Una aplicación económica de lo méodo dicreo de opimización dinámica Alejo Macaya Faculad de Ciencia Económica Univeridad de Bueno Aire amacaya@econ.uba.ar Febrero 6 Reumen A parir de un ejemplo económico e exponen diina forma de abordar un problema de opimización dinámica en iempo dicreo y en un conexo deerminíico.
I Inroducción En diina rama de Economía (macroeconomía, crecimieno, finanza), y dede hace alguno año con mayor regularidad, la écnica de opimización dinámica (cálculo de variacione, conrol ópimo, programación dinámica) ocupan un lugar deacado como herramiena de rabajo. Por ee moivo, creemo que el conocimieno de la mima e imporane para nuera formación. Al meno do caraceríica pueden reular deeable cuando comenzamo a eudiar eo ema. La primera, que el problema pueda raare en forma má o meno encilla, la egunda, que reule inrucivo. Con repeco al primer puno, uno de lo camino má imple e raar al iempo como una variable dicrea y fijar el horizone del problema, en ano que un problema de conumo y ahorro, que e preena con baane frecuencia en la aplicacione, puede reular inrucivo. Ea noa iene como objeivo abordar un problema de conumo y ahorro ineremporal a parir de diferene enfoque o camino poible de reolución. Concreamene, el problema conie en conocer cuál erá la ecuencia de conumo y ahorro de un agene que deea maximizar la uilidad ujea a ciera rericcione de preupueo y proceo exógeno para el ingreo y la aa de ineré. En lo cao que el iempo e una variable dicrea y el horizone e finio e pueden aplicar la écnica de opimización eáica (por ejemplo, bajo ciero upueo, la condicione de Kuhn-ucker caracerizan el puno críico) para reolver el problema, pueo que u dimenión e finia. El raamieno del problema requiere ambién, aunque no neceariamene, algún conocimieno de ecuacione en diferencia finia de primer y egundo orden. El puno cenral para aplicar uno u oro enfoque depende, principalmene, de cómo e rabaje con la rericcione. Si la rericcione e agregan la olución puede obenere a parir de un iema de ecuacione, en cambio i la ecuacione de movimieno e uiuyen en la función objeivo la olución e encuenra a parir de una ecuación en diferencia de egundo orden, mienra que i e uilizan ano muliplicadore como rericcione exien la olución urge depué de reolver un iema de ecuacione en diferencia de primer orden. Ora poibilidad e decomponer el problema en eapa y comenzar a reolverlo de adelane hacia ará. El problema con el que vamo a rabajar e encuenra raado de diferene forma y con diino upueo en Obfeld y Rogoff [996, pp. 75-7], Sargen [987, pp. -4], Sokey y Luca [989, pp. 6-7] y Varian [99, pp. 4-46], enre oro. Una vez conocida la olución (hallado el endero emporal para el conumo y lo acivo que hacen máxima la uilidad), el ejemplo puede exploare ambién para enconrar expreione má imple de la olución i aumimo ciero comporamieno en el iempo del ingreo o, in conocer la olución, analizar el comporamieno de la variable mediane un diagrama de fae. Ademá, eudiamo el problema de horizone infinio, ora forma de preenar la olución en érmino de la riqueza y la obención del valor máximo que alcanza la uilidad (función valor). La ección iguiene, que coniene el modelo de conumo y ahorro, correponde a la pare principal del rabajo. Incluimo una ercera ección con ora aplicación de la écnica de programación dinámica para la exracción de ciclo y endencia de erie emporale. Enre mediado de 9 y principio de 93 aparecen lo primero rabajo que aplican la écnica de cálculo de variacione para reolver problema económico dinámico [Evan, 94; Ramey, 98; Hoelling, 93]. al vez, lo do úlimo rabajo (epecialmene el primero de eo) hayan ido lo de mayor repercuión.
