Optimización de funciones P a s o s p a r a l a r e s o l u c i ó n d e p ro b l e m a : 1. S e p l a n t e a l a f u n c i ón que hay que maximizar o minimizar. 2. S e p l a n t e a u n a e c u a c i ón q u e r e l a c i one l a s d i s t i n t a s v a r i a b l e s d e l p r o b l e m a, e n e l c a s o d e q u e h a y a m á s d e u n a v a r i a b l e. 3. S e d e s p e j a u n a v a r i a b l e d e l a e c u a c ión y s e s u s t i t u y e e n l a f u n c i ón de m o d o q u e n o s q u e d e u n a s ola variable. 4. S e d e r i v a l a f u n c i ón y s e i g u a l a a c e r o, p a r a h a l l a r l o s e x t r e mos l o c a les. 5. S e r e a l i z a l a 2 ª derivada p a r a c o m p r o b a r e l r e s u l t ad o o btenido. E j e mp l o : D e t o d o s l o s t r i á n g u l o s i s ó s c e l e s d e 1 2 m d e p e r í m e t r o, h a l l a r l o s l a d o s d e l q u e t o m e área máx i m a. * L a f u n c i ó n q u e t e n e m o s q u e m a x i m i z a r e s e l á r e a d e l t r i á n g u l o : * R e l a c i o n a m o s l a s v a riables: 2 x + 2 y = 12 x = 6 y * S u s t i t u i m o s e n l a f u n c i ó n : * D e r i v a m o s, i g u a l a m os a c e r o y c a l c u l a m o s l a s r a í c e s. * R e a l i z a m o s l a 2 ª d e r i v a d a y s u s t i t u i m o s po r 2, y a q u e l a s o l u c i ó n y = 0 l a d e s c a r t a m os p o r q u e n o h a y u n t r i á n g u l o c u y o l a d o s e a 0. P o r l o q u e q u e d a p r o b a d o q u e e n y = 2 h a y u n m á x i m o. L a b a s e ( 2 y ) m i d e 4 m y l o s l a d o s o b l i c u o s ( x ) t a m b i é n m i d e n 4 m, p o r l o q u e e l t r i a n g u l o d e á r e a m á xima sería un triangulo e q u i l á t e r o.
PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES 1.- O b t e n e r e l t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e á r e a m á x i m a i n s c r i t o e n u n c í r c u l o d e r a d i o 1 2 c m. 2.- U n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e p e r í m e t r o 3 0 c m, g i r a a l r e d e d o r d e s u a l t u r a e n g e n d r a n d o u n c o n o. Q u é va l o r d e b e d a r s e a l a ba s e p a r a q u e e l v o l u m e n d e l c o n o s e a m á x i m o? 3.- S e p r e t e n d e f a b r i c a r u n a l a t a d e c o n s er v a c i l í n d r i c a ( c o n t a p a ) d e 1 l i t r o d e c a p a c i d a d. C u á l e s d e b e n s e r s u s d i m e n s i o n e s p a r a q u e s e u t i l i c e e l m í n i m o p o s i b l e d e m e t a l? 4.- D e s c o m p o n e r e l n ú m e r o 4 4 e n d o s s u m a n d o s t a l e s q u e e l q u ín t u p l o d e l c u a d r a d o d e l p r i m e r o m á s e l s é x t u p l o d e l c u a d r a d o d e l s e g u n d o s e a u n m í n i m o. 5.- S e t i e n e u n a l a m b re d e 1 m d e l o n g i t u d y s e d e s e a d i v i d i r l o e n d o s t r o z o s p a r a f o r m a r c o n u n o d e e l l o s u n c í r c u l o y c o n e l o t r o u n c u a d r a d o. D et e r m i n a r l a l o n g i t u d q u e s e h a d e d a r a c a d a u n o d e l o s t r o z o s p a r a q u e l a s u m a d e l a s á r e a s d e l c í r c u l o y d e l c u a d r a d o s e a m í n i m a. 6.