MATEMÁTIAS FINANIERAS Secció: 1 Profesores: ristiá Bargsted Adrés Kettlu oteido Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple vs Iterés ompuesto Valor Presete y Valor Futuro Plaificació estratégica
Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple vs. Iterés ompuesto Matemáticas Fiacieras Qué es preferible? $1. Hoy $1. vs 1 E u año t: tiempo Hoy 1 E u año t: tiempo
Matemáticas Fiacieras Valor del Diero e el Tiempo U peso hoy vale más que u peso mañaa. Esta coclusió o se refiere al efecto de la iflació, sio a que si tego u peso hoy, puedo ivertirlo y mañaa voy a teer más que u peso. Dicho de otra maera, ua persoa que tiee $1. hoy, estará dispuesta a ivertir esa catidad (y dejar de cosumir hoy siempre que al cabo de u período recibe los $1. más u premio que compese su sacrificio (tasa de iterés. Valor del Diero e el Tiempo 1. AHORA 1. DENTRO DE 1 AÑO INTERES 1. 1. 4 8 12 meses El iterés es el precio del diero e el tiempo. Iterés f (capital, tiempo, riesgo, iflació
Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple Es el que se calcula sobre u capital que permaece ivariable o costate e el tiempo y el iterés gaado se acumula sólo al térmio de esta trasacció. i 12% aual P 1, S 1,12 4 8 12 Gaacia ó Iterés Moto - apital Iicial 12 meses Gaacia ó Iterés 1,12-1, Gaacia ó Iterés 12 Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple I P x i x I itereses P apital iicial i Tasa de iterés período de tiempo P, i, Importate E esta formula i es la tasa de ua uidad de tiempo y es él úmero de uidades de tiempo. Debe etederse que si i es ua tasa aual, deberá ser él úmero de años, si i es mesual, deberá expresarse e meses.
Matemáticas Fiacieras: It. ompuesto E el iterés compuesto, el iterés (I gaado e cada periodo ( es agregado al capital iicial (P para costituirse e u uevo capital (S sobre el cual se calcula u uevo iterés produciédose lo que se cooce como capitalizació la cual puede ser aual, trimestral, mesual, diaria; y se sigue aplicado hasta que vece la trasacció de acuerdo a lo pactado. 2 P S 1 P P x i S 2 S 1 S 1 x i S 3 S 2 S 2 x i S 4 S 3 S 3 x i S i i i i 1 2 3 4 meses Matemáticas Fiacieras: It. ompuesto E los problemas de iterés compuesto debe expresarse i y e la misma uidad de tiempo efectuado las coversioes apropiadas cuado estas variables correspoda a diferetes períodos de tiempo. Datos P 1, i mesual.1 o 1% mesual 12 meses I? No.Periodos apital Iicial (P Iterés (I P x i p x apitaliteres (S P I (m 1 1. 1. 11. S 1 2 11. 1.1 12.1 S 2 3 12.1 1.2 13.3 S 3 4 13.3 1.3 14.6 S 4 5 14.6 1.4 151. S 5 6 151. 1.5 161.5 S 6
Matemáticas Fiacieras: It. ompuesto P S (1 i S P x (1i i ( ( S (1/ - 1 P log S log P log ( 1 i Dode : P apital iicial i tasa de iterés del periodo periodo de tiempo S Moto total o capital fial Matemáticas Fiacieras: It Simple e It. ompuesto LA DIFERENIA FUNDAMENTAL ENTRE EL INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS OMPUESTO ESTRIBA EN QUE EN EL PRIMERO EL APITAL PERMANEE ONSTANTE, Y EN EL SEGUNDO EL APITAL AMBIA AL FINAL DE ADA PERÍODO DE TIEMPO. Ejemplo: Ua tasa mesual de 1% o es equivalete a ua tasa aual de 12%, a meos que se especifique iterés simple. La tasa compuesta equivale a 1,1 elevado a 12, meos la uidad, es decir, 1,1 12-1 12,68%. (1 c r (1 a r c m 12
