CAPÍTULO III MODELO DE TEORÍA DE COLAS

Capíulo III. Modelo de eoría de ola CAPÍTULO III MODELO DE TEORÍA DE COLAS Tal omo e ha expueo en al aparado referene a al meodología que e eguirá, en el preene apíulo iene omo objeivo eableer un modelo de ola que inene modelizar lo mejor poible el funionamieno de una erminal de onenedore. Se inenará que en el modelo e reflejen el mayor número de variable que ienen una imporania nooria en la operaione poruaria. Para ello, el apíulo e eruura en vario aparado. En el primero de ello, el de inroduión, e eableen la bae a parir de la uale onruir el modelo de eoría de ola. En el iguiene aparado e va a realizar odo el dearrollo analíio, exponiendo aquella expreione que reulan de má ineré y que erán uilizada en lo apíulo poeriore. Ahora bien, el álulo del iempo medio de erviio de lo baro e realizará en un aparado apare, el úlimo, debido al dearrollo epeial que requiere. III. Inroduión Tal omo e ha expueo en al Capíulo II, iguiendo a Daganzo ( 989), el baro erá dividido en elda, ada una de la uale, a u vez, eá formada por re eione de 40. Como e eableió, en ada una de ea eione ólo puede rabajar una grúa on la orrepondiene mano de obra aoiada a ella. Aimimo, la anidad de elda de un baro dará idea de la elora del mimo y, a la pore, de u apaidad. A enor de lo anerior, ada vez que enre un buque formado por elda en el iema e omo e enraen al mimo iempo liene. En oneuenia, paree má apropiado oniderar un iema de ola en que la enrada on en baallón ( bulk arrival). Lo ervidore, por u pare, erán la grúa del muelle y la mano de obra poruaria aoiada a ella. A ada elda le orreponderá un ervidor. A oninuaión deribiremo el modu operandi del iema. Supongamo que enemo grúa en el muelle de la uale i eán oupada e deir, enemo una anidad de buque en arga-dearga al que la uma de u elda e i. Si mienra el iema eá en al iuaión llega un baro de elda, pueden dare do iuaione. Si e menor que -i, enone el baro podrá er ervido y grúa proederán a deargar el baro. Si, por el onrario, e mayor que -i el baro enrará en erviio, pero ólo la -i primera elda del mimo e empezarán a argar-deargar. A medida que el reo de grúa oupada vayan finalizando, la -+i elda reane del baro e irán argando-deargando. Por úlimo, i uando llega el baro oda la grúa eán oupada, enone deberá eperar haa que la primera de ella quede libre. 8

Capíulo III. Modelo de eoría de ola De odo ello e deprende que imponemo una dinámia del iema en que odo lo buque on aendido on el número máximo de grúa poible. En la definiión del iema de ola e aumirán la iguiene upueo: ) El iema de ola iene infinia apaidad de epera y la fuene de llegada de lo baro no on una pare inegral del puero. Lo lugare de epera de lo buque ane de er ervido, lugar de fondeo o inluo el muelle, no ienen limiaión fíia. Ee upueo e perfeamene aumible. El ráfio de onenedore e alamene ompeiivo, por lo que no e pueden permiir exeiva epera. Aí, difíilmene la apaidad de lo lugare de epera e puede ver debordada. ) La llegada de lo buque e aleaoria y igue una diribuión Poion. Ee upueo no e iempre válido. La llegada de lo baro eán programada, por lo que en prinipio endríamo que la llegada iguen un horario onoido. Ahora bien, en muha iuaione, analizando oda la llegada de lo buque en onjuno, í que ieramene obedee a una diribuión Poion. La lieraura epeializada a endido a uilizar al ipo de diribuión ( Plumee 966 y Niolaou 967, por ejemplo). Ahora bien, la llegada de lo liene, la elda de lo buque, on en baallón. Eo e, ada vez que llega un buque al iema de elda e omo i llegaen liene al mimo iempo. 3) Lo ervidore eán formado por la grúa del muelle y la mano de obra aoiada a ella. Todo on idénio. Lo iempo de erviio ( el de la operaione de arga-dearga) en el muelle on independiene e idéniamene diribuido que iguen a una diribuión exponenial de parámero o Erlang on k=. ay iuaione en que la diribuión no e ajua a una exponenial y e uilizan ora diribuione omo Erlang on k>. Aún aí, la diribuión exponenial e una buena primera aproximaión. 4) La anidad de elda de ada baro e una variable aleaoria. E deir, e upone que la elora de lo baro e aleaoria. Dado el iema de ola derio haa ahora, an ólo hay do iuaione en que e pueden rabajar on expreione analíia: uando ea anidad de ela por baro e onane y uando igue una diribuión geoméria. Vamo a uponer el ao en que igue una diribuión geoméria. Y ello en bae a do moivo. Primero, al omo hemo apunado, e obienen expreione analíia on la que poder rabajar. Y, egundo, pueo que ada elda equivale a 3 eione de 40, i la dimenione de lo baro no on muy exeiva, puede ajuare baane bien a la realidad. Para ada buque endríamo poa grúa rabajando. Por ende, a medida que el ráfio de la erminal eé formado por buque de menor dimenión, mejor e ajuará el número de elda por baro a una diribuión geoméria. 5) La diiplina de la ola e primero en llegar, primero en er ervido (FCFS). 9

