3SO edebé Mtemátic oientd l eneñnz cdémic loque I: Númeo y álgeb. uncione edebé poyecto globl intectivo n
9 GOMTRÍ Rect y ángulo Lo elemento geomético en el te Mucho ecultoe (hillid, Oteiz, lde...) hn utilizdo y utilizn elemento geomético báico, como l ect y lo ángulo, en u compoicione. Obev l ob eill (1992), de le Oldenbug. te eculto ueco e uno de lo pioneo del Pop t. conocido obe todo po u intlcione de te público que epeentn éplic gn ecl de objeto cotidino. ONTNIOS 1. lemento báico de l geometí 2. Ángulo 3. ontuccione geométic con odendo e@ctividd onfección de un eumen Rutin de penmiento TITULR nt en et págin y obev u imágene: http://link.edebe.com/tmq cibe un titul que cpte el pecto má impotnte de u contenido. Poned en común. mbií tu titul t l puet en común? 196
197
Repeentción de ect y plno L ect y lo plno on ilimi tdo, po lo que olmente podemo epeent un pte de ello. 1. lemento báico de l geometí Lo te elemento báico de l geometí on lo punto, l ect y lo plno. 1.1. Punto. Rect. Plno Lo punto pemiten epeent un poición en el epcio. eteminción de un ect Po un punto pn infinit ect. Po do punto olo p un ect. ntonce, un ect qued detemind po do punto. Lo punto e epeentn con do pequeño tzo que e cuzn o con un cículo pequeño y lo imbolizemo con let myúcul (,,...). Un punto e un elemento geomético que identifi c un poición en el epcio. Podemo uni do punto medinte un ect. L ect e epeentn medinte un líne ect y l imbolizemo con let minúcul (,, t...). Un ect e un uceión infi nit de punto itudo en un mim diección. Lo punto y l ect quedn contenido en plno. eteminción de un plno Un plno qued definido po lo iguiente elemento geomético: Te punto no linedo. Un ect y un punto exteio ell. o ect plel. o ect que e cotn. α Lo plno e epeentn medinte un plelogmo y lo imbolizemo con let gieg (α, β, γ...). Un plno e un elemento geomético que poee do dimenione y contiene infinito punto y ect. 1. Repeent un plno α y dibuj, continución, un ect que petenezc l plno. epué, epeent do punto, y : el punto petenece l ect y el punto petenece l plno, peo no l ect. 2. Si te o má punto petenecen l mim ect, decimo que etán linedo. ibuj te punto linedo. 3. Tz tod l ect poible que pen po do de lo punto de l figu. uánt ect h obtenido? ctividde 198 Unidd 9
1.2. Semiect. Segmento. Semiplno ulquie punto de un ect divide et en do pte, denomind emiect. Semiect Oigen Semiect l punto e el oigen de l do emiect. Un emiect e cd un de l pte en que qued dividid un ect po uno culquie de u punto. o punto de un ect delimitn un egmento. Lo punto y on lo extemo del egmento. Segmento xtemo Lo egmento e imbolizn con l let myúcul que fomn u extemo (,...). Un egmento e un fgmento de ect que etá compendido ente do punto, llmdo extemo. l tz un ect en un plno, ete qued dividido en do pte, denomind emiplno. Segmento conecutivo Lo egmento conecutivo on quello que tienen un extemo en común. P Si lo egmento conecutivo petenecen l mim ect e denominn egmento conecutivo linedo. U Q V R W S α 1 X α 2 Un emiplno e cd un de l pte en que qued dividido un plno po un culquie de u ect. 4. ibuj un ect y eñl do punto ditinto obe ell. uánt emiect eultn? Y cuánto egmento? continución, eñl te punto ditinto obe ot ect y detemin el númeo de emiect y de egmento. 5. Indic con qué elemento geomético ocií cd uno de eto ejemplo: ) Un clle dede un plz hci culquie diección. b) Un tmo de clle compendido ente l do clle que lo cotn. 6. uále de eto elemento geomético e pueden medi y cuále no: ect, emiect, egmento? Jutifi c tu epuet. ctividde Rect y ángulo 199
