149 5.1 Trlción pur 5. CINÉTIC DEL CUERP RÍID 1. El utomóvil repreentdo en l fiur vij hci l izquierd 7 km/h cundo comienz frenr, uniformemente, ht detenere por completo en un lonitud de 40 m. Sbiendo que l m del utomóvil e de 900 k, determine l mnitud de l componente normle de l rección del pvimento obre cd un de l llnt del utomóvil. v v Reolución Invetimo, pr comenzr, l celerción del centro de m del utomóvil, que e iul l de culquier prtícul u. dv v d Como fren uniformemente, l celerción e contnte. d vdv v C Eliiendo como orien l poición en que comienz frenr. Si 0, v 7 km 0 m h 0 0 C ; C 00
150 Cinétic del cuerpo ríido 900 0.7 r r 1.0 0.8 N N v v 400 00 v 400 Pr 40 v 0 0 400 ; 5 m (40) El ino netivo indic que u entido e hci l derech. hor pmo l prte cinétic del problem. Dibujmo un dirm de cuerpo libre que repreente culquier intnte del movimiento en etudio eleimo un item de referenci. L normle on N N pueto que trá de l llnt dibujd h otr do que no e ven. No uilimo de un dirm que repreente l item reultnte de l fuerz que ctún obre el utomóvil. Eleimo como centro de momento: M md El primer miembro correponde l dirm de cuerpo libre; el eundo, l dirm uilir. N (1.8) 900(0.8) 0.7 3.6N 9000.8 900 N 0.8 3.6 3.5 9.81 3.5 9.81 900 9.81 5 0.7 m N 89 k 0 (89) 900 N N 450 89 0 N 160.8 k
Cinétic del cuerpo ríido 151. Sobre el crro-pltform de un tren, e trnport un ropero de l dimenione indicd en l fiur. Se dee invetir cuál e el tiempo mínimo que requiere el tren pr lcnzr un rpidez de 60 mi/h, prtiendo del repoo, in que el ropero e delice ni e vuelque. Lo coeficiente de fricción etátic cinétic entre el ropero el crro on 0.6 0.5, repectivmente. Reolución Pr determinr el tiempo mínimo, obtendremo l máim celerción que puede oportr el ropero. Supondremo, en primer lur, que dicho ropero etá punto de delizre. El dirm de cuerpo libre e muetr en l fiur; l fuerz de fricción e l etátic máim. bjo e preent un dirm uilir que muetr l fuerz reultnte. 0 N P 0 N P m 0.6N 0.6P P 0.6 P 0.6(3.) 19.3 hor upondremo que el ropero etá punto de volcre. El dirm de cuerpo libre el uilir e muetrn l ldo. L componente norml de l rección del crro e encuentr en el etremo izquierdo de l be de utentción. L fricción etátic no lcnz necerimente u vlor máimo. Eleimo el punto de interección de l norml l fricción, que on deconocid, como centro de momento.
15 Cinétic del cuerpo ríido M md P 4 16.1 P (4) (3.3) 4 Pueto que con un celerción uperior 16.1 ft el ropero e volcrí, e ét l máim dmiible. El tiempo mínimo erá por tnto: 16.1 v 16.1t Pr lcnzr 88 16.1 t 60 mi 88 h ft t 5.47
Cinétic del cuerpo ríido 153 3. L brr CD tienen 0.4 m de lro. L brr CD etá conectd en D con un motor que l mueve con un velocidd nulr contnte de 300 rpm en entido ntihorrio. L brr homoéne C tiene 50 k de m. Determine cuál e, en el intnte motrdo en l fiur, l fuerz tipo de efuerzo que etá ujet l brr, biendo que u m e deprecible. Reolución 30 50 C L brr C e mueve con trlción pur curvilíne. L celerción de culquier de u prtícul ólo tiene componente norml. n r l velocidd nulr, en rd /, e 300 10 60 10 0.4 40 t n t n Un vez dibujdo el dirm de cuerpo libre un uilir que muetre el item reultnte, eleimo un item de referenci intríneco. Suponmo que e tenión. Eleiremo C, punto de concurrenci de do incónit, como centro de momento. b b m C M C md 3 b 50b 50 3 50 1000 1000 3 50(9.81) 3 3 40 b 3 9590 N tenión Se trt de un tenión pue, l tener ino poitivo, tifce l hipótei.
