Sea un espacio tridimensional con un sistema de referencia establecido: un origen y una base ortonormal.

1 / 63 EJERCICIOS DE HOMOLOGÍAS Nota: Estos apuntes están realizados de forma muy intuitiva y sin entrar en detalles (que sí serían necesarios en un estudio más amplio); únicamente sirven como un complemento útil para la realización de los ejercicios presentados. En ningún caso sustituyen a ningún tipo de bibliografía y, mucho menos, a las explicaciones del profesor. Sea un espacio tridimensional con un sistema de referencia establecido: un origen y una base ortonormal. Se define la figura geométrica del punto. El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas. Dos puntos determinan una recta. Tres puntos no alineados determinan un plano. Se denomina radiación de rectas al conjunto infinito de rectas concurrentes en un punto. Si el punto está en el infinito, las rectas son paralelas. Al punto en el que concurren todas las rectas de la radiación se le denomina vértice o centro de la radiación. Cortar una radiación de rectas por un plano es lo mismo que intersecar cada una de las rectas de la radiación con el plano de corte, obteniendo un conjunto de puntos sobre dicho plano. Proyectar un punto M sobre un plano π, mediante una radiación de rectas, es lo mismo que obtener el corte por el plano dado de una recta de la radiación que pasa por el punto M. La recta (el rayo) r 1 de la radiación de centro O, pasa por el punto M; el corte de r 1 por el plano π es el punto P 1 (proyección del punto M sobre el plano π). Si el centro de la radiación está situado en un punto propio del espacio se denomina cónica; si el centro de la radiación está en el infinito se denomina cilíndrica y puede ser cilíndrica ortogonal, si el ángulo de los rayos respecto al plano de corte es de 90º o cilíndrica oblicua si el ángulo no es de 90º.

2 / 63 Sea una misma radiación de rectas de centro O, que es cortada por dos planos π 1 y π 2. A la relación establecida entre el corte de la radiación por el plano π 1 y el corte de la misma radiación por el plano π 2, se le denomina homología. Los elementos de la homología son los siguientes: Centro de la homología = centro de la radiación = punto O. Eje de la homología = recta de intersección de los dos planos de corte π 1 y π 2. A 1 ϵ π 1 ; es el corte de un rayo por el plano π 1 A 2 ϵ π 2 ; es el corte del mismo rayo por el plano π 2 A2 A 1 y A 2 pertenecen al mismo rayo. A1 B1 B2 C1 = C2 A 1 tiene su homológico en A 2 A 2 es el homológico de A 1 A 1 y A 2 son homológicos. De la misma forma: A 1 -B 1 ϵ π 1 ; es una figura resultado del corte por el plano π 1 A 2 -B 2 ϵ π 2 ; es una figura resultado del corte por el plano π 2 Las dos figuras están formadas al cortar los mismos rayos. A 1 -B 1 tiene su homológico en A 2 -B 2 A 2 -B 2 es el homológico de A 1 -B 1 A 1 -B 1 y A 2 -B 2 son figuras homológicas. La homología viene definida por las siguientes reglas: Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología: A 1 y A 2 pertenecen a la misma recta de la radiación (al mismo rayo), y todas las rectas de la radiación (todos los rayos) pasan por el centro de la homología (punto O). Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología, o lo que es lo mismo, los puntos del eje de la homología son puntos dobles: C 1 = C 2. Por conveniencia llamaremos al plano π 1 primera forma (plano 1 o simplemente P1), y al plano π 2 segunda forma (plano 2 o simplemente P2).

3 / 63 Representando una visión tridimensional de la radiación de vértice O y del corte de la misma por los planos P1 (primera forma) y P2 (segunda forma), se tiene: A1, B1, C1: figura resultado del corte de la radiación por la primera forma A2, B2, C2: figura resultado del corte de la radiación por la segunda forma En este sentido: A2, B2, C2 es la figura homológica de A1, B1, C1. R 1 Viene del infinito de P1 N 2 Va al infinito de P2 Figura idéntica a la anterior, solo que está vista desde una dirección paralela al eje de la homología, por lo que: El eje se representa como un punto. Los planos P1 y P2 se representan como rectas. Las reglas de la homología siguen vigentes: Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología. Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología.

4 / 63 Nos centramos en la primera forma. Podemos decir que todo punto de la primera forma (por ejemplo A 1 ) tiene su homológico en la segunda forma (A 2 es el homológico de A 1 ). Dado A 1, para obtener A 2 bastaría unir dicho punto con el centro de la homología O y obtener el corte del rayo O-A 1 con la segunda forma. Y esto es así para todos los puntos de la primera forma. Pero qué pasaría si disponemos un plano paralelo a la segunda forma que pasara por el centro de la homología? R 1 Viene del infinito de P1 Visto de canto : Obviamente la recta intersección de un plano paralelo a la segunda forma con la primera forma (la llamaremos L1) sería una recta paralela al eje de la homología (que es la intersección de la primera y de la segunda forma). Al tratar de obtener el homológico de un punto situado en esta nueva recta (por ejemplo el punto N 1 ), el rayo O-N 1 es paralelo a la segunda forma por lo que su intersección estará en el infinito de la segunda forma. Importante: no es que el punto N 1 no tenga homológico, sino que su homológico está en el infinito de la segunda forma. A la recta L1 se le denomina recta límite de la primera forma y está definida por aquellos puntos de la primera forma (que sí pueden ser dibujados) cuyos homológicos están en el infinito de la segunda forma (que no pueden ser dibujados). N 2 Va al infinito de P2 Ahora nos centramos en la segunda forma. Podemos decir que todo punto de la segunda forma (por ejemplo A 2 ) es el homológico de un punto de la primera forma (A 2 es el homológico de A 1 ). Dado A 2, para obtener A 1 bastaría unir dicho punto con el centro de la homología y obtener el corte del rayo O-A 2 con la primera forma. Y esto es así para todos los puntos de la segunda forma. Pero qué pasaría si disponemos un plano paralelo a la primera forma que pasara por el centro de la homología?