Lug geomético Un lug geomético e un conjunto de punto de un plno que cumplen un popiedd. 1.3. Meditiz de un egmento Obev l figu: L ect pependicul l egmento, denomind meditiz, lo cot po u punto medio y lo divide en do pte igule. L meditiz de un egmento e l ect pependicul l egmento que p po u punto medio. Tmbién e puede defini l meditiz pti de l ditnci de u punto lo extemo del egmento. Obev et figu: Meditiz ijte en que culquie de l líne de l egión tiene l mim longitud que u coepondiente en ; e deci, todo lo punto de l meditiz equiditn de y. L meditiz de un egmento e el lug geomético de lo punto del plno que equiditn de do punto fijo. 7. Obev cómo e contuye l meditiz de un egmento en ete enlce: http://link.edebe.com/8yyk. continución, dibuj l meditiz de un egmento que mide 4 cm y explic el poceo que h eguido p hcelo. 8. ibuj un egmento de 6 cm y u meditiz. ontuye un tiángulo con do de u vétice en lo extemo del egmento, y el tece vétice obe l meditiz. Qué tipo de tiángulo e? ctividde 200 Unidd 9
1.4. Teoem de Tle Obev et do ect ecnte cotd po ot ect plel: u u d egmento delimitdo en un de l ecnte e popocionl l egmento coepondiente delimitdo en l ot ecnte. t popiedd e el teoem de Tle: Si do ect ecnte on cotd po un conjunto de ect plel, lo egmento detemindo en un de ell on popocionle lo egmento coepondiente detemindo en l ot. = =... ' ' ' ' icho teoem pemite detemin el plelimo de do ect, hll medid indiect, dividi un egmento en pte popocionle uno egmento ddo o bien en pte igule... Obev u plicción p dividi un egmento en cinco pte igule. 1. ibujmo el egmento. 3. Unimo el extemo libe del último egmento b con el punto. b b b b b 2. ibujmo un emiect con oigen en. Sobe et emiect itumo conecutivo y linedo cinco egmento de un mim longitud b. b b b b b 4. Tzmo ect plel l egmento nteio que pen po lo punto mcdo en l emiect. b b b b b Plelimo de ect l teoem de Tle puede plice p detemin i do ect on plel o no. Obev l figu. Si e veific que b ' = b b b' entonce l ect y on plel. 9. ivide gáficmente un egmento de longitud = 14 cm en ei pte igule. 10. L ect y on plel. Jutific i l ect t e plel l ect y. 1,5 cm 3 cm 1 cm 2 cm t ctividde Rect y ángulo 201
Unidde de medid de ángulo P medi ángulo hbitulmente e utiliz el gdo exgeiml. Un gdo exgeiml e el ángulo que obtenemo l dividi un ángulo ecto en 90 pte igule. Se imboliz 1. Lo ubmúltiplo del gdo exgeiml on el minuto exgeiml ( ) y el egundo exgeiml ( ). 60 60 Gdo (0) Minuto ( ) Segundo ( ) exgeiml exgeiml exgeiml : 60 : 60 Lo ángulo e miden con el tnpotdo. 2. Ángulo Un ángulo e puede defini como un egión del plno o como un egión bid en un gio. Vétice O Ldo Ldo Ángulo e cd un de l do egione en que qued dividido el plno po do emiect que tienen el mimo oigen o vétice. O Poición finl Poición inicil Semiect genetiz Ángulo e l egión del plno bid l gi un emiect, emiect genetiz, epecto de u oigen dede un poición inicil ht un poición finl. 2.1. lificción de lo ángulo Lo ángulo pueden clifice egún diveo citeio. Según l egión del plno que bcn: ÁNGULO ONVXO ÁNGULO ÓNVO Un ángulo convexo bc un de l cuto egione del plno detemind l polong u ldo po el vétice. Mide má de 0º y meno de 180º. Un ángulo cóncvo bc te de l cuto egione del plno detemind l polong u ldo po el vétice. Mide má de 180º y meno de 360º. 11. lific eto ángulo en cóncvo y convexo: 2 1 5 4 3 6 8 7 ctividde 202 Unidd 9
