Introducción: Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada. Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica de una función y en particular cómo nos ayudan a localizar valores máximos y mínimos de las funciones Expliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.
Búsqueda de máximos y mínimos (locales) Se hace a través de la primera derivada de la función. En los máximos y mínimos la pendiente de la recta tangente (la derivada es 0) Para encontrar en qué punto la función alcanza el máximo necesitamos calcular la x tal que f (x) sea igual a 0. Luego: 1) Calculamos f (x) con las reglas de derivación. 2) f (x) = 0 y despejamos la x, obteniendo (por ejemplo x = x*). x* será el punto en el que se alcanza el máximo. 3) El máximo se obtiene simplemente calculando f(x*)
Búsqueda de máximos y mínimos (relativos) Ejemplo: f (x) = -2x 2 + 8x + 5 1) f (x) = -4x + 8 2) f (x) = - 4x + 8 = 0 x* = 2 3) f(2) = -8 + 16 +5 = 13 máximo
Búsqueda de máximos y mínimos (locales) Ejemplo: f (x) = - 4x + 8 >0 si 4x -8 >0, es decir, si x<2. Luego f(x) es estrictamente creciente si x<2. Si x>2 entonces f (x)<0. Luego f(x) es estrictamente decreciente si x>2.
f(x) = -2X 2 + 8x + 5 f(2) = 13 x* = 2 x
Definición: Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c) f(x) para toda x en D donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en D. De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) f(x) para toda x en D; el número f(c) se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f.
f(d) f(a) a b c d e En la figura se muestra una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a. Si sólo consideramos valores de x cercanos a b, entonces f(b) es el mas grande de esos valores de f(x) y se conoce como máximo local de f.
Definición: Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en c si f (c) f(x) cuando x está cercano a c. [Esto significa que f(c) f(x) para toda x en algún intervalo abierto que contiene a c.] De manera análoga, f tiene un mínimo local en c si f(c) f(x) cuando x está cerca de c. En la figura anterior... dónde se presentan extremos locales?
Ejemplo: Determine los extremos locales y globales de la gráfica de f(x) =3x 4-16x 3 +18x 2 en el intervalo 1 x 4.
Teorema de Fermat: Si f tiene un máximo o un mínimo local en c y si f (c) existe, entonces f (c) = 0. Pero... qué pasa con y = x 3??
Cómo afectan las derivadas la forma de una gráfica?
Introducción: Numerosas aplicaciones del cálculo dependen de nuestra capacidad para deducir hechos relativos a la función f a partir de información concerniente a sus derivadas. Como fʹ (x) representa la pendiente de la curva y = f(x) en el punto (x; f (x)), nos dirá cuál es la dirección de crecimiento de la curva. Entonces fʹ (x) nos ayuda a saber más de f(x).
Prueba creciente / decreciente a) Si fʹ (x) > 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b) Si fʹ (x) < 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo B D A C
Ejemplo Determinar dónde es creciente y dónde es decreciente la función f (x) = 3x 4-4x 3-12x 2 +5
Prueba de la primera derivada Si c es un número crítico de una función continua f. 1. Si fʹ (x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c. 2. Si fʹ (x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c. 3. Si fʹ (x) no cambia de signo en c (esto es, fʹ es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces f carece de extremo local en c.
Máximo local c Mínimo local c
Sin extremo c Sin extremo c
Ejemplo: Halle los valores máximos y mínimos locales de la función g(x) = x + 2 sen x 0 x 2π
Qué dice f acerca de f?
(a) (b) B B f g A A a b a b La figura muestra las gráficas de dos funciones que unen A con B, pero se ven distintas porque se tuercen, la primera hacia arriba y la segunda hacia abajo. Qué características de las funciones f y g nos permiten establecer diferencias entre sus comportamientos?
(a) (b) B B f g A a b Cóncava hacia arriba A a b Cóncava hacia abajo Al trazar las tangentes vemos que en (a), la curva queda arriba de las tangentes y se dice que f es cóncava hacia arriba en (a; b). En (b) la curva esta abajo de sus tangentes, y se dice que g es cóncava hacia abajo en (a; b)
Definición Si la gráfica de f está arriba de sus tangentes en un intervalo I, se dice que es cóncava hacia arriba en I. Si queda debajo de sus tangentes en I, se llama cóncava hacia abajo en I. B C D E P A Q a b c d e p q CAB CAR CAB CAR CAR CAB
Prueba de concavidad a) Si fʹ ʹ (x) > 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I. b) Si fʹ ʹ (x) < 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I. Definición Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si en él la curva tiene recta tangente única y pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo y viceversa.
Ejemplo Dibuje una gráfica posible para una función f sujeta a las siguientes condiciones: i. fʹ (x) > 0 en (- ; 1), fʹ (x) < 0 en (1; ) ii. fʹ ʹ (x) > 0 en (- ; -2) y (2; ), fʹ ʹ (x) < 0 en (-2; 2) iii.
Prueba de la segunda derivada Si fʹ ʹ es continua en la vecindad de c: a) Si fʹ (c) = 0 y fʹ ʹ (c) > 0, f tiene un mínimo local en c. b) Si fʹ (c) = 0 y fʹ ʹ (c) < 0, f tiene un máximo local en c. Ejemplo 6, página 299