3 FÍSICA RELATIVISTA 3.. LA RELATIVIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA. Dos niños juegan a lanzar una pelota al aire y reogerla. Uno de ellos está en la orilla de un río, ientras que el otro está en una bara que aanza por el río on oiiento retilíneo unifore. Hay alguna diferenia en la fora en que periben el juego abos niños? No. Cada uno de ellos obserará que una pelota efetúa un oiiento ertial asendente y, después, una aída libre.. Supón ahora que hay un obserador situado en la orilla del río. Dibuja la trayetoria que peribirá del oiiento de abas pelotas. En este aso, el obserador peribirá que la pelota on la que juega el niño situado en la orilla efetúa un oiiento ertial, ientras que la otra efetúa un oiiento parabólio. El dibujo que hay que realizar es siilar a los que se uestran en la página 39 del libro del aluno. 3. Repite la atiidad anterior suponiendo ahora que el obserador se enuentra en la bara. Ourre ahora lo ontrario a lo expuesto en la atiidad anterior; el obserador erá que la pelota lanzada desde la bara efetúa un oiiento ertial, y la lanzada desde la orilla, un oiiento parabólio. 3.. EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO. Un tren se desplaza entre Madrid y Seilla on.r.u., a 88 k h. Un pasajero se leanta de su asiento y se desplaza haia la abeza del tren on eloidad unifore de s. Calula: a) La eloidad on que el pasajero se uee respeto al aquinista. b) La eloidad on que se uee respeto al jefe de estaión que dio la salida en Madrid. ) La eloidad on que se uee respeto al jefe de estaión que espera en Seilla. d) La eloidad on que se uee respeto al aquinista de un tren que realiza el trayeto en sentido ontrario on la isa rapidez. Unidad 3. Físia relatiista
a) Situareos el sistea de referenia sobre el aquinista, que se uee a la isa eloidad que el tren. Cuando está quieto, el pasajero, por el heho de enontrarse en el tren, se uee a la isa eloidad que el sistea de referenia. Cuando se uee on una eloidad relatia de s haia el aquinista, su eloidad respeto al aquinista es: s El signo negatio india que el sentido de la eloidad del pasajero es haia el origen del sistea de referenia. b) El pasajero se aleja de Madrid on una eloidad que es la del tren ás la eloidad on que aanza haia la abeza del tren ( s ). Por tanto, su eloidad respeto al sistea de referenia indiado es: ' + r 88 ( 000/3 600) + 8 s ) El pasajero se aera ahora a Seilla on una eloidad que es la del tren ás la eloidad on que aanza haia la abeza del tren ( s ). Coo se aera al origen del sistea de referenia, su eloidad será ahora: ' + r 88 ( 000/3 600) + ( ) 8 s d) El sistea de referenia está ahora sobre el aquinista del otro tren. Coo abos trenes se ueen on la isa rapidez y en sentidos opuestos, la situaión es oo si se aerara al aquinista del otro tren on una eloidad: s 3.3. LA VELOCIDAD DE LA LUZ. Al realizar deterinadas experienias on el interferóetro de Mihelson, se oprobó que, al oer el espejo E una distania igual a 6,5 0 7, se produía un desplazaiento de las franjas de interferenia foradas por un haz de luz onoroátia equialente a tres áxios. Con estos datos, alula la longitud de onda de la luz inidente. De auerdo on el enuniado, las interferenias se deben a una diferenia de ainos de 3 λ. Sin ebargo, por el odo en que está diseñado el interferóetro, para produir una diferenia de ainos igual a 3 λ, solo heos de desplazar el espejo on el iróetro una distania de,5 λ, ya que la luz interfiere tras realizar el aino de ida y uelta. Podeos esribir, por tanto, la siguiente relaión: 7 7 65, 0 7 5, λ 65, 0 λ 4, 67 0 5,. En el atiidad anterior, alula la freuenia de la luz utilizada y el olor del rayo de luz on el que se realiza la experienia. La freuenia que orresponde a esta radiaión es: Unidad 3. Físia relatiista
8 3 0 f λ f λ 4, 67 0 La longitud de onda es de 4,67 0 7, lo que india que la onda se enuentra en el extreo del espetro isible en el que la freuenia es áxia. Se trata, por tanto, de un olor azul-ioleta. 3. La eloidad de la Tierra en su oiiento alrededor del Sol puede onsiderarse onstante para interalos de tiepo pequeños, siendo su alor 30 k s. Calula el tiepo que tarda el haz de luz en reorrer la distania que le separa de la plaa P al espejo E, situado en direión perpendiular al oiiento de la Tierra, y oler reflejado. 7 4 7, 0 Hz Teniendo en uenta que la Tierra se desplaza en direión perpendiular al brazo PE del interferóetro, el rayo de luz debe reorrer una distania ayor a la longitud del brazo del interferóetro, tal oo se apreia en la siguiente figura: E. t l P La distania que reorre el rayo hasta llegar el espejo E es la hipotenusa del triángulo retángulo forado por la longitud del brazo del interferóetro y la distania reorrida por la Tierra: ( t ) l + ( t ) ( ) t l l l t t / El rayo tarda el iso tiepo en oler a la plaa P, por lo que el tiepo total epleado es:. t t perpendiular t l / 4. Calula el tiepo que inierte el haz en haer su reorrido de ida y uelta desde P hasta E. En este aso, el espejo se desplaza haia la dereha, en la isa direión que el rayo de luz. Por tanto, el rayo tarda un tiepo t en llegar al espejo, y un tiepo t en oler a la plaa: l l t ; t + Unidad 3. Físia relatiista 3
