APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 67 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes: A B C D E F G f convea f cóncava f' decreciente f' creciente f'' < 0 f'' > 0 CD 8 f convea 8 f' decreciente 8 f" < 0 DE 8 f cóncava 8 f' creciente 8 f" > 0 EF 8 f convea 8 f' decreciente 8 f" < 0 FG 8 f cóncava 8 f' creciente 8 f" > 0

Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: La función está definida en [0, 7]. Solo toma valores positivos. Pasa por los puntos 0, ),, ) y 7, ). En el intervalo, ), la función es convea. En el intervalo, 4), f''> 0. En el intervalo 4, 6), f' es decreciente. En el intervalo 6, 7), f es cóncava. 0 4 5 6 7 Página 68. Halla las rectas tangentes a la curva: 5 + 7 6 y = en los puntos de abscisas 0,,. Calculamos la derivada de la función: y' = 5 + 4 6) ) 5 + 7 6) = ) Ordenadas de los puntos: y0) = 0; y) = 4; y) = 50 Recta tangente en 0, 0): y'0) = 8 y = 8 Recta tangente en, 4): y') = 9 y = 4 9 ) = 9 + Recta tangente en, 50): y') = y = 50 + ) = + 7 0 8 + )

UNIDAD 7. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva: y = 4 + que sean paralelas a la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. y = 4 + Calculamos la derivada: y' = 4 Si son paralelas a la bisectriz del. y 4. cuadrante, la pendiente es. Por tanto: 4 = 8 = 8 = 8 = ± y ) = 6 y ) = 0 Recta tangente en, 6): y = 6 + ) = + 5 Recta tangente en, 0): y = 0 ) = + Página 69. Dada la función y = 9 + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece. y' = 6 9 = ) = ) + ) a) < 8 y' > 0 8 f es creciente en @, ) > 8 y' > 0 8 f es creciente en, +@) b) < < 8 y' < 0 8 f es decreciente en, ) Página 7. Comprueba que la función y = / ) tiene solo dos puntos singulares, en = 0 y en = 6. Averigua de qué tipo es cada uno de esos dos puntos singulares; para ello, debes estudiar el signo de la derivada. y' = ) ) = ) ) ) = ) 4 ) 4 = 6 ) = 6) ) )

y' = 0 8 6) = 0 = 0 = 6 f' 0,0) > 0 f'0,0) > 0 En = 0 hay un punto de infleión. f'5,99) < 0 f'6,0) > 0 En = 6 hay un mínimo relativo.. a) Halla todos los puntos singulares abscisa y ordenada) de la función y = 4 + 4. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y = 4 + 8 + + 4 + 9. a) y' = + = + ) y' = 0 = 0 8 Punto 0, 0) = 8 Punto, ) Dos puntos singulares. Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ) = 7 y f,5) =,7. En 0, 0) hay un punto de infleión. En, ) hay un máimo relativo. b) y' = 4 + 4 +44 + 4 = 4 +) +) +) y' = 0 = 8 Punto, 0) = 8 Punto, ) = 8 Punto, 0) Los tres puntos están en el mismo intervalo [ 4, 0], donde la función es derivable. Además, f 4) = f 0) = 9. Hay un mínimo relativo en, 0), un máimo relativo en, ) y un mínimo relativo en, 0). Tres puntos singulares. 9 4 4

UNIDAD 7 Página 7. Estudia la curvatura de esta función: y = 4 8 + 5 f') = 4 ; f'') = 6 48 = 0 8 Punto 0, 5) f'') = 0 8 4) = 0 4 4 = 8 Punto, 7 ) 4 f''') = 7 48; f'''0)? 0; f''' )? 0) 4 Los puntos 0, 5) y, ) son puntos de infleión. 7 4 La función es cóncava en @, 0) «, +@), pues f'') > 0. La función es convea en el intervalo ) 0, 4. Estudia la curvatura de la función siguiente: y = 6 + 9 f') = + 9; f'') = 6, pues f'') < 0. f'') = 0 8 6 = 0 8 = 8 Punto, ) f''') = 6; f''')? 0) El punto, ) es un punto de infleión. La función es convea en @, ), pues f'') < 0. La función es cóncava en, +@), pues f'') > 0. Página 75. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser > 0. Tenemos que minimizar la función: 5 f ) = + f') = 5 = 5 = 0 Como lím f ) = +@, lím f ) = +@ y la función es continua en 0, +@), 8 0 + 8 +@ hay un mínimo en = 5). Por tanto, el número buscado es = 5. El mínimo es 0. = 5 8 f 5) = 0 = 5 no vale, pues >0) 5

. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 0 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. + y = 0 8 y = 0 y 0 ) 0 Área = = =, 0 < < 0 Tenemos que maimizar la función: 0 f ) = y, 0 < < 0 0 f') = = 5 = 0 8 = 5 8 y = 0 5 = 5 5 f 0) = 0; f 0) = 0; f 5) = ; y f es continua. Luego en = 5 está el máimo). Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm.. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d = 6 ) +, 0 < < 6 d 6 Tenemos que minimizar la función: f ) = 6 ) +, 0 < < 6 f') = 6 ) + = + 4 = 6 ) + 6 ) + f') = 0 8 6 + = 0 8 = 6 + 6 ) + f 0)= 6; f 6) = 6; f ) = 8 = 4,4; y f ) es continua. Luego en = hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m. 4. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: h r V = 6,8 l = 6,8 dm πr r h Área total = π rh + π r = = π rh + r) 6