5 / 63 R 1 Viene del infinito de P1 Visto de canto : Obviamente la recta intersección de un plano paralelo a la primera forma con la segunda forma (la llamaremos J2) sería una recta paralela al eje de la homología (que es la intersección de la primera y de la segunda forma). Al tratar de obtener el punto del cual es homológico de un punto situado en esta nueva recta (por ejemplo el punto R 2 ), el rayo O-R 2 es paralelo a la primera forma por lo que su intersección estará en el infinito de la primera forma. N 2 Va al infinito de P2 Importante: no es que el punto R 2 no sea homológico de ningún punto de la primera forma, sino que el punto del cual es homológico está en el infinito de la primera forma. A la recta J2 se le denomina recta límite de la segunda forma y está definida por aquellos puntos de la segunda forma (que sí pueden ser dibujados) que son homológicos de los puntos que están en el infinito de la primera forma (que no pueden ser dibujados). Importante: J2 no es la recta homológica de L1 (precisamente para resaltar este hecho se les denomina con letras diferentes). L1, recta límite de la primera forma: puntos de la primera forma (que sí pueden ser dibujados) cuyos homológicos están en el infinito de la segunda forma (que no pueden ser dibujados). Si N 1 ϵ L1 en el plano P1 N 2 en el plano P2 J2, recta límite de la segunda forma: puntos de la segunda forma (que sí pueden ser dibujados) que son homológicos de los puntos que están en el infinito de la primera forma (que no pueden ser dibujados). Si R 2 ϵ J2 en el plano P2 R 1 en el plano P1

6 / 63 El eje de la homología, la recta límite de la primera forma y la recta límite de la segunda forma son rectas paralelas. Las dos rectas límite son también elementos que caracterizan a una homología. Así los elementos de una homología son: Centro de la homología Eje de la homología Recta límite de la primera forma Recta límite de la segunda forma Una homología queda definida al caracterizar tres de estos cuatro elementos: dados tres de ellos, el que queda viene definido por los anteriores. Una vez visto (de forma muy intuitiva) qué es una homología y qué reglas y elementos la definen, imaginemos que con las mismas operaciones definidas (proyectar y cortar) realizamos el siguiente montaje (para facilitar su interpretación, los elementos se han dibujado de canto, es decir desde una dirección paralela al eje de la homología): Sea una homología en el espacio, definida por un centro O, un eje E y dos planos P1 y P2. Todos esos elementos se proyectan mediante una radiación D; para facilitar su interpretación, se supone que es una radiación cilíndrica (su centro está en el infinito). La proyección, mediante la radiación D de los elementos de la homología definida, se cortan por un plano P; para facilitar su interpretación se dibuja paralelo al eje E (en la vista de canto aparecerá como una recta).

7 / 63 Las reglas de la homología definida en el espacio siguen vigentes: Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología. Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología. Es decir: A 1 tiene su homológico en A 2, y están alineados con el centro O. B 1 tiene su homológico en B 2, y están alineados con el centro O. La figura homológica de A 1 -B 1 es B 2 -A 2 A 1 -B 1 y B 2 -A 2 se cortan en el eje de la homología E. Al proyectar (mediante una radiación D y cortar con un plano P), tendremos: A 1 es la proyección de A 1 A 2 es la proyección de A 2 B 1 es la proyección de B 1 B 2 es la proyección de B 2 E es la proyección de E O es la proyección de O Se cumple lo siguiente: A 1 tiene su homológico en A 2, y están alineados con el centro O. B 1 tiene su homológico en B 2, y están alineados con el centro O. La figura homológica de A 1 -B 1 es B 2 -A 2 A 1 -B 1 y B 2 -A 2 se cortan en el eje de la homología E. Es decir, las reglas de la homología en el espacio, al proyectar sus elementos utilizando las mismas operaciones que han servido para definir la homología, siguen vigentes: Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología. Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología. En la homología en el espacio: A 1 tiene su homológico en A 2, y están alineados con el centro O. B 1 tiene su homológico en B 2, y están alineados con el centro O. La figura homológica de A 1 -B 1 es B 2 -A 2 A 1 -B 1 y B 2 -A 2 se cortan en el eje de la homología E. Tras proyectar: A 1 tiene su homológico en A 2, y están alineados con el centro O. B 1 tiene su homológico en B 2, y están alineados con el centro O. La figura homológica de A 1 -B 1 es B 2 -A 2 A 1 -B 1 y B 2 -A 2 se cortan en el eje de la homología E.

8 / 63 La operación de proyección se ha realizado mediante una radiación arbitraria (por facilitar la interpretación se ha supuesto cilíndrica o de centro en el infinito) y cortando con un plano arbitrario (por facilitar la interpretación se ha supuesto paralelo al eje de la homología). Imaginemos que el plano P coincide con el plano P1 = primera forma, e imaginemos que la radiación cilíndrica D lleva una dirección perpendicular al plano bisector de P1 y P2. Con estas hipótesis, que no suponen una alteración de las operaciones realizadas, la proyección de la homología en el espacio, equivaldría a abatir la segunda forma (P2) sobre la primera forma (P1), con eje de abatimiento el eje de la homología (E). De esta forma, es posible pasar de una homología definida en el espacio a una homología definida en un plano donde las reglas de la homología en el espacio siguen vigentes: Dos puntos homológicos siempre están alineados con el centro de la homología. Dos rectas homológicas siempre se cortan en el eje de la homología. A 1 tiene su homológico en A 2, y están alineados con el centro O. B 1 tiene su homológico en B 2, y están alineados con el centro O. La figura homológica de A 1 -B 1 es B 2 -A 2 A 1 -B 1 y B 2 -A 2 se cortan en el eje de la homología E. Para simplificar la notación se han suprimido las primas. Importante: Aunque estamos en 2 dimensiones, no hay un único plano sino dos: la primera forma y la segunda forma, uno abatido sobre otro.