II Conumo y ahorro ópimo bajo ceridumbre Conideremo el iguiene problema de un agene repreenaivo: Max { c, b } + = = β u( c ), β ( ρ ) ( ) ( ) +, ρ > b+ = + r y + b c =,,,,.a: b dado Donde b e la canidad de acivo al inicio del período mienra c e y denoan el conumo y el ingreo del período, repecivamene. oda ea variable e miden en unidade del bien de conumo. La aa de ineré e denoa por r. La función de uilidad, u( c ), depende del conumo, e coninuamene diferenciable, ericamene creciene y ericamene cóncava, con lim u c ( c) =. La uilidad fuura e decuena por un facor β, iendo ρ la aa de preferencia emporal o aa de impaciencia. La rericción de preupueo indica que lo acivo a comienzo del período + on iguale al ahorro bruo del período y + b c, capializado durane un período. anerior, ( ) En el período inicial el conumidor debe deerminar u plan de conumo, { } acumulación de acivo, { } conocida la ecuencia de ingreo laboral, { } agene) y ipo de ineré, {} c =, y b + =, dada la rericción de preupueo de cada período, y = (que aumimo fuera de conrol del r = (que uponemo conane en el iempo) y dada una canidad inicial de acivo b. Un endero con ea caraceríica e denomina de previión perfeca. Solución por programación no lineal El problema puede planeare en diferene forma como un problema de programación no lineal.. Muliplicadore de Lagrange eáico En ea verión uilizamo un muliplicador de Lagrange (o, a lo umo, do) para obener la condicione de primer orden. Pee a la exiencia de un número inicial de ( + ) rericcione, la agregación de éa e logra gracia a que lo acivo vinculan ecuacione de movimieno de período conecuivo... Horizone de iempo finio El problema anerior e puede ecribir como un problema con una erucura eáica i en lugar de uilizar como rericción la ecuación de movimieno para cada período empleamo una rericción agregada en el iempo. La rericción de preupueo e una ecuación en diferencia de primer orden en el nivel de acivo donde conideramo el conumo y el ingreo como funcione deconocida del iempo: ( ) ( ) b b r b r y c + = + Inegrando enre = y = obenemo: b + b = + y c + ( r) ( ), =
donde b + e la canidad de acivo o paivo que deja el conumidor al finalizar u vida. Nóee, in embargo, que i el conumidor muere a fine de lo preamia nunca earán dipueo a prearle en el úlimo período ( ). Por lo ano, b +. La relación anerior puede volvere a exprear de la iguiene manera: b + + = r = b + y c = + ( + r) + r El problema original puede enonce planeare como: Max { c}, b + = = β u ( c ).a: r ( + r) b + b + y + c = = + = + r b + Definimo la riqueza del conumidor en el período inicial como el valor de lo acivo iniciale má el valor preene de la corriene fuura de ingreo, e decir: W b + y + y. Uilizando ea definición de riqueza formamo ahora la = función de Lagrange: b + Max u( ) β c + µ W + c c { c}, b = + = ( + r) = La condición de primer orden (CPO) del problema e: u c µ = c : ( ) c : ( c ) β u µ = β u c µ = c : ( ) b + : µ + ( + r) b + µ : W + c c = ( + r) = La condición de holgura complemenaria e: b + : b = + µ + ( + r) 3
= u >. Si el muliplicador e uperior a cero enonce la condición de holgura complemenaria implica b + = (en el úlimo período el agene conume odo u acivo). La función de uilidad e ericamene creciene, por lo ano µ ( c ) Por oro lado, noemo que a parir de la CPO podemo depejar en cada ecuación el conumo como función del muliplicador. Para el cao de la función de uilidad u( c) = lnc ea ecuacione e ranforman en: c = µ c β ( r) µ = + β ( r) µ c = + c = β ( r) + µ c = β ( r) + µ Ee conjuno de ecuacione y la rericción e pueden ecribir como un iema de ecuacione lineale con ( + ) incógnia y ( + ) ecuacione. En lugar de formar el iema, reemplacemo el conumo de cada período en la rericción de preupueo agregada: W β =, reula el valor del muliplicador: µ = + β µ = β W El conumo de cada período e enonce igual a: c β = W β + β c = β ( + r) W β + ( ) β c = β + r W β + c = β + r W β + β ( ) 4