UNIDAD 7 Como V = π r h =,4 r h = 6,8 8 h = 6,8 =,4 r Así: Áreal total = πr + r) = π + r ) r Tenemos que hallar el mínimo de la función: f r) = π + r ), r >0 f'r) = π + r ) = π ) = 0 8 + r = 0 8 r = = Como lím f r) = +@, lím f r) = +@, y f es continua en 0, +@); en r = r 8 0 + r r r r 8 +@ + r hay un mínimo). r = 8 h = = r = El cilindro tendrá dm de radio y dm de altura. r r 7

Página 80 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos cuya abscisa se indica: a) y = en = b) y = 0, 0,0 ) en = 0 +5 c) y = + en = d) y = en = 5 e) y = e en = 0 f) y = sen cos en = g) y = ln + ) en = 0 h)y = ln en = e a) Ordenada en el punto: = 8 y = Pendiente de la recta: y' = 8 y') = Recta tangente: y = ) = + b) Ordenada en el punto: = 0 8 y = = 4 Pendiente de la recta: y' = 0, 0,0 )0, 0,0) 8 y'0) = 0, = 0,4 Recta tangente: y = 4 + 0,4 0) = 0,4 c) Ordenada en el punto: = 8 y = Pendiente de la recta: y' = 8 y' ) = + 7 Recta tangente: y = + + ) = + 6 6 d) Ordenada en el punto: = 8 y = 4 6 π 0 0 Pendiente de la recta: y' = 8 y') = = 5) 4 5 5 Recta tangente: y = 4 ) = + 7 5 8

UNIDAD 7 e) Ordenada en el punto: = 0 8 y = Pendiente de la recta: y' = e 8 y'0) = Recta tangente: y = = + π f) Ordenada en el punto: = 8 y = 0 Pendiente de la recta: y' = cos sen π 8 y' = ) π π Recta tangente: y = = + g) Ordenada en el punto: = 0 8 y = 0 Pendiente de la recta: y' = 8 y'0) = + Recta tangente: y = h) Ordenada en el punto: = e 8 y = e Pendiente de la recta: y' = ln + 8 y'e) = Recta tangente: y = e + e) = e ) s Escribe la ecuación de la tangente a la curva y = + 4 +, que es paralela a la recta 4 y + 5 = 0. Calculamos la pendiente de la recta 4 y + 5 = 0: 5 4 y + 5 = 0 8 y = + 8 Pendiente. y' = + 4 = 8 = 8 y = 4 + = La recta tangente tiene pendiente y pasa por, ): y = + + ) = 8 y = s Halla las tangentes a la curva y = paralelas a la recta que pasa por 0, 0) y por, ). 0 La pendiente de la recta que pasa por 0, 0) y, ) es m = =. 0 Buscamos los puntos en los que la derivada de la función sea igual a : ) y' = = ) ) y' = 8 = 8 = 8 ) = 8 ) ) 8 = 0 = 0, y = 0 =, y = 9

Los puntos son 0, 0) y, 4). Las rectas tangentes son: y 0 = 0) 8 y = y 4 = ) 8 y = +8 s4 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y = 4 en los puntos de corte con el eje de abscisas. Los puntos de corte son 0, 0) y 4, 0). y'0) = 4 pendiente en 0, 0) y' = 4 y'4) = 4 pendiente en 4, 0) Rectas tangentes: En 0, 0) 8 y = 4 En 4, 0) 8 y = 4 4) = 4 + 6 5 Halla los puntos de tangente horizontal en las siguientes funciones y escribe la ecuación de la tangente en esos puntos: a) y = + b) y = 4 + 6 c) y = d) y = + a) y' = 4 + = 0 = 8 y = 0, recta tangente en, 0). 4 4 = 8 y =, recta tangente en,. 7 7 b) y' = 4 + = 4 + ) = 0 = 0 8 y = 0, recta tangente en 0, 0). = 8 y =, recta tangente en,. 4 4 ) = 8 y =, recta tangente en,. 4 4 ) 6 + ) 6 c) y' = = 0 8 6 + 6 = 0 + ) = 8 y =, recta tangente en, ). = 8 y =, recta tangente en, ). 5) 5 + 4) d) y' = = 0 8 4 = 0 = 8 y =, recta tangente en, ). = 8 y = 9, recta tangente en, 9). 5 + 4 ) 0

UNIDAD 7 6 Escribe la ecuación de la tangente a la curva f) = e en el punto donde corta el eje de ordenadas. Punto de corte con el eje de ordenadas: = 0 8 y = e 0 = e 8 0, e ) Pendiente de la recta tangente: f') = e 8 f'0) = e Ecuación de la recta tangente en 0, e ): y = e e = e ) 7 Determina el punto de la curva f) = 5 + 8 en el que la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe la ecuación de dicha tangente. La pendiente de la bisectriz del primer cuadrante es. Buscamos los puntos en los que f') = : f') = 5 8 5 = 8 = f) = 9 5 + 8 = Ecuación de la tangente: y = + ) = Máimos y mínimos 8 Halla los máimos, los mínimos y los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y = + 9 + 8) b) y = c) y = 4 d) y = 4 + e) y = + f) y = e ) a) y = + 9 + f') = 6 + 9 f') = 0 8 6 + 9 = 0 8 No tiene solución. No tiene ni máimos ni mínimos. f'') = 6 6 = 0 8 = f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en, 9).

