Tema 1: El plano complejo

Nota: Las siguientes líneas son un resumen de las cuestiones que se han tratado en clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido en la bibliografía recomendada en la Programación de la asignatura. Tema 1: El plano complejo 1.1. Conjunto de los números complejos. Propiedades Definición 1.1.1 El conjunto de los números complejos se define como el conjunto, C, de pares ordenados de números reales (a, b): C = {(a, b); a 0 R, b 0 R} con la relación de igualdad: (a,b)=(c,d) ] a=c y b=d. Se definen las operaciones suma y multiplicación de la siguiente forma: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) (a,b)(c,d) = (ac - bd, bc + ad) Es fácil ver que el conjunto de los números complejos tiene estructura de cuerpo conmutativo. Además, puesto que los números complejos son pares de números reales, es inmediato establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto, C, y el plano coordenado. Basta con hacer corresponder a cada número complejo (a,b) el punto del plano que tiene como abscisa "a" y como ordenada "b". En la práctica, es mas conveniente, para interpretar geométricamente las operaciones, la identificación del punto del plano (a,b) con el vector que tiene como origen el punto (0,0) y extremo el punto (a,b). Figura 1. Si identificamos el número real, a, como el número complejo de la forma (a,0) resulta que el conjunto, R, de los números reales es identificable con un subconjunto de los números complejos (R R {0}dR R=C). Además, las restricciones de las operaciones definidas en el conjunto C dan lugar, en R, a las operaciones conocidas con números reales. Por tanto, esta extensión de los números reales resulta adecuada pues no introduce ninguna anomalía respecto al tratamiento de los números reales como elementos del conjunto complejo y, de otra parte, podremos solucionar la ecuación que nos proponíamos en el parágrafo anterior como veremos.

Obsérvese que cualquier número real se representa en el plano complejo, en el eje de abscisas por lo que a este se le denomina eje real, llamando al de ordenadas eje imaginario. Si denotamos por i = (0, 1), y 1 = (1,0), podremos escribir el número complejo (a,b) en la forma: (a, b) = a + bi. Cuando el número complejo lo expresamos como la suma, a + bi, diremos que está en forma binómica; si lo escribimos por sus componentes, (a,b), diremos que está en forma cartesiana. Con la forma binómica de los números complejos y la operación multiplicación, se puede comprobar fácilmente que i = -1. Dado un número complejo, z = (a, b) = a + ib, llamamos: a) Módulo de z, y lo representaremos por *z*, al número real positivo *z* ' a % b b) Conjugado de z, representado por z al número complejo: z ' (a,&b) ' a&ib c) Parte real de z, que denotamos Re(z), al número real Re(z) = a. d) Parte imaginaria de z, denotada por Im(z), al número real Im(z)=b. e) Argumento de z, al ángulo que el número complejo (a,b), considerado como vector, forma con el semieje real positivo orientado en sentido contrario a las agujas de reloj. Figura 1.3 Dado un número complejo z = (a,b) su argumento, denotado por arg(z), no es único, puesto que si (ver fig. 1.3) es el ángulo descrito en la definición, también valdría como argumento de z el número real + kb donde k es cualquier número entero. A partir de estas definiciones son inmediatas las siguientes propiedades:

Proposición 1.1. Propiedades elementales de los números complejos Si z, z 1, z son números complejos, se verifican las siguientes propiedades: a) z 1 ±z ' z 1 ± z b) z 1.z ' z 1. z c) Re(z)' z%z z&z ; Im(z)' i d) *z*'*z* e) z.z ' *z* f) *z 1 z *'*z 1 **z *; * z 1 *' *z 1 * z *z * si z 0 g) &*z*#rez#*z*; &*z*#imz#*z* h) *z 1 %z * %*z 1 &z * '*z 1 * %*z * i) j) *z 1 % z * # *z 1 * % *z * * *z 1 * & *z * * # *z 1 & z * k) arg z '&arg z La representación geométrica como vector de un número complejo sugiere otra forma más de escribirlo. En efecto, puesto que un vector se puede caracterizar por su origen, módulo, dirección y sentido, es inmediato ver que se puede identificar un punto del plano complejo dando el módulo de un vector, r, y el ángulo,, que forma dicho vector con la parte positiva del eje de abscisas orientado en sentido contrario a las agujas de un reloj. Cuando el número complejo se da de esta forma (comúnmente representada por r ) decimos que está en forma polar. De geometría elemental se infiere (figura 1.3) que las fórmulas de paso de cartesiana a polar y viceversa son las siguientes: r ' a %b ; tg(θ) ' b a (() a ' rcosθ; b ' rsenθ donde en (*) hay que tener la precaución de que no está determinado de manera única, ya que tg = tg( + kb) y que, además, hay dos ángulos y + B que tienen la misma tangente cuando elegimos un valor de k entero. Por último, estas fórmulas de paso nos proporcionan una nueva representación para z=(a,b) que podríamos escribir como z = rcos + i rsen, a dicha representación se le denomina forma trigonométrica del número complejo. 1.. Multiplicación y división de números complejos Sean los dos números complejos z 1 = r, z = D ". Podemos escribir: z 1 z = r,d " = (r cos + i rsen)(d cos" + i D sen") = = r.d [cos( + ") + i sen( + ")] = (rd) +" Es decir, el producto, en forma polar, de dos números complejos es otro número complejo de módulo el producto de los módulos y argumento la suma de los argumentos. Por lo tanto, obtenemos que *z 1.z * = *z 1 *.*z * y arg(z 1.z ) = arg(z 1 ) + arg(z ) Como ocurre con números reales, una vez definida la multiplicación, surge la operación inversa o división. De Álgebra elemental conocemos que se define la división de dos números como: z 1 ' z si z 1 z &1 z 0