l. t P E El tiepo total es la sua de abos: l l l t paralelo t + t + + ( l ) t paralelo l 5. Copara los alores obtenidos en las atiidades anteriores. Estos dos tiepos, para eloidades pequeñas, son prátiaente iguales. Sin ebargo, a edida que la eloidad auenta, el tiepo que tarda el haz paralelo a la direión del oiiento en reorrer su aino, se hae ayor que el tiepo que eplea el haz perpendiular en reorrer el suyo, lo que da lugar a unas figuras de interferenia araterístias uando abos haes se enuentran. La relaión entre estos tiepos es: t per t pendiular / l paralelo. t l / 3.4. EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE EINSTEIN. Iagina que la experienia ental que heos onsiderado anteriorente la lleaos a la prátia. El obserador O' iaja en un tren on eloidad onstante, a 350 k h, y el obserador O se enuentra en el andén. En el instante en que O' pasa por la posiión de O, se lanza el pulso luinoso. Si para el obserador O el tiepo que el pulso tarda en reorrer la distania d es 0, s, qué tiepo edirá el obserador O'? El obserador O' edirá un tiepo t', dado por la expresión: t t t 0, 0, s 97, 3 0 8 Coo eos, los dos obseradores edirán, en este aso, el iso tiepo.. Qué onlusiones podeos extraer del resultado que obtienes al resoler la atiidad anterior? A las eloidades de los suesos a los que estaos aostubrados en la Tierra, uho enores que la eloidad de la luz, los efetos relatiistas son inapreiables, por Unidad 3. Físia relatiista 4
lo que es posible onsiderar, para ellos, una esala absoluta de tiepos sin oeter ningún error. No ourre lo iso en los suesos en los que interienen partíulas subatóias, oo las reaiones nuleares que tienen lugar en las estrellas, en los que las eloidades de las partíulas que interienen son oparables a la de la luz. 3.5. LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. Calula el alor de γ orrespondiente a los alores de β que se indian a ontinuaión y onstruye una tabla on los resultados obtenidos. 0; 0,; 0,; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9;. Representa gráfiaente γ f (β) e interpreta la gráfia obtenida. La relaión entre γ y β es: γ Al sustituir los alores de β que porporiona el enuniado de la atiidad, se obtiene la siguiente tabla: β β γ 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,005,0,048,09,55,5,400,667,94 La representaión gráfia de los datos de la tabla es la siguiente: γ 0 0,5 β Reuerda que β /. Por tanto, uando β 0, los efetos relatiistas son prátiaente inapreiables. Sin ebargo, uando β, la eloidad de la partíula es la de la luz, y γ. Según auenta el alor de β, los efetos relatiistas se an haiendo ás apreiables.. Calula las transforaiones de Lorentz que orresponden a (x, y, z, t) en funión de (x', y', z', t' ). Las transforaiones de Lorentz orrespondientes a (x, y, z, t) en funión de (x', y', z', t') se denoinan transforaiones inersas, y se obtienen despejando x, y, z y t en las euaiones orrespondientes a las transforaiones de Lorentz. Unidad 3. Físia relatiista 5
Despejando en la euaión para t': t' γ t β x t' γ t γ β t t ' + β γ x [] Sustituyendo esta expresión para t en la euaión para x', obtendreos: x' γ (x β t) x' γ x γ β t ' + β γ x x' γ x β t' γ β x γ ( β ) x β t' Despejando x en la expresión anterior y teniendo en uenta que β / y que γ( β ) /, obteneos la expresión para esta oordenada: Sustituyendo este resultado en la expresión [], obteneos la transforaión inersa de la oordenada teporal: t t ' + β γ x t ' + β γ (x' +β t') γ t t ' + β γ γ x' +β γ t' β γ x' + γ +β γ t' Analieos por separado el oefiiente de t' en la expresión anterior: + + β γ + γ γ Por tanto, la expresión para t queda en la fora: x x t x x + t x + β γ ( β ) β γ ( β ) x t x t x + β + β β β β x γ ( x + β t ) t β γ x' + γ t' t γ t' + β x' Las euaiones para las oordenadas y y z no abian, por lo que la transforaión inersa opleta de las transforaiones de Lorentz es: x γ (x' +β t') y y' z z' t γ t' + β x' Unidad 3. Físia relatiista 6
3.6. CONSECUENCIAS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL DE EINSTEIN. Calula, en tiepo propio, la duraión de un iaje a un úulo de estrellas situado a 50 años-luz de la Tierra. La nae espaial que realiza diho iaje se uee on una eloidad 0,99. Cuánto tiepo ha transurrido, ientras tanto, en la Tierra? Medido desde la Tierra, el tiepo que tarda la nae en reorrer 50 años-luz on una eloidad que, respeto a la Tierra, es de 0,99, resulta: Por tanto: e t t e 50 años-luz 50 365 86 400 3 0 t 8 099, 099, 3 0 El tiepo propio que edirá un obserador situado en la nae que iaja se alula a partir de la siguiente expresión: t τ β t γ 9 59, 0 s 505, años En ella, t' es el tiepo edido desde la Tierra. Por tanto, en el aso que nos oupa: τ β t 0, 99 50, 5 7, años Coo se apreia tras resoler la atiidad, un obserador situado en la Tierra ide un tiepo de 50,5 años, ientras que un obserador situado en el interior de la nae ide un tiepo de 7, años.. El período de seidesintegraión de una partíula inestable es 0 6 s. Calula el período de seidesintegraión de la partíula si se ide uando esta es aelerada hasta alanzar una eloidad de 0,7 respeto al obserador. Cuando edios el período de seidesintegraión de la partíula aelerada, estaos idiendo desde un sistea de referenia en oiiento relatio on respeto al sistea de referenia propio de la partíula, por lo que el tiepo que idaos no será el tiepo propio del sueso (el período de seidesintegraión) sino uno ayor, dado por la expresión: 8 t γ τ Sustituyendo alores obteneos: τ t 6 6 0 0 (, 07 ) 0, 7 6 4, 0 s Unidad 3. Físia relatiista 7