c = β + r W β + β ( ) Por lo ano, el conumo e una función que depende del ipo de ineré, del facor de decueno ineremporal y (linealmene) de la riqueza inicial. La función de acumulación de acivo, b, la podemo obener a parir de la función de conumo hallada. Inegrando la rericción de preupueo ineremporal enre y y uilizando la condición inicial obenemo: b = b ( + r) + ( + r) ( y c ), = reemplazando, de acuerdo con el reulado obenido, β c por β ( + r) W volviendo a ordenar érmino reula la rayecoria emporal de lo acivo: β + β b = ( + r) b W ( r ) y + + + β = Finalmene, para aegurar que el puno hallado ea un máximo del problema debemo verificar la condicione de egundo orden. En ee cao, dado que la función objeivo e ericamene cóncava (e una combinación lineal de funcione ericamene cóncava) y la rericción e convexa, ea condicione on uficiene para aegurar que el puno enconrado e un máximo global [Sydaeer y Hammond, pp. 558-59, 996]. Aquí ermina la olución del problema de horizone de iempo finio. En mucha ocaione, por razone de menor complejidad en lo cálculo (enre ora), e rabaja con problema de horizone infinio... Horizone de iempo infinio La expreione ane obenida e implifican i conideramo que el horizone de iempo e infinio,. En ee cao, para que la región facible de conumo eé acoada e neceario aumir que el valor preene del ingreo ea acoado (en el largo plazo el ingreo no puede crecer a una aa uperior a la aa de ineré), de ea manera la riqueza del agene e finia. Ademá, obervando la rericción de preupueo agregada, ambién debemo exigir, para que el conumo no ea an elevado como el agene quiera, que en el largo plazo e aifaga: b + lim + = ( + r) Ee límie e conocido como condición de ranveralidad (o auencia de juego de Ponzi), e equivalene a la condición de holgura complemenaria para el problema de horizone finio. Dicha rericción indica que en el largo plazo lo acivo o paivo no pueden crecer a una aa uperior al ipo de ineré. La rericción agregada del agene reula er enonce: y b + La rericción de preupueo e puede ecribir c W = +. Ea rericción, cuya = ( + r) variable on el conumo de cada período, e lineal y, por lo ano, convexa (la rericcione de no negaividad del conumo, c, on ambién convexa). 5
c = b + y = + r = + r La función conumo, cualquiera ea el período de iempo, e igual a: ( ) ( β) c β r W = +, donde W b + y + y =, y la acumulación de acivo: ( ) ( β ) ( ), = b = + r b W + + r y que ambién puede expreare como: b = β ( + r) W y = En alguno cao la olución, en lugar de hacer referencia a la riqueza inicial, puede enconrare expreada en érmino de la riqueza del período corriene...3 Expreión de la olución en érmino de la riqueza corriene Vamo a explorar ahora cómo podemo exprear la olución pero en érmino de la riqueza de cada período W en lugar de la riqueza del período inicial W. Enendemo por riqueza del período a la uma de lo acivo iniciale de ee período má el valor preene de la corriene fuura de ingreo eperado a parir de ee período incluive. E decir: W b + y + y =+ Deplazándola un período hacia delane, la riqueza poee la iguiene erucura recuriva: uiuyendo + + + + + =+ W b y y, b + por ( r) ( y b c ) + + y ordenando érmino, W+ ( + r) b + y + y ( + r) c =+, el érmino enre corchee e W, por lo ano: W+ ( + r) ( W c) Inegrando ea ecuación en diferencia enre y obenemo: ( ) ( ), = W = + r W + r c y reemplazando el conumo por la funcione ane enconrada (en el problema de horizone infinio) reula: 6
( ) W = β + r W Por lo ano, la función conumo e puede ecribir como una función de la riqueza del período corriene: c = β W ( =,,, ) ( ) O en forma equivalene: c = ( β ) b + y + y =+ El agene conume en cada período una fracción ( β ) de la riqueza del período. El facor ( β ) puede inerpreare como la propenión marginal a conumir de la riqueza. En el apéndice moramo cómo e modifican ea fórmula para el problema de horizone finio...4 La función de uilidad indireca o función valor Reemplazando el conumo de cada período en la función de uilidad reula la uilidad indireca o función valor: ( β ) β β β β ( β) ( β) ln v( W ) = + ln + ln( + ) ln r + β W Nóee que ea función depende de variable exógena y la riqueza inicial.. Muliplicadore de Lagrange dinámico.. El problema Si uilizamo un muliplicador de Lagrange para cada una de la rericcione el problema puede expreare de la forma iguiene: { c, b, λ } + = { β ( c) + λ ( + r) ( y + b c) b+ } Max u = b dado.a: b + La CPO orden e: : β u c λ + r = ( =,,,, ) c ( ) ( ) λ : ( + r) ( y + b c ) b + = ( =,,,, ) b + λ ( r) : b + : + + λ = ( =,,,, ) λ Má la condición de holgura complemenaria: b = λ + Uilizando la primera y ercera ecuación reula: + r u c = u c ( ) ( ) ( ) β + 7