9 / 63 Como regla general para abordar ejercicios de homologías, se recomienda tener siempre presente el siguiente esquema: Imaginemos una homología dada por el centro O, el eje E y la recta límite de la primera forma L1. Sea una recta de la primera forma R1 y un punto A1 perteneciente a dicha recta. O L1 A1 E R1 La recta homológica de R1 será una recta R2, y el punto homológico de A1 (que está en R1) será el punto A2 (que estará en R2). Sea N1 el punto de corte de R1 con L1. Como N1 está en L1, su homológico N2 estará en el infinito de la segunda forma, no se va a poder dibujar; pero sabemos que N2 estará en R2 (la recta homológica de R1), es decir N2 estará en el infinito de R2. N1 // R2 O L1 N2 A1 E R1 Además el rayo N1-N2 estará alineado con el centro O. Es decir, el rayo N1-N2 (que se dibujará uniendo N1 con O) se cortará con R2 en el infinito, luego R2 se dibujará paralelo a N1-N2 = N1-O.

Sea B1 el punto de corte de R1 con E. Ejercicios de Homologías 10 / 63 Por condición de homología, los puntos del eje son puntos dobles, es decir, el punto de corte de R1 con el eje E, el punto B1 es un punto doble, lo que significa que B1 = B2; la recta R2 pasará por el punto B2 y además, llevará la dirección O-N1, luego ya se puede dibujar R2. N1 // R2 O L1 N2 A1 B1=B2 E R2 R1 R2 es la recta homológica de R1, y el punto homológico de A1 (que está en R1) será el punto A2 (que estará en R2). Por condición de homología, el rayo A1-A2 estará alineado con el centro de la homología (O), luego ya se puede determinar el punto A2 (homológico de A1). El rayo O-A1 cortará a R2 en el punto A2 (homológico de A1). N1 // R2 O L1 N2 A1 B1=B2 E R2 A2 R1

11 / 63 Generalmente en los ejercicios de homologías se da una figura en la primera forma para obtener su transformación, es decir, la homológica de la figura dada (que estará en la segunda forma). Por este motivo no suele ser necesario el determinar la recta límite de la segunda forma (J2). No obstante, si se quisiera determinar J2 se seguiría un razonamiento similar. En R2 hay un punto que es el homológico del punto del infinito de R1. Para determinar dicho punto bastaría trazar por el centro de la homología (O) un rayo paralelo a R1 y obtener el punto de corte con R2. Si desde el punto O se traza una paralela a R1, cortará a R2 en el punto F2, que es el homológico del punto del infinito de R1 (el rayo F1-F2 = O-F2 cortará a R1 en el infinito ya que son paralelos). F2, que sí puede ser dibujado, es un punto de la segunda forma y es el homológico de F1, que no puede ser dibujado porque está en el infinito de R1. F2 es un punto de la recta límite de la segunda forma (J2). Además J2 es paralela al eje de la homología E y a la primera recta límite L1. J2 se determina al trazar una paralela a E (o a L1) por F2. N1 // R2 O // R1 L1 N2 A1 F2 J2 B1=B2 F1 E R2 A2 R1 Nótese que no se mezclan subíndices ; es decir, los puntos de corte de R1 con L1 o de R2 con J2 sí existen, pero no existen los puntos de corte de R1 con J2 o de R2 con L1; ni siquiera están en el mismo plano (R1 y L1 están en la primera forma y R2 y J2 están en la segunda forma). N1 // R2 O // R1 L1 N2 A1 F2 J2 B1=B2 F1 E R2 A2 R1

12 / 63 HOMOLOGÍA DE UNA CIRCUNFERENCIA Consideremos la siguiente notación: F1 es una figura de la primera forma F2 es la figura homológica de F1 en la segunda forma r1 es una recta de la primera forma r2 es la recta homológica de r1 en la segunda forma A1 es un punto de la primera forma A2 es el punto homológico de A1 en la segunda forma Para abordar los ejercicios de homologías de circunferencias, deben considerarse los siguientes aspectos: Si r1 es tangente a F1 en el punto A1 r2 es tangente a F2 en el punto A2 La tangente (s1) a F1 trazada desde el centro de la homología O en el punto A1, también tangente (s2) a F2 en el punto A2: es tangente común. Nota: no es una recta doble punto a punto (solo los puntos del eje son puntos dobles) sino que en su conjunto, la tangente en la primera forma y la tangente en la segunda forma, se superponen. Los puntos de corte con el eje de la homología E, son puntos dobles.

13 / 63 Si r1 es tangente a F1 en un punto de L1, r2 es una asíntota de F2. Si el eje de la homología E es tangente a F1 en un punto de A1, el eje de la homología E también es tangente a F2 en un punto de A2 = A1 (es un punto doble). Si F1 es una circunferencia, su figura homológica F2 será diferente en función de la posición relativa de F1 y de la recta límite de la primera forma L1. L1 F1 F1 F1 F1 no corta a L1 F2 es una ELIPSE F1 es tangente a L1 F2 es una PARÁBOLA F1 corta a L1 en dos puntos F2 es una HIPÉRBOLA

14 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 1 Sea una homología dada por los siguientes datos: El centro de la homología es el punto O[29, 41]. Los puntos H1[21, 104] y Z1[68, 29] pertenecen a la primera forma, y sus homológicos están en el infinito de la segunda forma. El punto M1[109, 44] es un punto doble. Obtener la figura homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus vértices A1[76, 65], B1[58, 113] y C1[87, 120]. Importante: Eje X: coordenada vertical; Eje Y: coordenada horizontal. Nota: se recomienda disponer la hoja (formato A4) horizontalmente, así como situar el origen de coordenadas a unos 25 milímetros del vértice superior izquierdo. Una vez fijado el origen de coordenadas los ejes no deben trazarse paralelos a los bordes del papel, lo correcto es dibujar uno de ellos y el otro dibujarlo perpendicularmente al anterior con ayuda de la escuadra y del cartabón.

