. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. Moimieno recilíneo.. Poición en función del iempo. L poición de un prícul que decribe un líne rec qued definid medine l epreión = / 9 +, donde i eá en, reul en m. Deermine: ) l celerción de l prícul cundo u elocidd e de 7 m/; b) u elocidd medi dede = h = 6. c) Dibuje l gráfic iempo-poición, iempo-elocidd iempo-celerción del moimieno de l prícul, durne lo primero ei egundo. 0 P Reolución Ecucione del moimieno 9 d 9 d ) Tiempo en que l elocidd e 7 m/ 7 9 6 4 L ríz negi no iene ignificción fíic en ee co.
Cinemáic de l prícul Pr = 4 4 ; 8 m b) (m) 0-6 6 () m 6 6 (6) 9(6) 0 () 9() 6 0 ( 6) m ; m m c) Tbulción pr dibujr l gráfic 7 (m/) 0 6-6 0-9 0 7 0 6-9 6 () (m/ ) 6 () 6
Cinemáic de l prícul.. Velocidd en función del iempo. L elocidd de un puno P que e muee obre el eje de l ordend, que e un eje ericl dirigido hci rrib, e puede eprer como = 6 4, en donde e d en f/ en ; demá, cundo = 0, enonce = 6 f. Clcule: ) l mgniud l dirección de l celerción del puno cundo = ; b) el deplzmieno del puno P durne lo primero curo egundo; c) l longiud que recorre durne ee mimo lpo. d) Dibuje equemáicmene l gráfic del moimieno del puno P. P 0 Reolución Ecucione del moimieno d Como enonce: d d (6 4) (6 4) 4 C Si = 0, = 6 6 = C Por no: 4 6 6 4 d ) Pr = () ; f 6
4 Cinemáic de l prícul b) (f) 4 0 8 6-6 4 () En donde: 4 (4) 4(4) 6 8 6 0 8 6 f c) Pr conocer l dinci que recorre, ineigremo cundo = 0 7 (f/) 0 6 4 4-4 4 () Sólo l ríz poii iene ignificdo fíico () 4() 6 6 Por no, l prícul e moió de 0 = 6 = 6 luego 4 = 8 (f/ ) D D ( 0 ) ( 4) 6 6 8 ( 6) 64 4 D 96 f d) Tbulción pr dibujr l gráfic 4 () 0 4 6-6 8-4 0 7 0 4 48
Cinemáic de l prícul 5. En l figur prece l gráfic de l mgniud de l elocidd de un prícul en función del iempo. Se be que cundo = 0, l poición de l prícul e = + 8 in. Dibuje l gráfic iempocelerción iempo-poición del moimieno de l prícul. 0-0 (in/) 4 6 () Reolución (in/ ) L mgniud de l celerción e igul l pendiene de l gráfic iempo-elocidd; durne lo primero curo egundo e poii de 40/4 = 0 depué e nul. 0 () (L gráfic iempo-celerción puede er diconinu como en ee co, pero nunc l gráfic iempoelocidd iempo-poición) 4 6 (in) 48 8 4 6 0 () L gráfic iempo-poición comienz, egún lo o, en = + 8. Dede = 0 h =, l pendiene de l cur que comienz iendo negi, diminuendo en mgniud h hcere nul: el deplzmieno en ee lpo e igul l áre bjo l gráfic iempoelocidd, e decir 0. De 4 el compormieno de l gráfic e inero l nerior cundo = 4, l prícul uele u poición inicil, pue el áre cumuld bjo l gráfic iempo-elocidd e cero. De 4 6, l pendiene e conne, poii de 0, por no, e r de un rec. -
6 Cinemáic de l prícul.. Acelerción en función del iempo (cm/ ) 4. L gráfic de l figur muer l mgniud de l celerción de un prícul que e muee obre un eje horizonl dirigido hci l derech, que llmremo '. Sbiendo que cundo =, = cm = 4.5 cm/, clcule: ) l poición de l prícul cundo u elocidd e nul; b) u elocidd cundo = u poición cundo = 5. 9 6 () Reolución L prícul e muee conforme do lee diin: un de 0 or de 6. Ecucione del moimieno de 0 9 Pue l ordend l origen e 9 l pendiene de l rec e -. d Como, enonce d d (9 ) d (9 ) 9.5 C Si =, 4. 5, conforme lo o 4.5 9().5() C ; C Por no 9.5 d Como, enonce d d (9.5 ) d (9.5 ) 4.5 0.5 C