b) y = 4 8 f') = 4 = f') = 0 8 ) = 0 = 0 8 y = 0 = 8 y = 4/ f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 4 Hay un mínimo en, ). f'') = 4 = 0 8 4) = 0 = 0 8 y = 0 = 4/ 8 y = 64/8 f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 4 64 8 Hay un punto de infleión en 0, 0) y otro en, ). 4 c) f') = 4 6 f') = 0 8 4 6) = 0 = 0 8 y = 0 = / 8 y = 7/6 f' < 0 f' < 0 f' > 0 7 6 Hay un mínimo en, ). 0 f'') = = ) = 0 = 0 8 y = 0 = 8 y = f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en 0, 0) y otro en, ). d) f') = 4 + 4 f') = 0 8 4 + ) = 0 8 = 0 8 y = 0 f' < 0 f' > 0 0

UNIDAD 7 Hay un mínimo en 0, 0). f'') = + 4? 0 para todo. No hay puntos de infleión. e) f') = + ) f') = 0 8 = 0 8 = 0 8 y = f' > 0 f' < 0 0 Hay un máimo en 0, ). f'') = + ) + + ) = + ) + 8 = + ) 4 + ) 6 + ) f'') = 0 8 = ± = ± = ± 8 y = f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 4 Hay un punto de infleión en, ) y otro en, ). 4 4 f) f') = e ) + e = e + ) = e f') = 0 8 e = 0 8 = 0 pues e? 0 para todo ) 8 y = f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un mínimo en 0, ). f'') = e + e = e + ) f'') = 0 8 = 8 y = e f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en ), e.

9 Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones, y di si tienen máimos o mínimos: a) y = b) y = 4 + c) y = d) y = + a) y =. Dominio = Á {, } 4 f') = = 0 8 = 0 4) Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: crece en @, ) «, 0). decrece en 0, ) «, +@). tiene un máimo en 0,. 4 b) y =. Dominio = Á { } + + ) ) + + 5 f') = = = +) + ) +) f') > 0 para todo?. Por tanto, la función es creciente en @, ) «, +@). No tiene máimos ni mínimos. c) y =. Dominio = Á + + ) + f') = = = + ) + ) f') > 0 8 = 0 8 = 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 ) +) La función: decrece en @, 0). crece en 0, +@). tiene un mínimo en 0, 0). 4

UNIDAD 7 d) y =. Dominio = Á {0} ) + f') = = = + f')? 0 para todo? 0. f') > 0 para todo? 0. La función es creciente en @, 0) «0, +@). No tiene máimos ni mínimos. 0 Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máimos y los mínimos de las siguientes funciones: 8 a) y = b) y = + c) y = ) d) y = ) ) e) y = f) y = ) 4) 8 8 a) y = =. Dominio = Á {0, } ) 8 ) ) 8 ) ) + 6 6 + 6 + 6 6 f') = = = ) ) = 6 + 6 ) f') = 0 8 6 ± 56 9 6 ± 64 6 + 6 = 0 8 = = = 6 6 = 6 ± 8 6 = 4, f4) = / = 4/, f4/) = 9/ Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 4 4 La función: es creciente en @, 0) «0, 4 es decreciente en, «, 4). ) ) 4 9 tiene un máimo en,. tiene un mínimo en 4,. ) 4 ) «4, +@). f' > 0 5

b) y = +. Dominio = Á {, } ) + ) f') = = = ) ) f') = 0 8 4 = 0 8 = 0, f 0) = Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 4 ) La función: es creciente en @, ) «, 0). es decreciente en 0, ) «, +@). tiene un máimo en 0, ). c) y =. Dominio = Á {, } ) 4 4 4 f') = = = = ) ) ) = 0, f0) = 0 f') = 0 8 ) = 0 =, f ) = )/ =, f ) = )/ ) ) Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 La función: es creciente en @, ) «, +@). es decreciente en, ) «, ) «, ). tiene un máimo en,. tiene un mínimo en,. tiene un punto de infleión en 0, 0). ) ) d) y =. Dominio = Á {} 4 ) ) ) ) 8 4 6 + + f') = = = ) ) + 8 6 = = 4 + ) ) ) 6

UNIDAD 7 f') = 0 8 4 + = 0 8 4 ± 6 4 ± 4 8 = = = Signo de la derivada: 4 ± =, f) = 9 =, f) = f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 La función: es creciente en, ) «, ). es decreciente en @, ) «, +@). tiene un mínimo en, ). tiene un máimo en, 9). e) y = 9. Dominio = Á f') = 6 9 = ) ± 4 + ± 6 ± 4 f') = 0 8 = = = Signo de la derivada: =, f) = 7 =, f ) = 5 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en @, ) «, +@). es decreciente en, ). tiene un máimo en, 5). tiene un mínimo en, 7). 8 8 f) y = =. Dominio = Á {0, } ) 8 6) 8 6) f') = = = 4 ) 4 ) 8 6) ) f') = 0 8 8 6) = 0 Signo de la derivada: = 0 no vale) =, f) = f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 La función: es creciente en 0, ). es decreciente en @, 0) «, ) «, +@). tiene un máimo en, ). 7