- H a l l a r l a s d i m e n s i o n e s d e l m a y o r r e c t á n g u l o i n s c r i t o e n u n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s q u e t i e n e p o r b a s e 1 0 c m y p o r a l t u r a 1 5 c m. 7.- H a l l a r l a s d i m e n s i o n e s q u e h a c e n m í n i m o e l c o s t e d e u n c o n t e n e d o r q u e t i e n e f o r m a d e p a r a l e l e p í p e d o r e c t a n g u l a r s a b i e n d o q u e s u v o l u m e n h a d e s e r 9 m 3, s u a l t u r a 1 m y e l c o s t e d e s u c o n s t r u c c i ó n p o r m 2 e s d e 5 0 p a r a l a b a s e 6 0 p a r a la e t a p a y 4 0 p a r a c a d a p a r e d l a t e r a l. 8.- R e c o r t a n d o c o n v e n i e n t e m e n t e e n c a d a e s q u i n a d e u n a l á m i n a d e c a r t ó n d e d i m e n s i o n e s 8 0 c m x 5 0 c m u n c u a d r a d o d e l a d o x y d o b l a n d o c o n v e n i e n t e m e n t e ( v é a s e f i g u r a ), s e c o n s t r u y e u n a c a j a. C a l c u l a r x p a r a q u e v o l u m e n d e d i c h a c a j a s e a m á x i m o. 9.- U n a h o j a d e p a p e l d e b e t e n e r 1 8 cm 2 d e t e x t o i m p r e s o, m á r g e n e s s u p e r i o r e i n f e r i o r d e 2 c m d e a l t u r a y má r g e n e s l a t e r a l e s d e 1 c m de a n c h u ra. O b t e n e r raz o n a d a m e n t e l a s d im e n s i o n e s q u e m i n i m i z a n l a s u p e r f i c i e d e l p a p e l. 10.-El b e n e f i c i o n e t o m e n s u a l, e n m i l l o n e s d e e u r o s, d e u n a e m p r e s a q u e f a b r i c a a u t o b u s e s v i e n e d a d o p o r l a f u n c i ó n : B (x ) = 1. 2 x ( 0. 1 x ) 3 d o n d e x e s e l n ú m e r o d e a u t o b u s e s f a b r i c a do s e n u n m e s. 1. C a l c u l a l a p r o d u c c ió n m e n s u a l q u e h a c e n m á x i m o e l b e n e f i c i o. 2. E l b e n e f i c i o m á x i m o c o r r e s p o n d i e n t e a d i c h a p r o d u c c i ó n. 11.- U n a h u e r t a t i e n e a c t u a l m e n t e 2 5 á r b o l e s, q u e p r o d u c e n 6 0 0 f r u t o s c a d a u n o. S e c a l c u l a q u e p o r c a d a á r b o l a d i c i o n a l p l a n t a d o, l a p r o d u c c i ó n d e c a d a á r b o l d i s m i n u y e e n 1 5 f r u t o s. C a l c u l a r : 1. L a p r o d u c c i ó n a c t u a l d e l a h u e r t a. 2. L a p r o d u c c i ó n q u e s e o b t e n d r í a d e c a d a á r b o l s i s e p l a n t a n x á r b o l e s m á s. 3. L a p r o d u c c i ó n a l a q u e a s c e n d e r í a e l t o t a l d e l a h u e r t a s i s e p l a n t a n x á r b o l e s m á s. 4. C u á l d e b e s e r e l n ú m e r o t o t a l d e á r b o l e s q u e d e b e t e n e r l a h u e r t a p a r a q u é l a p r o d u c c i ó n s e a m á x i m a? 12.- Un sec t o r c i r c u l a r t i e n e u n p e r í m e t r o d e 1 0 m. C a l c u l a r E l r a d i o y l a a m p l i t u d d e l s e c t o r d e m a y o r á r e a.
1. O b t e n e r e l t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e á r e a m á x i m a i n s c r i t o e n u n c í r c u l o d e r a d i o 1 2 c m. 2. U n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e p e r í m e t r o 3 0 c m, g i r a a l r e d e d o r d e s u a l t u r a e n g e n d r a n d o u n c o n o. Q u é v a l o r de b e d a r s e a l a b a s e p a r a q u e e l v o l u m e n d e l c o n o s e a m á x i m o?