Según u mplitud o medid: ÁNGULO RTO ÁNGULO GUO ÁNGULO OTUSO = 90 o emiect pependicule fomn un ángulo ecto. Mide 90º. Un ángulo gudo tiene un mplitud meno que un ángulo ecto. Mide meno de 90º. Un ángulo obtuo tiene myo mplitud que un ángulo ecto y meno que uno llno. Mide má de 90º. ÁNGULO NULO ÁNGULO LLNO ÁNGULO OMPLTO O o emiect con el mimo oigen y el mimo entido fomn un ángulo nulo. Mide 0º. O o emiect con el mimo oigen y entido contio fomn un ángulo llno. Mide 180º. O Un ángulo completo tiene un mplitud equivlente cuto ángulo ecto. Mide 360º. do un ángulo, podemo defini u ángulo complementio y u ángulo uplementio: ÁNGULOS OMPLMNTRIOS ÁNGULOS SUPLMNTRIOS ^ + ^ = 90 ^ + ^ = 180 o ángulo on complementio i umn 90. o ángulo on uplementio i umn 180. 12. lific eto ángulo egún u mplitud: 13. omplet et tbl en tu cudeno: Ángulo omplementio Suplementio 35º 70º 125º 50º ctividde 82º Rect y ángulo 203
2.2. iectiz de un ángulo íjte en l figu: ccede l págin http://link.edebe.com/ihc y efectú l ctividde que e poponen obe l biectiz de un ángulo. L emiect que e oigin en el vétice del ángulo, denomind biectiz, lo divide en do ángulo igule. L biectiz de un ángulo e l emiect que lo divide en do ángulo igule. L biectiz tmbién e puede defini pti de l ditnci de u punto lo ldo del ángulo. Obev et figu: iectiz L líne de l egión tienen l mim longitud que u coepondiente de l egión. deci, todo lo punto de l biectiz equiditn de lo ldo del ángulo. L biectiz de un ángulo e el lug geomético de lo punto del plno que equiditn de lo ldo del ángulo. 14. Obev cómo e tz l biectiz de un ángulo en ete vídeo: http://link.edebe.com/gix. continución, dibuj un ángulo de 40º, tz u biectiz y explic el poceo que h eguido p ello. 15. Tz l biectice de lo do ángulo conecutivo de l figu. Qué elción exite ente et do biectice? ctividde 204 Unidd 9
2.3. Relcione ngule L elcione ente ángulo debid u poición compotn popiedde que no pemiten detemin i do ángulo on igule o uplementio in neceidd de efectu ningun opeción. Ángulo detemindo po do ect que e cotn n l figu e puede peci que l cote do ect e fomn cuto ángulo: Ángulo conecutivo Lo ángulo conecutivo on quello que poeen un mimo vétice y tienen un ldo común. O 2 1 4 3 Ldo comúm Lo ángulo ^ y ^ on conecutivo. Según l poición de lo ángulo con epecto l ect, eciben ditinto nombe: ÁNGULOS YNTS Lo ángulo dycente on quello que tienen el vétice y un ldo en común, y u oto do ldo on emiect opuet. Ldo comúm ÁNGULOS OPUSTOS POR L VÉRTI Lo ángulo opueto po el vétice on quello que compten el vétice y lo ldo de uno on polongción de lo ldo del oto. ^ + ^ = 180 Lo ángulo dycente on l vez conecutivo y uplementio, poque junto equivlen un ángulo llno (180 ). O ^ y ^ on dycente; po tnto, ^ + ^ = 180. ^ y ^ on dycente; po tnto, ^ + ^ = 180. ^ = 180 ^ ^ =^ ^ = 180 ^ } el mimo modo e obtiene ^ =^. o ángulo dycente on uplementio. o ángulo opueto po el vétice on igule. 16. Obev et figu e indic cuále on lo pe de ángulo: ) dycente b) Opueto po el vétice ctividde Rect y ángulo 205