3. Un obserador, A, ide un interalo de tiepo de 0 s entre dos suesos que transurren en un iso punto, x 0, de su sistea de referenia. Calula el interalo de tiepo que edirá para los dos suesos anteriores un obserador, B, que se uee on las siguientes eloidades respeto de A: a) 0 s b) 0 5 s ),7 0 8 s En los tres asos, el tiepo edido por el obserador A es el tiepo propio del sueso, ya que A se enuentra en reposo on respeto a diho sueso, y el tiepo edido por B será ayor, puesto que B se enuentra en un sistea de referenia que está en oiiento relatio respeto al sistea de referenia en el que tiene lugar el sueso. El tiepo edido por B lo obteneos ediante la expresión: t γ τ τ Para las eloidades propuestas, los tiepos edidos son los que se uestran en la siguiente tabla: (/s) t' (s) 0 0 0 5 0,0000006,7 0 8,94 Coo se puede apreiar, uanto ayor es la eloidad a la que se uee el obserador B respeto del A (solidario on el sueso), ayor es el tiepo edido. 3.7. DINÁMICA RELATIVISTA. Calula la asa relatiista de una partíula en un sistea de referenia respeto al que se uee a eloidad. La asa relatiista se alula de auerdo on la siguiente expresión: En este aso: rel rel El resultado obtenido uestra que es iposible aelerar una partíula, uya asa no sea nula, hasta que alane la eloidad de la luz. Esta eloidad es un líite que no puede rebasar, y ni siquiera alanzar, una partíula on asa. Unidad 3. Físia relatiista 8
. Si la asa del eletrón en reposo es 9, 0 3 kg, alula la antidad de oiiento que edireos si se uee on una eloidad 0,8 respeto a nosotros. La antidad de oiiento que le orresponde es: p 9, 0 0, 8 3 0 (, 08 ) 3 8 364, 0 kg s 3. Calula la asa relatiista del eletrón de la atiidad anterior uando se uee on respeto a nuestro sistea de referenia on las siguientes eloidades: a) 0, e) 0,9 b) 0,3 f) 0,99 ) 0,5 g) 0,999 d) 0,7 h) 0,9999 La asa relatiista del eletrón, edida desde el sistea de referenia ligado al laboratorio, aría a edida que auenta la eloidad on que se uee respeto a diho sistea de referenia, de auerdo on la expresión: Sustituyendo para ada eloidad, la asa resulta: rel Veloidad Masa (kg) 0 9,0 0 3 0, 9,5 0 3 0,3 9,54 0 3 0,5,05 0 30 0,7,7 0 30 0,9,09 0 30 0,99 6,45 0 30 0,999,04 0 9 0,999 6,43 0 9 4. Representa en una gráfia los resultados obtenidos en la atiidad anterior. Representa en el eje de absisas la eloidad y en el eje de ordenadas la asa relatiista. Al representar gráfiaente los datos, se obtiene el siguiente resultado: Unidad 3. Físia relatiista 9
50 Masa relatiista (. 0 3 kg) 00 50 00 50 0 0,00 0,00 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 0,990 0,999 Veloidad (. ) A la ista de la gráfia, podeos extraer arias onlusiones: Solo a eloidades onsiderableente eleadas, del orden de 0,4 o superiores, oienzan a haerse patentes los efetos relatiistas. Cuanto ás nos aproxieos a la eloidad de la luz, on ayor rapidez auentará el alor edio para la asa del objeto. Si iajáseos a la eloidad de la luz, la asa del objeto se haría infinita. 3.8. ENERGÍA RELATIVISTA. Un eletrón, uya energía en reposo es 0,5 MeV, se uee on eloidad 0,8. Calula su energía total, su energía inétia y su antidad de oiiento. Dato: ev,6 0 9 J. La energía total que posee el eletrón es: E Teniendo en uenta que su asa es: (, 08 ) 08, se obtiene: E E 0 0, 5 0, 6 0 0 8 ( 3 0 ) 6 9 9 084 0 3, kg 9, 084 0 ( 3 0 ) E 0, 8 3 8 Su energía inétia relatiista la alulaos de auerdo on la siguiente expresión: E E + E 0 3, 363 0 J Unidad 3. Físia relatiista 0
E Al operar, el resultado que se obtiene es el siguiente: E 545, 0 4 J Su antidad de oiiento es: (, 08 ) 3 9, 084 0 (3 0 ) 8 P 3 9, 084 0 0, 8 3 0 (, 08 ) 8 3, 634 0 kg s. Calula la energía inétia relatiista y la energía inétia lásia que debería tener un eletrón, de asa 9, 0 3 kg, si la eloidad on que se uee respeto al sistea de referenia ligado al laboratorio en que se enuentra es: a) 0, ; b) 0,3 ; ) 0,5 ; d) 0,7 y e) 0,9. La energía inétia lásia se alula ediante la expresión: En uanto a la energía inétia relatiista, para alularla, utilizaos la expresión: E E Calulando abas agnitudes para los alores propuestos, resulta: / E lásia (J) E relatiista (J) 0, 4,095 0 6 4,6 0 6 0,3 3,686 0 5 3,955 0 5 0,5,04 0 4,67 0 4 0,7,007 0 4 3,78 0 4 0,9 3,37 0 4,060 0 3 3. Representa en una gráfia los resultados de la atiidad anterior oloando la eloidad en el eje de absisas y la energía en el eje de ordenadas. A la ista del resultado, qué onlusiones extraes? Al representar gráfiaente los resultados anteriores, resulta: Unidad 3. Físia relatiista
