anteio se tienen los vétices A, B, C, D, E, A, B, C, D, E, las aistas AB, BC, CD, DE, EA, A B, B C, C D, D E, E A, AA, BB, CC, DD, EE, y las caas AEE A, BAA B, CBB C, DCC D, EDD E. En cada vétice deben concui al menos tes aistas. pág. 687
La diagonal del poliedo es un segmento de ecta que une dos vétices situados en caas difeentes. Po ejemplo, AD es una diagonal en la figua anteio. Según el númeo de sus caas, los poliedos se denominan así: Númeo de Caas Nombe 4 Tetaedo 5 Pentaedo 6 Hexaedo 7 Heptaedo 8 Octaedo 10 Decaedo 1 Dodecaedo 0 Icosaedo Cuado 8.1: Nombes de poliedos según su númeo de caas. Definición 8.6 (Poliedo egula) Un poliedo de n caas se dice que es egula, si y sólo si todas sus caas son polígonos egulaes conguentes y sus ángulos poliedos también son conguentes. Los poliedos egulaes, también denominados sólidos platónicos (en hono a Platón), son sólo cinco: 1. Tetaedo egula: Está limitado po 4 caas que son tiángulos equiláteos. Tiene 4 vétices, 4 ángulos tiedos, 6 aistas y 6 ángulos diedos.. Hexaedo egula o cubo: Está limitado po 6 caas que son cuadados. Tiene 8 vétices, 8 ángulos tiedos, 1 aistas, 1 ángulos diedos y 4 diagonales conguentes y concuentes. pág. 688
Capítulo 8 Geometía del Espacio 3. Octaedo egula: Está limitado po 8 caas que son tiángulos equiláteos. Tiene 6 vétices, 6 ángulos tetaedos, 1 aistas y 1 ángulos diedos. Está fomado po dos piámides unidas po su base común. 4. Dodecaedo egula: Está limitado po 1 caas que son pentágonos egulaes. Tiene 0 vétices, 0 ángulos tiedos, 30 aistas y 30 ángulos diedos. 5. Icosaedo egula: Está limitado po 0 caas que son tiángulos equiláteos. Tiene 1 vétices, 1 ángulos pentaedos, 30 aistas y 30 ángulos diedos. Oto tipo de poliedos impotantes son los pismas y las piámides, los mismos que seán estudiados a continuación. 8.4 Pismas Objetivos Al finaliza esta sección el lecto podá: * Dado un pisma, econoce los elementos que lo confoman. * Dado un pisma, identifica si es oblicuo, ecto o egula. * Dado un paalelepípedo, analiza sus pincipales caacteísticas. pág. 689
Definición 8.7 (Pisma) Un pisma es un poliedo en el cual existen dos caas conguentes paalelas, denominadas bases, en donde las otas caas, denominadas caas lateales, conectan los lados conguentes de las caas paalelas. A una ecta que es paalela a una de las aistas de una caa lateal se la denomina ecta geneatiz. En un pisma las caas lateales son paalelogamos y son paalelas a la ecta geneatiz g. g P 5 P 1 P 4 P 3 P П 1 h Q 5 Q 1 Q 4 Q П Q 3 Figua 8.7: Pisma pentagonal. En la figua anteio las bases del pisma son los pentágonos P 1 P P 3 P 4 P 5 y Q 1 Q Q 3 Q 4 Q 5, las caas lateales del pisma son Q 4 Q 3 P 3 P 4, Q 3 Q P P 3, Q Q 1 P 1 P, Q 1 Q 5 P 5 P 1, Q 5 Q 4 P 4 P 5 ; y, g es una ecta geneatiz paalela a las aistas P 1 Q 1, P Q, P 3 Q 3, P 4 Q 4, P 5 Q 5. La distancia mínima ente los planos que contienen a las bases del pisma se denomina altua del pisma, es deci, es la longitud del segmento de ecta pependicula ente las dos bases. Si las aistas lateales son pependiculaes al plano que contiene una base, el pisma se denomina pisma ecto. En el pisma ecto la altua h es conguente con la longitud de las aistas lateales. Las caas lateales de un pisma ecto son ectángulos. Si las bases son polígonos egulaes se denomina pisma ecto egula y, en este caso, las caas lateales son ectángulos conguentes ente sí. Po ejemplo: pág. 690 Figua 8.8: Pisma ecto egula.