1 3 2 4 5 7 6 8 Ángulo detemindo po do plel y un ecnte n l figu de l izquied e puede obev que do ect plel cotd po un ect ecnte deteminn ocho ángulo. to ángulo gudn ente í difeente elcione egún l poición que ocupn. Lo ángulo 3, 4, 5 y 6 on inteno y lo ángulo 1, 2, 7 y 8 on exteno epecto l ect plel. ORRSPONINTS LTRNOS INTRNOS LTRNOS XTRNOS OPUSTOS POR L VÉRTI G H G H G H Lo ángulo coepondiente on lo que etán itudo l mimo ldo de l plel y l mimo ldo de l ecnte. Lo ángulo lteno inteno on lo que etán en l pte inteio de l plel, ditinto ldo de ell y ditinto ldo de l ecnte. Lo ángulo lteno exteno on lo que etán en l pte exteio de l plel, ditinto ldo de ell y ditinto ldo de l ecnte. Lo ángulo opueto po el vétice on lo que etán ditinto ldo de l plel y ditinto ldo de l ecnte. o ángulo coepondiente, do ángulo lteno inteno, do ángulo lteno exteno y do ángulo opueto po el vétice on igule. YNTS ONJUGOS INTRNOS ONJUGOS XTRNOS G H G H Lo ángulo dycente on quello que tienen el vétice y un ldo en común, y u oto do ldo on emiect opuet. Lo ángulo conjugdo inteno on lo ángulo inteno l plel y del mimo ldo de l ecnte. Lo ángulo conjugdo exteno on lo ángulo exteno l plel y del mimo ldo de l ecnte. o ángulo dycente, do ángulo conjugdo inteno y do ángulo conjugdo exteno on uplementio. 17. Obev l tbl de et págin e indic cuále on l pej de ángulo: ) oepondiente e) dycente b) lteno inteno f) onjugdo inteno c) lteno exteno g) onjugdo exteno d) Opueto po el vétice 18. etemin lo pe de ángulo igule. Rzon tu epuet. ctividde 206 Unidd 9
3. ontuccione geométic con odendo Lo pogm de geometí dinámic, ente ello GeoGeb, incopon ecuo p pctic lo concepto peentdo en et unidd; po ejemplo, p tz pe de ángulo y compob u popiedde. Lo icono de l b de hemient que podemo utiliz on lo iguiente: L contuccione geométic e hn deolldo con el pogm GeoGeb, que etá diponible on line, con l opción Webtt, en l págin: www.geogeb.og P tz lo ldo de lo ángulo: Segmento ente do punto P tz ángulo: Ángulo Rect que p po do punto Ángulo dd u mplitud Semiect que p po do punto P tz punto: Nuevo punto Inteección de do objeto Vmo dibuj do pe de ángulo opueto po el vétice. Tzmo un egmento con l hemient. continución, con l mim hemient, tzmo oto egmento que cote l pimeo. on l hemient, tzmo el punto punto de inteección de lo do egmento,. on l hemient, tzmo lo cuto ángulo detemindo po lo egmento. P dibuj lo ángulo, debemo eñl lo te punto, iguiendo un oden detemindo:,, y. Podemo epeti el poceo, cendo nuevo pe de egmento p compob que lo ángulo opueto po el vétice on igule. Utiliz el pogm GeoGeb p eolve l iguiente ctividde: 19. ontuye do pe de ángulo opueto po el vétice utilizndo ot hemient. Utiliz et opcione: P tz lo ldo de lo ángulo: Rect que p po do punto o Semiect que p po do punto. P tz lo ángulo: Ángulo dd u mplitud. P tz el punto de inteección: Nuevo punto. 20. veigu cómo e inetn imágene en GeoGeb. Utiliz un imgen del plno de un ciudd y, con el pogm, mide lguno de lo ángulo que fomn l clle. 21. Tz do ect plel cotd po un ecnte. Muet el vlo de lo ocho ángulo fomdo y compueb que e cumplen l elcione de iguldd y uplementiedd ttd en l págin nteio. ctividde Rect y ángulo 207
TIVIS RSULTS n l imgen, l ect pependicule l be de l ped on plel ente ell. 0,75 m lcul l ditnci ente y y l ditnci ente y. 0,6 m 0,9 m 1,5 m ompede ntiende el enuncido? itingue cuále on lo dto? Hy uficiente infomción? Plnific Puede utiliz lgun de l iguiente ettegi? plic lgún método geomético. ontui un figu. U un teoem. jecut el pln ho e tt de implement l ettegi elegid p eolve el poblem. Revi Son coect l olucione? Stifcen tu olucione lo etblecido en el poblem? n l imgen e muetn do ect ecnte cotd po te plel. onocemo l longitude de te de lo egmento de un de l ect y l longitud de un egmento de l ot. Podemo plic el teoem de Tle p eolve el poblem: Si do ect ecnte on cotd po un conjunto de ect plel, lo egmento detemindo en un de ell on popocionle lo egmento coepondiente detemindo en l ot. deci: 0,75 = = 0,6 0,9 1,5 