Ea ecuación e puede inerprear como una condición de arbiraje del conumo en el iempo: el agene eará indiferene enre demandar una unidad meno hoy y ( + r) unidade adicionale mañana (el rendimieno de ea unidad ahorrada) iempre que la deuilidad marginal corriene, u ( c ), ea igual a la uilidad marginal de ea unidade adicionale mañana,( + r) u ( c + ), en érmino de uilidad preene, β ( + r) u ( c + ). Luego, la re primera ecuacione e pueden volver a ecribir como: + r u c = u c ( ) ( ) ( ) β + ( ) ( ) + r y + b c b + = ( =,,,, ) Ee e un iema de ecuacione en diferencia de primer orden en el conumo y lo acivo. Vamo a uponer que el horizone de iempo e infinio. Una olución paricular del iema e obiene eableciendo condicione de conorno. La primera de ea proviene de la condición inicial del problema, b. La egunda e obiene a parir de fijar una condición erminal o de ranveralidad. La ercera ecuación, que e una ecuación en diferencia en lo muliplicadore, e puede inegrar y reula: λ = λ ( + r), reemplazando ahora λ en la condición de holgura complemenaria y aplicando límie obenemo nuevamene la condición de ranveralidad: + λ lim = b ( + r) Como ejemplo paricular, para hallar una olución explícia del modelo, vamo a uponer u c = lnc. El problema que reula e el iguiene: la mima función de uilidad que ane, ( ) β ( + r) c = c+ ( ) ( ) + r y + b c b+ = b dado b + lim = ( + r) En la primera ecuación el conumo e encuenra ailado del nivel de acivo. Inegrando enre el período inicial y un período cualquiera > obenemo: ( ) c = β + r c Inegrando ahora la egunda ecuación enre y, paando al límie cuando y uilizando la egunda condición de conorno: b + y + y = c + c =+ + r =+ + r Reemplazando la primera olución en la egunda, implificando érmino, depejando c reordenando érmino obenemo la función de conumo ane hallada: c = ( β ) b + y + y =+ 8
.. Diagrama de fae para horizone finio La primera figura, abajo, muera el diagrama de fae correpondiene al conumo y lo acivo para el problema de horizone finio, donde el ingreo e conane y uponemo β ( + r) > (el endero de conumo e creciene). La información que uilizamo para u conrucción e la iguiene: Parimo del iema deerminado por la CPO: c+ c = β ( + r) c b+ b = ( + r) c + r b + ( + r) y La línea de demarcación e obienen haciendo c y b igual a cero. En al cao urgen la iguiene relacione: c = = c ( ) c r r b y = + b = + La primera e una reca uperpuea al eje de abcia mienra la egunda ora reca (pero con pendiene inferior a la unidad) de ordenada al origen igual a y y que cora al eje de abcia en ( + r) r y. Luego, lo auovecore v = ( ) y v = ( β ) indican la direccione de movimieno donde la relación enre el conumo y lo acivo e lineal. El primer auovecor e horizonal (al como indican la línea de flecha) y el egundo poee pendiene ( β ) que dada la hipóei β ( + r) > implica que e encuenra por debajo de la reca de demarcación b =. Para un valor de b ( >, por ejemplo) a parir de la función conumo obenemo c : β + r c = b + y + + β ( + r) r Se puede demorar que c e encuenra por arriba de la reca deerminada por el egundo auovecor (véae el apéndice). Si aumimo que c pare por debajo de la línea de demarcación de b, enonce inicialmene el conumo y lo acivo aumenan haa b = y luego lo acivo comienzan a diminuir mienra el conumo igue creciendo. En el inane final e alcanza b =. 9
c ( b c ) ( W ) +, =, = b y c = c ( + r) r y b b Figura Conumo y acumulación de acivo. Supueo: u = ln( c), y y, β ( + r) > y finio. En la figura imulamo el comporamieno de lo acivo, del conumo y la riqueza para un nivel de ingreo conane a lo largo de 5 período, una aa de ineré de 6% y una aa de impaciencia de 4%. El conumidor pare con un nivel de acivo poiivo. La aa de ineré relaivamene ala con repeco a la de impaciencia e un fuere incenivo para ahorrar: lo acivo crecen má rápido que el conumo y la riqueza ambién aumena. Luego, debido a que la corriene fuura de ingreo diminuye cuando no acercamo al período final, la riqueza comienza a decender de la mima manera que lo hacen lo acivo. El conumo, in embargo, igue creciendo oenido por la diminución de la enencia de acivo. Nóee que en el úlimo período e conume la riqueza remanene. 5 Riqueza Conumo Acivo 5 5 4 6 8 4 6 8 4 6 iempo Figura rayecoria de la riqueza, acivo y conumo. Supueo: y, r = 6%, ρ = 4%, = 5, b =,.
