MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS D l triz A, qué relión een gurr ls onstntes pr que se verifique l igul A A. Cluleos A : A. Coo se h e uplir que A A, teneos que:, por tnto se otiene el siguiente siste e euiones:. De l prier euión result que o. Análogente, e l últi euión result que o. Pr que se verifique tién l otr euión, ls únis soluiones posiles son o. Por tnto, se otienen os soluiones: A, A. Es onuttivo el prouto e tries? Si l respuest es firtiv, euéstrlo; si es negtiv, un ejeplo que lo pong e nifiesto. Qué tries onutn on l triz A? El prouto e tries no es siepre posile, en so e que se posile, en generl, no es onuttivo. Un ejeplo porín ser ls tries que: Veos qué tries A onutn on. Dee uplirse que: De quí se eue que:. Por tnto, ls tries uss son e l for pr ulquier vlor e.

Consier l triz A. Se pie: ) Deuestr que se verifi l igul A I O, sieno I l triz uni O l triz nul. ) Clul rzonente A. ) Coproeos que se uple que A I O. A A A A I Por tnto, oo A I, se tiene que A I I I O. ) A A A A A ( I) ( I) ( I) A I A A Se M l triz. Clul l triz J tl que M I J, sieno I l triz ienti e oren. Clul tién ls tries J, J J. L triz J es J M I. Cluleos sus potenis: J J J J Tos ls restntes potenis n oo resulto l triz nul O por tnto J O. Un triz A se ll ntisiétri uno su trspuest es igul su opuest. Otén l for generl e un triz A e oren que se ntisiétri. Clul A, A A. Pr un triz e oren, A, l igul A t A perite otener o relionr los eleentos,,. L nterior igul nos perite onluir que: A t A

Por tnto, tos ls tries ntisiétris e oren son e l for A. Pr lulr A, A A heos: A A A ( ) ( ) I A A A ( ) I ( ) I I A 8 A A 8 I A A 8 A 8 A 8 A 8 A 8 I 8 I 8 I 8 I A I A A ( ) Hll l triz X Y si X e Y son os tries urs, verifino: Y X Y X Lleos A B resolvos el siste. Utilizno el étoo e reuión, se otienen ls siguientes soluiones:. Sustitueno A B por ls orresponientes tries: B Y X A Y X B B A Y A X X A B 8 Y A B Operno pr otener X Y se otiene: X Y 8 X Y 8 Consier l triz A. ) Sieno I l triz ienti O l triz nul, prue que A I O. ) Clul A. ) A A A

A A A Por tnto A I O. ) Tenieno en uent que A I O, entones A I. Así: A A A A A ( I) ( I) ( I) A A Consier l triz A. Clul A t A A A t one A t enot l triz trspuest e A. A t A t A A A t Consier ls tries A, B C. ) Clul AB, AC, A t B t C t A t, sieno A t, B t C t ls tries trnspuests e A, B C, respetivente. ) Rzon uáles e ls tries A, B, C AB tienen triz invers en los sos en que l respuest se firtiv, hll l orresponiente triz invers. ) AB I (triz ienti e oren ) AC A t B t

C t A t ) Pr que un triz teng invers tiene que ser ur eás su eterinnte tiene que ser istinto e ero, por tnto ls tries A, B C no tienen invers porque no son urs. L úni que es ur es AB, eás su eterinnte es. Luego AB tiene invers. Ahor ien oo l triz AB es l triz ienti e oren, su invers es ell is, es eir (AB) AB I (triz ienti e oren ). Deterin un triz A siétri (A oinie on su trspuest) sieno que: et (A) A Coo A es un triz siétri tiene que ser ur e l for A. z A z z Por otr prte, teneos que. Operno: z z z e one oteneos: z z Si oservos el siste, e ls utro euiones l ª ª son equivlentes l ª l ª tién por tnto el siste resolver es el siguiente: z z De teneos De z teneos z. Sustitueno ests inógnits (,, z) en l euión z teneos: ( ) Luego: z Por tnto, l triz pei es A. z