cibimo l popocione p detemin l ditnci deconocid: 0,75 = 0,75 0,9= 0,6 0,6 0,9 0,675 0,675 = 0,6 = = 1,125 0,6 0,75 = 0,75 1,5= 0,6 0,6 1,5 1,125 1,125 = 0,6 = = 1,875 0,6 L ditnci e de 1,125 m y l ditnci e de 1,875 m. P veific que l olucione on coect, compobmo que e cumplen l popocione etblecid po el teoem de Tle: 0,75 1,125 1,875 = 1,25 ; = 1,25 ; = 1,25 0,6 0,9 1,5 22. Sbiendo que l ect que cotn y on plel, detemin l longitud x. 1 cm 5 cm x 7 cm 23. L ect y b on plel. Jutific i l ect c e plel l ect y b. 6 cm 3 cm b 9 cm 4,5 cm c ctividde 208 Unidd 9
SÍNTSIS LMNTOS ÁSIOS L GOMTRÍ PUNTOS RTS lemento geomético que deciben un poición en el epcio. PLNOS Suceione infinit de punto itudo en un mim diección. lemento geomético de do dimenione que contienen infinito punto y ect. pemiten defini SMIRRTS SGMNTOS podemo tz u Meditiz podemo tz u iectiz pemiten defini ÁNGULOS d un de l do egione en que qued dividido el plno po do emiect que tienen el mimo punto de oigen o vétice. ctividde finle lemento báico de l geometí 24. 25. ibuj en tu cudeno el lug geomético de lo punto equiditnte de lo extemo de un egmento de 5 cm de longitud. Qué nombe ecibe ete lug geomético? Veific, en cd co, i el punto petenece l meditiz del egmento. 26. Obev l figu y elige l opción coect. ) L ditnci dede el punto l punto e meno que l ditnci dede el punto l punto. b) L ditnci dede el punto l punto e igul l ditnci dede el punto l punto. c) L ditnci dede el punto l punto e myo que l ditnci dede el punto l punto. m Rect y ángulo 209
ctividde finle 27. Repeent en tu cudeno el lug geomético de lo punto cuy ditnci l punto e myo o igul l ditnci l punto. 34. d L ect, b y c on plel. lcul l longitude x e y en cd co. y 3 cm x en tu cudeno el punto que e equiditnte de lo vétice del cuddo. y 7 cm b 15 cm 28. Repeent b 7 cm 5 cm x 6 cm c b 3 cm c 35. d Repeent en tu cudeno el punto que e equi 29. onide l cued y ditnte de lo vétice del tiángulo y, continución, dibuj el lug geomético de lo punto equiditnte dicho punto y que contiene lo vétice del tiángulo.. Repeent en tu cudeno l meditice de y de. etemin u inteección. 30. onide l ect. Repeent en tu cudeno el punto medio del egmento. continución, epeent el lug geomético de lo punto que equiditn de u punto medio l mitd de l longitud de. Ángulo 36. Repeent en tu cudeno el lug geomético de lo punto equiditnte de lo ldo de ete ángulo que mide 110º. 31. ivide gáficmente un egmento de 10 cm en iete pte igule y tz un egmento que mid te éptim pte de l longitud de. 32. L ect, y t on plel. etemin l longitud del egmento. b 13 cm 1 x 210 Unidd 9 3 cm 5 cm b c x b) L longitud 2 x ecibe l ccteític de u ángulo inteno. 3 cm 2 cm L ect, b y c on plel. Hll: ) L longitud x + 1 onide el tpecio iócele. 6 cm 33. 37. c 2x 38. Un ángulo ^ mide 40º y u ángulo complementio ^ mide (2x)º. lcul el vlo de x. 39. onide el ángulo O que mide 76º. Sbiendo que O e l biectiz del ángulo, clcul el vlo de x. O (x 3)o cm 5 4 cm 10 cm
40. onide l figu iguiente y clcul el vlo de x. 47. e un ectángulo. etemin el ángulo fomdo po el ldo y el egmento. (4x 1)o 41. 30o 65o O Sbiendo que l ect y on plel y que ^ = 120º, clcul l mplitud del ángulo ^. 48. l tiángulo e equiláteo y l ect y on plel. lific el tiángulo egún u ángulo. 42. L ect y on ecnte. etemin el vlo de x. o (3x 6) 30º 43. 49. d e un tpecio, l ect y on plel y el egmento e pependicul l ect y. lcul el vlo de x. Sbiendo que l ect y on plel, clcul l mplitud del ángulo ^ en cd co. o 110 43o o 135 o (2x) 44. 