..3 Un proceo paricular para el ingreo Como cao paricular upongamo que el ingreo igue un proceo auorregreivo de primer orden, y = λ y, con λ >, enonce: iempre que λ ( r) + r c = ( β ) b + y + r λ, + <. El conumo depende del ingreo corriene, reponde poiivamene al aumeno de la aa de crecimieno del ingreo y negaivamene al crecimieno del ipo de ineré. Solución por cálculo de variacione Si uiuimo la rericción preupuearia en la función de uilidad llegamo al problema iguiene: Max { b } + = =.a: b r b b β u y + dado b + La CPO e obienen derivando con repeco a b + : β u r b b + y b u r b b b + β + + y + + + + + + + =, ( =,,,, ) + r + r r b b+ + b β y u + ( = ) + r La condición de holgura complemenaria e: b + β u ( c ) = + r Si e finio, ea úlima ecuación y el upueo de uilidad ericamene creciene implican b + =. Analicemo ahora el problema de horizone infinio. La primera ecuación implica β ( + r) u ( c ) = u ( c ). Reemplazando en la anerior y omando límie reula la condición de ranveralidad 3 : b + lim + = ( + r) Paemo a reolver la ecuación en diferencia de egundo orden que obuvimo inicialmene 4. La condicione de conorno on la mima que ane. 3 Una prueba formal de ea condición puede enconrare en Sokey y Luca [989, pp. 98-99]. 4 Nóee que ea ecuación poee el mimo orden que la ecuación de Euler de cálculo de variacione.
Si uponemo la mima función de uilidad que en lo cao aneriore reula la iguiene ecuación en diferencia finia: ( ) ( β) β ( ) ( ) β ( ) λ = + > y λ ( ) β + + + + + + = + + + b r b r b r y r y La raíce caraceríica on: r = + r. Ea ecuación en diferencia puede reolvere a parir del méodo de variación de la conane [Aiub, pp. -, 985], aunque hay oro méodo diponible [Blanchard y Ficher, pp. 6-66, 989]. Dado lo valore de la raíce y la condicione de conorno, para que la olución de la ecuación complea ea acoada e neceario emplear la mayor raíz para inegrar lo valore fuuro de la variable cuyo comporamieno e exógeno. La olución general puede repreenare en la forma iguiene: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) b = m + r + m β + r + λ f λ f λ λ + = = Donde m y m on do conane que e deerminan a parir de la condicione de f + r y β + r y. La uma enre corchee on iguale a: conorno en ano ( ) ( ) + y + + r y = + r y + y + y = =+ + r + r ( ) ( λ ) β ( ) β ( ) ( β) ( ) + β ( ) ( ) β ( ) ( ) β ( ) + r + r y+ + r y= + r y + r y, = reemplazando en la olución y ordenando érmino obenemo: ( r) β y β + ( ) β ( ) = + r + r β b = m + r + m + r y + y Supongamo que para deerminar la conane fijamo do condicione de conorno, b y b +. Una vez enconrado lo valore de éa evaluamo la mima para. Efecuando ea operacione obenemo: b lim m = lim + lim lim + + ( + r) ( β ) ( + r) b + m = b + y y lim + = + r β y ( r) + El upueo acerca de la aa de crecimieno del ingreo y la condición de ranveralidad implican: lim m lim = = + = β m b y y Suiuyendo la conane en la olución reula:
b r b y y que ambién e puede exprear como: = β ( + ) + = + r = + r b = β ( + r) W y, =, La función conumo e obiene reemplazando la expreión recién enconrada en c = y + + r r b b. Operando de ea forma obenemo: ( ) ( ) ( ) ( β) c = β + r W 3 Solución por programación dinámica 3. Inroducción al méodo Para inroducir el méodo de programación dinámica vamo a morar cómo e puede ecribir el problema en eapa. La función de uilidad e la mima que en lo ejemplo aneriore. El planeo del problema e el iguiene:. { c, W } + =.a: ( c ) + β ( c ) + β ( c ) + + β ( c ) + β ( c ) Max u u u u u ( ) ( ) W = + r W c W > W + + Para implificar lo cálculo ahora inerpreamo W como el ock de acivo del período En el úlimo período el problema del conumidor conie en elegir u nivel de conumo para ee período y el nivel de acivo que deearía dejar ra erminar u vida: Max u c c, W+ ( ).a: W ( r) ( W c ) + = + El nivel de conumo que maximiza la uilidad e elegir (recordemo que W + ): c = W W + = La uilidad derivada del nivel de acivo del úlimo período, v ( ) v ( W ) u( W ) = ln( W ) W, e igual a: Ea e la función valor del período final. Nóee que dede el puno de via del úlimo período,, W viene dado del período. Reuelo enonce el problema del conumidor en el úlimo período paemo a reolver el problema que enfrena en el período : Max u c, W ( c ) β v ( W ) + 3
o,.a: W = ( + r) ( W c ) Suiuyendo la rericción en la función objeivo: c ( c ) + β ( + r) ( W c ) Max u v Dada la funcione de uilidad y valor: c ( c ) + β ( + r) ( W c ) Max ln ln La CPO orden e: u ( c) β ( + r) v ( + r) ( W c) =, Depejamo c : c = W + β W β ( + r) + β = W, β + = c r W c ( r) ( + ) ( ) Reemplazando lo valore hallado en la función objeivo obenemo la función valor para el período : β ( + r) β v ( W ) = u W β v W β + + +, ( W ) = ( + β ) ( W ) ( + β) + β ( + r) + ( β) v ln ln ln ln Volvemo a operar de la mima forma en el período para enconrar c y W. Max u c, W ( c ) + β v ( W ).a: W = ( + r) ( W c ) Suiuyendo la rericción en la función objeivo: c ( c ) + β ( + r) ( W c ) Max u v Reemplazando por la función de uilidad y la función valor del período : { ( ) ( ) ( ) ( ) } ( c ) + β ( + β) ( + r) ( W c ) + β + β ( + r + β ) Max ln c ln ln ln ln Obenemo la CPO: c = W + β + β β + =, c r W c ( β) ( + ) ( ) 4
W β ( + β ) ( + r) + β + β = W ( W ) = ( + β + β ) ( W ) ( + β + β ) + ( β + β ) ( + r) + ( β) v ln ln ln ln Siguiendo con el procedimieno podemo enconrar c 3, W y v : c = W + β + β + β 3 3 3 W ( ) ( r) β + β + β + = W + β + β + β 3 3 3 3 3 ( W ) = ( + β + β + β ) ( W ) ( + β + β + β ) + ( β + β + β ) ( + r) + ( β) v3 3 ln 3 ln 3 ln ln Supongamo que llegamo al período, haciendo = el problema e puede ecribir: Max u c, W+ ( c ) + β v ( W ) + +.a: W ( r) ( W c ) + = + Por inducción complea e puede demorar que c, W + y v poeen la iguiene forma: c = W + β + + β W ( ) ( r) β + β + + β + = W + β + + β + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) W = + β + + β W + β + + β + β + β + + β ) ( + r) + ( β) v ln ln ln ln Luego, en el período inicial el conumo, lo acivo y la uilidad indireca on iguale a 5 : c β = W β + β W = β ( + r) W β + + + + β β β β β v( W) = ln( W) ln + ln( + r) + ln( β ) β β β β β 5 La uma S = ( β + β + + β ) de la ecuación e S β e puede ecribir como S = β S + β, luego, la olución β + β β β =. β β β 5