donde z &1 denota el inverso de z. El inverso del número complejo z = a + ib es z &1 ' a a %b &i b a %b ' z *z* ya que zz -1 = 1. De esta manera, se obtiene que para dividir dos números complejos se procede de la siguiente forma: z 1 z ' z 1 z *z * Es decir, para dividir dos números complejos se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Mas sencillo, si cabe, resulta la división en forma polar. De la multiplicación en forma polar se obtiene que: r θ ρ α ' ( r ρ ) θ&α Por lo tanto, para dividir dos números complejos en forma polar se dividen los módulos y se restan los argumentos. De otra forma: * z 1 * ' *z 1 *, arg( z 1 ) ' argz si z *z * z 1 & argz z 0 1.3. Potenciación y radicación de números complejos Dado un número complejo, z = a + ib, y un número natural, n, se define como z n al número complejo que resulta de multiplicar z por sí mismo n veces. Así, z n ' (a%ib) n ' n 0 a n n % a n&1 ib %... % n 1 n b n i n y basta tener en cuenta que i 0 = 1, i 1 = i; i = -1; i 3 = -i; i 4 = 1,... para obtener el número complejo resultante. Sin embargo, cuando el número complejo está en forma polar el resultado es mas inmediato pues: z n ' r θ.r θ...r θ ' (r.r...r) θ %θ%...%θ ' r n nθ luego, para elevar un número complejo a un número natural, n, se procede elevando el módulo a n y multiplicando el argumento por n. Si aplicamos la anterior regla para el número complejo 1 ", obtenemos: (1 α ) n ' 1 nα Y (cosα % isenα) n ' cosnα % isennα igualdad que se conoce como Fórmula de De Moivre, fórmula que es muy útil para el cálculo de las funciones trigonométricas del ángulo doble, triple, etc.

Se definela raíz de índice n de un número complejo, z, como aquel número que al elevarlo a n nos resulta z. Aunque, formalmente, se puede obtener la raíz de un número complejo en forma binómica o cartesiana, se observa inmediatamente que no hay ninguna "regla" sencilla que le permita calcular esas raíces. Si el número complejo se escribe en forma polar, es fácil llegar a una regla práctica con bastante simplicidad. En efecto, se obtiene que un número complejo tiene exactamente n raices enésimas que son: n r θ ' ( n r ) θ % kπ n ; k ' p, p%1, p%, p%3,...,p%n&1 donde p es un número entero prefijado (lo normal es elegir p=0) 1.4. Forma exponencial de un numero complejo. Definición 1.4.1 Exponencial de un número complejo Dado un número complejo, z=a+bi, se define exp(z)=e z por la expresión: e z = e a (cos b + i sen b) De esta definición se siguen las siguientes propiedades de sencilla comprobación: Proposición 1.4.1 Propiedades de la exponencial e z a) e z e w = e z + w, y, b) para todo z complejo. e ' e z & w e z 0 w c) Si z es real e z es real d) Si z=a+bi, *e z * = e a ; arg(e z ) = b e) e kbi - 1 = 0, para todo entero, k f) e z+kbi = e z Nótese que si "a" es un número real se tiene, a partir de la definición de exponencial, la igualdad e ai = cos a + i sen a. A esta igualdad se la denomina igualdad de Euler. La igualdad de Euler, también, nos permite escribir un número complejo z = a+bi que tiene como módulo r y argumento en la forma: z = re i ; a esta notación del número complejo se le denomina forma exponencial. Siguiendo las definiciones de producto o división de complejos, las reglas se establecen de manera natural cuando utilizamos el número complejo de manera exponencial, por ejemplo, z.w=re i De i" = (rd)e i(+") ; es decir, la multiplicación usual de potencias con la misma base. Lo mismo ocurre con la división, potenciación de exponente natural o radicación. 1.5. Razones trigonométricas complejas Si escribimos la identidad de Euler para el valor "-a" obtenemos, aplicando las propiedades de trigonometría, que e -ai = cosa - isena. Sumando y restando, respectivamente, las expresiones de e ia y e -ia, obtenemos las siguientes igualdades: cosa ' e ia % e & ia ; sena ' e ia & e & ia. i