Estudia la concavidad, la conveidad y los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y = + 4 b) y = 4 6 c) y = ) 4 d) y = e e) y = f) y = ln + ) + a) y = + 4. Dominio = Á f') = ; f'') = 6 f'') = 0 8 6 = 0 8 = 0, f0) = 4 Signo de f''): f'' < 0 f'' > 0 0 La función: es convea en @, 0). es cóncava en 0, +@). tiene un punto de infleión en 0, 4). b) y = 4 6. Dominio = Á f') = 4 ; f'') = =, f ) = 5 f'') = 0 8 ) = 0 =, f) = 5 Signo de f''): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 La función: es cóncava en @, ) «, +@). es convea en, ). tiene un punto de infleión en, 5) y otro en, 5). c) y = ) 4. Dominio = Á f') = 4 ) ; f'') = ) f'') = 0 8 =, f) = 0 f'') > 0 para? Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y = e. Dominio = Á f') = e + e = + )e ; f'') = e + + )e = + )e f'') = 0 8 = e? 0 para todo ), f ) = e 8

UNIDAD 7 Signo de f''): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en @, ). es cóncava en, +@). tiene un punto de infleión en,. e) y =. Dominio = Á { } + + ) ) + f') = = = + ) + ) + ) 6 f'') = + ) f'')? 0 para todo. Signo de f''): f'' < 0 f'' > 0 e ) La función: es convea en @, ). es cóncava en, +@). no tiene puntos de infleión. f) y = ln + ). Dominio =, +@) f') = + f'') = + ) f'') < 0 para é, +@) Por tanto, la función es convea en, +@). Estudia si las siguientes funciones tienen máimos, mínimos o puntos de infleión en el punto de abscisa = : a) y = + ) b) y = + ) 4 c) y = ) 6 a) f') = ) f'') = 6 ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en =. 9

b) f') = 4 ) f'') = ) f' < 0 f' > 0 f'' > 0 f'' > 0 Hay un mínimo en =. c) f') = 6 ) 5 f'') = 0 ) 4 f' > 0 f' < 0 f'' < 0 f'' < 0 Hay un máimo en =. Página 8 Problemas de optimización Una discoteca abre a las 0 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La epresión que representa el número de clientes en función del número de horas que lleva abierta, t, es Nt) = 80t 0t. a) A qué hora el número de clientes es máimo? Cuántos clientes hay en ese momento? b) A qué hora cerrará la discoteca? a) Buscamos los puntos en los que la derivada es igual a 0: N't) = 80 0t 8 80 0t = 0 8 t = 4 N''t) = 0 < 0; en t = 4, la función tiene un máimo. El número de clientes es máimo a las de la mañana 4 horas después de abrir). Este número de clientes es: N4) = 80 4 0 4 = 60 personas b) Nt) = 0 8 80t 0t t = 0 = 0 8 0t 8 t) = 0 t = 8 Cierra 8 horas después de abrir, a las 6 de la mañana. 4 Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento n) de acuerdo con la epresión: Bn) = 8n + 60n 96n Determina razonadamente: a) El número de tiendas que debe tener para maimizar sus beneficios semanales. b) El valor de dichos beneficios máimos. 0

UNIDAD 7 a) Buscamos los puntos en los que la derivada es igual a 0: B'n) = 4n + 0n 96 8 4n + 0n 96 = 0 8 8 n 5 ± 5 6 n = + 5n 4 = 0 8 n = n = 4 Para saber cuál es el máimo utilizamos la segunda derivada: B'') = 7 > 0; en n = hay un mínimo. B''n) = 48n + 0 B''4) = 7 < 0; en n = 4 hay un máimo. Debe tener 4 tiendas para que los beneficios semanales sean máimos. b) B4) = 8 4 + 60 4 96 4 = 64 Los beneficios semanales serán de 64 000 euros. 5 El coste total de producción de unidades de un producto es: C) = + 6 + 9 C) Se define la función coste medio por unidad como C m ) = Cuántas unidades hay que producir para que el coste por unidad sea mínimo? C) Buscamos el máimo de la función C m ) =, igualando a 0 su derivada: / + 6 + 9 9 C m ) = = +6 + 9 9 C' m ) = 8 = 0 8 = 576 Comprobamos que hay un mínimo en = 4: 84 C'' m ) = 8 C'' m 4) > 0 El coste medio por unidad es mínimo si se producen 4 unidades. = 4 = 4 no vale) 6 Una empresa quiere producir Ct) = 00 + 0t unidades de un producto para vender a un precio pt) = 00 t euros por unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción. a) Calcula el beneficio si t = 0. b) Escribe, dependiendo de t, la función de beneficio 0 Ì t Ì 60). c) Deteremina cuándo el beneficio es máimo. a) Si t = 0 C0) = 00 + 0 0 = 00 unidades p0) = 00 0 = 80 por unidad Beneficio: C0) p0) = 00 80 = 54 000

b) Bt) = Ct) pt) = 00 + 0t) 00 t) = 0t + 600t + 40 000 si 0 Ì t Ì 60 c) Para hallar el máimo, hacemos B't) = 0: B't) = 40t + 600 = 0 8 t = 40 Al cabo de 40 días se obtiene el máimo beneficio, que es: B40) = 0 40 + 600 40 + 40 000 = 7 000 7 Se quiere fabricar una caja de volumen máimo que sea el doble de larga que de ancha y que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. Calcula las medidas que debe tener la caja y cuál será su volumen. a a b Volumen de la caja: V = a a b = a b a + a + b = 8 b = a V = a a) = a 6a Para hallar el máimo volumen, derivamos e igualamos a cero: V' = 4a 8a = 0 8 a4 8a) = 0 a = 0 no vale) a = 9 Comprobamos si el volumen es máimo para a = : 9 ) V'' = 4 6a 8 V'' = 4 6 = 4 < 0, máimo. 9 9 4 6 Si a = m, el largo será = m, y el alto, = m. 9 9 9 9 El volumen máimo es: 4 8 V = = m 9 9 4 PARA RESOLVER 8 Prueba que la recta y = es tangente a y = 6 + 8. Halla el punto de tangencia y estudia si esa recta corta a la curva en otro punto distinto al de tangencia. y' = +8 Veamos para qué valor de tiene pendiente : + 8 = + 9 = 0 = 8 y = = 8 y =