Capítulo 8 Geometía del Espacio El pisma también puede se oblicuo, si las aistas lateales no son pependiculaes a las bases. Po ejemplo: C A B П 1 C B A Figua 8.9: Pisma oblicuo tiangula. h П Definición 8.8 (Paalelepípedo) Un paalelepípedo es un pisma cuyas bases son paalelogamos. A un paalelepípedo ecto ectangula se le denomina otoedo. Figua 8.10: Otoedos. Ejemplo 8.3 Aplicación del teoema de Pitágoas en el espacio. Demueste que en un paalelepípedo ecto ectangula el cuadado de la longitud de una diagonal es igual a la suma de los cuadados de las tes dimensiones. pág. 691
Hipótesis: a, b y c son las dimensiones del paalelepípedo ecto ectangula. Se busca la longitud de la diagonal d. Tesis: d = a + b + c D A En la figua, d es la hipotenusa del tiángulo ectángulo BHE: d = p + c (I) En el tiángulo ectángulo ABE, p es la hipotenusa, entonces: p = a + b (II) Luego, eemplazando (II) en (I), se tiene: d = a + b + c b c H E Ejemplo 8.4 La longitud de la diagonal de un cubo. p a d C B G F Calcule la longitud de la diagonal de un cubo. d a En el cubo o hexaedo egula, las tes dimensiones son iguales: pág. 69 a = b = c d = a + a + a d = 3a d = a 3
Capítulo 8 Geometía del Espacio 8.5 Piámides Objetivos Al finaliza esta sección el lecto podá: * Dada una piámide, econoce los elementos que la confoman. * Dada una piámide, identifica si es oblicua, ecta o egula. Definición 8.9 (Piámide) Una piámide es un poliedo en el cual existe una caa denominada base y un punto que no petenece al mismo plano de la base, denominado vétice, tal que las otas caas, denominadas caas lateales, son tiángulos que van desde los lados de la base al vétice. V П P 5 P 1 h P 4 P P 3 Figua 8.11: Piámide. En el poliedo anteio se tienen en la base los vétices P 1, P, P 3, P 4, P 5 y las aistas P 4 P 3, P 3 P, P P 1, P 1 P 5, P 5 P 4. Las aistas lateales de una piámide son los segmentos VP 1, VP,, VP n. Una piámide tiene sólo una base. La distancia mínima ente el plano que contiene a la base de la piámide y el vétice se denomina altua de la piámide. Una piámide ecta es aquella en la que el pie de su altua en la base equidista de todos los vétices del polígono base; caso contaio, se dice que es oblicua. Definición 8.10 (Piámide egula) Una piámide se denomina egula si es una piámide ecta cuya base es un polígono egula. pág. 693
Si la piámide es egula sus caas son tiángulos isósceles conguentes, denominándose apotema de la piámide a la altua de cualquiea de estos tiángulos. Si una piámide se inteseca con un semiespacio geneado po un plano paalelo a la base de la piámide, esultan dos cuepos: una piámide y oto que se denomina piámide tuncada. Una piámide tuncada tiene dos bases paalelas semejantes, las caas lateales son tapecios que unen los lados semejantes de las bases paalelas y la altua h es la distancia mínima ente ellas. П E E D C A B D C h En la figua anteio las bases de la piámide tuncada son los pentágonos ABCDE y A B C D E, las caas lateales son EAA E, ABB A, BCC B, CDD C, DEE D. 8.6 Áeas de poliedos Objetivos A Figua 8.1: Piámide tuncada. B pág. 694 Al finaliza esta sección el lecto podá: * Dado un pisma, calcula el áea de su supeficie lateal y el áea de su supeficie total. * Dada una piámide, calcula el áea de su supeficie lateal y el áea de su supeficie total. * Dada una piámide tuncada, calcula el áea de su supeficie lateal y el áea de su supeficie total. Los diseñadoes pofesionales y decoadoes de inteioes necesitan detemina la cantidad de mateial que se equiee paa decoa supeficies. En ocasiones, objetos familiaes, tales como mesas auxiliaes o vitinas, tienen fomas de pisma o piámide. Con fecuencia es necesaio calcula el áea de estas supeficies. Paa detemina el áea de la supeficie de los cuepos poliedos calculamos el áea de cada uno de los polígonos o caas que foman su supeficie, sumando luego las áeas obtenidas.
Capítulo 8 Geometía del Espacio En los pismas y en las piámides se tiene los siguientes tipos de áeas: Áea de la supeficie lateal (A L ): Es la suma de las áeas de las supeficies de las caas lateales. Áea de la supeficie de la base (A B ): Es el áea de la supeficie de una base. Áea de la supeficie total (A T ): Es la suma del áea de la supeficie lateal más el áea de la supeficie de la base, en el caso de piámides; o, es la suma del áea de la supeficie lateal más el duplo del áea de la supeficie de la base, en el caso de pismas. a) Áea de poliedos egulaes Paa calcula el áea de la supeficie total A T de un poliedo egula, basta con multiplica el áea de la supeficie de una de sus caas po el númeo de caas del poliedo. Po ejemplo, en el cubo de aista a, A T = 6a. b) Áeas de las supeficies de un pisma ecto (Pe: peímeto de la base; y, h: altua o longitud de la aista lateal) A L = (Pe).(h) A T = A L + A B A T = (Pe).(h) + A B El áea de la supeficie de la base no se especifica, pues puede se la de cualquie polígono. c) Áeas de las supeficies de una piámide egula Paa el áea de la supeficie lateal, se calcula el áea de la supeficie de uno de los tiángulos isósceles que son las caas lateales, y se multiplica po el númeo de caas lateales n. A L = n a. ρ Donde n: Númeo de caas lateales de la piámide. a: Longitud de la aista de la base. ρ: Longitud de la apotema de la piámide. A T = A L + A B El áea de la supeficie de la base no se especifica, pues puede se la de cualquie polígono. pág. 695