Capíulo III. Modelo de eoría de ola X = ( a ) a A enor de odo lo anerior el iema de ola erá: M / M / ( ) m III. Dearrollo analíio del modelo de ola A parir de eableer la línea generale que definen el modelo de ola empleado, en ee aparado e raa de ir dando alguna expreione que e irán uilizando en lo aparado poeriore, omo, por ejemplo, el iempo medio de epera de un baro ane de er ervido. No limiaremo a ir dando la reulado, odo ello obenido a parir de lo rabajo de Chaudhry e al. (983) y Kabak (970). Tal omo e ha expuea aneriormene, aumimo que la llegada de lo baro igue una diribuión Poion de parámero onane λ(rimo de llegada de lo baro). La anidad de elda de ada baro,, igue una diribuión geoméria de parámero a, on a m =p(=m), m. iene omo media y omo funión generariz de probabilidad a m A ( z) = a m z. Por oro lado, la grúa obedeen a una diribuión m= exponenial de parámero (rimo de erviio de la elda en érmino de elda por día) por lo que el rimo de erviio de odo el iema e n., para n, y., para n, iendo n el número de elda de lo baro en el iema. Toda la operaiva del iema e onidera que e un proeo de Markov. Uilizando lo reulado de Chaudhry e. al. (983), podemo empezar on la iguiene expreión: np = 0 n n = ( P ρ) [III.] donde: n: la uma de la elda de odo lo baro en el puero. : número de grúa en la erminal. P n : probabilidad del eado eaionario de ener n elda en el puero. P : probabilidad del eado eaionario de ener la grúa oupada. ρ: aa de oupaión. 30

Capíulo III. Modelo de eoría de ola Por u pare, λ ρ = [III.] La probabilidad del eado eaionario P e en el ao general: P = P n [III.3] n= 0 Suiuyendo [III.3] en [III.], obenemo que: ( n) P = ( n) P = ( ρ ) [III.4] n n= 0 n= 0 n Uilizando la fórmula de reurrenia dearrollada por Kabak( 970) e van obeniendo la expreione de la diferene probabilidade eaionaria P,..., P n en funión de P o. Eo e: n k = 0 P = y( n) P A [III.5] n k n k donde: λ y( n) = on ( n ) = min( n, ) [III.6] ( n) A = a ( A =) [III.7] n k n k m m= 0 Con [III.5], [III.6] y [III.7] obenemo lo valore de la diferene P i on i. Para obener P o baa uiuir lo valore de P i en [III.4] y depejar. Para el ao onreo de ener una diribuión de que obedee a una geoméria de parámero a, lo valore de Pi, i 0, que e obienen on: 3

Capíulo III. Modelo de eoría de ola n a Γ( β + n) Pn = Po, n [III.8] n! Γ( β ) P n n [ + a( )], = P ρ ρ n [III.9] Po = [III.0] n a Γ( β + n) a Γ( β + ) + + n! Γ( β ) ( ρ)( a)! Γ( ) n= β Para la expreione [III.8], [III.9] y [III.0], el valor de ρ viene dado por: θ λ λ ρ = = = ( a) ( a) [III.] Por oro lado, de la definiión del número medio de elda en el puero ( L ) on grúa enemo que: = L np n [III.] n=0 Para el iema onreo que no oupa, uilizando lo reulado de Chaudhry e. al. (983), enemo que: L θ + = A () + n= θ 0 n( n) P n [III.3] 3