15 / 63 En primer lugar hay que dibujar los elementos dato del ejercicio: El centro de la homología es el punto O. Los puntos H1 y Z1 pertenecen a la primera forma, y sus homológicos están en el infinito de la segunda forma. Es decir, los puntos H1 y Z1 están definiendo la recta límite de la primera forma (L1): puntos de la primera forma que sí pueden ser dibujados cuyos homológicos están en el infinito de la segunda forma (no pueden ser dibujados). El punto M1 es un punto doble, es decir, pertenece al eje de la homología. Además el eje de una homología es paralelo a las rectas límite, por lo que E // L1. Con los datos dados ya se pueden trazar los elementos que definen la homología así como la figura de la primera forma (A1-B1-C1). A continuación se obtienen las rectas homológicas de las rectas que forman los lados de la figura dada en la primera forma (en este caso el triángulo A1-B1-C1). Para ello hay que determinar los puntos de corte de cada una de las rectas de la primera forma (de cada uno de los lados del triángulo) con la recta límite de la primera forma (L1). Cada vértice del triángulo estará contenido en dos de sus lados, por lo que no es necesario el obtener todas las rectas homológicas de todas las rectas que constituyen los lados del triángulo. Es decir, al prolongar cada una de las rectas que forman el triángulo es posible que alguna de ellas corte a la recta L1 en un punto que cae fuera de los límites de trazado del dibujo. En este caso la recta A1-B1 corta a L1 en un punto que cae fuera de los límites del dibujo. No obstante se puede trabajar perfectamente con las rectas A1-C1 y B1-C1.

16 / 63 Se comenzará trazando la recta homológica de A1-C1. Por comodidad vamos a llamarla R1. Prolongamos la recta de la primera forma R1 = A1-C1 hasta que corte a L1 (punto 1 1 ). Dicho punto de corte tiene su homológico en el infinito de la segunda forma de R1, es decir en el infinito de R2 (1 2 ), por lo que el rayo definido al unir el punto 1 1 con el centro de la homología O, será paralelo a la recta R2. De esta forma ya tenemos definida la dirección de la recta R2. La recta R2 se trazará por el punto de corte 2 1 de R1 con el eje de la homología E, ya que los puntos del eje son puntos dobles, es decir, 2 1 = 2 2. Para obtener los puntos homológicos de A1 y de C1, basta definir los rayos que unen dichos puntos con el centro de la homología O y obtener los puntos de corte de dichos rayos con R2. A1 ϵ R1 A2 ϵ R2 y el rayo A1-A2 está alineado con el centro O C1 ϵ R1 C2 ϵ R2 y el rayo C1-C2 está alineado con el centro O

Con la recta B1-C1 se procedería de igual forma (por comodidad la llamamos S1). Ejercicios de Homologías 17 / 63

18 / 63 Para obtener los puntos homológicos de B1 y de C1, basta definir los rayos que unen dichos puntos con el centro de la homología O y obtener los puntos de corte de dichos rayos con S2. B1 ϵ S1 B2 ϵ S2 y el rayo B1-B2 está alineado con el centro O Como comprobación se puede obtener también el punto C2 homológico de C1, y ver que se obtiene el mismo resultado que antes: C1 ϵ S1 C2 ϵ S2 y el rayo C1-C2 está alineado con el centro O Si no cae fuera de los límites del dibujo, puede comprobarse que el punto de corte de la recta A1-B1 con el eje de la homología E, coincide con el punto de corte de la recta A2-B2 con el mismo eje E.

19 / 63 Para finalizar el ejercicio únicamente queda el unir los puntos A2-B2 y C2 formando la figura de la segunda forma, homológica de la figura dada en la primera forma. Nota: en este caso, como el triángulo A1-B1-C1 no corta en ninguno de sus lados a la recta límite de la primera forma L1, el resultado (el triángulo A2-B2-C2) es cerrado, no tiene ningún punto en el infinito. Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u horizontalmente).

20 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 2 Sea una homología dada por los siguientes datos: el centro es el punto O[47,66], la recta límite de la primera forma L1 viene dada por los puntos n1[15,164] y m1[117,19]. Obtener la figura homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus vértices a1[105,93], b1[78,156] y c1[111, 166], sabiendo que el eje de la homología pasa por el circuncentro de dicho triángulo. Eje X: coordenada vertical; eje Y: coordenada horizontal. Conceptos necesarios: Qué es una homología Elementos de una homología: centro, eje, recta límite de la primera forma, recta límite de la segunda forma Puntos homológicos están alineados con el centro Rectas homológicas se cortan en el eje

21 / 63 Los datos de la homología, una vez dibujados, son los siguientes: A continuación se obtienen las rectas homológicas de las rectas que forman los lados de la figura dada en la primera forma (en este caso el triángulo a1-b1-c1). Para ello hay que determinar los puntos de corte de cada una de las rectas de la primera forma (de cada uno de los lados del triángulo) con la recta límite de la primera forma (L1). Se comenzará con la recta homológica del lado a1-c1:

22 / 63 A continuación se determina la recta homológica del lado b1-c1: Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u horizontalmente).

Resolución completa del ejercicio. Ejercicios de Homologías 23 / 63

24 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 3 Sea una homología dada por los siguientes datos: Dos parejas de puntos homológicos a1[59,28] - a2[46,82], y b1[64,108] b2[99,87] Un punto doble m1[33,41] Un punto de la primera forma c1[51,95] Obtener la figura homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus vértices a1-b1-c1. Eje X: coordenada vertical; eje Y: coordenada horizontal. Conceptos necesarios: Qué es una homología Elementos de una homología: centro, eje, recta límite de la primera forma, recta límite de la segunda forma Puntos homológicos están alineados con el centro Rectas homológicas se cortan en el eje Los puntos del eje de la homología son dobles

25 / 63 Para determinar la homología se obtienen su centro y su eje; para ello se aplicarán las siguientes reglas: Rectas homológicas se cortan en un punto del eje: a1-b1 se corta con a2-b2 en un punto que junto con el punto m1 (es un punto doble, luego m1 = m2) determinan el eje de la homología. Puntos homológicos están alineados con el centro: a1-a2 y b1-b2 se cortan en el centro de la homología. Para determinar el punto c2, homológico el punto c1, no es necesario obtener la recta límite de la primera forma. Se procede de la siguiente forma: Se prolonga el lado c1-b1 hasta que corte al eje E en un punto 1 1 que por pertenecer al eje de la homología es un punto doble: 1 1 = 1 2. La recta homológica de c1-b1 cortará al eje en el mismo punto, por lo que queda determinada al unir el punto de corte de c1-b1 con el eje (1 1 = 1 2 ) con el punto b2. Para obtener el punto c2 bastará unir el punto c1 con el centro de la homología (puntos homológicos están alineados con el centro) y obtener el punto de corte con la homológica de b1-c1 obtenida anteriormente. 1 1 = 1 2

26 / 63 Resolución completa del ejercicio. Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u horizontalmente).