d) Áeas de las supeficies de una piámide tuncada egula El áea de la supeficie lateal de una piámide tuncada egula es igual al poducto de la semisuma de los peímetos basales po la longitud de la apotema lateal. A L = Pe + Pe. ρ Donde Pe y Pe : Peímetos de las bases. ρ: Longitud de la apotema lateal de la piámide tuncada. A T = A L + A B supeio + A B infeio El áea de las supeficies de las bases no se especifica, pues pueden se la de cualquie polígono. Ejemplo 8.5 Áea de la supeficie total de un pisma. Calcule el áea de la supeficie total de un pisma ecto hexagonal egula, si su aista lateal mide 4 3m y su aista de la base mide m. En esta figua, el segmento OP es la apotema del hexágono egula. P 1 Q 1 = 4 3m, P 1 P = m A T = A L + A B Q 1 P 1 O A B = Pe(base) OP P P P 3 OP = ( 3) P 1 P = 3m Pe(base) = 6() = 1m A B = 1 3 m = 6 3m A L = 6 Áea(caa lateal) A L = [6()(4 3)] = 48 3m A T = 48 3m + 1 3m A T = 60 3m pág. 696
Ejemplo 8.6 Diagonal de un paalelepípedo. Capítulo 8 Geometía del Espacio La suma de las tes dimensiones de un otoedo es 15m y el áea de su supeficie total es 00 m. Calcule la longitud de la diagonal del paalelepípedo. d c a + b + c = 15m A T = 00m d =? a b Po cuanto: A T = 00 = ab + ac + bc a + b + c = 15 (a + b + c) = 15 a + b + c + ab + ac + bc = 5 (I) Teniendo en cuenta que: d = a + b + c Reemplazando en (I) d + ab + ac + bc = 5 d + 00 = 5 d = 5 d = 5m Ejemplo 8.7 Áea de supeficies en el espacio. La figua adjunta es un cubo cuya aista mide a cm. Calcule el valo del áea de la supeficie sombeada. pág. 697
El áea de la supeficie que debemos calcula coesponde a la de un ectángulo cuya base (b) debemos detemina y en el cual la altua (h) es conguente con la aista del cubo. a b Aplicando el teoema de Pitágoas: b = a + a = a a A = b. h h A = ( a)(a) b A = a cm Ejemplo 8.8 Áea de supeficies de pismas. Los lingotes de oo son baas moldeadas como la de la figua, cuyas dimensiones se miden en cm. Los extemos son tapecios isósceles paalelos. Cuál es su volumen? 4 10 V = A B h P pág. 698 = (B T + b T )h T h P (4 + )() = (10) V = 60 cm 3
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.9 Áea de la supeficie lateal de una piámide. Encuente el áea de la supeficie lateal de un tetaedo, cuyas caas lateales son conguentes, cuya apotema mide el tiplo de la aista de la base y la cicunfeencia cicunscita a la base mide 4πm. V P 1 P 1 P 3 O L3 P VA = 3(P 1 P ) L(Longitud de la cicunfeencia) = (OP 1 ) = 4 m OP 1 = = 1m. En la cicunfeencia cicunscita al tiángulo, se cumple que: L 3 = 3 y en este caso, L 3 = P P 3. P P 3 = 3 (OP 1 ) P P 3 = 1 3 VA = 3(1 3)m = 36 3m P 3 P A A L = 3 base x altua m A L = 3 P P 3 x VA m A L = (3) (1 3)(36 3) m A L = 1944m pág. 699
Ejemplo 8.10 Áea de supeficies de piámides. Un ecipiente con foma de piámide egula tiene la pate supeio abieta. Esta pate es un hexágono egula con las dimensiones que muesta la figua. Si se van a pinta 100 de estos ecipientes, po dento y po fuea, con una pintua que cube 450 pies cuadados po galón, cuántos galones se equieen? pies 3 pies La pate supeio es un hexágono egula fomado po 6 tiángulos equiláteos. La longitud de cada lado del tiángulo seía entonces 1 pie. 1 pie 1 pie 1 pie La supeficie tiangula a pinta tiene el siguiente valo de áea. 1 pie 3 pies A = (3)(1) A = 3 pies pies Como son 6 caas A 1 = 6A = 9pies. Como es po dento y po fuea A = A 1 = 18pies. Como son 100 ecipientes A 3 = 100A = 1800pies. Como son 450 pies po galón 4 galones. Luego, se equeián 4 galones paa pinta los 100 ecipientes. pág. 700
Capítulo 8 Geometía del Espacio A continuación estudiaemos el cálculo de volúmenes paa poliedos, una magnitud muy impotante paa algunas aplicaciones de la ealidad. Po ejemplo, los ingenieos estiman costos de constucción de una caetea deteminando la cantidad de mateial que se debe utiliza, calculando peviamente el volumen de los sólidos involucados. 8.7 Volumen de poliedos Objetivos Al finaliza esta sección el lecto podá: * Dado un pisma, calcula su volumen. * Dada una piámide, calcula su volumen. * Dada una piámide tuncada, calcula su volumen. En esta sección se calculaá el volumen de un cuepo poliédico con las caacteísticas estudiadas en las secciones anteioes. Se denomina volumen V de un cuepo geomético a la medida del espacio que ocupa. A pati del cálculo del volumen del paalelepípedo ecto ectangula se pueden deiva las eglas que pemiten calcula el volumen de los demás poliedos. V = A B. altua V = (lago. ancho). altua V = a. b. h h a b Figua 8.13: Otoedo. El cubo es un otoedo con todas sus aistas de igual longitud, entonces su volumen es: V = a. a. a V = a 3 a a a Figua 8.14: Cubo. pág. 701
Un paalelepípedo siempe se puede tansfoma en un otoedo de base equivalente y de igual altua, po lo que su volumen es también igual al áea de la supeficie de la base po la altua. 1º º 3º 4º 5º Figua 8.15: Tansfomación de un paalelepípedo. Un paalelepípedo siempe se puede descompone en dos pismas tiangulaes equivalentes, tazando, po ejemplo, un plano que contenga a dos diagonales paalelas, situadas espectivamente en dos caas también paalelas del cuepo. Figua 8.16: Pismas equivalentes. El volumen de cada pisma tiangula de la figua es igual a la mitad del volumen del paalelepípedo. Po el postulado de Cavaliei (véase apéndice B) se establece que todo pisma tiangula se puede descompone en tes piámides o tetaedos de igual volumen. De aquí se obtiene que el volumen de un tetaedo es igual a la tecea pate del volumen del pisma de igual base tiangula; entonces, el volumen de una piámide tiangula es: V = 1 3 (A B. h) pág. 70 Figua 8.17: Volumen de un tetaedo.