Capíulo III. Modelo de eoría de ola donde: λ θ = e la inenidad de ráfio A () : e la egunda derivada de la funión generariz de probabilidad A(z) on z=. Siendo, variable aleaoria, la anidad de elda por buque y a m =P(X=m), m, la varianza de, σ a, viene dada por: a + σ = A () a a [III.4] La anidad media de elda de lo baro en el puero, L, vienen dada, a u vez, por: L L, b + L, q = [III.5] donde L, b e la anidad media de elda en erviio y q L, e la anidad media de elda en ola. De [III.] y de [III.4] obenemo la expreión de ea úlima variable definida: L, q ) n=0 = L ( n Pn = L ρ [III.6] Por u pare, L, b = ρ, media del número de elda en erviio, equivalene a la media de la grúa oupada. aa aquí hemo deerminado l anidade media de elda, pero lo que realmene inerea e onoer el número medio de buque en el puero. Para ello, definamo una variable aleaoria X j al que X repreene el número de elda que iene el buque j. Si en un inane dado, en el puero hay r buque ale que la uma de la elda de odo ello vale Z enemo que: X + X +... + X = r Z [III.7] Z, que e una variable aleaoria, e la uma de r variable aleaoria que iguen una diribuión geoméria de parámero a, por lo que Z obedee a una binomial de parámero a y r al que: 33

Capíulo III. Modelo de eoría de ola P z r z z r z Z ( ) = a ( a) [III.8] donde r igue una diribuión onoida. En ea ondiione, la media de buque en el puero erá la media de la variable r. Pueo que [III.8] e raa de una diribuión de probabilidad ompuea y u media viene dada por L ( no olvidemo que z repreena la anidad de elda en el puero), la media de la variable r, que denoaremo por L, vendrá dada por: m z = mz ( r) pr ( r) = rapr ( r) = a r= r= r= rp ( r) = ae( r) = al r Enone, L L = [III.9] a A parir de odo lo reulado aneriore, mediane la uilizaión de la fórmula de Lile ( L = λt, iendo L la media de liene en el iema, λ el rimo de llegada y T el iempo media de eania de lo liene en el iema), e pueden ir obeniendo la iguiene expreione:. Tiempo medio de epera de una elda de un baro ane de er ervida. L, q T, w = [III.0] λ. La media del iempo oal de permanenia de ada elda en el iema puero. T L = [III.] λ En uano al iempo media de erviio de ada grúa ( el iempo medio que e emplea en ada elda para u arga-dearga), viene dada por la media de la diribuión exponenial de parámero, eo e:, = [III.] T 34

Capíulo III. Modelo de eoría de ola La expreione [III.0] y [III.] eán eria de manera genéria en el enido que irven para ualquier diribuión de probabilidad que iga la variable. Si no eñimo a una diribuión geoméria, lo reulado de lo iempo medio on:. Tiempo medio de epera ane de er ervido un buque: T w P = [III.3] ( ρ) ( a). Tiempo medio de epera de una elda de un baro ane de er ervida debido a que e ha empezado a ervir a ora elda del baro. T w,, P a = ρ( ρ)( a) [III.4] 3. El iempo de epera de una elda ane del erviio erá la adiión del iempo de epera del buque ane de er ervido má el de epera ane no e irve a la elda en ueión por haber empezado la arga-dearga a ora elda del baro. Si omamo la media el reulado erá la uma de la expreione [III.3] y [III.4], eo e: T w, ρ + a( ρ) = P [III.5] ρ( a) ( ρ) Finalmene, omo úlimo parámero del iema de ola planeado, definiremo γ omo la razón enre el iempo medio de epera para una elda y el iempo medio de erviio de una elda, a aber: Tw, γ = [III.6] T, 35

