UNIDAD V.- PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIO N Productos Notbles ( (b ( (d (e ( REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES Un producto notble (multiplicción es quel que se puede obtener su resultdo sin necesidd de relizr exctmente l multiplicción, por ejemplo l tener: ( x, un error común es pensr que es igul (x (x ( x 9 ERROR!! Y que si fuer cierto lo nterior, serí cierto lo siguiente: ( Cudrdo de 8, 8 es igul? Recuerd entonces, si tienes un multiplicción (no sum o rest ( b ( ( b pero Bueno pues vemos entonces que es igul ( x 9 Luego entonces: (x o se: y 1 (x (x x x x 6x 6x 9 x 1x9 ( b b ( ( sbes que: OJO:Recuerd que l multiplicr dos binomios (x+(x+ no es igul x + 6 9 Mtemátics IV.- Álgebr 7
Es decir: (x x 1x 9 Ahor, ls 6 regls ntes mencionds te yudn encontrr este resultdo sin necesidd de relizr l multiplicción en sí: ( x (x (x( (x L primer regl ( b b b (x Ejemplos, desrrollr los siguientes productos notbles: (x primer regl ( b b b b ( y Curt regl ( b b b b b y x y ( b EJERCICIOS x 1x 9 x1 y y b b Bses diferentes no se sumn los exponentes los exponentes se multiplicn b b xy x1 b y e 7 b x x d b b x b ( x (x (x ( ( x 0x 16 ( y ( ( (y ((y (y 7 (9(y b ( ((y 6 7 y 6y 8y x1 b y x1 1 b x y ( x1 ( (8y x1 g 6b h x x 7 6 ( b y ( b y i y1 y 0 76 Prof. Jesús Clixto Suárez
El Binomio de Newton Primero recordemos los productos notbles y estudidos: b b b, b b b b como podrás observr, por ejemplo en el desrrollo de exponentes es: b b b Ahor los coeficientes los puedes obtener de l mner siguiente: Anlizemos hor el desrrollo de b b b b 1 pr que nos quede más clro empezmos con b el comportmiento de ls literles (sus b ls literles b b b b Mtemátics IV.- Álgebr 77 terminmos con b. Y hbímos comentdoque los exponentes de vn disminuyendo,,,,sin y los exponentes de b vn umentndo. Ahor los coeficientes quedn: b 6 b b b 1 (( 1 6 Es decir tenemos: (6( 1 (1( 1 b b 6 b b b Finlmente el binomio de Newton se escribirí como: sin b, b, b, b n( n 1 n( n 1( n b n b b b... b 1 1 1 l b no prece en el primer término, prce en el segundo y v umentendo hst b l empiez con exponente y v bjndo de exponente,, 1 hst que desprece 6 n n n n n n ((1 1 dos término escritos Recuerd que se divide entre el número de términos nteriores b Observción: El desrrollo ntes menciondo sólo consider el cso en que el binomio es un sum, pr cundo es un rest más delnte se ver que sucede tres término escritos b b
Ejemplo 1.- Desrrollr con el binomio de Newton x 1 x 1 ( x ( x (1 10( x (1 10( x (1 ( x (1 (1 b ( b b 10 b 10 b b b Ahor, desrrollndo ls potencis ntes de multiplicr x x 10 x 8 x 6 x x x 1 x 10 80x 8 80x 6 0x 10x 1 1 16 1 10 8 1 10 1 1 1 Ejemplo.- Desrrollr b Observción: Si l desrrollr un binomio elevdo un potenci, el signo es menos b n, los términos son los mismos que en l potenci positiv b n, sólo que los signo se vn lternndo, empezndo con + b b b b 6 b b b b b 6 b b b hor primero desrrollmos ls potencis b b 10 b 10 b b b b b10 b 10 b b b Los signos se lternn no se pone b 81 1 7 9 b 69 6 b 8b 6 16b 8 81 16 b 16 b 96 b 16b 1 9 6 6 8 Ejercicios Encuentr el desrrollo de los siguientes binomios utilizndo el desrrollo del binomio de Newton x y 6 b x y 1 7 d b e 6 1b 8 b 78 Prof. Jesús Clixto Suárez