3. S e p r e t e n d e f a b r i c a r u n a l a t a d e c o n s e r v a c i l í n d r i c a ( c o n t a p a ) d e 1 l i t r o de c a p a c i d a d. C u á l e s d eb e n s e r s u s d i m e n s i o n e s p a r a q u e s e u t i l i c e e l m í n i m o p o s i b l e d e m e t a l? 4. D e s c o m p o n e r e l n ú m e r o 4 4 e n d o s s u m a n d o s t a l e s q u e e l q u í n t u p l o d e l c u a d r a d o d e l p r i m e r o m á s e l s é x t u p l o d e l c u a d r a d o d e l s e g u n d o s e a u n m í n i m o. 5. S e t i e n e u n a l a m b r e d e 1 m d e l o n g i t u d y s e d e s e a d i v i d i r l o e n d o s t r o z o s p a r a f o r m a r c o n u n o d e e l l o s u n c í r c u l o y c o n e l o t r o u n c u a d r a d o. D e t e r m i n a r l a l o n g i t u d q u e s e h a d e d a r a c a d a u n o d e l o s t r o z o s p a r a q u e l a s u ma d e l a s á r e a s d e l c í r c u l o y d e l c u a d r a d o s e a m í n i m a.
6. H a l l a r l a s d i m e n s i o n e s d e l m a y o r r e c t á n g u l o i n s c r i t o e n u n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s q u e t i e n e p o r b a s e 1 0 c m y p o r a l t u r a 1 5 c m. A l t e n e r d o s t r i á n g u l o s s e m e j a n t e s s e c u m p l e q u e : 7. H a l l a r l a s d i m e n s i o n e s q u e h a c e n m í n i m o e l c o s t e d e u n c o n t e n e d o r q u e t i e n e f o r m a d e p a r a l e l e p í p e d o r e c t a n g u l a r s a b i e n d o q u e s u v o l u m e n h a d e s e r 9 m 3, s u a l t u r a 1 m y e l c o s t e d e s u c o n s t r u c c i ó n p o r m 2 e s d e 5 0 p a r a l a ba s e 60 p a r a l a e t a p a y 4 0 p a r a c a da p a r e d l a t e r a l.
8. R e c o r t a n d o c o n v e n i e n t e m e n t e e n c a d a e s q u i n a d e u n a l á m i n a d e c a r t ó n d e d i m e n s i o n e s 8 0 c m x 5 0 c m u n c u a d r a d o d e l a d o x y d o b l a n d o c o n v e n i e n t e m e n t e ( v é a s e f i g u r a ), s e c o n s t r u y e u n a c a ja. C a l c u l a r x pa r a q u e v o l u m e n d e d i c h a c a j a s e a má x i m o. 9. U n a h o j a d e p a p e l d e b e t e n e r 1 8 c m 2 d e t e x t o i m p r e s o, m á r g e n e s s u p e r i o r e i n f e r i o r d e 2 c m d e a l t u r a y m á r g e n e s l a t e r a l e s d e 1 c m d e a n c h u ra. O b t e n e r r a z o n a d a m e n t e l a s d i m e n s i o n e s q u e m i n i m i z a n l a s u p e r f i c i e d e l p a p e l. 1 0. E l b e n e f i c i o n e t o m e n s u a l, e n m i l l o n e s d e e u r o s, d e u n a e m p r e s a q u e f a b r i c a a u t o b u s e s v i e n e d a d o p o r l a f u n c i ó n : B ( x ) = 1. 2 x ( 0. 1 x ) 3 d o n d e x e s e l n ú m e r o d e a u t o b u s e s f a b r i c a d o s e n u n m e s. 1. C a l c u l a l a p r o d u c c i ó n m e n s u a l q u e h a c e n m á x i m o e l b e n e f i c i o. 2. E l b e n e f i c i o m á x i m o c o r r e s p o n d i e n t e a d i c h a p r o d u c c i ó n.