En virtud de estas igualdades, como generalización natural, se definen las razones trigonométricas complejas así: Definición 1.5.1. Razones trigonométricas Dado un número complejo, z=a+bi, se define cosz ' e iz % e & iz ; senz ' e iz & e & iz i tg z ' sen z cos z para cada z 0 C Se puede comprobar que, con esta definición se verifican las propiedades usuales de la trigonometría, tales como a) sen z + cos z = 1 b) sen(z ± w) = senz cosw ± cosz senw c) cos(z ± w) = cosz cosw K senz senw d) sen(-z) = - senz; cos(-z) = cosz e) senz = 0 ] z = kb... Análogamente se define el seno, coseno, tangente hiperbólicas en la forma: Definición 1.5. Razones hiperbólicas Dado un número complejo, z=a+bi, se define shz ' e z & e & z ; chz ' e z % e & z ; thz ' shz chz con lo que obtenemos las propiedades análogas a las razones trigonométricas: a) ch z - sh z = 1. b) sh(z ± w) = shz chw ± chz shw c) ch(z ± w) = chz chw± shz sh w... 1.6. Logaritmos de números complejos -{0}. La función exponencial compleja aplica el conjunto, C, de los números complejos en C Figura 1.4 Esta aplicación, obviamente, no es biyectiva puesto que e z = e z+kbi, sin embargo, si

restringimos el conjunto de partida al conjunto H a = R [a, a+b), donde "a" es un número real, la exponencial si resulta ser una función biyectiva. (ver fig 1.3) Por tanto, la aplicación f(z)=e z definida de H a en C -{0} es inyectiva y suprayectiva. En tal caso, dado un número complejo, z 0, del conjunto C podemos encontrar otro, w, de H a, tal que e w = z. En efecto, este w es w = ln*z* + i, donde es el argumento de z que está contenido en el intervalo [a, a+b) pues: Así, podríamos definir Definición 1.6.1 Logaritmo complejo Dado un número complejo, z, se define e w ' e ln *z* % i θ ' e ln*z* e iθ ' *z* e iθ ' z ln(z) = ln *z* + i argz, donde arg z es uno de los argumentos del complejo z. No obstante, si en lugar de =arg z hubiesemos escrito arg z = + B obtendríamos igualmente que e w ' e ln *z* % i(θ%kπ) ' e ln*z* e i(θ%kπ) ' *z* e iθ e ikπ ' *z* e iθ 'z de esta forma, si llamamos Arg(z) = arg z + kb con k 0 Z, entonces ln *z* + i Arg z es el conjunto de todos los logaritmos de un número complejo, z, distinto de cero. Así, si tomamos el angulo = arg(z) 0 [a, a + B), nos encontramos que el número de logaritmos complejos de z es infinito y el conjunto de todos los logaritmos del número complejo, z, lo expresaremos: Ln(z) ' ln*z* % iargz ' ln*z* % i(θ % kπ); donde es el argumento de z que está en el intervalo [a, a+b). k 0 Z Cuando tomamos como valor del logaritmo el definido en 1.6.1, diremos que hemos elegido una rama del logaritmo de z, concretamente, la rama [a, a + B). Habitualmente lo escribiremos poniendo: ln(z) = ln *z* + i argz; a# argz < a + B Si elegimos la rama correspondiente a a=0 decimos que estamos trabajando con la rama principal del logaritmo y al valor del logaritmo que se obtiene se le denomina valor principal del logaritmo. Las propiedades de los logaritmos de números reales se mantienen con esta definición de logaritmo complejo, así ln (z.w) = ln z + ln w z ln = ln z - ln w w ln z n = n ln z Una vez definido el logaritmo de un número complejo podemos definir el logaritmo en cualquier base compleja mediante la expresión: lg w z ' Lnz Lnw y las potencias con exponentes cualesquiera en la forma: z w ' e w Lnz que mantienen las propiedades conocidas de logaritmos y potencias reales.

