Límites de funciones de varias variables.

Límites continuidad de funciones de varias variables Límites de funciones de varias variables. En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables algunas de las técnicas utilizadas en su cálculo. Después, basándose en este concepto, se establece la definición de función continua cómo estudiar la continuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares después se etiende la definición a los campos vectoriales. Límite de un campo escalar. Antes de comenzar con los campos escalares conviene recordar la definición de límite en un punto de una función real de variable real = f () de la forma: donde D=(a,b) es un intervalo abierto. f :D En este conteto se dice que dado D {a,b} el límite de la función = f (), cuando tiende a, es L si ε > eiste δ > tal que D con tal que < δ se tenga que f ( ) L < ε. NOTAS: 1ª. Se destaca que esta definición de límite está basada en la idea topológica de proimidad, entre los valores de la variable con los de la función f () con L. ª. También es valioso darse cuenta de que esta definición no proporciona ningún método para calcular el límite de una función en un punto. La definición sirve, no obstante, para verificar si dicho límite tiene un valor de terminado. 3ª. También se debe destacar que en el límite de una función en un punto no influe el valor f ( ) de la función en dicho punto. Para etender este concepto a un campo escalar es necesario ampliar la idea de proimidad n en el conjunto al espacio. Para ello se introduce la definición de bola abierta en n (que equivale al concepto de entrono de un punto en ). Definición: Se denomina bola abierta de centro radio r > al conjunto de todos los puntos n tales que < r. Esto es: B(,r) = { n / < r } NOTAS: 1ª. Obsérvese que en este caso los elementos de representan como tales (esto es con una flechita encima). n son vectores por eso se ª. En el caso de la bola abierta B(,r) corresponde a los puntos interiores al círculo (esto es sin contar la circunferencia) de centro 3 radio r. En el caso de se trataría de los puntos interiores a una esfera. Una vez introducido el concepto de bola abierta aparece, de forma natural, el de conjunto n abierto como aquel subconjunto de que se ajusta a la siguiente definición. Definición: Se dice que el conjunto D r > tal que la bola B(,r) D. n es un conjunto abierto en NOTA: También se puede decir que D es abierto si para todo una bola abierta de centro que esté totalmente contenida en D. n si D eiste D es posible encontrar 1

Límites continuidad de funciones de varias variables Asimismo es necesario introducir el concepto de frontera de un conjunto D definición en este caso es: n. La Definición: Se dice que un punto n es un punto frontera de D n si para cualquier bola abierta B(,r) se tiene que B(,r) D φ B( n,r) ( -D) φ. NOTA. La frontera de un conjunto D n, simbolizada por D, es el conjunto de todos sus puntos frontera. En este momento, con todas las definiciones anteriores establecidas, se puede introducir el concepto de límite de un campo escalar en un punto. Definición: Sea el campo escalar de n variables, n > de la forma: f :D n siendo D abierto, sea un punto (D D). Se dice que L es el límite de f () cuando si ε > eiste δ > tal que D con < δ se cumple que f ( ) L < ε. Este hecho se simboliza por la epresión: lim f ( ) = L NOTAS: 1ª. Una definición análoga a esta puede ser la siguiente: En las condiciones anteriores se dice que lim f ( ) = L si ε > eiste δ > tal que con B(,δ ) D se tiene que f () B(,ε ). ª.- Se conservan todas las propiedades sobre la suma, producto cociente de límites que tenían los límites de las funciones reales de variable real. 3ª.- En condiciones normales el cálculo de límites de campos escalares se hace sustituendo el valor en la función f (). Cuando se producen indeterminaciones es necesario estudiar el límite con más detalle para determinar su naturaleza. 4ª.- En un campo escalar de dos variables, cuando ( tiende a (, ) se definen los límites iterados como: lim (lim f ( ) lim (lim f ( ) Entonces, si la función f ( tiene límite L, cuando ( tiende a (, ), ambos límites iterados eisten también toman el valor L. Sin embargo, la eistencia e igualdad de límites iterados no conduce a la eistencia de límite. Este hecho es útil para determinar cual puede ser el límite en casos conflictivos. EJEMPLO: Calcular el límite de la función z = en los puntos (1,) (,). En primer lugar, el cálculo del límite cuando (, tiende a (1,) se efectúa, de forma sencilla, como: 5 1 (1,) = = 1+ 4 En cambio, al calcular el límite en el origen de coordenadas, de la misma forma, se