27 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 4 Sea una homología dada por los siguientes datos: El centro de la homología O[36,94] Dos puntos de la recta límite de la primera forma m1[42,123] y n1[93,15] Un punto doble b1[92,66] Dos puntos de la primera forma a1[49,67] y c1[100,157] Obtener la figura homológica (segunda forma) del triángulo de la primera forma dado por sus vértices a1-b1-c1. Eje X: coordenada vertical; eje Y: coordenada horizontal. Conceptos necesarios: Qué es una homología Elementos de una homología: centro, eje, recta límite de la primera forma, recta límite de la segunda forma Los puntos de la recta límite de la primera forma son aquellos puntos cuyos homológicos están en el infinito de la segunda forma Puntos homológicos están alineados con el centro Rectas homológicas se cortan en el eje Los puntos del eje de la homología son dobles

28 / 63 Se parte de los siguientes elementos. El eje de la homología será paralelo a la recta límite de la primera forma (m1-n1) y pasará por el punto b1 (al ser punto doble b1 = b2). Importante: debe prestarse atención al hecho de que hay dos lados del triángulo de la primera forma a1-b1-c1 que cortan a la recta límite de la primera forma, luego los homológicos de los puntos de corte de dichos segmentos con la recta límite de la primera forma serán impropios (estarán en el infinito). Los segmentos a1-c1 y a1-b1 cortan a la recta límite de la primera forma; sus homológicos son los segmentos a2-c2 y a2-b2 y están abiertos, no son continuos, al cortar la primera forma a la recta límite de la primera forma el homológico del punto de corte estará en el infinito de la segunda forma, es impropio. SUS PUNTOS HOMOLÓGICOS ESTARÁN EN EL INFINITO Para resolver el ejercicio se aplicará: Puntos homológicos están alineados con el centro Rectas homológicas se cortan en el eje

29 / 63 Segmento a1-b1. Segmento a1-c1.

30 / 63 Segmento b1-c1. Resolución completa del ejercicio.

31 / 63 Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u horizontalmente).

32 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 5 Obtener una homología que transforme el cuadrilátero a1-b1-c1-d1 en un cuadrado de lado l 0 = 18; donde a1 = [56, 72], b1 = [68, 71], c1 = [62, 84], d1 = [54, 83]. Importante: para abordar la realización de estos ejercicios, debe extremarse el cuidado en el momento de transcribir los datos y en el trazado de los elementos del ejercicio, ya que una desviación superior a la normalmente asumible en la resolución de un ejercicio con escuadra y cartabón (es decir, con el instrumental adecuado pero manualmente, sin ayuda de un sistema CAD) hará que los puntos de corte de determinados segmentos salgan fuera de los límites del dibujo (una hoja en formato A4). PUNTO DE CORTE CORRECTO LA RECTA PASA POR EL PUNTO ADECUADO PUNTO DE CORTE INCORRECTO UN PEQUEÑO ERROR EN EL TRAZADO DE LA RECTA, HACE QUE LA DESVIACIÓN EN EL PUNTO DE CORTE PRODUZCA UN ERROR CONSIDERABLE Para mejorar la calidad del trazado, se aconseja no utilizar en ningún caso (ni siquiera para repasar) la escuadra o el cartabón por separado; siempre deben utilizarse juntos. Así mismo, para dibujar una recta paralela a o perpendicular a se recomienda tomar la referencia y el elemento dibujado, en el mismo instrumento. Nota: se recomienda disponer la hoja (formato A4) horizontalmente, así como situar el origen de coordenadas a unos 25 milímetros del vértice superior izquierdo.

33 / 63 Los únicos elementos de partida son los puntos del cuadrilátero de la primera forma. La homología buscada deberá transformarlos en un cuadrado de lado l 0. Se comenzará analizando los lados opuestos del cuadrilátero. Al prolongar los lados opuestos del cuadrilátero de la primera forma, se observa que convergen, es decir se cortan en puntos propios, que sí pueden dibujarse. La homología buscada debe transformar los lados del cuadrilátero de manera que al prolongar los lados opuestos, no se corten, es decir, debe mandar los puntos de corte de los lados opuestos al infinito, así los lados opuestos serán paralelos. De entre los elementos que definen una homología, la recta límite de la primera forma es aquella que está formada por puntos que sí pueden ser dibujados, cuyos homológicos están en el infinito de la segunda forma (no pueden ser dibujados). Como el cuadrilátero dado está en la primera forma, hay que definir la recta límite de la primera forma L1 de manera que pase por los puntos de corte obtenidos al prolongar los lados opuestos; así se conseguirá que en la segunda forma los lados opuestos sean paralelos.

34 / 63 Al definir la recta límite de la primera forma L1 de manera que pase por los puntos de corte de los lados opuestos del cuadrilátero en la primera forma, se ha conseguido que lados opuestos en la segunda forma se transformen en paralelos. Es decir, de momento (mediante L1) se ha conseguido transformar el cuadrilátero en un romboide. Con L1 se transforman rectas convergentes en la primera forma, en rectas paralelas en la segunda forma. A continuación se analizarán los lados contiguos del cuadrilátero. Los ángulos de los vértices del cuadrilátero en la primera forma, de valor desconocido, se transforman en ángulos de 90º. //s 2 //r 2 Para conseguir el objetivo de transformar un ángulo arbitrario en la primera forma en uno de valor dado en la segunda forma, hay que determinar la posición del centro de la homología O respecto de la recta límite de la primera forma L1. En la figura adjunta se ve cómo, dadas dos rectas de la primera forma s 1 y r 1, los puntos de corte de dichas rectas con L1 tienen sus puntos homológicos en el infinito de la segunda forma. s 2 r 2 Por tanto, los rayos determinados al unir dichos puntos de corte con O, serán paralelos a sus rectas homológicas s 2 y r 2, y el ángulo que determinan esos dos rayos (α) es el mismo que determinan s 2 y r 2.