UNIDAD 7 El punto, ) verifica la ecuación y =. Veamos los puntos de corte: 6 + 8 = 8 6 + 9 = 0 = 0 8 y = 0 6 + 9) = 0 = 8 y = El otro punto de corte es 0, 0). s9 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y =4 0 en su punto de infleión. Hallamos el punto de infleión: y' = 4 8 y'' = 4 4 8 y''' = 4 y'' = 0 8 4 4 = 0 8 =, y = 4 0 = 8 Comprobamos que, 8) es un punto de infleión: y''') = 4? 0 Pendiente de la recta tangente: m = y') = 4 = Ecuación de la recta tangente: y = 8 ) 8 y = 6 s0 Determina la parábola y = a + b + c que es tangente a la recta y = en el punto A, ) y que pasa por el punto B5, ). y = a + b + c La pendiente de la recta y = es. Debe ser y') =. y' = a + b 8 y') = 8 4a + b = Pasa por A, ) 8 y) = 4a + b + c = Pasa por B5, ) 8 y5) = 5a + 5b + c = Solución del sistema: a =, b = 6, c = 7 8 y = + 6 7 La curva y = + a + b + c corta al eje de abscisas en = y tiene un punto de infleión en, ). Calcula a, b y c. y = + a + b + c f') = + a + b f'') = 6 +a f ) = 0 8 + a b + c = 0 a b + c = a = 6 f ) = 8 8 + 4a + b + c = 4a + b + c = 7 b = f'') = 0 8 + a = 0 a = 6 c = 0

De la función f ) = a + b sabemos que pasa por, ) y que en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y = 0. a) Halla a y b. b) Determina sus etremos relativos y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a) f ) = a + b; f') = a + b. La pendiente de la recta es. f ) = 8 a + b = a = f ) = + f') = 8 a + b = b = b) f') = 6 +4 f') = 0 8 ) = 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 La función: es decreciente en @, «, +@ ). ) es creciente en, ). ) ) tiene un mínimo en,. tiene un máimo en,. =, f ) = =, f ) = s De la función f ) = + a + b se sabe que: Tiene un mínimo en =. Su gráfica pasa por el punto, ). Teniendo en cuenta estos datos, cuánto vale la función en =? f') = + a Además: Tiene un mínimo en = 8 f') = 0 8 + a = 0 8 a = 4 Su gráfica pasa por, ) 8 f) = 8 + 4) + b = 8 8 b 4 = 8 b = 6 Por tanto: f) = + a + b = + 4) + 6 = 4

UNIDAD 7 s4 Calcula p y q de modo que la curva y = + p + q contenga al punto, ) y presente un mínimo en =. y = + p + q 8 f') = + p f ) = 4 p + q = f' ) = ) + p = 0 8 p = 6 ) 8 4 6 + q = 8 q = 9 ) Sustituimos en f ). Por tanto: p = 6 y q = 9 5 Estudia los intervalos de crecimiento y de concavidad de las siguientes funciones: a) f ) = b) f ) = 4 + 8 + 8 0 + a) f ) = 8 f') = + f') = 0 8 = 0 8 = ± Signo de la derivada: ) + ) f' < 0 f' > 0 f' < 0 Crece en, ) y decrece en @, ) «, +@). f'') = 6 ) + ) f'') = 0 8 = 0, =, = f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Es cóncava en, 0) «, +@) y convea en @, ) «0, ). b) f ) = 4 + 8 + 8 0 8 f') = 4 + 4 + 6 f') = 0 8 = 0, = Signo de la derivada: f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Crece en 0, +@) y decrece en @, 0). 5

f'') = + 48 + 6 f'') = 0 8 =, = Signo de la segunda derivada: f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Es cóncava en @, ) «, +@) y convea en, ). 6 Comprueba y justifica que la función f ) =e es siempre decreciente y cóncava. f) = e f') = e < 0 para cualquier valor de Por tanto, f) es siempre decreciente. f'') = 9e > 0 para todo Así, f) es cóncava en todo su dominio. Página 8 7 Observando la gráfica de la función f', derivada de f, di: a) Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Tiene f máimos o mínimos? f' a) f es creciente f' > 0) en el intervalo @, ) y decreciente f' < 0) en, +@). b) f tiene un máimo en =. f') = 0 y la función pasa de creciente a decreciente). 8 Esta es la gráfica de la función derivada de f ). Eplica si f ) tiene máimos, mínimos o puntos de infleión en =, = y = 5. = : en este punto, la función tiene un mínimo, porque pasa de ser decreciente f' < 0) a creciente f' > 0), y f') = 0. = : en este punto, f tiene un punto de infleión, ya que f'') = 0. = 5: en este punto, f tiene un máimo, pues pasa de ser creciente a decreciente y f'5) = 0. f' 6