D l triz A, lul (A t A ) A. A ; A t ; A A A Aj ( At ); Aj ( A t ) A A Aj ( At ) A t A (A t A ) (A t A ) A / / 8 Se A. Pr qué vlores e eiste l triz invers e A? Clul ih triz invers. sen os os sen sen os sen os Pr que teng invers se h e uplir que: A. A sen os luego eist l invers e A pr ulquier vlor e. Cluléosl: A A Aj(At ) A t sen os sen os os sen sen os ; Aj(A t ) sen os os sen A A Aj(At ) sen os os sen Consier l triz A. ) Deterin pr qué vlores el práetro eiste A. ) Clul A pr. ) Eiste A si et (A). et (A)

Resolvieno l euión se otiene. Por tnto eiste A si solo si. ) Si, entones A su triz invers venrá por: A A Aj (At ) A A t Aj (A t ) 8 Luego: A A Aj (At ) 8 8 Deterin, sieno que l triz A verifi A rngo(a). Igulno térinos, teneos que: e one Por otr prte, teneos que oo rngo(a) por tnto h e ser A. A A ( ) ( ) Resolveos el siste por Crer Por tnto, ;.

Deterin un triz X que verifique l euión AX X B sieno: A B Se tiene que: AX X B AX X B (A I) X B A ; B ; A I Coo A I, eiste (A I) por tnto: X (A I) B Cluleos (A I) : (A I) t Aj(A I) t (A I) Entones: X (A I) B Sen C, C C ls oluns prier, segun terer, respetivente, e un triz ur A e oren uo eterinnte vle. Clul inino ls propiees que utilies: ) El eterinnte e A. ) El eterinnte e A. ) El eterinnte e A. ) El eterinnte e un triz ur us oluns prier, segun terer son, respetivente C C, C C. ) A A A A El eterinnte e un prouto es igul l prouto e los eterinntes. ) Coo por un prte teneos que: A A I A A I Y por otr prte: A A A Entones: A A / El eterinnte e un prouto es igul l prouto e los eterinntes el eterinnte e l triz uni es. ) A A 8 Al ultiplir por l triz pree ultiplino olun. Al lulr el eterinnte, si un olun está ultipli por un núero, iho núero se puee sr ftor oún fuer el eterinnte. Coo h tres oluns, sle el tres vees ultiplino, esto es.

) C C, C, C () C C, C, C () C C, C, C () C, C, C C, C, C () C, C, C Propiees utilizs: () Si ios entre sí os oluns el eterinnte i e signo. () Si un olun está ultipli por un núero iho núero puee slir fuer el eterinnte ftor oún, esto es ultiplino l eterinnte. () Si un olun e un eterinnte es su e os sunos iho eterinnte es igul l su e os eterinntes olono en ih olun el prier seguno suno respetivente. () Si un eterinnte tiene os oluns igules el eterinnte es ero eás si un olun está ultipli por un núero iho núero puee slir fuer el eterinnte ftor oún ultiplino l eterinnte. Consier ls tries A X. Sieno I l triz ienti e oren z, lul los vlores e λ pr los que l triz A λ I no tiene invers. A λ I λ λ λ λ λ λ λ Pr que l triz A λ I no teng invers su eterinnte h e ser, es eir A λ I λ A λ I λ λ λ λ λ Le plios Ruffini λ λ λ pr lulr sus ríes: Luego λ λ λ (λ ) ( λ ) (λ ) (λ ) (λ ). Por lo tnto l triz (A λ I) no tiene invers si λ o λ. Sieno que l triz A tiene rngo, uál es el vlor e? Coo l triz A tiene rngo, teneos que:

A Consier ls tries A, B C. ) Pr que vlores e tiene soluión l euión triil A X B C? ) Resuelve l euión triil pr. ) AX B C AX C B Si eistiese A, ultiplino por l izquier l epresión AX C B tenreos A A X A (C B) X A (C B) Pr que eist A su eterinnte tiene que ser istinto e ero: A Por tnto el siste A X B C tiene soluión si solo si. ) Si, luleos X A (C B). (C B) A A t Aj(A t ) A A Aj(At ) Luego: X A (C B) Consier l triz A. Clul los vlores e t pr los que el eterinnte e A es positivo hll el or vlor que lnz iho eterinnte. t t Cluleos A : A t t t t

