Departamento: Física Aplicada Mecánica acional (ngeniería ndustrial) Curso 007-08 eometría de masas: Cálculos del tensor de nercia Tensor de inercia de una varilla delgada. Calculo del tensor de inercia en de una varilla delgada y uniforme, según las direcciones coordenadas indicadas en la figura. a densidad lineal de masa viene dada por dm d λ =, de donde dm = λ d ; si la varilla es O d m uniforme λ = M / a. Cálculo de los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados y dm y = 0, = 0 ( ) = 0 ( ) ( ) = + m. = 0 d ( ) = ( + ) / / λ / ; / ( ) = dm= d m, 0 = + y d ( ) ( ) / ( ) = λ y = ( ) = ( ) / ; M ( ) = ( + ) ; ( ) = M 8 8 b. Cálculo de los productos de inercia respecto de los planos coordenados ( ) d ( ) d = / y 0 = / 0 = / y 0 ( ) d m ; = ; ( ) = 0 m; = ; ( ) = 0 m; =, 0 = ( ) = 0 os valores de los productos de inercia calculados son concordantes con que las direcciones coordenadas son principales de inercia: el eje OZ por ser normal al plano de simetría O, el O por ser eje de simetría y el O porque lo son los dos anteriores. 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 En consecuencia = M c. Cálculo del tensor en el punto O Para calcular el tensor en el punto O y en las mismas direcciones coordenadas solo debemos cambiar los límites de integración de las integrales involucradas. ( O) λ = ; ( O) = M 0 0 0 0 ( O) = M 0 0 0 0 Como los tensores calculados son diagonales quiere decir que las direcciones en las que está epresado el tensor son principales.
eometría de masas :.Aplicaciones del tensor de nercia d. Cálculo en direcciones rotadas Por último calcularemos el tensor en unas direcciones rotadas respecto de las anteriores ( Z) dm / ' ' ( ) = y' dm= sen θ d m; ' ' ( ) = M sen θ / / y' y' ( ) = ' dm= cos θ d m; ' '( ) = M cos θ / / ( ) = ( ' + y' ) dm= (cos θ sen θ) dm M + = / / ', y' ( ) = ' y' dm = cosθ senθ dm = M senθ cos / θ ( ) ' ' 0 ' ' = dm=, ( ) ' ' 0 y' ' = y dm = Con lo cual el tensor en en estas direcciones es θ y sen θ senθ cosθ 0 ( ) = M senθcosθ cos θ 0 0 0 O Z " ' ' " Tensor de inercia de una lámina rectangular Obtener el tensor de inercia de una lámina rectangular uniforme de dimensiones a b, en los puntos y A, según las direcciones coordenadas indicadas en la figura,. b y dy d ds a. Cálculo del tensor de nercia en el punto A a Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados Tomaremos coordenadas cartesianas: dm = λ ds, ds = d dy ( ) ( ) = y + dm, = 0 ( ) = λ y ds b/ a/ λ b/ a/ ( ) y dy d ( ) = Mb = ; m, = 0 / / ( a b ) = d dy ; d ( ) = ( + ) λ a/ b/ ( ) = M a m ( ) = ( ) + ( ) y d ( ) = ( + ) M a b ( ) = ( + ) Productos de inercia respecto de los planos coordenados Estas magnitudes son nulas porque las direcciones elegidas son principales de inercia: y por ser ejes de simetría y Z por ser normal a un plano de simetría (plano de figura). No obstante se calculan a continuación como ejercicio de comprobación. ( ) = dm ; a/ b/ λ a/ b/ ( ) d = ydy a/ b/ y ( ) = λ a/ b/ ( ) = 0 Mecánica acional (ndustriales) pag. / 6
eometría de masas :.Aplicaciones del tensor de nercia = m; 0 ; ( ) d ( ) d = m; 0 = ( ) = 0 = ( ) = 0 El tensor de inercia se epresa: b 0 0 ( ) = M 0 a 0 0 0 a + b b. Caso particular de un cuadrado de lado a Haciendo b=a en la epresión anterior. Se obtiene 0 0 0 0 ( ) = M a 0 0 Puede observarse que este tensor posee dos autovalores iguales λ =λ y. Como consecuencia, cualquier dirección contenida en el plano O que pase por es dirección principal de inercia y la epresión del tensor resulta invariante a las rotaciones del triedro Z alrededor del eje Z.. c. Cálculo del tensor de inercia en el punto A (basta cambiar los límites de integración) Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados: b a ( A) = λ y dy d 0 0 ; ( A) = Mb a b ( A) λ d dy 0 0 ( A) = M a = ; m ( A) = ( A) + ( A) A = + y d ( ) ( ) A = M a + b ( ) ( ) Productos de inercia respecto de los planos coordenados a b = 0 dy 0 ( A) λ d y = m; 0 ; ( A) d ( A) d a b y ( A) = λ = ( A ) = 0 = m; 0 = ( A ) = 0 El tensor de inercia se epresa: 0 0 b ab A = M ab a 0 0 4( a 4 0 ( ) 4 0 ( A) = Mab 4 + b ) Puede comprobarse que la dirección AZ es principal de inercia ( las direcciones A, A, no son principales. ( A) = ( A) = 0 ) y que Z Z Tensor de inercia de una esfera Obtener el tensor de inercia en y A, según las direcciones coordenadas indicadas en la figura, de una esfera homogénea de radio. A Mecánica acional (ndustriales) pag. / 6