Energía inétia (. 0 4 J) 0 8 6 4 E lásia E relatiista 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 A partir de las gráfias obtenidas, se pueden forular las siguientes onlusiones: Los efetos relatiistas solo epiezan a haerse isibles uando la eloidad del eletrón es igual o superior a 0,4. La pendiente de la ura que representa la energía inétia relatiista se aentúa a edida que alanzaos eloidades próxias a la de la luz. La ura que representa la energía inétia relatiista tiende asintótiaente a infinito. De auerdo on ello, para ouniar a una partíula de asa una eloidad igual a la de la luz, neesitaríaos una energía infinita. / ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES. Qué signifia que la eloidad de propagaión de la luz es un inariante? Qué lleó a Einstein a realizar diha afiraión? Esta afiraión onstituye el prier postulado de Einstein, y signifia que la eloidad de la luz es siepre la isa e independiente del sistea de referenia inerial desde el que se ide. El prinipal arguento que sostiene diho postulado es que las ondas eletroagnétias no neesitan un edio aterial para propagarse. Cuando nos oeos en un edio aterial, la eloidad de propagaión de la onda eánia difiere respeto al alor de la eloidad que ide un obserador en reposo respeto al edio. Si edios, por ejeplo, la eloidad de propagaión de una onda sonora desde un sistea que se enuentra en reposo respeto a la Tierra, obteneos un alor del orden de 340 s. Sin ebargo, para un obserador situado en un aión que se desplaza a la eloidad del sonido en la direión y sentido on que se propaga la onda, esta se desplaza on eloidad nula. Unidad 3. Físia relatiista
El aso de la luz es distinto. Coo la luz no neesita un edio aterial para propagarse, no podeos enontrar un sistea de referenia que realie un papel equialente al que realiza el obserador situado en un sistea en reposo, oo suede en el aso anterior. Lo que ourre es preisaente lo ontrario: en el unierso no hay sisteas absolutos que se enuentren en reposo respeto al aío; todos guardan un oiiento relatio entre sí. Esta idea lleó a Einstein a afirar que la luz se uee on la isa eloidad respeto a todos aquellos sisteas de referenia que sean ineriales.. Según la teoría de la relatiidad, dos obseradores en sisteas de referenia ineriales iden: a) La isa eloidad de propagaión de la luz. b) La isa distania entre dos puntos. ) El iso tiepo entre dos suesos. Tanto la distania oo el tiepo se alteran uando se iden desde un sistea de referenia en oiiento relatio on respeto al sistea de referenia en el que tiene lugar el sueso onsiderado. La únia agnitud que es igual en todos los sisteas de referenia ineriales es la eloidad de propagaión de la luz, y de esta inarianza se deduen las transforaiones de Lorentz, que nos indian las relaiones entre las oordenadas espaio-teporales de suesos obserados desde distintos sisteas de referenia ineriales. Por tanto, la respuesta orreta es la a). 3. Podeos edir la ontraión de longitud que experienta un objeto si se aleja de nosotros on ierta eloidad? Puede edir esa isa ontraión un obserador situado sobre el objeto? Por qué? Visto desde el sistea de referenia en que nos enontraos, el objeto que se aleja sufre una ontraión de la longitud, en funión de la eloidad, que podeos alular ediante la expresión: L L0 < L 0 Para un obserador que se enuentre en reposo respeto al sistea de referenia en el que se enuentra la arilla, no se produe ontraión alguna. Es deir, un obserador que se enuentre situado en diho sistea de referenia ediría la longitud propia de la arilla. 4. Si un objeto se aleja de nosotros on una eloidad que sea una fraión iportante de la eloidad de la luz, se ontrae en la direión del oiiento. Qué ourrirá si ese iso objeto se aerase a nosotros on esa isa eloidad? Justifia tu respuesta. El heho de que se aerque a nosotros no es releante. Los fenóenos que apreiareos serán los isos que si se alejase. Lo que iporta es que el sistea de referenia propio del objeto que se desplaza esté en oiiento respeto a nuestro sistea de referenia on una eloidad eleada, al enos igual al 0% de la eloidad de propagaión de la luz. Unidad 3. Físia relatiista 3