Cinemáic de l prícul 7 Si =, = 4.5() 0.5() () C C 4.5 0.5 Por lo no, l ecucione del moimieno durne lo primero re egundo on: 0.5 4.5.5 9 9 ) Ineigmo i en lgún inne l elocidd e nul.5 9 0 Diidiendo enre -.5: 6 8 0 Fcorizndo ( 4)( ) 0 4 4 eá fuer del inerlo: en, 0 en ee inne u poición e: 0.5() 4.5() () cm b) Pr =.5() 9().5 cm
8 Cinemáic de l prícul c) Pr ineigr l poición en 5, e necei l ecución del moimieno de 6. 0.5 (l elocidd que lcnzó lo ) Si, 0.5() 4.5() ().5() C C 4.5 Por no:.5.5 Pr 5.5(5).5 ; 4 5 cm
Cinemáic de l prícul 9..4 Solucione gráfic 5. Un ren que pre de l eción A umen u elocidd uniformemene h lcnzr lo 60 km/h. A prir de ee inne comienz frenr, mbién uniformemene, h deenere en l eción B. Si el ije dur eine minuo, cuáno din l ecione A B? (km/h) Reolución Dibujmo l gráfic iempo-elocidd. Como 0 min e igul / de hor, / e el lor de l bci. 60 / (h) Pueo que bjo l gráfic. bh (60) ; 0 km, enonce e igul l áre
0 Cinemáic de l prícul..5 Acelerción en función de l elocidd 6. L celerción de un ión que erriz en un pi 50 m/ e puede eprer, pr un ciero lpo, como = 4 (0), donde i eá en m/, reul en m/. Deermine el iempo requerido pr que el ión reduzc u elocidd 0 m/. Reolución Como l celerción eá en función de l elocidd queremo conocer un iempo, igulmo: d 4 d 000 Seprndo rible 4 d 000 d 50 C 50 Condicione inicile: i 0, 50 0 C 50 C 50 50 50 50 5 Pr 0 50 5 ; 7.5 0
Cinemáic de l prícul 7. Clcule l dinci que requiere el ión del problem nerior pr reducir u elocidd de 50 0 m/. Reolución Primer méodo Priendo de l olución de l ecución diferencil del problem 6: 50 5 Depejndo e igulndo d/ 50 5 50 5 d 50 5 d 50 5 50L( 5) C Hcemo = 0 cundo = 0 0 50L5 C C 50L5 Por no 50L( 5) 50L5 50 L( 5) L5 Por l propiedde de lo logrimo 5 50L 5 Pr = 7.5.5 50L 50L.5 5 9 m
Cinemáic de l prícul Segundo méodo Como l celerción e función de l elocidd deemo conocer un deplzmieno, igulmo: d d 4 000 50 d d d d Seprndo rible d d 50 d d 50 L C 50 Si 0, 50 0 50L C C 50L L L50 50 L L50 50 50 L 50 50 50L Pr 0 50 50L 50L.5 9 m
Cinemáic de l prícul..6 Acelerción en función de l poición 8. L mgniud de l celerción de un collrín que e deliz obre un brr horizonl e epre, en función de u poición, como =, donde e d en in/ en in. Cundo =, enonce = in/ = 6 in. Deermine l poición, l elocidd l celerción del collrín cundo =. Reolución Como l celerción eá epred en función de l d poición, e uiue por d d d Seprndo rible d d C 8 C Si = 6, = De lo o 8(6) C 5 5 C ; C 0 8 4 4 d Suiuimo por d 4 4 Seprndo rible 4 d 4
4 Cinemáic de l prícul 4 4 4 d 4 4 C Si =, = 6 De lo o 8 8 C 4 4 4 4 ; C 0 4 L ecución qued reuel. Derindo repeco l iempo 4 Sifce l ecución originl, que i: 4,, o e, Pr = 8 in 08 in 08 in
Cinemáic de l prícul 5. Moimieno recilíneo uniforme uniformemene celerdo 9. El moor de un uomóil de crrer e cpz de imprimirle, durne ciero lpo, un celerción conne de 5. m/. Si el uomóil eá inicilmene en repoo, dig: ) cuáno iempo le lle lcnzr un elocidd de 00 km/h; b) qué dinci requiere pr ello. Reolución Ecucione del moimieno 5. 5. 5. 5..6 L conne de inegrción on nul, pue cundo = 0 no como on nul. ) 00 km h = 00.6 m = 00.6 5. 00 ; 6.0.6(5.) b).6(6.0) ; 669 m
