DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE CUALQUIER BASE Y DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL Sgerencias para qien imparte el crso: Se deberá concebir a la Matemática como na actividad social y cltral, en la qe el conocimiento no se descbre, sino qe se constrye a partir de la formlación y jstificación de conjetras, a través de la búsqeda de patrones y reglaridades, para qe así se convierta a la enseñanza de instrcción a socialización, y al aprendizaje de recepción a constrcción. Propósitos:. Reconocer cándo na fnción eponencial describe n crecimiento o n decaimiento. 2. Reafirmar cómo se reselve na ecación eponencial. 3. Recordar el procedimiento de la derivación implícita, para obtener la regla para la derivada de la fnción básica eponencial de calqier base. 4. Inferir la regla para la derivada de la fnción básica logaritmo natral, a través de identificar cierta reglaridad en casos particlares. 5. Obtener por medio de la regla de la cadena, la regla para la derivada generalizada de las fnciones eponencial de calqier base y logaritmo natral. EL PROBLEMA DE LAS BACTERIAS ESCHERICHIA COLI Las bacterias escherichia coli (e-coli) se peden encontrar en la vejiga de los seres hmanos, provocando en algnos casos na infección del tracto rinario (ITU). t = 0 Sponiendo qe a na persona se le detectan de inicio 2000 de estas bacterias en la vejiga y qe el número de bacterias presentes t mintos despés pede determinarse f t = 2000 2, responde lo sigiente: con la fnción a) Cántas bacterias e-coli tendrá a los qince mintos? b) Si se considera qe ya eiste na ITU cando se encentren 20,000 bacterias e-coli, cánto tiempo tardará en desarrollar la infección? c) A qé velocidad está amentando el número de bacterias e-coli a los diez mintos? Pregntar: f t?. Qé tipo de fnción es 2. La fnción describe n crecimiento o n decaimiento? Por qé? - 52 Unidad. Derivadas de Fnciones Trascendentes
Es my probable qe la mayoría de almnos respondan correctamente y sin dificltad el inciso a, así qe habrá qe esperar a qe den la respesta para poder continar. También dar n tiempo para qe los almnos respondan el inciso b, sin embargo pede darse el caso qe los almnos no recerden cómo resolver na ecación eponencial, así qe para solcionar esta dificltad se sgiere qe qien imparte el crso coordine los pasos para s resolción, escchando propestas del grpo, aprovechando las correctas y rechazando las incorrectas. Pregntar: 3. Cál fnción convendrá obtener para responder el inciso c? No es difícil qe a esta altra del crso, la mayoría de los almnos f t. respondan qe con la derivada de la fnción d f ( t) ( 2000) dt d 2 = dt Nevamente enfrentamos a los almnos a la necesidad de constrir nevos d 2 conocimientos, porqe en la epresión anterior a qé es igal el factor? dt Hasta ahora sólo se conocen fórmlas para derivar la fnción eponencial natral, así qe a continación se presenta na actividad con na secencia de pasos para obtener las fórmlas para derivar na fnción eponencial de base positiva a distinta de no. Actividad: Completa donde se indica para obtener na fórmla para derivar fnciones f = a, con base a positiva distinta de no. eponenciales de la forma a) Sstitye f ( ) por y. b) Aplica logaritmo natral a ambos miembros de la igaldad. Hacer notar qe en el resltado, y qeda definida como fnción implícita de. c) Aplica la propiedad de logaritmos adecada al segndo miembro de la igaldad. d) Deriva el resltado implícitamente, respecto a. Unidad. Derivadas de Fnciones Trascendentes - 53