1.7. Topología del plano complejo Dada la correspondencia biunívoca entre el plano complejo y el plano real, se adopta como topología ordinaria del plano complejo la que se induce de la topología usual en R. No vamos a entrar en detalles por esta razón; simplemente recordamos - con el lenguaje de números complejos - las definiciones y algunas propiedades que usaremos con posterioridad. Definición 1.7.1 Disco abierto centrado en un punto Dado un punto z 0 de C y un número real positivo, r, se define como disco abierto centrado en z 0 y radio r al conjunto: B(z 0, r) ' {z0c; *z&z 0 * < r}. Definición 1.7. Entorno de un punto Dado un punto z 0 de C, se dice que un subconjunto, V, de C es un entorno de z 0 si existe un disco abierto centrado en dicho punto tal que: z 0 0B(z 0, r) dv Obsérvese que un disco abierto centrado en un punto es un entorno de ese punto, asimismo cualquier cuadrado con centro en un punto es también un entorno del punto dado que siempre se puede tomar un disco abierto centrado en el punto y contenido en el cuadrado. Es más, es fácil probar que se puede definir el entorno a partir de conjuntos E(z 0, r) ' 6z 0 ' (x 0,y 0 ); *x&x 0 *<r, *y&y 0 *<r> poniendo en la definición 1.8. que V es un entorno si z 0 0E(z 0, r) dv. Por esta razón usaremos indistintamente discos o cuadrados en situaciones posteriores. Definición 1.7.3 Punto interior, adherente y de acumulación Dado un punto z 0 de C y un subconjunto, A, de C se dice: a) z 0 es un punto interior a A si existe un entorno, V, de z 0 tal que z 0 0 VdA b) z 0 es un punto adherente a A si todo entorno, V, de z 0 tiene puntos en común con A c) Si z 0 es un punto adherente a A, para el cual todos los entornos, V, de A tienen más de un punto en común con A diremos que es un punto de acumulación de A; en otro caso diremos que z 0 es un punto aislado Con estas nociones ya se pueden definir: Conjunto abierto: Se dice que un conjunto, A, es abierto si es el vacío o todos sus puntos son interiores. Conjunto cerrado: Se dice que un conjunto, A, es cerrado si su complementario es abierto. Al igual que en la recta real, se puede probar fácilmente que un conjunto es cerrado si, y sólo si, todos sus puntos son adherentes. Conjunto acotado: Se dice que un conjunto, A, es acotado si existe un número real, M > 0, tal

que *z*# M para todo z 0 A. Conjunto compacto: Diremos que A es compacto si es cerrado y acotado. No entramos en las propiedades genéricas de las nociones que hemos definido y solamente, en el apéndice de este tema, mostramos alguna que nos serán de interés. Para el desarrollo posterior, también nos es útil la noción de los entornos de infinito en el plano complejo. Veamos como los entendemos. Recordemos que en la recta real entendíamos como entorno de +4 a los subconjuntos: {x 0 R; x >K} = (K, 4). Es decir, son todos los números reales a partir de un cierto K. De esta forma, damos una idea intuitiva acerca del infinito, si existiera, como algo que se encuentra a la derecha de la recta real; de forma análoga se definen los entornos de -4. Para extender esta definición en el plano complejo veamos otra forma de representación gráfica del conjunto de los números complejos a través de la denominada esfera de Riemann. Figura 1.5 Si dibujamos una esfera tangente al plano complejo (figura 1.5), sea 0 el punto de tangencia (que suponemos que se corresponde con el cero del plano complejo) y N el punto diametralmente opuesto, sobre la esfera, a 0. Si trazamos rectas que unen N con cualquier punto de la esfera recorremos todo el plano complejo. Es decir, si S es la esfera, podemos establecer una correspondencia biunívoca entre C y S - N, de tal forma que al punto M del plano le corresponde el M' de la esfera. De esta forma hemos representado el conjunto de los números complejos sobre el conjunto S-N que se obtiene "quitando" de la esfera el polo N. Ahora podremos asimilar el punto del infinito complejo como el punto N que nos falta para completar la esfera. De esta manera, un entorno de infinito no sería mas que la proyección de los casquetes esféricos centrados en N sobre el plano complejo.. Teorema. (Bolzano) Todo subconjunto compacto e infinito tiene, al menos, un punto de acumulación Teorema. (Del recubrimiento de Heine-Borel) Todo recubrimiento formado por conjuntos abiertos de un conjunto compacto contiene un subrecubrimiento de dicho conjunto formado por un número finito de ellos.