Fctorizción Fctorizr un número consiste en escribirlo como un producto de números primos (números que y no se pueden descomponer. Por ejemplo l fctorizr el número 0 nos qued: 0 descomposi ción fctorildel 0 10 es decir l fctorizción de 0 es 0 ((( 1 Cbe mencionr que unque 0=(( ést no es su descomposición fctoril pues no es primo (es decir se puede descomponer como =((. RECUERDA.- El número 1 NO es considerdo como número primo Fctorizción De Un Expresión Algebric Fctorizr un expresión lgebric l igul que en los números, consiste en escribirl como un producto de dos o más expresiones lgebrics que y no pueden ser fctorizds. Pr fctorizr un expresión lgebric y no es tn fácil como en los números, sin embrgo considerndo 8 csos y un cso especil podemos logrrlo de l siguiente mner. Cso I.- Fctor Común FACTOR COMÚN.- Éste cso se present cundo todos los términos común. Fctorizr : + = ( + ésto es un producto ((( ((( es el fctor común 18x y z 1x y z xy Si vemos detlldmente l fctorizción de cd término de l expresión nterior tenemos: 18x y z = ((((x(x(y(y(y(z 1x y z = ((((x(x(x(y(y(y(y(z(z Fctor común : (((x(y(y6xy xy = (((((x(y(y de dich expresión tienen un fctor en Como podrás observr, 6 es el M.C.D. de 18,1 y y demás se tom l letr común en cd expresión pero con MENOR exponente es decir de x, x yx se tom x y de y, y y y se tom y. Entonces podemos escribir 18x y z 1x y z xy 6xy xyz x y z 18x y z = ((((x(x(x(y(y(y(z = 6xy (xyz 1x y z = ((((x(x(x(y(y(y(y(z(z = 6xy (x y z xy = (((((x(y(y = 6xy ( Mtemátics IV.- Álgebr 79
Ejemplo 1.- Fctorizr y 18y 1 y Ahor, fctoricemos más directo sin ser tn explícitos, es decir, tomemos l vez sólo los números (coeficientes, 18 y 1 pr encontrr su fctor común (M.C.D. 18 1 1 9 6 6 es el fctor común en cunto ls letrs debemos tomr ls letrs COMUNES Y DE MAYOR EXPONENTE Pr, y tomremos Pr y, y e y tomremos y nuestr fctorizción qued: y 18y 1 y 6y y y EJERCICIOS.- Fctorizr ls siguientes expresiones. x 6x b m n 70m d x x x x e 1 y 0 y y g 96 8mn 1n h Cso II.- Fctorizción Por Agrupción Este cso se present cundo l expresión lgebric por fctorizr contiene términos que no todos comprten un fctor común, sin embrgo si los AGRUPAMOS y comprten un fctor común. Por ejemplo en l expresión siguiente los dos primeros términos comprten x como fctor común y los dos últimos y. L grupción se hce en generl de dos en dos, de tres en tres términos, etcéter. Fctorizr : x + x x y y x + x x y y = (x + x +( x y y fctor común de x + x es: x fctor común de x y y es : y = x 1 x y x 1 fctor común x 1 = Ejercicios.-Fctorizr ls siguientes expresiones. b x bx b m bm n bn x bx y by d x bx y by e m n nx mx g 1 h x x xy y i j b b x 6x k 8 6 x 1 x y x b bm mx x x x xy 6x y x x x bx y x by 80 Prof. Jesús Clixto Suárez