Límites continuidad de funciones de varias variables obtiene una indeterminación: (,) = + (indeterminación). Utilizando los límites iterados se puede ver que, en el caso de eistir, el límite debería ser L=: lim (lim ) = lim =, e igualmente, lim (lim ) = + Para poder demostrar que es el valor del límite cuando (, (,) ha que poder encontrar un valorδ > de tal forma que cuando se tenga la acotación (, (,) < δ se esté seguro de que también se satisface la acotación f ( < ε, siendo ε > un valor cualquiera (en general el valor δ dependerá del valor ε, esto es δ = δ (ε ) ). como En este caso + + (, (,) < δ se considera como < δ f ( < ε < ε. En este conteto, el proceso de demostración se basa en establecer una cadena de desigualdades que acoten el valor de, con ello, la acotación de por alguna epresión que dependa de también supondrá una acotación de. Encontrar esta sucesión de acotaciones no siempre es posible ni fácil. Tampoco eisten reglas fijas para hallarla. En muchas ocasiones depende de la pericia del usuario En este caso una posibilidad es: = 5 5 5 Esto es, se ha encontrado la acotación 5. Entonces dado cualquier valor de ε > se toma un valor < δ < ε / 5 (ha infinitos). Con este valor δ > se tiene asegurado que cuando (, (,) = < δ el valor de f ( = tanto: ε < 5δ = 5 = ε. 5 está acotado por 5 Todo lo anterior confirma que (,) = que a su vez esta acotado por 5 δ por 3

Límites continuidad de funciones de varias variables NOTA: La demostración de que el límite de una función en un punto eiste, además, calcularlo no siempre es una tarea fácil. Por otro lado, utilizar la definición para determinar la validez de un límite puede ser, muchas veces, difícil engorroso. A veces es posible encontrar algún método alternativo que permita calcular el límite de forma directa. En cualquier caso, el problema más importante que se encuentra en este cálculo es la necesidad de asegurar la eistencia de límite en un punto sea cual sea la forma de aproimarse al mismo. Muchas veces se utiliza este hecho para verificar la no eistencia de límite en un punto. Esto se suele hacer viendo que el valor del límite depende de la forma de acercamiento al mismo. Este particular se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO: Estudiar: (,) En esta ocasión, no es posible obtener el valor del límite sustituendo directamente los valores = e = en la epresión de la función, pues se obtiene una indeterminación. El estudio de los límites iterados conduce a lim (lim ) = lim = ; lim (lim ) = + Pero en este caso, en vez de recurrir a la definición, es conveniente estudiar el límite cuando el acercamiento a (,) se hace de otra forma, por ejemplo a través de la recta =. Esto es, por puntos de la forma (, ) con. En este caso el límite se calcula así: (,) 1 = ) (,) = + Es decir, se obtiene un valor del límite que no coincide con los límites iterados. Por tanto el límite anterior no eiste. A veces es posible calcular el límite de una función de dos variables, cuando (, (,), mediante el cambio a coordenadas polares. En ese caso se hace la sustitución: = r cos( θ ), = r sen( θ ) la tendencia (, (,) por r. Entonces, en algunas ocasiones, cuando el límite es independiente del valor de θ se puede obtener su valor. Cuando el límite depende de θ resulta obvio que no eiste. EJEMPLO: En el límite anterior: (,) se puede aplicar la técnica del paso a polares para determinar el límite: 4

Límites continuidad de funciones de varias variables En este caso se obtiene: (,) = lim 3 5r cos ( θ ) sen( θ ) r r (cos ( θ ) + sen ( θ )) = lim r 5r cos ( θ ) sen( θ ) Teniendo en cuenta que cos ( θ ) sen( θ ) está acotado se desprende que este límite es. (,) = lim r 5r cos ( θ ) sen( θ ) = Si se estudia el otro ejemplo por este método se obtiene: EJEMPLO: Estudiar el límite (,) mediante su cambio a polares. (,) r cos( θ ) sen( θ ) = lim r r (cos ( θ ) + sen ( θ )) = lim θ θ r cos( ) sen( ) En este caso, al haber desaparecido la variable r, el valor del límite depende únicamente del valor de θ (esto es, de la dirección de aproimación), por lo tanto, este límite no eiste. Límite de un campo vectorial. En el caso de un campo vectorial de la forma f :D n m Eistirá el límite de f () = ( f1( ), f( ),..., fm( )) cuando si eiste el límite de cada una de sus componentes (cada componente es un campo escalar). Esto es, si f () = ( f1( ), f( ),..., fm( )) entonces: lim f ( ) = ( L, L,..., Lm ) lim f ( ) = L, lim f ( ) = L,...,lim 1 1 fm1( ) = Lm 1 NOTA: Se conservan todas las propiedades de la suma, producto cociente de límites de los límites de los campos escalares. 5