Matemáticas Fiacieras: It Simple e It. ompuesto Si se deposita ua catidad, los itereses gaados al cabo de años será iguales a: o iterés simple: Itereses Dode r s a es la tasa o iterés compuesto: Itereses Dode r c a r s a de c [(1 1] r a iterés aual simple es la tasa de iterés aual compuesta Matemáticas Fiacieras: It Simple e It. ompuesto Ejemplo: osidere ua deuda al 12% aual por u moto de 1. UF, a ser pagada e tres años. uál es el valor que habría que pagar? o iterés simple: Por cocepto de devolució de capital, 1. UF Por cocepto de pago de itereses, 3 x,12 x 1.36 UF Total: 1.36 UF. o iterés compuesto: Deuda acumulada año 1: 1. (1,12 1.12 UF Deuda acumulada año 2: 1.12 (1,12 1.254 UF Deuda acumulada año 3: 1.254 (1,12 1.45 UF Método rápido: 1. (1,12 3 1.45 UF
Valor Presete y Valor Futuro Valor Futuro y Valor Presete Si ua persoa ivierte ua catidad P a ua tasa r durate u período qué catidad tedrá al térmio del período? VF 1 P (1r, que se cooce como el valor futuro Si la ivierte por períodos, el valor futuro será VF P (1r Ua persoa recibirá ua catidad F1 al cabo de u año qué catidad hoy sería equivalete a F1 detro de 1 año? F 1 X (1r X Valor Presete VP 1 F 1 /(1r Al factor 1/(1r se le llama factor de descueto o de actualizació, y es ecesariamete meor que 1 porque la tasa r es positiva
Valor Futuro y Valor Presete Valor Futuro y Valor Presete Si la catidad se recibe e períodos más: VP F ( 1 r U caso más geeral es cuado se recibe flujos, uo al fial de cada período: VP F1 (1 r F 2 (1 r 2.... F (1 r VP F t t 1 (1 r t
Valor Futuro y Valor Presete El caso más geeral es cuado las tasas de iterés cambia e cada período. Si las tasas para cada período so r,1 ; r 1,2 ; r 2,3 ; etc., etoces: VP VP F1 (1 r,1 t t 1 i 1 (1 r F t (1 r i 1, i,1 F2 (1 r 1,2... (1 r,1 F...(1 r 1, Aualidad: : Flujo costate que se paga durate años: VP (1 r Fórmulas últiles (1 r (1 r.... 2 1 Multiplicado la ecuació aterior por (1r: 1 r VP.... (1 r (1 r Restado la primera ecuació de la seguda: (1 r VP VP (1 r (1 r ( 2 1 (1 r
Fórmulas últiles Despejado el valor de VP: [(1 r VP (1 r 1] r Perpetuidad: : Flujo costate que se paga ifiitamete VP VP [(1 r Lim > (1 r r 1] r Ejemplo 1 Usted quiere comprar u departameto que cuesta UF 3.6. El baco le ofrece u crédito hipotecario por el 75% del valor, a 1 años plazo, co ua tasa aual de 8%. uáto va a cacelar como dividedo mesual? Primero, calculamos la tasa de iterés mesual: i m (1i a (1/12-1 (1,8 (1/12-1,64,64% mesual El moto del crédito será,75 x UF3.6 UF2.7 El dividedo mesual es: 12 (1 r r (1,64,64 VP 2.7 12 [(1 r 1] [(1,64 1] 2.7,12 UF 32,36
Ua gra tieda ofrece u uevo modelo de televisor. El precio cotado es de $165.99. La tieda ofrece u crédito e 12 cuotas de $17.687 cada ua. uál es la tasa de iterés aual implícita que cobra esta tieda? Sabemos que la relació etre las cuotas y el precio cotado está dado por: Luego: Ejemplo 2 (1 r VP [(1 r r 1] (1 rm.687 165.99 [(1 r 17 12 m Iterado hasta lograr la igualdad, llegamos a que la tasa mesual implícita es de 4%, o e térmios auales, (1,4 12-1,61 6,1% 12 r m 1] Ua persoa obtuvo u crédito de cosumo de $1.3. a 18 meses, pagadero e cuotas iguales, co ua tasa de 1,65% mesual. alcule la cuota. Ejemplo 3 (1 r VP [(1 r r 1] 18 (1,165,165.3. [(1,165 1] 1 18 84.67 E u crédito que se paga e cuotas iguales, cada cuota paga itereses y amortizacioes, e motos variables.