1 1. U n a h u e r t a t i e n e a c t u a l m e n t e 2 5 á r b o l e s, q u e p r o d u c e n 6 0 0 f r u t o s c a d a u n o. S e c a l c u l a q u e p o r c a d a á r b o l a d i c i o n a l p l a n t a d o, l a p r o d u c c i ó n d e c a d a á r b o l d i s m i n u y e e n 1 5 f r u t o s. C a l c u l a r : 1. L a p r o d u c c i ó n a c t u a l d e l a h u e r t a. P r o d u c c i ó n a c t u a l : 2 5 6 0 0 = 1 5. 0 0 0 f r u t o s. 2. L a p r o d u c c i ó n q u e s e o b t e n d r í a d e c a d a á r b o l s i s e p l a n t a n x á r b o l e s m á s. S i s e p l a n t a n x á r b o l e s m á s, l a p r o d u c c i ó n d e c a d a á r b o l s e r á : 6 0 0 1 5 x. 3. L a p r o d u c c i ó n a l a q u e a s c e n d e r í a e l t o t a l d e l a h u e r t a s i s e p l a n t a n x á r b o l e s m á s. P ( x ) = ( 2 5 + x ) ( 6 0 0 1 5 x ) = 1 5 x 2 + 2 2 5 x + 1 5 0 0 4. C u á l d e b e s e r e l n ú m e r o t o t a l d e á r b o l e s q u e d e b e t e n e r l a h u e r t a p a r a q u é l a p r o d u c c i ó n s e a m á x i m a? P ( x ) = 3 0 x + 2 2 5 3 0 x + 2 2 5 = 0 x = 7. 5 P ( x ) = 3 0 < 0 L a p r o d u c c i ó n s e r á m á x i m a s i l a h u e r t a t i e n e 2 5 + 7 = 3 2 ó 2 5 + 8 = 3 3 á r b o l e s 1 2. U n s e c t o r c i r c u l a r t i e n e u n p e r í m e t r o d e 1 0 m. C a l c u l a r E l r a d i o y l a a m p l i t u d d e l s e c t o r d e m a y o r á r e a.
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el cuadrados es máximo. (Sol: x=y=5) producto de sus 2.-Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo? 3.- De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r x 2 de ecuación y 1 (ver figura), determina el que tiene mayor área. 4.-Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m 3. Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima? 5.-Un alambre de longitud 1 m se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima. (Sol: ). 6.-Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm 2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo. 7.-Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B, además afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A y el cuadrado del número de alarmas del tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo debe instalar para maximizar la seguridad? 8.-De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1,2) encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. (Sol: y+2x=4 A=4 u 2 ) 9.-De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm., determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. (Sol: Cuadrado de lado a=2 cm) 10.-Determina las dimensiones de una puerta formada por un rectángulo y un semicírculo (como en la figura), sabiendo que es la que tiene perímetro mínimo entre las que tiene área igual a 2 m 2. 11.-Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y de 108 litros de capacidad. Elegir las dimensiones, con objeto de que sea mínima la superficie empleada. 12.-De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm 2, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. (Sol: cuadrado de lado a=4 cm) 13.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área mayor inscrito en una circunferencia de radio 3.
14.-En agosto de 1584 el matemático Ludovico Ferrari le propuso a su colega Niccola Fontana, apodado Tartaglia, el siguiente problema: Halla dos números reales no negativos cuya suma sea 8, de manera que su producto multiplicado por su diferencia sea máximo. Ayuda a Tartaglia!!, obtén las soluciones de este problema con dos decimales de aproximación. 15.- Sobre un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 100 m y 200m se quiere construir un edificio de planta rectangular, como se muestra en la figura. Hallar las dimensiones que debe tener dicha planta para que su superficie sea máxima. 100m 200 m 16.- Una ventana tiene forma de trapecio rectangular. La base menor mide 20 cm y el lado oblicuo 40 cm. Hallar la base mayor así como el ángulo que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea máxima. Cuál será esta área? Nota: Un trapecio rectangular es un cuadrilátero con dos lados paralelos y en el que uno de los otros dos lados es perpendicular a estos dos lados paralelos. 17.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con capacidad de 270 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 /m 2 y para la base otro material, un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. 18.-En un terreno con forma de semicírculo de radio m, se dibuja un rectángulo como indica la figura, la distancia entre los vértices que están sobre el diámetro es x y la altura y. Hallar las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. 19.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 cm. Si se hace girar alrededor de uno de los catetos, el triángulo engendra un cono. Qué medidas tendrán los catetos para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (V= r 2 h). y x 20.- Dadas la parábola y= x 2 y la recta y=9. Hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene su lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. f(x)=(1/3)x^2 f(x)=9 21.-La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Sabiendo que la hipotenusa debe medir 6 metros, calcular sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.