Si el horizone de iempo e infinio la función valor converge a la función ane obenida: ln ( W ) ln ( β ) β v( W) = + + ln ( + r) + ln( β ) β β ( β ) Nóee que éa función valor depende de variable exógena y de la riqueza del período pero no depende explíciamene del período de iempo coniderado. Haciendo ender a infinio en v ( W ) obenemo: ln ( W ) ln ( β ) β v( W ) = + + ln ( r) ln( β ) β β + +, ( β ) que e independiene de. 3. Forma general del méodo El procedimieno ane eguido no indica que podemo, en principio, reducir la dimenionalidad del problema i a parir de coniderar reuelo el problema dede el período + en adelane bucamo la olución para el período : Max u c, W+ { ( c) + β v( W+ )} ( ) W+ = R W c.a: W > Donde v( W + ) e el valor máximo de la corriene de uilidad para el problema que e inicia en + y R ( + r). Reemplazando la ecuación de movimieno en la función objeivo obenemo la iguiene ecuación funcional 6 : ( W) = { ( W R W+ ) + β ( W+ ) } v Max u v W+ Noemo que i el conumo e nulo enonce W+ = R W mienra que i e igual a lo acivo del período, W + =, por lo ano W+ R W. El problema conie en hallar v W al que luego de aplicar el operador una función ( ) ( v) Max u ( W, W ) β v( W ) W R W nuevamene la mima función ( ) { } + obre ea función deconocida obengamo v W con que parimo. En ee enido, lo que eamo bucando e un puno fijo del operador (en un epacio de funcione). Un procedimieno que uele eguire para hallar dicha función e el que igue. 3.. Ieración de la función de valor Parimo de una función inicial y aplicamo uceivamene el operador para ver hacia que función converge. El operador enonce acúa de la iguiene manera (ahora no e neceario diinguir el período de iempo y por eo uilizamo el aceno para denoar el próximo período): j+ ( W) = { ( W R W ) + β j( W )} v Max u v W R W 6 Ea ecuación e conoce con el nombre de ecuación de Bellman (véae, por ejemplo, Sargen [987, p. ] o el rabajo original de Bellman [p., 965]). 6
Donde R + r. Supongamo que iniciamo la area con v ( W ) : Enonce v éa en el problema: W = y ( W) ln( W) A parir de la CPO obenemo: v ( W) = Max { ln( W R W )} W R W =. Aplicamo la egunda ieración luego de reemplazar ( W) = { ( W R W ) + β ( W )} v Max ln ln W R W β R W = W, uiuyendo en la función objeivo: + β ( W) = ( + β) ( W) ( + β) + β ( β + R) v ln ln ln ln Si aplicamo nuevamene el operador a parir de ee reulado obenemo: ( W) = ( + β + β ) ( W) ( + β + β ) + ( β + β ) ( β + R) v3 ln ln ln ln v n + W e igual a: Por el principio de inducción complea podemo probar que ( ) v ( W) α ln( W) ln( α ) γ ( lnβ lnr) n+ = n n + n + Donde: αn = β αn + α = n β γn = β γn + β β Eo coeficiene convergen a: limn αn = β lim n γ n = β ( β ) γ = v W = lim v W = ln W + ln + ln + ln R * Por lo ano, ( ) n n( ) ( ) ( β) β β ( β ) ( β ) Ahora, ademá de verificar que ea función e un puno fijo del operador vamo a enconrar la función que relaciona W con W. β β v( W) = Max ln ( W R W ) + ln ( W ) ln ( β) ( ln β ln R) W R W β + + + ( β ) De la CPO reula: W = β R W Volviendo a uiuir W = β R W en la función objeivo obenemo la mima función * v W = v W. Por oro lado, reemplazando W = β R W en la c = β W. con que parimo: ( ) ( ) rericción de preupueo alcanzamo la función conumo: ( ) 7