5. La ida edia de los piones π + proedentes del espaio ósio es superior a la que posee un pion π + en reposo en el sistea de referenia del laboratorio. Puedes expliarlo? Los piones π + se ueen on una eloidad próxia a la de la luz. Por tanto, al edir desde la Tierra, obseraos la dilataión del tiepo. Si τ es la ida edia de un pion ósio, edida en tiepo propio, esa isa ida edia, edida desde el sistea de referenia del laboratorio, resulta: Coo eos, uando auenta el oiente /, el alor que orresponde a t' auenta, auentando la ida edia que edios para los piones proedentes del espaio exterior, oparada on la que les orresponde en un sistea de referenia inerial respeto al ual se enuentran en reposo. 6. Tiene sentido afirar que dos suesos que ourren en lugares diferentes son siultáneos? Tiene sentido en el aso en que los dos suesos se hayan obserado desde el iso sistea de referenia. Sin ebargo, la siultaneidad es un onepto relatio al sistea de referenia, por lo que dos suesos siultáneos para un obserador no tienen por qué serlo para un segundo obserador en oiiento relatio respeto al priero. 7. Razona si un objeto puede aelerarse hasta la eloidad de la luz. Para aelerar un objeto debeos apliar sobre él una fuerza. Sin ebargo, a edida que auenta su eloidad, la aeleraión que produe la fuerza apliada disinuye, de odo que la aeleraión tiende a ero uando la eloidad del objeto tiende a la de la luz. Esto iplia que es iposible que un objeto, de asa en reposo no nula, alane la eloidad de la luz. 8. India si es erdadero o falso y justifia la respuesta: Si posee asa, un objeto no puede oerse a la eloidad de la luz. En abio, si su asa en reposo es nula, neesariaente debe oerse a la eloidad de la luz. La afiraión es ierta. t β Para que un uerpo de asa en reposo pueda oerse a la eloidad de la luz, debeos ouniarle una energía infinita: lí E _ relatiista lí[( γ ) ] lí Por otra parte, para ualquier partíula, la energía en reposo resulta: τ τ Unidad 3. Físia relatiista 4
E p ( ) Si se trata de una partíula sin asa ( 0), al sustituir en la expresión anterior, obteneos la siguiente relaión: E p 0 E p E p γ γ β Coo, en general, la energía puede expresarse en la fora: E γ Al oparar las dos expresiones anteriores, obteneos, para una partíula sin asa, el alor β, lo que india que, neesariaente, la partíula se uee a la eloidad de la luz, ya que β /. 9. Explia breeente algunas onseuenias de la teoría espeial de la relatiidad. Las onseuenias ás releantes de la teoría espeial de la relatiidad son la ontraión de la longitud, la dilataión del tiepo y la relatiidad del onepto de siultaneidad. Los tres fenóenos (expliados en el desarrollo de la unidad) son pereptibles uando la eloidad del sistea de referenia desde el que se realiza la edida, respeto al sistea de referenia propio del sueso, es oparable a la eloidad de la luz. Otra onseuenia, quizá la ás iportante, es la iposibilidad, para ualquier objeto de asa no nula de sobrepasar, e inluso alanzar, la eloidad de la luz. EJERCICIOS 0. Dos suesos ourren en un iso punto x' en los instantes t' y t', en un sistea de referenia S' que se uee on una eloidad respeto a otro sistea de referenia S. Transurren abos suesos en el iso punto para un obserador situado en S? En aso negatio, alula la distania que separa abos suesos en el sistea S. En el sistea S, que se uee on eloidad respeto de S', el punto onsiderado se habrá desplazado una distania t entre los instantes t y t en que tienen lugar los dos suesos, edidos desde el sistea de referenia S. Para alular esta distania, es neesario obtener la relaión entre los instantes t y t, en el sistea S, y t' y t' en el sistea S', para lo que heos de apliar la transforaión inersa que dedujios en la atiidad del epígrafe 3.5: t γ t' + β x' t γ t' + β x' Por tanto: t t t γ (t' t' ) Y la distania que separa abos suesos resulta: x x x t γ (t' t' ) Unidad 3. Físia relatiista 5
. Un pasajero que realie un iaje en un aión supersónio puede alanzar una eloidad edia de 500 k/h. Si uela de París a Nuea York on esa eloidad, deberá ajustar su reloj uando llegue a Nuea York? Por qué? El pasajero debe ajustar su reloj debido al abio de zona horaria, pero no debido a los efetos relatiistas, ya que la eloidad on que se uee el aión es absolutaente despreiable frente a la eloidad a que epiezan a notarse los efetos relatiistas. Para que estos se hagan patentes, es neesario que el objeto que se desplaza lo haga on una eloidad que sea, al enos, un déio de la eloidad de la luz, lo que no es el aso si teneos en uenta la eloidad on que se uee el aión respeto a la superfiie de la Tierra.. La desintegraión de una partíula fundaental produe gran antidad de partíulas. En un aso partiular se produen dos fotones que salen en la isa direión y sentidos opuestos, ada uno de ellos oiéndose on eloidad. a) Con qué eloidad erá ada fotón alejarse al otro? b) Cóo explias el resultado que se obtiene en el apartado anterior? ) Variaría el resultado si los dos fotones fuesen eitidos en direiones perpendiulares? Explia en qué te basas para dar esa respuesta. a) La situaión orresponde a un fotón que se desplaza haia la dereha on eloidad x on respeto a un sistea de referenia, S, y otro sistea de referenia, S', situado sobre el otro fotón, que se desplaza haia la izquierda on eloidad respeto al sistea S. Para obtener la eloidad, x ', on que el fotón de S' e alejarse al otro fotón, debeos obtener la expresión que proporiona la transforaión de Lorentz para la eloidad en sisteas de referenia ineriales, lo que onseguios deriando respeto al tiepo las transforaiones de Lorentz para la posiión estudiadas en la unidad: x' γ (x β t) ; t' γ t β x Por tanto: dx' γ (dx β dt) ; dt' γ dt β dx x ' d x' γ (dx β dt) dt' γ dt β dx d x β dt β d x dt x β x ' x β x x La expresión anterior es la transforaión de Lorentz para la oordenada en el eje X de la eloidad. Sustituyendo en ella, obteneos la eloidad on que el fotón que se desplaza haia la izquierda e alejarse al que se desplaza haia la dereha: Unidad 3. Físia relatiista 6