35 / 63 //s 2 //r 2 Es decir, para lograr transformar un ángulo arbitrario en la primera forma (el formado por r 1 y s 1 ) en uno de valor conocido en la segunda forma (el formado por r 2 y s 2 ), por ejemplo de valor α, hay que conseguir que la posición del centro de la homología O respecto de la recta límite de la primera forma L1, esté en el arco capaz de dicho ángulo α respecto del segmento determinado por los puntos de corte de r 1 y s 1 con L1. Con O y L1 se transforman ángulos. En este caso particular se pretende transformar ángulos en la primera forma (cuyo valor desconocemos) en ángulos rectos. Para ello se prolongan los lados del cuadrilátero de la primera forma, por ejemplo c1-d1 y a1- d1. Daría igual tomar cualquier otra pareja de lados contiguos ya que la recta límite de la primera forma (L1) ya está definida, precisamente por los puntos de intersección obtenidos al prolongar los lados opuestos (puntos 1 y 2). 1 2 L1 El centro deberá estar en el arco capaz de 90º del segmento determinado por 1 y 2 sobre L1. El arco capaz de 90º de un segmento dado coincide con la semicircunferencia de centro el punto medio del segmento y radio la semi-longitud del segmento.

36 / 63 Al trazar el arco capaz del segmento definido en L1 por la prolongación de los lados contiguos del cuadrilátero de la primera forma, se obtienen infinitas posiciones posibles para el centro O de la homología. Al considerar conjuntamente la recta límite de la primera forma L1 y el arco capaz obtenido en este paso, se ha conseguido transformar el cuadrilátero dado a1-b1-c1-d1 en un rectángulo. Sin embargo todavía no está determinado el centro O, para el que de momento hay infinitas posiciones. El eje de la homología tendrá consecuencias sobre el tamaño final de un determinado segmento, pero no transforma ni posiciones ni ángulos. Para determinar el centro de la homología buscada hay que aplicar nuevamente una condición de transformación de ángulos. A continuación se analizarán las diagonales del cuadrilátero. En un cuadrado las diagonales forman 90º; en realidad la expresión adecuada sería decir que en un rombo las diagonales forman 90º. Combinando la condición de rectángulo (centro en el arco capaz del segmento definido en L1 al prolongar lados contiguos) con la condición de rombo (centro en el arco capaz del segmento definido en L1 al prolongar las diagonales) se obtendrá un cuadrado, un rectángulo que es a la vez un rombo.

37 / 63 Con estos elementos ya se tendría una homología que transformaría el cuadrilátero a1-b1-c1- d1 en un cuadrado, pero no del tamaño requerido. Como se comentó anteriormente el eje de la homología tiene consecuencias sobre el tamaño final de un determinado segmento. Con el eje E se transforman longitudes. Para determinar el eje E de la homología hay que aplicar la solución de un problema de geometría plana: situar un segmento de longitud dada (lo = 1-2) y de dirección dada, entre dos rectas conocidas. Para ello se colocará el segmento de forma que uno de sus extremos, por ejemplo el punto 1, esté situado en una de las rectas. Por el extremo que queda libre (en este caso el punto 2) se trazará una recta paralela a la primera, a la que contiene el punto 1, hasta que corte a la segunda recta en un punto 3. A partir de este punto se trazará una paralela a la dirección conocida del segmento, que de esta forma quedará comprendido entre las dos rectas dadas, con la dirección y el tamaño dados. 2 1 // // 3

38 / 63 Para aplicar esta solución a nuestro caso particular, primero hay que obtener la dirección final de uno de los lados del cuadrilátero de la primera forma, y para ello hay que definir un eje auxiliar, que servirá para poder desarrollar la solución anterior. Este eje auxiliar debe ser paralelo a la recta límite de la primera forma, y debe trazarse de manera que no comprometa demasiado la claridad del ejercicio (por ejemplo, no sería recomendable trazarlo por la mitad del cuadrilátero de la primera forma, con la consiguiente confusión de líneas), y además debe caber dentro de los límites aceptables del formato de hoja en el que se está resolviendo el ejercicio. Por todo ello se recomienda trazar el eje auxiliar E aux en un entorno cercano al punto del cuadrilátero de la primera forma más alejado de la recta límite L1. En este caso, el punto b1. En el límite, para ahorrar espacio en el papel del trabajo, el eje auxiliar se trazaría por el mismo punto b1 que de esta forma sería un punto doble. Para determinar la dirección final de uno de los lados del cuadrilátero dado en la primera forma, se recomienda elegir un lado cuyo trazado favorezca la claridad del dibujo. En este caso en particular, se recomienda trabajar con el lado a1-b1 antes que con el lado c1-b1, por razones obvias de claridad: la recta en primera forma y su homológica en la segunda forma están dispuestas un tanto más perpendicularmente, por lo que los cortes, las intersecciones serán más claras (véase la figura siguiente).

39 / 63 Se recomienda trabajar con el lado a1-b1 antes que con el lado c1-b1. //r2 r1 //r2 r2 r1 r2 Se procede a determinar el homológico de a1-b1, teniendo en cuenta su tamaño final.

40 / 63 Una vez determinados los puntos a2-b2 (homológicos de a1-b1) y con el tamaño final requerido, hay que obtener el eje final. Para ello hay que tener en cuenta que rectas homológicas se cortan en el eje, por lo que a1- b1 y a2-b2 se cortarán en un punto del eje final E, que será paralelo a la recta límite de la primera forma L1. Una vez determinado el centro O, la recta límite de la primera forma L1 y el eje E, la homología está ya definida.

