El Producto escalar para las comunicaciones (parte ) Luca Mar9no Apuntes no revisados Cuidado!
Producto Escalar El producto escalar, también conocido como producto interno o producto punto, es una operación matemá9ca definida sobre dos elementos cuyo resultado es un número (un escalar).
Producto Escalar (def. genérica) El producto escalar entre 2 genéricos elementos x y z, 9ene las siguientes propiedades: < x, x > 0 < x, x >= 0 Si y solo si x=0. Definido Posi9vo 2. Hermi9cidad (simetría en campo real) < x,z >= (< z, x >) * El producto escalar dado 2 elementos nos proporciona un numero, un escalar. < x,z >= es un valor escalar 3. Linealidad < ax + by,z >= a < z, x > +b < y, x >
Producto Escalar entre vectores Consideremos 2 vectores de dimensión N x = [a,a 2,...a N ] z = [b,b 2,...b N ] Un posible producto escalar en este caso es < x, z >= < x, N N a i b i z >= a i b i * = a b + a 2 b 2 +...+ a N b N valores complejos < x, x >= a i y b i valores reales N x 2 = a i 2
Producto Escalar entre vectores Consideremos ahora 2 vectores de dimensión 2 x = [a,a 2 ] z = [b,b 2 ] < x, z >= a b + a 2 b 2 b 2 a 2 x z a b
Producto Escalar entre vectores Hay otra manera de expresarlo < x, z >= a b + a 2 b 2 = x < x, z >= x z cosϑ x = a 2 2 + a 2 z = b 2 2 + b 2 Por esto si los vectores son ortogonales < x, z >= 0 ϑ x = [a,a 2 ] z = [b,b 2 ] x cosϑ (cosϑ = 0) x z z cosϑ ϑ = π 2 ϑ x z z
Producto Escalar con un vector unitario Si un vector es unitario por ejemplo z = < x, z >= x cosϑ = = x cosϑ En este caso el producto escalar coincide con la proyección de sobre donde. z z = x ϑ x cosϑ z x
Producto Escalar con vectores unitarios (base ortonormal) Los ejes en un sistema de referencia están definidos por vectores unitarios v = v < v, v 2 = 2 >= 0 < x, v >= x cosϑ = = x cosϑ = a < x, v 2 >= x cosϑ 2 = = x cosϑ 2 = a 2 a 2 v 2 En este caso el producto escalar de con y coincide con las coordenadas del punto correspondiente a. x ϑ 2 ϑ v x a v v 2 x < x, v >= a < x, v 2 >= a 2
Base ortonormal Este concepto es muy importante, pues, lo vamos a evidenciar. Dada una base ortonormal (vectores ortogonales y unitarios) v = v < v, v 2 = 2 >= 0 Un vector genérico < x, v >= a < x, v 2 >= a 2 x = ( a,a ) 2 x = < x, v >,< x, v 2 > ( ) se puede expresar así: a 2 v 2 v Lo repe9mos porque es un concepto muy importante. ϑ 2 ϑ x a
Producto Escalar entre vectores infinitos Se podría incluso pensar a unos vectores infinitos x = [a,a 2,a 3,...,a i,...] z = [b,b 2,b 3,...,b i,...] N Y claramente el producto escalar pasará a ser una serie (suma infinita) < x, z >= a i b i = a b + a 2 b 2 +...+ a i b i +... Pensar a señales discretas infinitas (un tren de deltas infinito). En este caso se pone el problema de convergencia de la serie. Es decir, en general, esta suma podría divergir a infinito. La convergencia dependerá si la señales discretas x y z 9enen energía finita.
Producto Escalar entre matrices Para evidenciar que el producto escalar puede ser definido sobre elementos de diferente 9po, como ejemplo damos una la definición de un producto escalar entre matrices llamado producto interno de Frobenius. Dada 2 matrices A, B de dimensiones A = [ a ] ij B = [ b ] ij n m i =,...,n j =...,m El producto escalar de Frobenius está definido como < A,B >= tr(ab T ) = tr(ba T ) = a ij b ij = a ij b ij n m j = m j = n
Producto Escalar entre matrices Claramente, este producto escalar respecta las propiedades definidas en las primeras trasparencias. Ejemplo A = 6 3 7 4 B = 8 2 0 5 9 < A,B >= 8 + 6 2 + 3 + 7 0 + 5 + 4 9 = 64 AB T = Solo para comprobar la definición podemos calcular 23 57 62 4 BA T = 23 62 57 4 tr(ab T ) = 23+ 4 = 64 tr(ba T ) = 23 + 4 = 64
Producto Escalar entre funciones (señales con9nuas) Ahora consideraremos señales de energía finita, es decir x(t) 2 dt < Que se reduce a x(t) 2 dt < para señales a valores reales Para señales a valores complejos En este caso el producto escalar está definido como < x(t),z(t) >= x(t)z * (t)dt < x(t),z(t) >= x(t)z(t)dt señales a valores complejos señales a valores reales
Función de correlación como Producto Escalar Para señales de energía finita, x(t) 2 dt < La correlación entre 2 señales está definida como R XZ (τ) = x(t)z * (t τ)dt señales a valores complejos Esto es claramente un producto escalar entre una señal y la otra desplazada, R XZ (τ) =< x(t),z * (t τ) >= x(t)z * (t τ)dt
Función de correlación como Producto Escalar La autocorrelación queda R X (τ) =< x(t), x * (t τ) >= x(t)x * (t τ)dt
Convolución como producto escalar Sabemos que la convolución entre 2 señales está definida como C XY (τ) = x(t) y(t) = x(t) y *(τ t)dt Se puede ver como un producto escalar C XY (τ) = x(t) y * (τ t)dt =< x(t), y *(τ t) >
Transformada de Fourier como Producto Escalar La trasformada de Fourier está definida (una de las muchas posible definiciones) F( f ) = x(t)e j 2πft dt Podemos expresarlo como producto escalar entre exponencial compleja e j 2πft x(t) y la F( f ) =< x(t), e j 2πft ( ) * > x(t)e j 2πft dt Recordar que está el conjugado! En termino de senos y cosenos seria F( f ) =< x(t),cos(2πft) > j < x(t),sin(2πft) >
Significado del Producto Escalar El producto escalar, en un cierto sen9do, mide el parecido entre dos vectores/funciones/ señales. El producto escalar compara dos vectores/funciones/señales. Cuando 2 elementos son ortogonales (producto escalar nulo) podemos afirmar que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES (es decir, NO CORRELACIONADOS). La correlación (y la autocorrelación) es un producto escalar entre versiones desplazadas de las señales. La trasformada de Fourier mide el parecido entre la señal y un seno y un coseno (a frecuencia establecida), a través de un producto escalar.
Pequeño resumen Hemos visto diferentes productos escalares entre 2 elementos: Tipo elemento Producto escalar Formula Vectores finitos Vectores infinitos (señales discretas) Matrices (finitas) Funciones (señales con9nuas) Suma finita entre las coordenadas Suma infinita entre las coordenadas (serie) Doble suma entre las coordenadas Integral del producto de las funciones n N m a i b i * a i b i * a ij b ij * x(t)z * (t)dt