UNIDAD 7 + si Ì 9 Dada la función f ) = : + si > a) Halla su función derivada. b) Tiene f algún punto en el que f') = 0? c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. d) Escribe la ecuación de la recta tangente a f en = 0. + si Ì f ) = + si > + si < a) f') = si > No es derivable en = porque f' ) =? f' + ) =. b) f') = 0 solo puede darse para + = 0 8 = c) Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 Crece en, +@) y decrece en @, ). d) La pendiente de la recta en = 0 es: m = f'0) = Por tanto: y = f0) + m 0) y = + 0) y = 0 Esta es la gráfica de una función y = f ). a) Indica el signo que tendrá f' en los intervalos @, ),, ) y, +@). b) En qué puntos la gráfica de f' cortará al eje OX? a) f' > 0 f' < 0 f' > 0 b) En = y en =. 7

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 4 + 7 5 en su punto de infleión. y = 4 + 7 5 y' = 6 48 +7 y'' = 48 El punto de infleión será: f'') = 0 8 48 = 0 8 = 4 8 4, 7) En ese punto, la pendiente de la recta tangente es: m = f'4) = 4 Así, la ecuación de la recta pedida es: y = f4) + m 4) y = 7 4 4) y = 4 + Dada la curva y = 4 4 : a) Cuál es la función que nos da la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera? b) Halla el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máima. a) La función pedida es la de su función derivada: f') = 4 b) Para ello hay que hallar el máimo de la función f': f'') = 4 f'') = 0 8 4 = ) = 0 8 = 0 y = Hallamos la tercera derivada: f''') = 4 4 f'''0) = 4 < 0 8 0, 0) es un máimo. f''') = 4 > 0 8, 6) es un mínimo. El punto pedido es el 0, 0). Una feria ganadera permanece abierta al público desde las 0 hasta las 0 horas. Se sabe que el número de visitantes diarios viene dado por: Nt) = 0A t) + B, 0 Ì t Ì 0 Sabiendo que a las 7 horas se alcanza el número máimo de 500 visitantes, determina el valor de A y de B. La función pasa por el punto 7, 500). Su derivada es igual a 0 en t = 7, punto en el que alcanza el máimo: 8

UNIDAD 7 N7) = 0A 7) + B = 500 N't) = 40A t) 8 N'7) = 40A 7) = 0 8 A = 7 N7) = 07 7) + B = 500 8 B = 500 Comprobamos que hay un máimo en t = 7: N''t) = 40 < 0, es un máimo. 4 El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista viene dado por la función: t ) + si 0 Ì t Ì 9 Nt) = t 5 0 ) si 9 Ì t Ì 4 donde N indica el número de vehículos y t el tiempo transcurrido en horas desde las 0:00 h. a) Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje? b) A qué hora pasó el mayor número de vehículos? Cuántos fueron? a) Para saber cuándo la función es creciente, estudiaremos el signo de su derivada. Las funciones con las que Nt) está definida son continuas y derivables si 0 Ì t < 9 y si 9 < t Ì 4. Estudiamos la derivabilidad en t = 9: t N't) = t 5 ) si 0 Ì t <9 ) si 9 < t Ì 4 N't) = 0 4 N'9 ) = 4 N'9 + ) = N es derivable en t = 9. t ) = 0 8 t = t 5 ) = 0 8 t = 5 Signo de N't): N' t ) < 0 N' t ) > 0 N' t ) < 0 0 5 El número de vehículos aumentó entre las h y las 5 h. 9

b) El máimo absoluto de una función continua definida en un intervalo cerrado se encuentra entre los máimos relativos de la función o en los etremos del intervalo: N0) = ; N5) = 0; N4) = El mayor número de vehículos pasó a las 5 h, y fueron 0 vehículos. 5 Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta,50 y el de tramo vertical,. a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) Cuál será ese coste mínimo? 6 a) Área = y = 6 8 y = 6 m y Perímetro = + y Coste =,5 + y = 5 + 6y 6 C = 5 + 6 6 5 C' = 5 = 0 8 =,68 m 8 y = 5,4 m 5 7 6 5 6 5 C'' = ; C'' ) > 0 8 = es mínimo). 5 5 6 5 Las dimensiones son = m e y = 5 m. 5 6 5 b) C = 5 + 6 5 = 5 6,8 5 6 Se quiere construir un recipiente cónico cuya generatriz mida 0 cm y que tenga capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? h + R = 00 8 R = 00 h Volumen = πr h = π 00 h )h = π 00h h ) Tenemos que maimizar la función volumen: 0 cm h f h) = π 00h h ) f'h) = π 00 h ) R f'h) = 0 8 00 h = 0 8 h = ± 00 consideramos la raíz positiva, pues h Ó 0). 0