x ( ) x x ( ) Por tanto, le e alejarse haia la dereha on eloidad, es deir, la eloidad de la luz. b) De auerdo on los postulados de la teoría de la relatiidad, la eloidad de la luz es un inariante, y es la eloidad áxia que se puede edir desde ualquier sistea de referenia. En nuestro aso, el sistea de referenia es un fotón, respeto al ual edios la eloidad de otro fotón, que es una partíula de luz. Por tanto, lo que edios realente es la eloidad de la luz. ) El resultado sería el iso, porque la eloidad de la luz es inariante respeto al sistea de referenia, oo ya heos oentado. 3. Calula la eloidad áxia para la que podeos onsiderar álida la forulaión lásia, es deir, las transforaiones de Galileo. Supón que las expresiones son álidas si el alor edido para una agnitud apenas aría un % respeto al alor prediho por la teoría. Se trata de hallar la eloidad para la ual las transforaiones de Galileo se desían un % respeto a las de Lorentz. Lo hareos oparando el alor de la ariable x' que obteneos on abas transforaiones. De este odo: x t x L (Lorentz) x L 0, x G x G x t (Galileo) x t 0, ( x t) 0, 04, 0, 0, 4. Con qué rapidez debe onertirse asa en energía para produir 0 MW? Dato: 3 0 8 /s. El dato que proporiona el enuniado es la potenia; es deir, la rapidez de la produión de energía: P E t Teniendo en uenta que la energía en reposo de una partíula orresponde a la expresión: E Unidad 3. Físia relatiista 7
resulta: P E t t Por tanto, la rapidez on que debe onertirse asa en energía es: t P 6 t 0 0 ( 3 0 8, 0 0 kg/s ) lo que signifia que en ada segundo deben onertirse en energía, 0 0 kg de asa. Para haernos una idea del orden de agnitud que supone esta asa, direos que la asa liberada en ada reaión nulear de foraión de denterio a partir de un protón, un neutrón y un eletrón es de 3,97 0 30 kg, por lo que harían falta 5,6 0 9 reaiones nuleares de este tipo, ada segundo, para produir esa energía. PROBLEMAS 5 Se deterina por étodos óptios la longitud de una nae espaial que pasa por las proxiidades de la Tierra, resultando ser de 00. Los astronautas ounian por radio que la longitud de su nae es de 0. A qué eloidad iaja la nae respeto a la Tierra? La longitud edida por los astronautas es la longitud propia, ya que ellos se enuentran en el sistea de referenia propio de la nae. Esta longitud propia está relaionada on la que se ide desde la Tierra ediante la expresión: Sustituyendo alores y despejando, obteneos la eloidad de la nae: 00 00 00 0 0, 553 0 0 6. Una arilla, uya longitud propia es, se aleja de nosotros a 0,5. Desde sus dos extreos se eiten siultáneaente dos rayos de luz que periten edir la longitud de la arilla en el sistea de referenia en que nos enontraos. Calula: a) La longitud que edios. L0 L' L0 γ b) La eloidad on que debe alejarse la arilla para que idaos 0,5. a) La arilla se enuentra en un sistea de referenia que se aleja del nuestro on una eloidad que podeos onsiderar relatiista (0,5 ). Por tanto, peribios una ontraión en su longitud. La longitud que edireos para la arilla es: (, 05 ) L L0 0, 968 Unidad 3. Físia relatiista 8
b) Utilizando de nueo la expresión anterior, uando la arilla ida 0,5 etros, su eloidad será: 05, 05, 075, 0, 75 0, 75 0, 866 NOTA: La resoluión de este problea se ofree tabién en el CD-ROM para el alunado. 7. Lanzaos una bola ertialente haia arriba desde el suelo de la alle. Un obserador, O, está situado sobre la aera, en el punto de lanzaiento, ientras que otro obserador, O', está situado en lo alto del edifiio que se enuentra al lado del punto de lanzaiento. Si la altura del edifiio es 50 y la bola parte on una eloidad iniial de 50 /s, edida por el obserador O: a) Esribe las euaiones que periten alular la posiión y la eloidad de la bola en ualquier instante a los dos obseradores. Considera g 0 /s. El rozaiento on el aire es despreiable. b) Son siultáneas las obseraiones que realizan los dos obseradores? Por qué? a) En la figura se han indiado la direión y el sentido de los etores eloidad y aeleraión de la graedad. O' x S' Sistea S' y S' h g 0 y S Sistea S O x S Para un obserador situado sobre la aera, O, el sistea de referenia será S. En este sistea de referenia, las euaiones de oiiento y eloidad son: ys 0 t g t 50 t 5 t 5 t ( 0 t) g t 0 ( 5 t) S Por otra parte, para el obserador situado enia del edifiio, O', el sistea de referenia es S'. Aquí, las euaiones de oiiento son, respetiaente: ys ' h 0 t + g t 50 5 t ( 0 t) 5 ( 0 0 t + t ) + g t 0 ( 5 t) S ' 0 0 Unidad 3. Físia relatiista 9