eometría de masas :.Aplicaciones del tensor de nercia a. Cálculo del elemento de volumen en coordenadas esféricas. En coordenadas curvilíneas se obtiene mediante la epresión Z Donde J q d = J dq dq dq. i = representa el jacobiano de la transformación de j coordenadas; Esta transformación de coordenadas en esféricas es : = ρ senθcosϕ, y = ρ senθ senϕ, = ρ cosθ. Con ello J = ρ senθ, y el elemento de volumen vale d ρ senθ dρ dθ d = ϕ O θ ϕ Coordenadas esféricas b. Cálculo de los momentos de inercia os elementos del tensor de inercia pueden calcularse a partir de sus epresiones integrales en coordenadas cartesianas y efectuando posteriormente la trasformación a coordenadas esféricas. Como ejemplo se indica el cálculo de ( ) ( ) O = y + dm, dm = λ ρ senθ dρ dθ dϕ, Sustituyendo la transformación de coordenadas y dm queda = λ ( ρ sen θ sen ϕ+ ρ cos θ) ρ senθ dρ dϑ dϕ No obstante dada la simetría de la figura se utiliará un método alternativo fundamentado en las propiedades generales de los momentos de inercia ( ) + ( ) + ( ) = donde representa el momento de inercia respecto del punto Por raones de simetría los tres ejes son análogos, en consecuencia se cumple Sustituyendo y despejando se obtiene Cálculo de ( ) = ( ) = ( ) ( ) = y y( ) = ( ) = = ρ dm, d = λ ρρsenθdρdθ ϕ 4 M λ ρ dρ senθ dθ dϕ cos 0 0 0 = ρ θ ϕ 4 0 M 0 0 =, [ ] [ ] (). = () Sustituyendo () en () se obtiene los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados M ( ) = ( ) = ( ) = () c. Cálculo de los productos de inercia Por otra parte las direcciones coordenadas de la figura, son principales de inercia por constituir ejes de simetría, luego los productos de inercia son nulos. Con lo cual el tensor de inercia se epresa 0 0 ( ) = M 0 0 (4) 0 0 ρ P Mecánica acional (ndustriales) pag. 4 / 6
eometría de masas :.Aplicaciones del tensor de nercia Se observa que en este caso el tensor posee los tres autovalores iguales, lo que nos indica que cualquier dirección que pase por es principal de inercia y en consecuencia la epresión del tensor es invariante a cualquier rotación cuyo eje pase por. d. Tensor de inercia en el punto A según las direcciones coordenadas. El movimiento del tensor al punto A representa una traslación de la base del mismo, con lo cual puede obtenerse aplicando el teorema de Steiner., ( A) = M ( A) + ( ) () M, Cálculo de ( A) : Tensor de inercia de una supuesta masa puntual M situada en Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados: M, M, M, ( A ) = 0; ( A) = ( A) = M (6) Productos de inercia respecto de los planos coordenados: ( =0, =0), M, ( A) = M y = 0 ( A) = M y = 0, M, Sustituyendo (4), (6) y (7) en () queda: y ( A) = M = 0 (7) M, A M M M 0 0 0 0 7 0 0 ( ) = 0 0 + 0 0 0 = 0 0 4 Tensor de inercia de un cilindro 0 0 0 0 0 0 7 Z Obtener el tensor de inercia en el punto, y en las direcciones coordenadas indicadas en la figura, de un cilindro uniforme de radio y altura H. a. Cálculo del elemento de volumen en coordenadas cilíndricas. En coordenadas curvilíneas se obtiene mediante la epresión Donde J d = J dq dq dq. i = representa el jacobiano de la transformación de q j coordenadas; En coordenadas cilíndricas la transformación es : Con ello J = ρ cosθ, y = ρ senθ, =. = ρ, y el elemento de volumen vale d = ρ dρ dθ d O θ Z ρ Coordenadas cilíndricas P b. Cálculo de los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados especto del eje OZ: ( ) = ρ d. Suponiendo que el cilindro es uniforme, λ es constante H / =, ( ) = d d d. ( ) [ θ ] [ ] ( ) λ ρ dρ dθ d λ ρ ρ θ 0 0 H / ( ) = M 4 ρ H / 0 H / 4 0 M = H El cálculo de los momentos de inercia respecto de los ejes O y O puede realiarse sustituyendo en sus epresiones cartesianas ( ( ) ( ) = λ y + d, ( ) ( ) = λ + d ) Mecánica acional (ndustriales) pag. / 6
eometría de masas :.Aplicaciones del tensor de nercia la transformación de coordenadas a cilíndricas. Sin embargo se obtendrán estas magnitudes por consideraciones de simetría y teniendo en cuenta las propiedades generales. ( ) = ( ) + ( ) y Como los planos =0 e y=0 son análogos se cumplirá ( ) = ( ), con lo cual ( ) ( ) = y( ) = = M 4 ( ) = ( ) = ( ) + ( ) El cálculo de inercia respecto del plano =0 = d, ρdρ dθ d ( ) H / H / 0 0 = ( ) λ d ρdρ dθ = ; ( ) [ θ ] Finalmente ( ) = ( ) = ( ) + ( ) y, requiere obtener previamente el momento de H / ρ 0 0 H / M = H ( ) = M H ( ) = ( ) = M + MH 4 c. Cálculo de los productos de inercia respecto de planos coordenados Pueden obtener a partir de sus epresiones cartesianas ( ( ) ydm, dm ) y sustituyendo posteriormente las epresiones de transformación a coordenadas cilíndricas, sin embargo los ejes O y O son direcciones principales de inercia porque son normales en a planos de simetría, y en consecuencia el tensor es diagonal y los productos de inercia se anulan. Epresión del tensor pedido: = ( ) = + H 0 0 ( ) = M 0 `+ H 0 0 0 6 Este tensor posee dos autovalores iguales que se deben a la simetría alrededor de Z. Ello nos indica que cualquier rotación alrededor del eje Z deja invariante la epresión del tensor. Mecánica acional (ndustriales) pag. 6 / 6