3.. Ecuación de Euler A parir de la ecuación de Bellman podemo obener ambién la condición cláica dada por la ecuación de Euler. Aplicando la condición de primer orden a dicha ecuación: W + : R u ( c) + β v ( W+ ) = Supongamo que conocemo la función v( ) y ea e diferenciable. El eorema obre envolvene no permie conocer cómo cambia la uilidad en el máximo i modificamo un parámero del problema [Sydaeer y Hammond, pp. 54-44, 996]. Derivando con repeco a lo acivo iniciale reula: v ( W ) = u ( c ) Deplazando éa un período hacia delane y uiuyendo en la primera: u c = R u c ( ) ( ) β + Ea ecuación en diferencia má la rericción de preupueo forman, nuevamene, el mimo iema de ecuacione en diferencia que en lo cao aneriore. Reemplazando la rericción en la primera: ( W ) ( R W+ β R u W+ R W+ ) u =, que e la ecuación de Euler de cálculo de variacione. III Suavizado de erie emporale y = el problema conie en decomponer la mima en una Dada una erie emporal { } componene cíclica, { c }, y ora de endencia o crecimieno, { } = Min { g } = ( c) + λ ( g g) ( g g) = = g = al que 7 :.a: y = g + c =,,, En Economía ee méodo para obener la endencia de una erie e conoce como filro de Hodrick y Preco (véae Hodrick y Preco [997]). La conane λ penaliza la variabilidad en la componene de crecimieno: cuano má elevado e λ, má uave e el comporamieno de la erie olución. Reemplazando la rericción en la función objeivo: { g } = ( y g) + λ ( g g + g) Min = = El problema poee la iguiene erucura recuriva [Bellman, pp. 58-59, 965]: 7 Por lo general la erie original e ranforma aplicando logarimo naural. Aquí y e eniende que e una erie ya ranformada. La endencia, g, e el logarimo de la endencia de la erie original ( g ln x), por lo ano g g ln x ln x = ln x x = ln + δ δ, donde δ < e la aa de crecimieno de x enre ( ) ( ) y, e la aa de crecimieno en ee inervalo. 8
{ } ( g g ) = ( y g ) + λ ( g g + g ) + ( g g ) f, Min f, + g 3 Ejemplo: { } {,5,} y = = y λ = 4 Aplicando de manera recuriva la ecuación anerior obenemo: 54 49 g =, 57 g =, 343 743 g =, 343 95 g = y 3 343 g =.86 343 La erie original, la endencia y el ciclo aparecen graficado en la figura 3. 6 5 4 3-3 c() y() g() - iempo Figura 3 Decompoición de una erie en ciclo y endencia. 9
Apéndice..3 rayecoria de la riqueza y conumo en función de la riqueza para finio A parir de la definición de riqueza: W b + y + y, =+ operando de la mima manera que para le cao de horizone infinio llegamo a: ( ) ( ) W + r W c, inegrando enre y obenemo: ( ) ( ) = W = + r W + r c, reemplazando el β conumo por la función hallada ane: c = β ( + r) W β + y reolviendo l aerie geomérica reula la rayecoria de la riqueza: + β β W = ( + r) W + β Suiuyendo pare de ea expreión en la rayecoria del conumo obenemo: c = β ( β) W β β + Finalmene, nóee que haciendo = reula que el conumo del período final e igual a la riqueza del mimo período: c = W... Prueba: c e encuenra por encima de la rama del egundo auovecor. La componene del egundo auovecor on v = ( β ). Dado que el cenro de coordenada de lo auovecore e encuenra en ( ( + r) r y,), cuando b = b (medido con repeco al cenro de coordenada (, ) ), v( b) = b + ( + r) r y y v ( b) = ( β ) b + ( + r) r y (medido con repeco al cenro de coordenada de lo auovecore). Por lo ano no pregunamo i c > v ( b ), e decir: β + r + r c = b + y > b + y = v b β ( + r) r r Noemo que e verifica la deigualdad. omando lo érmino individualmene: ( β ) ( ) + + b > b, e verifica e forma inmediaa. β (i) ( β ) β + β + r + r (ii) y ( β ) y + + > β ( + r) r r volviendo a ordenar la deigualdad obenemo: β ( r) hipóei., implificando érmino y + + + >, que e verifica por
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