b) En S y S', las obseraiones no estarán soetidas, en ningún aso, a efetos relatiistas, porque abos sisteas de referenia están en reposo entre sí. Sin ebargo, es posible que en dos sisteas de referenia, que se enuentran en reposo uno respeto al otro, apareza el fenóeno de la no siultaneidad. Iagina, para ello, dos sisteas uy alejados. Supongaos que un sueso se produe uho ás era de uno de los sisteas que del otro. En ese aso, oo la señal que llega a ada sistea iaja a la eloidad de la luz, alanzará a uno de los obseradores antes que al otro, on lo que no peribirán siultáneaente el sueso. La siultaneidad es, por tanto, un onepto que trasiende a la relatiidad y que debe ser tratado on exquisito uidado, para eitar posibles paradojas. En este aso, no hay efetos relatiistas y los suesos que se produen se obseran siultáneaente por parte de los dos obseradores, ya que la distania a que se enuentran uno del otro la reorre la señal que infora de un sueso en un tiepo despreiable, ya que diha señal se propaga a la eloidad de la luz. 8. Una nae espaial iaja haia un úulo globular situado a 00 años-luz de distania y lo hae on una eloidad que es 0,995. a) Calula el tiepo que transurre desde que la nae sale de la Tierra hasta que llega a su destino, edido en tiepo de la Tierra. b) Cuánto tiepo ha transurrido, en realidad, para los pasajeros de la nae? ) Si en la nae espaial iaja una tripulante que uple 30 años el día que se iniia el iaje y en la Tierra queda su herana geela, qué edad tendrán las dos heranas, suponiendo que sigan ias, uando la nae llegue a su destino? a) Para un obserador situado en la Tierra, el tiepo que transurre es el que orresponde a un.r.u. en el que onoeos la distania (00 años-luz) y la eloidad (0,995 ). Por tanto: 8 s s 00 años-luz 00 3 0 t t t t 0, 995 0, 995 3 0 b) El tiepo que ide la tripulante de la nae es su tiepo propio que, en este aso, resulta: t 0 τ (, 0 995 ) τ t τ 00, 5 ) Medido desde la Tierra, el tiepo transurrido hasta que la nae llega al úulo es 00,5 años. Por tanto, si ie, la edad de la herana que peranee en la Tierra, será: 30 + 00,5 30,5 años. Por otra parte, la herana que iaja en la nae tarda 0 años en llegar. Por tanto, la edad de la herana que iaja en la nae espaial será: 30 + 0 40 años. NOTA: La resoluión de este problea se ofree tabién en el CD-ROM para el alunado. 8 00, 5 años 0 años Unidad 3. Físia relatiista 0
9. Calula la eloidad on que debe oerse un objeto respeto a un sistea de referenia para que su asa, edida respeto a ese sistea de referenia, auente hasta el doble. Cuando un objeto se uee respeto a un sistea de referenia inerial on una eloidad que es del orden de la eloidad de la luz, su asa, edida desde ese sistea de referenia, auenta de auerdo on la expresión: rel siendo la asa en reposo del objeto. Por tanto, si su asa relatiista auenta hasta el doble, entones: rel La eloidad on que se uee el objeto debe ser: 0, 866 0. Con qué eloidad debe oerse un objeto respeto al sistea de referenia propio para que su longitud aríe en un 0%? Los efetos relatiistas solo se anifiestan uando edios desde sisteas de referenia ineriales respeto a los uales el sistea de referenia propio, ligado al uerpo, se uee on ierta eloidad. Sin ebargo, edida desde el sistea de referenia propio, la eloidad del uerpo es nula; por tanto, nuna podrá obserarse un efeto relatiista oo la ontraión de la longitud.. Cuál debería ser la eloidad de una nae espaial respeto a la Tierra para que un obserador situado en la Tierra iese que su longitud es la itad que la longitud que ide un obserador situado en la nae espaial? Cuál sería la energía inétia de la nae espaial si su asa en reposo es 5 000 kg? La longitud edida por el obserador situado en la nae es la longitud propia. Se relaiona on la que ide el obserador en la Tierra ediante la expresión: L0 L L0 γ Sabiendo que la longitud edida desde la Tierra es la itad de la longitud propia, podeos alular la eloidad a la que se uee la nae espaial: Unidad 3. Físia relatiista
L0 L L0 3 3 8 0, 866, 6 0 /s 4 4 4 La energía inétia de la nae, teniendo en uenta los efetos relatiistas, la proporiona la expresión: E ( γ ) E γ (, 0 866 ) 8 0 5000 ( 3 0 ) 4, 5 0 J. Un eletrón, uya energía en reposo es 0,5 MeV, atraiesa una región del espaio on una eloidad de 0,93. Deterina: a) Su asa relatiista. b) Su antidad de oiiento. ) Su energía total. Dato: e,6 0 9 C a) Para poder obtener la asa relatiista del eletrón, debeos onoer, en prier lugar, su asa uando se enuentra en reposo. Para ello, partios del dato de su energía en reposo: E E 0,5 0 6,6 0 9 9, 0 3 kg (3 0 8 ) Ya que ev e V,6 0 9 J. La asa relatiista del eletrón, uando se uee a 0,93 es: rel b) La antidad de oiiento del eletrón, a esta eloidad, es: p γ rel 9, 0 (, 093 ) 30 48, 0 kg 3 9, 0 0, 93 p 69, 0 kg /s (, 093 ) ) La energía total del eletrón es la sua de su energía inétia y su energía en reposo, y se alula ediante la siguiente expresión: 3 E 9, 0 ( 3 0 ) E (, 093 ) 3 8 3 3, 0 J NOTA: La resoluión de este problea se ofree tabién en el CD-ROM para el alunado. Unidad 3. Físia relatiista