154 Cinétic del cuerpo ríido 4. L brr de l fiur e homoéne pe 3. lb. Clcule l tenión que oportrá cd un de l cuerd inclind 45º, en el intnte en que e corte l cuerd horizontl. Clcule tmbién l celerción linel de culquier prtícul de l brr en ee mimo intnte. Reolución T 45 3. 45 T L brr e moverá con trlción pur curvilíne. Dibujmo el dirm de cuerpo libre en el intnte en que empiez el movimiento. Tmbién un dibujo uilir que muetre l fuerz reultnte. Eleimo un item de referenci intríneco. M 0 T 0 b T b T (1) T n m n b b 45 m n t Como l velocidd e nul, 0 T T T T T 3. 3. 4 T 3. 11.38 0 lb n t m t en donde t 3. 3. 3..8 ft 45
Cinétic del cuerpo ríido 155 5. Rotción pur bricéntric 5. Un tmbor de 40 lb de peo ft de rdio etá colocdo obre do plno lio inclindo 45º, como e muetr en l fiur. Por medio de un cuerd idel enrolld en él, e le plic un fuerz contnte de 0 lb. El tmbor tiene un rdio de iro centroidl de 1.5 ft. Clcule l celerción nulr del tmbor l reccione de lo plno obre él. Reolución 0 40 Como el tmbor ir lrededor de un eje que p por u centro de m, el item reultnte de l fuerz que ctún obre él e un pr. Dibujmo el dirm de cuerpo libre del tmbor otro uilir que muetre el pr reultnte. 45 45 Eleimo un item de referenci cuo eje tienen l direccione de l reccione. R αi R R R 0 40 60 0 30 0 R 4.4 lb 45 R R 0 40 0 0 10 0
156 Cinétic del cuerpo ríido R 14.14 lb 45 M 3. 1.5 0() k 40 1.5 I m 40 3. 14.31 rd
Cinétic del cuerpo ríido 157 6. El volnte de l fiur pe 00 k. El conjunto ir por l cción del cuerpo de 10 k que deciende verticlmente. Determine l ten-ión de l cuerd, l celerción linel del cuerpo l celerción nulr del volnte. Reolución T 10 00 Como e trt de un problem de cuerpo conectdo, comenzremo etbleciendo l relción cinemátic entre l celerción linel de l nulr del volnte. r En ete co, r e el rdio de l pole 0. (1) Dibujmo el dirm de cuerpo libre de eleimo un eje de referenci en dirección de l celerción del cuerpo. m 10 10 T 10 T 10 () T R 0. 0.8 hor continumo con el dirm de cuerpo libre del volnte. L rección R del poo tiene que er verticl, pue obre el volnte no ctú ninun fuerz horizontl. Dibujmo tmbién un dirm que muetre el item reultnte. Como l m del volnte etá concentrd 0.8 m del eje de rotción, u momento de inerci e clcul multiplicndo el cudrdo de e ditnci por l m.