6 Cinemáic de l prícul 0. Un ren del mero, que ij 60 mi/h, emple 50 f pr deenere, frenndo uniformemene. Cuál e l celerción del ren mienr fren? 60 mi/h Reolución 60 mi 88 h f Como e dee conocer l celerción prir de l elocidd el deplzmieno, emplemo: d d d d d d Pueo que e conne, qued fuer de l inegrl. C Elegimo como origen el puno en el que comienz frenr el ren. Si 0, 88 88 88 0 C C ; 88 88 ; Pr 50 0 88 5.49 500 El igno indic que iene enido conrrio l de l elocidd: 5.49 f
Cinemáic de l prícul 7. Un eledor comercil puede, lo má, no umenr como diminuir u elocidd rzón de.5 m/. Y l máim elocidd que puede lcnzr e de 40 m/min. Clcule el iempo mínimo que necei pr ubir quince pio, priendo del repoo, i cd pio iene 5. m de lur. Reolución Supongmo que el eledor lcnz un elocidd máim l mniene ciero iempo, como e muer en l gráfic (m/) 7.5.5 Δ 0 () 40 40m m min 60 7m L pendiene de l rec inclind e.5, que e l rzón de cmbio de l elocidd. Por lo no de l gráfic por emejnz de riángulo: 0.5 7 0 ; El eledor debe deplzre 5(5.) 76.5 Tl deplzmieno e igul l áre del rpecio en l gráfic b Bh 4 7 4 8 76.5 7 6.5 ; 8. 9 76.5 El iempo ol e.9
8 Cinemáic de l prícul.. Moimieno de ri prícul independiene. Un moocicli rrnc del puno A con un celerción conne =.4 f/ hci l derech. Curo egundo depué, un uomóil p por el puno B, iudo 00 f de A, ijndo hci l izquierd. Sbiendo que l elocidd del uomóil e = 0 f/ conne, dig en dónde el moocicli encuenr el uomóil. Deprecie el mño de lo ehículo. A 00 f B Reolución Tomndo como origen el puno A, eligiendo un eje hci l derech omndo como = 0 el inne en que rrnc el moocicli, l ecucione del moimieno on: Moocicli A 00 f B.4.4. L conne de inegrción on nul. Auomóil 0 0 Negi, porque el enido e conrrio l del eje elegido. 0 C Cundo 4, 00 de lo o, uiuendo 00 0(4) C ; C 0 0 0
Cinemáic de l prícul 9 El moocicli encuenr el uomóil i:.. 0 0 0 0 8.06 0 0. 0 4(.)0.4 Suiuendo en.(8.06) 78. El moocicli encuenr l uomóil 78. f l derech de A. A 78. f
0 Cinemáic de l prícul.. Moimieno de ri prícul conecd. El cuerpo A e deplz hci bjo con un elocidd de 8 m/, l cul umen rzón de 4 m/, mienr B bj 5 m/, que diminue rzón de 0 m/. Clcule l mgniud l dirección no de l elocidd como de l celerción del cuerpo C. A D C B Reolución Velocidd Cuerd que une lo cuerpo A D A B D D C l A D Derindo repeco l iempo 0 A D ; D A () A B C Cuerd que une B con C l l B B C D D C D A = 8 A = 4 B = 5 B = 0 Derindo repeco l iempo 0 B C D De () 0 C B B C () A A Suiuendo: C 5 (8) El igno negio indic que el enido e conrrio l del eje C m
Cinemáic de l prícul Acelerción Derindo l ecución () repeco l iempo: C C B ( 0) (4) A C m
Cinemáic de l prícul. Moimieno curilíneo.. Componene crein 4. Un ión de prueb decribe, inmedimene depué de depegr, un recori cu ecución crein e = 5 (0) -5. Se muee conforme l epreión = 50 + 5, donde eá en, reul en m. Deermine l poición, elocidd celerción del ión cundo = 0. = 5 (0) -5 Reolución L ecucione de l componene horizonle del moimieno on: 50 5 d d 50 0 0 Suiuendo en l ecución de l recori, e obienen l ecucione de l componene ericle 00 m 00 m 5.7 50 d d 5 Pr = 0 (50 5 00 0 4 5 ) (50 0)(50 5 (50 0) ) 0(50 5 ) 000 m 500 500 000 50 5 (000) 00 En form ecoril: r 000i 00 j m
Cinemáic de l prícul Eclrmene: r 000 n 00 ; 000 00 5.7 r 00 m 5. 7 E l poición del ión 50 0(0) 50 0 4 (50)(000) 50 55 m/. Vecorilmene: 50i 50 j Eclrmene: m 50 n 50 50 ; 50. 55 m. E l elocidd del ión 0 0 4 50 0(000) 8. 5 Vecorilmene: 0i 8.5 j m Eclrmene:.96 m/ 9.5 0 8.5 8.5 n ; 0 9.5.96 m 9. 5 E l celerción del ión cundo = 0