Diho eterinnte es un funión uráti, es eir, A f (t) t t. Pr ser one el A es positivo, eeos resolver l ineuión t t >. Pr ello, priero resolveos l euión t t, us soluiones son t t. Si < t < f (t) es negtivo, puesto que f ( ) <. Si < t < f (t) es positivo puesto que f () >. Si < t < f (t) es negtivo puesto que f () < Por tnto el eterinnte es positivo si t (, ). Pr iizr el vlor el eterinnte, luleos los áios e A f (t) t t. f (t) t f (t) t t /. f (t) < t, luego t / nos un áio que vle f (/) (/) (/) /. Consier l triz A one, son no nulos. ) Deterin el núero e oluns e A que son linelente inepenientes. ) Clul el rngo e A rzon si l triz tiene invers. ) El núero e oluns linelente inepenientes e l triz oinie on el núero e sus fils linelente inepenientes es igul l rngo e l triz. Cluleos A : A Coo A, el rngo no es no tiene fils inepenientes, lo suo tenrá os. Veos si poeos enontrr un enor e oren os no nulo: (por ser no nulos) Luego A tiene oluns linelente inepenientes. ) El rngo e A oinie on el núero e fils o oluns linelente inepenientes e A. Por tnto el rngo(a) Coo A, l triz A no tiene invers. Clul el vlor el eterinnte Sustituos l prier olun por l su e ls utro oluns que forn el eterinnte. En l prier olun pree siepre el iso térino ( ), por tnto, lo poeos sr fuer el eterinnte. Así:.

( ) Resteos fil l prier, el eterinnte que sí result, lo poeos esrrollr por los térinos e l prier olun: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resuelve l euión et (A I), sieno A, I l triz uni e oren. L euión resolver es :. Desrrolleos el eterinnte (einte l regl e Srrus): ( ) ( ) ( ) Operno, que, que ftorizánolo einte l regl e Ruffini, se onvierte en: ( ) ( ) Ls soluiones e l euión son por tnto,. Se A. Hll el vlor o vlores e pr los que l triz A no tiene invers. Hll A pr. Un triz no tiene invers si su eterinnte es nulo. Veos por tnto pr qué vlores se nul el eterinnte e A. A Diho eterinnte se nul pr. Por tnto, l triz A no tiene invers si vle o. Pr ulquier otro vlor e sí eiste l triz invers. Cluléosl pr. A A A Aj ( A t ) A

A t Aj ( A t ) A A Aj ( A t ) / / / / / / Deterin los vlores e que nuln el eterinnte. ( ) ( ) ( ) ( ) Por tnto, el eterinnte se nul pr. Se A un triz ur tl que A I (triz ienti). Cuánto vle et (A)?. Si A n I, uánto vle et (A)?. Utilizno l propie e los eterinntes, reltiv l ultipliión e tries: et (A B) et (A) et (B) oteneos: et (A ) et (A) et (A) et (A) (et (A)) Luego et (A ) et (I), (et (A)) por tnto et (A). En el so A n I, (et (A n )) et (A) es o si n es pr úniente si n es ipr. Deterin, según los vlores e, el rngo e ls siguientes tries: ) A ) B ) Clulno enores opleentrios se tiene:, el rngo e A es, l enos,.. Por tnto, si, el rngo e A será. Pr ulquier otro vlor e, el rngo e l triz será. ) Coo, el rngo e B es, l enos. Los posiles enores e oren son:.

Si, el rngo e B es pr ulquier otro vlor e, el rngo e l triz B es. D l triz / n, lul: ) L poteni enési A n. ) L triz invers A. ) Cluleos ls suesivs potenis e A: A / n / n / n A / n / n / n De ner nálog, l poteni enési e A es A n. ) L triz invers e A se lul oo A A Aj (A t ) A t Aj (A t ) / n A / n A Aj (A t ) / n