Cso III.- Trinomio Cudrdo Perfecto (T.C.P. Este cso se present cundo tenemos un expresión de tres términos de los cules dos son positivos y tienen ríz cudrd exct y el tercer término(no necesrimente est l centro est compuesto por el doble producto de ls ríces de los dos términos. Por los productos notbles y vistos un T.C.P. se puede escribir como el cudrdo de un binomio (+b, compuesto por ls ríces ntes mencionds y el signo del término que no tuvo ríz cudrd. Fctorizr: x 1xy + 9y Como se puede observr x 1xy 9y x Entonces tenemos Ejercicios: Fctorizr y demás x y 1 xy, es decir l expresión si es un T.C.P. Signo del término que no tuvo ríz cudrd 1xy b b b x x1 d 10 e 9 6xx g 1 9 1 h 6 1m m i j Cso IV.- Diferenci De Cudrdos En este cso es sencillo identificr el cso, y que sólo tiene dos términos que tiene ríz cudrd exct y entre ellos hy un signo menos (necesrimente, l igul que en un T.C.P. por productos notbles l diferenci de cudrdos se escribe como el producto de dos binomios, uno con l sum de ls ríces y el otro con l diferenci de ls ríces. 10 1 Fctorizr: 9 b como podemos ver se trt de l diferenci de dos cntiddes y tiene ríz cudrd exct, entonces Ejercicios: Fctorizr 16 n b d 9 e 6 g x 81y h 8 b c i j y 1 9 x xy y x y 18 81 8 10 1 9 b ( 7b 6 7b 6 ( 7b 6 y 1y 16 0x x 1 1 y 6 1 9 b 9b 10 1 100 xy 6 Mtemátics IV.- Álgebr 81
Cso V.- Trinomios De L Form x + bx +c Pr este cso debe de hber de nuevo, como en el Cso III, términos, un cudrático x, uno linel bx y otro constnte o independiente c, dichos trinomios por el producto notble: x x b x b x b Es decir l tener un trinomio de l form Fctorizr: ést expresión es un trinomio de l form multiplicdos den 0 y sumdos den 7. 0 x bx c se fctoriz como sigue., por tnto hy que encontrr dos números que (( = 10 x 7 x 0 x 10 x, y que ( 10( = 0 y 10+( = 7 Ejercicios.-Fctorizr b x 1 x 1 d m 1 m 0 e c 1 c 1 g x 1x h 7 60 i j x 8 x 180 k m 0 m 00 l Cso VI.- Trinomios De L Form x + bx +c L diferenci entre el cso V y el cso VI es que en el cso VI el término cudrático x diferente de uno como en el cso V, por tnto tmbién se fctoriz de un mner similr. x + bx +c = (px + q(rx+s donde : Fctorizr : x x 1 donde: y x bx c x p x q p q b p q c 1 1 x 7 x 0 x bx c (p(r = (q(s = c (p(s + (q(r = b tiene coeficiente Como podrás observr y no se trt de un trinomio de l form que mencion el cso V, y que el coeficiente de x (x, es. Apliquemos el cso VI x +x 1 = (x (x, hor busquemos dos números que den multiplicdos 1 ((1 = (( = 1 (6( = 1 x 1 1x6 x 17 x 60 x x 1 8 Prof. Jesús Clixto Suárez
x + x 1 = (x + (x, como puedes ver (( = 1 pero (( +((1 Ahor probemos con 6 y, es decir x x 1 x 6 x, que cumple ((1 =, ((6 = 1 y ((+( 6(1 = Ejercicios: Fctorizr x x b x 1 x d x 1 x 6 e 6 x 6 x g 19 h 1110 i j 0 y y 1 k 8 1 1 l Cso VII.- Sum De Cubos Un sum de cubos como su nombre lo dice es un expresión compuest por dos términos que tiene ríz cúbic exct y se encuentrn sumndo, no confundirse con el cubo de un sum que es (+b, es decir +b (+b, l sum de cubos se fctoriz como el producto de un binomio por un trinomio los cules se formn de l siguiente mner b b b b b ( (b Fctorizr: 7 6 + 8 6 7 8 Entonces Ejercicios: Fctorizr ((1 (( 6 7 8 6 7 8 9 6 6 7 b 6 d 6 8 7b e 9 1 7 g 6 xy 1 6x 7x 1 x x 6 1 m 1 m 7 x x 8x y 1 n Mtemátics IV.- Álgebr 8
Cso VIII.- Diferenci De Cubos De l mism mner que en l sum de cubos tenemos. b = b b b b ( (b Fctorizr: 8b 9 1 9 1 1 Entonces 8b 9 1 = (b 1 ( (b + (b (1 +(1 8b 9 1 = (b 1 (b 6 + b + 1 Ejercicios: Fctorizr 9 y 7 b 8 6 9 d 8 z 7y e 1 7 g 8b b 6 7 xy 8 b 1 n 8 Prof. Jesús Clixto Suárez