41 / 63 Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u horizontalmente). Resolución completa del ejercicio.

42 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 6 Obtener una homología que transforme el cuadrilátero a1-b1-c1-d1 en un cuadrado de lado l 0 = 29; donde a1 = [34, 37], b1 = [44, 47], c1 = [29, 52], d1 = [25, 44]. Para la resolución de este ejercicio deben seguirse los pasos descritos en la resolución del ejercicio anterior. Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u horizontalmente).

44 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 7 Obtener una homología que transforme el triángulo a1-b1-c1 en un triángulo equilátero de lado lo = 36, donde a1 = [73, 84], b1 = [95, 90], c1 = [51, 106]. Tal y como se ha comentado en el Ejercicio 5 de estos apuntes: Con la recta límite de la primera forma L1 se transforman rectas convergentes en la primera forma, en rectas paralelas en la segunda forma. Con el centro O y con L1 se transforman ángulos. Con el eje E se transforman longitudes. En este caso no hay que transformar rectas concurrentes en rectas paralelas por lo que la elección de la recta límite de la primera forma es arbitraria, sin más condicionante que el que la prolongación de los lados del triángulo dado (en la primera forma) la corten dentro de los límites del dibujo. En este caso se ha elegido la recta límite de la primera forma L1 tal y como se muestra en la figura, pero podría haberse trazado de infinitas formas

45 / 63 Los lados contiguos de un triángulo equilátero formarán 60º, por lo que el centro de la homología O estará en el arco capaz de 60º del segmento formado por los puntos de corte sobre L1 de la prolongación de dos lados contiguos el triángulo dado. Bastará con prolongar dos parejas de lados contiguos del triángulo ya que los ángulos internos de un triángulo suman 180º. En este caso las dos parejas de lados contiguos que se han utilizado para definir los dos arcos capaces son a1-b1 y b1-c1 por una parte, y a1-c1 y b1-c1. El centro de la homología O estará situado en la intersección de los dos arcos capaces trazados. Con L1 y O ya se ha conseguido transformar el triángulo dado en un triángulo equilátero. Para conseguir que sus lados midan la longitud requerida se utilizará un eje auxiliar E aux para aplicar el artificio de geometría plana explicado en el Ejercicio 5 de estos apuntes. Una vez obtenido el eje final E, la homología ya está definida.

47 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 8 Transformación homológica de una circunferencia en una elipse. Datos centro O, eje E y recta limite de la primera forma L1, así como la circunferencia de centro y diámetros dados. Se considera a la circunferencia dada un elemento de la primera forma, y a la elipse buscada, un elemento de la segunda forma. El resultado de la transformación será una elipse porque la circunferencia dada no corta a la recta límite de la primera forma. Desde el centro O se traza una recta arbitraria que corta a la recta límite de la primera forma L1 en un punto 1, desde donde se trazan las rectas tangentes a la circunferencia dada, con puntos de tangencia t1 y t2. Nota: para obtener las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior, basta con unir dicho punto con el centro de la circunferencia y trazar una circunferencia desde el punto medio de dicho segmento y radio la mitad de su valor. Los puntos donde corte a la primera circunferencia serán los puntos de tangencia.

48 / 63 Al unir mediante una recta los puntos t1 y t2, y prolongarlos hasta L1, se obtiene el punto 2, desde donde se trazan rectas tangentes a la circunferencia, con puntos de tangencia t3 y t4. Al unir mediante una recta los puntos de tangencia t3 y t4 y prolongarlos hasta L1, se comprueba que dicha recta pasa por el punto 1. Considerando las construcciones realizadas hasta ahora como elementos de la primera forma (antes de la transformación solicitada), los diámetros conjugados de la elipse buscada (constituirá la segunda forma) vienen dados por las rectas homológicas de t1-t2 y de t3-t4. Las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse vienen dadas por O-1 y O-2. Las rectas tangentes a la elipse (segunda forma) vienen dadas por las rectas homológicas de las rectas tangentes a la circunferencia (primera forma). Rectas 1-t1 y 1-t2 (dirección O-1). Rectas 2-t3 y 2-t4 (dirección O-2).

elipse buscada. Ejercicios de Homologías 49 / 63 Con los diámetros conjugados de la elipse y las tangentes obtenidas, ya se puede dibujar la Construcción de una elipse dados sus diámetros conjugados. Se toma uno de los diámetros conjugados como diámetro de una circunferencia, y se traza el diámetro perpendicular al anterior. Al unir los puntos extremos de los diámetros (los diámetros conjugados de la elipse y los de la circunferencia trazada) se obtiene la dirección de la transformación aplicada (es una afinidad). Se aplica la misma transformación a diferentes puntos de la circunferencia (no es necesario aplicarlos a un número muy elevado). Para obtener la elipse sólo hay que unir esos puntos.

51 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 9 Transformación homológica de una circunferencia en una parábola. Datos centro O, eje E y recta limite de la primera forma L1, así como la circunferencia de centro y diámetros dados. La circunferencia es tangente en el punto t1 a la recta límite de la primera forma. Se considera a la circunferencia dada un elemento de la primera forma, y a la parábola buscada, un elemento de la segunda forma. El resultado de la transformación será una parábola porque la circunferencia dada corta a la recta límite de la primera forma en un punto (son tangentes). El homológico del punto de tangencia estará en el infinito (por pertenecer a la recta límite de la primera forma). Obtención del eje y de la dirección de la directriz de la parábola. Desde el punto de tangencia t1 (en la recta límite de la primera forma L1), trazamos una recta hasta el centro de la homología (punto O); a 90º de dicha recta, trazamos una recta que cortará a L1 en un punto m1.

tangencia v1. Ejercicios de Homologías 52 / 63 Desde el punto m1 se traza la recta tangente a la circunferencia, obteniendo el punto de El punto homológico de t1 está en el infinito (t1 pertenece a L1), de forma que la recta homológica de la recta v1-t1 (es decir, v2-t2, o lo que es lo mismo v2- ) representa la dirección del eje de la parábola, y el punto homológico de v1 (es decir v2) representa el vértice de la parábola. La recta límite de la primera forma es tangente a la circunferencia. La recta homológica de la otra tangente dibujada, es decir, la recta homológica de v1-m1, representa la recta perpendicular al eje en el vértice (tangente a la parábola en el vértice, y paralela a la directriz). Obtención del foco de la parábola. Se dibujan las rectas tangentes a la circunferencia desde el centro de la homología (punto O). Al ser trazadas desde el centro de la homología, serán tangentes a la circunferencia (primera forma) y a la parábola (segunda forma).