Capítulo 8 Geometía del Espacio El esultado anteio es válido paa cualquie piámide: El volumen de una piámide es igual a la tecea pate del poducto del áea de la base po la longitud de la altua. Veamos cómo se obtiene el volumen en el caso de una piámide pentagonal: Si unimos A con D y B con D, la base queda descompuesta en tes tiángulos. Los planos que contienen dichas diagonales y el vétice, descomponen la piámide en tes tetaedos de igual volumen. P E h D C A B Figua 8.18: Piámide pentagonal. V(piámide PABCDE)=V(tetaedo PEAD)+V(tetaedo PABD)+V(tetaedo PBCD) = 1 3 A EAD. altua + 3 1 A ABD. altua + 3 1 A BCD. altua = 1 3 (A EAD + A ABD + A BCD). altua V( piámide PABCDE) = 1 3 (A ABCDE). altua El volumen de una piámide tuncada de bases paalelas es igual a un tecio del poducto de la longitud de su altua po la suma del áea de las supeficies de las dos bases con la media geomética ente ellas. En una piámide tuncada de altua h y bases paalelas de áeas B y B : B V = 1 3. h. (B + B + B. B ) B. B = media geomética ente B y B h B Figua 8.19: Piámide tuncada. pág. 703
Ejemplo 8.11 Volumen de un poliedo egula. Encuente el volumen de un tetaedo egula, siendo su base el P 1 P P 3 cuyo lado tiene longitud L. V P 1 A B = 3 4 L P M H L P 3 Además en el VP 3 H: Como: P 3 H = 3 P 3M H es el otocento de P 1 P P 3. P 3 M = L 3 Altua del tiángulo equiláteo. P 3 H = 3 L 3 = L 3 3 En el VP 3 H: (VH) = (VP 3 ) - (P 3 H ) Teoema de Pitágoas. h = L - L 3 = L 3 h = L 6 3 En conclusión: V(Tetaedo egula) = 1 3 A Bh V(Tetaedo egula) = L3 1, el cual se mide en unidades cúbicas. pág. 704
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.1 Volumen de un poliedo egula. Calcula el volumen de un pisma hexagonal ecto cuya altua mide 10 cm, y cuya áea de la supeficie lateal es el cuáduplo del áea de la supeficie de una de sus bases. P Q P Q PP = 10cm A L = 4A B (a) A B = Pe(base). apotema 6(PQ) PQ 3 = A L = 6Áea (caa lateal) A L = 6[(PQ)(PP )] A L = 60(PQ) (b) Utilizando (a) y (b): 60(PQ) = 4 3PQ 3 PQ 3 = 10 PQ = 10 3 cm 3 El volumen del pisma se calcula con: V(Pisma) = A B. altua = 3PQ 3 (PP ) = 3 10 3 (10) 3 V(Pisma) = 500 3 cm 3 pág. 705
Ejemplo 8.13 Volumen de pismas. Un muo de contención de homigón mide 80 pies de longitud, con extemos como los de la figua. Cuántos pies cúbicos de homigón se empleaon paa constui este muo? 6 3 El volumen que ocupa este muo de homigón se lo puede obtene dividiéndolo en 3 pates. Sean: V 1, el volumen del pisma ectangula cuyo lago y ancho miden 6 y. V, el volumen del pisma tapezoidal cuyas bases miden y 4 y la longitud de su altua 3. V 3, el volumen del pisma ectangula cuyo lago y ancho miden. En los 3 casos, la longitud de la pofundidad es 80. V T = V 1 + V + V 3 = A B1. h + AB. h + AB3. h pág. 706 = h (a 1 )(b 1 ) + (b T + B T )h [ T + (a )(b )] ( + 4)(3) = 80 [()(6) + + ()()] = 80 (1 + 9 + 4) = 80 (5) V T = 000 pies cúbicos. Po lo tanto, se empleaon 000 pies cúbicos de homigón paa constui este muo.
Capítulo 8 Geometía del Espacio 8.8 Cuepos de evolución Objetivos Al finaliza esta sección el lecto podá: * Explica las caacteísticas de los cuepos de evolución. * Dado un cilindo de evolución, calcula el áea de su supeficie lateal, el áea de su supeficie total y su volumen. * Dado un cono de evolución, calcula el áea de su supeficie lateal, el áea de su supeficie total y su volumen. * Dada una esfea, calcula el áea de la supeficie esféica y el volumen de la esfea. * Dado un ectángulo, tiángulo ectángulo, tapecio o semicículo, calcula el volumen del sólido de evolución que se genea al gia la figua en tono a un eje. * Dada una egión en el plano catesiano y un eje de evolución, calcula el volumen del sólido que se genea al gia la egión en tono al eje. Definición 8.11 (Supeficie de evolución) Una supeficie de evolución es una supeficie geneada po una línea o una cuva plana continua, sin autointesecciones (los puntos de la línea son coplanaes), que gia alededo de una ecta denominada eje de evolución. La línea que gia se denomina geneatiz. Geneatiz Eje de Revolución En geneal, las supeficies de evolución junto con supeficies planas pependiculaes al eje de evolución que contienen a los extemos de la cuva de evolución, delimitan cuepos sólidos. pág. 707
Definición 8.1 (Sólido de evolución) Un sólido de evolución es el cuepo limitado po una supeficie de evolución y dos planos pependiculaes al eje de evolución de dicha supeficie. Cuepo de Revolución Los cuepos de evolución (cuepos edondos) que estudiaemos en esta sección son el cilindo ecto, el cono ecto y la esfea. Si consideamos un pisma ecto egula con n lados en la base, donde n tiende a infinito, se obtendá un sólido, denominado cilindo ecto, cuya base seá un cículo. De igual manea, si consideamos una piámide ecta egula con n lados en la base, donde n tiende a infinito, se obtendá un sólido, denominado cono ecto, cuya base seá un cículo. Nos peocupaemos po ahoa de estos dos sólidos. Una compaación ente el pisma y el cilindo, la piámide y el cono, se muesta a continuación. (a) (a ) (b) (b ) pág. 708 Figua 8.0: Pisma y cilindo, piámide y cono.