UNIDAD 7 f'h) > 0 a la izquierda de h = y f'h) < 0 a la derecha de h =. 00 00 Luego en h = hay un 00 máimo). Por tanto, el radio de la base será: R = 00 h 00 00 = 00 = 8 R = 00 7 Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio Pt), en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función: 4t + 4 si 0 Ì t Ì Pt) = 5/)t + 5 si < t Ì 8 a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de Pt). b) Cuál fue el precio máimo que alcanzó el artículo? c) Cuál fue la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años? 4t + 4 si 0 Ì t Ì Pt) = 5/)t + 5 si < t Ì 8 8t 0 < t < a) P't) = No eiste P'), pues P' )? P' + )). 5/ < t < 8 Pt) es creciente en 0 < t < pues P't) > 0. Pt) es decreciente en < t < 8 pues P't) < 0. b) El máimo se alcanza en t =, P) = 0. P8) P) 5 0 5 5 c) T.V.M. [, 8] = = = = =,5 8 6 6 Página 8 CUESTIONES TEÓRICAS s8 La función f tiene derivadas primera y segunda y es f'a) = 0 y f''a) = 0. Puede presentar f un máimo relativo en el punto a? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí puede presentar un máimo. Por ejemplo: f ) = 4 en = 0 es tal que:

f' > 0 f' < 0 0 f') = 4 f'') = Por tanto: f'0) = 0 y f''0) = 0 En 0, 0) hay un máimo relativo. 9 Considera la función valor absoluto de ): a) Presenta un mínimo relativo en algún punto? b) En qué puntos es derivable? Razona tus respuestas. a) f) presenta un mínimo relativo en = 0, pues f0) = 0 < f) si? 0. y = De hecho, es el mínimo absoluto de f). si Ì 0 si < 0 b) f) = = ; f') = si > 0 si > 0 f) no es derivable en = 0, pues f'0 ) =? f'0 + ) =. Por tanto, f es derivable para? 0. 40 Si f'a) = 0, qué proposición es cierta?: a) f tiene un máimo o un mínimo en el punto de abscisa = a. b) f tiene un punto de infleión en = a. c) f tiene en el punto = a tangente paralela al eje OX. Si f'a) = 0, solo podemos asegurar que f tiene en = a tangente horizontal paralela al eje OX). Podría tener un máimo, un mínimo o un punto de infleión en = a. Por tanto, solo es cierta la proposición c). 4 Comprueba si eiste algún valor de a para el cual la función: f) = a ln + tenga un punto de infleión en =. Para que eista punto de infleión en =, debe ser f'') = 0: f) = a ln + 8 f') = a + a = + a f'') = + 6 8 f'') = a + 6 = 0 8 a = 6

UNIDAD 7 Comprobamos con f''' si eiste punto de infleión: 6 6 f'') = + 6 8 f''') = + 6 8 f''')? 0 Para a = 6, la función tiene un punto de infleión en =. PARA PROFUNDIZAR 4 Estudia la eistencia de máimos y de mínimos relativos y absolutos de la función y = 4. Tiene puntos de infleión? 4 si < f) = + 4 si Ì Ì 4 si > si < f') = si < < si > En = no es derivable, pues f' ) = 4? f' + ) = 4. En = no es derivable, pues f' ) = 4? f' + ) = 4. La derivada se anula en = 0. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' > 0 La función tiene un máimo relativo en 0, 4). No tiene máimo absoluto lím f) = lím f) = +@). Tiene un mínimo relativo en, 0) y otro en, 0). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f) Ó 0 para todo. Puntos de infleión: si < f'') = si < < si > Signo de f'': f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 8 +@ 8 @ Tiene dos puntos de infleión:, 0) y, 0). Coinciden con los dos mínimos absolutos.

4 Estudia el crecimiento, los máimos y los mínimos de la función: y = + Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos donde f) = 0: ± 4 + + = 0 8 = = ± 4 = = + si < f ) = + si Ì Ì + si > Hallamos la derivada de f: + si < f') = si < < + si > En = no es derivable, pues f' ) = 4? f' + ) = 4. En = no es derivable, pues f' ) = 4? f' + ) = 4. Veamos dónde se anula la derivada: + = 0 8 = Pero f') = + para < y >. = 0 8 = y f') = para < < Por tanto, f') se anula en = 8 f ) = 4. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en, ) «, +@). es decreciente en @, ) «, ). tiene un máimo en, 4). tiene un mínimo en, 0) y otro en, 0). Son los puntos donde f no es derivable. 4

UNIDAD 7 44 Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de la pista sea de 00 m, halla las dimensiones que hacen máima el área de la región rectangular. y Perímetro de la pista = + π y = 00 00 Despejamos: y = π 00 00 Área del rectángulo = y = = π π Derivamos: 00 4 00 A' = = 0 8 = 50 m 8 y = m π π π 4 A'' = ; A''50) < 0 8 = 50 es máimo). π 45 Dos postes de m y 8 m de altura distan entre sí 0 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los etremos de estos. Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? La longitud total del cable es: m 8 m L) = + + 0 ) + 8 ; es decir: 0 L) = + 44 + 60 + 4 0 m L') = + 60 = + 0 = + 44 60 + 4 + 44 60 + 4 = 60 + 4 + 0) + 44 + 44) 60 + 4) L') = 0 8 60 + 4 + 0) + 44 = 0 60 + 4 = 0) + 44 60 + 4) = 0) + 44) 4 60 + 4 = 60 + 900) + 44) 5