22.-Se dibuja un rectángulo cuyos vértices inferiores se encuentran en el eje OX y cuyos vértices superiores se encuentran en la curva y = sen x, siendo. a) Escriba una expresión para el área del rectángulo b) Halle el área máxima del rectángulo. (Sol: x=0 710246) 23.-Dos líneas férreas se cortan perpendicularmente. Por cada línea avanza una locomotora, una a 60 km/h y la otra a 120 km/h. Ambas se dirigen hacia el punto de corte y han salido al mismo tiempo desde dos estaciones situadas respectivamente a 40 km y 30 km del punto de intersección. a) Halla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo transcurrido desde el inicio del recorrido. b) Halla el mínimo de esta distancia. (Sol: ) 24.-De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo. (Sol: a=5/3) 25.-Un pastor dispone de 1.000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Podrías indicarle las dimensiones para que el corral sea lo mayor posible? (Sol: a=250, b=500). 26.- Cuál es el número que sumado con 25 veces su inverso da un valor mínimo? (Sol: x=5) 27.- Qué medidas tiene el triángulo rectángulo de máxima área entre todos los que tienen 10 cm de hipotenusa? (Sol: ). 28.- Dos números no negativos son tales que sumando el primero al cuadrado del segundo resulte 9. Halle estos números de manera que su suma sea tan grande como sea posible. (Sol: a=1/2, b=35/4). 29.- Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica con una capacidad de 160 litros. Halla las dimensiones del cilindro para que la cantidad de chapa empleada en su construcción sea mínima. (Sol: R= ). 30.- A un placa de vidrio rectangular de 15 cm de largo y 10 cm de ancho se le ha roto en una esquina un pedazo triangular de tal modo que la longitud ha disminuido en 5 cm y la anchura en 3cm. Queremos aprovechar el vidrio de manera que forme una nueva placa rectangular. Cómo debemos hacer los cortes si queremos que tenga la mayor superficie posible? (Sol: x=2, y=5/3). 31.-Determina un punto de la curva de ecuación sea máxima. (Sol: P(0,0)). en el que la pendiente de la recta tangente 32.-Determina los puntos de la parábola de ecuación y=5-x 2 que están más próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. (Sol: ( 33.-De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12800 m 2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas, determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. (Sol: largo 160 m., ancho 80 m.) )). 34.-Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m 2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.
35.-Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros? 36.-Un alambre de 100 cm de longitud se divide en dos partes, que van a servir de base a dos rectángulos. En uno de los rectángulos, su altura es el doble de la base y, en el otro, su altura es el triple de la base. Determina el punto de división de modo que la suma de sus áreas sea mínima. (Sol: 1º) 60 cm, 2º) 40 37.-Se desea construir un jardín limitado en dos de sus lados por un río que forma un codo de 135º y en los otros dos por una valla ABC de 1,2 km de longitud tal como se observa en la figura. Halla las dimensiones del jardín de área máxima. (Sol: AB=0,8 km BC=0,4 km). 38.-En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula x 2 +70x, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión: el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.. Calcula cuál es 39.-En el 1 er cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y=-x 2 +3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima. 40.-Sea f: [1,+ ] la función definida por ( ). Determina el punto P de la gráfica que se encuentra a menor distancia del punto A (2,0). Cuál es la distancia? 41.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y determina en el 1 er cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área. 42.- Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que: -Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y = 4 x 2, 2 x 2 y el segmento de extremos A y B es horizontal -Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola y = x 2 16, 4 x 4 y el segmento de extremos A y B es también horizontal -Los puntos A y C deben de tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo x -Los puntos B y D deben de tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo -x Se pide obtener razonadamente: a) La expresión S(x) del área del campo rectangular en función del número real positivo x. b) El número real positivo x para que el área sea máxima.
c) El valor del área máxima. 43.- Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 m 3 de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio x y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. El precio del material de la base del depósito es 4 euros/m 2.El precio del material de la pared vertical es 2 euros/m 2. Obtener razonadamente: a) El área de la base y de la pared vertical del cilindro en función de su radio x. b) La función C(x) que da el coste del depósito. c) El valor x del radio de la base para el que el coste del depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo. 44.-En una circunferencia de radio 10 cm se divide en dos partes su diámetro, que a su vez se toma como un diámetro de dos circunferencias tangentes interiores a ella. Qué longitudes deben tener cada una de las partes del diámetro para que sea máxima el área limitada por las tres circunferencias (región sombreada)? 45.-El perímetro de una cara lateral de un prisma recto de base cuadrada es de 60 cm (efectúa un croquis de la figura). Calcule sus dimensiones de forma que su volumen sea máximo.