Capítulo 8 Geometía del Espacio Se puede considea que el cilindo en este caso es un sólido geneado po la otación completa de un ectángulo en tono a uno de sus lados; a este sólido se le denomina cilindo de evolución. Se puede considea que el cono en este caso es un sólido geneado po la otación completa de un tiángulo ectángulo en tono a uno de sus catetos; a este sólido se le denomina cono de evolución. En un cono y en un cilindo las bases son cículos, y sus aistas lateales son las geneatices. La altua es el segmento pependicula a la base que contiene al vétice como extemo, en el caso del cono, y que contiene a un punto del plano de la ota base, en el caso del cilindo. El áea de la supeficie lateal de un cilindo ecto seá el áea de la supeficie de un ectángulo cuya base tiene po longitud el peímeto de la cicunfeencia de adio de la base, es deci π, y cuya altua tiene po longitud la de la geneatiz g, luego: A L = g g Figua 8.1: Cilindo ecto. El áea de la supeficie total de un cilindo ecto es A T = A L +, esto es: A T = (g + ) El áea de la supeficie lateal de un cono ecto seá el áea de la supeficie del tiángulo, cuya base tiene po longitud el peímeto de la cicunfeencia de adio de la base, es deci π, y cuya altua tiene po longitud la de la geneatiz g, luego: A L = g g Figua 8.: Cono ecto. Mientas que el áea de la supeficie total de un cono ecto es: A T = (g + ). pág. 709
Ejemplo 8.14 Áea de la supeficie lateal de un cilindo. Un cilindo está inscito en un cubo cuya diagonal d mide 0cm. Calcule el áea de la supeficie lateal del cilindo. a d h d = 0cm La altua h del cubo coincide con la geneatiz a del cilindo, h = a. Además: d = a 3 a 3 = 0 a = 0 3 Longitud del adio de la base del cilindo: = a Luego: A L = h = a a = a A L = 400 3 cm Ejemplo 8.15 Áea de la supeficie total de un cilindo. Detemine el áea de la supeficie total de un cilindo cuya geneatiz h es pependicula al diámeto de su base de adio, que a su vez es conguente con la geneatiz del cono inscito en él. pág. 710
Capítulo 8 Geometía del Espacio h A L = h La longitud de la geneatiz se puede obtene aplicando el teoema de Pitágoas: h = 4 - = 3 A L = 3 A B = A T = A L + A B A T = 3 + A T = ( 3 + 1) u Ejemplo 8.16 Áea de la supeficie lateal de un cono. Un cono ecto de altua h = 3m, tiene un áea de la supeficie lateal de 6 m. Detemine la medida del ángulo α que la geneatiz g foma con la altua h. α h g h = 3m A L = 6 m A L = g g = 6 = 6 g pág. 711
Po el teoema de Pitágoas: g = h + g - = h g - 36 g = 9 Po tanto: g 4-9g - 36 = 0 (g - 1)(g + 3) = 0 (g = 1) (g = -3) De donde: Además: g = 1 = 3 cos(α) = h g = 3 α = 6 Ejemplo 8.17 Áea de la supeficie de cuepos edondos. Calcule el áea de la supeficie lateal de un cono cuyo adio tiene longitud 3cm y su altua tiene longitud 4cm. La situación descita puede se epesentada en la figua. h g = 3cm h = 4cm Aplicando el teoema de Pitágoas: h g g = h + g = (4) + (3) g = 5cm El áea de la supeficie lateal del cono viene dada po: A L = g = (3)(5) A L = 15 cm pág. 71
Capítulo 8 Geometía del Espacio Si un cono se inteseca con un semiespacio geneado po un plano paalelo a la base del cono esultan dos cuepos: un cono y oto que se denomina cono tuncado. Un cono tuncado tiene dos bases ciculaes paalelas semejantes, de áeas A y A, y la altua h es la distancia mínima ente ellas. Las secciones tansvesales de un cono dividen a la altua, a las geneatices y a las bases en pates popocionales, además: V A A = V A Π A A A A Figua 8.3: Cono tuncado ecto. Se puede considea que el cono tuncado de evolución de bases paalelas, es un sólido de evolución geneado po la otación de un tapecio ectángulo en tono de un eje que contiene el lado pependicula a sus bases. Áea de la supeficie lateal: A L = P + P. g A g A Π Donde: g es la geneatiz. P es el peímeto de la base mayo = π P es el peímeto de la base meno = π Entonces: A L = (π + π ). g = π( + ). g Áea de la supeficie total: A T = A L + A B + A B Donde A B y A B son las áeas de las supeficies de las bases: Luego: A T = π( + ). g + π + π A T = π[( + ). g + + ] pág. 713
Definición 8.13 (Esfea sólida y supeficie esféica) Sea un númeo positivo y O un punto en el espacio, el conjunto S = {P OP = } es una supeficie esféica de adio, centada en O. La unión de una supeficie esféica con su inteio se denomina esfea sólida. Supeficie Esféica Esfea Sólida Se puede considea que la esfea sólida es un sólido geneado po la otación completa de un semicículo en tono al diámeto; a este sólido se le denomina esfea sólida de evolución. Elementos de la esfea sólida y la supeficie esféica. Respecto a la siguiente figua, se pueden obseva los siguientes elementos de una esfea sólida y una supeficie esféica de cento O y adio. Π 1 A O B O D Π T Figua 8.4: Elementos de la esfea sólida y la supeficie esféica. pág. 714