4 Cinemáic de l prícul 5. L correder A e muee denro de l rnur conforme e ele el brzo horizonl, que iene un elocidd conne de in/. Clcule l elocidd l celerción de l correder cundo = 6 in. Reolución Como el brzo e muee hci rrib con elocidd conne: 0 Y, por no: A θ 6 L relción enre l coordend de l poición eá eblecid por l ecución de l recori: 6 6 6 ( ) Suiuimo por el lor en función de 6.5 Derindo repeco l iempo Con l ecucione del moimieno l i, podemo reponder l pregun. Si = 6 6.5 4 ríz negi no iene ignificdo fíico.
Cinemáic de l prícul 5 Pr 6 n 6.7 6 6 () 6.6 6 6. in 6.7 Pr el mimo inne 0 in 6 A
6 Cinemáic de l prícul.. Componene inrínec 6. Un locomoor comienz moere dede el puno A conforme l epreión = 4, donde eá en e l longiud en f medid obre l í prir de A. El puno B e hll 4000 f de A u rdio de curur e de 800 f. Dig: ) cuál e l elocidd de l locomoor en B; b) cuál e u celerción en A; c) cuál, en B. Reolución Derindo l epreión de l longiud recorrid repeco l iempo, obenemo: 4 d 8 d 8 ) El iempo que rd en llegr B e: 4000 4 000 Su elocidd por no, iene un mgniud de: 8 000 5 5 f 0 L dirección e perpendiculr l rdio de l cur, pue debe er ngene l recori. b) Como el puno A eá en un rmo reco 8 f Su dirección e l de l recori.
Cinemáic de l prícul 7 c) En el puno B l celerción de l locomoor iene no componene ngencil como norml, porque perenece un cur: 8 0 En dirección de l elocidd n (5) 80 60 800 Dirigid hci el cenro de curur 80 8 80 80.4 60 B 0 8 Se el ángulo que form con l elocidd 8 n 0. ; 5. 7 80 Repeco l horizonl, por no, form un ángulo de: 60 5.7 65. 7 80.4 f 65. 7
8 Cinemáic de l prícul 7. Un uomóil ij por l crreer de l figur umenndo uniformemene u elocidd. P por A con un rpidez de 7 km/h lleg B 08 km/h, cinco egundo depué. Deermine: ) l celerción del uomóil l pr por A; b) el rdio de curur de l crreer en l cim B, biendo que llí l celerción del ehículo e de 4 m/. Reolución n n 7 08 km h km h 7.6 08.6 m m 0 0 m m Como l rpidez umen uniformemene, i.e., l componene ngencil de l celerción e conne, no en A como en B: B 0 0 5 A ) Al pr por A n 0 00 n ( ).8 m 45 b) Al pr por B n ; n
Cinemáic de l prícul 9 n n 4.46 Como n ; n 0 ; 60m.46
0 Cinemáic de l prícul 8. Un moocicli que corre en un pi circulr de 440 f de rdio p por A 60 mi/h; en B, 00 f delne, u elocidd e de 0 mi/h. Sbiendo que el moocicli reduce uniformemene u elocidd, clcule u celerción cundo e encuenr en A. 440 B 00 A Reolución 60 mi 88 h 0 mi 44 h f f Como l reducción de l rpidez e uniforme, l componene ngencil de l celerción e l mim en culquier inne. Como e conoce l función de l dinci recorrid: d d d d d d Por er conne, qued fuer de l inegrl. C Si = 0, = 88 Tomremo como origen el puno A 88 0 C 88 C 88 88 (00) 44 4.5 88
Cinemáic de l prícul En el puno A l componene norml e: n 88 7.6 440 n n 4.5 7.6 ; 4.5 9.5º 7.6.8.8 f 9.5º n 7.6 A 4.5
Cinemáic de l prícul 9. Un buque neg con rpidez conne de 4 nudo. Pr dirigire l puero ir 90 en un minuo. Deermine l mgniud de l celerción del buque durne l mniobr. Reolución Pueo que l mgniud de l elocidd no rí durne l mniobr: 0 Por no n Donde e l elocidd ngulr. 90 Ademá: grdo min 60 rd mill mríim 4 nudo 4 hor 85 4 600 m Por no: 85 (4) 0. 0 600 0. m Y e perpendiculr l elocidd en culquier inne.