50. etemin el vlo del ángulo ^. L emiect que p po y e l biectiz del ángulo fomdo po lo egmento y. etemin el vlo de x. d 37o 12 cm 45. 13 cm 2x + 1 L ect y on plel. lcul l mplitud del ángulo ^. 30o e un cuddo y e l biectiz del ángulo fomdo po lo ldo y. lcul el vlo de x. 51. 100o 46. (3x 6)o l tiángulo e iócele, e l biectiz del ángulo fomdo po lo ldo y de dicho tiángulo, e un tiángulo ectángulo, l ect que pn po y po on plel y l ect que pn po y po on ecnte. pti de eto dto, detemin l mplitud del ángulo fomdo po lo 40o ldo y del tiángulo iócele. d Rect y ángulo 211
ctividde finle 52. d Repeent el punto en que e cotn l biectice del tiángulo y, continución, epeent el lug geomético de lo punto equiditnte de dicho punto y que e tngente u ldo. Poblem 53. n Nuev Yok, l Séptim veni- d y l Noven venid on plel. Tenemo do edificio: el en l Séptim y el en l Noven. L ect que p po y po e pependicul l do venid. 58. Jun hbí dibujdo un tiángulo en un hoj de ppel peo cyó un poco de pintu encim de un pte del tiángulo como muet l ilutción. Jun olmente ecued que el punto petenece l meditiz del egmento. ecibe l fom de dibuj oto tiángulo igul con eto dto. 8th l dimenione indicd en l figu y exped en meto. L 9th 54. N 4 cm 9 H 8 I Se be que GH y JI on pim tingule ecto y que MLJINK e un pim cudngul ecto. 5 cm 4 cm x etemin el áe del ectángulo. en l figu quiee be i l clle y on plel. poible? lle t lle 60. Se h colocdo un tblón de mde en l pte upeio de un ecle de do peldño, tl como e obev l deech. 25o etemin l mplitud del ángulo ^. lle 61. Un dipoitivo emite un yo láe en diección un 56. Se petende pefo un pozo p cpt g ntul que e equiditnte de l loclizcione y. lc l figu en tu cudeno y epeent en ell el lug geomético donde e puede pefo el pozo. M O G 55. Mónic tiene un mp y con lo ángulo mcdo 148o 5 6 33o 59. Un tobogán de un pque de tccione tiene 7th uál e el lug geomético de lo punto que equiditn de lo edificio y? etemínlo en el mp. n un gnj, un cobetizo utilizdo p potege lo nimle de l lluvi e poy en do pile y tiene l fom de l figu. etemin l ditnci ente lo do pile. m epejo. Lo ángulo del yo incidente y del yo eflejdo on igule en elción con l noml; eto e, α = β. etemin l mplitude de α y β. Ycimiento ubteáneo de g ntul 57. ludi quiee dividi u bizcocho en nueve pte igule. l bizcocho mide 30 cm de lgo. ecibe cómo puede coneguilo utilizndo un ollo de cued, un egl y un cuchillo. Noml ipoitivo de emiión de láe Ryo incidente α β Ryo eflejdo 35o pejo 62. Un comet tiene l fom de un deltoide (cudiláteo no egul cuyo ldo contiguo on igule do do), tl como muet l figu. Lo punto y petenecen l meditiz del egmento. 52 cm 40 cm lcul el peímeto de l comet. 212 Unidd 9 25 cm
63. L figu muet l omb de un nten (epeentd po el egmento ) en un momento ddo. etemin l longitud de l omb de l nten. x 5 Un tlet tiene un co con un flech en poición de dipo como e muet en l imgen. d l egmento coeponde l cued cundo no etá en poición de dipo. L flech petenece l meditiz del egmento. l egmento mide 0,8 m y el egmento mide 0,6 m cundo etá en poición de dipo. 0,8 m 0,6 m 10 12 3 I G H etemin l longitud de l it H en l poyección. xpe el eultdo con te decimle. d Yolnd etb conduciendo u coche po l clle Río de Jneio y luego entó en l clle Jmic. etemin el ángulo itudo en l equin en que cmbió de diección. lle Río de Jneio ( x2)o 24 etemin l longitud de l cued cundo el tlet l pone en poición de dipo. 65. x+1 l punto de fug e el lug en el cul confluyen l poyeccione de tod l ect plel un ciet diección en el epcio, peo que no on plel l plno de l poyección. d L figu iguiente epeent un cubo egún l poyección del punto de fug en el que l medid etán exped en centímeto. Lo punto, y H petenecen l meditiz del egmento. 