Capítulo 8 Geometía del Espacio a) Radio (): Es un segmento que une el cento de la supeficie esféica con un punto cualquiea de ella. Po ejemplo: OD, OA y OB son adios. OD = OA = OB =. b) Diámeto (d): Es un segmento de ecta que contiene al cento de la supeficie esféica y tiene po extemos puntos de la supeficie esféica. La longitud del diámeto d es el doble de la longitud del adio, es deci d =. Po ejemplo: AB. c) Casquete esféico: es la pate de la supeficie esféica limitada po un plano secante a la esfea. Si el plano contiene el cento de la esfea, la sección plana que detemina es un cículo máximo, es deci, es un cículo que tiene igual adio que el de la esfea. Un cículo máximo divide a la esfea en dos hemisfeios. d) Huso esféico: Un huso esféico o cuña esféica es la intesección de una supeficie esféica con un ángulo diedo, cuya aista contiene al cento de la esfea. e) Plano secante: Es un plano que inteseca a la supeficie esféica en más de un punto. Po ejemplo: Π 1. f) Plano tangente: Es un plano que inteseca a la supeficie esféica en un solo punto. Po ejemplo: Π. El punto de intesección se denomina punto de tangencia o de contacto. En la figua, T es el punto de tangencia. En toda esfea, el plano tangente es pependicula al adio coespondiente en el punto de tangencia. Se puede demosta que el áea de la supeficie esféica es igual a cuato veces el áea de un cículo máximo. A(supeficie esféica) = 4 El volumen de los cuepos de evolución, peviamente estudiados, puede se calculado de la siguiente manea: Cilindo El volumen de un cilindo es igual al poducto del áea de la supeficie de la base po la longitud de la altua. V = A B. altua V =. h : Longitud del adio de la base. h: Longitud de la altua. pág. 715
Cono El volumen de un cono es un tecio del poducto del áea de la supeficie de la base po la altua. V = 1 3. A B. altua : Longitud del adio de la base. V = 1 3.. h h: Longitud de la altua. Cono tuncado V = 1 3 h. ( + + ) y : Longitudes de los adios de las bases. h: Longitud de la altua. Esfea (Sólida) El volumen de una esfea sólida es igual a un tecio del poducto de la longitud del adio po el áea de la supeficie esféica. V = 1 3.. 4 : Longitud del adio de la base. V = 4 3 3 Ejemplo 8.18 Áea de una supeficie esféica. Ceca de tes cuatas pates de la supeficie de la Tiea está cubieta de agua. Cuántos kilómetos cuadados de la supeficie de la Tiea constituyen teeno seco? (Considee 6400km como longitud del adio de la Tiea). El áea A del teeno seco lo constituiá la cuata pate de la supeficie esféica con = 6400km. A = 1 4 (4 ) A = A = (6400) A = 40 960.000 La supeficie de la Tiea que constituye teeno seco es 40'960.000π km. pág. 716
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.19 Áea y volumen de un cilindo ecto. Un ecipiente en foma de cilindo cicula ecto mide 35cm de altua y tiene una base de 16cm de diámeto. Encuente el áea de su supeficie total y su volumen. A T = A L + A B = h + = (8)(35) + (8) = 560 + 18 A T = 688 cm 35cm V = h = (8) (35) V = 40 cm 3 8cm Ejemplo 8.0 Vaiaciones del áea y volumen de un cilindo. Si las longitudes del adio y de la altua de un cilindo se duplican, cómo vaían el áea de su supeficie total y su volumen? h h A T (cilindo gande) = ()(h) + () = 4( h) + 4( ) = 4[ h + ] A T (cilindo gande) = 4A T (cilindo pequeño) V(cilindo gande) = () (h) = 8 h V(cilindo gande) = 8V(cilindo pequeño) pág. 717
Ejemplo 8.1 Geneatiz, áea y volumen de un cono. Un cono cicula ecto tiene altua 15cm y adio de la base 8cm. Encuente: a) La longitud de la geneatiz. b) El áea de la supeficie total. c) El volumen. a) Geneatiz: g = 8 + 15 g = 64 + 5 = 89 g = 17cm. b) A T = (8)(17) + (64) = 00 cm 15 8 g c) V = 1 3 (8) (15) = 30 cm 3 Ejemplo 8. Volúmenes de cuepos edondos. Una esfea sólida de cobe se funde y con el metal se hacen conos con longitud de adio igual al de la esfea y longitud de la altua igual al doble de la longitud de dicho adio. Cuántos conos se obtienen? R h Po condiciones del poblema: = R h = R V cono = R (R) 3 V esfea = 4 3 R3 V cono = h 3 pág. 718 V cono = 3 R3 Cantidad de conos = V esfea V cono = Cantidad de conos =. 4 3 R3 3 R3
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.3 Relación ente esfea, cilindo y bicono. Demueste que el volumen de un cilindo, cuya altua es conguente con su diámeto, es igual al volumen de la esfea más el volumen del bicono inscitos en el cilindo. V(cilindo) = () V(esfea) = 4 3 3 V(bicono) = [ 1 3 () V(cilindo) = ] 3 V(cilindo) = 3 V(bicono) = 3 3 = 4 3 3 + 3 3 V(cilindo) = V(esfea) + V(bicono) Ejemplo 8.4 Volúmenes de cuepos edondos. En una caja se embalan seis latas cilíndicas. Cuál es la azón ente el volumen de las seis latas juntas y el volumen de la caja? h b a pág. 719
Se cumple que b = 6 y a = 4 El volumen de cada lata cilíndica es V L = π h El volumen de la caja es V C = abh La azón ente volúmenes se calcula así: 6V L V C = 6 h abh 6 h = (4)(6)h 6V L V C = 4 Con lo cual, la azón ente los volúmenes es 4. Ejemplo 8.5 Volúmenes de cuepos edondos. Un canal de desagüe tiene foma de un tubo cilíndico de 50cm de lago. Los adios inteno y exteno tienen longitudes de 9cm y 1cm, espectivamente. Detemine el volumen de cemento necesaio paa constui el canal. Se deduce que el canal tiene la siguiente foma: H R R = 1cm = 9cm H = 50cm El volumen del tubo cilíndico seá el volumen del cilindo exteio menos el volumen del cilindo inteio. V = V EXT - V INT V = πr H - π H V = πh (R - ) V = π(50)[(1) - (9) ] V = π(50)(144-81) V = π(50)(63) V = 3150π El volumen de cemento necesaio paa constui el canal es 3150πcm 3. pág. 70