53 / 63 Se prolongan dichas rectas tangentes hasta que corten a la recta tangente a la parábola en el vértice v2 en los puntos 1 y 2 y a partir de dichos puntos se trazan rectas a 90º (a 90º de O-1 y a 90º de O-2) que cortarán al eje de la parábola en el punto F, que es el foco de la parábola. Para obtener la directriz basta con trazar una perpendicular al eje de la parábola a una distancia igual a v2-f, y así se obtiene el punto F (v2-f = v2-f ). 2 1 Con estos datos, ya es posible construir la parábola. Construcción de una parábola conociendo la directriz y el foco. Por puntos A partir del foco F se sitúan puntos arbitrarios: 1, 2, 3, etc., y por ellos se trazan paralelas a la directriz.

54 / 63 Tomando como radios las distancias F -1, F -2, etc., y haciendo siempre centro en el punto F, se trazan arcos que cortan, respectivamente, a las rectas que pasan por 1, 2, 3, etc., obteniéndose los puntos 1a y 1b, 2a y 2b, y así sucesivamente. Al unir estos puntos con trazo continuo resulta la parábola buscada Resolución completa del ejercicio a escala 1:1 en formato A4 (puede situarse vertical u horizontalmente).

56 / 63 HOMOLOGÍAS (unidades en milímetros). EJERCICIO 10 Transformación homológica de una circunferencia en una hipérbola. Datos centro O, eje E y recta limite de la primera forma L1, así como la circunferencia de centro y diámetros dados. La circunferencia corta en dos puntos a la recta límite de la primera forma. Se considera a la circunferencia dada un elemento de la primera forma, y a la hipérbola buscada, un elemento de la segunda forma. El resultado de la transformación será una hipérbola porque la circunferencia dada corta a la recta límite de la primera forma en dos puntos. Los homológicos de los puntos de corte estarán en el infinito (por pertenecer a la recta límite de la primera forma). La circunferencia corta a la recta límite de la primera forma en dos puntos (n1 y m1). Los homológicos de dichos puntos estarán en el infinito. Se determinan las rectas tangentes a la circunferencia en n1 y en m1, así como el punto de corte de dichas rectas (P1).

57 / 63 La tangencia se conserva en la homología: una recta tangente a la primera forma (la circunferencia) tendrá como recta homológica a una recta tangente a la segunda forma (la hipérbola). Los puntos de tangencia en la primera forma tendrán como puntos homológicos a puntos de tangencia en la segunda forma. PROPIEDADES DE LAS FIGURAS HOMOLÓGICAS A1-A2 PUNTOS HOMOLÓGICOS R1-R2 RECTAS HOMOLÓGICAS F1-F2 FIGURAS HOMOLÓGICAS SI R1 ES TANGENTE A F1 EN A1 R2 ES TANGENTE A F2 EN A2 SI R1 ES TANGENTE A F1 EN EL PUNTO DE CORTE DE F1 CON L1 R2 ES UNA ASÍNTOTA DE F2 Como n1 y m1 pertenecen a la recta límite de la primera forma, sus homológicos estarán en el infinito, por lo que las rectas homológicas de las tangentes a la circunferencia, serán tangentes a la hipérbola en el infinito, es decir, serán las rectas asíntotas de la hipérbola. El punto de corte de las rectas tangentes en la primera forma (P1), será punto de corte de las rectas homológicas de las tangentes anteriores, es decir, de las asíntotas, luego será el centro de la hipérbola (P2), donde dichas rectas asíntotas a la hipérbola se cortan.

58 / 63 El eje focal (también llamado eje transverso o eje real) se determina como la recta bisectriz de las asíntotas obtenidas. El eje conjugado (también llamado eje imaginario) se obtiene trazando la recta perpendicular al eje real en el centro de la hipérbola (P2).

59 / 63 Para determinar los vértices de la hipérbola hay que obtener la recta de la primera forma de la cual es homológica el eje real obtenido. Para ello se traza una paralela al eje real por el centro de la homología (punto O). Dicha recta corta a la recta límite de la primera forma en un punto, que junto con el punto de corte del eje real con el eje, determinan la recta buscada. Esta recta corta a la circunferencia en los puntos v1 y w1. La recta v1-w1 representa la recta de la primera forma cuya recta homológica es el eje real de la hipérbola. Los homológicos de los puntos v1 y w1, denotados por v2 y w2, son los vértices de la hipérbola.

60 / 63 Obtención de los focos de la hipérbola. Se trazan rectas perpendiculares al eje real a partir de los vértices v2 y w2. Con centro en el punto P2 (centro de la hipérbola) y radio el determinado sobre las asíntotas por los puntos de corte de dichas perpendiculares y el centro de la hipérbola, se traza una circunferencia que cortará al eje real en los puntos F y F, focos de la hipérbola. Conocidos los ejes, las asíntotas, el centro, los vértices y los focos, ya se puede determinar la hipérbola. Para ello se determinan puntos 1, 2, 3, 4, distribuidos sobre el eje real a partir de los puntos F y F. Ejemplo: punto 1. Con radios w2-1 y v2-1 se determinan circunferencias de centros F y F, que se cortarán en puntos de la hipérbola.

61 / 63 Se procede de esta forma para los puntos 2, 3, 4, Uniendo todos los puntos obtenidos, se determina la hipérbola.

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