Capíulo III. Modelo de eoría de ola A parir de [III.6], [III.0] y [III.] la expreión [III.5] queda, para el upueo de ener una diribuión genéria de la variable, omo: Lq, L γ = Tw, = = [III.7] λ ρ Si ea expreión e pariulariza para una diribuión geoméria de, e iene, dividendo [III.5] on [III.], que: ρ + a( ρ) γ = P [III.8] ρ( a) ( ρ) Para morar la relaión enre la variable involurada del iema de ola definido, en la Figura e muera un gráfio de la evoluión de la variable γ a medida que aumena la aa de oupaión del muelle,ρ, para varia anidade del número de ervidore, grúa; aimimo e repreena γ, raio enre el iempo medio de epera y el de erviio de una elda, y γ, raio enre el iempo medio que debe eperar una elda de un buque para er ervida mienra on ervida ora elda del mimo baro y el iempo medio de erviio. III.3 Cálulo del iempo medio de erviio de un baro En el aparado anerior, en uano a iempo medio, e han dado vario reulado odo ello para la elda; para ada baro, an ólo e ha dado el iempo medio de epera ane de er ervido. En el preene aparado e dearrolla oda una erie de expreione en ara de deerminar el iempo medio de erviio de ada baro. Como premia operaiva, para el eudio del iempo de erviio deben de oniderare varia iuaione en la que puede ear el iema. Aí, i el iema iene -i ervidore diponible uando enra un buque de elda y i e menor o igual que - i, enone oda la elda del baro empezarán a er ervida al mimo iempo. En ale irunania el iempo de erviio del baro erá equivalene al mayor de oda la elda. Si, por el onrario, a la llegada del baro el número de grúa diponible e menor que la anidad de elda del baro, -i<, empezarán a er ervida -+i elda del baro y la reane e deberán eperar a que la grúa vayan finalizando. Para ee upueo, el iempo de erviio del baro erá el horizone emporal ranurrido dede que la primera elda e ervida haa que la úlima e argada-deargada. 36

Capíulo III. Modelo de eoría de ola Tiempo medio de epera/iempo medio de erviio, γ, γ y γ.6. 0.8 0.4 γ γ γ γ γ γ = =4 =4 = =4 = 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 Taa de oupaión, ρ FIGURA. Evoluión de lo valore de γ, γ y γ en funión de la aa de oupaión, ρ, para = y =4. A enor de lo anerior, vamo a deerminar la diribuión de probabilidad del iempo de erviio. En efeo: Sean el número de elda del baro que enra, la anidad de grúa del muelle y i el número de ella argando-deargando. La probabilidad del iempo e erviio de un baro,, vendrá dada por: P( ) = x= i= P( f i) + P( i) [III.9] Reribiendo [III.9] en érmino probabilidade ondiionale e iene que: P( ) = x= i= P( / f i) P( f i) + P( / i) P( i) 37

Capíulo III. Modelo de eoría de ola [III.9] Por oro lado, pueo que lo ueo > -i y -i engloban oda la iuaione poible en que e puede enonrar al iema y pueo que ademá (> -i) ( - i)=0, e igue que: P( f i) + P( i) = [III.30] Inroduiendo [III.30] en [III.9], e iene que e deberán alular re probabilidade. Par ello, en primer lugar alularemo la probabilidad ondiional P(/ > -i), para luego deerminar P(/ -i) y finalmene P( -i). III.3. Cálulo de P(/ > -i) Suponiendo que en el iema enemo que > -i, para alular el iempo de erviio de un baro debemo dividir la elda en do aegoría: la que on ervida inmediaamene a la llegada del baro, la -i primera, y la que deben eperar haa que vayan quedando libre el reo de grúa, la -+i reane. En la Figura enemo una equema de un baro formado por elda. FIGURA. Buque de elda, la -i primera de la uale on aendida por la grúa inmediaamene a la llegada del buque. El iempo de erviio de la -i primera igue a una diribuión exponenial; en ano que para el reo, el iempo de erviio erá la adiión del iempo de epera haa que la grúa pueden empezar a ervir a ada una de ella má el iempo de arga-dearga. Aí: k exp( ) on k -i, 38