En este pnto podría presentarse na dificltad, pesto qe es posible qe los almnos no hayan trabajado este tipo de derivación en el crso anterior, así qe será labor de qien imparte el crso eplicar el procedimiento a segir, qe se resme como sige: Derivar ambos miembros de la igaldad, término a término, considerando a y como na fnción de, y del resltado despejar a dy d. d ( ln a ) d ln y d = d Solicitar qe apliqen la regla de la cadena para derivar el primer miembro de la igaldad y qe observen al derivar el segndo miembro qe ln a es na constante. d ln y dy = ln a dy d Volvemos a la sitación de enfrentar al almno a algo desconocido, porqe a qé es igal d ln y? dy Como de momento no se tiene algna regla qe permita responder tal cestión, la propesta es tilizar el límite de Fermat f ( a) = lím como si- f f ( a ) a a ge: Si f = ln, entonces f a = lím a ln ln a. a No está de más insistir de neva centa qe para qe eista, en este caso el ln ln a lím, es necesario qe los límites laterales sean igales. a a ln ln a Hacer la sgerencia qe para evalar el lím, tomen valores a a = a 0.000000000, y qe consideren valores = a + 0.000000000 para evalar el ln ln a lím. a + a Por ejemplo, para encontrar el valor de f : ln ln ln lím 0.000000000 ln = = 0.00000000-54 Unidad. Derivadas de Fnciones Trascendentes
lím + ln ln ln + 0.000000000 ln = = + 0.00000000 De esto se conclye qe f = Procediendo de manera semejante, solicitar a los almnos qe encentren 4 5 8 6 f 20, cidando qe llegen a los los valores para f, f, f, f y resltados correctos qe son f ( 4) =, f ( 5) =, f ( 8) =, ( 6) f ( 20) =. 20 4 5 8 f = y 6 Posteriormente, pregntar: 4. Hay algna reglaridad en los resltados obtenidos? Cál? A partir de la reglaridad observada conclir y establecer el sigiente concepto clave. Concepto clave: o D ( ln ) Si f ln =. 9. Derivada de la fnción básica logaritmo natral f =, o con las otras notaciones; =, entonces d ln d = f a Volviendo a la derivación implícita para obtener la derivada de se pede responder la pregnta, a qé es igal d ln y dy? dy d = =, ya De la respesta correcta a la pregnta anterior, conclir qe ( y)( ln a) e) Finalmente para obtener la derivada de =, sstitir en la última epresión y por f a a y ehibirla como n nevo concepto clave, Unidad. Derivadas de Fnciones Trascendentes - 55
Concepto clave: 20. Derivada de la fnción básica eponencial de base a Si f = a con base positiva distinta de no, entonces con las otras notaciones; d a d = a ln a o D ( a ) = a ln a f a ln a =, o Pregntar: 5. Se podrá aplicar esta regla a la fnción del problema de las bacterias escherichia coli? Por qé? De la respesta a esas pregntas se hace necesario generalizar la regla introdcida en el concepto clave 20, esto se logrará aplicando la regla de la cadena a la fnción f = a, considerada como la composición de las fnciones = a y h g =, y con ello introdcir el concepto clave sigiente. Concepto clave: 2. Derivada generalizada de la fnción eponencial de base a Si f = a donde a es n número positivo distinto de no y es na fnción derivable de, entonces = = ( a ln a) d d d d d a d a d d Ejercicio. Aplicando el concepto clave 2, obtén la derivada de la fn- f t = 2000 2 del problema de las bacterias e-coli y res- ción ponde el inciso c. - 56 Unidad. Derivadas de Fnciones Trascendentes
Ejercicio 2. En la figra tienes la gráfica de la fnción y = ln, encentra las ecaciones de las rectas tangente y normal en el pnto de intersección con el eje de abscisas y trázalas en el plano de la figra.. Figra Ejercicio 3. Si es na fnción derivable de, constrye por medio de la regla de la cadena el concepto clave 22 qe corresponderá a la derivada generalizada de la fnción logaritmo natral, es decir la deriv f = ln. la derivada de Finalmente proponer ejercicios para reforzar la parte algorítmica, sin perder de vista qe no sea el trabajo prioritario, porqe como ya se ha mencionado, no deberá qedar relegado a segndo término la interpretación geométrica de la deri- vada, ni omitir s significado físico. Unidad. Derivadas de Fnciones Trascendentes - 57