Cinemáic de l prícul.. Componene crein e inrínec relciond 0. L recori de un cohee inerplnerio iene l ecución = (0) 5 + 0.8. L componene horizonl de u elocidd e conne de 50 m/. Clcule l rzón del cmbio de l mgniud de u elocidd con repeco l iempo, cundo = 9000 m. = (0) 5 + 0.8 Reolución Primer méodo (0) d 5 d d d 0.8 d d Como l componene horizonl de l elocidd e: n 50 50 50 4(0) d 50 d d 5 d 5 4(0) 4.9 m 0.8 0.04 80 d d L rzón del cmbio de mgniud de l elocidd con repeco l iempo l mide l componene ngencil de l celerción. d Como dich componene iene l dirección de l elocidd, ineigmo é. n n Pr 900: 54, 50
4 Cinemáic de l prícul 54 n 50.7 e el ángulo que form l elocidd con l horizonl, e el mimo que form l celerción con u componene norml. Proecmo l celerción en el eje ngencil. 4.9 en.97 L mgniud de l elocidd diminue rzón de.97 m Segundo méodo e Ecribiendo en lenguje ecoril i i j 50i 54 j j 4.9 j Pr proecr l celerción en el eje ngencil, ineigmo el produco eclr (o produco puno) de do ecore. e En donde e e un ecor unirio en dirección de l elocidd 50 54 4.9 54.97
Cinemáic de l prícul 5. L ecucione prméric de l coordend de l pun de un brzo mecánico on = 5 4 = 50 ; mb reuln en f, i el iempo eá en. Dig qué longiud iene el rdio de curur de l recori de l pun cundo = 0. Reolución Primer méodo Pr hllr el rdio de curur, e requiere conocer l mgniud de l componene norml de l celerción l mgniud de l elocidd. n L ecucione del moimieno on: 5 4 d d 50 d d 5 8 8 4 4 Ineigmo en qué inne 0 0 50 5
6 Cinemáic de l prícul L ríz negi no iene ignificdo fíico en ee co. Pr 5 5 8(5) 5 4(5) 0 5 ( 5) ( 0) 65 5 0 El ángulo que l elocidd form con l horizonl e: n 0 5 5. L celerción en ee mimo inne e: 8 4 8 4 ( 8) ( 4) 4 ( ) 4 5 n Y u dirección repeco l horizonl 4 n ; 6. 6 8 El ángulo que formn enre í l elocidd l celerción e: 6. 5 6.6 L proección de l celerción obre el eje norml e: n co 6.5 4 5 co 6.5 4
Cinemáic de l prícul 7 Por no: n 65 4 56. f en Segundo méodo Uilizndo álgebr ecoril L componene norml de l celerción e puede obener proecndo el ecor celerción obre un ecor unirio e n en dirección del eje norml, el cul e perpendiculr l elocidd. Se e un ecor unirio en dirección de l elocidd e e n n 5 0.8i 0.6 j e n 5i 0 j 0.6i 0.8 j 8i 4 j 0.8i 0.6 j 6.4.4 4 n 65 56. 4 f e
8 Cinemáic de l prícul