4 60 + 4 = 4 + 44 60 8 640 + 900 + 9 600 80 + 8 640 9 600 = 0 +48 70 = 0 48 ± 04 + 880 48 ± 5 84 = = = 48 ± 7 = = 60 no vale) En = hay un mínimo, pues L') < 0 a la izquierda de ese valor y L') > 0 a su derecha). Por tanto, el punto del suelo debe situarse a m del poste de m y a 8 m del poste de 8 m). 46 Determina el radio de la base y la altura de un cilindro de 54 cm de área total para que su volumen sea máimo. h r Área total = πrh + πr πrh + πr 54 πr = 54 8 h = πr Volumen = πr h V = πr 54 πr = r7 πr ) = 7r πr πr Buscamos el máimo de V: V' = 7 πr 8 7 πr = 0 8 r 7 9 = = 8 π π 8 r = la solución negativa no vale). π Comprobamos si el volumen es máimo: V'' = 6πr 8 V'' < 0, es un máimo. π ) 7 π 9/π) 8 π 6 π Si r = 8 h = = = π π / π ) π π Por tanto, para que el volumen sea máimo debe ser: 6 π r =,7 cm y h =,4 cm π π 6

UNIDAD 7 Página 8 AUTOEVALUACIÓN. Dada la parábola y = + 4 : a) Halla la pendiente de la recta r que une los puntos de la parábola de abscisas = 0 y =. b) Escribe la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la recta r del apartado a). a) El punto de la parábola de abscisa = 0 es el 0, ) y el de = es el, 0). Por tanto, la pendiente de la recta que los une es: 0 m = = = 0 La ecuación de la recta es y =. b) Cualquier recta paralela a r tiene la pendiente igual a. Buscamos los puntos en los que la derivada de la curva es igual a : y' = + 4 8 + 4 = 8 =, y = El punto de tangencia es,. 4 Ecuación de la recta tangente: y = + 8 y = 4 4 ) ) ) + 4 = 4. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y =. Tiene máimos o mínimos? + Estudiamos el signo de la función derivada: + ) ) 4 y' = = +) +) El numerador y el denominador son positivos para cualquier valor de. La función es creciente en todo su dominio, Á {}, porque su derivada es positiva. No tiene máimos ni mínimos, porque es siempre creciente. 7

. Halla los máimos, los mínimos y los puntos de infleión de la función: 5 y = 4 + 5 0 Máimos y mínimos: buscamos los puntos en los que la derivada es igual a 0. y' = 5 4 4 + = 4 4 + 8 y' = 0 8 4 + ) = 0 5 = 0 4 + = 0 = = Los posibles máimos y mínimos están en = 0, = y =. Comprobamos en la segunda derivada: y'' = 4 + 6 y''0) = 0 y'') < 0 8 máimo, 0 y'') > 0 8 mínimo, ) Buscamos los puntos de infleión: ) y'' = 0 8 4 + 6 = 0 8 8 6 + ) = 0 = 0 6 + = 0 6 + = 0 + =,4 = 0,6 Comprobamos en y''' = 4 + 6: Puntos de infleión: ) 0,,,4;,4), 0,6; 0,04) 0 y'''0)? 0 y''',4)? 0 y'''0,6)? 0 8

UNIDAD 7 4. La función f ) = + a + b + c verifica que f ) =, f') = 0 y que f no tiene etremo relativo en =. Calcula a, b y c. Si es f') = 0 y no hay etremo relativo, tiene que haber un punto de infleión en =. f) = + a + b + c 8 f') = + a + b 8 f'') = 6 + a f) = 8 + a + b + c = f') = 0 8 + a + b = 0 f'') = 0 8 6 + a = 0 Resolviendo este sistema, obtenemos: a =, b =, c = 0 Por tanto, la función buscada es: f) = + 5. El número de personas ingresadas en un hospital por una infección después de t semanas viene dado por la función: 50t Nt) = siendo t Ó 0 t t +8 Calcula el máimo de personas ingresadas y la semana en que ocurre. A partir de qué semana, después de alcanzar el máimo, el número de ingresados es menor que 5? Para calcular el máimo, derivamos e igualamos a cero: 50t t + 8) 50t4t ) 50 t +8) N't) = = = 0 8 t t +8) t t +8) 8 t + 8 = 0 8 t = 4 t = no vale, pues t Ó 0) 50 t = 8 N) = = 70 4 + 8 El número máimo de personas ingresadas es 70, y ocurre en la. a semana. 50t Hemos de ver cuándo < 5. t t +8 50t < 50t 75t + 00 8 50t 45t + 00 > 0 8 t 7t + 8 > 0 Resolvemos la inecuación: ft) = t 7t + 8 = 0 t = 8 t = 0,5 f t) > 0 f t) < 0 f t) > 0 0,5 8 ft) > 0 para t é 0; 0,5) «8, +@). Después de alcanzar el máimo en t =, a partir de t = 8, el número de personas ingresadas es menor que 5. 9

6. Sea B) = a + b la función de beneficios, en miles de euros, de una empresa. El beneficio máimo es de 50 miles de euros para = 00 unidades producidas. Calcula a y b. B) = a + b Sabemos que B00) = 50 y B'00) = 0 B00) = 00a +0b = 50 b b B') = a + 8 B'00) = a + = 0 0 Resolvemos el siguiente sistema: 00a + 0b = 50 b b a + = 0 8 a = 0 0 ) b b 00 + 0b = 50 8 + b = 5 8 b + b = 0 8 b = 0; a = 0 Por tanto, B) = + 0. 7. Con una cartulina rectangular de m Ò m, se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recorta un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. m m El volumen de la caja es: V) = ) ), é 0, ) V) = 6 0 + 4 V') = 6 0 + V') = 0 8 6 0 + 0 ± 8 = 0 8 = V'') = 0 + 4; V''0,9) < 0 ò = 0,9,7 no vale) 0,9 Si = 0,9 m, el volumen es máimo. 40