Ejemplo 8.6 Volúmenes de figuas. Capítulo 8 Geometía del Espacio Detemine el volumen del sólido que se muesta en la figua adjunta. = 1u c = 8u b = 3u Sea U el volumen del paalelepípedo y W el volumen semicilíndico. U = abc U = (4)(3)(8) U = 96 W = 1 Vcilindo W = 1 π c W = 1 π(1) (8) W = 4π El volumen V del sólido seá: V = U - W V = 96-4π V = 4 (4 - π) u 3 Ejemplo 8.7 Volúmenes de cuepos edondos. Detemine el volumen de un cilindo de altua h inscito en una esfea de adio R. a = 4u h R pág. 71
Su poyección en un plano lateal es: Aplicando el teoema de Pitágoas: h R = R - h 4 V CIL = h V CIL = R - h h 4 V CIL = 4 (4R - h ) hu 3 Ejemplo 8.8 Volúmenes de cuepos edondos. Detemine el volumen de un cono de altua h inscito en una esfea de adio R. h R Su poyección en un plano lateal es: Aplicando el teoema de Pitágoas: = R - (h - R) h - R R = R - h + hr - R = hr - h = h(r - h) V CO = 1 3 h V CO = 1 3 [h(r - h)]h V CO = 3 (R - h)h u 3 pág. 7
Ejemplo 8.9 Volumen de un cono tuncado. Capítulo 8 Geometía del Espacio Demueste que el volumen de un cono tuncado de longitudes de adios de las bases y y longitud de altua h es: V = 1 3 h ( + + ) El cono tuncado puede se obtenido a pati de dos conos como se muesta a continuación: h h + h = - h V CP V CT Estableciendo semejanzas ente tiángulos: h + h h V CT = V CG - V CP = 1 3 (h + h ) - 1 3 h = 1 3 h + h - 1 h - 3 - = 1 3 [ ] h + - - - = 1 3 h 3 - + - 3 - = 1 3 h 3-3 - V CT = 1 3 h ( + + ) V CG = h h + h = h h + h h - h = h h ( - ) = h h h h = - Calculando el volumen del cono tuncado: pág. 73
Ejemplo 8.30 Volúmenes de cuepos edondos. Detemine el volumen de un cono constuido a pati de un secto cicula de longitud de adio igual a cm y ángulo cental de medida igual a 3 adianes. SC La longitud de aco L SC del secto cicula es: θ SC L SC = SC θ SC L SC L SC = () 3 L SC = 3 Su poyección en un plano lateal es: h CO CO La longitud de aco del secto cicula coincide con la longitud de la cicunfeencia de la base del cono. L SC = L CO 3 = CO CO = 1 3 Po el teoema de Pitágoas: h CO = () - 1 3 h CO = 4-1 9 = 35 3 V = 1 3 CO h CO = 1 3 1 3 pág. 74 35 = 3 35 u 3 81
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.31 Volúmenes de cuepos edondos. Calcule el volumen compendido ente un cubo de longitud de aista a, y la esfea inscita en él. Su poyección en un plano es: a La longitud del adio es 1 a unidades y el volumen solicitado seá la difeencia ente el volumen del cubo y el de la esfea: V = V C - V E V = a 3-4 3 a V = a 3 1 - u 6 3 3 Ejemplo 8.3 Volúmenes de cuepos edondos. Un ey decide que se fundan 100 esfeas de oo de adio a unidades y que, con el mateial que quede, se fomen conos ectos cuyas altuas midan a y cuyas bases tengan diámetos de a unidades de longitud. Calcule cuántos conos como esos se podán foma paa epatilos ente sus súbditos. Denominaemos V 1 al volumen de las 100 esfeas. V 1 = 100V ESFERA = 100 4 3 3 V 1 = 400 3 a 3 pág. 75
Denominaemos V al volumen de los x conos. V = xv CONO = x 1 3 h = x 1 a 3 V = x 1 4 a3 a Suponiendo que no hay pédida de mateial, debe cumplise que V 1 = V, luego: 400 a 3 3 = a3 4 x Despejando x: x = 4 3 (400) x = 300 El ey podá epati 300 conos de las caacteísticas anotadas ente sus súbditos. Ejemplo 8.33 Volúmenes de cuepos edondos. En la figua adjunta, detemine el volumen compendido ente el cilindo y el cono. 3a El volumen V compendido ente el cilindo y el cono seá la difeencia de ambos. V = V CIL - V CO = CIL h CIL - 1 3 CO h CO pág. 76 = (a) (3a) - 1 3 (a) (3a) = 3 a 3 - a 3 V = a 3 El volumen equeido es πa 3 unidades cúbicas. a
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.34 Volúmenes de cuepos semejantes. Con especto a la figua, se conoce que el volumen del cono de adio de la base 3 es igual a 7πu 3. Detemine el volumen del cono de altua h y adio de la base. h H 3 Aplicando el citeio de semejanza de tiángulos: H 3 = h H = 3h h = H 3 V CG = 7π = 1 3 π (3) H = 9 H V CP = 1 3 π h = 1 3 π 9 H H 3 V CP = πu 3 pág. 77
Ejemplo 8.35 Volúmenes de cuepos edondos. En la figua adjunta, se ha inscito un cono ecto en una esfea de adio R y cento en O. Si la longitud del adio y el volumen del cono son 3cm y 7πcm 3, espectivamente detemine el volumen de la esfea. h R O El volumen del cono es V CO = π h 3 = 9πh 3 = 7π. De aquí: h = 9cm. g h La geneatiz del cono se la puede obtene aplicando el teoema de Pitágoas: g = h + = 81 + 9 = 90. Sea a el ángulo fomado po la geneatiz g y la altua h del cono. Sea R la longitud del adio de la esfea. Se tendá entonces: cos (a) = h g (I) g R a R h También: cos (a) = g (II). R pág. 78
Donde R es la longitud del adio de la esfea. Igualando (I) y (II): h g = g R. De donde R = g h = 90 18 V E = 4 3 3 = 4 (15) 3 Capítulo 8 Geometía del Espacio = 5cm. Y, po lo tanto, el volumen de la esfea seá: = 500 3 cm 3 Ejemplo 8.36 Volúmenes de cuepos en el espacio. Una piámide con base cuadada se inscibe en un cono ecto, de manea que tengan el mismo vétice y la base de la piámide quede inscita en la base del cono. La altua común mide 18cm y la longitud de un lado del cuadado es 15cm. Calcule el volumen de la piámide y del cono. La situación planteada se puede epesenta en la figua adjunta. H l V PIRAMIDE = 1 3 V PRISMA = 1 3 l H = 1 3 (15) (18) V PIRAMIDE = 1350cm 3 El volumen de la piámide es 1350cm 3. pág. 79