158 Cinétic del cuerpo ríido αi I M 00 18.8 0 I 18 0.T 640 T (3) Iulmo () (3), utituendo (1) en () 10 640 10 0. 640 10 9.81 (10) 64 0.158 rd En (3) T 9.97 k en () m 0.0306
Cinétic del cuerpo ríido 159 7. L do pole de l fiur etán ríidmente unid, formndo un cuerpo de 64.4 lb de peo. El rdio de iro de u m e de 0.8 ft, repecto l eje de rotción. Lo cuerpo pen 16.1 lb cd uno etán unido l pole medinte cuerd de peo deprecible. Clcule l celerción nulr de l pole doble l tenión en cd un de l cuerd. Reolución Cuerpo T 16.1 Comenzremo etbleciendo l relcione cinemátic entre lo movimiento de lo tre cuerpo. Pr un punto culquier de l pole. t r por tnto 1. (1) 0.5 () Cuerpo T 16.1 1. 0.5 Como el cuerpo deciende, eleimo un item de referenci diriido hci bjo: m 16.1 16.1 T 3. T 16.1 0. 5 (3) Del cuerpo m 16.1 T 16.1 3. T 16.1 0. 5 (4) L pole doble ir con rotción pur bricéntric, por tnto, el item reultnte de l fuerz que ctún obre ell e un pr. T R T
160 Cinétic del cuerpo ríido αi M I 64.4 1.T 0.5T 0.8 3. 1.T 0.5T 1.8 (5) Sutituendo (3) (4) en (5) 0.5 0.516.1 0.5 1. 16.1 19.3 0.6 8.05 0.5 1.8 1.8 Sutituendo (1) () en et ecución 11.7 0.845 1.8.15 11.7 19.3 0.6 1. 8.05 0.5(0.5 ) 1.8 5.304 rd En (1) () 6.364.65 En (3) (4) T T 1.9 17.43 lb lb
Cinétic del cuerpo ríido 161 8. Lo cuerpo de l fiur etán inicilmente en repoo. Tnto como C pen 0 k. L pole e un cilindro mcizo de 0.15 m de rdio que pe 40 k. Determine l tenión en cd uno de lo trmo de l cuerd el tiempo que e requiere pr que C lcncen un rpidez de 5 m/. L uperficie horizontl e li. Reolución T 1 Cuerpo N Cuerpo L relcione cinemátic entre lo cuerpo on: C r en donde e l celerción nulr de l pole r u rdio. e C 0.15 Como e mueve hci l izquierd, eleimo un eje de referenci en e dirección T 1 m 0 (1) 9.81 Del cuerpo T 0 m 0 T T 0 9.81 0 0 () 9.81 L pole ir con rotción pur lrededor de u centro de m. Tiene un momento de inerci de 1 I mr 1 40 I 0.15 0.0459 k. m 9.81
16 Cinétic del cuerpo ríido Dibujremo un dirm de cuerpo libre un dirm uilir en que prezc el item reultnte de l fuerz, que e un pr. 0.15 T 1 R 0.15 M I 0.15T 0.15T 0.0459 T T 0.0459 T1 1 1 T 0.306 (3) T R Sutituimo (1) () en (3) 0 0 0 0.306 9.81 9.81 αi De l relcione cinemátic 0 0 0 0.15 0.15 0.306 9.81 9.81 40 0 0.15 0.306 9.81 6 0.306 0 9.81 0.917 0 1.8 rd De donde 3. 7 T 6.67 1 k que e l tenión en el trmo de cuerd que une con l pole. En el otro trmo l tenión e (de (3)) T 6.67 0.306 1.1 T 13.33 k
Cinétic del cuerpo ríido 163 5.3 Rotción pur no bricéntric 9. El dico homoéneo de 0.4 m de rdio ir lrededor de un eje horizontl, perpendiculr l plno que lo contiene, que p por. En el intnte motrdo en l fiur, u velocidd nulr e de rd/, en entido ntihorrio. Sbiendo que el dico tiene un m de 50 k, di cuál e u celerción nulr, í como l mnitud dirección de l rección de l rticulción. Reolución t n Dibujremo el dirm de cuerpo libre del dico un dirm uilir que muetre el item equivlente de l fuerz. Eleimo un item de referenci intríneco, en relción. 30 0.4 M I 50en 30º 0.4 I o Por el teorem de lo eje prlelo Rot Ron I I I mr 1 mr mr 3 mr m( ) n αi 0 Entonce: 3 50 50 9.81 3 0.4 0.5 9.81 9.81 1. 0.50.4 0.4 m( ) t 8.175 rd
164 Cinétic del cuerpo ríido n m r Ron 50 Ron 50 t 3 1.6 9.81 m r 50 9.81 0.4 3 35 1 50 Rot 50 8.180.4 9.81 (8.18)(0.4) 1 Rot 50 8.33 9.81 Como lo ino indicn que u entido on contrrio l de lo eje, l componente de Ro on: Ro 35.1 8.33 tn ; 35.1 8.33 36.1 13.3 Ro 36.1 k 73. 3