Límites continuidad de funciones de varias variables Continuidad de funciones de varias variables. En este apartado se introduce la definición de función de varias variables continua en un punto. La forma de definir la continuidad en este conteto es análoga a la utilizada para funciones reales de variable real. Se comienza con la continuidad de campos escalares se etiende, de forma natural, para campos vectoriales. Continuidad de campos escalares. La definición de campo escalar continuo en un punto es la siguiente. Definición: Sea el campo escalar de n variables, n > de la forma: f :D n siendo D abierto, sea un punto D. Se dice que f () es continua en si: lim f ( ) = f ( ) Si la función no es continua se denomina discontinua. NOTAS: 1ª. Tipos de discontinuidad: En esta definición se determina que para establecer la continuidad de f () en el punto son necesarias tres cosas: a) La eistencia de lim f ( ) =L. b) Que la función f () esté definida en D. c) Que ambos valores sean iguales. Si alguna de las tres condiciones no se cumple la función f () es discontinua en D. De todas estas condiciones la más importante es la eistencia del límite. Si el límite no eiste no ha nada que hacer, pero si la continuidad falla por alguna de las otras razones es posible hacer un apaño para que la función sea continua. Este apaño consiste en redefinir la función en ese punto. Por esta razón la discontinuidad de una función en un punto puede ser de dos tipos: 1.- Discontinuidad esencial. Cuando no eiste el límite no ha nada que hacer..- Discontinuidad evitable. Cuando eistiendo el límite la función no está definida o su valor no coincide con dicho límite ( Hombre!... Pero se puede arreglar). ª. Se conservan todas las propiedades de continuidad de la suma, producto cociente de funciones continuas que tenían las funciones reales de variable real continuas. 3ª. Se dice que un campo escalar en continuo en un conjunto abierto D n si es continuo en cada uno de los puntos de D. EJEMPLO: La función f ( = es continua en todo punto ( tal que (, (,). En el punto (,) la función no está definida pues la epresión anterior no tiene sentido cuando (, = (,). Sin embargo, la función sí tiene límite cuando (, (,). Esto es: 6

Límites continuidad de funciones de varias variables (,) = Se trata, por tanto, de una discontinuidad evitable. Esta circunstancia permite hacer que la función sea continua añadiendo a su definición el valor f (,) =. De esta manera también será continua en (, = (,). La función redefinida tendrá por epresión: f ( = si ( (,) si ( = (,) EJEMPLO: La función: f ( = también es continua en todos los puntos ( tales que (, (,). Sin embargo, en el punto (, = (,) no sólo no está definida, sino que no eiste su límite cuando (, (,). En este caso se trata de una discontinuidad esencial n es posible, de ninguna manera, redefinir la función encontrar un valor para f (,) que remedie esta situación de discontinuidad. Continuidad de campos vectoriales. En el caso de un campo vectorial de la forma f :D n m La función f () = ( f1( ), f( ),..., fm( )) será continua en D si lo es cada una de sus componentes. Esto, es si todas las funciones f1( ), f( ),..., fm( ) son continuas en. NOTA: Se conservan todas las propiedades de la suma, producto cociente de funciones continuas en campos escalares. Composición de funciones. La composición de funciones es una operación entre funciones que permite obtener una función nueva, a partir de otras dos o más funciones, cuando se cumplen unas determinadas condiciones. En el caso de funciones reales de variable real se realizaba de la siguiente forma: Dadas dos funciones: g :I f :J tales que g (I) J, se podía construir la función f g :I definida por la epresión ( f g )() = f (g ()). En el caso de las funciones reales de variable real, la función compuesta es continua en un punto I si la función g() es continua en I, además, f( es continua en el punto = g( ) J. 7

Límites continuidad de funciones de varias variables Las funciones de varias variables también se pueden componer entre si. En este caso, es necesario tener en cuenta las dimensiones de los espacios inicial final de las funciones a que deben coincidir adecuadamente. Así, dada la función f :D podrá componerse con otra función de la forma g :H n tal que g ( H) D. Entonces, se podrá construir la función compuesta: n f g : H siendo ( f g ) ( 1,..., n) = f ( g1( 1,..., n), g( 1,..., n )) EJEMPLO: Sean las funciones f ( = + sen( ), g ( = ( u + w,uv + 3 3 en este caso la función compuesta es f g : que tiene por epresión ( f g ) ( u, = f ( g1(, g( ), esto es: ( f g ) ( u, = g 1 ( g( +sen ( g 1( + g( ) = ( u + w ) + (uv + 3 + sen( u + w + uv + 3 NOTA: También es posible establecer la composición de dos campos vectoriales de la forma: f :D m p g :H n m con g (H) D La continuidad de las funciones compuestas se asienta en la continuidad de las funciones que las componen. Así, en este mismo caso, la función f g : H n p será continua en H, si la función g es continua en H la función f es continua en g ( ) D. 8