Consideando las bases de la piámide y el cono, tenemos: l Aplicando el teoema de Pitágoas: = l + l = l = l Po lo tanto, paa calcula el volumen del cono: V CONO = 1 3 H = 1 3 l H = 1 3 1 l H = 1 3 1 (15) (18) V CONO = 675 cm 3 El volumen del cono es 675 πcm 3. Ejemplo 8.37 Volúmenes de cuepos edondos. Un cono de helado tiene 1½cm de pofundidad y 5cm de diámeto supeio. Se colocan en él dos cuchaadas semiesféicas, también de longitud de diámeto 5cm. Si el helado se deite dento del cono, lo ebasaá? pág. 730
Capítulo 8 Geometía del Espacio La situación descita puede se epesentada po: R C R E H C V CONO = 1 3 R C H C = 1 3 5 V CONO = 65 4 cm3 5 V HELADO = V SEMIESFERA = V ESFERA = 4 3 R3 E = 4 3 5 V HELADO = 15 6 3 cm 3 Paa que el helado no ebase el cono, debe cumplise que: V HELADO V CONO Como: 15 6 65 4 Si el helado se deite, no ebasaá el cono. pág. 731
Ejemplo 8.38 Volumen de un sólido de evolución. Encuente el volumen del sólido que se genea al ota la egión sombeada alededo del eje XX. X b a X Sea U el volumen del hemisfeio de adio a que se genea al ota el cuato de cículo de adio a alededo del eje XX : X U = 3 a3 B C Sea V el volumen del cono ecto de longitud de adio a y altua b que se genea al ota el tiángulo ectángulo ABC alededo del eje XX : V = 1 3 a b A a D b X Sea W el volumen del cilindo ecto de longitud de adio a y altua b que se genea al ota el ectángulo ABCD alededo del eje XX : W = a b El volumen del sólido es: U + W - V U + W - V = 3 a3 + a b - 1 3 a b U + W - V = 3 a (a + b)u 3 pág. 73
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.39 Volumen de un sólido de evolución. Calcule el volumen del sólido de evolución que se genea al ota la egión del plano mostada en la figua alededo del eje M. a a a a M V S = V CIL + V CT V S = (a) (a) + 1 3 [(a) + (a)(a) + (a) ]a V S = a 3 + 1 3 (a + a + 4a )a V S = a 3 + 7 3 a3 V S = 10 3 a3 u 3 Ejemplo 8.40 Volumen de un sólido de evolución. Si en la figua adjunta el tiángulo ectángulo tiene su hipotenusa paalela al eje YY, detemine el volumen del sólido de evolución que se genea al ota la egión sombeada alededo de dicho eje. Y B Y A D 1 C pág. 733
a + b = 90º A a b C D 1 Tenemos 3 tiángulos ectángulos que son semejantes, luego tomamos los tiángulos ABD y ABC: a 3 = a a = 6 a = 6 Aplicando el teoema de Pitágoas: a + b = ( + 1) b = (3) - ( 6) b = 3 También se puede utiliza semejanza de tiángulos paa calcula el valo de b: b 3 = 1 b b = 3 b = 3 Aplicando nuevamente semejanza ente los tiángulos DBC y ABC: CI b = a 3 CI = ab CI Y 6 3 3 = 3 3 3 = = V = Vcilindo - Vcono 1 - Vcono V = CI h CI - 1 3 CO 1 h CO 1-1 3 CO h CO Peo CI = CO 1 = CO = a b B a b Y V = CI h CI - 1 3 h CO1-1 3 h CO V = ( ) [ ] 3-1 3 () - 1 3 (1) V = 3-3 - 1 3 V = 4 u 3 pág. 734
Capítulo 8 Geometía del Espacio Ejemplo 8.41 Volumen de un sólido de evolución. Si se define la egión del plano catesiano limitada po: {y = -x y = -, x = -1 encuente el volumen del sólido de evolución geneado al ota dicha egión, alededo del eje x = -1. x = -1 y h 1-3 - -1 0-1 1 x - y = - y = -x = 1 - (-1) = h = - (-) = 4 V cono = 1 3 h V cono = 1 3 () (4) V cono = 16 3 u3 pág. 735
Ejemplo 8.4 Volumen de un sólido de evolución. Calcule el volumen del sólido de evolución que se genea cuando el tiángulo cuyos vétices son A(, -), B(6, 0) y C(5, ) gie en tono al eje y. y 3 1-1 - C B 1 3 4 5 6 A x Pocedemos a enconta el punto de intesección del lado AC del tiángulo con el eje x. La función lineal que contiene dicho segmento de ecta es: f (x) = (x - 7) 3 Paa enconta el valo de la abcisa del punto de intesección de f con el eje x, debemos esolve la ecuación lineal f (x) = 0. 3 (x - 7) = 0 x - 7 = 0 x = 7 Las coodenadas de dicho punto P son 7, 0, y también se las puede obtene de manea más sencilla, poque ente x = y x = 5, la mitad es x = 3.5 y las odenadas espectivas están distibuidas siméticamente especto al eje x. El volumen del sólido de evolución que se genea puede se obtenido en pates: pág. 736 V S = V 1 + V
y D Capítulo 8 Geometía del Espacio C En donde V 1, es el volumen del cono tuncado que se genea al ota la supeficie del tapecio DCBO menos la supeficie del tapecio DCPO alededo del eje y; y, V es el volumen del cono tuncado que se genea al ota el tapecio OBAE menos la supeficie del tapecio OPAE alededo del eje y. V 1 = 1 3 H 1 (R 1 + R 1 1 + 1 - R - R - ) = 1 3 () (6) + (6)(5) + (5) - (5) - 7 (5)- 7 = 3 36 + 30-35 - 49 4 = 3 = (145) 1 V 1 = 145 6 64-70 - 49 4 O - V = 1 3 H 3(R 3 + R 3 3 + 3 - R 4 - R 4 4-4) E A P 6 B x = 1 3 () (6) + (6)() + () - 7 = 3 36 + 1-49 4-7 - 7 () - () = 3 41-49 4 = 3 = (115) 1 V = 115 6 164-49 4 pág. 737
V S = 145 6 = 60 6 V S = 130 3 + 115 6 Po lo tanto, el volumen que se genea al ota el tiángulo ABC alededo del eje y es 130 3 u3. Ejemplo 8.43 Volumen de un cuepo de evolución. Considee la egión en el plano de la figua adjunta: y 1 y = - 3 x 1 3 x a) Detemine Vx, que es el volumen del cuepo de evolución que se genea al ota la figua alededo del eje x. b) Detemine Vy, que es el volumen del cuepo de evolución que se genea al ota la figua alededo del eje y. c) La poposición: Vx = Vy, es vedadea? Dado que se obtiene un cono al ota alededo del eje x. a) Vx = 1 3 x h x pág. 738 = 1 3 () (3) Vx = 4 u 3 Al ota la figua alededo del eje y también se obtiene un cono. b) Vy = 1 3 y h y = 1 3 (3) () Vy = 6 u 3 c) A pati de los valoes anteioes, concluimos que el valo de vedad de la poposición planteada es falso.