Cinétic del cuerpo ríido 165 10. L brr homoéne etá rticuld en oportd por un cuerd en. Tiene un m m un lonitud l. Determine tnto l celerción nulr de l brr como l mnitud dirección de l rección de l rticulción en el intnte que e corte l cuerd. Reolución m L brr e moverá con rotción pur lrededor de un eje que p por. Su dirm de cuerpo libre e muetr en l fiur. En el otro dirm e muetr el item de fuerz equivlente de l fuerz que ctún obre l brr en el intnte en que e cort l cuerd. 1 / R o n Empleremo un item de referenci intríneco pr el centro de m, cu celerción norml e nul, que no tiene velocidd linel. M I l 1 m ml 3 l 3 αi 0 t t 3 l m r 3 m Ro m l Ro m 3 4 l m t 1 Ro 4 m
166 Cinétic del cuerpo ríido 11. El rillo de l fiur tiene un rdio r e encuentr en repoo en l poición motrd. Di cuál erá l rpidez nulr máim que lcnzrá, i e uelt dede dich poición. Reolución θ m Ron Dibujremo un dirm de cuerpo libre que repreente un intnte culquier de l rotción del rillo. Tmbién un dirm que muetre un item equivlente de l fuerz. Eleimo un item de referenci intríneco. m Rot Clculmo el momento de inerci de l m repecto l eje de rotción, medinte el teorem de lo eje prlelo. n I I I I mr mr mr mr α I t mω r mαr L ecución que emplemo e M I mr co mr co r d Como d d co d r
Cinétic del cuerpo ríido 167 Seprndo vrible d co d r Interndo d r r co d en C L condicione inicile on 0 0 ; por tnto, l contnte de interción e nul. en r Como l velocidd nulr máim ocurre cundo 90 en 1 má r
168 Cinétic del cuerpo ríido 5.4 Movimiento plno enerl 1. Un efer homoéne de 80 k de m 0.4 m de rdio, e uelt del repoo obre un plno inclindo 15º. L efer deciende rodndo in delizre obre el plno. Clcule, pr culquier intnte del movimiento, l celerción nulr de l efer; l celerción linel de u centro de m; l fuerz de fricción que el plno ejerce obre ell, l mnitud de l componente norml de l rección del plno. Reolución 15 80 0.4 Dibujremo el dirm de cuerpo libre de l efer, repreentndo culquier intnte de u movimiento. Suponemo rbitrrimente el entido de l fuerz de fricción. Eleimo un item de referenci cuo eje equi tiene l dirección de l celerción del centro de m. r N En un dirm uilir dibujremo un fuerz plicd en un pr de mnitud I que formn un item equivlente l que ctú obre l efer. M I 0.4r mr 5 0.4r (80)(0.4) 5 1.8 (1) r αi 03 m r 80(9.81)en15 80 r 80 m Del vlor obtenido en (1) 03 1.8 80 Como l efer rued in delizr:
Cinétic del cuerpo ríido 169 r 0.4 15 80 Por tnto 03 1.8 80(0.4 ) 44.8 03 0.4 4.53 rd r N 1.814 m 15 r 58 N 15 αi El entido verddero de l fuerz de fricción e el que e upuo. 0 N 80(9.81) co15 0 N 758 N 75 m tro método Sbiendo que el punto de contcto de l efer con el plno inclindo e el centro intntáneo de rotción: M CIR I CIR El momento de inerci de l m de l efer repecto ee punto e: I CIR I mr (teorem de lo eje prlelo) I I CIR CIR mr 5 7 mr 5 mr
170 Cinétic del cuerpo ríido Por tnto 7 80(9.81)0.4en15 800.4 5 7 9.81en15 0.4 5 59.81en15.8 4.53 rd r 4.53(0.4) 1.814 m 15 m 80(9.81)en15 r 80(1.814) 80 9.81 en15 1.814 r r 58 N 75 0 N 80(9.81) co15 0 N 758 75
Cinétic del cuerpo ríido 171 13. L brr deld de l fiur e homoéne, pe 16.1 lb mide 3 ft de lro. Pende del punto C por medio de do cuerd td u etremo, como e muetr. En el intnte en que e corte l cuerd C, cuál erá l tenión en l cuerd C? Cuál, l celerción nulr de l brr? Qué mnitud dirección tendrá l celerción linel de u centro de m? Reolución 1.5 Etblecemo l relción entre l celerción nulr de l brr l celerción inicil de u centro de m, tomndo como punto be biendo que tod l velocidde on nul. α 30 r 1.5j 0.5 i 0.5 3 k ( 1.5i) 0.5 i 0.5 3 j j Eclrmente: 0. 5 1.5 0.5 3 (1) () De (1) En ().5 (3) 3 1 Dibujmo el dirm de cuerpo libre de l brr u dirm uilir que muetre un item de fuerz equivlente conforme l item crteino que eleimo.