Capíulo III. Modelo de eoría de ola k k, w, +, = on -i+ k Por oro lado, upongamo una elda k al que -i+ k. Si el iempo de erviio de la elda e exponenial y hay ervidore, la funión de diribuión del iempo neeario ane que el primer ervidor eé libre e una exponenial de media /.. El iempo que deberá eperar la elda k haa quedar libre la (k-+i)-éima grúa eguirá una diribuión gamma de parámero k-+i, reulado de la onvoluión de la k- exponeniale de media /.. Eo e: k gamma( k + i, ) w, exp( ), La funión de denidad de probabilidad de la do variable on repeivamene: f k w, ( w ( ) ) = k k + i + i w exp( Γ( k + i ) w ) [III.3] f ( ) = exp( ) [III.3], La funión de denidad de probabilidad de la variable k,, f k ( ) onvoluión de la do variable que la definen:, vendrá dada por la k k ( ) = f w, ( w ) f, ( w ) d w 0 f [III.33] Suiuyendo [III.3] y [III.3] en [III.33], e obiene que: k + i k exp( )( ) ( ) = f Γ( k ) k + i k Γ( k) ( ) + i [III.33] Y, en uano a la funión de diribuión aumulada de [30] erá por definiión: 39

Capíulo III. Modelo de eoría de ola F k + i k k ( ) = f ( ) d = k + i ) 0 ( k + i)( ) [ exp( ] [III.34] El iempo de erviio del baro de la Figura,, erá: i i+ {,,...,, } max,,,,,...,, = [III.35] Enone, la funión de diribuión aumulada de probabilidad de, F (), eniendo preene que la -i primera elda ienen un iempo de erviio que obedee a una diribuión exponenial del mimo parámero y que la reane iguen una diribuión omo la [III.33], vendrá dada por: F ( ) = ( F + +... + + i i k i + i ( )) F ( ) = ( exp(. )) ( exp( + i. )) k= i+ ( + i )! [III.36] A parir de la expreión [III.36] e pueden obener el reo de reulado aoiado a la variable. III.3. Cálulo de P(/ -i) En ee ubaparado e raa de deerminar la diribuión de probabilidad del iempo de erviio uponiendo que, uando un buque enra en erviio, oda la elda empiezan a er ervida al mimo iempo. En ee ao, oda lo iempo de arga-dearga de la elda iguen una diribuión exponenial de parámero. Por lo ano, el iempo de erviio del baro,, erá: { } = max,..., [III.37] iendo i, i, el iempo de erviio de la elda i. A enor de [34], la funión de diribuión aumulada (FDA) de, F (), vendrá dada por: 40

Capíulo III. Modelo de eoría de ola F )) ( ) = ( F ( [III.38] iendo F() la diribuión aumulada del iempo de erviio de ada elda. Sin embargo, dado que e una variable aleaoria que igue una diribuión exponenial de parámero a, F() e una diribuión ompuea. Aí, la FDA de erá finalmene: F ( ) = = ( a) ( F ( )) p ( ) = = = = (( exp( )) a) ( exp( )) ( a) a = [III.38] Pueo que [(-exp(- )).a] e menor que uno, la erie anerior e onvergene, on lo que: F ( ) = ( a) [III.38] a( exp( )) Para deerminar la funión de denidad de en un iempo, parimo de [III.38] : f df ( ) ( a) a ( ) = = exp( ) [III.39] d [ a( exp( )) ] Para deerminar la eperanza de, e parirá de la definiión de éa y de la expreión [III.39], dando lugar a: E( exp( ) [III.40] f d a a [ a ] d ) = ( ) = ( ) ( exp( )) 0 0 Reolviendo la anerior inegral por inegraión por pare e onigue finalmene el reulado, eo e: 4