PRESTAMO 1.3. TASA 1,65% mesual PLAZO 18 meses UOTA 84.67 mesual DEUDA AL AMORTIZAIÓN DEUDA AL MES INIIO DEL UOTA INTERÉS DE APITAL FINAL DEL MES MES 1 1.3. 84.67 21.45 62.617 1.237.383 2 1.237.383 84.67 2.417 63.65 1.173.732 3 1.173.732 84.67 19.367 64.71 1.19.32 4 1.19.32 84.67 18.299 65.768 1.43.264 5 1.43.264 84.67 17.214 66.853 976.41 6 976.41 84.67 16.111 67.956 98.454 7 98.454 84.67 14.989 69.78 839.376 8 839.376 84.67 13.85 7.218 769.158 9 769.158 84.67 12.691 71.376 697.782 1 697.782 84.67 11.513 72.554 625.228 11 625.228 84.67 1.316 73.751 551.478 12 551.478 84.67 9.99 74.968 476.51 13 476.51 84.67 7.862 76.25 4.35 14 4.35 84.67 6.65 77.462 322.843 15 322.843 84.67 5.327 78.74 244.12 16 244.12 84.67 4.28 8.4 164.63 17 164.63 84.67 2.77 81.36 82.73 18 82.73 84.67 1.365 82.73 TOTAL 1.513.21 213.21 1.3. PAGO EN UOTAS 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 Amortizació Iterés
Iflació y Tasa de Iterés Iflació: Iflació y Tasa de Iterés Es el aumeto sosteido y geeralizado del ivel de precios Se mide a través del Idice de Precios al osumidor (IP, que refleja los cambios e el precio de ua caasta de biees y servicios. Dicha caasta represeta el cosumo promedio de las familias, y se estima a partir de la Ecuesta de Presupuestos Familiares. Poder adquisitivo del diero: uátas caastas puedo comprar co ua determiada catidad de diero? Si hay iflació el poder adquisitivo cae.
Iflació y Tasa de Iterés Tasa de iterés omial: mide el aumeto e diero, es decir, lo que se paga por sobre lo adeudado. Ejemplo : Depósitos e pesos a ua cierta catidad de días. Tasa de iterés real: mide el aumeto de poder adquisitivo Ejemplo: tasas e UF X% (esto sigifica que al cabo de u año el diero debiera teer el mismo poder adquisitivo que el diero que ivertí Relació etre las tasas de iterés real y omial: Sea: X: atidad de diero dispoible P: Precio de la caasta de biees e período Q: atidad de caastas compradas : Idice de precios e período 1 : Idice de precios e período 1 i : i r : Iflació y Tasa de Iterés Tasa de iterés omial Tasa de iterés real Iicialmete puede comprar: Q X P
Iflació y Tasa de Iterés Si presta X a ua tasa i al fial del período podrá comprar: Q 1 X (1 1 dode f es la tasa de iflació. i P X P (1 (1 i f Q Q (1 (1 i f 1 i r Fialmete, Iflació y Tasa de Iterés (1 i r (1 (1 i f (Ecuació de Fisher Luego, ( 1 i r ( 1 f (1 i
Iflació y tasa de iterés Ejemplo: e qué baco me coviee depositar 1UM, e el baco que ofrece 18% de iterés aual o e el que ofrece UF5.5% aual.