17 Cinétic del cuerpo ríido 30 1.5 1.5T 1.5 M I 1 en30 0.53 1 0.5T 0.375 T 0.5 (4) 16.1 T m co 30 0.5 3 4 (5) m( ) m T en30 16.1 0.5 0.5T 16.1 0.5 αi m( ) De (4) 0.5 16.1 0.5 0.5 3. (6) Sutituendo (5) (6) en (3) 3 0.5 3. 1.5 0.5 3. 3 3.5 3. 3 9. rd De (4) T 4.6 lb
Cinétic del cuerpo ríido 173 14. Lo tre cuerpo de l fiur etán conectdo medinte un cuerd fleible, inetenible de peo deprecible. pe 0 k. L pole e un cilindro mcizo de 0. m de rdio que pe 30 k. Y C e un crrete de 50 k cuo rdio eterior e de 0.4 m cuo núcleo e de 0.1 m. Sbiendo que el crrete rued in delizr que el rdio de iro de u m repecto l eje de fiur e de 0.5 m, determine l tenión en cd uno de lo trmo de l cuerd (1 ) l celerción nulr del crrete. Reolución α α 0. Comenzremo etbleciendo l relcione cinemáen cuent que e mueve con trlción pur;, con rotción pur bricéntric, C con movimiento plno enerl. L celerción de l cuerd e iul l de. r 0. r 0. 3 (1) C C 0.4 0.1 0.3 CIR Cuerpo T 1 Por tnto 0. 0. 3 C 1. 5 () C Dibujmo lo dirm de cuerpo libre de cd cuerpo un dirm uilir que muetre el item reultnte. 0 m Cuerpo 0 T m 1 0 0 T1 0 De (1) 0 T1 0 0.3 C
174 Cinétic del cuerpo ríido 6 T1 0 C (3) T R Pole 30 α 0. Pole M I 1 30 0.T1 0.T 0. 3 T1 T R T 1 De () T T 4.5 1 C (4) α I Crrete C Como el punto de contcto entre el crrete l uperficie e el centro intntáneo de rotción 0.4 0.1 Cuerpo C 50 T M 0.3T CIR I C CIR ( I mr ) 50 50 0.3T C 0.5 0.4 11.15 0.3T C 37.08 T C (5) N α I C m
Cinétic del cuerpo ríido 175 Sutituendo (3) (5) en (4) 6 37.08 4.5 0 C C C 47.58 C C 0 0(9.81) 47.58 C 4.14 En (3) (5) T 17.48 T 1 15.59 rd k k
176 Cinétic del cuerpo ríido 15. Un rued de ft de rdio 3. lb de peo, cuo m tiene un rdio de iro centroidl de 1.5 ft, e uelt obre un plno inclindo con un ánulo de 30º con l horizontl, como e muetr en l fiur. Lo coeficiente de fricción etátic cinétic entre l rued el plno on 0.16 0.1, repectivmente. Di i l rued e deliz o no obre el plno clcule l fuerz de fricción que éte ejerce obre ell, l celerción nulr de l rued l celerción linel de u centro de m. Reolución 30 3. Supondremo, primero, que l rued no e deliz obre el plno. En ete co, el punto de contcto entre ello e el centro intntáneo de rotción. r CIR N M CIR I 3. I mr 3. 1.5 3. 6.5 5.15 CIR 3. 3. 3. 3. αi Por tnto r 5.15 10.30 m m 1 3. r 1 10.30 16.110.30 5.80 r 0 N 3. N 7.9 3 0 L fuerz de fricción etátic máim e:
Cinétic del cuerpo ríido 177 ' M k N 0.16 7.9 4. 46 30 3. Como 4. 46 lb e menor que 5. 80lb, l rued e deliz obre el plno. Pueto que l rued deliz, l fricción e cinétic k M N 0.1 7.9 k CIR k 3.35 lb 30 3.35 αi 7.9 El dirm de cuerpo libre e el que e muetr: 3.35 M I.97 1.5 rd 1 m m 1 3. 3.35 1 1.75 ft 30
178 Cinétic del cuerpo ríido