Capíulo III. Modelo de eoría de ola E( ) = a a [III.40] III.3.3 Cálulo de P( -i) Para deerminar la funión de diribuión de probabilidad del iempo de erviio de lo baro, queda finalmene por alular la probabilidad P( -i). Para ello, pueo que i y on variable aleaoria, definiremo una de nueva que erá la uma de amba, J=i+, de al uere que: P( i) = P( + i ) = P( J ) [III.4] Por lo ano, el problema e redue a deerminar la FDA de J. En efeo: La probabilidad de J vendrá dada por la onvoluión de la probabilidade de i y, a aber: P ( J = ) = p ( ) P( i) [III.4] + i= Aí, la expreión [38] endrá la forma de: P ( J ) = p ( ) P( i) = ( a) a P( i) + i + i [III.4] P(i) viene dado por [III.8], [III.9] y [III.0]. III.3.4 Expreión final del iempo medio de erviio de un buque. Para lo dearrollo poeriore, lo que no preoupa e el iempo medio de erviio de lo buque. Pariendo de [III.9] y uilizando lo reulado de lo álulo de probabilidade obenido en lo divero ubaparado aneriore, e obiene la diribuión de probabilidad del iempo de erviio. A parir de ea, e puede alular u media. Sin embargo, uilizando ea vía llegamo a que la expreión [III.9] e muy ompleja de raar analíiamene. Por oniguiene, e meneer haer alguna implifiaión del problema de al uere que e obenga una expreión final del iempo medio de erviio on la que poder operar on relaiva failidad. Para ello vamo a eindir el análii en do iuaione. 4

Capíulo III. Modelo de eoría de ola Conideremo primero la iuaión en que uando un buque enra en erviio la anidad de grúa diponible para él e igual o mayor al número de elda del mimo, por lo que oda la elda empiezan a argar-deargar al mimo iempo. En al upueo, el iempo de erviio del buque e orreponderá on el de la elda que má ha ardado en realizar la operaione de arga-dearga. En ee ao, la funión de diribuión del iempo de erviio del baro e orreponde on la expreión [III.39]. Por oniguiene, la media del iempo de erviio vendrá dada por [III.40]. Ahora bien, en el upueo de que la anidad de elda del baro que enra en erviio e menor a la diponible en eo inane, la elda que iniialmene no reiben grúa deberán eperar a que éa vayan quedando libre. Eamo en la iuaión analizada en al ubaparado III.3.. Para ee ao vamo a uponer que la media de erviio del baro e la adiión de la media de epera de la elda que no reiben grúa en el inane de iniiar la arga-dearga del baro, empezando a onar ea epera a parir del iniio del erviio del buque, y la media de la elda que má ha ardado en er argadadeargada. Mienra que la primera de ea media viene dada por [III.4], la egunda e reoge en [III.40]. En oneuenia, el iempo medio de erviio que adoparemo a lo largo del preene rabajo erá la adiión de [III.4] y [III.40], a aber: E( ) ap = T = a a + [III.43] ρ( ρ)( a) A efeo de omprender el alane de la implifiaión efeuada, eguidamene expondremo un ejemplo numério. Supongamo que enemo ei grúa ( =6) y que uaro eán en erviio en el inane en que enra un baro formado por 6 elda. El baro empieza la operaione de arga-dearga para la do primera elda. Pueo que el iempo de erviio obedee a una diribuión exponenial de parámero, el iempo medio de erviio de ada elda e de /. El iempo medio de epera de la erera elda e de /.. Para la egunda erá /., ya que igue una diribuión gamma de parámero y /.. Y aí ueivamene haa llegar a la exa. Sumando la iempo medio de epera y de erviio para ada una de la elda e iene que: = / = / 3 4 = /. + / = /. + / 5 = 3/. + / 43

Capíulo III. Modelo de eoría de ola 6 = 4 / + / El iempo medio de erviio del baro e equivalene al de la ela 6. Con la implifiaión propuea, en lugar de ener el reulado de 6, e aproximaría el iempo de erviio por: E( 4 i i= ) + =,5 4. + [III.44] En prinipio la diferenia no e muy exeiva, pue afea al érmino que eá dividido por., variable éa que ienen valore uperiore a la unidad, on lo que iene un peo menor que la media de erviio de ada elda, /, en el ómpuo de la media del iempo de erviio del baro. Aí, para el ejemplo que no oupa: E ( ) = / + 0,666 =,666 Uilizando [III.44] e endría que: E ( ),4 Por oniguiene, la diferenia enre la media exaa y la implifiada e aepable dado el propóio del preene rabajo- en el enido de que má que buar una modelizaión perfea obener una expreione que reflejen bien el ipo de evoluión del iema analizado uando ambian la variable definida. 44

45 Capíulo III. Modelo de eoría de ola