4 64. 66. o (3x) 67. d Un pendiente tiene l fom de un cuddo. Un de u pte, el tiángulo ectángulo, e de oo y l ot, el tpecio ectángulo, e de pltino. etemin l mplitud del ángulo fomdo po lo egmento y. o (4x 15) 0,8 m lle Jmic (x)o e@ctividd: onfección de un eumen de elcione ngule lbo un eumen obe l popiedde de lo ángulo detemindo po do plel cotd po un ecnte. P ello: Utiliz un pogm de edición de texto p ce el documento en que e deciben l popiedde de lo ángulo detemindo en cd co: ángulo coepondiente, ángulo lteno inteno, ángulo lteno exteno, ángulo opueto po el vétice, ángulo dycente, ángulo conjugdo inteno y ángulo conjugdo exteno. ÁNGULOS ONJUGOS XTRNOS Lo ángulo conjugdo exteno on lo ángulo exteno l plel y itudo en el mimo ldo de l ecnte. Lo pe de ángulo α y γ y β y δ on ángulo conjugdo exteno. Lo ángulo conjugdo exteno on uplementio poque junto fomn un ángulo llno (180º). Utiliz un pogm de epeentción gáfic p dibuj lo equem coepondiente. Inet lo equem en el documento de texto. Rect y ángulo 213
Pon pueb tu competenci 2 m 1. Un molino de viento tiene 8 vel con fom de tiángulo equiláteo de 2 m de ldo. Obévlo en l ilutción de l deech. ) etemin l mplitud del ángulo α. α b) etemin l mplitud del ángulo β. c) Sbiendo que el punto petenece l biectiz del ángulo α, detemin l mplitud del ángulo fomdo po dich biectiz y el egmento. 45 d) lcul el áe de un vel. 2. enndo etá viitndo vi ciudde epñol. n un de ell tomó un fotogfí del monumento olón. P pode obtene un imgen de todo el monumento, tuvo que etocede x meto, tl y como e muet en l figu iguiente. L ltu del monumento e l longitud del egmento. Lo egmento y on plelo. ) uánto meto etocedió enndo? 35 m b) uánto miden l be y l hipotenu del tiángulo? c) lcul l ltu del monumento olón. 60 m x 28 m d) Sbiendo que lo monumento olón de Huelv, Mdid y celon tienen un ltu de 7 m, 17 m y 57 m, epectivmente, en qué ciudd tomó l fotogfí enndo? 3. Jvie e fi ciondo l jdineí. Su jdín de fl oe etá dividido en do ectángulo, y G, tl y como e muet en l figu: ) lcul el vlo de x. b) Hll l longitud del egmento. xpe el eultdo con un deciml. c) etemin el vlo de y. d) Jvie utiliz un compueto ogánico p bon u floe: peiódicmente viete 5 L po cd meto cuddo de jdín. lcul l cntidd de compueto ogánico que utiliz p bon todo el jdín. y 10 m 15 m 12 m x G 214 Unidd 9
4. Un cento comecil dipone de un ecle mecánic que une te plnt. (15x) o ) etemin el ángulo que fom l ecle mecánic con l plnt 0. Pio 2 b) lcul l longitud de l ecle mecánic ente l plnt 0 y 1. xpe el eultdo in decimle. Pio 0 Pio 1 (x 20) o 10 m 13,7 m c) Hll l ltu ente l plnt 1 y 2. Peent el eultdo con un deciml. d) Sbiendo que l velocidd de l ecle mecánic e de 0,5 m/, clcul cuánto minuto y egundo on neceio p lleg de l plnt 0 l plnt 2. Viión 360º Viit un gleí o un mueo de te contempoáneo, o eliz un viit vitul, po ejemplo en l págin http://link. edebe.com/f79 e qué modo etán peente l ect y lo ángulo en l ob? Jutifíclo con lguno ejemplo. Jun Gi, The open window (1921). Reflexion iio de pendizje xite elción ente el te (pintu, ecultu, fotogfí...) y lo concepto etudido en l unidd? guméntlo. Qué pecto de l unidd te hn llmdo má l tención? Si tuvie que volve tbj ete tem, qué cmbií? pot ugeenci. Rect y ángulo 215