3 En un aelerador de partíulas se aeleran eletrones y positrones (eletrones on arga positia) hasta adquirir una energía de 00 MeV. Conseguido esto, se les hae hoar y se estudian las partíulas que se obtienen tras el hoque. Calula: a) El fator por el que auenta la asa de un eletrón en esas ondiiones. b) La eloidad on que se ueen los eletrones por el interior del aelerador, edida en un sistea de referenia ligado al suelo del laboratorio. a) La energía on que se aelera el eletrón se utiliza para ouniarle energía inétia. El balane energétio resulta: E A partir de la expresión anterior podeos sustituir y despejar la asa relatiista, rel, del eletrón. Para ello, debeos tener en uenta que: ev,6 0 9 J M 0 6 Con todo ello, obteneos el siguiente resultado: p E p ( rel ) E p 00 0, 6 0 rel + 8 ( 3 0 ) 8 79, 0 kg El auento de asa que se produe es, por tanto: rel E p E ( rel ) 79, 0 9, 0 6 9 96, 7 b) A partir de la expresión de la asa relatiista, podeos despejar la eloidad: 8 3 3 + 9, 0 rel rel 3 9, 0 8 79, 0 rel 0, 999987 4. Calula la eloidad on que debe oerse una partíula para que su antidad de oiiento sea. Cuál es la energía de la partíula en ese supuesto? Y su asa? La antidad de oiiento de un uerpo, uya asa en reposo es, puede expresarse en la fora: p γ β Al igualar esta expresión al alor indiado: Unidad 3. Físia relatiista 3
γ β γ β y sustituir los paráetros γ y β por sus respetios alores, resulta: Por últio, despejando: 4 4 4 4 ( ) 5 4 4 0, 894 5 A esta eloidad, la asa relatiista del uerpo resulta: rel (, 0 894 ) 4, La energía total de la partíula es, en este aso: E rel,4 5. Calula óo ariará su eloidad y su antidad de oiiento si se ounia a una partíula una energía inétia igual a n ees su energía en reposo. De auerdo on el enuniado, la energía total de la partíula será: E E + n + (n + ) donde el térino representa la energía en reposo de la partíula. Si teneos en uenta que: resulta: E γ γ Al despejar, obteneos para la eloidad: n + + + + n ( n + ) ( n ) ( n ) n Por otra parte, la antidad de oiiento relatiista puede expresarse en la fora: p γ β por lo que, sustituyendo alores: Unidad 3. Físia relatiista 4
p n n ( n + ) γ ( + ) n ( n + ) n + 6. Calula el error que se oete al eplear la expresión newtoniana para el álulo de la energía inétia de un uerpo si su eloidad es: a) 0 /s. b) 340 /s (eloidad del sonido en el aire). ), 0 4 /s (eloidad de esape para un uerpo situado en la superfiie de la Tierra). d) 0,0. e) 0,. f) 0,5. g) 0,9. Supondreos que el uerpo tiene una asa,, no nula en reposo. Para alular las energías inétias lásia y relatiista, heos de apliar las expresiones: E ; E _ relatiista ( γ ) El error relatio que oeteos al edir una agnitud en lugar de la otra es: relatiista ε relatio E relatiista Sustituyendo, en ada aso, los alores que nos failitan, resulta: E E 00% Veloidad ( s ) E lásia E relatiista Error relatio (%) 0 50 0 340 57 800 0, 0 4 60,5 0 6 0 0,0 4,5 0 0 4,500337 0 0 0,0075 0, 4,5 0 4 0 4,534 0 4 0 0,75 0,5,5 0 6 0,39 0 6 0 9,0 0,9 3,645 0 6 0,65 0 7 0 68,7 Podeos apreiar en los resultados obtenidos que la expresión de la energía inétia relatiista solo se puede apliar en el aso de eloidades oparables a la de la luz. Esto se debe a que el térino γ tiende a ero uando <<. NOTA: La resoluión de este problea se ofree tabién en el CD-ROM para el alunado. Unidad 3. Físia relatiista 5
7 Dos geelos tienen 30 años uando uno de ellos iniia un iaje espaial de larga duraión. Suponiendo que la eloidad de la nae es onstante, alula diha eloidad si, al oler a la Tierra, el geelo que ha iajado por el espaio tiene 34 años y el que quedó en la Tierra tiene 40 años. Supón que todas las edades se refieren al día en que uplen años. Para un obserador situado en la Tierra, la nae es un sistea de referenia que se uee on una eloidad del orden de la eloidad de la luz. Es, por tanto, un sistea físio que experienta el efeto de la dilataión del tiepo, efeto que, ateátiaente, expresaos en la fora: τ [] t donde τ representa el tiepo propio; es deir, el tiepo que edios desde el sistea de referenia situado en la nae. El geelo que iaja en la nae ide su edad en tiepo propio: τ34 30 4 años Para él han pasado 4 años desde que abandonó la Tierra. Sin ebargo, este interalo de tiepo, edido sobre la Tierra, lo proporiona la edad del otro herano. t' 40 30 0 años Sustituyendo estos alores en la expresión [], alulaos la eloidad de la nae: 4 4 0 0 4 0 84 0 97,, s 0 8 Si el iaje se realizó en línea reta, a qué distania se alejó de la Tierra el geelo del problea anterior? Para realizar el álulo, supondreos que la eloidad de la nae ha sido onstante durante todo el trayeto. La distania reorrida por la nae la edios desde el sistea de referenia situado en la Tierra, resultando ser: d t 0,97 0 9,7 años-luz Esta es la distania total reorrida en el trayeto de ida y uelta, por lo que la distania áxia a la que se alejó de la Tierra es la itad; es deir, 4,585 años-luz. NOTA: la soluión ofreida en el libro del aluno orresponde a la distania reorrida en el iaje. Unidad 3. Físia relatiista 6